Cálculo Infinitesimal III. Gregorio Malajovich

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1 Cálculo Infinitesimal III Gregorio Malajovich Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática da UFRJ Março 2003

2 Calculo Infinitesimal III Copyright c 1995,2003 Gregorio Malajovich

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4 CAPíTULO 1 Revisão : Cálculo de uma variável. 3

5 4 1. REVISÃO : CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL. 1. Inteiros naturais, relativos, números racionais Os inteiros naturais são os números 0, 1, 2, 3, 4,..., etc... O conjunto dos números naturais é representado pelo símbolo N. Uma definição mais formal dos números naturais seria : 0 é um inteiro natural. Se n é um inteiro natural, então n + 1 é um inteiro natural. As operações + (soma) e (multiplicação) estão definidas no conjunto N. Dizemos que um inteiro natural b divide um inteiro natural a se existe um inteiro natural c tal que a = b c. Um número natural 2 é chamado de número primo se só é divisível por 1 e por ele mesmo. Convencionamos que 0 e 1 não são primos. Todo inteiro natural diferente de zero se escreve de maneira única como produto de números primos. Exercício 1. O que aconteceria se considerássemos que 1 é primo? O conjunto dos números inteiros relativos é o conjunto de todos os números da forma +a ou a, onde a é um inteiro natural. O conjunto dos números inteiros relativos é representado pelo símbolo Z. O conjunto Z tem definidas as operações + (soma) e (multiplicação). Além disso, para cada elemento a existe um elemento a tal que a+( a) = 0. Os números racionais são as expressões da forma a, onde a é um inteiro relativo, b é um inteiro natural diferente de zero, e onde adotamos b a seguinte convenção : a b = c Se e Somente se ad = bc d Números racionais podem ser somados, subtraidos, multiplicados, e divididos (é claro, o divisor deve ser diferente de zero!). Denotamos por Q o conjunto dos números racionais. Os Antigos conheciam apenas os números inteiros e racionais. Diz a lenda que Pitágoras (Sec. VI A.C.) pregava que todas as coisas são números. Essa profissão de fé era motivada por várias descobertas interessantes. Por exemplo, a relação entre o comprimento de cordas, e os sons produzidos : As combinações de sons mais agradáveis ao ouvido pareciam associada a razões racionais simples entre o comprimento das cordas.

6 1. INTEIROS NATURAIS, RELATIVOS, NÚMEROS RACIONAIS 5 Os Gregos associavam os racionais aos comprimentos relativos de segmentos de reta. Essa associação fazia sentido para eles, que já conheciam o Teorema de Tales (VII A.C.). O sistema dos Pitagóricos entrou em crise com a descoberta de que a hipotenusa do triângulo retângulo isoceles de lado 1... não era um número (racional, mas eles não conheciam outros). Hoje em dia, chamamos esse comprimento de 2. Exercício 1. Prove que 2 não é racional. Se substituissemos os reais por racionais nos Teoremas do cálculo, os Teoremas seriam falsos. É impossivel fazer cálculo só com números racionais. Portanto, esses Teoremas devem estar baseados em alguma propriedade dos números reais. Veremos a seguir qual delas.

7 6 1. REVISÃO : CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL. 2. Os números reais. Para cada número racional, nos sabemos calcular a sua expansão decimal. Por exemplo, 1 3 = Também podemos calcular a sua expansão binária (em zeros e ums) : 1 11 b = b... Por simplicidade, utilizaremos nesta seção a notação decimal. Tudo o que vamos fazer aqui pode ser feito usando números binários (que correspondem à representação mais usada em computadores digitais). Exercício 2. Defina a soma de duas expansões decimais. Exercício 3. Defina a diferença de duas expansões decimais. Exercício 4. Defina o produto de duas expansões decimais. Exercício 5. Defina a razão de duas expansões decimais. Vamos considerar o conjunto de todas as expressões da forma a.b, onde a é um inteiro relativo, e b = b 1 b 2 b 3... é uma lista infinita de dígitos b i escolhidos entre 0 e 9. Ao trabalhar com expansões decimais (ou binárias), podem ocorrer alguns fatos desagradáveis : = = Por isso, vamos introduzir a convenção seguinte : duas expansões decimais representam o mesmo número real se e somente se a diferença entre elas é O conjunto R dos números reais é o conjunto das expansões decimais, com a convenção acima. Em particular: a.b 1 b 2... b n k = a.b 1 b 2... b n (k + 1) b... e a.9999 = a + 1. Vamos chamar esse conjunto de R +. Os conjuntos dos inteiros naturais, relativos, e dos números racionais são subconjuntos de R, da maneira óbvia. Um número real x é estritamente positivo (notação x > 0) se e somente se x pode ser representado por uma expansão decimal a.b 1 b 2... onde a 0 e algum b i 0. A relação < (menor que) pode ser definida em R assim : x < y Se e somente se existe n, com : y x > 0

