Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia. Estatística Aplicada I

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1 Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Estatística Aplicada I Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica /09/016 11:0 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Capítulo IX Amostragem Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica 1

2 Amostragem - Sumário Introdução Dimensionamento da Amostra Condicionamento estatístico de dados experimentais Composição da Amostra Amostragem - Sumário Introdução Dimensionamento da Amostra Condicionamento estatístico de dados experimentais Composição da Amostra

3 9.1 Introdução Estudo por amostragem é o estudo de pequenos grupos de elementos retirados de uma população que se pretende conhecer, chamados de amostra. Como a amostragem considera apenas parte da população, diferentemente de um censo, o tempo para análise e o custo são menores, além de ser mais fácil e gerar resultados satisfatórios. 9.1 Introdução Não se deve realizar um estudo por amostragem quando o tamanho da amostra é grande em relação ao tamanho da população, ou quando se exige o resultado exato, ou quando já se dispõe dos dados da população. Nesses casos é recomendado realizar um censo, que considera todos os elementos da população. Para realizar um estudo por amostragem, a amostra deve ser representativa da população estudada. Para isso, existem técnicas adequadas para cada tipo de situação, denominadas técnicas de amostragem. 3

4 9.1 Introdução Geralmente, as pesquisas são realizadas por meio de estudo dos elementos que compõem uma amostra extraída da população que se pretende analisar. O cálculo do tamanho da amostra deve fazer parte de qualquer projeto de pesquisa. O objetivo principal é estabelecer, objetivamente, qual o número de indivíduos que necessitam ser estudados. Saber qual o tamanho da amostra é uma preocupação frequente de todos os pesquisadores em todos os tipos de pesquisa científicas. 9.1 Introdução O cálculo do tamanho da amostra está diretamente associada a pergunta da pesquisa. Para cada pesquisa deve-se emitir uma pergunta, a qual por sua vez determinará o tipo de estudo adequado para a sua resposta. Para a implementação adequada do estudo escolhido, devemos obter uma amostra que seja representativa da população para a qual se pretende responder a essa pergunta. 4

5 9.1 Introdução O estudo de todos os elementos da população possibilita preciso conhecimento das variáveis da pesquisa; entretanto, nem sempre é possível obter as informações de todos os elementos da população. Limitações de tempo, custo e as vantagens do uso das técnicas estatísticas de inferências justificam o uso de planos amostrais. Então, é evidente, que a representatividade da amostra dependerá do seu tamanho (quanto maior, melhor) e de outras considerações de ordem metodológica. 9.1 Introdução Como é dispendioso, ou mesmo inviável, analisar um número elevado de respostas em pesquisas, utiliza-se o recurso da estatística. Dessa forma, limita-se as análises por meio de dados amostrais, procurando assegurar-se de que o tamanho da amostra seja representativo do universo dos usuários, de forma a não distorcer o resultado. Na teoria da amostragem, dois passos devem ser considerados: a composição da amostra e o dimensionamento da mesma. 5

6 Amostragem - Sumário Introdução Dimensionamento da Amostra Condicionamento estatístico de dados experimentais Composição da Amostra 9. Dimensionamento da Amostra Existem muitos e diferentes métodos de cálculos de tamanho da amostra que podem ser empregados de acordo com o tipo de variáveis estudadas, que dependem do tipo ou desenho do estudo, que por sua vez depende da(s) pergunta(s) da pesquisa. Ou seja, a pergunta da pesquisa é que vai determinar todos estes itens. 6

7 9. Dimensionamento da Amostra O tamanho da amostra depende dos seguintes fatores: Tipo de problema que se quer resolver: caracterizar uma variável, comparar duas populações, verificar se duas variáveis estão associadas, por exemplo. Tipo de variável: qualitativa, quantitativa e variabilidade. Magnitude do erro estatístico: quanto menor o erro admissível, maior o tamanho da amostra. Tamanho da diferença considerada importante: quanto menor a diferença maior a amostra. Poder desejado para o teste: probabilidade de que uma amostra identifique uma diferença real. Tempo, verbas e pessoal disponíveis, dificuldade na obtenção dos dados e complexidade do experimento. 9. Dimensionamento da Amostra Aqui será feito um resumo do estudo do tamanho da amostra, por meio de procedimentos que levam em consideração, principalmente, o tipo de variável estudado e o tamanho da população (Fonseca & Martins, 1996). 7

