Teoria de Vórtices. Circulação agarrada à pá. Distribuição de sustentação na pá. Folha de vórtices atrás da pá. Enrolamento do

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1 Circulação agarrada à pá Distribuição de sustentação na pá Folha de vórtices atrás da pá Enrolamento do vórtice da ponta Vorticidade emanada Vorticidade da esteira Vórtice da ponta da pá Vórtice da ponta de uma pá anterior Slide 1

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3 µ0. Slide 3

4 µ0.4 Slide 4

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6 Trajectórias dos vórtices da ponta da pá Vista de topo Slide 6

7 Definição da idade da esteira Filamento do vórtice da ponta da pá Slide 7

8 Trajectória do vórtice da ponta Assumindo: Esteira sem distorção no plano x-y Trajectórias são formas epicicloidais As trajectórias podem ser descritas pelas equações paramétricas: x tip y R tip R cos( ( ψ ψ ) + µψ b w b ( ψ ψ ) sin ψb w Slide 8

9 Interacção Pá - Vórtice Interacção Pá - Vórtice Os pontos de todas as possíveis IPV são determinadas quando as seguintes equações são satisfeitas parar(na pá) eψ b : b ( ) ( ) + b w b b i r µψ ψ ψ π ψ cos 1 cos ( ) ( ) + b w b b b i r π µψ ψ ψ ψ 1 cos cos ( ) ( ) w b b b i r ψ ψ π ψ sin 1 sin Slide 9

10 ψ Interacção Pá - Vórtice Que tem como solução : b sin 1 cos sin w w sin µψw Só a parte real interessa: ( ) ψ ± sin µ ψ ( ψ ) µ ψ sin ( ) w ψw > 0 Com o correspondente valor para r: sin( ψ ) b ψw r sin ψ ( ) ψ b w Slide 10

11 Interacção Pá - Vórtice Podemos então obter as coordenada x e y: Com x ( ) y r ( ψ ) r cos ψb sin b ( i 1 ) π b Assumindo valores de ψ w >0 e obtendo valores de ψ b e r pode-se determinar todos os pontos possíveis de IPV Slide 11

12 Interacção Pá - Vórtice Slide 1

13 Interacção Pá - Vórtice Rotor 1 pá De eslocamen ntos adime ensionais Rotor pás Passagem 1º pá Rotor pás Rotor pás Rotor 1 pá Passagem 1º pá Rotor 1 pá Idade da esteira Slide 13

14 Usa a extensão da teoria da linha sustentadora de Prandtl É uma combinação Do teorema de Kutta-Joukowski Da lei de Biot-Savart Estrutura da esteira pré-definida ou livre quer para os vórtices da ponta da pá quer para a folha de vórtices. Robin Gray propôs um modelo da esteira em 195. Landgrebe generalizou o modelo de Gray com o uso de dados experimentais. A teoria de vórtices foi utilizada extensivamente no anos 70 e 80 para o cálculo do desempenho dos rotores sendo substituído por métodos DFC. Slide 14

15 A teoria de vórtices resolve alguns dos problemas da TCEPML com propulsões elevadas (grandes C T/σ). σ Com estes parâmetros a velocidade induzida é afectada pela contracção da esteira. Perto da ponta pode haver uma velocidade induzida para cima (em vez de ser para baixo) devido a esta contracção, provocando um maior carregamento na ponta o que altera a potência consumida. Slide 15

16 Teorema Kutta-Joukowsky A ligação entre a sustentação por unidade de comprimento e a circulação local é: dl ( Ω y) Γ dy 1 ( Ω y) cc dy ρ ρ Dado que : dc T b ρ dl A( ΩR) b ρ ρ L ( Ωy ) Γdy A( ΩR) Γ C L ( Ωy)c Γrdr b πr Ω Slide 16

17 Já vimos que: Então: Γ Teorema Kutta-Joukowsky σ C Ω π R dc T σ ΩRc C l tip rdr ( r ) const C l tip l tip b Sendo a circulação constante ao longo da pá o teorema de Helmholtz requer que um único vórtice com a mesma intensidade seja largado da ponta da pá. Slide 17

18 Representação dos vórtices ligados e largados Ω Pressão dinâmica Velocidade Vórtice forte da ponta Dado que a vorticidade não pode aumentar em patamares no espaço são largados vórtices na esteira da pá. Slide 18

19 Lei de Biot-Savart Fundamental para todos os modelos de vórtices é a necessidade de calcular a velocidade induzida num determinado ponto devido a um filamento de vórtices Pá do rotor Aproximação a segmentos de linha Pontos extremos Filamento curvo de vórtice Filamento de vórtice Γ dl v 4 π 3 r d v r Slide 19

20 Biot-Savart Law Uma expressão diferente pode ser encontrada: Ponto de Controlo r1 V induzida r Γ n B Segmento de Vórtice A ( r ) r 1 r r Γ rr 1 r1 r 4 π rr r r r + rc r + r r r ( ) ( ) ( ) Slide 0

