1 Introdução. 1.1 Importância da Utilização da Amostragem

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1 Prof. Janete Pereira Amador 1 1 Introdução Um dos principais objetivos da maioria dos estudos, análises ou pesquisas estatísticas é fazer generalizações seguras com base em amostras, sobre as populações das quais as amostras foram extraídas. Para tanto é utilizado a técnica de amostragem que pode ser definida como o processo de seleção de amostra (s) de uma população. A partir dos resultados da amostra, obtêm-se valores aproximados, ou estimativas, para as características populacionais de interesse (parâmetros). o processo de amostragem, a seleção dos elementos que serão observados, deve ser feita sob uma metodologia adequada, de tal forma que os resultados da amostra sejam representativos de toda a população. 1.1 Importância da Utilização da Amostragem Algumas razões para o uso de amostragem em levantamentos de grandes populações Economia em geral, torna-se bem mais econômico o levantamento de somente uma parte da população Tempo numa pesquisa eleitoral, faltando três dias para eleição, não haveria tempo suficiente para pesquisar toda a população de eleitores do país, mesmo que houvesse recursos financeiros não haveria tempo. Operacionalidade é mais fácil realizar operações de pequena escala. Um dos problemas nos grandes censos é o controle dos entrevistados. 1. Situações em que pode não valer á pena a realização de uma amostragem População pequena Característica de fácil mensuração ecessidade de alta precisão (censo) 1.3 Plano de Amostragem Cuidados especiais devem ser tomados na seleção da amostra com o objetivo de se ter uma boa representatividade da população a ser analisada caso o contrario os resultados da pesquisa poderão ser incorretos. Sendo assim, o plano de amostragem torna-se uma ferramenta essencial na pesquisa. Para se fazer um plano de amostragem deve-se ter bem definidos: os objetivos da pesquisa, a população a ser amostrada, as unidades amostrais, modo como a amostra será retirada (o tipo de amostragem), e o próprio tamanho da amostra, além dos parâmetros a serem estimados para que os objetivos da pesquisa sejam alcançados.

2 Prof. Janete Pereira Amador A) Definição dos objetivo O que? Onde? Precisão exigida Tempo necessário Custo previsto B) Determinação dos meios Tipo de amostragem Tamanho da amostra Qual o método para o levantamento dos dados Como os interessados serão questionados C) Preparação do plano Elaboração do questionário Características das questões Experimentação do questionário Execução Coleta Crítica Apuração Apresentação dos dados D)Análise dos resultados Determinar uma característica Estimar e verificar os parâmetros E) Relatório final: Claro e conciso Honesto Tipos de Amostragem Pode-se definir o processo de seleção de amostra em dois grandes grupos: Amostragem probabilística e Amostragem não probabilística Amostragem probabilística A amostragem é probabilística quando a seleção da amostra é feita de forma aleatória, sendo que cada elemento da população tem uma probabilidade conhecida de participar da amostra. Assim: se define o tamanho da população e se todos os elementos da população 1 possuem igual probabilidade, teremos que é a probabilidade de cada elemento participar da amostra. A principal característica da amostragem probabilística é a possibilidade de se obter uma estimativa do erro amostral.. Amostragem não probabilística A amostragem é não probabilística quando há uma escolha deliberada dos elementos da amostra. Este tipo de amostragem pode prejudicar a representatividade da amostra em relação à população. Geralmente é feita quando há inacessibilidade a toda a população ou a população é constituída de material contínuo como líquido ou gases 3 Técnicas de Seleção da Amostra As principais técnicas de amostragem probabilística são: Amostragem aleatória simples; Amostragem sistemática; Amostragem estratificada; Amostragem por conglomerado.