8 9. Dimensionamento da Amostra Procedimentos: 1) Analisar o questionário ou o roteiro da entrevista e escolher uma ou mais variáveis que julgue mais importantes para o estudo. ) Verificar o nível de mensuração da variável: nominal, ordinal ou intervalar. 3) Considerar o tamanho da população: infinita ou finita. 4) Se a variável escolhida for intervalar e a população considerada infinita, o tamanho da amostra poderá ser determinada pela fórmula: 9. Dimensionamento da Amostra Procedimentos: n Z d onde: Z abscissa da curva normal padrão, fixado um nível de confiança. Nível = 95,5%, Z = (mais freqüente); Nível = 95%, Z = 1,96 Nível = 99%, Z =,57. 8

9 9. Dimensionamento da Amostra Procedimentos: σ d desvio padrão da população, expresso na unidade da variável, o qual pode ser determinado de várias maneiras: - Especificações técnicas - Resgate do valor de estudos semelhantes - Conjecturas sobre os possíveis valores. erro amostral, expresso na unidade da variável, o qual é a máxima diferença que o pesquisador admite suportar ente a média populacional (desconhecida) e a média amostral (a se calculada a partir da amostra). x d 9. Dimensionamento da Amostra Procedimentos: 5) Se a variável for intervalar e a população finita, tem-se: n d Z N ( N 1 ) Z onde N é o tamanho da população 6) Se a variável for nominal ou ordinal e população considerada infinita, tem-se: Z n pˆ qˆ d 9

10 9. Dimensionamento da Amostra Procedimentos: onde: p é a estimativa da verdadeira proporção de um dos níveis da variável escolhida. Por exemplo, se a variável escolhida for porte de empresa, p poderá ser a estimativa da verdadeira proporção de grandes empresas do setor que está sendo estudado (expresso em decimais) q 1-p d o erro amostral, neste caso, será a máxima diferença que o pesquisador admite suportar entre p e q, ou p pˆ d 9. Dimensionamento da Amostra Procedimentos: 7) Se a variável for nominal ou ordinal e a população finita, tem-se: d Z pˆ qˆ N ( N 1 ) Z pˆ qˆ n onde qˆ 1 pˆ 10

11 9. Dimensionamento da Amostra Procedimentos: Essas fórmulas são básicas para qualquer tipo de composição da amostra; contudo, existem fórmulas específicas segundo o critério de composição da amostragem. Caso o pesquisador escolha mais de uma variável, deve optar pelo maior valor de tamanho amostral obtido. 9. Dimensionamento da Amostra Exemplos: Suponha que a variável escolhida em um estudo seja o peso de certa peça e que a população é infinita. Pelas especificações do produto, o desvio padrão é de 10 kg. Admitindo-se um nível de confiança de 95,5% e um erro amostral de 1,5 kg, tem-se: n Z d 10 1,5 177,

12 9. Dimensionamento da Amostra Exemplos: Admitindo os mesmos dados do exemplo anterior e que a população seja finita de 600 peças. Logo: Z N d ( N 1 ) Z ,5 ( ) 10 n 137, Dimensionamento da Amostra Exemplos: Suponha que a variável escolhida em um estudo seja a proporção de eleitores favoráveis ao candidato X e que o pesquisador tenha elementos para suspeitar que essa porcentagem seja de 30%. Admitindo a população infinita, que se deseja um nível de confiança de 99% e um erro amostral de %, calcule n. Z n,57, pˆ (,57 30% 0,30,qˆ 1 0,30 0, 70,d % 0,0 ) ( 0,30 ) ( 0, 70 ) 3467, ( 0,0 ) 1

