PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO

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1 Exame Nacional de 2010 (2.ª Fase) 1. Em primeiro lugar representaram-se as retas a e b, bem como o ponto P, pelas respetivas projeções. As projeções da reta a desenharam-se em função dos respetivos ângulos (dados no enunciado) e passando pelas projeções homónimas do ponto S. Já no que respeita à reta b, sublinha-se que não é dado qualquer ponto o enunciado refere, apenas, que se trata de uma reta do β 1/3. Por outro lado, tendo em conta que as retas a e b definem um plano, as retas são complanares, pelo que ou são paralelas ou são concorrentes. Não são paralelas, pois as suas projeções frontais não fazem, com o eixo X, o mesmo ângulo, pelo que são necessariamente concorrentes. Uma vez que se trata de retas concorrentes, então é porque existe um ponto de concorrência, que é necessariamente um ponto do β 1/3. De facto, tendo em conta que a reta b é uma reta do β 1/3, todos os seus pontos pertencem ao β 1/3, pelo que o ponto de concorrência das duas retas é, necessariamente, um ponto do β 1/3 que pertence, também, à reta a. Nesse sentido, após a determinação das projeções da reta a, há que determinar o traço da reta a no β 1/3 (o ponto da reta a que tem projeções simétricas em relação ao eixo X) que será, então, o ponto de concorrência das duas retas. O ponto Q (o traço da reta a no do β 1/3 ) é, assim, o ponto de concorrência das duas retas. Após a determinação do ponto Q foi possível desenhar as projeções da reta b, que é uma reta do β 1/3 as suas projeções são simétricas em relação ao eixo X. O plano α está, assim, definido pelas retas a e b (representadas pelas suas projeções), concorrentes no ponto Q. É pedido um plano π, paralelo ao plano α e contendo o ponto P. Para o plano π ser paralelo ao plano α, o plano π tem de conter duas retas concorrentes paralelas a duas retas concorrentes do plano α, ou seja, os dois planos têm de ter duas «famílias» de retas em comum. Por outro lado, para o plano π conter o ponto P, o ponto P tem de pertencer a uma reta que pertença ao plano (condição para que um ponto pertença a um plano). Das várias hipóteses de resolução deste exercício, optou-se pela situação mais óbvia, que foi conduzir, pelo ponto P, duas retas concorrentes, paralelas às retas a e b. Assim, pelo ponto P conduziu-se uma reta a, paralela à reta a. Por um lado já garantimos que o ponto P pertence ao plano π, pois pertence a uma reta do plano π a reta a. Por outro lado, já garantimos que o plano π contém uma reta paralela a uma reta do plano α a reta a. Falta-nos uma outra reta do plano π, concorrente com a reta a e paralela a uma outra reta do plano α, reta essa que seja concorrente com a reta a (à qual a reta a é paralela). A reta b é uma outra reta do plano α que é concorrente com a reta a. Assim, pelo ponto P conduziu-se uma reta b, paralela à reta b. Já garantimos o paralelismo entre os dois planos o plano π contém duas retas concorrentes (a reta a e a reta b ) paralelas a duas retas concorrentes do plano α (a reta a e a reta b). No enunciado são pedidos os traços do plano π. Para tal determinaram -se os traços frontais das retas a e b, os pontos F e F, respetivamente. O traço frontal do plano π (f π ) está definido por dois pontos os pontos F e F. Para determinar o traço horizontal do plano π determinou-se o traço horizontal da reta b, o ponto H. O traço horizontal do plano π (h π ) está definido por dois pontos o ponto H e o ponto do eixo X que é o ponto de concorrência dos traços do plano π. Note que, para a resolução do exercício acima exposta, não se determinaram os traços do plano α, que não são pedidos no enunciado. De facto, um outro processo para resolver o exercício consistiria em determinar previamente os traços do plano α e, em seguida, usar o raciocínio acima exposto para outras duas retas do plano α os seus traços. 63

