CONTABILOMETRIA. Revisão de Probabilidade e Teorema de Bayes

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1 CONTAILOMETRIA Revisão de robabilidade e Teorema de ayes

2 Os ostulados de robabilidade 1. As probabilidades são números reais positivos maiores que zero e menores que 1; simbolicamente, 0 A 1 para qualquer evento A. 2. Qualquer espaço amostral tem probabilidade 1, Ω = 1 para qualquer espaço amostral Ω. 3. Se dois eventos são mutuamente excludentes, a probabilidade de ocorrência de um ou do outro é igual à soma de suas probabilidades. Simbolicamente, A U = A + para dois eventos A e quaisquer mutuamente excludentes.

3 ropriedade básicas da robabilidade 1. O = 0, a probabilidade de ocorrência do conjunto vazio é nula. O conjunto vazio é também chamado evento impossível. 2. ΣE i = 1, a soma das probabilidades de todos os eventos possíveis é sempre igual a E i + E i = 1, a soma da probabilidade de um evento com a probabilidade de seu evento complementar é sempre igual a 1.

4 Exemplo Se A e são os eventos de o Dr. aulo estar em seu consultório às 9 horas da manhã ou de estar no hospital, se A = 0,48 e =0,27, encontre: a A b A U c A Solução: A representa a probabilidade de Dr. aulo não estar no hospital às 9h, pela terceira propriedade básica, A = 1 0,48 = 0,52 AU = 0,48 + 0,27 = 0,75, pelo terceiro postulado, pois os eventos são mutuamente excludentes. Ou seja, a probabilidade de Dr. aulo estar ou no hospital ou no consultório é de 75%. A = 0, pois como os eventos são excludentes a intersecção dos mesmos é o conjunto vazio, que tem probabilidade igual a 0.

5 Regras de Adição Generalização do ostulado 3 k eventos são mutuamente excludentes quando não há dois quaisquer deles que tenham algum elemento em comum. Nesse caso o terceiro postulado pode ser aplicado repetidamente até que: Se k eventos são mutuamente excludentes, a probabilidade de ocorrência de qualquer um deles é igual à soma de suas probabilidades individuais, simbolicamente, A 1 U A 2 U...U A k = A 1 + A A k para quaisquer eventos mutuamente excludentes A 1, A 2,... e A k.

6 Exemplo As probabilidades de uma pessoa que deseja adquirir um carro novo escolher um Chevrolet, um Ford ou um Honda são 0,17, 0,22 e 0,08, respectivamente. Supondo que ela compre apenas um carro, qual é a probabilidade de ser de uma dessas três marcas? Solução: como as três possibilidades são mutuamente excludentes, uma substituição direta dá 0,17 + 0,22 + 0,08 = 0,47.

7 Regra Geral de Adição Até aqui trabalhamos com eventos mutuamente excludentes, mas como somar probabilidades de eventos que não sejam excludentes? A U = A + A ara entendermos o porquê vamos a um exemplo utilizando o diagrama de Venn...

8 Regra Geral de Adição No diagrama abaixo o conjunto I representa a probabilidade de um recém-formado receber uma proposta de uma indústria e o conjunto a probabilidade do mesmo receber uma proposta de um banco. Observe que há uma probabilidade de que ele receba proposta dos dois, representada pela área de intersecção entre I e. I 0,18 0,12 0,24 Ω

9 Regra Geral de Adição elo diagrama podemos ver que: I = 0,18 + 0,12 = 0,30 = 0,12 + 0,24 = 0,36 I U = 0,12 + 0,18 + 0,24 = 0,54 Mas se tivéssemos aplicado a regra de adição para eventos excludentes calcularíamos I + = 0,30 + 0,36 = 0,66 o que estaria errado. I 0,18 0,12 0,24 Ω

10 Cont.: Regra Geral de Adição Esse erro resulta de somar duas vezes I = 0,12. A correção se faz subtraindo 0,12 de 0,66. Assim, poderíamos escrever, de acordo com a regra geral de adição: I U = I + I = 0,30 + 0,36 0,12 = 0,54 I 0,18 0,12 0,24 Ω

11 Exemplo As probabilidades de que choverá no Recife num certo dia de agosto, de que haverá trovoadas nesse dia, e de que choverá e haverá trovoadas nesse dia são de 0,27, 0,24 e 0,15, respectivamente. Qual é a probabilidade de chover e/ou haver trovoadas nesse dia no Recife? Solução: Se R denota chuvas e T denota trovoadas, temos R = 0,27, T = 0,24 e R T = 0,15. Substituindo estes valores na expressão da regra geral de adição obtemos R U T = R + T - R T = 0,27 + 0,24 0,15 = 0,36

