Material Didático para a Disciplina de Introdução à Lógica. Curso de Ciência da Computação Profa. Dra. Thereza Patrícia Pereira Padilha

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1 Material Didático para a Disciplina de Introdução à Lógica Curso de Ciência da Computação Profa. Dra. Thereza Patrícia Pereira Padilha Palmas TO Última Revisão: Fevereiro/2011

2 Sumário Aula 1 Teoria dos Conjuntos... 3 Aula 2 Enunciado Categórico Aula 3 Lógica Proposicional Aula 4 Tabela-verdade Aula 5 Implicação e Equivalência Lógica Aula 6 Prova do Condicional Aula 7 Redução ao Absurdo (RAA) Aula 8 - Árvore de Refutação Aula 9 Lógica de Predicados Aula 10 Regras para Lógica de Predicados Aula 11 Árvore de Refutação para Lógica de Predicados Aula 12 Programação em Lógica - Prolog Apostila de Introdução à Lógica Página 2

3 Aula 1 Teoria dos Conjuntos Introdução O estudo da teoria dos conjuntos é importante para várias subáreas da área da informática e computação, tais como: lógica, banco de dados, inteligência artificial, entre outros. Nesta primeira aula da nossa disciplina, iremos abordar os conceitos da teoria dos conjuntos. Para isso, apresentaremos a forma de notação (representação) dos conjuntos, elementos e operações. Serão descritas também algumas leis já definidas na literatura envolvendo as relações entre conjuntos. Por fim, apresentaremos os diagramas de Venn como um mecanismo de representação dos conjuntos, elementos e seus relacionamentos. 1.1 Definição e notação Segundo Mortari (2001), os conjuntos podem ser definidos como coleções nãoordenadas (classes ou agregado) de objetos. A notação usada para representar um conjunto é por meio de letras maiúsculas. Os elementos, por sua vez, são representados por letras minúsculas, quando se trata de letras. Os elementos do conjunto são separados por vírgula (mais comum) ou por ponto-e-vírgula. Assim, temos os seguintes exemplos: A 2,4,6,8,10,12,14,16 B a, b, c, d, e C D E F 1,2,3,4,5,...,99 números inteiros ímpares, de1inclusive a 50 inclusive x x 20 números inteiros pares Nestes exemplos, temos a apresentação do conjunto A contendo uma coleção de números, iniciando com dois e terminando em 16, com um incremento de dois. No conjunto B, temos um conjunto de vogais do nosso alfabeto. No conjunto C, temos a especificação limitada dos números pertencentes ao conjunto embora não seja possível a sua visualização. Já no conjunto D, embora temos uma descrição é possível identificar quais valores pertencem a este conjunto. Assim, podemos dizer que A, B, C e D são conjuntos limitados, ou seja, possui um conjunto específico de elementos. Apostila de Introdução à Lógica Página 3

4 Outro aspecto que podemos analisar nos conjuntos limitados é a sua cardinalidade, isto é, a quantidade de elementos que um conjunto finito possui. A cardinalidade é denotada por n ( conjunto ). Considerando estes conjuntos, teríamos: n ( A) 8 n ( B) 5 n ( C) 99 n ( D) 25 PS: A ordem em que os elementos são apresentados num conjunto é irrelevante. Por exemplo, X a, b, c { c, b, a} (Roisenberg, 2008). O conjunto E, por sua vez, é constituído por todos os elementos que são maiores ou igual a 20. Neste caso, usamos a variável x para designar a existência de um elemento sendo que este precisa ser maior ou igual a 20. Neste caso, lê-se x, tal que x é maior ou igual a 20. No conjunto F é composto por todos os números inteiros pares. De forma similar ao conjunto D, a partir da descrição é possível identificar quais os elementos que pertencem a este conjunto. No caso dos conjuntos E e F, especificamente, podemos ainda denominá-los de ilimitados, ou seja, não existe um limite definido. 1.2 Conjuntos especiais Dentre os conjuntos existentes, podemos destacar a existência de três conjuntos especiais, que são: vazio, unitário e universo (Iezzi e Murakami, 1993). Vamos analisar e exemplificar agora cada um desses conjuntos. O conjunto vazio, como seu próprio nome indica, é vazio, isto é, não possui elementos. Assim, podemos representar um conjunto vazio da seguinte maneira: ou É importante ressaltar que o conjunto vazio faz parte de todo conjunto, ou seja, é um subconjunto de todos os outros conjuntos. Não confundam. A representação do conjunto vazio é realizada somente por ou e não por { }(Mortari, 2001). Apostila de Introdução à Lógica Página 4

5 Um conjunto é chamado unitário quando este possui somente um elemento. Alguns exemplos de conjunto unitário são: T 2 Z a V Maria E um conjunto universo refere-se a reunião de todos os elementos dos conjuntos em questão. A notação utilizada para denotar o conjunto universo é U. A repetição dos elementos num conjunto é também irrelevante. Por exemplo, X a, a, b, c, c, b, b { a, b, c} (Roisenberg, 2008). 1.3 Relações entre conjuntos Pertinência é uma relação que podemos analisar se elementos pertencem, ou seja, fazem parte de um determinado conjunto. Para isso, utilizamos o símbolo, para representar tal fato. Assim, podemos exemplificar a relação de pertinência da seguinte forma, observando os conjuntos definidos na seção 1.1: 2 A(lê-se: 2 pertence ao conjunto A) d B (lê-se: d pertence ao conjunto B) 52 C (lê-se: 52 pertence ao conjunto C) 500 E (lê-se: 500 pertence ao conjunto E) Quando não se tem esta relação de pertinência entre elemento e conjunto, dizemos que tal elemento não pertence ao conjunto. Neste caso, usamos o símbolo para mostrar esta informação. Desta maneira, alguns exemplos desta relação são: 3 A (lê-se: 3 não pertence ao conjunto A) t B (lê-se: t não pertence ao conjunto B) 57 D (lê-se: 57 não pertence ao conjunto D) 1 F (lê-se: 1 não pertence ao conjunto F) Além de verificar se um elemento pertence ou não a um conjunto, podemos ainda investigar sobre a ocorrência de subconjuntos. Dizemos que um conjunto é subconjunto do outro quando todos os elementos do primeiro conjunto estão presentes também no segundo. Apostila de Introdução à Lógica Página 5

