Argumentos, Correção e Validade

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1 Lógica para Ciência da Computação I Lógica Matemática Texto 9 Argumentos, Correção e Validade Sumário 1 Razões e opiniões 2 2 Argumentos Observações Exercício resolvido Argumentos corretos Observações Exercício resolvido Argumentos válidos Observações Exercício resolvido Uso de argumentos corretos e de argumentos válidos 18 Continuamos com a aplicação de simbolização e tabelas na resolução de problemas lógicos associados à prática matemática. Para isto, precisamos especificar alguns conceitos relativos à análise lógica do raciocínio empregado em Matemática. Neste texto, abordamos os conceitos de argumento, argumento correto, argumento válido e argumento inválido. Depois de estudá-lo, vamos ser capazes de: entender intuitivamente o que é um argumento; diferenciar argumentos de sentenças; entender intuitivamente o que é um argumento correto; entender intuitivamente o que é um argumento válido. 1

2 1 Razões e opiniões A maior parte das nossas atividades e decisões envolvem opiniões as quais consideramos corretas. Exemplo 1 Alguns professores dizem que aprender Lógica é uma das condições necessárias para uma boa formação do estudante de Matemática; já outros dizem que para ser um bom matemático não é necessário aprender Lógica. De uma maneira geral, opiniões estão sujeitas à crítica racional, isto é, opiniões podem ser examinadas à luz das razões que as justificam. Exemplo 2 (a) Questionados sobre o porque de sustentarem esta opinião, os partidários da lógica, usualmente, respondem o seguinte: A principal atividade executada pelos matemáticos é a prova de teoremas. A Lógica estuda os métodos utilizados na prova de teoremas. Compreender bem os métodos que utilizamos quando executamos nossas tarefas profissionais é dever de todo bom profissional. (b) Já os que não consideram a Lógica necessária, dizem o seguinte: A Lógica estuda os métodos utilizados pelos matemáticos. Para ser um bom profissional, não é necessário que saibamos como os métodos que utilizamos funcionam. Mas, sim, que saibamos utilizá-los bem. Quando justificamos uma opinião, pode acontecer que as razões sejam bem utilizadas ou não. Isto é, algumas razões de fato justificam uma opinião e outras não. Muitas vezes, as razões e as opiniões são expressas por enunciados. De posse destes enunciados, temos o argumento que é produzido na tentativa de mostrar que as razões justificam as opiniões. Um dos principais objetivos da Lógica é estudar as relações entre os enunciados que compõem o argumento, para avaliar de maneira sistemática se uma opinião está bem justificativa ou não. Exemplo 3 No Exemplo 2(a), temos um argumento que pode ser assim especificado: A principal atividade executada pelo matemático é a prova de teoremas. A Lógica estuda os métodos utilizados na prova de teoremas. Compreender bem os métodos que utilizamos quando executamos nossas tarefas profissionais é dever de todo bom profissional. Logo, todo matemático deve aprender Lógica. 2

3 No Exemplo 2(b), temos um outro argumento que tenta justificar a negação do enunciado que o argumento do Exemplo 2(a) tenta justificar: A Lógica estuda os métodos utilizados pelos matemáticos. Para ser um bom profissional não é necessário que saibamos como os métodos que utilizamos funcionam. Para ser um bom profissional é suficiente que saibamos utilizar bem os métodos, quando executamos nossa atividade. Assim, nem todo matemático deve aprender Lógica. 2 Argumentos Num sentido amplo, a Lógica pode ser vista como o estudo das relações entre opiniões e razões. Assim, um dos pontos centrais da Lógica é o estudo de enunciados e argumentos. Enunciados foram abordados nos textos anteriores. Vamos, agora, abordar o conceito de argumento. Um argumento é uma sequência finita de enunciados, em que um é considerado como conclusão e os demais são considerados como premissas. As premissas do argumento são consideradas como justificativas para a sua conclusão. Exemplo 4 São exemplos de argumentos: (a) (b) (c) (d) (e) Sócrates é homem. Todos os homens são mortais. Logo, Sócrates é mortal. Sócrates é mortal. Todos os homens são mortais. Daí, Sócrates é homem. Vovó se chama Ana. Vovô se chama Lúcio. Consequentemente, eu me chamo Ana Lucia. Há exatamente 136 caixas de laranja no depósito. Cada caixa contém pelo menos 140 laranjas. Nenhuma caixa contém mais do que 166 laranjas. Deste modo, no depósito estão pelo menos 6 caixas contendo o mesmo número de laranjas. Nunca se provou que existe uma quantidade finita de pares de números da forma p, p + 2, onde p e p + 2 são primos. Assim, existe uma quantidade infinita de tais pares. 3

