Observações e modelos O trabalho de Hodgkin e Huxley como exemplo

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1 LNCC LABORATÓRIO NACIONAL DE COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA PIBIC Programa Integrado de Bolsas de Iniciação Científica Observações e modelos O trabalho de Hodgkin e Huxley como exemplo Relatório de pesquisa e desenvolvimento Aluna: Tainara Mendes de Andrade Soares Orientador: Maurício Vieira Kritz Petrópolis Rio de Janeiro - Brasil Fevereiro de 2014

2 Observações e modelos O trabalho de Hodgkin e Huxley como exemplo 1 Resumo O objetivo deste relatório é fazer uma revisão do trabalho de Hodgkin e Huxley como um exercício de aprendizado do método científico, de modelagem matemática, bem como da relação entre modelos e observações. O modelo se refere à propagação de pulsos elétricos em axônios e foi desenvolvido com o intuito de entender a capacidade dos neurônios em gerar pulsos elétricos. O experimento empregava o axônio gigante da lula do gênero Loligo, em um método que consistia no disparo de uma corrente elétrica em um ponto do axônio e na observação do efeito dessa corrente na excitabilidade da membrana em outro ponto. Revelando que a membrana é submetida a um aumento de condutância a qual esta tem o mesmo padrão no tempo que a mudança elétrica. O experimento não mostrava quais íons estavam envolvidos, porém consistiu em uma forte evidência de que ocorria um aumento da permeabilidade iônica. Com a evolução do experimento descobriu-se que o potencial de ação apresentava valores frequentemente maiores que o potencial de repouso, tendo sido estabelecido o valor absoluto dos potenciais naturais de membrana quando o axônio está em repouso. As equações que descrevem o modelo foram construídas registrando-se as correntes e analisando seus gráficos. Em decorrência deste modelo, foram descobertos alguns fenômenos da membrana neuronal, o que levou ao surgimento da neurociência computacional. Ainda hoje surgem novas perspectivas a partir do trabalho de Hodgkin e Huxley, que sem tecnologias e aparelhagens suficientes, já prediziam na época a existência dos canais iônicos e outros mecanismos importantes para o entendimento da natureza dos pulsos elétricos e de sua propagação. Palavras-chave: Membrana Neuronal, Canais Iônicos, Modelos Matemáticos, Hodgkin e Huxley

3 Observações e modelos O trabalho de Hodgkin e Huxley como exemplo 2 Sumário 1 - Introdução O desenvolvimento do modelo Hodgkin-Huxley O Experimento Construção das equações e parâmetros Considerações Alguns avanços decorrentes do modelo Uso moderno das equações Hodgkin-Huxley Modelos reduzidos Modelo FitzHugh-Nagumo Modelo Morris-Lecar Novas perspectivas a partir do modelo H-H Conclusão Referências... 22

4 Observações e modelos O trabalho de Hodgkin e Huxley como exemplo 3 Índice de equações Tendo em vista o grande número de equações representadas neste trabalho fora da sua ordem numérica, apresentamos um índice para as equações: Equação (1)... 7 Equação (2)... 7 Equação (3)... 8 Equação (4)... 8 Equação (5)... 8 Equação (7) Equação (8) Equação (12) Equação (15) Equação (16) Equação (17) Equação (18) Equação (20) Equação (21) Equação (23) Equação (24) Equação (26) Equação (27) Equação (28) Equação (29)... 14

5 Observações e modelos O trabalho de Hodgkin e Huxley como exemplo 4 Equação (30) Introdução Tendo em vista o aprendizado da modelagem matemática e computacional e o papel da observação neste processo, o modelo Hodgkin-Huxley (H-H) mostrou-se um interessante objeto de estudo por sua simplicidade. Com o intuito de entender a capacidade dos neurônios em gerar pulsos elétricos, Hodgkin e Huxley desenvolveram um modelo para a propagação de pulsos elétricos em axônios por meio de um experimento envolvendo o axônio gigante da lula do gênero Loligo. O modelo representou um grande avanço no entendimento de alguns fenômenos da membrana neuronal, o que levou ao surgimento da neurociência computacional. Sem tecnologias e aparelhagens suficientes, Hodgkin e Huxley já prediziam a existência dos canais iônicos e outros mecanismos importantes para o entendimento da natureza dos pulsos elétricos e de sua propagação. Outros cientistas já aprimoraram e reduziram a dimensão do modelo, porém ainda hoje novas perspectivas surgem. O trabalho de Hodgkin e Huxley possibilitou perceber a sequência de raciocínio necessária para desvendar o fenômeno da propagação de pulsos elétricos em axônios. Além da identificação do que existe por trás de um modelo e como ocorre sua construção. Buscando entender a relação entre a observação e a construção do modelo fenomenológico, foram analisados o processo de observação, experimentação e elaboração do modelo matemático como realizado por Hodgkin e Huxley, a metodologia empregada, bem como as novas perspectivas que surgiram em decorrência do modelo. 2 - O desenvolvimento do modelo Hodgkin-Huxley O modelo H-H foi desenvolvido com o intuito de se entender a capacidade dos neurônios gerarem pulsos elétricos. Segundo Lent (2005), essa capacidade se deve ao fato da

