Múltiplas escalas e a modelagem matemática e computacional em neurociência under Capricorn

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1 Múltiplas escalas e a modelagem matemática e computacional em neurociência under Capricorn alm Laboratório Nacional de Computação Científica LNCC Petrópolis - RJ Inverse days under Capricorn UFSC, Florianópolis 01 e 02 de setembro de 2011

2 Conteúdo 1 Motivação 2 3 4

3 Conteúdo Motivação O cérebro humano Complexidade e Multiescala 1 Motivação O cérebro humano Complexidade e Multiescala 2 3 4

4 O cérebro humano O cérebro humano Complexidade e Multiescala Neurociência Matemática: busca compreender o sistema nervoso via modelagem matemática área multidisciplinar Homer Simpson

5 Complexidade O cérebro humano Complexidade e Multiescala Processamento Cerebral: sistema complexo: unidades simples (neurônios?) agindo em conjunto multiescala: eventos na microescala (no espaço/tempo) com efeitos na macroescala só importa o efeito global, macroscópico Cérebro Masculino

6 Exemplo de multiescala: leitura O cérebro humano Complexidade e Multiescala Descrição da Leitura microescala: lemos letras formando palavras, formando frases, etc. só o que importa é o efeito macroscópico, i.e., a mensagem memória fazendo upscaling Caso de alexia: The mind s eye (O. Sacks, 2010)

7 O cérebro humano Complexidade e Multiescala Outro exemplo de multiescala: Doença de Huntington George Huntington Doença neurodegenerativa sintomas: declínio de coordenação muscular, comportamental, cognitivo, etc causa: disfunção genética tratamento: minimizar sintomas ironia: conhece-se a causa (microescala), os efeitos nos neurônios (mezoescala), e no comportamento (macroescala), mas não se sabe como estes estão ligados

8 Escalas em Neurociência O cérebro humano Complexidade e Multiescala Nível Escala física (metros) Dinâmica Molecular Canais e sinapses Neurônios Redes de neurônios Sistemas cerebrais Cérebro e comportamento Baseado em De Schutter, 2000

9 Conteúdo Motivação Definição, objetivo e idéias principais 1 Motivação 2 Definição, objetivo e idéias principais 3 4

10 Definição, objetivo e idéias principais Definição de Problemas Multiescalas Definição (Física) Provêm de fenômenos físicos que ocorrem em diferentes escalas temporais e/ou espaciais Definição (Matemática) São problemas cujas soluções apresentam derivadas de magnitudes crescentes quando algum parâmetro vai a zero Definição (Computacional) São problemas que demandam capacidade computacional além do disponível.

13 Modelagem Multiescala Definição, objetivo e idéias principais Filosofia Incorporar informações da microescala sem acoplar todos os detalhes. Modelagens computacionais: clássica refinada (h ǫ): acoplamento de muitas informações, custo alto, aproximação boa clássica grosseira (h ǫ): acoplamento de poucas informações, custo baixo, aproximação ruim multiescala (h ǫ): muitas informações em paralelo, custo baixo, aproximação boa

14 Modelagem Multiescala Definição, objetivo e idéias principais Filosofia Incorporar informações da microescala sem acoplar todos os detalhes. Modelagens computacionais: clássica refinada (h ǫ): acoplamento de muitas informações, custo alto, aproximação boa clássica grosseira (h ǫ): acoplamento de poucas informações, custo baixo, aproximação ruim multiescala (h ǫ): muitas informações em paralelo, custo baixo, aproximação boa

15 Dados oscilatórios Definição, objetivo e idéias principais Considere: d ( a(x/ǫ) du ) dx dx (x) = 1 em (0, 1), u(0) = u(1) = 0, Gráficos de a( /ǫ) e uǫ, com (ǫ = 1/16):

16 Dados oscilatórios Definição, objetivo e idéias principais Solução por elementos finitos com h = 1/32 (e ǫ = 1/16): solucao exata solucao por elementos finitos Erro de aproximação (norma H 1 ) h/ǫ

17 Algumas Lições Definição, objetivo e idéias principais Problemas multiescalas são de difícil resolução. A modelagem multiescala busca aproximar o comportamento macroscópico da solução a custos razoáveis. Não se pode usar uma aproximação numérica qualquer. Métodos tradicionais com malhas grosseiras não funcionam.

