APLICAÇÃO DA GEOMETRIA DESCRITIVA NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA

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1 APLICAÇÃO DA GEOMETRIA DESCRITIVA NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA Ivanildo Fernandes Araujo 1, Maria da Coneição Vieira Fernandes 2 Universidade Federal da Paraíba 1 Departamento de Engenharia Meânia Av. Aprígio Veloso, 882, Campus Universitário Bairro Universitário Campina Grande - PB ivanildo@dem.ufpb.br Universidade Estadual da Paraíba 2 Departamento de Matemátia e Estatístia Centro de Ciênias e Tenologia - Bodoongó Campina Grande PB ifaraujo@uol.om.br Resumo. Este trabalho tem omo objetivo prinipal, ilustrar omo alguns prinípios da Geometria Desritiva podem ser apliados na resolução de vários problemas em diversas áreas da Engenharia. Apresentamos alguns exemplos prátios e suas soluções gráfias, exemplos estes onstruídos a partir da experiênia do dia-a-dia, outros adaptados de alguns autores e utilizados em sala de aula omo meio de dinamizar o ensino de GD. Palavras Chave: Geometria Desritiva, Desenho Ténio, Exeríios Prátios.

2 1. INTRODUÇÃO É muito omum ouvirmos em sala de aula os nossos alunos questionarem o porquê de se estudar determinados assuntos dentro do programa de Geometria Desritiva. Eles busam apliações prátias destes onteúdos para o seu urso espeifiamente. Os exemplos aqui apresentados servirão para ilustrar omo os prinípios da Geometria Desritiva podem ser apliados para resolver vários problemas da Engenharia e outras áreas do onheimento. Apresentamos alguns exemplos prátios, tais omo os asos da antena, da tubulação de ventilação, e outros exemplos hipotétios omo os asos do aviãozinho, o aso da partida de futebol entre outros. Em todos os exemplos busa-se explorar, o onteúdo exposto no item das definições teórias, por meio de alguns exemplos e suas soluções gráfias, que poderão ter seus resultados onfrontados, om os resultados que podem ser obtidos analitiamente em outras disiplinas. Estes exemplos foram onstruídos a partir da experiênia do dia-a-dia, outros adaptados de alguns autores, e utilizados em sala de aula omo meio de dinamizar o ensino de GD. A metodologia onsiste em apresentar os problemas em sala de aula após a exposição do onteúdo teório relativo ao assunto estudado; disutido os oneitos e eslareidas as dúvidas remanesentes por parte do alunado passa-se, então, a desenvolver os exeríios propostos pelo professor, usando omo base o sistema de projeção ortogonal. No fim de ada problema resolvido o aluno está om uma solução que serve de gabarito para sua prátia profissional. Determinados oneitos e abreviaturas aqui apresentados, não serão expliitados aqui, porque pressupõem o embasamento adquirido em diversas aulas anteriores, portanto é de onheimento omum. 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 2.1 Verdadeira Grandeza, Direção e Inlinação de Retas. Nos exemplos apresentados, trabalharemos om dois métodos de determinação da verdadeira grandeza dos elementos estudados, quais sejam: - Determinação da Verdadeira Grandeza (VG) por Rotação. Este método onsiste em onserva-se os planos de projeção dados e por um movimento de rotação desloa-se a reta de maneira a torná-la paralela a um dos planos de projeção; sua projeção sobre esse plano determinará a verdadeira grandeza prourada. Lobjois[1] - Determinação da Verdadeira Grandeza por mudança de Plano de Projeção. Neste método, o objeto permanee imóvel e um Plano Auxiliar de projeção é oloado paralelo ao objeto no espaço e perpendiular a um dos planos de projeções. A nova projeção obtida nesse plano será a verdadeira grandeza prourada. Forseth [2] O método para se determinar a verdadeira grandeza de uma reta onsiste em: 1. Se a reta não está ainda representada em verdadeira grandeza em qualquer uma das vistas onheidas, traçar uma linha de interseção paralela a ela. 2. Projetar a reta através da linha de interseção para obter a sua imagem em verdadeira grandeza. Direção é o ângulo formado entre o norte (de frente para o plano vertial - ) e a projeção horizontal da reta. É representada pelo símbolo θ (theta) e expressa em graus. A determinação do ângulo de direção onsiste em medir o ângulo entre o norte imaginário e a projeção horizontal da reta, a partir de sua origem, no sentido horário. Forseth [2] Inlinação é o ângulo formado entre a reta e o plano horizontal de projeção. É representada pelo símbolo Ø (phi). É determinada em um plano de projeção perpendiular ao plano horizontal e que mostra a reta em verdadeira grandeza. Neste plano o ângulo de inlinação estará também em verdadeira grandeza. Ref. [2] O método utilizado para se determinar a inlinação de uma reta onsiste em: 1. Traçar um plano auxiliar paralelo à vista superior da reta dada. 2. Projetar a reta através do plano auxiliar de projeção, obtendo sua projeção em verdadeira grandeza. 3. Medir o ângulo formado entre a projeção em verdadeira grandeza da reta e a linha horizontal que representa o eixo de interseção entre os planos auxiliar e horizontal. Projeção pontual de uma retal é a representação em um plano de projeção onde ela aparee omo um ponto. Para que a projeção pontual de uma reta seja enontrada, deverá ser traçado um plano de projeção perpendiularmente a uma projeção da reta em verdadeira grandeza. Ref. [2]. O método utilizado para determinação da projeção pontual onsiste em: 1. Iniiar om uma projeção da reta em verdadeira grandeza. 2. Traçar um plano de projeção perpendiular à reta em verdadeira grandeza. 3. Projetar essa reta sobre o plano auxiliar de projeção para obter sua imagem pontual. 2.2 Ângulo entre Retas Conorrentes