6 Observações e modelos O trabalho de Hodgkin e Huxley como exemplo 5 membrana neuronal apresentar a propriedade de excitabilidade, que permite ao neurônio produzir, conduzir e transmitir sinais elétricos a outros neurônios. Hodgkin queria testar a teoria já existente de que a propagação do impulso nervoso de um ponto a outro do axônio era provocada por correntes elétricas que fluem entre regiões de ação e repouso. Nesta visão, o potencial de ação não é apenas um sinal elétrico do impulso nervoso, mas o agente causador da propagação. Para comprová-la, Hodgkin utilizou um método que consistia no disparo de uma corrente elétrica em um ponto do axônio e na observação do efeito dessa corrente na excitabilidade da membrana em um ponto mais além do anterior. Neste experimento foi usado o axônio gigante da lula do gênero Loligo, por conta deste ser comprido, robusto e de grosso calibre. Para medir as variações de condutividade elétrica da membrana durante o pulso foi utilizado um método recém-desenvolvido na época, que revelou ser a membrana submetida a um grande aumento da condutância (1) bem como esta ter o mesmo padrão no tempo que a mudança elétrica. O experimento não mostrava que íons estavam envolvidos, mas foi uma forte evidência de que o que ocorria era o aumento da permeabilidade iônica através da membrana. 2.1 O Experimento Para testar esta hipótese, Hodgkin em parceria com Huxley mediu as mudanças elétricas externas e internas do axônio com alguns instrumentos de registro, descobrindo por meio desse experimento que o potencial de ação apresentava valores frequentemente maiores que o potencial de repouso. O potencial de repouso é a diferença de potencial constante entre as faces interna e externa da membrana axonal quando o neurônio está inativo do ponto de vista de geração e propagação de sinais elétricos, ou seja, em repouso (Lent, 2005). Já o potencial de ação é caracterizado por um sinal elétrico muito rápido, que ocorre como consequência das mudanças nas propriedades fisico-químicas do neurônio e de seu entorno quando o limiar de excitabilidade é atingido, conferindo ao neurônio a capacidade de transmitir pulsos elétricos. O potencial de ação possui sempre as mesmas propriedades, como forma, amplitude, intensidade e comprimento do pulso. Além disso, este sempre ocorre em algum local da

7 Observações e modelos O trabalho de Hodgkin e Huxley como exemplo 6 membrana e se propaga por todo o axônio ou então não acontece, ao que se deu o nome de lei do tudo-ou-nada. (1) Condutância O termo condutância é empregado por Hodgkin e Huxley em referência à passagem de corrente pela membrana, pois na época do estudo ainda não era conhecida a existência dos canais iônicos. De acordo com Lent (2005), o potencial de ação é um fenômeno autorregenerativo, ou auto-propagável, pois a repetição do processo de geração de novos potenciais de ação causa um aparente deslocamento do potencial de ação no sentido dos terminais telodêndricos. Porém não no sentido oposto, por conta do período refratário que os canais iônicos abertos por voltagem apresentam. Como a membrana neuronal é formada por uma dupla camada lipídica que separa os meios intra e extracelular por uma fina camada isolante, esta atua como um capacitor. Desta maneira, existem variações na quantidade de carga presente na membrana que não atingem o limiar de excitação, sendo estas referidas como flutuações subliminares (2). Apenas os potenciais de ação se propagam por grandes distâncias ao longo do axônio, as flutuações subliminares não possuem a mesma propriedade. Por este experimento Hodgkin e Huxley também conseguiram estabelecer o valor absoluto dos potenciais naturais de membrana quando o axônio está em repouso. O experimento faz uso do método de grampeamento espacial, que induz que todos os pontos ao longo do axônio tenham o mesmo potencial elétrico em cada instante de tempo. Assim, o axônio se comporta como se fosse uma célula pontual, o potencial passa a depender só do tempo e não do espaço. Para medir as correntes que passam através da membrana do axônio e calcular a condutância da membrana utilizaram outro método, o grampeamento de voltagem, que consiste na medição da diferença de voltagem V através da membrana, permitindo o cálculo da condutância da membrana bem como permitindo atribuir ao potencial da membrana o valor que se queira. Por meio desta técnica de feedback confirmaram a existência de capacitância na membrana. Controlando o potencial de membrana conseguiram fazer a medição das correntes iônicas de sódio, potássio e de vazamento. Desta maneira registraram o movimento de todos os íons e as variações na capacitância da membrana. A partir disso puderam isolar uma das