3 Prof. Janete Pereira Amador Amostragem aleatória simples Os elementos da população são enumerados, onde a seleção da amostra é feita por meio de um sorteio, sem restrição, onde cada elemento da população tem a mesma probabilidade de pertencer à amostra. A população é numerada de 1 a. Escolhem-se, em seguida, na Tabela de números aleatórios, n números compreendidos entre 1 e. Os elementos correspondentes aos números escolhidos formarão a amostra. Procedimento 1) umerar todos os elementos da população por linha ) Escolher na Tabela de números aleatórios (TA) uma linha ou uma coluna 3) Encontrar a amostra especificada, os valores não podem ser superiores ao tamanho da população Ex.: A tabela a seguir refere-se a idade de 30 indivíduos que freqüentam uma Escola para Educação de Jovens e Adultos. Idade Idade Extrair uma amostra aleatória de tamanho n = 5. Solução: 1) umerar todos os elementos da população por linha Indivíduo Idade Indivíduo Idade ) Escolher na TA uma coluna Partindo da coluna 3 3) Encontrar a amostra especificada, os valores não podem ser superiores ao tamanho da população Partindo da coluna 3 na TA procuramos os cinco primeiros números não superiores a 30, lendo os dois últimos algarismos à direita. Obtemos a amostra: Leitura na TA Indivíduo Amostragem Sistemática Trata se de uma variação da amostragem aleatória simples, muito conveniente quando a população esta naturalmente ordenada, como fixas em um fichário, listas telefonias etc.. Procedimento 1) Seja o tamanho da população e n o tamanho da amostra então o intervalo de amostragem, denota do por K, será: K n

4 Prof. Janete Pereira Amador 4 ) Sorteia-se um número no intervalo de 1 a K. 3) A amostra será composta pelos elementos correspondente aos números x; ( x K);( x K);( x 3K)...;( x nk). Ex.: Extrair uma amostra de n = 10 da população, abaixo, que se refere prontuários de pacientes Solução: 1) intervalo de amostragem K n = 30 n = K 3 10 ) Sorteia-se um número no intervalo de 1 a K. 1: : 3 número sorteado: x = 3) A amostra será composta pelos elementos correspondente aos números. x,x K,x K,...,x nk. Então x x 5K x K x 6K x K x 7K x 3K x 8K x 4K x 9K Desta forma os prontuários selecionadas foram Amostragem estratificada É quando a população está dividida em subgrupos (estratos) e a variável de interesse apresenta comportamento diferente de um subgrupo para o outro embora tenha comportamento homogêneo dentro do estrato, neste caso sorteiam-se elementos em cada estrato para formar a amostra. As variáveis de estratificação podem ser qualitativas e quantitativas - Variável de estratificação qualitativa: A estratificação pode ser feita em função se um atributo qualitativo como sexo, categorias de trabalhadores, etc. - Variável de estratificação quantitativa:

5 Prof. Janete Pereira Amador 5 A estratificação é feita em função de uma variável quantitativa como área plantada, volume de vendas, etc. Uma das vantagens da amostragem estratificada é que os dados são geralmente mais homogêneos dentro de cada estrato do que na população como um todo. A amostragem estratificada pode ser uniforme e proporcional Amostragem estratificada uniforme É recomendada quando os estratos da população forem aproximadamente do mesmo tamanho. Sendo assim, calcula-se a mesma quantidade de elementos em cada estrato. Seja H número de estratos, n o tamanho da amostra e n h número de unidades a serem observadas, então tem-se: n h n H Procedimento: 1) Calcular o número de unidades a serem observadas n h ) Escolher na Tabela de números aleatórios (TA) uma linha ou uma coluna, para cada estrato 3) Encontrar o número de unidades a serem observadas, para cada estrato, os valores não podem ser superiores ao tamanho da população em cada estrato. Ex: Em uma pesquisa para verificar o índice de analfabetismo dos moradores do baixo rio branco (RR), foram entrevistadas 60 famílias. Das quais 30 são oriundas do Povoado da Raposa e 30 do Povoado Tacutu. Extrato 1 (Povoado da Raposa) Extrato (Povoado Tacutu) Extrair uma amostra estratificada de tamanho n =1 Solução: 1) número de unidades a serem observadas n 1 nh = 6 amostras por estrato H ) Encontrar a amostra especificada, os valores não podem ser superiores ao tamanho da população em cada estrato Amostra do Povoado da Raposa Leitura na TA Indivíduos Amostra do Povoado Tacutu Leitura na TA Indivíduos