3 O ângulo entre duas retas onorrentes é determinado em um plano de projeção onde enontramos as retas em verdadeira grandeza. Neste plano o ângulo também estará em VG. M..Herrero [3] O método utilizado para determinação do ângulo entre duas retas onorrentes onsiste em: 1. Iniiar om uma projeção da reta em verdadeira grandeza. 2. Traçar um plano de projeção perpendiular à reta em verdadeira grandeza. Projetar essa reta sobre o plano auxiliar de projeção para obter sua imagem pontual 2.3 Distânia Perpendiular entre Duas Retas Reversas Determinar a distânia perpendiular entre duas retas reversas, onsiste em se traçar uma tereira reta que seja perpendiular a estas duas retas. A Verdadeira Grandeza desta tereira reta será, portanto, a distânia prourada. Wellman [4] Assim, a distânia perpendiular entre duas retas reversas, será obtida num plano de projeção que mostra uma das duas retas em projeção pontual. A partir de então, traça-se uma reta perpendiular à projeção da reta, passando pela projeção pontual da primeira reta, obtendo-se, assim, a distânia entre elas. Em seguida, faz-se o alçamento dos pontos da reta representante da distânia, até os outros planos de projeção. 2.4 Ângulo Diedro Denomina-se ângulo diedro ao ângulo formado por dois planos que se intereptam. Sua determinação se dará em um plano de projeção que mostre a projeção pontual da reta interseção e onseqüentemente os Planos em projeção linear. Nesta Projeção o ângulo poderá ser medido. S. M. Slaby [5] 2.5 Planifiação Consiste em estender a superfíie lateral de um sólido sobre um plano sem sofrer nenhuma deformação por martelamento. Ref. [1] 2.6 Perspetiva Perspetiva é um desenho ilustrativo que mostra os objetos tais omo se apresenta às vistas do observador. Denomina-se de Perspetiva Cilíndria Ortogonal, ao sistema de representação no qual o objeto é oloado om seus três eixos prinipais, oblíquos em relação ao plano de projeção em que por meio de uma projeção ilíndria ortogonal, obtém-se a representação deste objeto sobre o plano de projeção. I. F. Araújo [7] 3 APLICAÇÕES PRÁTICAS Nesta seção mostraremos as apliações prátias relaionadas a ada onteúdo apresentado no item 2.1 relativo à Fundamentação Teoria dos assuntos apresentados em sala de aula. 3.1 Verdadeira Grandeza, Direção e Inlinação de Reta Caso da Antena Uma antena de televisão tem altura igual a 45 metros, está amarrada por meio de quatro abos, onforme mostra a figura 1. Pede-se determinar: a) O omprimento de ada abo; b) A direção e a inlinação dos abos.