8 Observações e modelos O trabalho de Hodgkin e Huxley como exemplo 7 correntes iônicas e observá-la, descobrindo a corrente de vazamento e confirmando o envolvimento dos íons sódio e potássio nas correntes iônicas. Com estas análises construíram as equações que definem a propagação de pulsos (2) Flutuações subliminares O termo flutuações subliminares se refere à flutuações naturais na distribuição de cargas iônicas da membrana. elétricos em axônios. Neste processo, Hodgkin e Huxley repetiram o experimento inúmeras vezes registrando as correntes, analisando os gráficos obtidos a partir delas e ajustando suas equações até obterem o modelo final. A seguir analisaremos discussões e alguns destes gráficos e equações encontradas em Hodgkin & Huxley (1990); no presente trabalho seguiremos a mesma sequência numérica das equações presentes nessa publicação Construção das equações e identificação dos parâmetros Devido às tecnologias observacionais da época, Hodgkin e Huxley não sabiam da existência dos canais iônicos e que estes estariam presentes na membrana do axônio da lula. Todavia acreditavam que haviam moléculas incrustadas na membrana e que estas teriam alguma relação com os pulsos elétricos, embora não descartassem a possibilidade de serem reações químicas as responsáveis pelo mesmo processo. Mesmo sem saber da existência dos canais iônicos, desenvolveram um modelo baseado em expressões para descrever a propagação de pulsos elétricos no axônio a partir dos resultados obtidos com o experimento. Primeiramente, eles fizeram uma associação entre a membrana e um circuito elétrico com correntes em paralelo. A partir da análise da corrente iônica e da corrente capacitiva construíram a seguinte equação que descreve a corrente de membrana: (1) onde é a densidade total da corrente de membrana (corrente positiva para o interior), é a densidade da corrente iônica (corrente positiva também para o interior), V é o potencial de membrana a partir do seu repouso (despolarização negativa), é a capacidade de membrana por unidade de área (assumida constante) e t é o tempo. A corrente iônica ( é dada pela soma das correntes iônicas de íons específicos. Hodgkin e Huxley postularam que a corrente iônica de um íon é independente da corrente

9 Observações e modelos O trabalho de Hodgkin e Huxley como exemplo 8 iônica dos outros íons e identificaram três correntes iônicas, que são as principais responsáveis pela geração do potencial de ação: a corrente de sódio (, a corrente de potássio ( e a corrente de outros íons ( (2) A permeabilidade iônica pode ser expressa satisfatoriamente em termos das condutâncias iônicas (. As correntes iônicas individuais podem ser obtidas pelas seguintes relações: onde são os potenciais de equilíbrio (potencial de Nernst) para os íons sódio e potássio. é o potencial da corrente de vazamento devido ao potencial de equilíbrio do cloro ser zero quando associado a outros íons. Para uma aplicação prática, estas equações podem ser reescritas na forma: (3) (4) (5) Quando: V = E Onde é o valor absoluto do potencial de repouso, sendo repouso o estado em que o axônio não se encontra excitado, sendo seu potencial considerado igual a zero. V, podem ser medidos em seguida, pelo deslocamento a partir do potencial de repouso. O circuito elétrico equivalente ao modelo H-H pode ser assim representado (figura 1):

10 Observações e modelos O trabalho de Hodgkin e Huxley como exemplo 9 Figura 1 - circuito elétrico equivalente ao modelo Hodgkin Huxley para a membrana do axônio gigante da lula. Fonte: Podemos verificar no diagrama que o posicionamento de E Na e E K são contrários. O potencial de Nernst do potássio é negativo (negativo no interior da célula em relação ao exterior) e o potencial de Nernst do sódio é positivo (positivo no interior da célula em relação ao exterior). Podemos verificar ainda que E Vaz segue o mesmo posicionamento de E K, sendo seu potencial de Nernst também negativo. Nas condições existentes era difícil medir o tempo de ocorrência da condutância de sódio e de potássio. Então Hodgkin e Huxley objetivaram encontrar as equações que descrevessem as condutâncias com o máximo de precisão possível e fossem simples o suficiente para o cálculo teórico do período do potencial de ação e de repouso.