6 Prof. Janete Pereira Amador Amostragem estratificada proporcional É recomendada quando os extratos diferem no número de elementos. Dessa forma, o número de elementos sorteado em cada extrato é proporcional ao número de elementos existente no extrato. Seja tamanho da população, n o tamanho da amostra e h tamanho do estrato, n h número de elementos a serem observados, então tem-se: n h h n Procedimento: 1) Calcular o número de unidades a serem observadas n h ) Escolher na Tabela de números aleatórios (TA) uma linha ou uma coluna, para cada estrato 3) Encontrar o número de unidades a serem observadas, para cada estrato, os valores não podem ser superiores ao tamanho da população em cada estrato. Ex: Para aquisição de reagentes e materiais diversos (balanças de precisão, centrífugas, pipetas, tubo de ensaios entre outros) para um laboratório de pesquisa genética. Foi feito levantamento de preços em duas empresas A e B. Em uma análise do custo do material foram consideradas 30 faturas, representadas abaixo Empresa A Fatura Preço (R$1000) Empresa B Fatura Preço (R$) Fatura (cont.) Preço (R$) Fatura (cont.) Preço (R$) Extrair uma amostra estratificada de tamanho n = 8. Solução: 1) número de unidades a serem observadas para Empresa A h 6 nh n = 8 1,6 ~ amostras 30 ) número de unidades a serem observadas para Empresa B h 4 nh n = 8 6,4 ~ 6 amostras 30 De cada estrato serão sorteadas, amostras aleatórias simples, respectivamente n 1 = correspondente ao Extrato A e n = 6 correspondente ao Extrato B. Lendo os dois últimos algarismos a partir do início da sétima coluna da TA, obtemos o resultado

7 Prof. Janete Pereira Amador 7 Extrato A B Leitura na TA Fatura (R$) Amostragem por conglomerado Quando a população apresenta uma subdivisão em pequenos grupos chamados conglomerados, é possível e muitas vezes conveniente fazer a amostragem por meio desses conglomerados, a qual consiste em sortear um número suficiente de conglomerados, cujos os elementos constituirão a mostra. Ou seja, as unidades de amostragem, sob as quais é feita o sorteio, passam a ser conglomerados e não mais elementos individuais da população. Esse tipo de amostragem é ás vezes adotado por motivo de ordem prática e econômica. Ex: Uma grande fundação quer estudar a variação do padrão de despesas de famílias numa área da cidade de Porto Alegre. Ao tentar aplicar os questionários para 1.00 famílias, a fundação constata que a amostragem aleatória simples é praticamente impossível, pois não dispõe das listas necessárias, e o custo de contatar diretamente famílias de uma grande área (com possíveis retornos devido a não encontra ninguém em casa) é extremamente elevado. Uma forma de extrair uma amostra nesta situação consiste em dividir a área total em diversas áreas menores (quarteirões). Seleciona-se, então, aleatoriamente alguns desses quarteirões, com a amostra final consistindo de todas as famílias residentes nesses quarteirões. a prática, pode ser usado em um mesmo estudo vários dos métodos de amostragem estudado. Por exemplo, se estatísticos do IBGE desejam estudar a atitude dos professores da escola elementar em relação a certos programas federais, podem inicialmente estratificar o país por estados ou outras subdivisões geográficas. Para extrair uma amostra de cada estrato, podem então aplicar a amostragem por conglomerado, subdividindo cada estrato em várias partes geográficas menores (distritos escolares) e, finalmente, utilizar a amostragem aleatória simples ou sistemática para selecionar uma amostra de professores de escola elementar dentro de cada conglomerado. Exercícios 1. Extrair uma amostra aleatória de tamanho n = 1 da população que consiste em 50 famílias de produtores rurais, da região de Santa Rosa. As famílias estão sendo estudadas para determinar o perfil sócio econômico dos produtores. Cada família foi identificada com os seguintes códigos Usando o exercício anterior extrair amostras aleatória de tamanho n = 8 e n = 0 3. o total de 60 pacientes de uma clinica de dependentes químicos, 30 serão selecionados para investigação com relação ao número de reincidência ao uso de drogas. Desta forma, organizar a amostra em esquema de Amostragem Sistemática e retirar da população os pacientes que serão estudados.