12 robabilidade Condicional Se quisermos saber a probabilidade de um evento, sem especificar o espaço amostral, o que fazer? É bem possível que encontremos respostas diferentes, todas corretas. Exemplo: qual a probabilidade de um contador ganhar mais de $ /ano dentro dos 10 anos seguintes à formatura? odemos obter uma resposta que se aplique aos contadores que trabalham em empresas, outra diferente para contadores que trabalham para o governo, e ainda outra para os contadores com escritórios próprios. Ou seja, a resposta depende da escolha do espaço amostral. Como a definição do espaço amostral não é óbvia, em geral costumamos dizer a probabilidade de A dado Ω Expressamos a probabilidade condicional com A Ω

13 robabilidade Condicional Suponha que uma pesquisa tenha estudado os serviços prestados dentro da garantia por 200 lojas de pneus em uma grande cidade. Os resultados foram: om serviço dentro da garantia G Serviço deficiente dentro da garantia Total Lojas especializadas numa marca N Lojas não especializadas Total Selecionando uma loja aleatoriamente quais as probabilidades de: Escolher uma loja especializada numa marca evento N Escolher uma loja que preste bom serviço dentro da garantia evento G Escolher uma loja especializada numa marca e que preste bom serviço dentro da garantia evento N G

14 Lojas especializadas numa marca N Lojas não especializadas robabilidade Condicional om serviço dentro da garantia G Serviço deficiente dentro da garantia Total Total Escolher uma loja especializada numa marca evento N 80 Até aqui usamos N 0,40 a definição de 200 Escolher uma loja que preste bom serviço dentro da garantia probabilidade evento G 106 s / n G 200 0,53!!!! Escolher uma loja especializada numa marca e que preste bom serviço dentro da garantia evento N G 64 N G 200 0,32

15 Lojas especializadas numa marca N Lojas não especializadas robabilidade Condicional om serviço dentro da garantia G Serviço deficiente dentro da garantia Total Total O que acontece se limitarmos a escolha a lojas especializadas numa marca? Isso reduz o espaço amostral à primeira linha da tabela, e daí a probabilidade de prestar bons serviços dentro da garantia é 64 em melhor que 0,53!! Mas note que: G N 0,80 80 G N N G N

16 robabilidade Condicional Definição: Se é diferente de zero, então a probabilidade de A em relação a, isto é, a probabilidade de A dado, é A A

17 Exemplo Com referência às lojas de pneus, qual a probabilidade de uma loja que não é especializada numa marca prestar bons serviços sob garantia? Ou seja, qual a probabilidade G N? 42 G N 0, G N G N N e 0,21 0,60 N 0, ,60 Mas também poderíamos ter obtido o mesmo resultado diretamente na segunda linha da tabela, escrevendo: 42 G N 120 0,35

18 Exemplo Numa certa escola de primeiro grau, a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente provir de um lar com somente o pai ou a mãe presente é 0,36 e a probabilidade de ele provir de um lar com somente o pai ou a mãe presente e ser um estudante fraco que geralmente é reprovado é 0,27. Qual é a probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente ser um estudante fraco, dado que ele provém de um lar com somente o pai ou a mãe presente? Definindo F como um estudante fraco e O um estudante que provém de um lar com somente o pai ou a mãe, temos que O=0,36 e F O=0,27 Assim a probabilidade de ser um estudante fraco dado que provém de um lar com somente pai ou mãe é denotado por F O 0,27 F O 0,75 O 0,36

19 Regras de Multiplicação Se na expressão da probabilidade condicional multiplicarmos ambos os lados por, obteremos a fórmula que permite calcular a probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos. A =. A A regra geral da multiplicação afirma que a probabilidade de ocorrência de dois eventos é o produto da probabilidade de ocorrência de um deles pela probabilidade condicional da ocorrência do outro, dado que o primeiro ocorreu, está ocorrendo, ou ocorrerá. Como não interessa qual dos dois eventos designamos por A e qual por, também podemos escrever: A = A. A

20 Exemplo Um júri consiste em 15 pessoas que somente completaram o Ensino Médio e em 9 pessoas que tiveram alguma educação superior. Se um advogado seleciona ao acaso dois dos membros do júri para uma arguição, qual é a probabilidade de nenhum dos dois ter tido alguma educação superior? Solução: Se A é o evento de a primeira pessoa selecionada não ter tido alguma educação superior, então A=15/24. Também, se é o evento de a segunda pessoa selecionada não ter tido educação superior, segue que A=14/23, já que há somente 14 pessoas sem alguma educação superior dentre as 23 que restam depois de ter sido selecionada uma pessoa sem alguma educação superior. ortanto, a regra geral de multiplicação fornece A A A ,38

21 Regra Especial de Multiplicação Eventos Independentes Dois eventos são independentes quando a probabilidade de ocorrência de um não afeta a probabilidade de ocorrência de outro. Na linguagem de probabilidade podemos escrever: A = A, ou seja, o fato de ter ocorrido não altera a probabilidade de A ocorrer A =, ou seja, o fato de A ter ocorrido não altera a probabilidade de ocorrer A regra de multiplicação anteriormente definida fica: A =. A =. A A = A. A = A.