11 Observações e modelos O trabalho de Hodgkin e Huxley como exemplo 10 Figura 2 Condutâncias de sódio e potássio durante a propagação do potencial de ação. Capud in The quantitative analysis of excitation and conduction in nerve, figura 10. Nobel Lecture, Fonte: No início foi complicado compreender que tanto o sódio quanto o potássio aumentavam em momentos diferentes quando o axônio é despolarizado e também diminuíam em diferentes momentos quando era repolarizado. Todavia as primeiras equações que descrevem a corrente iônica e total de membrana em função do tempo e da voltagem são: n 4 ( m 3 h ( ( (26) onde as grandezas n, m e h se relacionam ao comportamento dos íons e satisfazem:

12 Observações e modelos O trabalho de Hodgkin e Huxley como exemplo 11 Onde: Os quatro termos à direita da equação (26) descrevem respectivamente, a capacidade de corrente de membrana, a corrente de íons potássio (K + ), a corrente de íons sódio (Na + ) e a corrente de vazamento, por 1 cm 2 de membrana. Esses quatro componentes estão em paralelo e são adicionados para se obter a intensidade total de corrente através da membrana. As condutâncias de potássio e sódio são dadas pelas constantes, juntamente com as quantidades adimensionais n, m e h, cuja variação com o tempo após a mudança de potencial de membrana é determinada pelas três equações auxiliares (7), (15) e (16). Os α s e os β s destas equações dependem somente do valor instantâneo do potencial de membrana, sendo assim taxas dependentes da voltagem. Em relação às correntes de membrana analisadas durante o grampeamento de voltagem, era preciso verificar se a equação (26) previa corretamente a corrente total neste caso. A voltagem e os coeficientes α e β são constantes. Seus resultados podem ser obtidos diretamente pelas expressões dadas por n, m e h (equações (8), (17) e (18)). As variáveis n, m e h são parâmetros observados de ativação do potencial de ação ao longo do tempo. A variável m se refere à ativação do sódio, já a variável n se refere à ativação do potássio bem como a variável h se refere à inativação do potássio, como podemos analisar na figura 2.

13 Observações e modelos O trabalho de Hodgkin e Huxley como exemplo 12 Onde: e e Figura 3 - Fonte: As correntes iônicas totais foram calculadas a partir destes coeficientes com diferentes voltagens que não variavam e comparadas com uma série de curvas experimentais obtidas para cada uma dessas voltagens (figura 3). A única diferença importante notada por Hodgkin e Huxley é que a corrente calculada teoricamente teria um atraso muito pequeno no surgimento do potencial de sódio, mostrando a incapacidade de seu modelo refletir plenamente a demora para surgir A propagação dos potenciais de ação na membrana acontece quando o potencial de membrana é uniforme ao longo do eixo cilíndrico a cada instante neste experimento e quando a corrente líquida de membrana atinge o limiar de excitação, disparando um potencial de ação, conforme a lei do tudo-ou-nada. Se o estímulo for um choque curto em t = 0, a forma do potencial de ação deve ser dado por meio da resolução da equação (26), com e condições iniciais V = V o e m, n e h possuem no repouso valores do seu estado estacionário quando t = 0. A figura 2 ilustra alguns dos gráficos utilizados para a construção do modelo.

14 Observações e modelos O trabalho de Hodgkin e Huxley como exemplo 13 Variações nas condutividades do potássio e do sódio em função do tempo para diferentes valores do grampo de voltagem C Figuras 4 - A: Resposta de g K a um aumento em V do tipo degrau, seguido por um decréscimo também do tipo degrau. B: Respostas de g K a aumentos em V do tipo degrau de diferentes valores. O número em cada curva dá a despolarização aplicada em mv. Os pontos são os dados experimentais e as linhas sólidas são as soluções do modelo de Hodgkin-Huxley com a condição inicial g K (t=0) = 0,24 ms/cm 2. A escala vertical é a mesma nas curvas de A a J, mas está aumentada por um fator 4 nas demais curvas. Para maior clareza, a linha de base de cada curva foi desviada para cima. C: Respostas de g Na a aumentos em V do tipo de grau de diferentes valores, indicados pelos números à esquerda (em mv). As linhas sólidas são as soluções do modelo de Hodgkin-Huxley. As escalas verticais à direita estão em unidades de ms/cm 2. (Hodgkin, A. L. and Huxley, A. F., A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve. Journal of Physiology, London, 117: , Figuras 2, 3 e 6). O processo de disparo do potencial de ação é mais complicado durante a propagação do potencial de ação. O fato da corrente de circuitos locais ser fornecida por meio da corrente líquida que passa através da membrana conduz à relação:

