VIVIANE DA SILVA STELLET PEREIRA

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1 UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA VIVIANE DA SILVA STELLET PEREIRA CADERNO DE ATIVIDADES CRIPTOGRAFIA NO ENSINO DE FUNÇÕES VASSOURAS 2012

2 VIVIANE DA SILVA STELLET PEREIRA Caderno de atividades Criptografia no ensino de funções Parte integrante da dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação Stricto Sensu Mestrado Profissional em Educação Matemática da Universidade Severino Sombra, como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Educação Matemática. Área de Concentração: Educação Matemática. Linha de Pesquisa: Organização Curricular Matemática e Formação de Professores. Orientadores: Profº Dr. Ilydio Pereira de Sá e Profª Drª Ana Maria Severiano de Paiva Vassouras 2012

3 LISTA DE FIGURAS Nº TÍTULO PÁGINA 1 Modelo de ficha do grupo de atividades Modelo de ficha do grupo de atividades Modelo de ficha do grupo de atividades Modelo de ficha do grupo de atividades Modelo de ficha do grupo de atividades Modelo de ficha preenchida do grupo de atividades Modelo de ficha do grupo de atividades Modelo de ficha do grupo de atividades Modelo de ficha do grupo de atividades Modelo de ficha do grupo de atividades Modelo de ficha do grupo de atividades Modelo de ficha do grupo de atividades Modelo de ficha do grupo de atividades Modelo de ficha do grupo de atividades Modelo de ficha do grupo de atividades Modelo de ficha do grupo de atividades Modelo de ficha do grupo de atividades Modelo de ficha do grupo de atividades Modelo de ficha do grupo de atividades 4 19

4 LISTA DE QUADROS Nº TÍTULO PÁGINA 1 Decodificação 11 2 Codificação 14 3 Codificação e Decodificação 18

5 SUMÁRIO INTRODUÇÃO 06 1 ATIVIDADE 1 Apresentação do tema Criptografia Justificativa Objetivo Descrição da atividade 08 2 ATIVIDADE 2 Função Afim Objetivo Descrição da atividade 12 3 ATIVIDADE 3 - Função Quadrática Objetivo Descrição da atividade 15 4 ATIVIDADE 4 Função exponencial Objetivo Descrição das atividades 17 CONSIDERAÇÕES FINAIS 20 BIBLIOGAFIA 21 REFERÊNCIA 21

6 APRESENTAÇÃO Este caderno é parte integrante da Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Gradução Stricto Sensu Mestrado Profissional em Educação Matemática da Universidade Severino Sombra (USS), intitulada Ensino de Funções: Uma Abordagem Contextualizada do Tratamento da Informação no Ensino Médio. Este caderno é um material de apoio que disponibilizamos aos professores de matemática que trabalham no Ensino Médio e aos estudantes dos cursos de Licenciatura em Matemática. De forma concisa, este caderno traz orientações e sugestões para o uso das atividades realizadas durante o período de pesquisa para a dissertação de mestrado, com o objetivo de subsidiar o trabalho do professor em sala de aula, primando por uma aprendizagem contextualizada e significativa. As atividades aqui propostas foram aplicadas em turmas do Ensino Médio do Colégio Estadual Barão de Macaúbas, localizado no município de São Fidélis, interior do estado do Rio de Janeiro: uma turma de primeiro ano, com 21 alunos, e uma turma de segundo ano, com 20 alunos. Estas atividades balizam-se na Teoria da Aprendizagem Significativa de Ausubel e na Teoria da Atividade de Leontiev, através de estratégia lúdica que estimula a curiosidade do aluno e lhe permite transitar por diferentes representações matemáticas, além de ajudá-lo na construção e/ou aprimoramento do conceito de função. De acordo com a Teoria da Atividade de Leontiev, as atividades humanas diferem por diversas razões como vias de realização e tensão emocional; mas o que realmente diferencia uma atividade de outra é seu objeto, ou seja, o objeto da atividade é seu motivo real. Nas atividades deste caderno usando a criptografia como recurso, constatamos os três componentes descritos por Leontiev: necessidade, objeto e motivo que são componentes estruturais da atividade. A metodologia utilizada foi de caráter qualitativo, apoiada nos experimentos de ensino, por meio de observações de aulas e atividades matemáticas auxiliadas pela criptografia que pode servir como excelente recurso nas aulas de Matemática, tornandoas mais prazerosas.