2 2. Em primeiro lugar representaram-se o plano δ, pelos seus traços, bem como o ponto R, pelas suas projeções, em função dos dados. O plano θ contém o ponto R e trata-se de um plano projetante frontal, pelo que o traço frontal do plano contém a projeção frontal do ponto R e faz, com o eixo X, o ângulo dado recorde-se que as projeções frontais de todos os pontos pertencentes a um plano projetante frontal estão sobre o traço frontal do plano, o que se verifica neste caso. O traço horizontal do plano θ é uma reta de topo com cota nula. Após a representação dos dados do exercício, procedeu-se à resolução do mesmo. É pedida a amplitude (a verdadeira grandeza) do ângulo formado pelos dois planos. A primeira etapa do método geral consiste em identificar a aresta do diedro, que é a reta de interseção entre os dois planos trata-se de uma reta oblíqua. Em seguida, há que conduzir o plano ortogonal à aresta do diedro. Acontece que o plano ortogonal à aresta do diedro não tem determinação direta (é necessário, em primeiro lugar, determinar a reta de interseção dos dois planos) e não é, com certeza, um plano projetante (será um plano oblíquo, por ser um plano ortogonal a uma reta oblíqua). Assim, optou-se pelo segundo processo para a determinação do ângulo entre dois planos. Nesse sentido conduziu-se, por um ponto exterior aos dois planos (o ponto P), duas retas uma reta ortogonal ao plano θ (a reta p) e uma reta ortogonal ao plano δ (a reta p ). O ângulo formado pelas duas retas tem a mesma amplitude do ângulo formado pelos dois planos. Para uma reta ser ortogonal a um plano, as suas projeções têm de ser perpendiculares aos traços homónimos do plano, o que garante a ortogonalidade da reta a duas retas concorrentes do plano. Assim, as projeções da reta p são perpendiculares aos traços homónimos do plano θ a reta p é uma reta frontal. Também as projeções da reta p são perpendiculares aos traços homónimos do plano δ a reta p é uma reta oblíqua. Em seguida procedeu-se à determinação da verdadeira grandeza do ângulo formado entre as duas retas. O ângulo formado entre as duas retas está contido no plano definido pelas duas retas trata - -se de um plano oblíquo (é o plano ortogonal à aresta do diedro). Uma vez que o plano definido pelas duas retas não é paralelo a nenhum dos planos de projeção, o ângulo formado pelas duas retas não se projeta em verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projeção, pelo que é necessário o recurso a um Processo Geométrico Auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano definido pelas duas retas para um plano frontal o plano frontal que contém a reta p (que é uma reta frontal). Assim, identificou-se o plano frontal (o plano ϕ) pelo seu traço horizontal h ϕ. Tendo em conta que o plano ϕ é um plano projetante horizontal, o traço horizontal do plano fica sobre a projeção horizontal da reta p p 1 (h ϕ ). Para efetuar o rebatimento do plano definido pelas retas p e p para o plano ϕ, é necessário identificar a charneira do rebatimento (reta e), que é a reta de interseção dos dois planos a charneira do rebatimento é a própria reta p, o que se identificou em ambas as projeções (as duas projeções da reta e estão coincidentes com as projeções homónimas da reta p). A reta p, que é a própria charneira do rebatimento, roda sobre si própria, pelo que p r fica coincidente com a própria reta p p r e 2 p 2. É necessário, agora, rebater a reta p, ou seja, definir a reta p em rebatimento. Para definir uma reta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direção. O ponto P é um ponto da charneira, pelo que roda sobre si próprio tem-se imediatamente P r P 2. Já temos um ponto para definir a reta p em rebatimento o ponto P r. Falta-nos outro ponto ou uma direção. Representou-se um outro ponto, qualquer, pertencente à reta p o ponto A. Para rebater o ponto A é necessário recorrer ao triângulo do rebatimento, pois o plano que está a ser rebatido (o plano definido pelas retas p e p ) é um plano oblíquo. Pela projeção frontal do ponto A (A 2 ) conduziram-se uma reta perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento do ponto A) e uma paralela à charneira. Na paralela à charneira representou-se a distância do ponto A ao plano ϕ (o afastamento de A em relação ao plano ϕ). Com um extremo nesse ponto e outro na charneira (no ponto de interseção da perpendicular à charneira com a própria charneira) desenhou-se a hipotenusa do triângulo do rebatimento do ponto A. Com o recurso ao compasso, fazendo centro na charneira e raio igual à hipotenusa do triângulo do rebatimento, transportou-se essa medida (que é o raio do arco do rebatimento do ponto A) para a perpendicular à charneira, obtendo A r (o ponto A rebatido). A reta p rebatida fica, assim, definida por dois pontos P r e A r. Qualquer dos dois ângulos menores formados entre as duas retas, em rebatimento (p r e p r ) tem a amplitude pedida a amplitude do ângulo formado entre os planos δ e θ. Assinalou-se um desses dois ângulos com a expressividade adequada (nas semirretas que limitam o ângulo) e indi cou-se a sua verdadeira grandeza (pedida no enunciado) com a notação βº. 64