15 Observações e modelos O trabalho de Hodgkin e Huxley como exemplo 14 Onde i é a corrente de membrana por unidade de comprimento e r 1 e r 2 são as resistências internas e externas por unidade de comprimento e x é a distância ao longo da fibra. Para um axônio rodeado por um grande volume de fluido de condução, r 1 é insignificante comparado com r 2. Por isso: ou (28) Na qual é a densidade da corrente de membrana, a é o raio da fibra e r 2 é a resistência específica do axoplasma. Quando inseriram esta relação na equação (26) Hodgkin e Huxley obtiveram: mantendo-se as equações subsidiárias inalteradas. n 4 ( m 3 h ( ( (29) A equação (29) é uma equação diferencial parcial que não é passível de resolução na forma em que se encontra. No entanto, durante uma propagação estável, ou seja, sem alterações na sua forma. A curva V em relação ao tempo, em qualquer posição na forma do pulso, é similar a forma de V, em função da distância em um momento. Assim: onde θ é a velocidade de condutância, ou seja a quantidade de íons passam pela membrana. Por isso: n 4 ( m 3 h ( ( (30)

16 Observações e modelos O trabalho de Hodgkin e Huxley como exemplo 15 Esta é uma equação diferencial ordinária e pode ser resolvida numericamente, mas o procedimento é complicado porque θ não é conhecido de antemão. Então é necessário para estimar o valor de θ, inserí-lo na equação (30) e realizar soluções numéricas a partir do estado de repouso no início do potencial de ação. Em seguida é encontrada a voltagem V que pode assumir valores positivos ou negativos, ao dirigir-se a + ou -, de acordo com o θ que foi encontrado ser pequeno ou grande. O valor encontrado de V traz de volta o sistema a condição de repouso quando o potencial de ação é maior. As soluções que vão para ± refletem o fato do potencial de ação se propagar mais lentamente sob um ânodo e mais rapidamente sob um cátodo. Hodgkin e Huxley então suspeitaram que um sistema que tende para - para todos os valores de θ após o deslocamento negativo inicial de V é incapaz de propagar um potencial de ação. A partir destas equações foram realizados uma série de experimentos numéricos e ajustes até Hodgkin e Huxley chegarem a resultados consistentes em relação às observações e que se integrassem satisfatoriamente em suas hipóteses. 3 - Considerações Podemos sumarizar dizendo que os dados obtidos pelo grampeamento de tensão foram usados para encontrar equações que descrevem as mudanças na condutância de sódio e de potássio associada a uma alteração do potencial de membrana. Os parâmetros destas equações foram determinados por resoluções que adaptam as curvas relativas à condutância de sódio e de potássio no tempo a vários potenciais de membrana. Hodgkin e Huxley utilizaram estas equações para prever o comportamento quantitativo da propagação de pulsos elétricos no neurônio sob uma variedade de condições. Um bom acordo entre o modelo e a observação foi obtido para os seguintes aspectos: forma, amplitude e velocidade da propagação do potencial de ação; forma e na amplitude das alterações de impedância associada com um potencial de ação; movimento para dentro dos íons sódio e o movimento para o exterior de íons potássio associados com o pulso; limiar de resposta durante o período refratário; existência e a forma de respostas a pequenas oscilações de corrente;

17 Observações e modelos O trabalho de Hodgkin e Huxley como exemplo 16 existência e a forma de uma resposta de interrupção de ânodo propriedades de pequenas oscilações de corrente observadas nos axônios dos cefalopódios. A teoria também prevê que uma corrente contínua não vai excitar a membrana e desta maneira provocar o pulso elétrico se ela não aumentar bruscamente. Existem pequenas oscilações do potencial de membrana que não provocam o disparo do potencial de ação, Apenas quando este potencial atinge o limiar ou é aumentado bruscamente pelo experimento é que acontece o potencial de ação, seguindo a lei do tudo-ou-nada. Hodgkin e Huxley concluíram então que a resposta dos axônios gigantes isolados de Loligo é estimulada devido a alterações reversíveis na permeabilidade de sódio e potássio proveniente de alterações do potencial de membrana. Das pequenas imprecisões a única para a qual Hodgkin e Huxley não encontraram uma explicação bastante simples é a de que a troca de íons potássio calculada foi maior do que a encontrada nos axônios da lula gigante. 4 - Alguns avanços decorrentes do modelo O modelo H-H abriu portas para a investigação profunda da biologia da membrana neuronal e os mecanismos responsáveis pela permeabilidade iônica. Historicamente, os axônios de invertebrados como os das lulas, foram utilizados como modelos experimentais possibilitando a compreensão dos mecanismos moleculares geradores dos sinais elétricos neuronais, e assim do pulso nervoso e sua propagação. A descoberta dos canais iônicos e a dependência da voltagem para sua abertura nos axônios confirmaram as teorias de Hodgkin e Huxley, que já suspeitavam que existiam as ditas moléculas incrustadas na membrana ou algum mecanismo responsável pela passagem dos íons pela membrana. Mesmo sem saber da seletividade a um determinado íon e da existência de portões nos canais iônicos, Hodgkin e Huxley acharam valores que correspondiam ao número de portões que cada tipo de canal iônico possuía, apenas ajustando as equações às curvas obtidas. Depois destas e outras descobertas, o modelo foi aprimorado algumas vezes por outros cientistas, como FitzHugh, Nagumo e Zeeman. Hodgkin e Huxley já previam isto, pois acreditavam que este não era um modelo final, mas apenas o começo do desvendamento do fenômeno em questão. Sendo as equações Hodgkin-Huxley grandes influenciadoras dos mais