8 Prof. Janete Pereira Amador Usando o exercício anterior extrair amostras sistemáticas de tamanho n = 15 e n = 5 5. Dentre 80 municípios gaúchos selecionados para mapeamento socioeconômico 30 são da Região A e 50 Região B. Extrato 1 (Região A) Extrato (Região B) Extrair uma amostra estratificada de tamanho n = 0 6. Utilizando os dados do exercício anterior extraia uma amostra estratificada de tamanho n= Um estudo foi realizado para verificar o índice de infestação por barbeiros em 100 casas na periferia de Salvador. Para um melhor desempenho dos pesquisadores, as casas foram divididas por região de localização. Sendo: Extrato 1 (Região A) Extrato (Região B) Extrair uma amostra estratificada de tamanho n =30 8. Calcule o número de amostras que deverão ser sorteadas, dentro de cada estrato, de uma população de tamanho = 000, sendo o tamanho da amostra n = 80. A população esta distribuída em quatro extratos E 1 = 500, E = 100, E 3 = 00 e E 4 = 100.

9 Prof. Janete Pereira Amador 9 1 Introdução Um fator de grande importância na pesquisa é saber calcular corretamente o tamanho da amostra que será trabalhada. Devemos ter em mente que as estatísticas calculadas na amostra corresponderão a descrição do comportamento da população em relação a variável em estudo. Além disto amostras desnecessariamente grandes acarretam desperdício de tempo e dinheiro e amostras demasiadamente pequenas podem levar a resultados não confiáveis. Sendo assim, para determinar o tamanho mínimo de uma amostra afim de estimar parâmetros como a media populacional a proporção populacional, é preciso que seja compreendido significado de terminados termos tais como: Parâmetro ( ): é uma medida usada para descrever uma características da população. Por exemplo a média populacional, a proporção populacional, a variância populacional. Os parâmetros, via de regra, são desconhecidos, são estimados a partir da amostra Estatística (ˆ): é uma mediada numérica que descreve uma característica de amostra. Poderá ser a média amostral X, a proporção amostral P e a variância amostral S. Erro amostral ( e ou d) ou precisão: é a máxima diferença que o investigador 0 admite suportar entre - ˆ. ível de confiança ou grau de confiança : é a probabilidade 1 - de o intervalo de confiança conter o verdadeiro valor do parâmetro é expresso em porcentagem. Intervalo de confiança: é um intervalo centrado na estimativa pontual, cuja probabilidade de conter o verdadeiro valor do parâmetro é igual ao nível de confiança. Alfa (): é a probabilidade de erro na estimação por intervalo, geralmente trabalha-se com = 5% ou 0,05 e = 1% ou 0,01. Valor crítico Z : é o número na fronteira que separa valores da estatística amostral prováveis de ocorrerem, dos valores que tem pouca chance de ocorrer. O exemplo a seguir refere-se a valor crítico e nível de confiança. Ex: Ache o valor crítico Z correspondente a um grau de confiança de 95%. Solução: Um grau de confiança de 95% corresponde a = 5%, na figura a área sombreada corresponde a =,5%. Desta forma obtemos Z = 1,96.

10 Prof. Janete Pereira Amador 10 Grau de confiança :95% 47,5% 47,5% Z 1,96 Z =0 Z 1, 96 Exercícios Determine o valor crítico a) 99% b) 94% c) 98% d) 9% e) 95% Z que corresponde ao grau de confiança indicado.. Alguns fatores para calcular o tamanho de uma amostra A determinação do tamanho da amostra depende de fatores como, : Tipo de investigação: depende das características populacionais a serem investigadas Tipo de população: se a população alvo do estudo é finita ou infinita. Variabilidade da população: quanto maior a variabilidade da população maior deve ser a amostra para representar esta variabilidade Quanto maior o grau de precisão desejado maior deve ser a amostra. A seguir serão apresentadas metodologias para calcular o tamanho da amostra quando queremos estudar a média e/ou a proporção de uma população.1 Determinação do tamanho da amostra para estimar a média populacional População Infinita População Finita ( Z ). n d ( Z ).. n d.( 1) ( Z ). Obs: Quando não se conhece o desvio padrão da população este poderá ser determinado por três diferentes maneiras: Especificações técnicas Resgatar o valor de estudo semelhantes Substituir pelo desvio padrão da amostra, que é obtida através de uma pré amostra (amostra piloto), de tamanho n 1 e t graus de liberdade. Se n < n 1 então a pré amostra (amostra piloto) selecionada de tamanho n 1, foi suficiente para garantir a precisão desejada.