3 3. Em primeiro lugar representaram-se os pontos O e A, pelas suas projeções, em função dos dados. Em seguida representaram-se, pelos seus traços, os planos de perfil que contêm as duas bases do sólido o plano π (que contém os pontos O e A) e o plano π, com 5 de abcissa, de acordo com o enunciado. Em seguida procedeu-se à execução dos traçados necessários à construção das projeções do sólido. Tendo em conta que se trata de um prisma regular, as suas bases são pentágonos regulares. A base [ABCDE] (a base mais à esquerda do sólido) está contida num plano que não é paralelo a nenhum dos planos de projeção, pelo que é necessário o recurso a um Processo Geométrico Auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano de perfil (o plano que contém a figura) para o Plano Frontal de Projeção. A charneira do rebatimento foi o traço frontal do plano (f π ), que se identificou como tal. Rebateu - -se o ponto O, obtendo O r. O ponto A, porque é um ponto da charneira, rodou sobre si próprio, pelo que se tem imediatamente A r A 2. Em rebatimento, a circunferência circunscrita ao pentágono [ABCDE] tem centro em O r e passa por A r (o que significa que tem 4,5 cm de raio). Desenhou-se a circunferência e construiu-se o pentágono regular, inscrito na circunferência, de que A r é um dos vértices. Tendo em conta que não é dada nenhuma indicação sobre os restantes vértices da base (no enunciado), optou-se por se considerar que o vértice B seria o vértice de maior cota da base. Após a construção do pentágono em verdadeira grandeza (em rebatimento), inverteu-se o rebatimento do plano π e determinaram-se as projeções de todos os vértices da base mais à esquerda do prisma. Uma vez que se trata de um prisma regular, sabe-se que as arestas laterais estão contidas em retas ortogonais aos planos das bases, que são retas fronto-horizontais. Por cada um dos vértices da base [ABCDE] do prisma conduziram-se retas fronto - -horizontais (as retas suporte das respetivas arestas laterais) e determinaram-se os vértices da base mais à direita do sólido (o pentágono [A B C D E ]) nos pontos em que aquelas intersetam o plano π (o plano que contém aquela base). A partir das projeções de todos os vértices do sólido, desenharam-se as projeções do prisma, atendendo às invisibilidades das suas arestas. Em projeção frontal, existe uma única aresta lateral invisível a aresta [AA ] (por se tratar da aresta de menor afastamento do sólido), que se identificou com o traçado respetivo (traço interrompido). As restantes arestas laterais são visíveis porque integram o contorno aparente frontal (caso das arestas [BB ] e [EE ]) ou porque são as arestas de maior afastamento do sólido (caso das arestas [CC ] e [DD ]). Já em projeção horizontal, todas as arestas laterais invisíveis (as arestas [EE ] e [DD ]) estão ocultas por arestas laterais visíveis (as arestas [BB ] e [CC ], respetivamente), pelo que não há lugar à representação de invisibilidades do sólido em projeção horizontal. Em seguida, para determinar a sombra do sólido, proce deu-se à determinação da linha separatriz luz/sombra, o que se processou com o recurso à determinação dos pla nos tangen tes luz/sombra, através das quatro etapas para o efeito e que em seguida se (Continua na página seguinte) 65

