PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC-SP PAULO FERREIRA DO CARMO

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1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC-SP PAULO FERREIRA DO CARMO Um estudo a respeito da generalização de padrões nos livros didáticos de Matemática do Ensino Fundamental MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA SÃO PAULO 2014

2 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC-SP PAULO FERREIRA DO CARMO Um estudo a respeito da generalização de padrões nos livros didáticos de Matemática do Ensino Fundamental Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE em EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob orientação da Profa. Dra. Barbara Lutaif Bianchini. SÃO PAULO 2014

3 Banca Examinadora

4 Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos. Assinatura: São Paulo / /

5 Dedico este trabalho a minha mãe Ilda Ferreira do Carmo, pelo exemplo de vida e por me mostrar o caminho do conhecimento. Às minhas filhas Luiza e Helena, por me fazerem enxergar a vida de um modo diferente, com muito mais amor e carinho...

6 AGRADECIMENTOS Inicialmente, a Deus que meu deu vida e saúde, para que realizasse mais este objetivo. À minha orientadora Profa. Dra. Barbara Lutaif Bianchini, pela paciência, competência e dedicação na realização deste estudo. À Profa. Dra. Maria Cecilia Costa e Silva Carvalho e ao Prof. Dr. Gabriel Loureiro de Lima pelas valiosas contribuições para enriquecer esta pesquisa. A todos os professores do Programa de Estudos Pós- Graduados em Educação Matemática da PUC-SP. A todos os colegas do mestrado e do grupo de pesquisa GPEA, pelo companheirismo e sugestões durante todo o curso e por compartilharmos momentos felizes e difíceis. A SEE/SP, pelo auxílio financeiro por meio da bolsa mestrado.

7 RESUMO CARMO, Paulo Ferreira do. Um estudo a respeito da generalização de padrões nos livros didáticos de Matemática do Ensino Fundamental f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo. O estudo da álgebra é de extrema importância na educação básica, pois amplia a capacidade de nossos alunos na resolução de problemas matemáticos ou de outras áreas do conhecimento. Diversas pesquisas (PONTE 2005; SESSA, 2005; BRANCO, 2008; VALE et al., 2008) vêm mostrando que alunos da educação básica apresentam inúmeras dificuldades ao utilizarem a linguagem algébrica para expressar suas ideias e resolver problemas. O objetivo desta pesquisa foi analisar se os livros didáticos de Matemática do Ensino Fundamental II escolhidos no PNLD/2011, introduzem a linguagem algébrica por meio de atividades de generalização de padrões e como isso ocorre. Como referencial teórico, foram usadas as ideias de Fiorentini; Miorin; Miguel (1993); Fiorentini; Fernandes; Cristóvão (2005); Sessa (2005) e Ursini et al. (2005). A metodologia de pesquisa utilizada foi a Análise de Conteúdo desenvolvida por Bardin (2011); para a análise das atividades de generalização de padrões selecionadas nos livros didáticos, foram utilizadas as categorias para o desenvolvimento do pensamento algébrico adaptadas por Hamazaki (2010). Como resultado de pesquisa, verificou-se que, das quatro coleções de livros didáticos analisadas, três utilizam atividades de generalização de padrões para introduzir a linguagem algébrica e, destas três, só uma emprega os quatro tipos de atividades de generalização de padrões que categorizamos. Destas atividades predominaram as de padrões figurais em uma única coleção, mostrando que este tipo de atividade está sendo pouco utilizada para introdução da linguagem algébrica, embora várias pesquisas e documentos oficiais mostrem o potencial desse tipo de atividade para a iniciação do estudo da álgebra. Palavras-chave: Ensino de álgebra. Pensamento algébrico. Generalização de padrões. Livro didático.

8 ABSTRACT CARMO, Paulo Ferreira do. A study on the generalization of patterns in textbooks of secondary school Mathematics f. Dissertation (Masters in Mathematics Education) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo. The study of algebra is extremely important in basic education, because it enlarges the ability of our students in solving mathematical problems or other areas of knowledge. Several studies (PONTE 2005; SESSA, 2005; BRANCO, 2008; VALE et al., 2008) have shown that basic education students have many difficulties when using the algebraic language to express ideas and solve problems. The objective of this research was to examine whether the textbooks of Mathematics in Secondary School chosen PNLD/2011 introduce algebraic language through generalization activities and standards as it occurs. As a theoretical framework, we use Fiorentini s; Miorin s; Miguel s (1993); Fiorentini s; Fernandes s; Cristóvão s (2005), Sessa s (2005) and Ursini et al. s (2005) ideas. The research methodology used was content analysis developed by Bardin (2011), to analyze the generalization of the textbooks selected standards activities, the categories were used for the development of algebraic thinking adapted by Hamazaki (2010). As a result of research, it was found that, of the four collections of textbooks analyzed, three use patterns of generalization activities to introduce the algebraic language and, of these three, only one employs four types of generalization of patterns that categorize activities. These activities predominated of figural patterns in a single collection, showing that this type of activity is being underutilized for introducing algebraic language, although several surveys and official documents show the potential of this type of activity for the initiation of the study of algebra. Keywords: Teaching algebra. Algebraic thought. Generalization of patterns. Textbook.