21 Modelo de Vórtice Para evitar uma velocidade infinita quando r 0, o vórtice é modelado com uma região exterior potencial e uma região interior em rotação (corpo rígido) pura Velocidade tangencial Região potencial Raio do núcleo do vórtice Corpo rígido em rotação Velocidade tangencial Slide 1

22 Modelo de Vórtice O raio do núcleo, r c, é definido como a localização c radial onde a velocidade V θ é máxima r Por isso V θ é máxima em r 1 Esta fronteira limita a região interior (rotação pura) da exterior (potencial). r c Slide

23 Modelo de Vórtice O modelo mais simples é o de Rankine: O núcleo é um corpo rígido em rotação. A velocidade fora diminui hiperbolicamente com a distância V θ ( r) Γ π v Γ v r c π r c r 1 0 r r > 1 1 Slide 3 r

24 Modelo de Vórtice Uma alternativa é o modelo de Oseen-Lamb, obtido através de uma forma simplificada das equações Navier-Stokes: V θ ( r ) Onde α Γ ( ) v 1 e αr π r r c Slide 4

25 Modelo de Vórtice Newman também derivou uma solução exponencial para as três componentes da velocidade devido ao vórtice baseado numa formulação simplificada das equações de Navier-Stokes. O resultado para a velocidade tangencial é o mesmo que o de Ossen-Lamb mas Newman consegue demonstrar que a velocidade axial é: A V ( r ) e αr z z A é a constante que pode ser relacionada com a resistência de linhas geradores de sustentação. Slide 5

26 Modelo de Vórtice Vastitas propôs uma série de modelos para retirar a singularidade da velocidade: Γ ( r) v θ π rc V ) 1 r ( ) 1+ r n n Slide 6

27 Modelo de Vórtice angencial ocidade ta Velo Distancia adimensional Slide 7

28 Crescimento do núcleo do vórtice A dimensão do núcleo do vórtice é uma dimensão importante que pode ser usada para definir a estrutura e evolução dos vórtices da ponta da pá. O raio médio do núcleo poder ser considerado como metade da distância entre os máximos da velocidade. Slide 8

29 Crescimento do núcleo do vórtice gencial idade tang Veloci Distancia adimensional Slide 9

30 Crescimento do núcleo do vórtice onal adimensio o núcleo a Raio do Idade da esteira Slide 30

31 Crescimento do núcleo do vórtice Um modelo simples qualitativo do crescimento do núcleo do vórtice com o tempo pode ser obtido a partir dos resultados de Lamb s para escoamentos laminares Partindo do perfil para as velocidade tangenciais: V θ ( r ) Γv πr 1 e Utilizando uma mudança de variável: ( ) 1 Γv r 4 t Vθ r 1 e π x 4νt x ν ( ) ( ) x Slide 31 r 4υt

32 Crescimento do núcleo do vórtice O raio do núcleo r c corresponde ao valor de r c quandov θ é máximo: dv Γ θ v 1 1 x x + e + e dx π 4νt x x Γ [( ) ] v 1+ x e x 1 0 π x 4νt Cuja solução x1.109 implica que o núcleo cresce com: x r 4ν t 1 ( t) νt ( t) 4ανt ( ) r c r c Slide 3

33 Crescimento do núcleo do vórtice Ondeα ver o modelo de Lamb. Na prática, devido à geração de turbulência a difusão de vorticidade no vórtice acontece muito mais depressa: Este efeito, que é um efeito fundamental complicado, pode ser incorporado no modelo de crescimento utilizando um coeficiente médio de turbulência viscosa: r c ( t ) 4 αδνt Slide 33

34 Aplicação da teoria Com esta teoria podemos: Simular folhas de vórtices / vórtice da ponta da pá Calcular variação do vórtice com a idade da esteira Calcular a velocidade induzida por um vórtice em qualquer ponto Vamos agora ver como é que podemos aplicar esta teoria ao estudo de um rotor Slide 34

35 Representação da pá Distribuição da circulação ligada ao longo da pá (assumida como constante em cada segmento) Vórtice ligado ao perfil localizado a c/4 Pontos de controlo da pá localizados a 3c/4 Elementos de pá Veio do rotor Esteira próxima composto de vorticidade largada Slide 35

36 Solução para a intensidade dos Nos pontos de controlo: vórtices v v Velocidade normal + v Velocidade normal + vcomponente normal 0 nk induzida pelos vortices da asa induzida pelos vortices da esteira da velocidade do escoamento Matriz das equações a ser resolvida para as incógnitas Γ s a a 11 a a 1 a a 1m Γ Γ Γ Γ 1 RHS RHS 1 m a31 a3 a3m 3 RHS3 am 1 a11 a mm Slide 36 m RHS 1 m