4 (Continuação da página anterior) apresentam. 1. Por um ponto P, exterior ao sólido, conduziram-se duas retas uma reta r, fronto-horizontal, paralela às arestas laterais do sólido, e um raio lumi noso l (com a direção convencional da luz a direção luminosa dada no enunciado). Estas duas retas definem um plano (o plano λ) que é paralelo aos planos tangentes luz/sombra (têm a mesma orientação). 2. Determinou-se a reta i, que é a reta de interseção do plano λ (o plano definido pelas retas r e l) com o plano da base de referência do sólido (a base mais à esquerda o plano π). A reta i está definida pelos pontos I e I, que são os pontos de interseção das retas r e l, respetivamente, com o plano da base de referência (o plano π). 3. Conduziram-se as retas tangentes à base de referência que são paralelas à reta i as retas t e t. Estas são as retas de interseção dos dois planos tangentes luz/sombra com o plano da base de referência do sólido (o plano π). Uma vez que tanto a reta i como as retas t e t são de perfil, as situações de paralelismo (entre as retas t e t e a reta i) bem como as situações de tangência (das retas t e t à base) não são visíveis de forma direta, pelo que foi necessário o recurso a um Processo Geométrico Auxiliar optou-se por recorrer ao rebatimento do plano π, já previamente efetuado para a construção das projeções da base [ABCDE]. Rebateram-se os pontos I e I, obtendo I r e I r a reta i, em rebatimento (a reta i r ) fica definida por I r e I r. As retas t e t, em rebatimento (as retas t r e t r ), são paralelas à reta i r e são tangentes (rasantes) à base do sólido a reta é tangente (rasante) à base no ponto B e a reta t é tangente (rasante) à base no ponto D. 4. As retas t e t são tangentes (rasantes) à base mais à esquerda do sólido (a base de referência) nos pontos B e D, respetiva mente. As arestas laterais [BB ] e [DD ] são, imediatamente, duas das arestas da linha separatriz luz/sombra são as arestas laterais ao longo das quais os planos tangentes luz/sombra são tangentes (rasantes) ao prisma. As arestas laterais [BB ] e [DD ] separam, assim, as faces laterais do prisma que estão iluminadas das que estão sombreadas (em sombra própria) dada a direção luminosa, apenas as faces laterais [BB C C] e [CC D D] estão iluminadas, sendo que as restantes faces laterais estão em sombra. Das três faces laterais em sombra própria, a face lateral [AA B B] é a única que é visível em projeção horizontal, pelo que a sombra própria a assinalar (em projeção horizontal) se resume àquela face nesse sentido, assinalou-se a referida face lateral com uma mancha clara e uniforme. Das três faces laterais em sombra própria, a face lateral [DD E E] é a única que é visível em projeção frontal, pelo que a sombra própria a assinalar (em projeção frontal) se resume àquela face nesse sentido, assinalou-se a referida face lateral com uma mancha clara e uniforme. A base mais à esquerda está iluminada e a base mais à direita está sombreada (em sombra), pelo que a linha separatriz luz/sombra é a linha fechada [BB C D DEA] (é a linha fechada que separa as faces em sombra das faces iluminadas). A sombra projetada do prisma nos planos de projeção estará delimitada pela sombra projetada da linha separatriz luz/sombra. Assim, há que determinar as sombras projetadas de todos os vértices da linha separatriz luz/sombra e, assim, poder determinar a sombra projetada do prisma. O ponto A é um ponto do Plano Frontal de Projeção, pelo que a sua sombra projetada no Plano Frontal de Projeção (A s2 ) está coincidente com o próprio ponto assim, tem-se imediatamente A s2 A 2. Para determinar as sombras projetadas dos restantes vértices da linha separatriz luz/sombra conduziram-se, por cada um desses vértices, um raio luminoso e determinaram-se as respetivas sombras reais. B s2, B s2 e C s2 são, respetivamente, as sombras reais dos vértices B, B e C da linha separatriz luz/sombra B s2, B s2 e C s2 situam-se no SPFS. E s1, D s1 e D s1 são, respetivamente, as sombras reais dos vértices E, D e D da linha separatriz luz/sombra E s1, D s1 e D s1 situam-se no SPHA. Os vértices A e E são dois vértices consecutivos da linha separatriz luz/sombra A s2 (a sombra real de A) situa-se no SPFS e E s1 situa-se no SPHA, pelo que a sombra da aresta [AE] admite um ponto de quebra este determinou-se com o recurso à sombra virtual do ponto E. E v2 é a sombra virtual de E e situa-se no SPFI. Desenhando o segmento de reta com extremos em A s2 e em E v2, determinou-se o ponto de quebra da sombra do segmento no ponto que este interseta o eixo X. Os vértices C e D são dois vértices consecutivos da linha separatriz luz/sombra C s2 (a sombra real de C) situa-se no SPFS e D s1 situa-se no SPHA, pelo que a sombra da aresta [C D ] admite um ponto de quebra este determinou-se recorrendo à situação