4 2.1 Observações Observação 1 Um argumento é uma sequência de enunciados, mas nem toda sequência de enunciados é um argumento. De fato, de acordo com a definição, para ser um argumento, uma sequência de enunciados deve: 1. ser finita; 2. ter ao menos dois enunciados; 3. ter exatamente um dos enunciados destacado como conclusão. Por exemplo, a sequência Professores que fazem pesquisa gostam de ensinar. Renata é uma professora que gosta de ensinar. Existem professores que não fazem pesquisa. não é um argumento. Observe que não está indicado na sequência qual dos enunciados é a conclusão. A sequência (com um único elemento) Se a função seno é derivável e se toda função derivável é contínua, então a função seno é contínua. também não é um argumento. Observe que, apesar das aparências, temos apenas um único enunciado (na verdade, uma implicação) e não um argumento com premissas e conclusão. Uma relação importante entre argumentos e implicações será discutida mais adiante. Por fim, a sequência 1 é um número natural e é positivo. 2 é um número natural e é positivo. 3 é um número natural e é positivo. 4 é um número natural e é positivo.... Logo, todo número natural é positivo. não é um argumento. Embora ela possua premissas e conclusão destacadas, ela não é finita, como as reticências indicam. Observação 2 Para destacar a conclusão de um argumento, usualmente, utilizamos uma frase conclusiva. Por exemplo, nos argumentos do Exemplo 4, os enunciados que sucedem frases conclusivas como logo, daí, consequentemente, deste modo, assim são as conclusões. Os demais são premissas. 4

5 Observação 3 Nem sempre a conclusão ocorre no final do argumento e, nem sempre, ela ocorre em conjunto com um frase conclusiva. Por exemplo, a sequência Todos os professores que fazem pesquisa gostam de ensinar. Renata é uma professora que não gosta de ensinar. Renata não faz pesquisa. não contém uma indicação explícita de qual dos enunciados é a conclusão. Porém, podemos considerar que ela é um argumento, pois uma leitura cuidadosa mostra que o último enunciado é a conclusão e os dois primeiros são as premissas. A sequência A Terra é redonda. Sabemos disso porque durante um eclipse lunar a Terra projeta uma sombra na Lua. E a sombra é redonda. também é um exemplo perfeitamente legítimo de argumento. Neste caso, a conclusão ocorre no início do argumento. Ela está especificada pela ocorrência da frase sabemos disso porque que a separa das outras informações que devem ser consideradas como premissas. Uma maneira mais adequada de escrever este argumento seria: Durante um eclipse lunar, a Terra projeta uma sombra na Lua. A sombra é redonda. Logo, a Terra é redonda. 2.2 Exercício resolvido Exercício 1 Determine quais das sequências de expressões abaixo são argumentos. Em caso afirmativo, reescreva o argumento de maneira mais adequada, colocando a conclusão no final, após uma frase conclusiva. (i) (ii) (iii) (iv) Se Sócrates é homem e todos os homens são mortais, então Sócrates é mortal. João é um intelectual. Concluo isso, pois João é formado em Filosofia. Além disso, João tem um doutorado em Ciência Poĺıtica. Eu me chamo Luciana. Ganhei esse nome pois Vovó se chama Lúcio. E Vovô se chama Ana. Nunca se obteve uma prova concreta de que há vida extraterrena. Logo, não é possível haver vida em outros planetas. 5