8 2. OS NÚMEROS REAIS. 7 As relações > (maior), (menor ou igual), (maior ou igual), (diferente) podem ser definidas a partir de < e =. Nos ainda não mostramos que as operações aritméticas entre os números reais estão bem definidas (ou seja: se utilizando representações diferentes dos mesmos números, obtemos representações do mesmo resultado). Isso fica para mais tarde. Vamos primeiro conferir uma das mais importantes propriedades dos números reais : Seja A um sub-conjunto de R. (Por exemplo, o conjunto dos x tais que x 2 < 2). Uma cota superior de A é um real s, tal que para todo a de A, a s. No nosso exemplo, 1.5, 1.42 e (notação decimal) são cotas superiores de A. Existe uma cota superior de A que vai ser mais interessante para nos. No exemplo, é 2. Em geral, vai ser a menor cota superior de A. Definição 1. Um real s é um supremo do conjunto A se e somente se : s é uma cota superior de A. Se b < s, então b não é uma cota superior de A. Exercício 6. Prove que o supremo (se existir) é unico. Exercício 7. Rescreva a definição do supremo usando apenas os seguintes simbolos : (Para todo),, <, ˆ (e), (implica), (, ), alem de A, s, b, sup. Como existe (no máximo) um supremo, vamos falar no supremo, e escrever s = sup A. Nem todo conjunto dos reais precisa ter um supremo. Por exemplo, N é um sub-conjunto de R. Mas N não tem supremo, pois para qualquer real s, existe um inteiro natural n maior do que s. Vamos provar agora que todo conjunto dos reais que tem uma cota superior tem um supremo. Esse é que é o fato importantíssimo que nos permite fazer cálculo com números reais. No nosso exemplo, esse fato é suficiente para provar que 2 é real ; Exercício 8. Prove que (sup A) 2 = 2 Vamos agora ao Teorema : Teorema 1. Todo subconjunto A de R que admite uma cota superior admite um supremo. Prova : A é um conjunto de expressões da forma a.b. Assumimos que nenhuma dessas expressões acaba com uma sequência infinita de

9 8 1. REVISÃO : CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL. 9. Também assumimos sem perda de generalidade que A contem um número real positivo. Exercício 9. : Porquê? De todas as expressões a.b em A, existe um a que é o maior (Pois A tem uma cota superior! Portanto, se escolhemos qualquer a.b, existe um número finito de a > a, tal que existe alguma a.b em A). Como assumimos que A contem pelo menos um real positivo, segue-se que a 0). Agora consideramos o conjunto A 0 de todas as expressões a.b em A, com a assim escolhido. Olhando para todas as expressões a.b 1 b 2... em A 0, fixamos b 1 como sendo o maior b 1 que aparece em A 0. Chamamos de A 1 o conjunto de todos os a.b 1 b 2... em A 0, onde a e b 1 estão fixos. Da mesma maneira, podemos considerar todas as expressões a.b 1 b 2 b 3... em A 1, e fixar b 2 como sendo o maior b 2 que aparece em A 1. Chamamos de A 2 o conjunto de todos os a.b 1 b 2 b 3... em A 1, onde a, b 1 e b 2 estão fixos. Desta maneira, continuando sempre, obtemos uma sequência a.b 1 b 2 b 3... representando um certo número real s. Vamos provar nos exercicios que s é o supremo de A. Exercício 10. : Verifique que s cumpre a condição 1 da definição Exercício 11. : Verifique que s cumpre a condição 2 da definição Uma noção análoga ao supremo é a do ínfimo. Definição 2. Um real s é o ínfimo do conjunto A (s = inf A) se e somente se :

