Palavras-chave: Pensamento algébrico. Generalização de padrões. Livro didático.

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1 Um estudo a respeito da introdução da linguagem algébrica através de atividades de generalização de padrões nos livros didáticos de Matemática do Ensino Fundamental Resumo: A linguagem algébrica é importante na educação básica, pois amplia a capacidade de nossos alunos resolverem problemas, habilidade desenvolvida na disciplina Matemática. Essa comunicação apresenta parte de uma pesquisa de mestrado que teve como objetivo analisar se e como os livros didáticos do EF aprovados no PNLD/2011 introduzem a linguagem algébrica por meio de atividades de generalização de padrões. Utilizamos como aporte teórico as ideias de Fiorentini; Miorin; Miguel (1993); Fiorentini; Fernandes; Cristovão (2005); Sessa (2005) e Ursini et al. (2005) que mostram que as atividades de generalização de padrões podem ser uma opção interessante para introduzir a linguagem algébrica no EF. A metodologia utilizada foi a Análise de Conteúdo desenvolvida por Bardin (2011). Neste artigo apresentamos a análise de um livro didático, utilizamos seu sumário para selecionarmos atividades de generalização de padrões, dessas escolhemos uma para analisarmos, a partir de nossa resolução, utilizando os treze indicadores do pensamento algébrico adaptado por Hamazaki (2010). Na atividade analisada identificamos 8 indicadores do pensamento algébrico e podemos afirmar que esta atividade pode desenvolver o pensamento algébrico e consequentemente a linguagem algébrica. Palavras-chave: Pensamento algébrico. Generalização de padrões. Livro didático. Paulo Ferreira do Carmo PUC/SP 1 Barbara Lutaif Bianchini PUC/SP 2 Categoria: Comunicação Eixo temático: Pesquisa e Práticas Educacionais 1 Mestre em Educação Matemática pelo Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática - PUC/SP, bolsista do programa Bolsa Mestrado da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo. 2 Doutora em Psicologia da Educação pela PUC/SP e orientadora do Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica (GPEA).

2 Introdução Pela nossa prática docente sempre que iniciávamos o estudo da álgebra com nossos alunos do 7 ano do Ensino Fundamental (EF), percebíamos que eles apresentavam uma enorme dificuldade de aprendizagem, sobretudo, quando era necessário o emprego da linguagem algébrica para expressar ideias ou resultados. Por mais que tentássemos desenvolver atividades que favorecessem a aprendizagem, como por exemplo, o uso da balança de dois pratos para ensinar a resolução de equações de 1 grau ou operações inversas, muitos alunos não conseguia compreender. Quando no 8 ano do EF eram propostas as manipulações algébricas, as dificuldades de aprendizagem que os alunos já apresentavam no estudo da equação do 1 grau agravavam-se ainda mais. Monômios, polinômios, produtos notáveis, fatoração e equações algébricas são conteúdos trabalhados no 8 ano do EF, e o estudo com manipulações algébricas sem o significado do símbolo aumentava ainda mais os problemas de aprendizagem. Acreditamos que a utilização de atividades, que envolvam o estudo de padrões e regularidades, seja um dos caminhos privilegiados para desenvolver o pensamento algébrico. Os padrões ajudam os alunos, a perceber a verdadeira noção de variável que, para a maioria é apenas vista como um número desconhecido (BORRALHO; BARBOSA, 2009, p. 3). Para contribuir com nossas análises, empregamos as ideias de: Fiorentini; Miorin; Miguel (1993) que apresentam alguns elementos para um repensar a educação algébrica elementar por meio de uma análise comparativa entre as concepções da educação algébrica que se manifestaram ao longo da história do ensino de Matemática e as concepções subjacentes às leituras mais frequentes do desenvolvimento histórico da álgebra. Sessa (2005) que acredita que as atividades de generalização de padrões, para a introdução da linguagem algébrica seja um caminho para o aluno desenvolver a linguagem algébrica com significado. Fiorentini; Fernandes; Cristóvão (2005) que categorizam algumas ações que podem desenvolver o pensamento algébrico e propõem atividades investigativas, como as atividades de generalização de padrões, para os alunos desenvolverem o pensamento algébrico; e também Ursini et al. (2005) que acreditam que os alunos devem compreender os três usos da variável (Modelo 3UV) na educação básica, além de proporem atividades distintas para desenvolver o sentido da variável, como incógnita, como número genérico, como relação funcional e atividades integradoras que contemplem os três usos propostos por elas.