6 (v) 2 é primo e 3 é um primo maior do que 2. 3 é primo e 5 é um primo maior do que 3. 5 é primo e 7 é um primo maior do que 5. 7 é primo e 11 é um primo maior do que Deste modo, podemos concluir que para todo primo existe um primo maior. Antes de ler a resolução, tente resolver o exercício usando os conceitos estudados. Resolução do Exercício 1: (i) Não é argumento. Apesar das aparências, ele é uma lista com um único enunciado. O enunciado é uma implicação cujo antecedente é uma conjunção. Assim, ele pode ser visto como uma implicação associada Sócrates é homem. ao argumento: Todos os homens são mortais. Logo, Sócrates é mortal. Em resumo, temos que certos enunciados podem ser associados a argumentos, mas eles, por si só, não são argumentos. (ii) É argumento. Premissas: João é formado em filosofia, João tem um doutorado em Ciência Poĺıtica; conclusão: João é um intelectual. Pode ser reescrito como: João é formado em filosofia. João tem um doutorado em Ciência Poĺıtica. Logo, João é um intelectual. (iii) É argumento. Premissas: vovó se chama Lúcio, vovô se chama Ana; conclusão: eu me chamo Luciana. As premissas deste argumento não parecem estar de acordo com as normas usuais da Vovó se chama Lúcio. Língua Portuguesa. Pode ser reescrito como: Vovô se chama Ana. Assim, eu me chamo Luciana. (iv) É argumento. Premissa: nunca se obteve uma prova concreta de que há vida extraterrena; conclusão não é possível haver vida em outros planetas. Pode ser reescrito como: Nunca se obteve uma prova concreta de que há vida extraterrena. Consequentemente, não é possível haver vida em outros planetas. (v) Não é um argumento. É uma sequência infinita de enunciados. 3 Argumentos corretos Em geral, utilizamos um argumento quando queremos comprovar (demonstrar, estabelecer, justificar, garantir, provar) a verdade de um determinado enunciado. Assim, nos apoiamos sobre determinadas bases (as premissas), de modo que o que queremos provar (a conclusão) tenha a sua verdade assentada sobre a verdade das premissas. Desta maneira: do ponto de vista do senso comum, o padrão usual de argumento legítimo é aquele que possui premissas verdadeiras e estas garantem uma conclusão verdadeira. 6

7 Exemplo 5 Do ponto de vista do senso comum, o argumento: é um argumento legítimo. Por outro lado: Paulo Coelho é escritor. Todos escritores são alfabetizados. Logo, Paulo Coelho é alfabetizado. do ponto de vista do senso comum, o padrão usual de argumento ilegítimo é aquele que ou possui todas as premissas verdadeiras, mas elas não garantem a conclusão, ou possui ao menos uma premissa falsa. Exemplo 6 Do ponto de vista do senso comum, os argumentos: e Garrincha era jogador de futebol. Alguns jogadores de futebol ficaram ricos. Logo, Garrincha ficou rico. Garrincha é escritor. Todos os escritores são alfabetizados. Logo, Garrincha é alfabetizado. não são argumentos legítimos. A noção de argumento legítimo do ponto de vista do senso comum dá origem em Lógica ao que chamamos de argumento correto: Um argumento é correto se: 1. todas as suas premissas são verdadeiras (no contexto em que ele é proferido), e 2. as premissas garantem a conclusão. Caso contrário, é incorreto. 7

8 Exemplo 7 (a) Examinando o argumento do Exemplo 5, concluímos que ele é correto. De fato, no contexto usual em que ele é proferido, as premissas e Paulo Coelho é escritor todos escritores são alfabetizados são ambas V. Além disso, se (estamos em um contexto no qual) admitimos que Paulo Coelho é escritor e que todos os escritores são alfabetizados, temos que concluir que Paulo Coelho é alfabetizado. (b) Um outro exemplo de argumento correto é o seguinte: Todos os gatos são felinos. Nenhum felino pode voar. Logo, nenhum gato pode voar. De fato, examinando este argumento, no contexto usual em que ele é proferido, concluímos que, as premissas e todos os gatos são felinos nenhum felino pode voar. são ambas V. Além disso, se (estamos em um contexto no qual) admitimos que todos os gatos são felinos e nenhum felino pode voar, temos que concluir que nenhum gato pode voar. Decorre da definição que: Um argumento é incorreto se 1. ao menos uma de suas premissas é falsa (no contexto em que ele é proferido) ou 2. as premissas não garantem a conclusão. Esta é, simplesmente, a negação de ser correto. 8