10 3. SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS REAIS. LIMITES. 9 s é uma cota inferior de A. Se b > s, então b não é uma cota inferior de A. Exercício 12. Prove o Teorema : Todo subconjunto A de R com cota inferior possui um ínfimo. Vale usar o Teorema do supremo na prova. Vamos definir agora rigorosamente as operações aritmeticas sobre os reais. Para cada real x = a.b, consideramos as aproximações decimais : x n = a.b 1... b n Essas aproximações são números racionais. Sabemos aplicar as operações aritméticas definidas sobre os racionais nos x n. Sejam x e y dois números reais positivos. Definimos : Seja x > 0. Então definimos : x + y = sup(x n + y n ) x y = sup(x n y n ) 1 x = inf 1 x n Exercício 13. Extenda essas definições a todos os reais Exercício 2. Prove que é impossivel enumerar os números reais. (i.e., que dada uma função f : N R, existe um real x que é diferente de f(n) para todo n). 3. Sequências de números reais. Limites. Uma sequência (x i ) i N de números reais é uma lista x 0, x 1, x 2,... de números reais. Tambêm pode ser definida como uma função, que a cada i N assocía um número de R. Sequências podem ser usadas para aproximar números reais por números mais fáceis de ser calculados ou escritos. Por exemplo, a sequência de aproximações decimais de 2 : x 0 = 1, x 1 = 1.4, x 2 = 1.41, x 3 = 1.414,... pode ser usada para aproximar 2. Se queremos aproximar 2 com uma precisão 10 k, podemos escolher o k-ésimo elemento da sequência. Essa sequência se aproxima de 2, no sentido seguinte : para cada precisão 10 k escolhida, a sub-sequência x k, x k+1 só contem números a distancia menor do que 10 k de 2. Nem toda sequência precisa aproximar um número real. Podemos fazer essa definição de aproximação mais precisa :

11 10 1. REVISÃO : CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL. Definição 3. L é o limite de x i (quando i tende para o infinito) se e somente se, para todo real ɛ > 0, existe um inteiro natural n com a seguinte propriedade : Se i n, então x i L < ɛ. Tambêm escrevemos assim : ou simplesmente : L = lim i x i L = lim i x i Exercício 14. Se o limite de uma sequência existir, então ele é único. Se uma sequência possui um limite, dizemos que a sequência é convergente. A definição acima pode ser escrita de maneira mais compacta : L = lim i x i ɛ > 0 R, n N, i n N, x i L < ɛ O símbolo pode ser lido : qualquer que seja. O símbolo significa existe. Uma paráfrase da linha acima sería : L é o limite de x i quando i tende para o infinito se e somente se para todo real ɛ > 0, existe um inteiro natural n tal que, para todo inteiro natural i n, é verdade que x i L < ɛ. Precisamente a definição anterior. Quando não existir ambiguidade, escreveremos também : ɛ > 0, n, i n, x i L < ɛ entendendo, na formula acima, que ɛ representa um real e que i e n representam inteiros. Exercício 15. E possivel mudar a ordem de e? Justifique. Exercício 16. Escreva, usando and, uma definição para L lim i x i. Exercício 17. Escreva uma paráfrase para a seguinte definição : lim x i = M > 0 R, n N, i n N, x i > M i Exercício 18. Seja (x i ) uma sequência convergente, com x i [a, b]. será que lim x i [a, b]? Justifique. Exercício 19. Seja (x i ) uma sequência convergente, com x i (a, b). será que lim x i (a, b)? Justifique.

12 4. CONTINUIDADE. 11 Exercício 20. Uma sequência de Cauchy é uma sequência (x i ) com a seguinte propriedade : δ > 0, n N, i, j n, x i x j < δ Prove que toda sequência convergente é de Cauchy. Exercício 21. Prove que a sequência de aproximações decimais de um real é uma sequência de Cauchy. Exercício 3. Seja x i uma sequência de Cauchy. Para todo inteiro natural k, fazemos δ = 2 k na definição da sequência de Cauchy. Seja então o n da definição. Escrevemos : y k = x n 2 k+1 Prove que y k+1 > y k. Prove que o conjunto dos y k admite uma cota superior. Seja s = sup y k. Mostre que s = lim y k. Prove que também : s = lim x i. Conclua que toda sequência de Cauchy é convergente. Exercício 4. Seja (x i ) uma sequência, com x i [0, 1]. Prove que x i tem uma sub-sequência de Cauchy. Indicação : divida o intervalo em duas partes iguais. Prove que pelo menos uma dessas partes possui uma infinidade de x i s. Escolha um desses x i, e chame de x i1. Subdivida esse sub-intervalo em dois, e continue o mesmo procedimento. Prove que a sub-sequência x ij é de Cauchy. Conclua que toda sequência definida em um intervalo fechado [a, b] possui uma sub-sequência convergente para um ponto de [a, b]. Exercício 5. Será que toda sequência definida em um intervalo aberto (a, b) tem uma sub-sequência convergente para um ponto de (a, b)? De [a, b]? Justifique. 4. Continuidade. Seja f uma função de R em R. A cada número real, f assocía um número real f(x). Vamos fixar um certo real x 0, e escreveremos assim : y = lim x x0 f(x) δ > 0, ɛ > 0, x x 0, x x 0 < ɛ f(x) y < δ No caso, y (se existir) é o limite de f(x) quando x tende a x 0. Exercício 22. Prove que se o limite existir, então é único. Exercício 23. Defina lim x f(x)