7 Concordamos com Vygotsky (1997), quando ele diz que a aprendizagem deve ser um processo envolvente para o aluno, que constrói, enriquece e diversifica esquemas de conhecimento já internalizados, a respeito de diferentes conteúdos a partir dos significados e do sentido que pode atribuir a esses conteúdos e ao próprio fato de aprendê-los. Esperamos que esse caderno contribua para que os professores de matemática visualizem o potencial didático da criptografia, temática do eixo Tratamento das Informações, e que apresenta material útil para o entendimento de importantes conteúdos matemáticos, como funções, podendo tornar as aulas de Matemática mais dinâmicas e motivadoras. Como recurso didático, esse tema pode colaborar para o desenvolvimento do raciocínio lógico e da criatividade dos alunos da Educação Básica. Caso tenham se interessado por esse assunto, você poderá pesquisar em nossa dissertação de mestrado, disponível na biblioteca da USS, em Vassouras, Rio de Janeiro, no sítio ou ainda entrando em contato pelo endereço vss26@ig.com.br. 1 ATIVIDADE 1 Apresentação do tema Criptografia Com o primeiro grupo de atividades, objetiva-se apresentar o tema criptografia, mostrar a relação entre codificar e decodificar uma mensagem e favorecer o reconhecimento de uma função. Após apresentar o tema criptografia, estabelecendo relação entre a codificação e a decodificação, os alunos podem ser divididos em grupos, compostos por quatro alunos em cada um deles, para realização das atividades. A realização das atividades em grupo favorece a interação entre os alunos. 1.1 Justificativa Se professor e alunos se defrontam com sentenças, regras e símbolos matemáticos sem que nenhum deles consiga dar sentido e significado a tal simbologia, constatamos que a escola continua a negar ao aluno e através da criptografia é possível favorecer uma aprendizagem significativa. Por meio do diálogo, é possível conquistar a

8 turma e a discussão gerada sobre codificar/decodificar mensagens contribui para que os alunos apropriarem-se do conhecimento. 1.2 Objetivo O objetivo consiste em apresentar o tema criptografia e que a palavra função seja pronunciada espontaneamente entre os alunos, após observarem as associações realizadas e que as chaves representavam a lei de formação da função. Esse reconhecimento talvez só apareça com a intervenção do professor, induzindo a questionamentos, de modo a que eles tenham suporte para fazer as ligações necessárias. Esses questionamentos podem envolver situações do cotidiano como, por exemplo, o preço que se paga na compra de n pães está associado à quantidade de pães. 1.3 Descrição da Atividade Sugerimos que essa atividade para trabalhar com o conteúdo sobre funções, utilizando códigos, seja preparada na forma de fichas. Cada grupo de fichas com graus de dificuldades diferenciados. A intenção é apresentar gradativamente o conteúdo sobre funções e as fichas nos orientam passo a passo no desenvolvimento da proposta. FICHA 1-A Com base no quadro abaixo, codifique a mensagem A vida é bela. utilizando a chave avance três casas a) Associação à sequência numérica b) Mensagem codificada: Figura 1 - Modelo de ficha do grupo de atividades 1 Esse modelo de ficha a chave usada para codificar e/ou decodificar a mensagem estava na linguagem corrente e não na linguagem matemática.

9 Exemplos de outras fichas que podem ser usadas nesta atividade: FICHA 1-B Com base no quadro abaixo, codifique a mensagem Os números governam o mundo utilizando a chave dobre a posição ocupada e avance uma casa a) Associação à sequência numérica: b) Mensagem codificada: Figura 2 Modelo de ficha do grupo de atividades 1 FICHA 1-C Com base no quadro abaixo, codifique a mensagem A vida é bela. utilizando a chave avance três casas a) Associação à sequência numérica b) Mensagem codificada: Figura 3 Modelo de ficha do grupo de atividades 1 FICHA 1-D Com base no quadro abaixo, codifique a mensagem A vida é bela. utilizando a chave avance três casas a) Associação à sequência numérica b) Mensagem codificada: Figura 4 Modelo de ficha do grupo de atividades 1