3 O objetivo deste artigo é o de analisar se e como o livro didático Vontade de saber Matemática utiliza atividades de generalização de padrões para introduzir a linguagem algébrica. Para nossa análise verificamos, de acordo com o PNLD/2011, capítulos relacionados com tópicos de álgebra e selecionamos atividades que utilizam a generalização de padrões, dessas escolhemos uma para analisar a partir do nosso modo de resolução, em nossa análise utilizamos os treze indicadores do pensamento algébrico adaptados por Hamazaki (2010) que será exposto logo a seguir. Em nossa pesquisa, a metodologia utilizada é a Análise de Conteúdo desenvolvida por Bardin (2011). Caracteriza-se por um conjunto de técnicas de análise das comunicações que utiliza procedimentos sistemáticos e objetivos de descrição de conteúdos das mensagens (p. 45). A intenção dessa metodologia é a inferência de conhecimentos referentes às condições de produção. Na Análise de Conteúdo o método de análise é aplicado em três polos cronológicos: pré-análise; exploração do material e tratamento dos resultados. Escolhemos os livros didáticos, pois de certa forma este baliza o trabalho do professor em sala de aula direcionando a ordem dos conteúdos e até a metodologia de ensino dos conteúdos nas aulas. Temos como hipótese que as atividades de generalização de padrões estão sendo pouco utilizadas nos livros didáticos para a introdução da linguagem algébrica que ocorre por volta do 6 e do 7 anos do Ensino Fundamental. Em nossa pré-análise analisamos o sumário da coleção selecionada, verificando os capítulos relacionados com tópicos de álgebra de acordo com o PNLD/2011. Na exploração do material identificamos e categorizamos as atividades relacionadas com generalização de padrões, selecionamos uma atividade para nossa análise, de acordo com nossa resolução e utilizando os treze indicadores do pensamento algébrico adaptados por Hamazaki (2010). Quadro 1 - Indicadores do pensamento algébrico. O pensamento algébrico favorece que o aluno: 1- Perceba e tente expressar relações entre representações numéricas pertinentes a uma situação-problema em um modelo aritmético/algébrico ou geométrico; 2- Estabeleça relações/comparações entre expressões numéricas ou entre medidas; 3- Produza mais de um modelo aritmético/algébrico ou geométrico para uma situaçãoproblema; 4- Produza vários significados para uma mesma expressão; 5- Interprete uma igualdade, como equivalência numérica entre duas medidas ou entre duas expressões;

4 6- Transforme uma expressão ou representação numérica em outra; 7- Desenvolva algum tipo de processo de generalização; 8- Perceba e tente expressar regularidades ou invariâncias; 9- Perceba a relação de dependência das variáveis; 10- Perceba o uso da variável como incógnita; 11- Perceba o uso da variável como número geral; 12- Perceba o uso da variável como relação funcional; 13- Desenvolva ou crie uma linguagem mais concisa ao expressar uma sentença ou expressão matemática. Fonte: Hamazaki (2010, p. 37) Neste artigo apresentamos a análise da coleção Vontade de saber Matemática dos autores Souza e Pataro que de acordo com o PNLD/2011, iniciam o estudo da álgebra a partir do 7 ano do EF com a introdução da linguagem algébrica. Todos os conteúdos relevantes ao estudo da álgebra estão presentes nesta coleção, embora explorados efetivamente nos 8 e 9 anos do EF. O conceito de função é proposto por meio de exemplos que relacionam quantidades. Figura 1 Percentual do livro didático Vontade de saber Matemática Fonte: BRASIL (2010, p.93) A introdução da linguagem algébrica é proposta a partir do 7 ano do EF com atividades de diversas formas: uso de fórmulas, padrões figurais, equação do 1 grau e resolução de problemas do 1 grau. A seguir, apresentaremos seu sumário: Capítulo 1. Frações Capítulo 2. Números decimais Capítulo 3. Formas geométricas espaciais Capítulo 4. Números positivos e números negativos Capítulo 5. Tratamento da informação Capítulo 6. Expressões algébricas, fórmulas e equações Capítulo 7. Grandeza e unidades de medida Capítulo 8. Ângulos