13 12 1. REVISÃO : CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL. O dominio de uma função f pode não ser toda a reta dos reais. Por exemplo, no caso f(x) = 1, o domínio é a reta menos o ponto 0. x Vamos escrever Domf para o domínio de f. Exercício 24. As funções f(x) = 1 e f(x) = x x Justifique. Podemos definir em geral : Definição 4. são iguais? y = lim x x0 f(x) δ > 0, ɛ > 0, x Domf {x 0 }, x x 0 < ɛ f(x) y < δ Definição 5. Dizemos que uma função f é contínua em x 0 Domf se e somente se lim x x0 f(x) existe, e é igual a f(x 0 ). Definição 6. Uma função f é contínua em um sub-conjunto de seu domínio se e somente se para todo ponto x 0 desse sub-conjunto, f é contínua em x 0. Ela é contínua se e somente se ela é contínua em todo o seu domínio. Definição 7. O domínio de continuidade de uma função f é o conjunto de pontos x 0 Domf nos quais f é contínua. Exercício 25. Prove que a função { 0 Se x = 0 f(x) = sin( 1) senão. x não é contínua. Exercício 26. Prove que a função { 0 Se x = 0 f(x) = x sin( 1) senão. x é contínua. Exercício 27. Qual é o domínio de continuidade das seguintes funções? (não precisa justificar) : (1) cos x (2) senx (3) tan x (4) cotanx (5) log x (6) e x (7) x5 4x 4 +13x 3 12x 2 +17x+37 x 2 5x+4

14 5. O TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO. 13 Exercício 28. Seja f(x) uma função contínua definida na reta, com f(x) 0 para x < 0 e f(x) 0 para x > 0. Prove que f(0) = O Teorema do Valor Intermediário. A cada função real f, podemos associar o gráfico de f, que é o conjunto dos pontos do plano da forma (x, f(x)). Se a função f é contínua em toda a reta, então o gráfico de f é uma linha, que pode ser traçada sem se levantar o lapis da folha (ou o giz do quadro). Se a função for contínua em um intervalo, então a parte correspondente do gráfico também pode ser traçada sem levantar o lapis da folha. Por isso, o seguinte Teorema é muito natural : Teorema 2 (do valor intermediário). Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. Se f(a) < y 0 < f(b), então existe x 0 no intervalo aberto (a, b) tal que y 0 = f(x 0 ) Prova : Seja A o sub-conjunto de [a, b] composto dos pontos x tais que f(x) < y 0. Como f(a) < y, o conjunto A não é vazío. Alem disso, A admite uma cota superior (no caso, b é uma cota superior de A). Portanto, A tem um supremo, que vamos chamar de x 0. Vamos mostrar que f(x 0 ) = y 0. Primeiro vamos mostrar que f(x 0 ) y 0. Para isso, podemos assumir que f(x 0 ) > y 0. Nesse caso, seja δ = f(x 0) y 0. Pela continuidade 2 de f em x 0, existe ɛ tal que x x 0 < ɛ implica que f(x) f(x 0 ) < δ. Em particular, x x 0 < ɛ implica que f(x) > y 0. Mas então, o ponto x 0 ɛ é uma cota superior de A. Isso contradiz a condição 2 2 da definição do supremo. Segue-se que f(x 0 ) y 0, como haviamos anunciado.