37 Modelação da esteira de vórtices Escoamento Escoamento Slide 37

38 Modelo de Landgrebe Vórtice da ponta da pá Folha de Vórtices Esteira interior desce mais depressa do perto da ponta do que junto à raiz. A trajectória do vórtice da ponta tem uma contracção que pode ser simulada por uma curva Slide 38

39 Contracção Radial Posição radial do vórtice da ponta da pá: y tip A + (1 A) e R Com os valores empíricos de: A 0.78 Bψ B CC T w Slide 39

40 Interpolação de Landgrebe para a contracção do vórtice da ponta R w R Teoricamente R R w v v Ψ na prática R 0. 78R R w Slide 40

41 Interpolação de Landgrebe para a velocidade de descida do vórtice da ponta da pá z tip R z tip R kψ 0 ψ 1 z w π tip + k ψ w R π ψ b w b C k 0.5 T θ 1 tw w 0 θ σ π b ψ w π b k C C θ T T Slide 41 tw

42 Interpolação de Landgrebe para a folha de vórtices Zona exterior b w w r K z π π π ψ ψ 0 1 1, + b w b w r b r r K K R π ψ π ψ π 1, 1 1, 1 Zona interior 0 0 π ψ π ψ π ψ ψ w r K R z Slide 4 0, 0 ψ ψ w w r r K

43 Interpolação de Landgrebe para a folha de vórtices Com K K K 1, r 1, r 1..7 θ 18 CT C T ( 0.45θ + 18) tw, r 0 θ tw C T Slide 43

44 Modelos para a esteira de vórtices com Anel de vórtices: velocidade de avanço Empilhamento de anéis de vórtices ( Tubos de vórtices) Cada anel é o vórtice emanado pela pá numa rotação completa. A posição dos vórtices é definida pela teoria do momento linear. Uma solução analítica para a velocidade induzida pode ser obtida com este modelo Slide 44

45 Modelos para a esteira de vórtices com velocidade de avanço Esteira rígida ou sem distorção: Os vórtices emanados são representados por filamentos helicoidais inclinados A posição do filamento de vórtice é definido geometricamente com base em condições de voo e da teoria de momento linear. Não há interacções do entre filamentos nem efeitos do filamento na sua própria posição. Slide 45

46 Modelos para a esteira de vórtices com velocidade de avanço Modificações para esteira rígida Outro tipo de modelos para a esteira, baseados em observações experimentais, foram apresentados A vantagem destes é que, com um aumento do esforço computacional, pode-se ter uma melhor representação da geometria da esteira. Slide 46

47 Representação do vórtice da ponta da pá na análise computacional O vórtice tem uma estrutura helicoidal contínua. Esta estrutura contínua é representada por pequenos segmentos de recta, cada um representado 15º-30º de idade da vórtice.. A intensidade do vórtice é assumida como o máximo da circulação na pá. Alguns cálculos assumem 80% do valor máximo. Assume-se que o vórtice tem um núcleo com um raio empiricamente estabelecido, de maneira a manter a velocidade finitas. Slide 47

48 Resumo do cálculo utilizando a teoria de vórtices esteira rígida. Calcular o rácio da velocidade induzida utilizando o TEP primeiro e a lei de Biot-Savart durante as iterações seguintes. Calcular a distribuição radial de cargas. Converter estas cargas em intensidade de circulação. Calcular o máximo desta circulação. Este é o valor da intensidade do vórtice da ponta da pá. Assumir a trajectória do vórtice. Eliminar o rácio da velocidade induzida calculada com o TEP e fazer o cálculo utilizando a lei de Biot-Savart. Repetir até se atingir a convergência. Durante cada iteração ajustar o ângulo de picada da pá se o C T calculado é muito pequeno ou muito grande, quando comparado com o valor fornecido. Slide 48

49 Modelos de esteira livre Estes modelos removem a necessidade de modelar à partida a trajectória das estruturas de vórtices. Os cálculos são feitos através de incrementos de tempo, com uma proposta inicial para a esteira. Os pontos extremos de cada segmento de vórtice podem mover-se livremente no espaço convectados pela velocidade induzida neste pontos. As suas posições são actualizadas no final de cada incremento de tempo. Slide 49

50 Modelos de esteira livre Pá Pá Aproximação a segmentos de linha Pontos extremos Filamento de vórtice curvo Velocidade induzida por um elemento emanado da pá N-1 Slide 50

51 Cálculos (Vista de cima) Experimental Esteira livre Esteira rígida Slide 51

52 Vortex Calculation (Side View) Experimental Esteira livre Esteira rígida Escala vertical aumentada Slide 5

53 Cálculos por Prof. Leishman Rotor do Helicóptero em velocidade de descida pequena (Estado de anéis de vórtices incipiente com transição para voo horizontal com pequena velocidade de avanço. Slide 53

54 Cálculos por Prof. Leishman Helicóptero Tandem com velocidade de descida pequena. Slide 54