6 Desta maneira, dizemos que o primeiro conjunto está contido no segundo. Analisando os conjuntos C e D definidos anteriormente, podemos afirmar que o conjunto D está contido em C. De modo notacional, podemos expressar esta relação da seguinte forma: D C Outra forma de expressar este fato é por meio da relação contém. Assim, podemos dizer que C contém D, que pode ser expresso da seguinte forma: C D A partir desses relacionamentos entre conjuntos, é possível identificar algumas propriedades genéricas, que são (Mortari, 2001): A A A se A B e B C então A C se A B e B A então A B O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado A é chamado de conjunto potência (ou conjunto das partes) de A, denotado por P (A) (WIKIPEDIA, 2008). Podemos ainda definir assim: P( A) x x A fórmula O número total de subconjuntos possíveis num conjunto qualquer é encontrado pela n 2, em que n refere-se à quantidade de elementos do conjunto. Considerando S 1,3,5, então teremos Assim, teremos oito subconjuntos. São eles: ,3 1,5 3,5 1,3,5 Ou seja, ( S), 1, 3, 5, 1,3, 1,5, 3,5, 1,3,5 P. Apostila de Introdução à Lógica Página 6

7 Além dessas operações, podemos também estabelecer a igualdade entre dois conjuntos. Neste caso, dizemos que os conjuntos são iguais quando possuem exatamente os mesmos elementos. Considerando o conjunto S apresentado anteriormente e o conjunto C 1,5,3, então podemos representar esta igualdade da seguinte forma: S C 1.4 Operações sobre conjuntos Como você já estudou a usar a notação dos elementos e conjuntos, vamos agora aprender a realizar operações entre conjuntos, visando observar quais elementos fazem parte de uma operação e, consequentemente, identificando um novo conjunto. Assim, vamos agora aprender o comportamento das operações de união, interseção, complemento e diferença perante aos conjuntos analisados. Para isso, considere os conjuntos U 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, A 2,4,6 e 1,2,3,4,5 B União A operação de união entre conjuntos é formada pela reunião de todos os elementos dos conjuntos envolvidos. Para representar a operação de união usamos o símbolo. Por exemplo, considerando os conjuntos A e B definidos anteriormente, podemos denotar a união destes conjuntos por segue: A B. Neste caso, temos: A B { x x Aou x B } No modo mais detalhado, a união dos conjuntos A e B pode ser visualizada como A B {1,2,3,4,5,6} Interseção A operação de interseção entre conjuntos é formada pela reunião dos elementos que pertencem aos conjuntos envolvidos simultaneamente. Ou seja, estes elementos precisam pertencer aos conjuntos ao mesmo tempo. Para representar a operação de interseção usamos o símbolo. Por exemplo, considerando os conjuntos A e B definidos anteriormente, podemos denotar a interseção destes conjuntos por A B. Neste caso, temos: A B { x x A e x B } Então, observando os elementos dos conjuntos, teremos: Apostila de Introdução à Lógica Página 7

8 1.4.3 Complemento A B {2,4} A operação de complemento de um conjunto qualquer é formada pelos elementos que fazem parte do conjunto universo, mas não deste conjunto em questão. Assim, considerando o conjunto A, o complemento de A, representado por A, pode ser definido da seguinte forma: A = { x Ou ainda definido com a expressão Diferença por x U e x A} A U A. Assim, teremos A 1,3,5,7,8,9,10. Dados os conjuntos A e B, a operação de diferença entre conjuntos é representada A B, de forma semelhante à matemática básica. Neste caso, a diferença entre estes conjuntos é formada por elementos pertencentes à A e não a B. Sendo assim, poderíamos expressar esta operação da seguinte maneira: A B {6} 1.5 Propriedades Com relação às operações entre conjuntos, existem várias propriedades já predefinidas na literatura. As principais propriedades podem ser conferidas na tabela 1, na qual apresenta também um exemplo do seu comportamento usando os conjuntos A, B e C. Tabela 1: Propriedades de Conjuntos Nome da Propriedade Idempotência Identidade Associativa Comutativa Distributiva De Morgan Exemplo A A A A A A A A AU A A ( B C) ( A B) C A ( B C) ( A B) C A B B A A B B A A( B C) ( A B) ( AC) A( B C) ( A B) ( AC) A B A B A B A B Apostila de Introdução à Lógica Página 8

9 Provando a veracidade da propriedade de De Morgan, por exemplo, observe o seguinte raciocínio para a primeira fórmula: x A B x A B x A ou x B x A e x B x A B 6. Logo, A B A B De forma análoga ocorre com a segunda fórmula, conforme pode ser visto a seguir: x A B x A B x A e x B x A ou x B x A B 6. Logo, A B A B A prova das outras propriedades pode ser realizada de modo similar ao apresentado com as fórmulas da propriedade de De Morgan. 1.6 Diagramas de Venn Com intuito de representar graficamente os elementos pertencentes aos conjuntos, foi criado um diagrama envolvendo os conjuntos existentes. Este diagrama foi criado pelo matemático John Venn e é mais conhecido na literatura por diagrama de Venn. Portanto, os diagramas de Vennn são representações gráficas de conjuntos num plano (TUTORVISTA, 2008). O conjunto universal é representado por um retângulo e os outros conjuntos normalmente são representados por círculos, elipses ou quadrados localizados dentro do retângulo. Então um possível diagrama Venn pode ser visualizado na figura 1. Apostila de Introdução à Lógica Página 9

10 U P Q Figura 1: Diagrama de Venn Exemplo 1. Neste caso, temos o conjunto universo representado pelo retângulo e os conjuntos P e Q, representados por dois círculos. Neste exemplo, o conjunto P é mais abrangente e o conjunto Q se encontra dentro do conjunto P. Assim, podemos concluir que P significa que Q está contido em P, ou seja, Q é um subconjunto de P. Q, que Outro exemplo do diagrama de Venn pode ser visualizado na figura 2. U P Q Figura 2: Diagrama de Venn Exemplo 2. Neste exemplo, temos também os conjuntos P e Q. Observe que alguns elementos podem pertencer a P e não a Q. De forma similar, podem existir elementos que pertençam a Q e não a P. Porém, elementos comuns a este dois conjuntos podem existir e, neste caso, estes precisam ser inseridos no local em que há a fusão entre os conjuntos P e Q. E também Apostila de Introdução à Lógica Página 10