15 14 1. REVISÃO : CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL. Agora vamos mostrar que f(x 0 ) y 0. Vamos supor o contrário : f(x) < y 0. Então fazemos δ = y 0 f(x 0 ). De novo, por causa da 2 continuidade de f em x 0, existe ɛ tal que x x 0 < ɛ implica que f(x) f(x 0 ) < δ. Em particular, x x 0 < ɛ implica que f(x) < y 0. Mas então, o ponto x 0 + ɛ não pertence a A, e x 2 0 não é uma cota superior para A. Isso contradiz a condição 1 da definição do supremo. Portanto, f(x 0 ) y 0. Assim, só podemos ter : f(x 0 ) = y 0. Isso prova o Teorema. Exercício 29. Seja f uma função contínua na reta, tal que f(x) tende a infinito quando x tende a infinito e f(x) tende a menos infinito quando x tende a menos infinito. Prove que para todo real y, existe x tal que f(x) = y. Exercício 6. Seja f uma função contínua em [a, b], e seja s = sup x [a,b] f(x). Prove que existe ˆx [a, b] tal que f(ˆx) = s. Indicação : Mostre que existe uma sequência x i em [a, b] tal que lim f(x i ) = s. Verifique que x i tem uma sub-sequência convergente x ij, com lim f(x ij ) = s. Seja ˆx = lim f(x ij ). Conclua. 6. A derivada. Seja f uma função contínua em um ponto x 0, e definida em um intervalo contendo x 0. Escrevemos : f f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim x x0 x x 0 quando esse limite existir. Tambêm podemos escrever, de maneira equivalente : f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim h 0 h

16 6. A DERIVADA. 15 O valor f (x 0 ) é chamada de derivada de f em x 0. A derivada é também o coeficiente diretor da reta tangente a gráfico de f em (x 0, f(x 0 )). A equação da reta tangente é : y f(x 0 ) = (x x 0 )f (x 0 ) O domínio de derivabilidade de f é o conjunto de pontos x do domínio de f onde f (x) está definida. A derivada pode ser considerada como uma função de x, que a cada x associa o valor f (x). Assim, podemos falar da continuidade de f, da derivada de f (que chamamos de derivada segunda, e escrevemos f ), etc... Exercício 30. Calcule, da definição, as derivadas das seguintes funções : (1) 1 (função constante) (2) x (3) x 2 (4) x n Exercício 31. Calcule a função derivada de 5x 7 3x 3 + x 1 Exercício 32. Calcule a derivada da função : { x 2 Se x 0 f(x) = x 2 Se x 0 A função f é contínua? Ela é derivável? Justifique. Existem outras notações para a derivada. Podemos escrever, por exemplo, para f (x 0 ) : d dx x=x 0 f ou : d dx f(x 0) A notação d significa que se está derivando em relação à variável x. dx Por exemplo, consideremos a função f(x, y) = x 2 + 3xy + 2y 4. Essa função associa um número a cada par de reais (x, y). Mas podemos fixar um valor de y, e considerar que f é uma função de x. Nesse caso : d f(x, y) = 2x + 3y dx Mas também podemos fixar x e considerar que f é uma função de y : d f(x, y) = 3x + 2 dy

17 16 1. REVISÃO : CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL. De qualquer maneira, a notação d f só faz sentido se primeiro convencionarmos que f é função de uma certa variável x ; Já a notação dx f (x) só faz sentido se f é uma função de uma variável, ou se está claro em relação a que variável estamos derivando. Existe ainda outra notação. Esta notação não é muito útil quando se trabaha com uma variável apenas. Mas é a que melhor pode ser generalizada para o caso de dimensão mais alta. A ideia é a seguinte : a cada ponto x 0, associamos uma função linear Df x0 : Df x0 (h) = f (x 0 )h Podemos associar h a x x 0 na equação da reta tangente. E podemos ver Df x0 (h) como y f(x 0 ) na equação da reta tangente. A função Df x0 é uma função linear da reta na reta. Mas de qual reta em qual reta? É só trocarmos coordenadas. A função Df x 0 está definida na reta dos x, com a origem deslocada para x 0. Os seus valores são elementos da reta dos y, mas com a origem da reta em y 0 = f(x 0 ). No caso de funções da reta na reta, funções lineares são caracterizadas por um só número. No nosso caso, por f(x 0 ). Se tivermos que lidar com mais variáveis, funções lineares são representadas por matrizes. Por isso, veremos mais tarde que uma boa maneira de se pensar em derivadas é mesmo dessa forma, como matrizes. Exercício 33. Seja g uma função derivável em x, e tal que x é o máximo de f no intervalo (x ɛ, x + ɛ). Prove que g (x) = 0.

