ANAIS DO SEMINÁRIO JOGOS COM SUCATA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA O DESAFIO DOS CUBOS

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1 Universidade Federal de Pernambuco Centro de Educação PROJETO REDE ANAIS DO SEMINÁRIO JOGOS COM SUCATA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA O DESAFIO DOS CUBOS Juliana Pereira Gonçalves de Andrade Escola Maria do Carmo Viana Surubim julianaandradd@gmail.com Gracia Maria M. Montarroyos Escola Municipal Rodolfo Aureliano Recife graciapa11@gmail.com Martha Ferraz Instituto Capibaribe Recife marthacferraz@yahoo.com.br Histórico. Os jogos denominados quebra cabeças surgiram em meados de 1760 quando fabricantes de mapas colaram-nos em peças de madeiras e repartiram-nos em pequenos pedaços. Tais jogos tornaram-se um sucesso mundial e, uma vez barateados os seus custos de produção, popularizam-se. A complexidade desses quebra cabeças era determinada a partir do número de peças que eles continham. A exemplo disso temos o quebra cabeças Convergência da Springbox que, com 340 peças, reproduzia a obra Convergence do pintor norte americano do Expressionismo Abstrato, Jackson Pollock ( ). No texto em apresso, apresentamos o Desafio dos Cubos, um jogo do tipo quebra cabeças com caráter tridimensional cujo objetivo é o de construir um cubo utilizando todas as peças dadas. O intuito do jogo Desafio dos Cubos é o de promover explorações a respeito das ideias de plano e de espaço associadas aos conceitos de números quadrados e cúbicos. Desenvolvido por nós com material reciclável, suas peças são cubos iguais confeccionados com figuras em suas faces, conforme disposto na figura abaixo.

2 Figura 1. Peças do Desafio dos Cubos A escolha das figuras foi orientada de forma a promover a classificação entre diferentes informações, a exemplo da categorização entre animais e não, animais selvagens e domesticáveis e entre frutas e verduras, por exemplo. A disposição de tais figuras nas peças obedeceu a necessidade, posteriormente relatada nas regras, de deixar visíveis apenas figuras pertencentes a uma mesma classe. O quebra cabeças desenvolvido por nós para compor o Desafio dos Cubos conta com um conjunto de 64 peças. Apresentamos a seguir as características e finalidades didáticas inerentes ao desenvolvimento do Desafio dos Cubos. 1. Objetivo do Jogo O objetivo do jogo Desafio dos Cubos é o de montar um cubo utilizando um dado conjunto de peças contidas no conjunto de 64 peças de forma que todas as faces visíveis do cubo contenham apenas informações pertencentes a uma mesma categoria. No referido conjunto de peças constam faces com figuras de animais e não. Para jogar, o estudante deve escolher um determinado conjunto de peças e montar um cubo utilizando todas as peças escolhidas e de forma que em todas as faces visíveis apareçam apenas animais. 2. Material Para a confecção do quebra cabeças do Desafio dos Cubos serão necessários 64 cubos iguais confeccionados em papel, a partir de planificação ou dobradura, cujas faces são compostas pelas figuras dispostas no quadro 1 e seguindo o modelo de planificação dado a seguir.

3 2.1 Modelos de planificação das peças do jogo. Foram confeccionados quatro cubos com três faces compostas por animais e com modelo de planificação disposto na figura 2, vinte com duas faces compostas por animais e com modelo de planificação disposto na figura 3, vinte e oito cubos com uma de suas faces sendo composta por animal mamífero, cujo modelo de planificação está disposto na figura 4 e, por fim, doze cubos cujas faces são todas compostas por animais não. Figura 2. Modelo de planificação 3 Figura 3. Modelo de planificação 2 Figura 4. Modelo de planificação 3. Figura 5. Modelo de planificação 4

4 Cachorro Gato Porco Rinoceronte Elefante Urso Hipopótamo Morcego Esquilo Raposa Ornitorrinco Zebra Veado Búfalo Canguru Coala Leão Cavalo Macaco Baleia Minhoca Água viva Mosca Centopéia Urubu Aranha Escorpião Cavalo marinho Lagosta Camarão Caranguejo Pato Galinha Arara Louva deus Crocodilo Camaleão Tartaruga Lagarto Cobra Polvo Formiga Polvo Ouriço Barata Sapo Pavão Avestruz Quadro 1. Animais e não nas faces dos cubos.

5 3. Regras O jogador deve iniciar escolhendo um número de peças e, seguida, deve montar o cubo conforme explicitado anteriormente e disposto na figura 6. é permitido ao jogador acrescentar mais peças ao jogo escolhido inicialmente. Figura 2. Cubo montado com faces constando de animais. 4. Finalidades didáticas O objetivo didático maior do jogo Desafio dos Cubos é o de facilitar a transição entre o pensamento matemático elementar e o pensamento matemático avançado, a partir da generalização do conceito de números cúbicos. 4.1 Objetivos didáticos do jogo jogo: Tendo em vista as finalidades didáticas supracitadas, são objetivos didáticos do Reconhecer números cúbicos Acreditamos que o jogo Desafio dos Cubos pode promover o reconhecimento de números cúbicos, visto que para montar o cubo ele deverá perceber quais as medidas, em faces de cubo, perfeitas para a largura, cumprimento e profundidade do cubo a ser montado. Um exemplo dessa situação é dado a seguir. Supõe-se que um estudante é desafiado a construir um cubo e escolhe o conjunto com 64 peças. Ele deverá reconhecer que apenas pode construir um cubo com medidas de cinco peças de altura, cinco peças de comprimento e cinco peças de profundidade, ou seja, deverá compreender que 4x4x4=64. Posteriormente, ele deverá compreender que, caso lhe seja escolhido um conjunto com uma ou duas peças a menos, por exemplo, 62 peças, não será possível construir o cubo, pois 62 não é um número cúbico.

