Amostragem e Distribuição Amostral. Tipos de amostragem, distribuição amostral de média, proporção e variância

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1 Amostragem e Distribuição Amostral Tipos de amostragem, distribuição amostral de média, proporção e variância 1

2 AMOSTRAGEM Amostragem Probabilística ou Aleatória Amostragem Não Probabilística Amostragem POPULAÇÃO Amostra Generalização

3 Quando usar Amostragem? Economia Rapidez de processamento Confiabilidade Testes destrutivos 3

4 Quando NÃO usar População pequena Amostragem? Característica de fácil mensuração Necessidades políticas Necessidade de alta precisão 4

5 Amostragem Probabilística Aleatória, Casual Resultados provenientes de amostras probabilísticas podem ser generalizados ESTATISTICAMENTE para a população. Associa-se uma probabilidade ao resultado. Medida da confiabilidade do resultado obtido. Amostra também precisa ser REPRESENTATIVA e SUFICIENTE! 5

6 Condições para uso Todos na população têm chance de pertencer à amostra Possibilidade de listar elementos da população Amostra selecionada por sorteio NÃO VICIADO! 6

7 Tipos de amostragem probabilística Aleatória Simples Sistemática Estratificada Por conglomerados 7

8 Amostragem aleatória simples População homogênea em relação à variável de interesse! Existe listagem! Sorteio não viciado Amostra Números aleatórios ou pseudo-aleatórios 8

9 Amostragem sistemática Amostragem sistemática: semelhante à aleatória simples, mas a listagem é ORDENADA. Divide-se o tamanho da população (N) pelo tamanho da amostra (n), obtendo um intervalo de retirada (k). Sorteia-se o ponto de partida. A cada k elementos retira-se um para a amostra. 9

10 1...k k k k...n População Amostra 1 n Aumentar n para deixar k inteiro. Descartar elementos da população por sorteio. 10

11 Amostragem Estratificada População HETEROGÊNEA em relação à variável sob estudo. Homogeneidade DENTRO de cada estrato. Sorteio não viciado Escolha dos elementos dos estratos: aleatória simples ou sistemática. TODOS os estratos precisam ser representados na amostra! 11

12 Amostragem Estratificada Uniforme Sorteio 1

13 Amostragem Estratificada Proporcional Sorteio 13

14 Amostragem por Conglomerados População considerada homogênea. Divisão em subgrupos semelhantes: os conglomerados. Sorteiam-se os conglomerados: Analisam-se todos os sorteados; Sorteiam-se elementos dos conglomerados previamente sorteados. Poucos recursos, menor precisão. 14

15 Observar todos os elementos dos conglomerados sorteados. Sorteio de conglomerados Sortear alguns elementos dos conglomerados sorteados. 15

16 Amostragem Não Probabilística Não há acesso a toda a população. Se as características da população acessível forem semelhantes às da população alvo: resultados equivalentes a uma amostragem probabilística. Amostragem a esmo, por julgamento, por cotas. 16

17 Tamanho da amostra Tamanho da amostra X Tamanho da População Tamanhos mínimos de amostra: erro amostral de 3% Para N = n = Cerca de 0,55% da populaçã o Tamanho da população 17

18 Amostragem e Inferência Ex. POPULAÇÃO: todos os possíveis consumidores estatística amostragem AMOSTRA: um subconjunto dos consumidores inferência 18

19 Conceitos Parâmetro: alguma medida descritiva (média, variância, proporção, etc.) dos valores x1, x, x3,..., associados à população. Amostra aleatória simples: conjunto de n variáveis aleatórias independentes {X1, X,..., Xn}, cada uma com a mesma distribuição de probabilidades de uma certa variável aleatória X. Esta distribuição de probabilidades deve corresponder à distribuição de freqüências dos valores da população (x1, x, x3,...). Estatística: alguma medida descritiva (média, variância, proporção, etc.) das variáveis aleatórias X1, X,..., Xn, associadas à amostra 19

20 Parâmetros e Estatísticas População (x 1, x, x 3,..., x N ) Amostra (X 1, X,..., X n ) Parâmetros Estatísticas Proporção Média Variância p n o de elementos com o atributo N 1 N x i N i 1 Pˆ n o de elementos com o atributo n X 1 n n X i i1 N 1 n 1 x i S X i X N i 1 n 1 i1 0

21 Estatística Uma estatística é uma variável aleatória e a sua distribuição de probabilidades é chamada de distribuição amostral. 1

22 Distribuição amostral da média Amostragem aleatória simples População: N elementos X : variável quantitativa Parâmetros: = E(X), = V(X) X pode ser vista como uma variável aleatória se considerar a distribuição de freqüências da população como uma distribuição de probabilidades a distribuição da população. X S Amostra: (X 1, X,..., X n ) Estatísticas: 1 n n X i i1 1 n 1 n X i X i1

23 Média e variância da média amostral Seja a população com média e variância. E (X ) V ( X ) n se a amostragem for com reposição, ou N muito grande ou infinito V ( X ) n N N n 1 se a amostragem for sem reposição e N não muito grande, N < 0n 3

24 Distribuição da média amostral (Teorema limite central) Se o tamanho da amostra for razoavelmente grande, então a distribuição amostral da média pode ser aproximada pela distribuição normal. 4

25 População: {, 3, 4, 5} Ex. 7. p(x) Parâmetros: 1 N N x i i , x N 1 1 x i N 4 i1 ( 3,5) (3 3,5) (4 3,5) (5 3,5) 1, 5 5

26 Distribuição da média amostral (Ex. 7.) Amostragem aleatória simples de tamanho n =. Construção da distribuição amostral da média: Amostras possíveis (, ) (, 3), (3, ) (, 4), (3, 3), (4, ) (, 5), (3, 4), (4, 3), (5, ) (3, 5), (4, 4), (5, 3) (4, 5), (5, 4) (5, 5) X,0,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 Probabilidade

27 Distribuição da média amostral (Ex. 7.) p(x) Distribuição da população Distribuição da média amostral p(x) x x E(X) = 3,5 E( X ) 3,5 7

28 Média e variância da média amostral (Ex. 7.) E X,5 3 3,5 4 4,5 5 3, V ( X ) ( 3,5) 1 16 (,5 3,5) (5 3,5) ,65 8

29 Distribuição amostral da proporção População: N N A N A elementos A A Amostra: (X 1, X,..., X n ) Parâmetro: p = proporção dos elementos que têm o atributo A 0 ou 1 (0 = sem o atributo; 1 = com o atributo) 9

30 Distribuição da população (caso de proporção) x 0 1 p(x) 1 p p Média e variância: = p = p(1 p) 30

31 Média e variância da proporção amostral E( Pˆ) p V ( Pˆ) p(1 n p) se a amostragem for com reposição, ou N muito grande ou infinito ou: V ( Pˆ) p(1 n p) N N n 1 se a amostragem for sem reposição e N não muito grande, N < 0n 31

32 Distribuição da proporção amostral Se o tamanho da amostra for razoavelmente grande, então a distribuição amostral da proporção pode ser aproximada pela distribuição normal. OBS. Se n for pequeno, a distribuição exata é binomial ou hipergeométrica (dependendo se a amostragem for com ou sem reposição) 3