18 7. REGRAS DE DERIVAÇÃO Regras de derivação Existem vários teoremas que tornam muito mais fácil o cálculo de derivadas. Teorema 3 (Regra da Cadeia). Seja f derivável em x e seja g derivável em f(x). Então a função composta h(x) = (g f)(x) = g(f(x)) é derivável em x, e a sua derivada é : h (x) = g (f(x))f (x) Prova : Por definição, h g(f(x + h)) g(f(x)) (x) = lim h 0 h Pela definição da derivada de f, para todo δ > 0, se h for suficientemente pequeno, f(x + h) f(x) hf (x) < hδ Escrevemos ɛ = f(x+h) f(x) hf (x) h. ɛ depende de h, mas sempre ɛ δ. Agora escrevemos : h g(f(x) + hf (x) + hɛ) g(f(x)) (x) = lim h 0 h Isso é equivalente a : h g(f(x) + hf (x) + hɛ) g(f(x)) (x) = lim h 0 hf (x) + hɛ hf (x) + hɛ h Quando h tende a zero, hf (x) + hɛ também tende a zero. Por isso, escrevendo ĥ = hf (x) + hɛ, temos : h (x) = lim ĥ 0 g(f(x) + ĥ) g(f(x)) f (x) + ɛ = g (f(x)) lim ĥ 0 f (x) + ɛ ĥ Pela definição, ɛ depende de h. Mas ɛ < δ, e δ é arbitrariamente pequeno. Por isso, h (x) == g (f(x))f (x) Que era o que queriamos provar. Na outra notação, a regra da cadeia se escreve de maneira um pouco mais elegante : Dh x = Dg f(x) Df x Esta notação tem a vantagem de que pode ser generalizada para dimensão mais alta, com fórmulas mais compactas. Teorema 4. Se f e g são deriváveis em x, então :

19 18 1. REVISÃO : CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL. f é derivável em x, e a derivada é f (x) f + g é derivável em x, e a derivada é f (x) + g (x) f g é derivável em x, e a derivada é f (x)g(x) + f(x)g (x) Se f(x) 0, 1 f é derivável em x, e a derivada é f (x) (f(x)) 2 Exercício 34. Prove o Teorema acima. Função Outras derivadas : Derivada Domínio de derivabilidade x k, k R, k 0 kx k 1 R ou R {0}, caso x < 0 1 log(x) x > 0 x e x e x R cos(x) sen(x) R sen(x) cos(x) R 8. Teorema do Valor Médio. O teorema do valor médio é um dos teoremas mais importantes do cálculo de uma variável. Mais tarde, veremos a generalização ao caso de várias variáveis. O teorema do valor médio pode ser interpretado da seguinte maneira. Seja um ponto x(t) andando na reta, para a t b. Segundo o teorema, existe ˆt (a, b) tal que a velocidade instantánea f (ˆt) é igual à velocidade média f(b) f(a). b a Para provar esse teorema, vamos primeiro provar um teorema mais simples, caso particular deste. Nosso ponto sai do ponto 0 e acaba o movimento no ponto 0. Vamos provar que em algum momento ˆt, nosso ponto precisou parar (i.e. f (ˆt) = 0).

20 8. TEOREMA DO VALOR MÉDIO. 19 Teorema 5 (Rolle). Seja g uma função contínua em [a, b], derivável em (a, b), e tal que g(a) = g(b) = 0. Então existe ˆx (a, b), com g (ˆx) = 0. Prova : Se g é constante, então não temos mais nada a provar. Vamos considerar que existe um x (a, b) tal que g(x) > 0. Podemos fazer isso sem perda de generalidade, pois do caso contrário consideramos a função g. Seja s = sup x (a,b) g(x). Pelo que foi convencionado acima, s > 0. Como g é contínua em [a, b], existe ˆx [a, b] com g(ˆx) = s. Já que g(a) = g(b) = 0, ˆx (a, b). Portanto, g é derivável em ˆx. Já que g atinge o seu máximo em ˆx, g (ˆx) = 0. Era o que queriamos demonstrar. Agora podemos provar o : Teorema 6 (do Valor Médio). Seja f uma função contínua em [a, b], derivável em (a, b). Então existe x 0 (a, b), com : f (x 0 ) = f(b) f(a) b a Prova : Considere o Teorema de Rolle, aplicado à função : g(x) = f(x) f(a) x a (f(b) f(a)) b a Então existe x 0 com g (x 0 ) = 0. Mas : g (x 0 ) = f (x 0 ) f(b) f(a) b a Portanto, f (x 0 ) = f(b) f(a), que era o que queriamos provar. b a