11 pode ser que existam elementos que não estejam nestes dois conjuntos e, assim, pertencendo somente ao conjunto universo. Incorporando alguns elementos a estes três conjuntos, poderemos visualizar este novo diagrama na figura 3. U P Q Figura 3: Diagrama de Venn Exemplo 3. Observe que neste exemplo, foram adicionados elementos na região do conjunto universo, excetuando às regiões delimitadas por P e Q, bem como para as regiões de P e Q, inclusive, a região comum ao P e ao Q. Portanto, podemos concluímos as seguintes operações: U {1,23,4,5,6,7,8,9,10} P Q {3,4,5,6,7,8,9,10} P Q {5,6 } P {1,2,7,8 } Q {1,2,3,4,9,10} P Q {3,4,9,10} Q P {7,8 } Embora foram apresentados somente dois conjuntos ( P e Q ), um diagrama de Venn pode possuir diversos conjuntos simultaneamente. A sobreposição de conjuntos num diagrama é uma característica bastante normal, pois possibilita apresentar elementos comuns aos conjuntos. Apostila de Introdução à Lógica Página 11

12 Atividades 1. De acordo com os princípios da teoria dos conjuntos, analise as afirmativas a seguir associando V para verdadeira e F para falsa e, depois, assinale a alternativa contendo a seqüência correta. I - e{ a, b, c} II - { a, b, c} III - c{ a, b} { e, d, c} IV - { 1, b} {1, b, c} {4, d,1, f, b} a) F, V, F, V b) V, F, V, V c) V, V, V, F d) V, V, V, V 2. Considerando os conjuntos A {2,4}, B {1,4,8 } e C {3,5,8 } seguintes operações: a) A B b) C B c) A C d) ( A B) ( C B), identifique os elementos das 3. Construa um diagrama de Venn para representar os elementos dos conjuntos P, Q, R e U. U {1,2,3,4,5,6,7,8} P Q R {1,2,3,4,5,6,7} P Q {1,2,3,4,5,6} P R {1,2,3,4,5,7} Q R {1,2,3,5,6,7} P Q {1,2} Apostila de Introdução à Lógica Página 12

13 P R {1,3} R Q {1,5} P Q R {1} 4. Considerando os conjuntos A {2,4} e B {1,4,8 } a) P ( B) 1, 4, 8, 1,4, 1,8, 4,8, 1,4,8 b) n ( A B) 5 c) B A d) P(A), assinale a alternativa correta. 5. Considerando que A e B sejam dois conjuntos, demonstre que A B A ( A B). 6. A determinação por extensão do conjunto { x x N e x<1} é: a) {0, 1} b) c) {0} d) {{0}} 7. Coloque ao lado da sentença a letra V ou F conforme seja verdadeira ou falsa: a) 0 b) 3 {1, 2, 3, 5} c) {3} d) 5 {{5}} e) 4 {{4}, 4} f) {3, 4} {{3, 4}, {5, 6}} g) {1, 2} {1, 2, 3, 4, 5} 8. Desenhe um diagrama de Venn para representar A B e B C. 9. A determinação por extensão do conjunto {x x e x = 1} e: a) {0, 1} Apostila de Introdução à Lógica Página 13

14 b) {} c) {0} d) {{0}} 10. Utilize diagramas de Venn para representar as seguintes informações: a) O conjunto dos advogados está contido no conjunto dos seres humanos, pois todo advogado é ser humano; b) O conjunto dos cães está contido no conjunto dos animais, pois não existe um cão que não seja um animal. c) Se o conjunto P dos professores da rede pública está contido no conjunto F dos funcionários públicos, isto é, P F (pois todo professor da rede pública é funcionário público) e se o conjunto F dos funcionários públicos está contido no conjunto T dos trabalhadores, isto é, F T (pois todo funcionário público é um trabalhador) então o conjunto P dos professores da rede pública está contido no conjunto T dos trabalhadores, isto é, P T. Apostila de Introdução à Lógica Página 14

15 Aula 2 Enunciado Categórico Introdução Etimologicamente, a palavra lógica vem do grego logos, que significa palavra, expressão, pensamento, conceito, discurso ou razão (Aranha e Martins, 2002). A lógica é uma ciência que estuda as formas de raciocínio/pensamento, ou seja, é o estudo de argumentos. Segundo Copi, o estudo da lógica é o entendimento dos métodos e princípios usados para distinguir o raciocínio correto do incorreto (Copi, 1978). Se pararmos para pensar, a lógica faz parte das nossas vidas muito mais do que nós imaginamos. Em casa, no trabalho, na faculdade, na política, no lazer, enfim, sempre que nós precisamos apresentar nosso ponto de vista, nós estamos usando argumentos. A Lógica foi considerada na cultura clássica e medieval como um instrumento indispensável ao pensamento científico. Era necessário argumentar com clareza, mediante demonstrações rigorosas, respondendo as objeções dos adversários. De um modo geral, a lógica clássica pode ser estudada sob dois pontos de vista: a lógica proposicional e a lógica de predicados. A lógica proposicional trabalha com proposições, que será vista na aula próxima. A lógica de predicados, por sua vez, é uma extensão da lógica proposicional que representa relações de objetos num domínio de aplicação, a qual será estudada na sexta aula. Entretanto, para compreender o que vem ser uma proposição, precisamos estudar como o raciocínio lógico trabalha, identificando assim argumentos na nossa linguagem do cotidiano por meio de palavras-chave, o qual será abordado nesta aula. Será apresentado também uma forma de classificação do argumento tanto com relação à forma de raciocínio (indutivo ou dedutivo) quanto à validade. 2.1 Argumentos Como dito anteriormente, a lógica trabalha com argumentos. Mas, então o que vem ser um argumento? Um argumento é uma seqüência de sentenças ou enunciados (afirmações ou declarações) na qual um dos enunciados é a conclusão e os demais são nomeados de premissas, as quais servem para provar ou, pelo menos, fornecer alguma evidência para a conclusão. Segundo Copi, podemos definir um argumento como qualquer grupo de sentenças tal que se afirme ser uma delas derivada das outras, as quais são consideradas provas evidentes da verdade da primeira (Copi, 1978). Então, vamos a um exemplo bastante clássico da lógica. Apostila de Introdução à Lógica Página 15