9 Exemplo 8 Examinando os argumentos do Exemplo 6, concluímos que eles são incorretos. De fato, embora no contexto usual em que o primeiro argumento é proferido ambas as suas premissas sejam V, como todos sabem, elas não garantem a conclusão. Já no caso do segundo argumento, no contexto usual em que ele é proferido, como todos sabem, a premissa: é F. Garrincha é escritor Agora que temos um entendimento das noções de argumento correto e argumento incorreto, dado um argumento qualquer, podemos nos perguntar em qual das duas categorias ele se classifica. Exemplo 9 (a) Consideremos o argumento: Todos os pinguins são aves. Todas as aves podem voar. Logo, todos os pinguins podem voar. Este argumento é correto ou não? Examinando o argumento, no contexto usual em que ele é proferido, vemos que a premissa: todas as aves podem voar é F. De fato, avestruzes, por exemplo assim como os próprios pinguins são aves mas não podem voar. Como o argumento possui uma premissa F, concluímos imediatamente que ele é incorreto. (b) Consideremos, agora, o argumento: Existem seres vivos em outros planetas. Todos os seres vivos são formados por células. Logo, todos os seres vivos em outros planetas são formados por células. Este argumento é correto ou não? Se tentamos examinar o argumento nos mesmos moldes do que foi feito acima, invariavelmente, chegaremos a um impasse: a premissa existem seres vivos em outros planetas é V ou F? O melhor que temos a dizer sobre esta questão é que, até o momento em que este texto foi escrito, não havia uma resposta definitiva para ela. De modo que não havia uma maneira imediata de classificar este argumento como correto ou incorreto. 9

10 3.1 Observações Observação 4 A nossa investigação sobre a correção de argumentos nos leva às seguintes conclusões: Se sabemos que uma das premissas de um argumento é F, no contexto usual em que ele é proferido, podemos classificá-lo imediatamente como incorreto. A classificação de argumentos como incorretos, apenas pela detecção de premissas falsas, nem sempre pode ser feita de maneira imediata, pois há enunciados que são muito difíceis de classificar como V ou F, em um dado contexto. Observação 5 (Apenas para mostrar que esta discussão não é fora de propósito.) Em Matemática, o uso de argumentos que possuem premissas que ainda não foram classificadas como verdadeiras ou falsas é muito comum. Um exemplo contemporâneo importante desta situação envolve o famoso enunciado P = NP que, em linhas gerais, afirma o seguinte: Se um problema matemático tem soluções propostas que podem ser verificadas como corretas em uma quantidade relativamente pequena de tempo, então suas soluções corretas também podem ser encontradas em uma quantidade relativamente pequena de tempo. Embora várias demontrações (provas de que ele é V ) e várias refutações (provas de que ele é F ) deste enunciado já tenham sido anunciadas, todas continham erros. Deste modo, ele ainda está em aberto (não sabemos ainda se ele é V ou F ). Mas, enquanto P = NP não é demonstrado nem refutado de maneira definitiva, muitos matemáticos justificam outros enunciados assumindo que ele é falso, ou seja que a sua negação é verdadeira, pois esta é a hipótese mais provável. Assim, é comum encontrarmos textos matemáticos contendo frases do tipo Assumindo que P NP, nós provamos que Exercício resolvido Exercício 2 Determine se os argumentos abaixo são corretos ou incorretos. Neste exercício, vamos tentar reconhecer a correção e a incorreção intuitivamente. (i) 2 é par e 3 é ímpar. Assim, 2 é par. (ii) (iii) 3 é par e 2 é ímpar. Consequentemente, 2 é ímpar. Todo número natural não nulo é positivo. 1 é um número natural. 1 é não nulo. Daí, 1 é positivo. 10