9 LISTA DE FIGURAS Figura 1 Exemplos pautados nas definições do termo padrão Figura 2 Percentual do livro didático MATEMÁTICA Imenes &Lellis Figura 3 Percentual do livro didático tudo é Matemática Figura 4 Percentual do livro didático Vontade de saber MATEMÁTICA Figura 5 Percentual do livro didático Matemática e realidade Figura 6 Atividade 1 (6º ano EF) Figura 7 Atividade 2 (7º ano EF) Figura 8 Transcrição da atividade 3 (6º ano EF)...79 Figura 9 Atividade 4 (6º ano EF) Figura 10 Atividade 5 (7º ano EF) Figura 11 Transcrição da atividade 6 (7º ano EF) Figura 12 Atividade 7 (7º ano EF) Figura 13 Transcrição da atividade 8 (7º ano EF) Figura 14 Atividade 9 (6º ano EF) Figura 15 Atividade 10 (7º ano EF)... 97

10 LISTA DE QUADROS Quadro 1 Atividades de generalização de padrões nos PCN (1998) Quadro 2 Definição de termos associados ao conceito de padrão Quadro 3 Fichamento de pesquisas do projeto Sobre observação e generalização de padrões Quadro 4 Livro didático no Brasil: histórico Quadro 5 Programa Nacional do Livro Didático: histórico Quadro 6 Indicadores do pensamento algébrico Quadro 7 Livros de Matemática aprovados no PNLD/2011 anos finais do Ensino Fundamental Quadro 8 Capítulos dos livros didáticos relacionados com o estudo da Álgebra Quadro 9 Indicadores do desenvolvimento do pensamento algébrico nas atividades analisadas

11 LISTA DE TABELAS Tabela 1 Quantidade de atividades selecionadas... 70

12 SUMÁRIO INTRODUÇÃO CAPÍTULO I PROBLEMÁTICA CAPÍTULO II REVISÃO BIBLIOGRÁFICA CAPÍTULO III O LIVRO DIDÁTICO E O PNLD CAPÍTULO IV REFERENCIAL TEÓRICO E METODOLÓGICO Referencial teórico Referencial metodológico CAPÍTULO V ANÁLISE DO CORPUS DA PESQUISA MATEMÁTICA Imenes & Lellis 6º e 7º ano tudo é Matemática 6º e 7º ano Vontade de saber MATEMÁTICA 7º ano Matemática e realidade 7º ano Análise das atividades selecionadas Atividades relacionadas com padrões figurais Atividades relacionadas com padrões numéricos Atividades relacionadas com padrões em operações Atividades relacionadas com a ideia de função Atividades diferenciadas CONSIDERAÇÕES FINAIS... 99

13 REFERÊNCIAS

14 14 INTRODUÇÃO Pelo fato de lecionar as disciplinas Matemática e Física na escola pública de Educação Básica desde 1996, quando ainda era estudante; percebia que, sempre que iniciava o estudo da álgebra com meus alunos do 7º ano do Ensino Fundamental, percebia que apresentavam uma enorme dificuldade de aprendizagem nesse conteúdo, sobretudo, quando era necessário o emprego da linguagem algébrica para expressar ideias ou resultados. Percebia que por mais que tentasse desenvolver atividades que favorecessem a aprendizagem, como por exemplo, o uso da balança de dois pratos para ensinar a resolução de equações de 1º grau ou operações inversas, muitos alunos não conseguiam compreender. Quando no 8º ano do Ensino Fundamental (EF) eram propostas as manipulações algébricas, as dificuldades de aprendizagem que os alunos já apresentavam no estudo da equação do 1º grau agravavam-se ainda mais. Monômios, polinômios, produtos notáveis, fatoração e equações algébricas são conteúdos trabalhados no 8º ano, e o estudo com manipulações algébricas sem o significado do símbolo aumentava ainda mais os problemas de aprendizagem. Se professor e alunos defrontam-se com sentenças, regras e símbolos matemáticos sem que nenhum deles consiga dar sentido e significado a tal simbologia, então a escola continua a negar ao aluno especialmente àquele que frequenta a escola pública uma das formas essenciais de ler, interpretar e explicar o mundo. O importante é que o aluno, ao chegar a utilizar tais notações simbólicas, compreenda sua razão de ser (MOYSÉS, 2012, p. 67). Uma das situações que percebi ao longo do magistério é que os alunos são ensinados a manipular e operar números (pensamento aritmético) e quando se introduz a álgebra, não conseguem compreender o porquê das manipulações, algoritmos e regras e isso se torna um empecilho para o desenvolvimento da aprendizagem. O início da aprendizagem da álgebra exige algum grau de abstração, e também alguma capacidade de reformular o significado e a manipulação dos símbolos usados na aritmética. Nem sempre estas condições se verificam, e para os alunos a aprendizagem da álgebra é, muitas vezes, mecânica e desprovida de significados (BRANCO, 2008, p. 28).

