P03 CADERNO DE PROVAS CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL E ÁLGEBRA LINEAR. 25 de maio de 2014 EDITAL Nº 05/2014-REITORIA/IFRN

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1 P0 CADERNO DE PROVAS CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL E ÁLGEBRA LINEAR EDITAL Nº 05/04-REITORIA/IFRN PROFESSOR DO ENSINO BÁSICO, TÉCNICO E TECNOLÓGICO INSTITUTO FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 5 de maio de 04 INSTRUÇÕES GERAIS PARA A REALIZAÇÃO DA PROVA Use apenas caneta esferográfica transparente com tinta nas cores azul ou preta. Escreva o seu nome completo e o número do seu documento de identificação no espaço indicado nessa capa. A prova terá duração máxima de 4 (quatro) horas, incluindo o tempo para responder a todas as questões do Caderno de Provas e para preencher a Folhas de Respostas. O Caderno de Provas somente poderá ser levado depois de transcorridas (duas) horas do início da aplicação da prova. Confira, com máxima atenção, o Caderno de Provas, observando se o número de questões contidas está correto e se há defeito(s) de encadernação e/ou de impressão que dificultem a leitura. Confira, com máxima atenção, a Folha de Resposta, observando se seus dados (o nome do candidato, seu número de inscrição, a opção Matéria/Disciplina e o número do seu documento de identificação) estão corretos. Em havendo falhas no Caderno de Provas e/ou na Folha de Respostas, comunique imediatamente ao fiscal de sala. A quantidade de questões e respectivas pontuações desta prova estão apresentadas a seguir: PROVA ESCRITA NÚMERO DE QUESTÕES TOTAL DE PONTOS PROVA OBJETIVA Para cada questão de múltipla escolha, há apenas (uma) opção de resposta correta. A Folha de Resposta não poderá ser dobrada, amassada ou danificada. Em hipótese alguma, a Folha de Resposta será substituída. Assine a Folha de Resposta nos espaços apropriados. Preencha a Folha de Resposta somente quando não mais pretender fazer modificações. Não ultrapasse o limite dos círculos na Folha de Respostas das questões de múltipla escolha. Ao retirar-se definitivamente da sala, entregue a Folha de Respostas ao fiscal. O Caderno de Provas somente poderá ser conduzido definitivamente da sala de provas depois de decorridas duas horas do início das provas. NOME COMPLETO: DOCUMENTO DE IDENTIFICAÇÃO:

2 CONCURSO PÚBLICO EDITAL Nº 05/04-REITORIA/IFRN QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA AS RESPOSTAS DESTAS QUESTÕES DEVERÃO SER ASSINALADAS NA FOLHA DE RESPOSTAS DAS QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA. EDUCAÇÃO PROFISSIONAL. Cognição é o processo de conhecimento que envolve atenção, percepção, memória, raciocínio, juízo, imaginação, pensamento e linguagem. A escola que atua numa abordagem cognitivista de ensinoaprendizagem dever ter como função A) promover um ambiente desafiador favorável à motivação intrínseca do aluno. B) criar condições para o desenvolvimento da autonomia do aluno. C) oferecer condições para que o aluno possa aprender por si próprio. D) reconhecer a prioridade psicológica da inteligência sobre a aprendizagem.. Na abordagem cognitivista do processo de ensino e aprendizagem, o conhecimento é concebido como uma construção contínua e essencialmente ativa em constante evolução. Nessa abordagem, a aquisição do conhecimento se dá por duas fases. Assinale a opção que contém as duas fases de aquisição do conhecimento na abordagem cognitivista e suas respectivas características. A) exógena - fase da constatação, da cópia, da repetição; e endógena - fase da compreensão das relações, das combinações. B) concreta - fase que dura dos 7 aos anos de idade em média; e abstrata fase que considera leis gerais e se preocupa com o hipoteticamente possível e também com a realidade. C) formal - fase do pensamento egocêntrico, intuitivo, mágico; e operacional fase da capacidade de usar símbolos. D) acomodação - fase das deduções lógicas com o apoio de objetos concretos; e centralização fase da incapacidade para se centrar em mais de um aspecto da situação.. De acordo com a LDB (Lei nº 9.94/996), a Educação Profissional Técnica de Nível Médio será desenvolvida nas formas: A) profissionalizante e formação inicial e continuada-fic, em cursos destinados a trabalhadores que estejam cursando o ensino médio. B) concomitante e interdisciplinar, em cursos destinados a pessoas que tenham concluído o ensino fundamental. C) pluricurricular, na modalidade presencial; e subsequente, oferecida somente a quem já tenha concluído o ensino fundamental. D) articulada com o ensino médio; e subsequente, em cursos destinados a quem já tenha concluído o ensino médio. P0 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL E ÁLGEBRA LINEAR