16 Todos os homens são mortais. Sócrates é homem. Portanto, Sócrates é mortal. Neste exemplo, os dois primeiros enunciados ( Todos os homens são mortais. e Sócrates é homem ) chamaremos de premissas que servem para provar a conclusão, que é Sócrates é mortal.. Tanto as premissas quanto a conclusão de um argumento são sempre enunciados, isto é, significados ou ideias expressáveis por sentenças declarativas ao invés de interrogações, comandos ou exclamações. Os enunciados são espécies de ideias que são verdadeiras ou falsas. Os não-enunciados, tais como interrogações, comandos ou exclamações, não podem ser classificados como verdadeiros ou falsos. É importante frisar que os argumentos não seguem padrões de escrita da forma em que as premissas são apresentadas primeiro e, depois, a apresentação da conclusão. Sendo assim, alguém poderia apresentar quais são as suas conclusões e, somente depois, justificálas. Isso é também válido, porém um pouco confuso com relação ao encadeamento de ideias. Então vamos analisar mais três exemplos para verificar se são ou não argumentos. a) O signo de João é aquário, pois o dia do seu aniversário é 26 de janeiro. b) A minha blusa é verde, Pit é o nome do meu peixe e, logo, macarrão é o meu prato favorito. c) Matheus está respirando e, portanto, está vivo. No primeiro exemplo, temos mais um caso de argumento. A premissa é o dia do seu aniversário é 26 de janeiro. e a conclusão é O signo de João é aquário. Este é um caso em que a conclusão é apresentada antes da premissa. No segundo exemplo, não podemos classificar estes enunciados como argumento, pois não existem premissas para embasar a conclusão apresentada macarrão é o meu prato favorito. Ressaltamos ainda que não há um encadeamento de idéias para se alcançar uma determinada conclusão, ou seja, a cor da blusa e o nome do peixe não são razões ou motivos para compreender o prato favorito. No terceiro e último exemplo, temos a premissa Matheus está respirando e como conclusão, o enunciado está vivo. Normalmente, os argumentos são apresentados desta forma, primeiro uma ou mais premissas e, por último, a conclusão. Apostila de Introdução à Lógica Página 16

17 A análise de argumentos pode ser dividida em diversas etapas, caso precise verificar com mais detalhes os enunciados envolvidos. Como mencionamos anteriormente, uma conclusão é inferida a partir de um conjunto de premissas. Porém, essa conclusão, em conjunto com outros enunciados, poderá ser usada como uma premissa para inferir outra conclusão, a qual, por sua vez, pode funcionar como premissa para uma outra conclusão, e assim sucessivamente. Quando esta situação ocorrer, chamamos este argumento de argumento complexo. As premissas que servem como conclusões de premissas anteriores chamam-se premissas não-básicas ou conclusões intermediárias. A identificação de uma conclusão intermediária pode ocorrer em qualquer parte do argumento. As premissas que não são conclusões de premissas prévias chamam-se premissas básicas ou suposições. 2.2 Identificação de Argumentos Um argumento ocorre somente quando, a partir de uma ou mais premissas, se pretende sustentar ou provar uma conclusão (Copi, 1978). Esse propósito é, freqüentemente, expresso pelo uso de indicadores de inferência. Inferência é uma palavra do latim (inferre) que significa conduzir para. Os indicadores de inferência são palavras ou frases que ressaltam a existência de um argumento. Podemos classificar estes indicadores em dois grupos: os de premissa e os de conclusão. Sendo assim, na tabela a seguir, estão apresentadas as principais palavras de cada um desses grupos (Cunha, 2008). Tabela 1: Indicadores de Inferência. INDICADORES DE PREMISSA pois desde que como porque assumindo que visto que admitindo que isto é verdade porque a razão é que em vista de como conseqüência de como mostrado pelo fato que dado que sabendo-se que supondo que INDICADORES DE CONCLUSÃO portanto assim dessa maneira neste caso daí logo de modo que então conseqüentemente assim sendo o(a) qual implica que o(a) qual acarreta que o(a) qual significa que do(da) qual inferimos que podemos deduzir que Apostila de Introdução à Lógica Página 17

18 Os indicadores de premissa e de conclusão são os principais indícios para a identificação de argumentos a partir dos enunciados e para a análise de sua estrutura. Cabe observar que quando um indicador de conclusão é colocado entre duas sentenças, então a primeira sentença expressa uma premissa e a segunda uma conclusão daquela premissa. Para compreender melhor esta situação, vamos analisar o seguinte exemplo: João foi passear, portanto, João não está em casa. Neste exemplo, temos um indicador de conclusão (portanto). Dessa forma, a premissa é João foi passear e a conclusão é João não está em casa. Mas, quando um indicador de premissa se encontra entre duas sentenças, isto indica que a primeira é conclusão e a segunda premissa. Vejamos o seguinte exemplo: Ele não está em casa pois ele foi pescar. Neste exemplo, temos um indicador de premissa (pois). Dessa forma, a premissa é ele foi pescar e a conclusão é Ele não está em casa. Um indicador de conclusão que aparece no início de uma sentença indica que a sentença é conclusão das premissas anteriores. Por exemplo: É verão e Amanhã é feriado. Portanto, vou à praia. Um indicador de premissa no início de uma sentença composta de duas sentenças indica que a primeira é premissa e a segunda conclusão. Por exemplo: Desde que uma frente fria está a caminho, é provável que chova É importante ressaltar ainda que as expressões que funcionam em alguns contextos como indicadores de inferência têm, geralmente, outras funções em outros contextos. Assim, nem toda ocorrência de uma das expressões apresentadas é visto como um indicador de inferência. Observe o seguinte exemplo com a expressão desde que. Apostila de Introdução à Lógica Página 18

19 Passaram-se três anos desde que fomos à Bélgica. Neste exemplo, o desde que informa a duração do tempo e, assim, não é considerado um indicador de premissas. De forma similar, observe o seguinte exemplo com a expressão assim em. Roger ficou rico e permaneceu assim por vários anos. Neste exemplo, a palavra assim não é um indicador de conclusão. Neste contexto, este indicador expressa o significado de nessa condição e não o conceito de portanto. Mas, e quando um argumento não apresentar indicadores de premissas e/ou de conclusão? Nestes casos, precisamos observar os indícios contextuais ou em nossa compreensão das intenções do autor para diferenciar as premissas das conclusões. Para isso, observe o seguinte exemplo (Cunha, 2008): Os defensores do aborto são hipócritas. Eles, continuamente, contestam em altos brados a execução de nossos inimigos. Mas eles nada vêem de errado com o assassinato de crianças inocentes. Após análise, podemos capturar que as premissas do enunciado são: Eles, continuamente, contestam em altos brados a execução de nossos inimigos. e eles nada vêem de errado com o assassinato de crianças inocentes. Como conclusão, identificamos o enunciado Os defensores do aborto são hipócritas. Assim, ressaltamos mais uma vez que, embora, na maioria das vezes, as premissas são apresentadas inicialmente, nada impede que a conclusão possa estar escrita primeiro. Vale a pena ressaltar que nem todo conjunto de sentenças constitui um argumento. Os jornais, revistas e livros de estória, por exemplo, apresentam diversas sentenças, mas contém relativamente poucos argumentos (Copi, 1978). Ou seja, para de identificar um argumento, precisamos de várias sentenças (premissas e conclusão), porém a existência de várias sentenças não é uma condição que se obtenhamos um argumento. 2.3 Diagrama de Argumentos Apostila de Introdução à Lógica Página 19