11 Prof. Janete Pereira Amador 11 Se n > n 1, deve-se completar a pré amostra até atingir o valor de n que garanta a precisão ( e0 μ x ) desejada. A equação utilizada para calcular o tamanho da amostra será: ( t ). S. n, onde: 1 e.( 1) ( t ). S n 1 graus de liberdade. 0 Ex: Foram feitas 0 medidas do tempo gasto (em minutos) para se fabricar um componente industrial, obtendo-se os seguintes tempos: Esses dados são suficientes para estimar o tempo médio gasto nessa fabricação, com precisão de 30 segundos e 95% de certeza. Solução: n 1 = 0 Sx X i X n n 1 i e 0 = 30 seg/ 0,5 min 5 % = ,30 t =,093 ( t ). S,093.1,30 n = n 9, Como n > n 1, (30 > 0) deve-se e 0 0,5 buscar uma pré-amostra de no mínio 30 elementos para obter-se a precisão desejada. Exemplo: 1. Suponha que a variável escolhida em um estudo seja o peso médio de determinada peça, produzida em uma metalúrgica com produção serial (população infinita). Pelas especificações do produto, o desvio padrão é de 10 Kg. Logo admitindo-se um nível de confiança de 95% e um erro amostral de 1,5 kg. Calcule o número de amostras necessárias para estudarmos o peso médio das peças produzidas. 5 5%,5% ( Z ). n d Z 50,5% 47,5% Z 1,96 d 1,5Kg então 10kg de amostras necessária para realização do estudo será n 170, peças (1,96.10 n desta forma o número 1,5. Considere o exemplo anterior onde a fabricação não é mais seriada. A fabrica produz diariamente 600 peças. Sendo assim, qual seria o tamanho da amostra necessária para realizar o estudo.

12 Prof. Janete Pereira Amador 1 5 5%,5% ( Z ).. n d.( 1) ( Z ). Z 50,5% 47,5% Z 1,96 d 1,5Kg então (1,96) n 1,5.(599) (1,96) kg , n 133 desta forma serão necessárias, , , , amostras para realização do estudo quando não considerarmos produção serial.. Para estimar a proporção populacional População Infinita População Finita ( Z ). p. q n d obs: q 1 p n d ( Z ). p. q..( 1) ( Z obs: q 1 p ). p. q Obs: As vezes não se tem informação a respeito de p. este caso adota-se p = q =50%, o que levará a um tamanho de amostra superavaliado mas garantindo a precisão desejada, embora podendo ter como conseqüências, aumentos nos custos e no tempo de amostragem e, conseqüentemente, na pesquisa. Exemplo 1. Um estudo foi realizado para investigar a proporção de eleitores favoráveis ao candidato X. O pesquisador tem subsídios para suspeitar que esta diferença seja de 30%. Admita a população infinita e que se deseja um nível de confiança de 99% e um erro amostral de %. Qual o tamanho da amostra para realização deste estudo. 1 1% 0,5% (,57).0,30.0,70 n (0,0) Z 50 0,5% 49,5% Z,57 ( Z ). p. q 6,60.0,1 n d % 0,0. d 0,0004 p 30% 0,30 q 1 p q 1 0,30 0,70 1,40 0, Desta forma seria necessário uma amostra de 3500 pessoas para investigar a intenção de votos.. Valdemar, candidato a prefeitura do município Alfa deseja investigar a proporção de eleitores favoráveis a sua eleição. O candidato contratou uma empresa de assessoria para realizar uma pesquisa de intenção de votos. Sabendo que o município possui eleitores, quantos eleitores seriam necessários para investigar a intenção de votos, com um nível de confiança de 95% e um erro amostral de 4%.

