MODELOS MATEMÁTICOS E SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS DE FENÔMENOS BIOLÓGICOS

Transcrição

1 MODELOS MATEMÁTICOS E SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS DE FENÔMENOS BIOLÓGICOS Prof. Dr. Robson Rodrigues da Silva robson.silva@umc.br Mogi das Cruzes Março de 2017

2 TÉCNICAS DE MODELAGEM 1. REGRESSÃO OU AJUSTE DE CURVAS 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 3. PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

3 TÉCNICAS DE MODELAGEM 1. REGRESSÃO OU AJUSTE DE CURVAS 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 3. PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

4 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

5 TUDO O QUE CONHECEMOS É UMA TAXA DE VARIAÇÃO

6 y = f(x)

7 O CÁLCULO DAS VARIAÇÕES diferencial em y diferencial em x dy dx = VELOCIDADE INSTANTÂNEA

8 O CÁLCULO DAS VARIAÇÕES diferencial em y diferencial em x dy dx = taxa de variação instantânea

9 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EQUAÇÕES ENVOLVENDO FUNÇÕES E SUAS DIFERENCIAIS

10 EXEMPLOS

11 MODELO MALTHUSIANO MODELO MATEMÁTICO PARA DESCREVER O CRESCIMENTO POPULACIONAL HUMANO (1798). THOMAS R. MALTHUS ( )

12 MODELO DE MALTHUS... O CRESCIMENTO DE UMA POPULAÇÃO É PROPORCIONAL À POPULAÇÃO EM CADA INSTANTE PRESENTE. MATEMATICAMENTE ESCREVEMOS...

13 MODELO DE MALTHUS O CRESCIMENTO DE UMA POPULAÇÃO É PROPORCIONAL À POPULAÇÃO EM CADA INSTANTE. dp dt = k. P(t) POPULAÇÃO EM CADA INSTANTE VELOCIDADE COM QUE A POPULAÇÃO AUMENTA CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE

14 MODELO DE MALTHUS P = ae kt k > 0 e =

15 MODELO DE MALTHUS

16 MODELO DE VERHURST EM 1837 VERHURST ALTEROU O MODELO DE MALTHUS

17 MODELO DE VERHURST dp dt = r. P t. (1 P(t) a ) CONSTANTE LIMITE MÁXIMO SUSTENTÁVEL

18 MODELO DE VERHURST a

19 MODELO DE GOMPERTZ (1825) O FATOR DE DESACELERAÇÃO ENVOLVE O LOGARITMO DA VARIÁVEL

20 MODELO DE GOMPERTZ (1825) dp dt = P t. [a ln P t ) FATOR DE INIBIÇÃO

21 CRESCIMENTO DE TUMORES

22 CRESCIMENTO DE TUMORES POPULAÇÃO DE CÉLULAS TUMORAIS NO INSTANTE t TAMANHO MÁXIMO DO TUMOR CONSTANTE DE CRESCIMENTO (DEPENDE DA CÉLULA)

23 SEM TRATAMENTO...

24 COM TRATAMENTO... CONCENTRAÇÃO DO MEDICAMENTO ATUAÇÃO DO MEDICAMENTO

25 COMPARAÇÃO...

26 PARA SABER MAIS...

27 MODELAGEM COMPARTIMENTAL

28 EXEMPLO 1 CINÉTICA DE UMA DROGA NO ORGANISMO

29 1 APARELHO GASTROINTESTINAL k 12 2 k 2O SISTEMA SANGUÍNEO k 23 k 32 3 DROGA EM AÇÃO

30 x 1 Quantidade de droga ingerida x 2 Quantidade de droga na corrente sanguínea x 3 Quantidade de droga agindo no organismo

31 dx 1 dt = (1) APARELHO GASTROINTESTINAL (2) - k 12 x 1 k 12 k 20 SISTEMA SANGUÍNEO dx 2 dt = k 12 x 1 - k 23 x 2 + k 32 x 3 - k 20 x 2 k 23 k 32 dx 3 dt = k 23 x 2 - k 32 x 3 x 1 (0) = D x 2 (0) = 0 x 3 (0) = 0 (3) DROGA EM AÇÃO

32 COMO RESOLVER ESSE SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ACOPLADAS?

33 EXEMPLO 2 DIAGRAMA DE ESTADOS DO CANAL DE CÁLCIO DO TIPO L

34 CÉLULA A UNIDADE BÁSICA DE UM ORGANISMO

35 TUDO COMEÇOU NA ÁGUA

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37 ÁCIDO GRAXO ÁCIDO COLINA CABEÇA HIDROFÍLICA FOSFATO GLICEROL CAUDA HIDROFÓBICA

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39 FATTY ACID ACID CHOLINE PHOSPATE GLYCEROL ÁGUA

40 CAMADA LIPÍDICA ÁGUA ÁGUA

41 A MEMBRANA CELULAR É UMA BICAMADA LIPÍDICA

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44 PERMEABILIADE DA MEMBRANA EXTERNA INTERNA PEQUENAS MOLÉCULAS SEM CARGA O 2, CO 2, N 2 GRANDES MOLÉCULAS SEM CARGA DIFUSÃO FACILITADA SACAROSE GLICOSE ÍONS (CARREGADOS) H +, Na +, K +, Ca ++

45 CANAIS IÔNICOS MECANISMOS ESPECIAIS

46 BOMBAS DE ATP ATP ADP +

47 TROCADORES

48 RECEPTORES

49 NÚCLEO

50 MITOCÔNDRIAS O 2 NUTRIENTES ATP

51 Ionic Channels ESQUEMA GERAL Exchanger Pumps Receptor Nucleus Mitochondria Lipid Bilayer

52 NA CÉLULA CARDÍACA

53 100 mm

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55 ESTUDO COMPLETO DO FENÔMENO