11 (iv) (v) Todo número natural é positivo. 1 é um número natural. Logo, 1 é positivo. Alguns alunos do BSI já estudaram Lógica antes de ingressar na UFF. Júlia é aluna do BSI. Logo, Júlia estudou Lógica antes de ingressar na UFF. Antes de ler a resolução, tente resolver o exercício usando os conceitos estudados. Resolução do Exercício 2: (i) Correto. A premissa é verdadeira. E a premissa garantem a conclusão. (ii) Incorreto. A premissa é falsa. (iii) Correto. As premissas são verdadeiras. E as premissas garantem a conclusão. (iv) Incorreto. A primeira premissa é falsa, pois 0 não é positivo. (v) Incorreto. Este é um caso em que é difícil decidir se a segunda premissa é V ou F. Por outro lado, as premissas não garantem a conclusão. De fato, mesmo que as premissas sejam V, não está garantido que todos os alunos do BSI já estudaram Lógica antes de ingressar na UFF. Podem haver excessões. E Júlia pode ser exatamente uma destas excessões. 4 Argumentos válidos Verificar a veracidade das premissas de um argumento para classificá-lo com correto ou incorreto é apenas uma parte do trabalho de classificação. A outra parte é verificar se as premissas, realmente, garantem a conclusão. Exemplo 10 (a) Examinando o argumento do Exemplo 4(a), ou seja: Sócrates é homem. Todos os homens são mortais. Logo, Sócrates é mortal. concluímos que suas premissas garantem a sua conclusão. De fato, em qualquer contexto, se admitimos que Sócrates é homem e que todo homem é mortal, não há outra possibilidade, temos que concluir que Sócrates é mortal. Assim, as premissas garantem a conclusão. (b) Agora, examinando o argumento do Exemplo 4(b), ou seja: Sócrates é mortal. Todos os homens são mortais. Daí, Sócrates é homem. 11

12 concluímos, talvez com um pouco de surpresa, que suas premissas não garantem a sua conclusão. De fato, se examinamos este argumento no contexto usual em que ele é proferido, ou seja, se referindo ao filósofo Sócrates (470 ou 469 a.c. 399 a.c.), ele parece perfeitamente legítimo, pois tanto suas premissas quanto a sua conclusão são V. Mas, por outro lado, nada impede que a pessoa que está proferindo o argumento esteja em um outro contexto e, ao invés de estar falando do filósofo Sócrates, esteja, por exemplo, falando de um cachorro chamado Sócrates. Neste contexto (talvez um pouco inesperado, mas possível), teremos que as premissas do argumento são V, mas sua conclusão é F. Assim, as premissas não garantem a conclusão. (c) Observe que uma situação análoga à do Exemplo 10(b) acontece no caso do argumento: Algumas pessoas são bonitas. Algumas pessoas são ricas. Logo, algumas pessoas são bonitas e ricas. De fato, não é difícil imaginarmos um contexto no qual tanto as suas premissas quanto a sua conclusão sejam V : a festa de casamento de um astro do futebol com uma modelo, por exemplo. Mas, por outro lado, nada impede que a pessoa que está proferindo o argumento esteja em um outro contexto, onde a totalidade das pessoas presentes esteja dividida em duas classes, a das pessoas bonitas e a das pessoas ricas, que não têm nenhum elemento em comum. Neste contexto (talvez um pouco raro, mas possível), teremos que as premissas do argumento são V, mas sua conclusão é F. Assim, as premissas não garantem a conclusão. (d) Observe, talvez também com um pouco de surpresa, que uma situação análoga a do Exemplo 10(a) acontece no caso do argumento: Paulo Coelho é mulher. Todas as mulheres são louras. Logo, Paulo Coelho é loura. Na verdade, apenas com um exame rápido, concluímos que este argumento não é correto (no contexto usual em que ele é proferido). De fato, a primeira premissa é F e isto basta para classificarmos o argumento como incorreto. Mais ainda, na verdade, este argumento não parece ser digno de uma análise lógica mais profunda, pois tanto suas premissas quanto a sua conclusão são F, e isto parece tornar o argumento completamente disparatado e desprovido de interesse. Mas, vamos esquecer o contexto usual em que o argumento é proferido, e fazer um pequeno exercício: Se estamos em um contexto no qual admitimos que todas as mulheres são louras (o que é F no contexto usual) e admitimos que Paulo Coelho é mulher (o que também é F no contexto usual), o que somos forçados a concluir sobre a veracidade da conclusão Paulo Coelho é loura? 12