13 Prof. Janete Pereira Amador 13 ( Z ). p. q. n d.( 1) ( Z ). p. q 5% Z 1,96 d 4% 0,04 5 p 50% 0,50,5% Z 50,5% 47,5% q 1 p q 1 0,50 0,50 n (1,96).0,5.0, ,04.(19.999) (1,96).(0,5.0,5) ,96 3, Desta forma seria necessário uma amostra de 583 pessoas para investigar a intenção de votos. Exercícios 1. Deseja-se estimar o preço médio de venda de livro texto para uma faculdade. Quantos exemplares devemos selecionar, para termos 95% de confiança de que a média amostral esteja menos de R$,00 da verdadeira média. Admitindo que os preços de livros de faculdade possuam um desvio padrão de R$ 35,00.. Um estudo será realizado para verificar a quantidade de lixo não reciclável produzido diariamente em dois bairros de São Paulo. Sendo assim quantas residências devemos investigar em cada bairro, para termos 99% de confiança de que a média amostral esteja a menos de 0,50 kg da verdadeira média populacional. As características de cada bairro são as seguintes primeiro é um bairro de moradias populares com moradias. o segundo é um bairro de classe média alta com moradias. Obs: estudos semelhantes foram realizados em outras grandes capitais brasileiras e obtevese desvio padrão de 0,700 kg para bairros de moradias populares e 1 kg para bairros de classe média alta. 3. O exército americano para confecção dos uniformes de seus soldados, importa do Brasil a matéria prima. O corpo de fuzileiros navais esta revendo seus pedidos, porque tem sobra de uniformes de recrutas de porte elevado e falta para recrutas de porte baixo. Sabendo que anualmente são recrutados soldados. Determine o tamanho da amostra necessário para a realizar um estudo a fim de determinar a estatura média dos fuzileiros Americanos. Desta forma orientando a confecção de uniformes bem como a quantidade de matéria prima importada. Para este estudo deve-se admitir um desvio padrão de 0, 5 m, nível de confiança de 95% e um erro amostral de 0,03 m. 4. Um estudo será realizado para traçar o perfil sócio - econômico dos pequenos produtores rurais (considera-se pequeno até 40 ha de terra), de uma cidade no interior do RS. Algumas das variáveis estudas serão o índice de analfabetismo, proporção de velhos jovens e crianças, renda. Sabe-se que o município possui pequenos

14 Prof. Janete Pereira Amador 14 produtores. Quantos produtores seriam necessários para realizar o estudo. Admitindo um nível de confiança de 99% e um erro amostral de %. 5. A Casa da Moeda esta tendo problemas na produção de moedas de 5 centavos, estas estão saindo com peso fora do especificado. Sendo assim, ela deve ajustar suas máquinas para que produza moedas com pesos especificados. Quantas moedas devem ser selecionadas aleatoriamente e pesadas para temos 99% de confiança em que a média amostral esteja a menos de 0,00 g da verdadeira média populacional das moedas de 5 centavos, sabendo que o desvio padrão destas moedas corresponde a 0,068g. 6. Uma psicóloga elaborou um novo teste de percepção matemática e deseja estimar o escore médio alcançado por Engenheiros Florestal de ambos os sexos. Quantos Engenheiros de cada sexo ela deve testar para que o erro da média amostral não exceda pontos, com 95% de confiança. Estudo anteriores sugerem um desvio padrão de 1, para sexo masculino e 0,8 para o sexo feminino. 7. Um Engenheiro Florestal deseja estimar a renda média para o primeiro ano de trabalho. Quantas rendas devem ser tomados, se o engenheiro deseja ter 95% de confiança em que a média amostral esteja menos de R$500,00 da verdadeira média populacional? Suponha que saibamos, por um estudo prévio, que para tais renda o desvio padrão é de R$ 1.800, Deve-se realizar uma pesquisa de opinião pública para determinar a proporção de pessoas que sofreram lesões em conseqüência de algum tipo de acidente de trânsito. Quantas pessoas deverão ser ouvidas para que sejam satisfeitas as seguintes condições: d = 0,0, p = 10%, = %?