21 20 1. REVISÃO : CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL. 9. A integral A integral de uma função f é a área contida embaixo do gráfico de f. Escrevemos : b a f(x)dx A área contida entre o eixo dos x e o gráfico de f, na faixa a x b. Tambêm escrevemos : f(x)dx [a,b] Mas nos ainda não definimos o que seriía uma área. De fato, a definição correta de área é pela integral. Então precisamos definir a integral de outra maneira... Uma partição P de [a, b] é um conjunto de segmentos P α, contidos em [a, b], tal que : A união de todos esses segmentos é o segmento [a, b] A interseção de dois desses segmentos é vazia ou é um ponto. O raio dessa partição é o tamanho sup P α do maior dos segmentos dessa partição P. A cada partição P, associamos a soma superior : S(P, f) = P α sup f(x) x P α P α P A soma superior é a área de um polígono contendo a região dos pontos (x, y) com a x b, y [0, f(x)]. Esse polígono é uma união de retângulos. Tambêm podemos definir a área inferior :

22 9. A INTEGRAL 21 s(p, f) = P α P P α inf x P α f(x) Podemos também considerar (se existir) S(ɛ, f) o supremo de todas as S(P, f) para partições de raio ɛ. Podemos considerar o infimo s(ɛ, f) das somas inferores s(p, f) para partições de raio ɛ (se existir). Se esses números S(ɛ, f) e s(ɛ, f) existirem para ɛ suficientemente pequeno. E se lim ɛ 0 S(ɛ, f) e lim ɛ 0 s(ɛ, f) existirem, e forem iguais, nesse caso, dizemos que f é integrável em [a, b]. A integral é definida por : f(x)dx = lim S(ɛ, f) = lim s(ɛ, f) ɛ 0 ɛ 0 [a,b]

23 22 1. REVISÃO : CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL. Existem definições mais gerais da integral. Neste texto, consideraremos apenas a definição acima, que será extendida para o caso de várias variáveis. 10. Teorema Fundamental do Cálculo. O Teorema Fundamental do Cálculo nos dá a relação entre integral e derivada. Primeiro, começamos com uma observação. Se F é uma função derivável, definida em um intervalo [a, b], então F é única. Quais as funções G tais que G = F = f? F certamente cumpre essa condição. Mas se c é uma constante, F (x) + c também cumpre a condição. Se G verifica G = F, então G F é zero, e portanto G F é constante. Acabamos de provar que o conjunto das soluções de G = F é o conjunto das fnções F + c, onde c é uma constante. Essas funções são chamadas de primitivas de f = F. Vamos mostrar agora que Teorema 7 (Fundamental do Cálculo). Se f é uma função integrável no intervalo [a, b], e se F é uma primitiva de f, então : f(x)dx = F (b) F (a) [a,b] Prova : Vamos usar a definição da integral. Seja P uma partição de [a, b], em intervalos [P i, P i+1 ]. Podemos escrever F (b) F (a) como : F (b) F (a) = i F (P i+1 ) F (P i ) Pelo Teorema do Valor Médio (já que F é derivável!) existem x i (P i, P i+1 ) com : F (P i+1 ) F (P i ) = (P i+1 P i )F (x i ) = (P i+1 P i )f(x i ) Portanto, F (b) F (a) = (P i+1 P i )f(x i ) i Sejam S(f, P ) e s(f, P ) as somas superior e inferior de f subordinadas à partição P.. Então, usando inf x [Pi,P i+1 ] f(x) f(x i ) sup x [Pi,P i+1 ] f(x), obtemos : s(f, P ) F (b) F (a) S(f, P )