20 Os diagramas de argumentos são formas gráficas convenientes para representar as estruturas inferenciais dos argumentos (Cunha, 2008). Esses diagramas possibilitam observar de maneira visual os relacionamentos entre os enunciados do argumento analisado. Então, para representar o enunciado de modo gráfico, é necessário seguir os seguintes passos: a) colocar um círculo nos indicadores de inferência; b) colocar colchetes para delimitar cada enunciado, bem como enumerá-lo; c) reunir as premissas que fazem parte de uma etapa de raciocínio com o sinal + e traçar uma linha horizontal embaixo da lista de números, caso existam várias premissas; d) se existir apenas uma premissa, então escrever simplesmente o seu número na etapa do raciocínio; e) desenhar uma seta para baixo a partir do(s) número(s) que representa(m) uma premissa (ou premissas) para o número que representa a conclusão da etapa, tanto para uma ou mais premissas; f) repetir esse processo caso o argumento tiver mais de uma etapa para a inferência. Para exemplificar a construção desses diagramas, vejamos o seguinte argumento: O cheque perderá a validade a menos que ele seja descontado dentro de 30 dias. O cheque está datado de 2 de setembro e hoje é 8 de outubro. Portanto, o cheque não vale mais. Você não pode descontar um cheque que não vale. Assim, você não pode descontar este cheque. Seguindo os passos definidos anteriormente, obtemos: 1 [O cheque perderá a validade a menos que ele seja descontado dentro de 30 dias.] 2 [O cheque está datado de 2 de setembro] e 3 [hoje é 8 de outubro]. Portanto, 4 [o cheque não vale mais.] 5 [Você não pode descontar um cheque que não vale.] Assim, 6 [você não pode descontar este cheque] Apostila de Introdução à Lógica Página 20

21 Validade e Verdade As proposições possuem valores verdadeiros ou falsos dependendo se exprimem realmente o fato ou não. Os argumentos, por sua vez, podem ser classificados como válidos ou inválidos. Segundo Aranha e Martins, um argumento é dito válido quando sua conclusão é conseqüência lógica de suas premissas (Aranha, 2003). Vejamos então dois exemplos para compreender a questão da validade: 1) Todos os cachorros são mamíferos. Todos os mamíferos têm coração. Portanto, todos os cachorros têm coração. 2) Todo homem é mortal. Sócrates é mortal. Logo, Sócrates é homem No primeiro exemplo, as premissas e a conclusão são verdadeiras, e, portanto, temos um argumento válido. Já no segundo exemplo, temos um argumento inválido. Não é válido, porque não é impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Podemos perfeitamente imaginar uma circunstância em que Sócrates fosse mortal (por exemplo, Sócrates é o nome do cachorrinho de minha irmã), e, neste caso, a conclusão já seria falsa, apesar de as premissas serem verdadeiras. Quando um argumento é considerado válido, podemos dizer que a conclusão é uma conseqüência lógica das premissas apresentadas, que estudaremos na quinta aula. PS: Os argumentos podem ser válidos ou inválidos, mas não podem ser verdadeiros nem falsos. As proposições podem ser verdadeiras ou falsas, mas não podem ser válidas nem inválidas. 2.5 Classificação dos Argumentos Os argumentos podem ser classificados tradicionalmente em duas categorias, que são: dedutivo ou indutivo. Então, agora vamos analisar mais detalhadamente cada uma dessas categorias. Apostila de Introdução à Lógica Página 21

22 Um argumento dedutivo é um argumento cuja conclusão deve ser verdadeira se suas premissas básicas forem também verdadeiras. Ou seja, o que está dito na conclusão é extraído das premissas, pois na verdade já está implícito nelas (Aranha e Martins, 2003). Copi traz uma outra definição de argumentos dedutivos, conforme pode ser vista a seguir. Argumentos dedutivos são aqueles cuja conclusão deriva diretamente das premissas. Nos argumentos dedutivos a conclusão não diz nada alem do que foi dito nas premissas. O argumento dedutivo destina-se a deixar explícito o conteúdo das premissas. (Copi, 1978, p. 35). Neste tipo de argumento, podemos dizer que este é válido ou inválido. Um argumento é dito válido quando suas premissas, se verdadeiras, fornecem mecanismos convincentes para a obtenção da sua conclusão. Jamais um argumento será válido se as premissas forem verdadeiras e não obtermos a conclusão como verdade. Um argumento indutivo, por sua vez, é aquele cuja conclusão não é necessária, dadas suas premissas básicas (Nolt e Rohatyn, 1991). As conclusões de argumentos indutivos são mais ou menos prováveis em relação às suas premissas. Uma outra definição de argumento indutivo pode ser encontrada em Salmon, conforme pode ser vista a seguir: Os argumentos indutivos, ao contrário do que sucede com os dedutivos, levam a conclusões cujo conteúdo excede os das premissas. E esse traço característico da indução que torna os argumentos indispensáveis para a fundamentação de uma significativa porção dos nossos conhecimentos (Salmon, 1969, p. 76). Os argumentos indutivos não são categorizados como válidos ou inválidos como ocorre com os argumentos dedutivos. Estes podem ser categorizados como forte ou fraco, dependendo se as premissas apresentadas fornecem um motivo representativo ou não para as suas conclusões. De um modo geral, o que diferenciará uma categoria da outra é a forma para a obtenção da conclusão. Se obtermos uma generalização a partir de dados específicos, então teremos uma indução. Caso contrário, teremos uma dedução. Para entender melhor este pensamento ou raciocínio, observe a figura 1. Apostila de Introdução à Lógica Página 22