56 T-Tubule RyR Na 3Na Na 2K Na Sarcolemma ATP NCX ATP Na Ca 3Na Ca I Ca SR PLB ATP K Ca Ca NCX 3Na AP (E m ) [Ca] i Contraction Cyt by Pepe Puglisi

57 T-Tubule RyR Na 3Na Na 2K Na Sarcolemma ATP NCX ATP Na Ca 3Na Ca I Ca SR PLB ATP Ca Ca NCX 3Na AP (E m ) [Ca] i Contraction Cyt by Pepe Puglisi

58 T-Tubule RyR Na 3Na Na 2K Na Sarcolemma ATP NCX ATP Na Ca 3Na Ca I Ca SR PLB ATP Ca Ca NCX 3Na AP (E m ) [Ca] i Contraction Cyt by Pepe Puglisi

59 A DIVISÃO EM PROBLEMAS MENORES

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62 A MODELAGEM... DA BOMBA DE NaK Shannon et al, 2004

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64 PRINCIPAIS ESTADOS DE UM CANAL IÔNICO

65 CANAL DEPENDENTE DE VOLTAGEM

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69 CANAL DE CÁLCIO DEPENDENTE DE VOLTAGEM

70 COMO OCORRE A TRANSIÇÃO DE UM ESTADO PARA OUTRO?

71 MODELAGEM UTILIZANDO O DIAGRAMA DE ESTADOS E AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

72 CANAL DE CÁLCIO DEPENDENTE DE VOLTAGEM α β Mahajan et al., 2008

73 α β TAXA DE VARIAÇÃO DA PORCENTAGEM (PROBABILIDADE) DE CANAIS NO ESTADO C 2

74 α β

75 α β

76 α β

77 α β β = e Τ v 8 α = e Τ v 8

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80 A SIMULAÇÃO

81 EXEMPLO 3 DIAGRAMA DE ESTADOS DO CANAL DE POTÁSSIO

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84 CANAL DE POTÁSSIO DE ATIVAÇÃO RÁPIDA i I α i O Ψ α i3 α 1 1 C3 α 0 0 C2 k b C1 k f Winslow et al. A Computational Model of the Human Left-Ventricular Epicardial Myocyte Biophysical Journal Volume 87 September

85 ESCREVA O SISTEMA DE E.D. QUE DESCREVE A TRANSIÇÃO ENTRE OS ESTADOS DO CANAL IKr

86 COMO RESOLVER ESSE SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ACOPLADAS?

87 MÉTODO ANALÍTICO

88 MÉTODO QUALITATIVO

89 MÉTODO NUMÉRICO

90 MÉTODO NUMÉRICO MÉTODO DE EULER MÉTODO DE RUNGE - KUTTA

91 O Método de Euler Regra que infere o valor y pelo conhecimento do seu valor em passos anteriores. Utiliza apenas os valores do início de cada intervalo y 1 = y o + h.f(x o,y o ) y 2 = y 1 + h.f(x 1,y 1 )... Problema: y 1 y(x 1 ) e f(x 1,y 1 ) y (x 1 )

92 Interpretação Geométrica

93 Aplicação do Método de Euler Utilizando um planilha no Excel vamos resolver o seguinte problema de valor inicial: e y(0) = 1 Determine um valor aproximado para y(2)

94 n x n y n valor exato 0 0 1,000 1, ,2 1,000 1, ,4 1,080 1, ,6 1,253 1, ,8 1,553 1, ,051 2, ,2 2,871 4, ,4 4,249 7, ,6 6,628 12, ,8 10,870 25, ,697 54,598

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97 O Método de Euler Aperfeiçoado Considera a média aritmética das inclinações nos extremos de cada intervalo.

98 Interpretação Geométrica

99 Euler x Euler Aperfeiçoado Utilizando uma planilha no Excel vamos resolver o seguinte problema de valor inicial: e y(0) = 1 Determine um valor aproximado para y(2)

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101 EXATO Euler Aperfeiçoado Euler ,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

102 O método de Runge - Kutta O método de Euler foi refinado quando tomamos a inclinação média para extrapolar a função até o próximo ponto. O método de Runge Kutta leva essa idéia mais longe e usa a média aritmética ponderada das inclinações em cada intervalo

103 Runge Kutta de 4ª ordem O método de Runge Kutta de 4ª ordem inclui mais pontos no intervalo, e a determinação dos parâmetros apresentados a seguir é feita com o auxílio da expansão de Taylor até o 4º grau, o que resulta em um sistema de 11 equações e 13 incógnitas.

104 Runge Kutta de 4ª ordem

105 Aplicação do método Equação: condição inicial: y(0) = 1 n x i a i b i c i d i y i Exato 0 0 0,000 0,200 0,204 0,416 1,0000 1, ,2 0,416 0,649 0,663 0,939 1,0408 1, ,4 0,939 1,267 1,300 1,720 1,1735 1, ,6 1,720 2,247 2,321 3,036 1,4333 1, ,8 3,034 3,960 4,126 5,443 1,8964 1, ,436 7,176 7,559 10,152 2,7181 2, ,2 10,128 13,605 14,509 19,941 4,2200 4, ,4 19,870 27,251 29,465 41,567 7,0966 7, ,6 41,362 58,010 63,670 92,375 12, , ,8 91, , , ,543 25, , , , , ,200 54, ,5982

106 EXATO Runge Kutta de 4ª ordem ,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

107 1. ESTUDO DO FENÔMENO 2. A MODELAGEM MATEMÁTICA 3. A SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL

108 NA PRÓXIMA AULA... COMO RESOLVER ESSE SISTEMA DE E.D. ACOPLADAS?