13 9. Dimensionamento da Amostra Exemplos: Admitindo-se os mesmos dados do exemplo anterior, e que a população de eleitores seja finita de 0000 eleitores, então: Z pˆ qˆ N (,57 ) (0,30 ) (0, 70 ) ( 0000 ) 955, d ( N 1 ) Z pˆ qˆ (0,0 ) ( ) (,57 ) (0,30 ) (0, 70 ) n Observação: Quando não se tiver condições de prever o valor de p amostral, admita = 0,50, pois, desta forma, ter-se-á o maior tamanho da amostra, admitindo-se constantes os demais elementos. N é o tamanho da população. 9. Dimensionamento da Amostra y Ao se obter os valores de e S para uma dada amostra, não se conhece qual a confiança com que esses valores podem estimar respectivamente, a média e a variância da população de onde a amostra foi retirada. Tal desconhecimento deve-se ao erro causado pela amostragem Esse erro pode ser determinado quando se ensaia diversas amostras de uma dada população obtendo-se as médias amostrais, tal como visto no item referente às distribuições amostrais. /09/016 11:0 13

14 9. Dimensionamento da Amostra Para pequenas amostras (menores que 0) DALLY (1993) indica o uso da distribuição t de Student. Como a distribuição t depende do tamanho da amostra (n), o valor de t pode ser usado para estimar n de tal forma que se obtenha uma estimativa da média da amostra para uma dada confiança. Da distribuição amostral das médias quando a variância populacional é desconhecida, tem-se: y tn 1 S n /09/016 11:0 9. Dimensionamento da Amostra Portanto, para o caso de pequenas amostras, se o comprimento do intervalo de confiança for definido como δ, usa-se a seguinte expressão para a determinação do tamanho da amostra: n S tn 1 /09/016 11:0 14

15 9. Dimensionamento da Amostra Entretanto, para obtermos o valor de t é necessário o número de graus de liberdade φ = n 1, que depende do tamanho da amostra n. Então, o procedimento é adotar uma amostra piloto de tamanho n o, estimar o desvio padrão por S o e a média y obter t com φ = n o 1 graus de liberdade e, fixado o erro de estimativa (δ), dimensionar o tamanho da amostra por n. Se o tamanho da amostra obtido n foi maior que n o devese realizar mais n n o ensaios, num processo iterativo até a convergência de n. /09/016 11:0 9. Dimensionamento da Amostra Exemplo: Para se estimar o diâmetro dos eixos produzidos por um torno, tomou-se uma amostra de 0 eixos usinados, que após terem seus diâmetros medidos apresentaram uma média y de 7,840 mm e um desvio-padrão S de 0,604 mm. Se a precisão desta estimativa de μ deve ser de ± 3%, com uma confiança de 95%, determinar o tamanho da amostra estatisticamente recomendável. Os dados aparentam uma distribuição normal. /09/016 11:0 15

16 9. Dimensionamento da Amostra /09/016 11:0 Se o comprimento do intervalo de confiança for definido como δ e usar-se a expressão anterior, tem-se: δ = 0,03.7,840 = 0,35 Da tabela de distribuição t, para φ = 0 1 = 19 e α/ = / =,5%, t =,093, logo: n = [(,093.0,604/0,35)]² 9 Para o novo valor de n igual a 9 (maior que 0), deve-se realizar mais 9 ensaios, recalcular a média e o desvio padrão, levantar o valor de t (φ = 8), e determinar n. Repete-se este procedimento até a convergência de n. 9. Dimensionamento da Amostra Um dos objetivos do planejamento experimental é a otimização do número de ensaios a ser realizado. Como visto anteriormente, esse número deve ser adequado de modo a minimizar os erros experimentais (aleatórios), mas também deve contribuir para a viabilidade econômica e prática da experimentação. /09/016 11:0 16

17 Amostragem - Sumário Introdução Dimensionamento da Amostra Condicionamento estatístico de dados experimentais Composição da Amostra 9.3 Condicionamento estatístico de dados experimentais O erro de amostragem pode ser caracterizado por uma distribuição normal com variância S², e pode ser minimizado pelo aumento do tamanho da amostra. O erro experimental sistemático proveniente de falhas na leitura ou do desempenho do instrumento, não é uma variável aleatória e, desta forma, não pode ser avaliado por técnicas estatísticas. Quando numa amostra, avalia-se que os resultados de uma ou mais réplicas são questionáveis, pode-se utilizar o procedimento de Chauvenet para rejeitar ou manter esses resultados na análise da amostra. /09/016 11:0 17