3 CONCURSO PÚBLICO EDITAL Nº 05/04-REITORIA/IFRN 4. A Lei 9.94/996 estabelece que a educação profissional e tecnológica, no cumprimento dos objetivos da educação nacional, A) integra-se aos diferentes níveis e modalidades de educação e às dimensões do trabalho, da ciência e da tecnologia. B) organiza-se em centros interescolares de acordo com a demanda exigida do mercado de trabalho em diferentes modalidades de ensino. C) proporciona ao educando uma habilitação profissional através de aplicação de testes vocacionais com base nas experiências adquiridas. D) visa o preparo do indivíduo e da sociedade inspirada nos princípios de liberdade com prioridade na formação propedêutica. 5. Em relação às características do PROEJA, analise as assertivas a seguir e assinale (V) para verdadeiro e (F) para falso. ( ) ( ) ( ) ( ) Programa que integra a Educação Básica à Educação Profissional e destina-se à formação inicial e continuada de trabalhadores que tiveram seus estudos interrompidos na fase própria de escolaridade, conforme determina a legislação educacional brasileira. Programa que, observando as diretrizes curriculares nacionais e demais atos normativos, articula o ensino médio e a educação de jovens e adultos, cujo objetivo é atender à formação de trabalhadores necessária ao desenvolvimento científico e tecnológico do País. Programa que implica investigar, entre outros aspectos, as reais necessidades de aprendizagem dos alunos, a forma como produziram seus conhecimentos, suas lógicas, estratégias de resolver situações e enfrentar desafios. Programa que promove a superação do analfabetismo entre jovens com quinze anos ou mais, adultos e idosos, que visam a universalização do ensino fundamental e a superação das desigualdades sociais no Brasil. A opção que indica a sequência correta é A) F, V, F, V. B) V, F, V, F. C) V, F, F, V. D) F, F, V, V. P0 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL E ÁLGEBRA LINEAR

4 CONCURSO PÚBLICO EDITAL Nº 05/04-REITORIA/IFRN CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS 6. O número de usuários de um site de relacionamentos tem crescido rapidamente com o tempo. Suponha que o número N de usuários do site (em milhares de pessoas) possa ser bem descrito como função do N t 60 8 tempo por t, em que t é o tempo em meses e t = 0 é o mês atual. Baseado nesse modelo e pensando em longo prazo, o número de usuários deste site daqui a um tempo bastante longo (em milhares de usuários) será A) próximo de 0. B) inferior a 0. C) próximo de 5. D) superior a Suponha que o lucro que uma empresa de laticínios obtém com a produção de iogurte seja bem modelado pela função L x x x na qual L está em reais e x em litros de iogurte produzidos. A capacidade máxima de produção desta empresa é de 000 litros de iogurte por semana. A quantidade de litros de iogurte que a empresa deverá produzir semanalmente para maximizar seu lucro será A) 800. B) uma quantidade situada no intervalo (0, 700). C) o máximo possível, ou seja,000. D) 00. f 8. A segunda derivada da função : IR IR dada por y = x ln(x) no ponto x = é A). B) 0. C) 0,5. D),5. * 9. A integral x dx 0 x resulta em A) 5. B) C) D) P0 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL E ÁLGEBRA LINEAR 4