10 FICHA 1 Com base no quadro abaixo, codifique a mensagem Viver é preciso. utilizando a chave o oposto da posição ocupada acrescido de dez a) Associação à sequência numérica b) Mensagem codificada: Figura 5 Modelo de ficha do grupo de atividades 1 Ao receber uma ficha, os alunos a preenchem, associando cada letra da mensagem à sequência numérica, para depois codificá-la usando a chave. FICHA 1-A Com base no quadro abaixo, codifique a mensagem A vida é bela. utilizando a chave avance três casas a) Associação à sequência numérica: b) Mensagem codificada: D-WLGD-H-EHOD Figura 6 - Modelo de ficha preenchida do grupo de atividades 1 Ao enviar a mensagem D-WLGD-H-EHOD para seu destinatário, como ele deveria proceder para encontrar a mensagem original?

11 Mensagem recebida: D-WLGD-H-EHOD Associação à sequência numérica: Recuando três casas: Mensagem original: A VIDA É BELA QUADRO 1: Decodificação Podem ser distribuídas, uma a uma, quatro fichas ou mais no modelo da FICHA 1. O professor deve estar atento que não há símbolo para caracteres como acento e nem para o espaço de uma palavra para outra. Então é conveniente que a mensagem seja enviada com um traço separando uma palavra da outra como apresentada no quadro 1. Após os grupos de alunos terem codificado e decodificado diferentes mensagens com diferentes chaves, propomos ao professor a intervir com perguntas: Cada letra está associada a um número? Existem letras associadas ao mesmo número? O que esse tipo de associação nos lembra? É possível representar com diagramas: associação à sequência numérica e mensagem codificada? Seria possível escrever todas as chaves que utilizamos até agora na linguagem matemática? como: Também podem ser discutidas com os alunos idéias relacionadas às funções, Ideia intuitiva de função como correspondência, transformação e dependência. Domínio e imagem. Observação de leis ou regras. É interessante levantar uma discussão quando o número passar do 26, de forma que os alunos percebam que precisarão voltar ao início da sequência.

12 2 ATIVIDADE 2 - Função Afim Com o processo de codificação/decodificação dominado pelos alunos, através das fichas trabalhadas na atividade 1, onde as chaves estavam na linguagem corrente, o professor pode distribuir fichas com mensagens e chaves diferentes. Entretanto, todas as chaves sendo funções afins. 2.1 Objetivo O objetivo consiste em trabalhar o conceito de função afim através dos códigos, visando uma aprendizagem contextualizada e significativa favorecendo o diálogo. 2.2 Descrição da Atividade Distribuir aos alunos fichas como no modelo da FICHA 2. FICHA 2-A Com base no quadro abaixo, codifique a mensagem FELICIDADE, utilizando a função cifradora: f(x) = x + 1. a) Associação à sequência numérica: b) Mensagem codificada: Figura 7 Modelo de ficha do grupo de atividades 2 Neste momento, propomos que sejam discutidos: Domínio de uma função Imagem de uma função Função inversível.

13 Modelos de outras fichas que podem ser usadas nesta atividade: FICHA 2-B Com base no quadro abaixo, codifique a mensagem MATEMÁTICA, utilizando a função cifradora: f(x) = 3x - 5. a) Associação à sequência numérica: b) Mensagem codificada: Figura 8 Modelo de ficha do grupo de atividades 2 FICHA 2-C Com base no quadro abaixo, codifique a mensagem GEOMETRIA, utilizando a função cifradora: f(x) = 2x-1. a) Associação à sequência numérica: b) Mensagem codificada: Figura 9 Modelo de ficha do grupo de atividades 2 FICHA 2-C Com base no quadro abaixo, codifique a mensagem GEOMETRIA, utilizando a função cifradora: f(x) = 2x-1. a) Associação à sequência numérica: b) Mensagem codificada: Figura 10 Modelo de ficha do grupo de atividades 2