23 Geral DEDUÇÃO INDUÇÃO Específico Figura 1: Indução versus Dedução. Nesta figura, as setas direcionam o fluxo de inferência a ser capturado pela seqüência de enunciados. Assim, vamos ver alguns exemplos de argumentos indutivos e dedutivos. Primeiramente, considere: A bola de basquete é marrom. As bolas de futebol de campo, vôlei e futebol de salão também são marrons. Logo, todas as bolas são marrons. Neste caso, temos um exemplo de argumento indutivo, pois a partir de algumas particularidades, conseguimos descobrir (ou inferir) uma generalização. As particularidades são as bolas para determinadas atividades físicas e a generalização é a cor marrom, visto que todas as particularidades apresentadas possuem a bola de cor marrom. Um outro exemplo de argumento indutivo, encontrado em (Aranha e Martins, 2003), pode ser o seguinte: A visão, o tato, a audição, o gosto, o olfato (que chamamos de sentidos) têm um órgão corpóreo. Portanto, todo sentido tem um órgão corpóreo. Neste caso, como a visão, o tato, a audição, o gosto, o olfato foram especificados que possuem um órgão corpóreo, conseguimos abstrair que qualquer sentido tem este órgão corpóreo. Podemos, inclusive, afirmar que este argumento é do tipo indutivo forte, pois todos os tipos de sentidos foram apresentados e especificados que possuem tal propriedade (órgão corpóreo). É importante frisar que para abstrair um conceito geral precisamos possuir um número de casos (exemplos ou particularidades) suficientes e que estes sejam significativos. Agora com relação aos argumentos dedutivos, um possível exemplo, encontrado em (Aranha e Martins, 2003), é: Todo brasileiro é sul-americano. Todo paulista é brasileiro. Apostila de Introdução à Lógica Página 23

24 Todo paulista é sul-americano. Neste caso, embora tenha obtido uma conclusão ainda genérica, esta foi adquirida a partir das informações fornecidas, mesmo que genérica. Vamos ver agora outro exemplo de argumento dedutivo, sendo que com este iremos adquirir uma informação mais particular do que o caso apresentado. Então analise o argumento a seguir: Todo aluno do curso de Ciência da Computação precisa estudar Lógica. José é aluno de Ciência da Computação. Logo, José precisa estudar Lógica. Neste exemplo, concluímos detalhadamente quem precisa estudar Lógica, que é José. Esta conclusão foi obtida a partir de uma regra geral dos alunos do curso de Ciência da Computação, bem como a especificação que José é um aluno deste curso. Observe ainda que os argumentos dedutivos não fornecem nenhum conhecimento novo, apenas sistematiza o conhecimento já adquirido. Entretanto, embora a dedução não acrescente muita informação, não significa que esta não seja importante, até porque precisamos definir se esta dedução é válida ou inválida como raciocínio lógico. Síntese da aula Nesta segunda aula, vimos que podemos analisar algumas sentenças (premissas) do cotidiano a fim de inferir um novo conhecimento (conclusão). Vimos ainda que existem indicadores de premissas e de conclusão que auxiliam na identificação dos mesmos num argumento. Quando não existem estas dicas, precisamos ficar atentos para captar a idéia do autor. Uma forma para visualizar o encadeamento de idéias num argumento é por meio do diagrama de argumento, pois com este, é possível verificar cada passo do processo de inferência. Dentre os argumentos, podemos ainda classificá-los como indutivos (forte ou fraco) ou dedutivos de acordo com a forma de conclusão obtida. Os indutivos são do geral para específico e os dedutivos são do específico para o geral. Atividades 1) A união de enunciados pode ou não transformá-lo em argumento. Desta maneira, analise os enunciados apresentados como afirmativas a seguir e indique V (Verdadeiro) se os mesmos formam um argumento. Caso contrário, indique F (Falso). Depois, assinale a alternativa que contenha a seqüência correta de Vs e Fs. I) Eu lancho na cantina da escola todos os dias, mas o João não. Ana gosta de sorvete. Maria foi ao cinema ontem. II) Está chovendo. Vou dormir até mais tarde. Apostila de Introdução à Lógica Página 24

25 III) Se não chover, irei à praia. Não choveu. Logo, irei à praia. IV) Vou ao shopping hoje. Cinema está fechado. a) V, V, V, F b) F, F, V, F c) V, F, F, V d) V, F, V, F 2) Na nossa língua portuguesa, existem palavras ou termos que auxiliam a identificação de argumentos. Estas palavras são conhecidas como indicadores, podendo ser direcionado para as premissas ou para a conclusão. Dessa maneira, escolha a alternativa que NÃO é considerada um indicador de conclusão. a) portanto b) neste caso c) assumindo que d) logo 3) Diagrama de argumentos é usado para ilustrar o envolvimento de premissas para provar uma certa conclusão. Desta forma, analise cada parte dos argumentos a seguir e represente-o com o diagrama de argumentos. Hoje é quinta-feira ou sexta-feira. Mas não pode ser quinta-feira, pois o escritório de advocacia estava aberto esta manhã, e aquele escritório está sempre fechado às quintas. Portanto, hoje deve ser sexta-feira. Watts está em Los Angeles e está, portanto, nos Estados Unidos e logo faz parte de uma nação plenamente industrializada. Assim, ele não faz parte do Terceiro Mundo, pois o Terceiro Mundo é caracterizado por nações em desenvolvimento e nações em desenvolvimento não estão, por definição, plenamente industrializadas. Estava certo que nenhum dos conselheiros do presidente tinha vazado a informação e, no entanto, realmente ela tinha sido vazada para a imprensa. Portanto, alguém, além dos conselheiros do presidente, vazou a informação para a imprensa. 4) Conforme a forma de raciocínio utilizada, um argumento pode ser categorizado como indutivo ou dedutivo. Desta forma, analise e classifique os seguintes argumentos como dedutivos ou indutivos: a) O sol nasceu na segunda-feira. Apostila de Introdução à Lógica Página 25

26 O sol nasceu na terça-feira. O sol nasceu na quarta-feira. O sol nasceu na quinta-feira. O sol nasceu na sexta-feira. Logo, o sol nasce todos os dias. b) Havia três pedaços de bolo de chocolate. Agora existem apenas dois pedaços. Portanto, alguém comeu um pedaço de bolo. c) Só há aprovação na disciplina se possuir nota maior que 7,0. A nota é 9,0. Logo, há aprovação na disciplina. d) Joguei uma pedra no lago, e ela afundou; Joguei outra pedra no lago e ela também afundou; Joguei mais uma pedra no lago, e ela também afundou; Logo, se eu jogar uma outra pedra no lago, ela vai afundar. e) A vacina funcionou bem nos ratos. A vacina funcionou bem nos macacos. Logo, vai funcionar bem nos humanos. 5) Avalie os argumentos apresentados a seguir e classifique-os como dedutivos ou indutivos. a) Todos têm um e um só pai biológico. Os irmãos têm o mesmo pai biológico. Ninguém é pai biológico de si mesmo. Portanto, não há pai biológico que seja também seu irmão. b) Os visitantes da China quase nunca contraem malária no país. José está visitando a China. Logo, José não contrairá malária na China. c) Eu sonho com monstros. Meu irmão sonha também com monstros. Logo, todas as pessoas sonham com monstros. 6) Circule e classifique os indicadores de inferência (premissa e conclusão) apresentados nos argumentos a seguir. Depois, classifique estes argumentos como indutivos ou dedutivos. a) 99,9% dos testes de Aids do laboratório LAB apresenta resultados corretos. Charles fez teste de Aids no laboratório LAB e o resultado foi negativo. Logo, Charles não tem Aids. Apostila de Introdução à Lógica Página 26