18 9.3 Condicionamento estatístico de dados experimentais O procedimento de Chauvenet especifica que um dado deve ser rejeitado caso a probabilidade de se obter o desviopadrão relativo a esse dado seja menor que α = 1/n. Por exemplo, se n = 10, tem-se que: α = 1/n = 1/0 = 0,05, e α/ = 0,05, ou 1 α/ = 0,9750, obtendo-se da a tabela de distribuição normal padrão um valor de z = 1,96. /09/016 11:0 9.3 Condicionamento estatístico de dados experimentais O critério consiste no cálculo da razão de desvio-padrão DR para cada componente y i da amostra, onde DR y i S y Comparando-se esse valor com uma razão padrão DR o, obtida da tabela de distribuição normal padrão de acordo com o tamanho da amostra n, conforme exemplificado anteriormente. /09/016 11:0 18

19 9.3 Condicionamento estatístico de dados experimentais n DR o n DR o ,15 1,38 1,54 1,65 1,73 1,80 1,86 1,91 1, ,13,4,33,40,45,50,54,58,81 O componente y i será rejeitado se Dr i > DR o e mantido caso Dr i Dr o. /09/016 11:0 9.3 Condicionamento estatístico de dados experimentais Caso um componente y i seja rejeitado, ele será removido da sequência e os valores de y e S² recalculados. Esse procedimento deve ser aplicado apenas uma vez para remover resultados questionáveis. Se muitos componentes são rejeitados, é provável que a instrumentação seja inadequada ou que o processo estudado seja extremamente variável. /09/016 11:0 19

20 9.3 Condicionamento estatístico de dados experimentais Exemplo: Utilize o critério de Chauvenet para condicionar estatisticamente os dados da sequência 6, 8, 7, 8, 15. /09/016 11:0 Como n = 5, tem-se que: α = 1/n = 1/10 = 0,1, e α/ = 0,05, ou 1,0 α/ = 0,950, obtendo-se da a tabela de distribuição normal padrão um valor de z = 1,65. y 8,8, S 3,6 Para y min = 6, DR = (6 8,8)/3,6 = - 0,778 Para y máx = 15, DR = (15 8,8)/3,6 = 1,7 Rejeita-se y i se DR > 1,65 ou DR < -1,65, logo rejeita-se apenas y máx = Condicionamento estatístico de dados experimentais Exemplo: Utilize o critério de Chauvenet para condicionar estatisticamente os resultados de medidas de pressão atmosférica (mmhg), obtidos com um barômetro de mercúrio. Após o condicionamento determine a média e o desvio padrão. 764,3 764,6 764,4 765, 764,5 764,5 765,7 765,4 764,8 765,3 765, 764,9 764,6 765,1 764,6 /09/016 11:0 0

21 9.3 Condicionamento estatístico de dados experimentais Como n = 15, tem-se que: α = 1/n = 1/30 = 0,033, e α/ = 0,017, ou 1 α/ = 0,9830, obtendo-se da a tabela de distribuição normal padrão um valor de z =,13. y 764,9, S 0,4 Para y min = 764,3 DR = (764,3 764,9)/0,4 = - 1,43 Para y máx = 765,7 DR = (765,7 764,9)/0,4 = 1,90 Rejeita-se y i se DR >,13 ou DR < -,13, logo nenhum resultado será rejeitado. /09/016 11:0 Amostragem - Sumário Introdução Dimensionamento da Amostra Condicionamento estatístico de dados experimentais Composição da Amostra 1

22 9.3 Composição da Amostra Principais métodos para a composição da amostra (técnicas de amostragem): probabilísticos e nãoprobabilísticos. a) Métodos Probabilísticos (aleatórios): As técnicas de amostragem probabilísticas garantem a possibilidade de realizar afirmações sobre a população com base nas amostras. Normalmente, todos os elementos da população possuem a mesma probabilidade de serem selecionados; assim, considerando N como o tamanho da população, a probabilidade de cada elemento ser selecionado será 1/N. Estas técnicas garantem o acaso na escolha. a.1) Amostragem aleatória simples É o processo mais elementar e freqüentemente utilizado. Pode ser realizado numerando-se os elementos da população de 1 a N e sorteando-se, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, X números dessa sequência, que corresponderão aos elementos pertencentes à amostra. Nesta técnica de amostragem, todos os elementos da população têm a mesma probabilidade de serem selecionados, 1/N.