18 Observações e modelos O trabalho de Hodgkin e Huxley como exemplo 17 sérios modelos matemáticos sobre o comportamento individual dos neurônios. Entretanto, como são um conjunto de quatro equações diferenciais, ordinárias, acopladas, não lineares, tem sido difícil a aplicação de análise matemática detalhada à elas. E grande progresso foi feito com a redução da dimensionalidade destas por cientistas como os acima citados. Além disso, o modelo Hodgkin-Huxley ganhou especial interesse na neurociência computacional, onde este é uma das bases de seu estudo, sendo o trabalho de Hodgkin e Huxley considerado o ponto inicial da modelagem em neurociência. A partir deste modelo foram obtidas diversas aplicações e foi possível entender, por exemplo, a origem da natureza digital dos pulsos elétricos neuronais Uso moderno das equações Hodgkin-Huxley O documento publicado em 1952 por Hodgkin foi um marco no campo da neurociência matemática. O modelo consistente em um conjunto de quatro equações diferenciais ordinárias, nãolineares, acopladas, que são referidas hoje como as equações Hodgkin-Huxley. Em que as variáveis e constantes representam os mesmos aspectos e princípios. Porém, de acordo com Jeff Moehlis (2006), modernamente as equações do modelo Hodgkin e Huxley são escritas com olhares e formas diferentes da publicação original de 1952, geralmente com valores diferenciados de voltagem Modelos reduzidos A partir do modelo H-H surgiram outros modelos visando reduzir sua dimensão já que suas equações são de difícil manipulação. Surgiram novos modelos que reduziram de quatro para três ou duas dimensões o modelo H-H de forma satisfatória. Exemplos de modelos bidimensionais satisfatórios são o Modelo FitzHugh-Nagumo e o Modelo Morris-Lecar. Para entendermos a redução de dimensionalidade precisamos primeiramente entender que o tempo de escala da dinâmica variável de m é muito mais rápido do que as variáveis n, h, e V. De acordo com Gerstner & Kistler (2002), isto sugere que podemos tratar m como uma variável instantânea. A variável m da equação de corrente de ions do modelo H-H também pode ser pode ser substituída pelo seu valor de estado estável, m(t) m 0 [V(t)]. Isto é chamado de quase aproximação de variáveis de estado.

19 Observações e modelos O trabalho de Hodgkin e Huxley como exemplo 18 Também vemos que as constantes de tempo e são aproximadamente os mesmos, independentemente da voltagem v. Além disso, os gráficos das são bastante semelhantes. Isto sugere que é possível aproximar as duas variáveis n e (1 - h), por uma única variável w eficaz. Para manter o formalismo ligeiramente mais geral usamos aqui uma aproximação linear (b - h) a n com algumas constantes a, b e W = b - h = a n. Com h = b - W, n = W/a, e m = m 0 (V) ou (1) (2) Com, e alguma função F. Passando para as outras equações, vemos que o m é tratado como instantâneo. Ao invés de termos duas equações para n e h, ficamos com uma única equação bastante satisfatória (3) Quando é o parâmetro e G a função que tem que ser especificada. As equações (2) e (3) definem um modelo neuronal bidimensional geral. Os detalhes matemáticos da redução do modelo H-H que é quadridimensional para as duas equações (2) e (3) não serão aqui discutidos Modelo FitzHugh-Nagumo FitzHugh e Nagumo foram provavelmente os primeiros a propor que as quarto equações da geração do potencial de ação, ou seja, as quatro equações de Hodgkin- Huxley, poderiam ser substituídas por duas, isto é, pelas equações (2) e (3). Eles obtiveram afinados pulsos como oscilações remanescentes dos trens de potenciais de ação através das definições das funções de F(V, W) e G(V, W) como