18 Conteúdo Motivação 1 Motivação 2 3 4

19 Um neurônio matemático Não parece complicado:

20 Neurônios de verdade

21 Neurônios digitalizado: Modelagem Matemática: domínio dado por uma árvore em cada galho: sistema não linear de EDOs e EDPs acopladas problema multiescalas: modelagem fina de redes de neurônios

22 Como os neurônios funcionam Sinal neuronal: informação via disparos elétricos gradiente de concentração iônica gera diferença de potencial elétrico (Voltagem) Portões iônicos: permitem passagem de íons pela membrana abertos ou fechados dependendo da voltagem

23 Dinâmica do disparo Disparo: comportamento não-linear controlando aberturas e fechamentos de canais

24 Lula e seu axônio gigante

25 Modelo de Hodgkin Huxley c M V t = ǫ 2 V x 2 ḡ K n 4 (V E K ) ḡ Na m 3 h(v E Na ) ḡ L (V E L ) dn = α n (V)(1 n) β n (V)n dt dm = α m (V)(1 n) β m (V)m dt dh = α h (V)(1 n) β h (V)h dt Determinados experimentalmente: α n (V) = 0.001(V + 55)/{1 exp[ (V + 55)/10]}, β n (V) = exp[ (V + 65)/80],... Constantes: ǫ, c M, ḡ K, E K, ḡ Na, E Na, ḡ L, E L

26 Um modelo mais simples: Fitzhugh-Nagumo dv = V V 3 dt 3 w + I dw = ǫ(v w) dt para pequenas estímulos, a voltagem cresce para evitar explosões, subtraímos termo cúbico w: regula a recuperação do fluxo iônico

29 Modelo de Fitzhugh-Nagumo dv = V V 3 dt 3 w + I dw = ǫ(v w) dt Espaço de fase: bidimensional: espaço de fase mais fácil de analisar teoria matemática mais robusta análise qualitativa de sistemas dinâmicos: estabilidades, bifurcações concentra grande parte da neurociência matemática

30 Problema multiescala: dendritos com sinapses Seja a voltagem V solução de V τ M ǫ 2 V + (1 + G)V = f, t x 2 N i σ in = gl i δ N e xl i σ ex = gl e δ x e l l=1 l=1 G = σ in + σ ex, f = V i σ in + V e σ ex, onde τ M, ǫ, g i l, ge l, V i, V e são constantes, e x l denotam a posição das sinapses (deltas de Dirac).

31 Domínio espacial

32 Sinapses

33 Por que este problema é interessante? Problemas numéricos: métodos tradicionais não são robustos Custo computacional: considere uma árvore dendritica com enorme número de detalhes fisiológicos Análise numérica: analisar métodos numéricos inovadores em domínios estranhos

34 Métodos de elementos finitos multiescalas (MsFEM) Métodos de elementos finitos tradicionais projetam a solução exata num espaço de funções lineares por partes O MsFEM projeta a solução exata num espaço de soluções que capturam o comportamento local da EDP Problemas locais são resolvidos (em paralelo) e a informação da pequena escala é computada Ocorre uma homogeneização numérica, similar à homogeneização do problema contínuo A análise do método usa teoria da homogeneização e as propriedades de EDP para estimar o erro numérico

35 Multinível

36 Elementos Finitos Multiescalas (caso estacionário) Considere a energia: Então E(w) = ( ) dw 2 1 ǫ + Gw 2 dx fw dx. dx V = arg min w H 1 0 (0,1) E(w). Após discretização espacial, considere o espaço multiescala W ms h = {w H0 1 (0, 1) : w resolve (1) localmente (cada elemento)}, ǫ 2 w + Gw = 0. (1) x 2 A solução de elementos finitos multiescala é o minimizante V V ms h = arg min E(w h ) w h Wh ms 0

37 Funções de base multiescalas Casos de ǫ grande e pequeno, e três sinapses no domínio: basis functions basis functions x x funções multiescalas capturam as propriedades das EDPs é assim que o upscaling ocorre elementos finitos clássicos usam as lineares por partes.