23 a.1) Amostragem aleatória simples Exemplo: Obter uma amostra representativa, de 10%, de uma população de 1000 alunos de uma escola. Solução 1: 1- Numerar os alunos de 1 a 1000; - Escrever os números de 1 a 1000 em pedaços de papel e colocá-los em uma urna ou qualquer outro recipiente; 3- Misturar bem para garantir a aleatoriedade do processo 4- Retirar 100 pedaços de papel, um a um, da urna, formando a amostra da população. a.1) Amostragem aleatória simples Exemplo: Obter uma amostra representativa, de 5%, de uma população de 1000 alunos de uma escola. Solução : 1- Numerar os alunos de 000 a 999; - Escolher uma posição de qualquer linha ou coluna de uma tabela de números aleatórios (próximo slide) ou pular entre elas; 3- Retirar conjuntos de 3 algarismos para se escolher os elementos que irão compor a amostra. 4- O número sorteado será abandonado se ele superar o maior número dos elementos rotulados ou se for repetido. Se for escolhida a 5ª linha, ter-se-ia a seguinte amostra: 809, 116, 946, 758, 608, 06, 669, 047, 461, 846,... 3

24 a.1) Amostragem aleatória simples Tabela de números aleatórios ou randômica a.) Amostragem sistemática É uma variação da amostragem aleatória simples, conveniente quando a população está ordenada segundo algum critério, como fichas em um fichário, listas telefônicas, casas em uma rua etc., em que não há a necessidade de construir um sistema de referência. Calcula-se o intervalo de amostragem N/n aproximandoo para o inteiro mais próximo a; utilizando-se um dispositivo aleatório qualquer, sorteia-se um número x entre 1 e a, formando-se a amostra dos elementos correspondentes aos números x, x+a, x+a,... 4

25 a.) Amostragem sistemática Exemplo: Selecionar uma amostra de 70 casas de uma rua que contém 1800 casas. Solução: Nesta técnica de amostragem, podemos realizar o seguinte procedimento: 1- Como a = 1800/70 =5,7 6, escolhemos, por um método aleatório qualquer, um número entre 1 e 6, que indica o primeiro elemento selecionado para a amostra. - Consideramos os demais elementos, periodicamente, de 6 em 6. Se o número sorteado entre 1 e 6 for o número 9, a amostra será formada pelas casas: 9ª, 35ª, 61ª, 87ª, 113ª, 139ª, 135ª etc. a.3) Amostragem estratificada Esta técnica é possível de ser utilizada no caso de população heterogênea em que se podem distinguir subconjuntos (subpopulações) mais ou menos homogêneas denominadas estratos. Como a população se divide em subconjuntos, convém que o sorteio dos elementos leve em consideração tais divisões, para que os elementos da amostra sejam proporcionais ao número de elementos desses subconjuntos. Após a determinação dos estratos, seleciona-se uma amostra aleatória de cada subpopulação (estrato). Se as diversas subamostras tiverem tamanhos proporcionais aos respectivos números de elementos dos estratos, e guardarem proporcionalidade com respeito à variabilidade de cada estrato, obtém-se uma estratificação ótima. 5