27 b) Jânio Quadros renunciou à presidência em circunstâncias excepcionais. Ora, todo aquele que renuncia à presidência em circunstâncias excepcionais pretende ser reconduzido triunfalmente ao poder. Portanto, o que Jânio pretendia era isso: ser reconduzido triunfalmente ao poder. c) Imagine um pedaço de queijo suíço, daqueles bem cheios buracos. Quanto mais queijo, mais buracos. Cada buraco ocupa o lugar em que haveria queijo. Assim, quanto mais buracos, menos queijo, quanto mais queijos mais buracos, e quanto mais buracos, menos queijo. Logo, quanto mais queijo, menos queijo! d) Freqüentemente quando chove fica nublado. Está chovendo. Portanto, está nublado. 7) Analise se há uma ocorrência de argumentos nos trechos a seguir. Caso positivo, circule e classifique os indicadores de inferência. a) Foi assinalado que, embora os ciclos de negócio não sejam períodos, são adequadamente descritos pelo termo ciclos e, portanto, são suscetíveis de medição. b) O triângulo ABC é equiângulo. Portanto, cada um de seus ângulos internos mede 60 graus. c) A água tem um calor latente superior ao do ar: mais calorias são necessárias para aquecer uma determinada quantidade de água do que para aquecer um igual montante de ar. Assim, a temperatura do mar determina, de um modo geral, a temperatura do ar acima dele. d) Nós estávamos superados em número e em armas pelo inimigo, e suas tropas estavam constantemente sendo reforçadas enquanto as nossas forças estavam diminuindo. Assim, um ataque direto teria sido suicida. e) Há alguém, aqui, que entende este documento? f) Se o comportamento econômico fosse o fenômeno inerte que se retrata, às vezes, em modelos econômicos, então os únicos atributos significativos das ocupações seriam as respectivas habilitações profissionais e a oferta e procura para elas. Mas as ocupações são amplamente sociológicas, mas do que estritamente econômicas; por conseguinte, estão decisivamente identificadas com fenômenos nãoeconômicos na comunidade. g) Desde que Henry se diplomou em medicina, sua renda provável é muito elevada. h) Bem-aventurado é aquele que nada espera, pois nunca será decepcionado. i) Se quereis descobrir vossa opinião real sobre alguém, observai a impressão que vos causa a primeira observação de uma carta escrita por essa pessoa. j) A nenhum homem é consentido ser juiz em causa própria; porque seu interesse certamente influirá em seu julgamento, e, não improvavelmente, corromperá a sua integridade. l) Você terá sucesso, desde que você tenha talento e trabalhe arduamente. m) Ela prometeu casar com ele e, assim, é o que ela fará. Portanto, se ela faltar ao compromisso, ela estará definitivamente errada. 8) Identifique se um argumento é indutivo (forte ou fraco) ou dedutivo. Apostila de Introdução à Lógica Página 27

28 a) Todos os corvos que vi até hoje eram pretos. Logo, todos os corvos são pretos. b) Nenhum mortal pode parar no tempo. Você é mortal. Logo, você não pode parar no tempo. c) Alguns porcos têm asas. Todas as coisas aladas gorjeiam. Logo, alguns porcos gorjeiam. d) Se houver uma guerra nuclear, a civilização será destruída. Haverá uma guerra nuclear. Logo, a civilização será destruída pela guerra nuclear. e) Todos os leitores da Folha de São Paulo têm mais do que 3 meses de idade. Pedro lê a Folha de São Paulo. Logo, Pedro tem mais do que 3 meses de idade. f) A maioria das pessoas tem duas pernas. A maioria das pessoas tem dois braços. Portanto, algumas pessoas têm dois braços e duas pernas. g) A prata é bom condutor de eletricidade. A platina é bom condutor de eletricidade. O cobre é com condutor de eletricidade. Logo, todos os metais são bons condutores de eletricidade. h) Todos os fumantes contraem enfisema. Todos aqueles que contraem enfisema têm morte dolorida. Logo, todos os fumantes têm morte dolorida. i) Às vezes, quando chove fica nublado. Está chovendo. Logo, está nublado. j) A maioria das vezes, quando chove fica nublado. Está chovendo. Está nublado. 9) Diagrame os argumentos abaixo circulando os indicadores de inferência (premissa e conclusão), colocando-os entre colchetes e enumerando cada enunciado. E, por fim, classifique como indutivo fraco, indutivo forte ou dedutivo. a) Algumas pessoas dizem que pular da ponte é interessante. Ana pulou da ponte neste fim de semana. Logo, Ana fez algo interessante. Quase todas as coisas interessantes são realizadas por pessoas agitadas. Consequentemente, Ana é uma pessoa agitada. b) Todas as criações humanas finalmente perecerão. Tudo que perece é, afinal, sem sentido. Logo, todas as criações humanas são, afinal, sem sentido. 10) Construa o diagrama para os argumentos a seguir. a) Se existissem ETs, eles já nos teriam enviado algum sinal. Se nos tivessem enviado um sinal, teríamos feito contato. Portanto, se existissem ETs, já teríamos feito contato com eles. b) Quando o filme é bom, o cinema fica lotado. Como a crítica diz que esse filme é muito bom, podemos imaginar que não encontraremos lugares livres. c) Se o programa é bom ou passa no horário nobre, o público assiste. Se o público assiste e gosta, então a audiência é alta. Se a audiência é alta, a propaganda é cara. O programa, passa no horário nobre, mas a propaganda é barata. Logo, o público não gosta do programa. Apostila de Introdução à Lógica Página 28