38 Exemplo estacionário: baixa difusão iônica ǫ pequeno Seja dendritos finos ou longos, ou baixa condutância longitudinal dependência de V em ǫ: expansões assintóticas V(x) V 0 (x) + ǫv 1 (x) + ǫ 2 V 2 (x) +..., (2) onde V j são desconhecidos. Substitua (2) na EDP: ( ( ) V 0 +GV 0 +ǫ 2 V 0 x 2 +V 1+GV 1 )+ǫ 2 2 V 1 x 2 +V 2+GV 2 + = f. Considerando o termo ǫ = 0, V 0 + GV 0 = f

39 Multiplicando por uma função contínua φ: 1 0 Ne σ m V 0 φ dx + gl i V 0(xl i )φ(x l i ) + gl e V 0 (xl e )φ(xl e ) N i l=1 l=1 l=1 Ni in = V gl i φ(x l i ) + V ex N e l=1 g e l φ(x e l ). Considerando finalmente uma sequência de funções (φ n ): 0 if x / {x1 i,..., x i, x N i 1 e,..., x N e }, e V 0 (x) = V V ex if x {x1 i,..., x i }, N i if x {x1 e,..., x N e }. e Conclusões: V 0 em L 2, e V(x) V 0 (x) nas sinapses, se ǫ 0; camadas limites: V contínua, V 0 discontínua

40 Potencial da Membrana (mv) x

41 Comentários: Solução exata próxima de zero exceto em torno das sinapses Elementos finitos clássicos fornecem resultado errado O elemento finito multiescala é nodalmente exato Necessários muitos pontos para se obter soluções razoáveis com método clássico (129 pontos para 10% de erro nos nós)

42 Exemplo estacionário: grande quantidade de sinapses Seja N i = N e, α = 1/(2N i ) 1, e a formulação de energia mínima V = arg min w H 1 0 (0,1) [ J(w) + α 1 I α (w) ], onde I α (V) = α 2 N i l=1 J(V) = g i l V 2 (x i l ) + α 2 ( ) dv 2 ǫσ m + σ m V 2 dx, dx N e l=1 Advinhe: o que acontece se α 0? g e l V 2 (x e l ) Ni in αv gl i V(x l i ex ) αv gl e V(xl e ). l=1 N e l=1

43 Exemplo estacionário: grande quantidade de sinapses Seja N i = N e, α = 1/(2N i ) 1, e a formulação de energia mínima V = arg min w H 1 0 (0,1) [ J(w) + α 1 I α (w) ], onde I α (V) = α 2 N i l=1 J(V) = g i l V 2 (x i l ) + α 2 ( ) dv 2 ǫσ m + σ m V 2 dx, dx N e l=1 Advinhe: o que acontece se α 0? g e l V 2 (x e l ) Ni in αv gl i V(x l i ex ) αv gl e V(xl e ). l=1 N e l=1

44 As α 0, I α dominates the total energy. Thus lim α 0 V = W 0, where W 0 = arg min lim α 0 I α. For constant g i l and g e l W 0 = V in g i l + V ex g e l g i l + g e l. Numerical test 350 inhibitory and excitatory synapses, g i l = , g e l = 10 2, V in = 10, and V ex = 65 In this case, W 0 = 5

45 7 6 5 Membrane Potential(mV) x

46 Exemplo estacionário: domínio em Y Membrane Potential (mv) Main Cable x Membrane Potential (mv) Membrane Potential (mv) First Branch x Second Branch x

47 Exemplo transiente 70 t =10 70 t = Membrane Potential (mv) Membrane Potential (mv) x x

48 Exemplo transiente: custo computacional 10 2 Computing time (s) Error in the maximum norm

49 Conteúdo 1 Motivação 2 3 4

50 Fantástico: neurociência matemática funciona! Desafio: múltiplas escalas temporais e espaciais escales Futuro: aumentar o tamanho das redes de neurônios e incluir aspectos da fisiologia Avanços devido a melhores computadores e melhor modelagem matemática

54 Ferramentas matemáticas em multiescala: análise assintótica (homogeneização, expansões matching e multiescalas, perturbações singulares, redução de dimensão) junto com argumentos neurocientíficos Métodos tradicionais não são suficientes. Técnicas numéricas modernas acopladas com boa matemática, e com conhecimentos multidisciplinares, são a saída. Esta é uma ativa e promissora área de pesquisa, com vários aspectos matemáticos e de aplicações a serem investigados.

57 Bibliografia Bibliografia Bibliografia I Gerstner, Kistler, Spiking Neuron Models, Cambridge (2006) psy.jhu.edu course1.winona.edu mbklab/index.html

58 Bibliografia Bibliografia E os problemas inversos?

59 Bibliografia Bibliografia FIM Obrigado!