22 Exemplo Foram pesquisados 300 domicílios que compraram aparelhos de TV, foi perguntado se estavam satisfeitos com a compra. A tabela abaixo, classifica de forma cruzada, a satisfação e se o aparelho tem tela de plasma ou não. Verifique se estar satisfeito com a compra e o tipo de aparelho de TV comprado são estatisticamente independentes. Satisfeito com a compra? Tipo de Aparelho Sim Não Total De tela de plasma Sem tela de plasma Total Satisfeito Tela de plasma que é igual a Satisfeito ,80 64/300 80/300 0,80 Logo, estar satisfeito com a compra e o tipo de aparelho comprado são eventos estatisticamente independentes. O conhecimento de um dos eventos não afeta a probabilidade do outro evento.

23 Exemplo Se for de 0,70 a probabilidade de uma pessoa entrevistada em um shopping ser contra o aumento de impostos para o financiamento da saúde, qual é a probabilidade de entrevistar quatro pessoas no shopping e as três primeiras serem contra o aumento de impostos, mas a quarta não ser contra? Solução: Admitindo que o fato de uma pessoa ser contra independe do fato da outra ser ou não contra, ou seja, admitindo a independência dos eventos, multiplicamos todas as probabilidades e obtemos: 0,70 0,70 0,70 0,30 = 0,1029

24 Teorema de ayes É utilizado para rever probabilidades anteriormente calculadas com base em novas informações. Desenvolvido por Thomas ayes no século 18, o teorema de ayes é uma extensão do que aprendemos anteriormente sobre probabilidade condicional. A =. A A = A. A A. A =. A A =. A A

25 Exemplo Em um estado onde os carros são submetidos a testes quanto à emissão de gases: A =? = prob. do automóvel ser reprovado no teste = 0,25 = prob. de emitir gases em excesso A = 0,99 = prob. de ser reprovado dado que emite gases em excesso A = 0,17 = prob. de ser reprovado dado que não emite gases em excesso A =? = qual a prob. de dado que foi reprovado ele emitir gases em excesso? A =. A A Mas não sabemos qual é a A!!

26 Exemplo A ocorre de duas formas, quando ocorre ou quando ocorre. A = 0,99 A. A = 0,250,99 = 0,2475 Como as duas formas como A pode ocorrer são mutuamente excludentes a probabilidade de A é a soma das duas probabilidades calculadas A = 0, ,1275 = 0,3750 A = 0,17 A. A = 0,750,17 = 0,1275 E a probabilidade que procurávamos é: A 0,250,99 A 0,66 A 0,3750

27 Generalizando para o caso em que há mais de duas causas possíveis para o evento A, ou seja, mais de dois ramos conduzindo ao evento A. odemos dizer que i A é a probabilidade de o evento A ter sido alcançado através do i-ésimo ramo da árvore com i = 1, 2,..., k e pode ser mostrado que essa probabilidade é igual à razão da probabilidade associada ao i-ésimo ramo pela soma das probabilidades associadas com todos os k ramos que alcançam A. Formalmente escrevemos o Teorema de ayes

28 Teorema de ayes., 2, 1, para então um deve ocorrer, são eventos mutuamente excludente s dos quais,,, Se k i A A A A A k k i i i k Veja que o denominador nada mais é que A, quando A é alcançado através de vários passos intermediários

29 Diagrama de árvore para o Teorema de ayes 1 A 1 A 1. A 1 2 A 2 2. A 2 etc. etc. k A k A k. A k

30 Exemplo Numa fábrica de enlatados, as linhas de produção I, II e III respondem por 50, 30 e 20% da produção total. Se 0,4% das latas da linha I são lacradas inadequadamente e as percentagens correspondentes às linhas II e III são de 0,6% e 1,2%, respectivamente, qual é a probabilidade de uma lata lacrada impropriamente e descoberta na inspeção final de produtos prontos provir da linha de produção I? Vamos nomear os eventos A = lata ser lacrada impropriamente; 1, 2 e 3 uma lata provir das linhas I, II e III. As probabilidades fornecidas 1 = 0,50; 2 = 0,30 e 3 = 0,20 A 1 = 0,004; A 2 = 0,006 e A 3 = 0,012 A probabilidade procurada 1 A =?

31 Exemplo Linha I Linha III 0,004 0,012 A A 0,500,004 = 0,0020 Linha II 0,006 0,300,006 = 0,0018 0,200,012 = 0,0024 A A = 0, , ,0024 = 0,0062 0,32 0,0062 0, A A A A A A