de paralelismo do segmento em relação ao Plano Frontal de Projeção (o segmento [C D ] é vertical). Uma vez que o segmento [C D ] é paralelo ao Plano Frontal de Projeção, a sombra projetada do segmento é paralela ao próprio segmento, ou seja, é vertical. Nesse sentido conduziu-se, por C s2, uma linha vertical até ao eixo X o ponto de interseção daquela com o eixo X é o ponto de quebra da sombra do segmento [C D ]. A partir de todos os vértices do contorno da sombra projetada da linha separatriz luz/sombra do prisma, desenhou-se esse contorno, respeitando as suas invisibilidades (quer a parte oculta pelo prisma em projeção horizontal, quer a parte oculta pelo prisma em projeção frontal). Em seguida assinalou-se, com uma mancha clara e uniforme, a parte visível da sombra projetada. 4. Em primeiro lugar representaram-se as perspetivas dos três eixos, de acordo com os ângulos dados. Uma vez que se trata de uma trimetria, todos os eixos apresentam um coeficiente de deformação diferente. Em seguida, recorreu-se ao método dos cortes, com vista a representar, em verda deira grandeza, pelo menos uma das projeções do objeto. Nesse sentido, rebateu-se o plano XY para o interior da pirâmide axono métrica (em torno da charneira, que é perpendicular à perspetiva do eixo Z), obtendo a direção do eixo X r e do eixo Y r (que são perpendiculares entre si no ponto O r ). Note que a opção de rebater o plano XY e não qualquer outro dos planos coordenados teve a ver com a necessidade de construir a base da pirâmide em verdadeira grandeza uma vez que a base da pirâmide é paralela ao plano XY, sabe-se que o triângulo [RST] se projeta em verdadeira grandeza no plano XY e não noutro plano qualquer. Após o rebatimento do plano XY para o interior da pirâmide axonométrica, efetuou-se a translação do plano XY rebatido, através da perpendicular à charneira que passa pela perspetiva do ponto O, para fora da área da representação do desenho o eixo X r é paralelo ao eixo X r e o eixo Y r é paralelo ao eixo Y r (o eixo X r e o eixo Y r são perpendiculares entre si no ponto O r ). No plano XY, rebatido e transladado, representaram-se, em rebatimento, as projeções horizontais dos pontos R e S, dois pontos dados do prisma quadrangular, em função das respetivas coordenadas este procedimento permitiu-nos obter R 1r e S 1r. Os pontos R e S são dois vértices da base superior do prisma, que se considerou ser o quadrado [PQRS]. Nesse sentido, considerou-se que a base inferior do prisma (a base que está contida no plano coordenado horizontal XY) é o quadrado [P Q R S ]. Atendendo a que os vértices R e S definem a aresta de maior afastamento da base superior do prisma (o quadrado [PQRS]), conclui-se, de forma imediata, que o ponto P é um ponto do eixo Z e que o ponto Q é um ponto do plano coordenado XZ. As arestas laterais do sólido, por serem ortogonais aos planos das bases (trata-se de um prisma regular), estão contidas em retas projetantes horizontais, pelo que as projeções horizontais dos vértices da base inferior (o quadrado [P Q R S ]) estão coincidentes com as projeções horizontais dos vértices da base superior (o quadrado [PQRS]). Este raciocínio permitiu-nos construir a projeção horizontal do prisma, em reba- 66 (Continua na página seguinte)

5 (Continuação da página anterior) timento, no plano XY rebatido e transladado. Note que os vértices P e P do prisma se situam, necessariamente, no eixo Z o vértice P é a própria origem do referencial. A partir dos pontos R 1r e S 1r efetuou-se a construção do triângulo equilátero de que aqueles pontos são dois vértices o terceiro vértice do triângulo é T 1r, que é a projeção horizontal (em rebatimento) do terceiro vértice da base da pirâmide. O triângulo equilátero [R 1r S 1r T 1r ] é a projeção horizontal (em rebatimento) do triângulo [RST], que é a base da pirâmide. Em seguida procedeu-se à determinação da cota da face superior do sólido. Para tal poderia ter-se recorrido ao rebatimento de qualquer dos outros dois planos coordenados, mas optou-se por rebater apenas o eixo Z (recorde que os três eixos apresentam um coeficiente de deformação diferente, por se tratar de uma trimetria), o que se processou pelo rebatimento do plano projetante do eixo Z. Neste caso, a charneira do rebatimento é a própria perspetiva