20 Observações e modelos O trabalho de Hodgkin e Huxley como exemplo 19 onde V é a voltagem da membrana e W é a variável de recuperação (FitzHugh, 1961; Nagumo et al., 1962). Nota-se que tanto F quanto G são lineares em W; o único não-linear é o termo cúbico em V. O modelo FitzHugh-Nagumo é um dos modelos mais simples com o comportamento não-trivial, prestando-se a uma análise de plano de fase Modelo Morris-Lecar Uma descrição em duas dimensões foi proposta por Morris e Lecar (1981) sobre a dinâmica do potencial de ação do neurônio. A primeira equação descreve a evolução do potencial da membrana, e a segunda equação descreve a evolução de uma variável de recuperação lenta. Em variáveis adimensionais, as equações Morris-Lecar são: (4) (5) A tensão foi dimensionada de modo que um dos potenciais de inversão é a unidade. O tempo foi medido em unidades de = RC. Comparando a equação (4) com a equação (1), nota-se que o primeiro termo atual no lado direito da equação (1) tem um fator de (b - W) que fecha o canal de alta voltagem e que está ausente em (4). Outra diferença é que nem nem na equação (4) tem expoentes. Para esclarecer a relação entre os dois modelos, podemos definir ( ) = [ ( )] 3 e = (W/a) 4. Nas equações seguintes, consideramos as equações (4) e (5) como modelo em seus próprios direitos e sobre os chapéus sobre e W. É razoável aproximar a dependência da voltagem por (6) (7) com parâmetros v 1,..., v 4, e aproximando o tempo por uma constante (8) Com um parâmetro adicional.

21 Observações e modelos O trabalho de Hodgkin e Huxley como exemplo 20 O modelo Morris-Lecar (4) - (8) dá uma descrição fenomenológica dos potenciais de ação. Os potenciais de ação ocorrem se a corrente I é suficientemente forte. 5 - Novas perspectivas a partir do modelo H-H Recentemente pesquisadores encontraram um modelo mais preciso para cérebros de mamíferos do que aquelas equações baseadas no sistema nervoso da lula. Segundo o estudo realizado por Henrik Alle, Arnd Roth e Jörg R. P. Geigen (2009) sobre propagação de pulsos elétricos em axônios do hipocampo do cérebro de mamíferos, como ratos, mostrou que algumas operações no cérebro destes poderiam ser três vezes mais eficientes energeticamente. O modelo de Hodgkin Huxley propôs uma divisão de 50% e 50% no uso da energia para os processos de potencial de ação e de potencial pós-sináptico, considerados processos chave do axônio. O potencial de ação acontece quando os íons estabelecem uma diferença de carga eletroquímica por meio da sinapse, uniformizando o caminho para sinais químicos e o potencial pós-sináptico ocorre com a restauração do estado elétrico depois que um sinal químico é enviado. No trabalho supracitado foi proposto que em cérebros mamíferos a divisão seja diferente. O uso de energia total parece ser o mesmo, porém a divisão seria diferente, os picos (potenciais de ação) ficariam próximos a 15% do uso da energia e os outros 85% seriam usados para a modificação de sinapse subsequente. O que aponta haverem implicações importantes para compreender como os cérebros modernos se desenvolveram. Como descrito anteriormente, Hodgkin e Huxley concluíram que o sistema nervoso da lula teria que disparar mais íons que o encontrado nos axônios da lula gigante, exigindo mais energia para restabelecer o diferencial eletroquímico. Os cérebros dos mamíferos, contudo, parecem ter menos movimentos de íons, diminuindo a quantidade de energia necessária para a restauração do potencial de membrana após a ocorrência do potencial de ação. Os pesquisadores supõem que quanto menos carga é deslocada, menor é a energia necessária para restabelecer o potencial natural de membrana. Estas novas descobertas de Alle, Roth e Geigen podem ser a solução da discussão sobre qual desses processos chave consome a maior parte da energia. Embora o estudo tenha sido feito em ratos, acredita-se que os resultados possam ser semelhantes em seres humanos. Outro modelo que substitua as equações de Hodgkin-Huxley está sendo buscado, mas ainda é preciso muitos testes em outras regiões dos cérebros dos ratos para assegurar que o uso de energia é padrão em todo o cérebro.