14 O professor pode utilizar o quadro de giz ou quadro branco para representar as funções cifradoras e decifradoras utilizando diagramas. Essa representação contribuirá para que o aluno perceba o processo de codificação e decodificação. Mas, para que a representação somente por diagramas não crie obstáculos para futuras observações, é interessante propor diferentes representações que é possível realizar para uma função (além da representação em diagramas supracitada), como por exemplo, utilizando o plano cartesiano. O professor pode levar papel milimetrado para sala de aula para fazer as representações utilizando o plano cartesiano. CHAVE: FELICIDADE FUNÇÃO CIFRADORA: f(x) = x + 1 Associação à sequência numérica: Mensagem Codificada: GFMJDJEBEF QUADRO 2 : Codificação Assim formamos os pares (6, 7), (5, 6), (12, 13), (9, 10), (3, 4), (4, 5), (1, 2), (5,4) e ao fazer a representação no plano cartesiano teremos um gráfico com 8 pontos. É possível questionar aos alunos: Devemos ligar os pontos? Em que situação ligamos os pontos? Neste momento da atividade discutir sobre a importância de determinar o domínio de uma função e sobre o fato de a mesma lei de formação de uma função, mas com diferentes domínios, gerarem gráficos distintos.

15 3 ATIVIDADE 3 Função Quadrática 3.1 Objetivo O objetivo consiste em trabalhar o conceito de função quadrática através dos códigos visando uma aprendizagem contextualizada e significativa. 3.2 Descrição da atividade Distribuir aos alunos fichas no modelo da FICHA 3. FICHA 3-A Com base no quadro abaixo, codifique a mensagem FACE, utilizando a função cifradora: f(x) = x 2 + x + 1. a) Associação à sequência numérica: b) Mensagem codificada: Figura 4 Modelo de ficha do grupo de atividades 3 Figura 11 Modelo de ficha do grupo de atividade 3 Ao serem entregues as fichas no modelo da FICHA 3, é interessante que sejam discutidas questões como: Domínio de uma função Imagem de uma função Em quais condições a função quadrática é inversível? E se restringir o domínio? Quais propriedades que uma função f deve satisfazer para admitir a função inversa? Toda função é inversível? As funções que nos serviram de chaves são inversíveis? Desse modo, o professor pode buscar formalizar alguns conceitos matemáticos como o de função inversa, por exemplo.

16 Exemplos de outros modelos de fichas que podem ser usados nesta atividade: FICHA 3-B Com base no quadro abaixo, codifique a mensagem CRITIVIDADE, utilizando a função cifradora: f(x) = x 2 - x + 2. a) Associação à sequência numérica: b) Mensagem codificada: Figura 12 Modelos de fichas do grupo de atividade 3 FICHA 3-C Com base no quadro abaixo, codifique a mensagem ARITMÉTICA, utilizando a função cifradora: f(x) = 2x 2-8. a) Associação à sequência numérica: b) Mensagem codificada: Figura 13 Modelo de ficha do grupo de atividades 3 FICHA 3-D Com base no quadro abaixo, codifique a mensagem TEOREMA DE PITÁGORAS, utilizando a função cifradora: f(x) = 3x 2-2 x. a) Associação à sequência numérica: b) Mensagem codificada: Figura 14 Modelo de ficha do grupo de atividades 3

17 4 ATIVIDADE 4 Função Exponencial 4.1 Objetivo O objetivo consiste em trabalhar o conceito de função exponencial através dos códigos visando uma aprendizagem contextualizada e significativa utilizando também como recurso didático a calculadora. 4.2 Descrição da atividade Entregar aos alunos fichas no modelo da FICHA 4, onde as funções cifradoras são funções exponenciais. FICHA 4-A Com base no quadro abaixo, codifique a mensagem FACE, utilizando a função cifradora: f(x) = 2 x. a) Associação à sequência numérica b) Mensagem codificada: Figura 15 - Modelo de ficha do grupo de atividades 4 Para decodificar uma mensagem, tendo como função cifradora uma função exponencial, usamos a função logarítmica. Nesse momento, a calculadora é um recurso que contribui para realizar os cálculos envolvendo logaritmo. Para que os alunos constatem que para decodificar uma mensagem tendo como função cifradora uma função exponencial faz-se necessário utilizar a função logarítmica talvez seja conveniente a representação em diagramas para que os alunos percebam que se trata da função inversa da função codificadora.