13 Em outras palavras, se esquecemos o contexto no qual o argumento é proferido e passamos para um contexto qualquer no qual as premissas são simultaneamente V, o que somos forçados a concluir sobre a veracidade da conclusão? Obviamente, sob estas condições, temos que concluir que Paulo Coelho é loura (o que também é F no contexto usual). Assim, as premissas garantem a conclusão. Sugerimos que você estude o Exemplo 10 várias vezes, pois as ideias ali expostas são muito sutis e não são fáceis de assimilar em uma única leitura. Em decorrência do que foi dito, temos a seguinte definição, que tenta capturar a noção de argumento cujas premissas garantem a conclusão, independentemente do contexto em que elas são proferidas: (1) Um argumento é válido se em qualquer contexto em que suas premissas são simultaneamente verdadeiras, a sua conclusão também é verdadeira. (2) Um argumento é inválido se não é válido, isto é, se existe ao menos um contexto no qual as suas premissas são simultaneamente verdadeiras e a sua conclusão é falsa. Esta é, simplesmente, a negação de ser válido. Observe que a definição de validade é, simplesmente, uma especificação do segundo item da noção de correção. Exemplo 11 Voltando aos argumentos da Seção 3, temos a classificação a seguir: (a) Já vimos no Exemplo 7 que o argumento: Paulo Coelho é escritor. Todos escritores são alfabetizados. Logo, Paulo Coelho é alfabetizado. do Exemplo 5 é correto. Logo, ele satisfaz o segundo item da noção de correção e, portanto, é válido. (b) Já mencionamos no Exemplo 8 que o argumento Garrincha era jogador de futebol. Alguns jogadores de futebol ficaram ricos. Logo, Garrincha ficou rico. 13

14 não é válido: Isto pode ser visto mais claramente se examinamos o argumento à luz da definição de (in)validade. Lá está dito que um argumento é inválido se existe ao menos um contexto no qual as premissas são simultaneamente verdadeiras e a conclusão é falsa. Ora, como todos sabem, já no contexto usual em que ele é proferido, as premissas deste argumento são V e a sua conclusão é F. Esta situação confirma que o argumento é inválido. (c) Analogamente ao que acontece com os argumentos dos Exemplos 5, 10(a) e 10(d), o argumento: do Exemplo 6, é válido. Garrincha é escritor. Todos os escritores são alfabetizados. Logo, Garrincha é alfabetizado. (d) Já vimos no Exemplo 7(b) que o argumento: Todos os gatos são felinos. Nenhum felino pode voar. Logo, nenhum gato pode voar. é correto. Logo, ele satisfaz o segundo item da noção de correção e, portanto, é válido. (e) Já vimos que o argumento Todos os pinguins são aves. Todas as aves podem voar. Logo, todos os pinguins podem voar. do Exemplo 9(a) não é correto. Mas um raciocínio análogo ao dos Exemplos 5, 10(a) e 10(d) mostra que, apesar disso, ele é válido. (f) Ao examinar o argumento Existem seres vivos em outros planetas. Todos os seres vivos são formados por células. Logo, todos os seres vivos em outros planetas são formados por células. do Exemplo 9(b), não conseguimos decidir se ele é correto ou não. Vamos, agora examinar este argumento sob a luz da definição de validade. Para isto, devemos esquecer o contexto usual no qual o argumento é proferido e imaginar que estamos em um outro contexto no qual assumimos que ambas as premissas são V. Ora, 14