5 Capítulo 9. Polígonos Capítulo 10. Proporcionalidade Capítulo 11. Transformações de figuras Capítulo 12. Medidas de volume Capítulo 13. Simetria Fonte: Souza e Pataro (2009, p. 4-6) O Capítulo 6 está relacionado com o estudo da álgebra. São propostas atividades envolvendo expressões algébricas: padrões, funções em problemas e algumas operações algébricas entre polinômios; fórmulas prontas em problemas; equações com atividades de nomenclatura (membros e incógnita) e resolução por meio de operações inversas e balança de dois pratos. Foram encontradas 11 atividades de generalização de padrões nesta coleção e o critério desenvolvido por nós e utilizado para classificação foi: Critério 1 (C.1): atividades que recorram às figuras em seus enunciados, classificamos como padrões figurais; Critério 2 (C.2): atividades que recorram às sequências numéricas, classificamos como padrões numéricos; Critério 3 (C.3): atividades que recorram a padrões em operações numéricas, classificamos como padrões em operações; e Critério 4 (C.4): atividades que recorram à ideia de relação entre duas grandezas, classificamos como função. Apresentaremos a tabela a seguir mostrando a distribuição das atividades selecionadas no livro didático Vontade de saber Matemática. Tabela 1 Quantidade de atividades de generalização de padrões C.1 C.2 C.3 C.4 Total Fonte: Dados da pesquisa de Carmo (2014) Com base nos dados da Tabela 1, notamos que as atividades que utilizam a ideia de função (C.4) aparecem em maior quantidade, seguida das atividades de padrões figurais (C.1). Nota-se que nesta coleção não foram encontradas atividades relacionadas com padrões em operações (C.3). Escolhemos esta atividade que nos remete à ideia de função (C.4), porque nela é utilizada a ideia de relação entre duas grandezas (C.4) para que o aluno observe e tente perceber a regularidade.

6 Figura 2 Atividade (7º ano EF) Fonte: Souza e Pataro (2009, p. 162) A resolução desenvolvida por nós para posterior análise é a seguinte: a) Como o jardineiro cobra fixo 15 reais e mais 3 reais por hora de trabalho, a expressão algébrica que representa o valor cobrado é: V = x, em que V representa o valor cobrado, e x o número de horas de trabalho. b) Para um trabalho de 8 horas, x = 8 V = V = V = 39 Resposta: 39 reais. De acordo com nossas análises, a resolução favorece o desenvolvimento do pensamento algébrico, de acordo com os indicadores: 1. Perceba e tente expressar relações entre representações numéricas pertinentes a uma situação-problema em um modelo aritmético/algébrico ou geométrico. O aluno poderá perceber a relação entre a hora trabalhada e o valor a receber e tentar expressar a situação-problema em um modelo algébrico; 7. Desenvolva algum tipo de processo de generalização. O aluno poderá desenvolver um processo de generalização que represente a situação-problema; 8. Perceba e tente expressar regularidades ou invariâncias. O aluno poderá perceber e tentar representar suas ideias em língua materna ou algébrica;