4 d a b' f e f' 1 VG da reta AD determinada por rotação d' 1 d a f e f' 1 VG da reta AD determinada por rotação d e d e θae a,b f d 1 a,b f e 1 Figura 1- Dados do problema. PA 1 1 VG ØAE ØAC VG da Reta AE determinadas por mudança de plano a 1 Figura 1a- Resolução do problema Caso da Antena 3.2 Ângulo entre Retas Conorrentes O aso do jogo de futebol No último jogo de futebol entre Brasil e Japão, na Copa das Confederações, aonteeu uma falta próxima a grande área do Japão. O ataante do Brasil, na posição A, obrou uma falta sem barreira, fez om tal maestria que a bola bateu na trave superior, no ponto B (definir onde voê julgar onveniente), mas por sorte do goleiro, a bola aiu na posição C onde se enontrava um jogador japonês, que defendeu a bola. Supondo que a trajetória desrita pela bola seja retilínea (figura 2), pede-se: a) Representar as projeções ortogonais do perurso da bola; b) Determinar o omprimento e ângulo entre as retas desritas pelo perurso da bola; b a a PA 1 b a Figura 2 Dados do problema PA 2 b 1 a 1 = 1 a VG a 2 b 2 Ø=60 o 2 Figura 2a Resolução do problema de ângulo entre Retas

5 3.3 Ângulo Diedro Para exemplifiar a determinação do ângulo diedro mostramos o aso do aviãozinho de papel. Dadas as projeções vertial e horizontal do aviãozinho de papel, formado pelos planos ABC e ACD, pede-se determinar: a) O ângulo entre as asas do avião; b) A visibilidade entre as arestas visíveis das asas. d b a d b a d b a d b a PA 1 PA 2 Figura 4 Dados do Problema PA 1 1 VG a 1 2, a 2 b 2 d 2 d 1 b 1 Ângulo diedro Figura 4a Resolução do Problema de determinação do ângulo diedro 3.4 Interseção e Planifiação de Sólidos Problema do Tubo de Ventilação - adaptado de Ref. [5] Na figura 5 os pontos A e B representam os entros de dois orifíios irulares, separados entre si, loalizados no piso do pavimento. Estes orifíios são para aomodar dois tubos de ventilação, ujas passagens dão fluxos de ar om o pavimento superior. Os dois tubos são ligados entre si por meio de um tubo de ventilação simples, que é loalizado, no pavimento inferior, em linha entralizado entre os furos A e B. A onexão é feita om 90 graus, na forma de ramifiação em Y. As vigas que suportam o piso são separadas entre si, o sufiiente para que os tubos dêem aesso até o piso. (os tubos devem ser entralizados entre as vigas). Vigas A Piso superior B Tubo de ventilação C Piso inferior Conexão em Y Figura 5 - Perspetiva ilustrativa do problema Caso do tubo de ventilação

6 Desenhe uma ramifiação em Y feita de lâmina de metal que satisfará as ondições propostas e também siga um afastamento entre os anos de ramifiação e as vigas do pavimento. Dados para o desenho proposto: 1. Comprimento mínimo dos tubos dos ventiladores para admitir o afastamento entre os anos da ramifiação em Y e as vigas do pavimento. 2. Linhas de interseção entre os tubos e as omponentes da ramifiação em Y. 3. Desenvolvimento das superfíies dos tubos e também dos omponentes da ramifiação Y que podem ser feitos por uma lâmina de metal. a b Piso Viga a b Figura 6 Dados do problema do tubo de ventilação Proedimentos 1. Desenhe um írulo orrespondente ao diâmetro do furo om entro em A, B,e C, e omplete a vista superior dos tubos de ventiladores. 2. Projete írulos para a vista superior dos tubos. 3. Trae aros dos antos das vigas do ompartimento para fixar o afastamento pedido. 4. Desenhe linhas tangentes aos aros om ângulo de 45º. 5. Complete a vista frontal dos tubos e a ramifiação em Y. Linhas de Interseção 6. As linhas de interseção entre os tubos de ventilação e os omponentes da ramifiação em Y podem ser determinados pela interseção entre as geratrizes dos ilindros. Uma vez que os tubos e os omponentes da ramifia em Y são partes de ilindros omo diâmetro, as linhas de interseção são urvas planas (as quais são elipses neste aso, vendo em ortes nas vistas). Quando as verdadeiras grandezas dos ilindros, são vistas omo linhas de interseção, apareem omo linhas retas (o aluno pode provar isto por meio de uma linha paralela aos planos para o eixo do ilindro determinando om isso a VG da seção). Planifiação dos ilindros 7. Tomando omo base as geratrizes dos ilindros em VG traçamos uma linha perpendiular a estas, e retifiamos as irunferênias dos ilindros e o eixo médio da onexão em Y. 8. Sobre esta retifiação, traçamos, espaçadamente, as geratrizes om a distânia real entre elas. Transportamos os omprimentos das geratrizes, a partir de suas VG, 9. Por fim traçamos as linhas urvas que desrevem as interseções entre os elementos da onexão.