5 CONCURSO PÚBLICO EDITAL Nº 05/04-REITORIA/IFRN f x x e x x é dada por 0. A derivada de f' x e x. x A) x x B) f' x e x. f. x C) ' x x e f' x x e. x D) x m m 5. Considere o polinômio px a x b x c x. Sobre a integral I p x A) I = m. B) I é positivo. C) I = 0. D) I é negativo. dx, é correto afirmar que. A dimensão do espaço vetorial formado pelos pontos (x, x, x, x 4, x 5, x 6 ), sabendo que x 0 e x x 0, é igual a 5 6 A). B) 4. C). D) 5.. A dimensão para o subespaço vetorial de IR 4 gerado por (,,, -), (0,, -, ), (, 4, -, 0) é igual a A). B). C). D) Dada a função f IR IR A) 8. B). C). D). f x :, definida por x 4 px. O valor de p, de modo que f ' 0, é igual a 5. Considerando o ponto x = 0 e as funções a seguir definidas nos reais. A única cujo limite lateral à direita é diferente do limite lateral à esquerda é a função f. x A) x B) fx. x C) fx 4x. D) fx x. P0 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL E ÁLGEBRA LINEAR 5

6 CONCURSO PÚBLICO EDITAL Nº 05/04-REITORIA/IFRN 6. Quanto ao gráfico da função f IR IR :, definida por f x x x 9 A) tem concavidade voltada para baixo no intervalo (0, ) B) possui um máximo relativo no ponto x = 0. C) não possui ponto de inflexão. D) possui um mínimo relativo no ponto x = Dada a série A). k k, a mesma converge para o valor, é correto afirmar que B). C). D). 8. Considere a função f : IR IR, definida por f x seja contínua, é igual a x x, x log, se x. O valor de β, para que f se x A). B) 0. C). D) Sabendo que 6x x 5 lim, o valor de k é x kx A) 6. B) 4. C) 9. D). 0. Analise o texto a seguir. As curvas de Lorentz são utilizadas nas estatísticas sobre a distribuição de riqueza de uma sociedade. A desigualdade na distribuição de riqueza é medida pelo índice de Gini (IG), modelado pela expressão IG sendo L(x) a equação de uma curva de Lorentz. 0 x L Quanto menor o índice IG, mais justa é a distribuição de renda. Quanto maior o índice, mais riqueza está concentrada em poucos indivíduos. x Fonte: HOFFMANN, L.; BRADLEY, G. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 0. ed. Rio de Janeiro: LTC, 00. (p. 6-7) Suponha que determinada classe de comerciantes de uma cidade tenha distribuição de renda expressa pela curva de Lorentz Lx x 4 x 7. O índice de Gini dessa classe está mais próximo de 7 A) 0,. B) 0,. C) 0,. D) 0,4. dx P0 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL E ÁLGEBRA LINEAR 6

7 CONCURSO PÚBLICO EDITAL Nº 05/04-REITORIA/IFRN. O polinômio característico da matriz é dado por A) P(λ) = λ + 5λ λ. B) P(λ) = λ 9λ λ + 4. C) P(λ) = λ λ 7λ +. D) P(λ) = λ + λ 4λ Os autovalores associados à matriz 4 são iguais a A) ±. B) e 4. C) 4 e. D) ± 4.. O valor de A). B) 0. C). D). senx sen lim é igual a x x 4. Observe o gráfico da função polinomial do º grau na figura a seguir. Fonte: Funcern, 04. A reta tangente ao gráfico de f, no ponto de abscissa, tem equação dada por A) x y + 4 = 0. B) 7x + y + 4 = 0. C) x + y 4 = 0. D) 5x + y = 0. P0 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL E ÁLGEBRA LINEAR 7

8 CONCURSO PÚBLICO EDITAL Nº 05/04-REITORIA/IFRN 5. Sejam F e G as derivadas das funções reais, de variáveis reais, f e g, respectivamente. Sabe-se que f(x) + 0x = g(x) + x + 8, para todo x real, f() = e F( ) =. A diferença g() G( ) é A) 5. B). C) 4. D). 6. A soma dos catetos de um triângulo retângulo é 6 cm. O comprimento mínimo da hipotenusa desse triângulo mede A) 5 cm. B) 5 cm. C) cm. D) cm. 7. Seja f IR IR é igual a A). B). C). D) 4. : definida por f(x) = mx + n, tal que f x dx e f x 7 0 dx. O produto m n 8. A integral x 7 0 cosx dx é igual a A) 6. B). C). D) 9. Considere a série x k k pertencer ao intervalo aberto A) (, ). B) (, 5). C) ( 6, 4). D) (0, ). k, para x real. Garante-se que essa série é convergente quando x P0 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL E ÁLGEBRA LINEAR 8