26 a.3) Amostragem estratificada Exemplo: Em uma população de 00 alunos, há 10 homens e 80 mulheres. Extraia uma amostra representativa de 10%, dessa população. Solução: Neste exemplo, há uma característica que permite identificar subconjuntos, a característica sexo. Considerando essa divisão, vamos extrair a amostra da população. SEXO POPULAÇÃO AMOSTRA (10%) Masculino 10 1 Feminino 80 8 Total 00 0 a.3) Amostragem estratificada Solução: Para selecionar os elementos da população para formar a amostra, podemos executar os seguintes passos: 1- Numerar os alunos de 1 a 00, sendo os homens numerados de 1 a 10 e as mulheres de 11 a 00; - Escrever os números de 1 a 10 em pedaços de papel e colocá-los em uma urna A; escrever os números de 11 a 00 em pedaços de papel e colocá-los em uma urna B; 3- Retirar 1 pedaços de papel, um a um, da urna A, e 8 da urna B, formando a amostra da população. São exemplos desta técnica de amostragem as pesquisas eleitorais por região, cidades pequenas e grandes, área urbana e área rural, sexo, faixa etária, faixa de renda etc. 6

27 a.4) Amostragem por conglomerados (ou agrupamentos) Esta técnica é usada quando a identificação dos elementos da população é extremamente difícil, porém pode ser relativamente fácil dividir a população em conglomerados (subgrupos) heterogêneos representativos da população global. O procedimento de execução desta técnica é mostrado a seguir: 1- Selecionar uma amostra aleatória simples dos conglomerados existentes; - Realizar o estudo sobre todos os elementos do conglomerado selecionado. São exemplos de conglomerados: quarteirões, famílias, organizações, agências, edifícios etc. a.4) Amostragem por conglomerados (ou agrupamentos) Exemplo: Estudar a população de uma cidade, dispondo apenas dos mapas dos seus quarteirões. Solução: Neste caso, não se tem a relação dos moradores da cidade, restando o uso dos subgrupos heterogêneos (conglomerados). Para realizar o estudo estatístico sobre a cidade, adotar-se-á os seguintes procedimentos: 1- Numerar os quarteirões de 1 a n; - Escrever os números de 1 a n em pedaços de papel e colocá-los em uma urna; 3- Retirar um pedaço de papel da urna e realizar o estudo sobre os elementos do conglomerado selecionado. 7

28 b) Métodos Não-Probabilísticos (não-aleatórios) São técnicas em que há uma escolha deliberada dos elementos da amostra. Não é possível generalizar os resultados das pesquisas para a população, pois amostras não-probabilísticas não garantem a representatividade desta. b.1) Amostragem acidental Trata-se da formação de amostras por aqueles elementos que vão aparecendo. Este método é utilizado, geralmente, em pesquisas de opinião, em que os entrevistados são acidentalmente escolhidos. Exemplo: Pesquisas de opinião em praças públicas, ruas movimentadas de grandes cidades etc. 8

29 b.) Amostragem intencional De acordo com determinado critério, é escolhido intencionalmente um grupo de elementos que comporão a amostra. O pesquisador se dirige intencionalmente a grupos de elementos dos quais deseja saber a opinião. Exemplo: Em uma pesquisa sobre preferência por determinado cosmético, o pesquisador entrevista os frequentadores de um grande salão de beleza. b.3) Amostragem por quotas Uma das técnicas de amostragem mais comumente usadas em levantamentos de mercado e em prévias eleitorais. Abrange três fases: 1- Classificação da população em termos de propriedades que se sabe, ou se presume, serem relevantes para a característica a ser estudada; - Determinação da proporção da população para cada característica, com base na constituição conhecida, presumida ou estimada, da população; 3- Fixação de quotas para cada observador ou pesquisador a que caberá a responsabilidade de selecionar interlocutores ou entrevistados, de modo que a amostra total observada ou entrevistada contenha a proporção de cada classe tal como determinada em (). 9

30 b.3) Amostragem por quotas Exemplo: Admite-se que se deseja pesquisar o trabalho das mulheres. Provavelmente se terá interesse em considerar: a divisão cidade/campo, a habitação, o número de filhos, a idade dos filhos, a renda média, as faixas etárias etc. A primeira tarefa é descobrir as proporções dessas características na população. Supondo-se que haja 47% de homens e 53% de mulheres na população, uma amostra de 50 pessoas deverá ter 3 homens e 7 mulheres; O pesquisador, então, receberá uma quota para entrevistar 7 mulheres; A consideração de várias categorias exigirá uma composição amostral que atenda aos n determinados e às proporções populacionais estipuladas. Amostragem FIM 30

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