7 Desenvolvimento da superfíie lateral do ilindro AE =BD Fabriar 2 peças 90º Desenvolvimento da superfíie lateral do ilindro CF Desenvolvimento da superfíie lateral do ilindro EF= DF Fabriar 2 peças Figura 7 Solução do problema do tubo de ventilação 3.5 Perspetiva - adaptado de I.F. Araújo [7] Para demonstrar este exemplo de perspetiva, tomamos omo base uma peça, da figura 8. Representamos este sólido em suas vistas prinipais ( e ). Em seguida posiionamos o observador oloando o ângulo horizontal (θ = 45º ou outro qualquer), observe que teremos quatro posições possíveis, no. Pereba que o observador estar posiionado no sentido das projetantes, formando ângulo de 45º om o. Projetamos as linhas visuais e posiionamos o plano auxiliar primário (PA1), perpendiular a estas linhas projetantes. Sobre as projetantes transportamos, as otas de ada vértie do objeto, para o PA1. Contudo, a partir do PA1 o observador, também, pode assumir infinitas posições, onde usamos omo exemplo, o ângulo vertial φ = 30º. Para determinar a projeção do PA2, posiionamos o observador, medindo o ângulo vertial φ = 30º, om o eixo do PA1 e traçamos as linhas projetantes, no sentido do ângulo traçado, em seguida posiionamos o plano auxiliar seundário (PA2), perpendiular a estas linhas projetantes e transportamos para este plano, as distânias dos vérties do objeto na projeção horizontal até o eixo do PA1. Podemos, de maneira análoga, variar a ombinação dos ângulos horizontal e vertial do observador, e determinarmos uma perspetiva isométria, dimétria ou trimétria.

8 X Z PA2 PA Y θ = 45 1 PA1 Ø=30 Figura 8: Perspetiva de uma peça - θ = 45, Ø=30 4. REFERÊNCIAS [1] C. H. Lobjois, Desenvolvimento de Chapas, Hemus, São Paulo: p [2] K. Forseth, Projetos de Arquitetura, Hemus Editora, SP: 1987, p [3] M. B. Herrero, Geometria Desriptiva Apliada, Urmo, Servilla, Espanha: 1975, p [4] B. L. Wellman, Tehnial desriptive geometry. 2ª Edição, MGraw-Hill Book Company, New York, 1957, p [5] S. M. Slaby, Desriptive geometry, Barnes & Noble, In. New York, 1957, p [6] F. E. Giseke, Tehnial drawing. sixth edition Collier Mamillan International Editions, Ltd. 1967, p. 85 [7] I. F. Araujo, Determinação das perspetivas ilíndrias ortogonais por mudança de plano de projeção, in III Congresso Internaional de Engenharia Gráfia nas Artes e no Desenho e no 14ª Simpósio de Geometria Desritiva e Desenho Ténio, Ouro Preto, CONSIDERAÇÕES FINAIS Com o desenvolvimento deste trabalho, pôde-se observar a ontribuição que foi dada, no sentido de aumentar a motivação e empenho dos alunos em sala de aula, demonstrando que a Geometria Desritiva não onstitui pura abstração na mente dos professores que a ensinam. Os exemplos aqui apresentados demonstram a relação do onteúdo da disiplina om apliações prátias e onretas, na realidade da vida profissional do Engenheiro. A prinipal ontribuição deste trabalho foi a dinamização das atividades em sala de aula, tornando-as mais próximas da realidade prátia, ontribuindo om o aumento do nível motivaional dos alunos em estudarem e aprenderem Geometria Desritiva para uma melhor formação do Engenheiro.

9 APLICATION OF DESCRIPTIVE GEOMETRY FOR SOLVING PROBLEMS OF ENGINEERING Abstrat..This paper has as prinipal goal, how we an apliate a few prinipals of Desriptive Geometry for solving problems in various areas of knowledge. We show a few pratial examples and graphial solutions, these examples were reated with the day and day experiene, other were adapted from other people and used in lassroom with the intuition to dynamize the Desriptive Geometry learning.