do eixo Z e o rebatimento processa-se perpendicularmente à charneira (perpendicularmente à perspetiva do eixo Z). Após o rebatimento do eixo Z, representou-se, no eixo Z rebatido (eixo Z r ), a cota da face superior do sólido (11 cm, que é a cota dos pontos R e S, dada no enunciado) a partir de O r e inverteu-se o rebatimento, com o recurso a uma perpendicular à charneira do rebatimento (uma perpendicular à perspetiva do eixo Z). Este procedimento permitiu-nos obter, sobre a perspetiva do eixo Z, um ponto com a cota da face superior do sólido esse ponto é a perspetiva do próprio ponto P, que é o vértice da base superior do prisma que se situa no eixo Z. Conduzindo, pela perspetiva do ponto P, uma paralela à perspetiva do eixo X, desenhou-se a perspetiva da reta suporte da aresta [PQ]. Conduzindo, por Q 1r, uma perpendicular à charneira do rebatimento do plano XY, determinou-se a perspetiva do ponto Q no ponto de concorrência das duas retas. Em seguida conduziu-se, pela perspetiva do ponto P, uma paralela à perspetiva do eixo Y, desenhando-se a perspetiva da reta suporte da aresta [PS]. Conduzindo, por S 1r, uma perpendicular à charneira do rebatimento do plano XY, determinou-se a perspetiva do ponto S no ponto de concorrência das duas retas. Estes dois procedimentos permitiram-nos, ainda, determinar as perspetivas de Q (sobre a perspetiva do eixo X) e de S (sobre a perspetiva do eixo Y). Recorrendo a paralelas às perspetivas do eixo X e do eixo Y, bem como à reta perpendicular à charneira do rebatimento do plano XY que passa por R 1r, foi possível determinar as perspetivas dos pontos R e R e, assim, obter as perspetivas de todos os vértices do prisma. Há, agora, que determinar a perspetiva do ponto T. Para tal, no plano XY rebatido e transladado, determinou-se o ponto do eixo Y r que tem o afastamento do ponto T (conduzindo, por T 1r, uma perpendicular ao eixo Y r que é paralela ao eixo X r ). Por esse ponto conduziu-se uma perpendicular à charneira do rebatimento do plano XY e determinou-se a perspetiva da projeção lateral do ponto T (T 3 ), sobre a perspetiva da reta suporte da aresta [PS], da base superior do prisma (tenha em conta que a cota do ponto T é igual à cota do quadrado [PQRS]). Por outro lado, essa mesma perpendicular à charneira que passa por T 1r permitiu-nos determinar, sobre a perspetiva do eixo Y, a perspetiva de um ponto com a abcissa do ponto T. Por esse ponto conduziu-se uma paralela à perspetiva do eixo X. O ponto de concorrência dessa paralela com a perpendicular à charneira do rebatimento do plano XY que passa por T 1r é a perspetiva de T 1. A perspetiva do ponto T é o ponto de concorrência da perpendicular à charneira do rebatimento do plano XY que passa por T 1r (e que corresponde à perspetiva da reta projetante horizontal do ponto T) com a paralela à perspetiva do eixo X que passa por T 3 (e que corresponde à perspetiva da reta projetante lateral do ponto T). Por fim, há que determinar a perspetiva do vértice da pirâmide, o que se efetuou da forma mais simples. Atendendo a que, de acordo com o enunciado, o vértice da pirâmide coincide com o centro da face de maior afastamento do prisma (a face lateral [RSS R ]), optou-se por, diretamente na perspetiva, desenhar as perspetivas das duas diagonais dessa face isso permitiu-nos determinar, de forma imediata, o respetivo centro em perspetiva (o ponto M) e, assim, a perspetiva do vértice da pirâmide (que está coincidente com a perspetiva de M tem-se V M). A partir das perspetivas de todos os vértices dos dois sólidos, desenhou-se a perspetiva do sólido resultante da justaposição daqueles, ocultando as linhas invisíveis, como pede expressamente o enunciado. Sublinha-se que se trata de um único sólido e não de dois sólidos juntos, pelo que as arestas desse sólido (o sólido composto pelo prisma e pela pirâmide) são linhas que separam fisicamente planos distintos (faces distintas). Assim, o segmento [RS] não é uma aresta do sólido final, pois, nesse sólido, o segmento não separa duas faces distintas o segmento [RS] não é uma aresta e não deve ser representada como tal. Na solução apresentada, o segmento [RS] está representado, apenas, como uma linha auxiliar (uma linha construtiva), necessária à determinação da perspetiva do sólido final. 67