29 d) Se José roubou a jóia ou a Sra. Krasov mentiu, então um crime foi cometido. A Sra. Krasov não estava na cidade. Se um crime foi cometido, então a Sra. Krasov estava na cidade. Portanto José não roubou a jóia. e) Ela não está em casa ou não está atendendo ao telefone. Mas se ela não está em casa, então ela foi sequestrada. E se ela não está atendendo ao telefone, ela está correndo algum outro perigo. Portanto, ou ela foi sequestrada ou ela está correndo algum outro perigo. f) Se o avião não tivesse caído, nós teríamos feito contato pelo rádio. Não fizemos contato pelo rádio. Portanto, o avião caiu. g) Se está garoando ou nevando, então o céu não está claro. Não é o caso que o céu não está claro. Portanto não é caso que está garoando ou nevando. Hoje é um fim de semana se hoje é sábado ou domingo. Mas hoje não é um fim de semana. Portanto, hoje não é sábado e hoje não é domingo. 11) Construa o diagrama para os argumentos a seguir. a) Não podemos permitir o aborto porque é o assassinato de um inocente. b) Todos reconhecem que o petróleo esgotar-se-á nos próximos 50 anos, dado que vários estudos publicados por diversas universidades estabelecem um limite de 50 anos para a extração petrolífera. Assim, reconhecendo que o petróleo se esgotará dentro desse período, temos que concluir que é inevitável investir no desenvolvimento de energias alternativas. c) Se, a maioria das espécies de baleias é considerada atualmente em risco de extinção, então os pescadores japoneses devem ser proibidos de caçar baleias. Além do mais, cinco barcos com 239 marinheiros vão permanecer cinco meses no alto mar para caçar um total de 1035 baleias. d) Toda vez que eu cheiro pimenta eu espirro. Ontem eu espirrei, dado que ontem eu cheirei pimenta. e) Os fantasmas existem, pois algumas pessoas acham fascinante a ideia de fantasmas. f) Você está na UFT e está, portanto, na sala de aula, visto que assinou a lista de presença. Logo, está fazendo a prova de Introdução à Lógica. Assim, você não está no 1 período, pois o 1 período está fazendo prova de Introdução à Programação. Apostila de Introdução à Lógica Página 29

30 Aula 3 Lógica Proposicional Introdução A lógica proposicional é também conhecida na literatura como lógica sentencial, cálculo sentencial ou cálculo proposicional. Esta lógica visa formalizar a estrutura lógica mais elementar do discurso matemático, definindo precisamente o significado dos conectivos lógicos não, e, ou, se..então e se somente se (Casanova et al., 1987). Este significado é obtido pela combinação de sentenças (proposições) simples e assim formando proposições mais complexas. Tanto para proposições simples quanto compostas, esta lógica trabalha com valores de verdade e de falsidade. O estudo detalhado dessa lógica é importante porque ela contém quase todos os conceitos importantes necessários para o estudo de lógicas mais complexas, tal como a lógica de predicados (Wikipédia, 2008). Nesta aula, abordaremos tanto a parte sintática por meio da apresentação do alfabeto e das regras de formação de fórmulas bem formadas, quanto à parte semântica da lógica proposicional, enfatizando os valores de verdade e de falsidade das fórmulas. Apresentaremos ainda como os conectivos lógicos são usados em conjunto com as proposições, bem como o seu aspecto lógico. A Lógica foi sistematizada por Aristóteles ( a.c.) e se constituiu durante toda a Idade Média como matéria principal ao lado da Teologia e da Filosofia (Teles, 2000). 3.1 Alfabeto Assim como na língua portuguesa temos um alfabeto (a, b, c..., z, A, B,...Z) e, a partir deste, conseguimos criar palavras reais, na lógica proposicional também temos um alfabeto e que de acordo com algumas regras de formação conseguimos construir fórmulas válidas. O alfabeto da lógica proposicional é constituído por símbolos lógicos e não-lógicos. Os símbolos lógicos são caracterizados por: pontuação: (, ) conectivos: (negação), (conjunção), (disjunção), (condicional ou implicação), (bicondicional ou bi-implicação). Os símbolos não-lógicos são definidos por: proposições: por convenção, letras do meio para o fim do alfabeto, tais como:... p, q, r, s,..., A, B, C... Os símbolos de pontuação ( e ) servem, assim como na matemática, para delimitar o escopo de atuação da fórmula. Esses símbolos são usados, normalmente, quando se deseja mudar a ordem de precedência de operações a serem realizadas. Caso contrário, o uso dos parênteses torna-se opcional, pois estes não mudam o sentido que se deseja expressar. Apostila de Introdução à Lógica Página 30

31 Os símbolos conectivos, por sua vez, são bastante conhecidos como conectivos lógicos ou proposicionais. Estes símbolos são utilizados em conjunto com proposições e representam operações lógicas. A seguir veremos com maiores detalhes o comportamento de cada um desses conectivos no que se diz respeito ao seu valor lógico. As proposições, basicamente, representam fatos, ou seja, pensamento de sentido completo. Observe ainda que este conjunto de símbolos é infinito, permitindo que sejam criadas diversas proposições simultaneamente. Assim, por exemplo, reescrevendo o exemplo clássico de lógica apresentado na aula anterior, teríamos: p : Todos os homens são mortais. q : Sócrates é homem. r : Portanto, Sócrates é mortal. Então, ao invés de escrever toda a sentença, poderemos utilizar somente as proposições p, q e r para expressar estes fatos. A partir do alfabeto da lógica proposicional, podemos criar fórmulas que são uma seqüência dos símbolos. No entanto, nem toda união dos símbolos do alfabeto é considerada uma fórmula válida ou bem formada (well-formed formula - WFF). Uma fórmula bem formada da lógica proposicional é formada pelas seguintes regras de formação (Souza, 2002): todo símbolo proposicional é uma fórmula; se P é uma fórmula então P, a negação de P, é uma fórmula; se P e Q são fórmulas então ( P Q), a disjunção das fórmulas P e Q, é uma fórmula; se P e Q são fórmulas então ( P Q), a conjunção das fórmulas P e Q, é uma fórmula; se P e Q são fórmulas então ( P Q), o condicional das fórmulas P e Q, é uma fórmula; se P e Q são fórmulas então ( P Q), o bicondicional das fórmulas P e Q, é uma fórmula. Considerando estas regras, concluímos que P, ( P Q) P, Q e (( P Q) P) são, por exemplo, fórmulas bem formadas da lógica proposicional. Por outro lado, PQ,, ( P Q), por exemplo, não são consideradas fórmulas válidas, ou seja, são fórmulas mal formadas. Com relação à precedência dos conectivos lógicos, há uma convenção em que o conectivo de negação tem a maior precedência dentre os demais. Em seguida, estão os conectivos de conjunção, disjunção, condicional e bicondicional. Portanto, podemos formalizar esta ordem de precedência de acordo com o apresentado na figura 1. Apostila de Introdução à Lógica Página 31