24 Portanto, para cada ɛ > 0 : Como f é integrável, 11. REGRAS DE INTEGRAÇÃO 23 s(f, ɛ) F (b) F (a) S(f, ɛ) lim s(f, ɛ) = lim S(f, ɛ) ɛ 0 ɛ 0 e esse limite só pode ser igual a F (b) F (a), o que prova o Teorema. Não existem. 11. Regras de integração Existem apenas alguns truques. Por exemplo, conhecemos primitivas de algumas funções... Exercício 35. Calcule primitivas das seguintes funções : (1) 1 (2) x (3) x 2 (4) x 7 (5) cos x (6) senx (7) sen3x (8) 1 + x + x 2 + x 7 + cos x + senx + sen3x Conhecendo as primitivas, é possivel calcular as integrais pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Exercício 36. Calcule as integrais : (1) 1 1dx 0 (2) 2 x 0 (3) 1 0 x2 (4) 2 1 x7 (5) π cos x 0 (6) π senx 0 (7) π sen3x 0 (8) x + 1 x2 + x 7 + cos x + senx + sen3x Não existe regra da cadeia para integração. Mas é possível, em certos casos, reconhecer a derivada de uma função composta pela regra da cadeia : onde for possível reconhecer algo da forma f (x)g(f(x)), pode dar para integrar : Exercício 37. Calcule as integrais :

25 24 1. REVISÃO : CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL. (1) 0 (6x + 15) 4 cos(x2 + 5x + 4) (2) e sen(log x) 1 x Outro truque é a mudança de variável de integração : Teorema 8. g(b) f(x)dx = b g(a) a f(g(y))g (y)dy Exercício 7. Prove o Teorema, usando a definição da integral. Exercício 38. Calcule : e 1 cos log x sen log xdx Existem outros truques. Lamentávelmente, não existe regra do produto para integrais. O que há de mais próximo é : Exercício 39. Integração por partes : Prove que : b a f gdx + b Use esse resultado para calcular : a fg dx = f(b)g(b) f(a)g(a) e 1 x 2 log xdx 12. Teorema de Taylor Teorema 9 (Taylor). Seja f uma função k vezes derivável em uma vizinhança do ponto a. Então : f(a+h) = f(a)+hf (a)+ h2 2 f (a)+ h3 3! f (a)+ + hk k! f (k) (a)+h k r(h) Onde : lim h 0 r(h) = 0. Prova : Pelo Teorema do Valor Médio, o Teorema é verdade para k = 1. Vamos provar que se ele é verdade para um certo k, então ele é verdade para k + 1. De fato, seja f uma função k +1 vezes derivável. Então f é k vezes derivável, e por indução : f (a+h) = f (a)+hf (a)+ h2 2 f (a)+ h3 3! f (4) (a)+ + hk k! f (k+1) (a)+h k r(h)

26 h 12. TEOREMA DE TAYLOR 25 Agora escrevemos, usando o Teorema Fundamental do Cálculo : É fácil calcular : 0 f(a + h) = f(a) + h 0 f (a + ĥ)dĥ f (a) + ĥf (a) + ĥ2 2 f (a) + ĥ3 3! f (4) (a) + + ĥk k! f (k+1) (a)dĥ = = hf (a) + h2 2 f (a) + h3 3! f (a) + + hk+1 k + 1! f (k+1) (a) Tambêm temos : h Definimos portanto : 0 k ĥ r(ĥ)dĥ h k+1 sup ˆr(h) = ĥ [ h,h] sup r(ĥ) ĥ [ h,h] r(ĥ) Como r(h) tende a 0, lim ˆr(h) = 0. E portanto, podemos escrever : f(a+h) = f(a)+hf (a)+ h2 2 f (a)+ h3 3! f (a)+ + hk k! f (k) (a)+h k+1ˆr(h) O que prova que o Teorema de Taylor vale para k + 1. Assim, concluímos que o Teorema vale para todo k. Exercício 40. Prove que se f é k vezes derivável em a, e f (a) = f (a) = = f (k 1) (a) = 0, mas f (k) (a) 0, então : (1) Se k é par, e f (k) (a) > 0, então a é um mínimo local de f. (2) Se k é par, e f (k) (a) < 0, então a é um máximo local de f. (3) O que acontece se k é ímpar? Exercício 41. Estude e trace os gráficos das seguintes funções : (1) cos x (2) senx (3) tan x (4) log x (5) e x (6) 2x 3 15x x 6 Justifique. Exercício 42. : Ache os máximos e mínimos locais de (x 1) 2 x 3 (x+ 1) 4. Existe um ponto de inflexão? O que acontece quando x vai para +? Para? Desenhe o gráfico de f.