2. Equação do primeiro grau

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1 Programa de Iniciação a Docência em Matemática (UEM 2010)- Outubro 9: 1 6. c PIBID-MAT Equação do Primeiro Grau Carlos Augusto Bassani Varea e Thiago Rufino Resumo: Neste trabalho apresentamos um material de apoio ao professor relacionado à equação do primeiro grau e sugerimos atividades que podem ser utilizadas em sala de aula. Supõe-se que este será o primeiro contato do aluno com equações do primeiro grau. 1. Introdução A álgebra é uma área da matemática em que os alunos brasileiros apresentam significativa dificuldade de aprendizagem. De acordo com Secretaria de Educação Fundamental, Nos resultados do Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB), por exemplo, os itens referentes à álgebra raramente atingem um índice de 40% de acerto em muitas regiões do país [SEF, 1998], confirmando a problemática que professores e alunos vivenciam. Diante disso, o papel do professor é de fundamental importância criando estratégias de ensino diversificadas para tornar mais compreensível o conteúdo, fazendo com que os alunos aprendam e não decorem regras, mas compreendam o processo de resolução de uma equação do primeiro grau. 2. Equação do primeiro grau A importância deste assunto deve ser enfatizada por meio de exemplos simples e aplicáveis. Sabemos que ensinar a técnica de resolução de equações do primeiro grau aos alunos da sexta série do Ensino Fundamental pode ser uma árdua tarefa, por isso indicamos ao professor que respeite o tempo do aluno e ao observar a sua evolução introduza novos desafios de forma gradativa. Apresente igualdades tais como: Devemos definir os membros, sendo que: 1 o membro: 8+4 2, 2 o membro: 6+5 1, = e então fazer uma analogia com os pratos de uma balança antiga, sendo que cada prato representa um membro da igualdade. Devemos recordar que esta balança precisa estar sempre equilibrada, sendo assim, se você tirar ou colocar algum peso em algum dos pratos (membros) deve-se fazer o mesmo no outro. Observe que se tirarmos +4 do 1 o membro e não quisermos que a balança se desequilibre, é preciso tirá-lo do 2 o membro obtendo o seguinte: (8+4 2) 4 = (6+5 1) 4 1 Typeset by style. c Pibid Mat.

2 2 EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU = Note que a equação acima ainda é uma igualdade, o mesmo ocorre se tirarmos o -1 do 2 o membro, observe que ao dizermos tirar o -1, na verdade queremos expressar a adição de 1 de ambos os lados, observe abaixo: (8 2)+1 = ( ) = que ainda é uma igualdade. Quando o aluno entender a regra de troca do sinal ao mudar de membro, reconhece também a aplicação da operação inversa. Desta forma, de maneira semelhante construímos novas igualdades multiplicando-se ambos os membros de uma igualdade por um mesmo número, sem ocasionar o desequilíbrio da balança. 8(8 2+1) = 8(6+5 4) ou = Só após, então, apresentamos expressões envolvendo o valor desconhecido x. Depois destes passos cuidadosos com os alunos, definimos equação do 1 o grau, incógnitas e mostramos o procedimento de como encontrar a resolução de uma equação. Definição 2.1 As equações do 1 o grau são aquelas que podem ser representadas sob a forma: ax+b = 0 em que a e b são constantes reais, com a 0, e x é a incógnita. A incógnita representa um número desconhecido que temos por objetivo encontrá-lo e para tal feito, devemos resolver a equação. De forma geral, temos: ax+b = 0 ax+b+( b) = 0+( b). Somando b de ambos os lados, observe que a igualdade permanece. Obtemos isso usando a associatividade. ax+(b b) = b ax+0 = b Pela existência do elemento neutro, tem-se ax = b

3 2 EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 3 Como a 0, podemos executar a sua divisão em ambos os lados da igualdade. obtemos o resultado abaixo: Exemplo 2.1 (Atividade concreta) ax a = b a, x = b a Uma atividade concreta que pode auxiliar na passagem para a solução de equações lineares é sugerida a seguir. Materiais: algumas caixas de fósforos, uma cartolina e 40 miçangas (pode ser feijões ou botões). Primeiro caso: Confeccione sinais de igualdade, de adição, subtração e divisão. Encape as caixas e escreva sobre elas a letra x. Divida as miçangas em duas partes iguais. Como exemplo, consideremos a equação x + 12 = 20. Monte sobre a carteira do aluno esta equação colocando, sem que o estudante veja, 8 miçangas dentro da caixa e mais 12 miçangas, e do outro lado da igualdade as 20 miçangas do outro grupo. O estudante deve efetuar operações para determinar a quantidade de miçangas que estão dentro da caixa. Figura 1: caixa +12 = 20 Segundo caso: Como exemplo, consideremos a equação 2x+8 = 20. Monte sobre a carteira do aluno esta equação colocando, sem que o estudante veja, 6 miçangas dentro de cada uma de duas caixas e mais 8 miçangas fora delas, e do outro lado da igualdade as 20 miçangas do outro grupo. O professor deve cuidar para que, neste estágio, as soluções sejam inteiras de modo a facilitar a compreensão = 20 Figura 2: Duas caixas