9 CONCURSO PÚBLICO EDITAL Nº 05/04-REITORIA/IFRN 0. O raio de convergência da série de potências n n0 n n A). B). C) 4. D). x é igual a. Considere a superfície S dada por z = 6 x y e a região R dada por 0 x e 0 y. O volume do sólido sob a superfície S e sobre a região R é igual a A) 5 unidades cúbicas. B) unidades cúbicas. C) 6 unidades cúbicas. D) unidades cúbicas.. Com relação ao estudo dos espaços vetoriais, é correto afirmar que A) o conjunto de todos os pontos (x, y) em IR, com x 0 e y 0, é um subespaço vetorial de IR. B) a dimensão do subespaço vetorial do IR 4 gerado pelos vetores,,,,, 0, 4,,,,,,, 9, 6 e 9,, 7, 6 é. C) o vetor 0 D. 4 5 A é uma combinação linear dos vetores B, D) os polinômios p = (x )(x + ), q = x(x + ) e t = x(x ) são linearmente dependentes.. Seja f uma função real, de variável real, definida por fx x p é igual a A) 5. B). C). D) 5. P0 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL E ÁLGEBRA LINEAR 9, C e ln. O valor de p que satisfaz f ' 4. Seja f x, y, z uma função de variáveis reais, definida por x, y, z 5xy z derivadas sucessivas f 0,, é igual a A) 0. B). C) 60. D) 0. zxy f. O valor final das 5. O volume do sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro x y 9, pelo plano z = 4 e pelos planos coordenados é igual a A) 9 u.v. B) 0 u.v. C) u.v. D) u.v.

10 CONCURSO PÚBLICO EDITAL Nº 05/04-REITORIA/IFRN 6. Sejam os espaços vetoriais IR e IR sobre IR e a transformação linear T: IR IR dada por T x, y, z x y, y 4z. É correto afirmar que um vetor pertencente ao núcleo de T é A) (6, 6, ). B) (6, 5, ). C) (6, 4, ). D) (, 6, ). 7. Considere o espaço vetorial IR e a transformação linear T: IR IR dada por T x, y x y, x 6y. É correto afirmar que um vetor pertencente à imagem de T é A) (, ). B) (, ). C) (, 4). D) (, ). 8. Seja V um espaço vetorial IR, com produto interno usual, T: V V um operador linear e A a matriz associada a T. Analise as afirmativas a seguir I. Seja A = a c b, logo A é diagonalizável numa matriz real se (a d) + 4bc < 0. d II. Seja λ = 0 um autovalor de T, implica que T não é invertível. III. Quando V tem dimensão, então qualquer T não nulo é sobrejetor. IV. Toda base de um subespaço vetorial V de IR possui exatamente vetores. Estão corretas as afirmativas A) I e II. B) I e IV. C) II e III. D) III e IV. 9. Considere a superfície S dada por z x y e o plano dado por y =. O valor do coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção entre a superfície S e o plano no ponto P,, é igual a A). B). C) 8. D) 6. P0 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL E ÁLGEBRA LINEAR 0

11 CONCURSO PÚBLICO EDITAL Nº 05/04-REITORIA/IFRN 40. Considere os vetores v 4, 6, 0,, v,,, 9, 0,,, v 5,,, 0. 4 De acordo com os dados apresentados é correto afirmar que A) a norma de v é igual a 0. B) os vetores v e v são ortogonais. C) o produto interno usual entre v e v é igual a 5. D) o cosseno do ângulo entre os vetores v e v é igual a 4 4. Observe a figura a seguir.. 0 v e Fonte: Funcern, 04. Nessa figura, f e g são duas funções definidas por f(x) = x x + e g(x) = 4x x. O valor da área em negrito é igual a A) B) 9 u.a. 6 u.a. C) 5 u.a. D) 7 u.a. P0 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL E ÁLGEBRA LINEAR