6 3.1.2 Promover a classificação de informações em categorias Como o objetivo do jogo é o de montar o cubo deixando visíveis apenas as figuras pertencentes a uma mesma categoria, como o cubo dos animais domésticos ou dos transportes terrestres, será possível ao estudante a introdução ao tratamento de informação a partir da classificação dessas figuras expostas em categoria comum. Figura 3. Faces visíveis do cubo com figuras da mesma categoria Desenvolver o raciocínio abstrato e a generalização de ideias Recomendamos iniciar com sequencia de peças: 8, 27, 64, A partir da construção inicial de cubos com um número menor de peças e consequente ampliação. A criação de novos jogos e cada desafio proposto com um número maior de peças oportuniza ao estudante conjecturar sobre o número de quadrados existentes em cada face de cada cubo, e sobre o número de cubos existentes em um cubo com as dimensões dadas. Outras conjecturas sobre o número de faces visíveis e não visíveis também são evidenciadas. No caso do cubo formado por 8 peças, serão encontradas 24 figuras de uma categoria, ou 6x4, e 24 de outra, totalizando, 48 figuras, ou 8x6, das quais apenas 20, ou 5x4, serão visíveis. Para o de 27 peças, a generalização se mantém visto que serão encontradas 54 figuras de uma mesma categoria, ou 6x9, das 162, ou 27x6, existentes no jogo, das quais 45, ou 5x9 deverão estar visíveis. Em uma possível generalização, é possível perceber que dado um número n de peças escolhidas em um conjunto de peças do jogo, a medida do lado l do cubo a ser formado sempre será obtida a partir da raiz cúbica de n, de forma que l = ³ n. 5. Os poliedros e o desenvolvimento do pensamento matemático avançado O pensamento matemático avançado é, segundo Eisenberg Dreyfus [1], uma série de processos que interagem entre si, como por exemplo, os processos de representar, visualizar, generalizar, ou ainda classificar, conjecturar, induzir, sintetizar, abstrair ou

7 formalizar. Em diferenciação a tal nível de pensamento matemático e do pensamento matemático elementar, David Tall [2] afirma existir uma transição significativa entre os dois, exemplificando com o momento em que o indivíduo realiza a passagem do escrever para o definir e do convencer para o provar. Para Eddie Gray e colaboradores [3], essa transição está relacionada a mudança do sentido construção do objeto-definição para definição-construção do objeto. Acreditamos que no Desafio dos Cubos, a transição proposta por David Tall [2] Eddie Gray e colaboradores [3] acontece entre o momento em que o estudante recebe os primeiros conjuntos e tenta construir o cubo a partir da organização das informações e o momento em que ele recebe conjuntos mais complexos de cubos para montar. De acordo com o estudo realizado por Marcelo Gomes Proença, Nelson Pirola e Quintiliano [4], alunos do Ensino Médio mostraram pouco conhecimento conceitual sobre figuras planas e não planas ao denominaram a pirâmide de base quadrada de triângulo e o cubo de quadrado. Complementarmente, Marcelo Gomes Proença e Nelson Pirola [5] destacam como dificuldades de reconhecimento em relação aos conceitos de polígono e poliedro as que se seguem: (a) diferenciação entre uma figura plana (bidimensional) e uma figura não plana (tridimensional); (b) conhecimento dos atributos definidores de polígonos e de poliedros; (c) perceber a relação entre um polígono e um poliedro, no que diz ao primeiro compor as faces do segundo; e (d) diferenciar polígonos de figuras que apresentam alguma linha curva como, por exemplo, círculo. A visualização é o processo do pensamento matemático que mais intervém no pensamento geométrico, definindo tal pensamento como pensamento visual-espacial. As dificuldades observadas em relação aos conceitos geométricos envolvem aspectos inerentes ao desenvolvimento do pensamento visual-espacial resultantes da percepção; o da manipulação de imagens e construção de relações entre imagens; o que está ligado à transmissão e comunicação, representação isto é, à exteriorização do pensamento. O desenvolvimento desse pensamento é importante componente para o desenvolvimento cognitivo do pensamento matemático avançado. Dessa maneira, com a manipulação das peças do jogo Desafio dos Cubos e a categorização das figuras das faces, dispondo-as de maneira visíveis, acreditamos que o referido jogo poderá contribuir para o desenvolvimento do pensamento visual espacial. Ele desenvolve a percepção da maneira como as peças deverão estar dispostas na montagem do cubo.

8 6. Do formato das peças aos poliedros: algumas possíveis modificações Explorações com outros poliedros como prismas e paralelepípedos também são possíveis. 7. Referências [1] Dreyfus, T.Advanced mathematical thinking processes. In David Tall (Org.), Advanced mathematical thinking. Dordrecht: Kluwer, pp , [2] Tall, D. The psychology of advanced mathematical thinking. In D. Tall (Org.), Advanced mathematical thinking.dordrecht: Kluwer, pp. 3-21, [3] GRAY, Eddie., PINTO, Marcua., PITTA, Denetra., & TALL, David. Knowledge construction and diverging thinking in elementary and advanced mathematics. Educational Studies in Mathematics, v. 38, pp , [4] PIROLLA, N. A.; QUINTILIANO, L. C. & PROENÇA, M. C. Um estudo sobre o desempenho de alunos do ensino médio em tarefas envolvendo o conceito de polígono e poliedro. In Anais do II Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática. Santos, [5] PROENÇA, M.C; PIROLLA, N.A. O conhecimento de polígonos e poliedros: uma análise do desempenho de alunos do ensino médio em exemplos e não-exemplos. Revista Ciência e Educação, Bauru, vol.17, no.1, 2011.