18 CODIFICAÇÃO DECODIFICAÇÃO Quadro 3 Codificação e Decodificação Para que os alunos associem à representação usando logaritmo, valemo-nos da definição de logaritmo, o que contribuiu para a representação: x log 2 y. Como as fichas apresentam resultados com números inteiros grandes, a calculadora torna-se um recurso que muito contribuiu para realizar os cálculos. O professor pode levar para a sala de aula calculadoras científicas, de modo que eles realizaram os cálculos. Caso os alunos não saibam manipulá-las é momento oportuno para orientá-los quanto ao uso do equipamento. E com certeza será um momento prazeroso da atividade. Exemplos de fichas que podem ser utilizadas nesta atividade: FICHA 4-B Com base no quadro abaixo, codifique a mensagem ESCOLA, utilizando a função cifradora: f(x) = x a) Associação à sequência numérica b) Mensagem codificada: Figura 16 Modelo de ficha do grupo de atividade 4

19 FICHA 4-C Com base no quadro abaixo, codifique a mensagem ENSINO, utilizando a função cifradora: f(x) = x 2-1. a) Associação à sequência numérica b) Mensagem codificada: Figura 17 Modelo de ficha do grupo de atividades 4 FICHA 4-D Com base no quadro abaixo, codifique a mensagem ALUNO, utilizando a função cifradora: f(x) = x 3-7. a) Associação à sequência numérica b) Mensagem codificada: Figura 18 Modelo de ficha do grupo de atividades 4 FICHA 4-E Com base no quadro abaixo, codifique a mensagem ARITMÉTICA, utilizando a função cifradora: f(x) = x a) Associação à sequência numérica b) Mensagem codificada: Figura 19 - Modelo de ficha do grupo de atividades 4

20 CONSIDERAÇÕES Entendemos que as atividades e a metodologia de pesquisa utilizada oferecem os subsídios necessários para que os alunos estabeleçam interações entre conhecimentos prévios de Matemática (como alguns conceitos relacionados ao ensino de funções) e outros de seu cotidiano, resultando, daí, um aprendizado mais significativo e menos mecânico dos conceitos, características e propriedades das funções. A combinação de atividades práticas, envolvendo criptografia, a uma abordagem metodológica de experimentos de ensino, favorece a interação de conteúdos novos, subsunçores e imagens conceituais dos alunos. As atividades desenvolvidas neste caderno apresentam-se como um produto educacional, opcional para professores. Elas não consistem em uma receita ou algo parecido, mas, sim, em uma possibilidade para o professor utilizar nos mesmos moldes construídos na pesquisa ou com adaptações pessoais pertinentes e coerentes com a Teoria da Aprendizagem Significativa. Esperamos que este estudo incentive os professores a utilizarem a Contextualização e o Tratamento da Informação como uma ferramenta facilitadora para o ensino de função, de modo a que, por meio delas, os alunos construam conhecimentos e desenvolvam aprendizagens sobre os conteúdos matemáticos, sempre no viés da Teoria da Aprendizagem Significativa.

21 BIBLIOGRAFIA ALENCAR, A.F. de. O pensamento de Paulo Freire sobre a tecnologia: traçando novas perspectivas. In: COLÓQUIO INTERNACIONAL PAULO FREIRE. 5., 2005, Recife. Anais... Disponível em: < Acesso em: 10 set D AMBROSIO, U. O uso da calculadora. Disciplina a distância oferecida pela Sociedade Brasileira de Educação Matemática, jun Disponível em: < Acesso em: 22 set LEONTIEV, A.N. Actividade consciência e personalidade Disponível em < 11_Atividade_Consciencia_e_Personalidade.pdf>. Acesso em: 3 set MASINI; E.F.S.; MOREIRA, M.A. Aprendizagem significativa: condições para a ocorrência e lacunas que levam a comprometimentos. São Paulo: Vetor, MOREIRA, M.A.; MASINI, E.F.S. Aprendizagem significativa: a teoria de David Ausubel. São Paulo: Moraes, MOYSÉS, L. Aplicações de Vygotsky à educação matemática. 8. ed. Campinas: Papirus, PAVANELLO, R.M. Contextualizar: o que é isso? In: NOGUEIRA, C.; BARROS, R. (Orgs.). Conversas com quem gosta de ensinar matemática. Paraná: Manoni, p SÁ, I.P. Aritmética modular e algumas de suas aplicações Disponível em: < Acesso em: 02 abr TINOCO, L.A.A. (Coord.). Construindo o conceito de função. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática/UFRJ, REFERÊNCIA VYGOTSKY, L.S. Pensamento e linguagem. São Paulo: Martins Fontes, 1999

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