12 CONCURSO PÚBLICO EDITAL Nº 05/04-REITORIA/IFRN 4. Considere P o espaço vetorial dos polinômios com grau menor ou igual a e T: P P a transformação linear definida por Tax bx c a cx b cx, com a, b, c IR. De acordo com os dados apresentados, é correto afirmar que A) {x, x} é uma base para a imagem de T. B) {x x} é uma base para o núcleo de T. C) x + x pertence ao núcleo de T. D) x x + pertence a imagem de T. 4. Analise as afirmações a seguir. I. T : IR IR dada por T (x, y, z) = (x + y, y z), (x, y, z) IR. II. T : V IR dada por T f fxdx 0 definidas no intervalo [0, ]. x x III. T : IR IR dada por x T y, y IR. y z z z IV. T 4 : IR IR dada por T 4 (x) = x +. As transformações lineares estão representadas nas afirmações A) I e II. B) I e III. C) II e III. D) II e IV. 44. Dada a função real, de variável real, x, no qual V é o espaço vetorial das funções com valores reais x 7x 8 f, x A) a reta x é uma assíntota vertical do seu gráfico. B) a reta x é uma assíntota vertical do seu gráfico. C) a reta y 0 é uma assíntota horizontal do seu gráfico. D) o seu gráfico não possui assíntotas. 45. Um corpo se move em linha reta de modo que sua velocidade, no instante t, é dada pela função v t 4t com a velocidade expressa em metros por segundo. Sabendo que S e que S t é a posição do móvel no instante t, a posição do móvel para t s é de A) 6 m. B) 4 m. C) 8 m. D) m. P0 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL E ÁLGEBRA LINEAR

13 46. Analise as afirmativas a seguir. CONCURSO PÚBLICO EDITAL Nº 05/04-REITORIA/IFRN I. Uma matriz é ortogonal se e somente se as linhas (ou as colunas) são vetores ortogonais. II. Seja V espaço vetorial e T: V V um operador autoadjunto. Então existe uma base ortonormal de autovetores de T. III. Seja V espaço vetorial e T: V V um operador ortogonal. Se λ e λ são autovalores distintos de T e v e v são autovetores associados a λ e λ, respectivamente. Então v é perpendicular a v. IV. Toda matriz identidade possui o autovalor λ =. Estão corretas as afirmativas, A) I e II. B) I e III. C) III e IV. D) II e IV. 47. Seja V o espaço vetorial com produto interno usual e T: V V um operador, é correto afirmar que A) se T é ortogonal, não preserva a norma, ou seja, T v v. B) sendo α uma base ortonormal, então, o operador linear T é chamado de ortogonal se T é uma matriz simétrica. C) sendo uma base ortonormal, então, o operador linear T é chamado de autoadjunto se T é uma matriz simétrica. D) se T preserva produto interno, então, ele é sempre ortonormal. 48. Considere a transformação linear T, de IR em IR, definida por Tx, y x y, y e o triângulo de vértices M(0, ), N(-, ) e P(, 0). Sejam M, N e P as imagens de M, N e P pela transformação T. De acordo com os dados apresentados, a área do triângulo M N P é igual A) 6 u.a. B) u.a. C) 4 u.a. D) 8 u.a. 49. O limite A). B). C) 0 D). x x lim x x tem como resultado P0 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL E ÁLGEBRA LINEAR

14 CONCURSO PÚBLICO EDITAL Nº 05/04-REITORIA/IFRN 50. Na figura a seguir está representado o gráfico da função f, sendo f(x) = x x. Fonte: Funcern, 04. Considerando as informações dadas, o único intervalo em que a primeira derivada é positiva é dado por A) (0; ). B) (-; 0) (; ). C) [; ]. D) (-; 0) (; ). P0 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL E ÁLGEBRA LINEAR 4

15 CONCURSO PÚBLICO EDITAL Nº 05/04-REITORIA/IFRN P0 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL E ÁLGEBRA LINEAR 5

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