22 Observações e modelos O trabalho de Hodgkin e Huxley como exemplo 21 Vários questionamentos surgem a partir da percepção de tamanha diferença na eficiência energética entre a lula gigante e os pequenos ratos. Questiona-se o fato de que na lula o uso da energia parece não ser ótimo e também como ocorreu o desenvolvimento do cérebro. Uma resposta seria que a lula depende mais de seus neurônios para fazer comunicações rápidas em ações de fuga de predadores que os mamíferos e assim sacrifica a eficiência da energia pela velocidade. Todavia os mamíferos poderiam ter evoluído respondendo mais lentamente à estímulos, usando melhor a energia para aperfeiçoar seus cérebros. 6 - Conclusão O estudo do modelo H-H nos revela pontos importantes para a modelagem de outros fenômenos, em especial biológicos. De fato é importante ressaltar que mesmo sem o conhecimento biológico profundo do processo de permeabilidade iônica da membrana neuronal, Hodgkin e Huxley conseguiram analisar o processo de propagação de pulsos elétricos em axônios. Eles já haviam levantado indícios da existência de canais incrustados na membrana. O estudo que fizeram bem como a modelagem proposta abriu portas para conhecimentos mais aprofundados e aplicados posteriormente que geraram não só conhecimento, mas também tecnologias aplicadas à vida prática. Sob a perspectiva do processo científico, percebemos por esse exemplo como as observações são importantes. A utilidade do método científico, as informações sobre o fenômeno, a formalização do que está sendo estudado na pesquisa científica, bem como a geração do próprio modelo são passos importantes na construção do raciocínio científico para o alcance de bons resultados. O método científico é muito útil para orientar o estudo de sistemas mais complexos, como os ecológicos e sociais bem como a observação de seus fenômenos. O modelo H-H nos revela como a modelagem pode nos ajudar a avançar no desconhecido. Hodgkin e Huxley levantaram várias hipóteses sobre a biologia da membrana neuronal antes mesmo de surgirem equipamentos que possibilitassem olhá-la com precisão. A modelagem se faz importante então como ferramenta para o desvendamento de novos conhecimentos.

23 Observações e modelos O trabalho de Hodgkin e Huxley como exemplo Referências ALLE, HENRIK; ROTH, ARND e GEIGEN, JÖRG. Energy-Efficient Action Potentials in Hippocampal Mossy Fiber. Science 325, 1405, (2009). FITZHUGH, R. Impulses and physiological states in models of nerve membrane. Biophys. J., 1: , (1961). GERSTNER E KISTLER. Spiking Neuron Models. Single Neurons, Populations, Plasticity. Cambridge University Press, (2002). Disponível em: Acesso em: 01/10/2013. HODGKIN, ALAN LLOYD. The ionic basis of nervous conduction. Nobel Lecture, p , dez Disponível em : Acesso em 02/11/2012. HUXLEY, A.F. The quantitative analysis of excitation and conduction in nerve. Nobel Lecture, p , dez Disponível em : Acesso em 02/11/2012. HODGKIN, A. L. e HUXLEY, A. F. Currents carried by sodium and potassium ions through the membrane of the giant axon of Loligo. J. Physiol., v. 116, n. 4, p , abr Disponível em: Acesso em 02/11/2012 HODGKIN, A. L. e HUXLEY, A. F. Movement of radioactive potassium and membrane current in a giant axon. J. Physiol., v. 121, n. 2, p , ago Disponível em: Acesso em 02/11/2012 HODGKIN, A. L. and HUXLEY, A. F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve. Bulletin of Mathematical Biology. v. 52, n. 1/2, p , (1990). Disponível em: Acesso em 02/11/2012

24 Observações e modelos O trabalho de Hodgkin e Huxley como exemplo 23 KANAMURA, ANDRÉ HARUO. Neurociência. Disponível em: Acesso em: 02/11/2012 LENT, ROBERT. Cem bilhões de neurônios: conceitos fundamentais de neurociência São Paulo: Editora Atheneu, MOEHLIS, JEFF. Canards for a reduction of the Hodgkin-Huxley equations. J. mathematical Biology. V. 52, p , Disponível em: -Huxley_equations Acesso em 25/01/2013 MORRIS, C. AND LECAR, H. Voltage oscillations in the barnacle giant muscle fiber. Biophys. J., pages , (1981). NAGUMO, J. S., ARIMOTO, S., AND YOSHIZAWA, S. (1962). An active pulse transmission line simulating nerve axon. Proc. IRE, 50: ROQUE, ANTÔNIO. Notas de aula Unicamp: O modelo de Hodgkin-Huxley. Disponível em: Acesso em: 02/11/2012.