4 3 INDO UM POUCO ALÉM 4 O estudante deve efetuar operações para determinar a quantidade de miçangas que estão dentro da caixa. O professor deve propor exercícios com este material e solicitar que reproduzam no caderno a solução encontrada com as caixas. A seguir apresentaremos alguns problemas cujas soluções se reduzem a resolução de uma equação. Vejamos alguns exemplos simples do universo da criança. Exemplo Considere a equação x + 7 = 3. Os alunos devem aplicar as operações usadas anteriormente e sempre tomando o cuidado de não desequilibrar a balança, deixando o valor desconhecido sozinho no 1 o membro e obter, consequentemente, seu valor no 2 o membro. Conforme segue o raciocínio a seguir: x+7 = 3 x+7+( 7) = 3+( 7) x+(7 7) = 4 x+0 = 4 x = Considere a equação 2x 7 = 9. Os alunos devem aplicar as operações usadas anteriormente e sempre tomando o cuidado de manter a igualdade, buscando o deixar o desconhecido sozinho no 1 o membro. A seguir os principais passos: 2x 7 = 9 2x 7+(+7) = 9+7 2x+(7 7) = 16 2x+0 = 16 2x = x = Indo um pouco além Ultrapassada esta etapa da resolução de equações do primeiro grau, devemos iniciar a etapa seguinte em que o aluno deve interpretar matematicamente situações problemas, são os rudimentos da modelagem matemática. O professor deve ficar atento para as diferentes soluções apresentadas pelos alunos. Vejamos algumas situações simples. Exemplo Uma criança coleciona figurinhas. Ela ganhou 6 figurinhas e ficou com 18. Quantas figuras ela tinha inicialmente?

5 4 ATIVIDADES 5 2. Uma criança coleciona figurinhas. Ela perdeu 6 figurinhas e ficou com 18. Quantas figuras ela tinha inicialmente? 3. Um reservatório de água contém 120 litros. A cada hora escoam 10 litros de água. Em quanto tempo o reservatório ficará vazio? 4. Um reservatório de água contém 120 litros. A cada hora escoam 10 litros de água e entram 2 litros. Em quanto tempo o reservatório ficará vazio? 5. Um reservatório de água contém 120 litros. A cada hora escoam 10 litros de água e entram 2 litros. Em quanto tempo o reservatório terá 40 litros de água? Problemas típicos envolvendo duplo, triplo, multiplos e números consecutivos são bons para iniciar a modelagem de situações simples. 6. A soma de três números consecutivos é 63. Quais são estes números? Outra classe de problemas típicos são aqueles que envolvem compras e troco. São muito comuns nas atividades didáticas e podem ser utilizados para iniciar a modelagem de situações simples. 7. João comprou um caderno e uma caneta. O caderno custou o dobro da caneta. Elepagou comquinzereais eaindaobteve3reaisdetroco. Quanto custou cada objeto? 4. Atividades Atividade 1: A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de habitantes, quantos habitantes tem a cidade B? Solução: Identificaremos a população da cidade A com a letra a e a população da cidade B com a letra b. Assumiremos que a = 3b, pois a cidade A possui o triplo de habitantes da cidade B. Dessa forma, podere-mos escrever: a+b = b + b = b = b = b =

6 4 ATIVIDADES 6 Atividade 2: Observe o seguinte anúncio. Compre seu automóvel 0km por apenas R$ ,00, pagando a prazo e sem juros, com uma entrada de R$1.500,00 mais 12 pretações iguais. Pergunta-se o valor de cada prestação. Solução: Note que a propaganda não explicita o valor de cada prestação, mas, relacionando as informações, é possível determiná-lo. Subtraindo 1.500, 00 do valor ,00, obtemos ,00, que é a quantia, em reais, que deve ser dividida em 12 prestações iguais. Desta forma, obtemos 2.250,00, que é o valor, em reais, de cada pretação. Observe que nesse exemplo o nosso objetivo foi determinar o valor desconhecido x na seguinte equação: x = ,00. Atividade 3: Carlos, Thiago e Neide colecionavam tampinhas e após uma discussão resolveram distribuir as 900 tampinhas entre eles, de modo que Thiago receba o dobro de Neide e Carlos o triplo de Thiago. Quantas tampinhas recebeu cada um? Solução: Vamos chamar de x a quantidade de tampinhas qaue Neide receberá. Thiago receberá o dobro da quantidade que Neide receber, ou seja, receberá 2x e Carlos receberá o triplo de Thiago, ou seja, 3(2x). Desta forma, temos que: x+2x+3(2x) = 900 x+2x+6x = 900 9x = 900 9x 9 = x = 100. Concluímos que Neide irá receber 100 tampinhas, Thiago receberá 200 tampinhas e Carlos 600 tampinhas. Uma operadora de telefonia móvel oferece um plano mensal de 35 reais mais R$1,10 para cada ligação. Quanto será pago ao final de um mês se o usuário fizer 20 ligações? E se ele fizer x ligações? Agradecimentos Agradecimentos especiais à profa. Alexandra Abdala e ao prof. Doherty Andrade pelas inúmeras sugestões. Referências 1. PAIVA, Manoel. Matemática. São Paulo: Moderna, IMENES,Luiz Márcio Pereira.Matemática. São Paulo: Scipione, 1997