15 Se estamos em um contexto no qual admitimos que existem seres vivos em outros planetas (o que não sabemos se é V ou F no contexto usual) e admitimos que todos os seres vivos são formados por células (o que é V no contexto usual), o que somos forçados a concluir sobre a veracidade do enunciado todos os seres vivos em outros planetas são formados por células? Em outras palavras, se esquecemos o contexto no qual o argumento é proferido e passamos para um contexto qualquer no qual as premissas são simultaneamente V, o que somos forçados a concluir sobre a veracidade da conclusão? Obviamente, sob estas condições, temos que concluir que todos os seres vivos em outros planetas são formados por células (o que também não sabemos se é V ou F no contexto usual). Assim, as premissas garantem a conclusão e o argumento, embora não seja correto, é válido. 4.1 Observações Observação 6 De acordo com a definição de validade, a determinação da validade ou invalidade de um argumento poderia se fundamentar nos seguintes prinípios: Se não somos capazes de exibir um contexto no qual as premissas do argumento são verdadeiras e a conclusão é falsa, podemos concluir que o argumento é válido. Se somos capazes de exibir um contexto no qual as premissas do argumento são verdadeiras e a conclusão é falsa, podemos concluir que o argumento é inválido. Mas, observe que embora a definição possibilite que classifiquemos um argumento como válido ou inválido, de acordo com os princípios acima, ela não fornece um método para provar ou refutar a validade. De fato, segundo o primeiro princípio, sabemos que um argumento é válido quando não somos capazes de exibir certos contextos. Por outro lado, o segundo princípio nos diz que um argumento é inválido quando somos capazes de exibir um certo contexto. Mas, em ambos os casos, não explicamos formalmente o que é um contexto e nem como podemos exibir um contexto. Na verdade, podemos dizer que uma das principais tarefas da Lógica é, exatamente, esclarecer de maneira geral o significado das noções extremamente sutis envolvidas na determinação da validade de argumentos. Observação 7 Como vimos acima, existem exemplos de argumentos válidos que possuem: 1. premissas e conclusão todas V (cf. Exemplo 11(a)); 2. uma ou mais premissas F e conclusão V (cf. Exemplo 11(c)); 3. premissas e conclusão todas F (cf. Exemplo 11(d)). 15

16 Também vimos que, para justificar que um argumento é válido devemos esquecer o seu contexto usual e passar para um contexto qualquer onde as suas premissas são simultaneamente V. Por estas razões, é usual dizermos, em Lógica, que a validade de um argumento não depende nem da veracidade das suas premissas e conclusão, nem do seu conteúdo. Por exemplo, o argumento Todos os peixes são bípedes. Rintintim é um peixe. Logo, Rintintin é bípede. é válido. De fato, se supomos que todos os peixes são bípedes (o que é falso) e que Rintintim é um peixe (o que também é falso, pois Rintintim é um cachorro), somos obrigados a concluir que Rintintim é bípede (o que, novamente, é falso). De maneira análoga, o argumento Todos os filotímicos são procrastinadores. Napoleão é filotímico. Logo, Napoleão é procrastinador. também é válido e podemos decidir isto por um raciocínio análogo ao usado acima, sem nem sequer saber o que filotímico e procrastinador significam e nem de que Napoleão estamos falando. Observação 8 Como vimos acima, não existem exemplos de argumentos válidos com premissas simultaneamente V e conclusão F. Na verdade, neste caso podemos concluir imediatamente que o argumento é inválido, pois o próprio contexto no qual o argumento é proferido é um contexto que atende às exigências da definição de invalidade. Por exemplo, o argumento é, obviamente, inválido. 4.2 Exercício resolvido Todos seres humanos expressam sentimentos. Rintintin expressa sentimentos. Logo, Rintintin é um ser humano. Exercício 3 Determine se os argumentos abaixo são válidos ou inválidos. Neste exercício, vamos tentar reconhecer a validade e a invalidade intuitivamente. Técnicas formais específicas para este fim serão apresentadas mais adiante. 16