7 9. Perceba a relação de dependência das variáveis. O aluno poderá perceber a relação entre a hora trabalhada e o valor a receber; 10. Perceba o uso da variável como incógnita. O aluno poderá calcular o valor a receber na expressão algébrica, de acordo com o tempo trabalhado ou vice-versa (que, nesta atividade, não foi solicitada); 11. Perceba o número da variável como número geral. O aluno poderá perceber que o valor cobrado poderá ser representado pela expressão algébrica x, que representa um número geral que depende de x (quantidade de horas trabalhada); 12. Perceba o uso da variável como relação funcional. O aluno poderá perceber que existe uma relação entre o valor a receber e a quantidade de horas trabalhada; e 13. Desenvolva ou crie uma linguagem mais concisa ao expressar uma sentença ou expressão matemática. O aluno poderá desenvolver uma linguagem simbólica mais concisa para expressar suas ideias. De acordo com nossa análise, baseada no modo de resolução, esta atividade contempla oito indicadores do pensamento algébrico: 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12 e 13. E podemos afirmar que esta atividade favorece o desenvolvimento do pensamento algébrico. Para Ursini et al. (2005), este tipo de atividade tem como propósito levar os alunos a ver variável como um só conceito que tem diferentes facetas 3 e é, por eles denominada atividade integradora, pois utiliza os três usos das variáveis indicadores: 10, 11 e 12. O livro Vontade de saber Matemática utiliza atividades de generalização de padrões para a introdução da linguagem algébrica de modo sucinto, não usando esse tipo de atividade, de acordo com diversas pesquisas. Em nossa opinião, poderiam atenuar os problemas de aprendizagem de nossos alunos ao iniciar o estudo da álgebra. Atividades de generalização de padrões podem melhorar a aprendizagem da álgebra favorecendo que os alunos entendam o conceito de variável, não limitando o conceito de variável em manipulações sem significados e cálculo de incógnitas. Neste livro didático essas atividades são exploradas de forma estanques, não dando continuidade ao desenvolvimento da linguagem algébrica através deste tipo de atividade. O livro didático Vontade de saber Matemática poderia explorar mais atividades de generalização de padrões para a introdução da linguagem algébrica, pois este tipo de 3 Las actividades integradoras tenían el propósito de llevar a los estudiantes a ver a la variable como un solo concepto que tiene diferentes facetas (URSINI et al., 2005, p. 59).

8 atividade ajuda os alunos a desenvolverem uma aprendizagem significativa, envolvendo-os e associando com suas experiências e sua realidade. Referências BARDIN, L. Análise de conteúdo. Almedina: Edições 70, BORRALHO, A.; BARBOSA, E. Exploração de padrões e pensamento algébrico. In: I. Vale & A. Barbosa (Org.) Patterns-Multiple Perspectives and Contexts in Mathematics Education (pp ). Viana do Castelo: Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Viana do Castelo Projeto Padrões, BRASIL. Ministério da Educação. Guia dos Livros Didáticos PNLD Anos finais do Ensino Fundamental: Matemática. Brasilia: MEC, CARMO, P. F. Um estudo a respeito da generalização de padrões nos livros didáticos de Matemática do Ensino Fundamental. 107 f, Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, PUC- SP, FIORENTINI, D.; MIORIN, M. A.; MIGUEL, A. Contribuição para um repensar... a Educação Algébrica Elementar. Proposições Vol. 4 nº 1[10], março de FIORENTINI, D.; FERNANDES, F. L. P.; CRISTÓVÃO, E. M. Um estudo das potencialidades pedagógicas das investigações matemáticas no desenvolvimento do pensamento algébrico. In: Seminário Luso-Brasileiro de investigações matemáticas no currículo e na formação de professores (2005). Disponível em: Acesso em 25/03/2013. HAMAZAKI, A. C. Análise da situação de aprendizagem sobre equações e inequações logarítmicas apresentada no Caderno do Professor de 2009 do Estado de São Paulo. 132 f. Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, PUC-SP, SESSA, C. Iniciación al estúdio didáctico del Álgebra, Orígenes y perspectivas. Formación docente Matemática. 1ª edição Libros del Zorzal. SOUZA, J.; PATARO, P. M. Vontade de saber Matemática. Livro didático, 7º ano do Ensino Fundamental, 1 ed. São Paulo: FTD, URSINI, S.; ESCAREÑO, F.; MONTES, D.; TRIGUEIROS, M. Enseñanza del álgebra elemental: una propuesta alternativa.méxico: Trilhas, 2005.