17 (i) (ii) (iii) (iv) (v) Djalma estuda Matemática. Se Djalma estuda Matemática, então Djalma gosta de Matemática. Logo, Djalma gosta de Matemática. O Islamismo é baseado na fé. O Cristianismo é baseado na fé. Assim, o Islamismo e o Cristianismo são a mesma religião. Se há carros, então há poluição. Há poluição. Consequentemente, há carros. Se eu ganhar sozinho na loteria, então eu sou um milionário. Eu não sou um milonário. Deste modo, eu não ganhei sozinho na loteria. Todos os que brigam com suas sogras aborrecem seus cônjuges. Estes aqui não brigam com suas sogras. Assim, estes aqui não aborrecem seus cônjuges. Antes de ler a resolução, tente resolver o exercício usando os conceitos estudados. Resolução do Exercício 3: Neste ponto dos nossos estudos, a validade de argumentos é uma noção informal com a qual ainda estamos nos familiarizando. Assim, a resolução deste exercício ainda não é baseada em conceitos formais e, por isto, algumas das respostas abaixo podem parecer suspeitas. Mais tarde, vamos desenvolver e aplicar métodos formais para verificar e justificar a validade de argumentos. (i) Válido. Seremos capazes de justificar esta afirmação formalmente após estudar os conteúdos da Parte 2 do texto desta semana. (ii) Inválido, pois possui premissas V e conclusão F. (iii) Inválido. Observe que, de acordo com o que sabemos sobre carros e poluição, em um contexto usual, este argumento possui tanto as premissas quanto a conclusão V. Mas, somos capazes, com um pouco de imaginação, de exibir um contexto no qual as premissas são V e a conclusão é F, por exemplo, o fundo do mar. De fato, no fundo do mar, temos se há carros, então há poluição é F V, ou seja V ; há poluição é V ; mas há carros é F. (iv) Válido. Seremos capazes de justificar esta afirmação após estudar os conteúdos da Parte 2, do texto desta semana. (v) Inválido. Com um pouco de imaginação, podemos exibir um contexto onde as premissas são V e a conclusão é F, por exemplo, um contexto no qual as pessoas envolvidas não brigam com as sogras, mas esquecem os aniversários de seus cônjuges. 17

18 5 Uso de argumentos corretos e de argumentos válidos As noções de argumento correto e de argumento válido abarcam situações práticas relevantes onde os argumentos são usados. Para ver isto mais claramente, devemos observar que o uso de argumentos como suporte para a justificativa de enunciados pode se dar em, pelo menos, duas circunstâncias importantes. A primeira é quando as premissas sobre as quais nos baseamos são, de fato, verdadeiras e as premissas realmente apoiam a conclusão. Neste caso, podemos concluir que o enunciado que queremos estabelecer é verdadeiro. Neste sentido, usar o argumento é o mesmo que estar certo! Nos apoiamos sobre bases verdadeiras; as premissas realmente apoiam a conclusão; temos que o enunciado que queremos justificar é verdadeiro. Esta é a maneira como usamos os argumentos corretos. Exemplo 12 Considere um advogado que, ao defender um cliente, usa o argumento: Se a arma não está registrada no nome do meu cliente, então meu cliente não é culpado. A arma está registrada no nome de um certo Sr. Clark. Mas o meu cliente se chama Sr. Clarque. Logo, meu cliente é inocente. É claro que o advogado sabe que todas as premissas são verdadeiras e, com isso, quer concluir que a conclusão também é. A segunda é quando não temos certeza de que as premissas sobre as quais nos baseamos são todas verdadeiras, mas temos razões para considerá-las como suportes para a conclusão e as premissas realmente apoiam a conclusão. Neste caso, nos apoiamos nas premissas de modo a fornecer uma base para a conclusão, tornando a conclusão tão verdadeira quanto as premissas. Neste sentido, usar o argumento não é o mesmo que estar certo! Mas isto não impossibilita um bom uso do argumento. Nos apoiamos sobre bases que não sabemos serem verdadeiras, mas que temos razões para considerar como suportes para a conclusão; as premissas realmente apoiam a conclusão; temos que o enunciado que queremos estabelecer, mesmo que não seja verdadeiro, não é menos verdadeiro do que as premissas sobre as quais nos baseamos. 18

19 Esta é a maneira como usamos os argumentos válidos. Exemplo 13 Considere uma pessoa que defende a existência de Deus utilizando o argumento: Deus é um ser perfeito. Um ser perfeito tem todas as qualidades. A existência é uma qualidade. Logo, Deus existe. Observe que se admitimos que Deus é perfeito, que seres perfeitos têm todas as qualidades e que a existência é uma qualidade, temos que concluir que Deus existe. Portanto, o emprego deste argumento é perfeitamente coerente. Mas, aqui, a pessoa não está provando que Deus existe, ela está, no melhor dos casos, mostrando que Sua existência não é menos verdadeira que Sua perfeição. c 2014 Márcia Cerioli, Renata de Freitas e Petrucio Viana IM-UFRJ, IME-UFF 19