15 15 Em 2001, obtive o diploma do curso de Licenciatura em Matemática e comecei a lecionar também em escolas particulares. E, em 2004, tornei-me por concurso público professor efetivo da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, e continuei sempre ministrando aulas de Matemática para Ensino Médio e Fundamental, particularmente, aos 7º e 8º anos do EF. Sempre que iniciava o estudo da álgebra, sentia-me incomodado com os problemas de aprendizagem apresentados pelos alunos. Por exemplo, eles não conseguiam resolver a equação do 1º grau 2x 1 = 2 ; e comecei a perceber que, para eles, essa expressão algébrica não tinha significado. Fiz alguns cursos de aperfeiçoamento e percebi a importância do ensino da álgebra para a aprendizagem da Matemática. Alguns autores afirmam que a álgebra é muito poderosa, porque amplia o poder de resolução de problemas em relação à aritmética, visto que o aluno precisará resolver diversos tipos de problemas na vida adulta. A competência em álgebra é bastante útil para o estudante na sua vida de todos os dias e para prosseguimento de estudos. Quem não tiver uma capacidade razoável de trabalhar com números e suas operações e de entender e usar a linguagem abstrata da álgebra ficará seriamente limitado nas suas opções escolares profissionais e no seu exercício de cidadania democrática. (PONTE, 2006 apud BORRALHO; BARBOSA, 2009, p. 3) Para muitos pesquisadores, a Matemática é a ciência dos padrões (DEVLIN, 2002; VALE et al., 2008) e que, partir daí, para ensinar os alunos que se iniciam no estudo da álgebra é uma excelente proposta. [...] uma definição atual para Matemática, a ideia mais consensual é que a Matemática é a ciência dos padrões. Nesta perspectiva, essa atividade caracteriza-se pela análise de padrões diversos que irão dar origem aos diferentes temas matemáticos (VALE et al., 2008, p. 1). Acreditamos, após a revisão bibliográfica do assunto, que a utilização de atividades, que envolvam o estudo de padrões e regularidades, seja um dos caminhos privilegiados para desenvolver o pensamento algébrico. Os padrões ajudam os alunos, a perceber a verdadeira noção de variável que, para a maioria é apenas vista como um número desconhecido (BORRALHO; BARBOSA, 2009, p. 3). No início de 2012, ingressei no Mestrado Acadêmico em Educação Matemática do Programa de Estudos Pós-Graduados da PUC-SP. Fui acolhido pelo Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica (GPEA), no qual relatei meu interesse

16 16 em ensino de álgebra, particularmente na introdução da linguagem algébrica por meio de manipulações algébricas sem sentido para o aluno, pois minha experiência profissional mostrava que havia algo de errado nessa proposta. A Profa. Dra. Barbara Lutaif Bianchini indicou-me diversas leituras e, nestas, deparei-me com os padrões e sua importância para o ensino da álgebra. Assim, ao ler o artigo de Ponte (2005), que relatava os problemas de aprendizagem dos alunos portugueses em álgebra na avaliação do PISA 1 e uma possível proposta de utilizar generalizações de padrões, para desenvolver a linguagem algébrica com significados, comecei a pesquisar o tema generalização de padrões e pensamento algébrico. Descobri diversos artigos e pesquisas como as de: Fiorentini; Miorin; Miguel (1993); Fiorentini; Fernandes; Cristóvão (2005); Sessa (2005); Ursini et al. (2005); Vale et al. (2008) que apontaram para as atividades de generalização de padrões como um tema transversal para o ensino de Matemática, o seu rico poder de atrair a atenção dos alunos e desenvolver o significado dos símbolos de forma útil nos conteúdos a serem aprendidos em séries futuras, como o estudo das funções a partir do 8º ano EF e das sequências numéricas na 1ª série Ensino Médio (EM), por exemplo. Alguns documentos oficiais nacionais já apontam a importância do estudo da generalização de padrões no ensino da álgebra: [...] o estudo da álgebra constitui uma oportunidade bastante significativa para que o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e de generalização, além de lhe possibilitar a aquisição de uma poderosa ferramenta para resolver problemas (BRASIL, 1998, p.115). No decorrer do trabalho com os números, é fundamental estudar algumas relações funcionais pela exploração de padrões em sequências numéricas que levem os alunos a construir algumas generalizações e compreender, por um processo de aproximações sucessivas, a natureza das representações algébricas. Isso permite a exploração das primeiras noções de álgebra (BRASIL, 1998, p. 68). O Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) de 2011 cita a generalização como uma das competências associadas à álgebra: 1 Programa Internacional de Avaliação de Estudantes (Programme for International Student Assessment) é um projeto comparativo de avaliação, desenvolvido pela OCDE (Organização para Cooperação e Desenvolvimento Econômico), destinado à avaliação de estudantes de 15 anos de idade. As avaliações do PISA abrangem os domínios de Leitura, Matemática e Ciências, numa apreciação ampla dos conhecimentos, habilidades e competências inseridos em diversos contextos sociais, sendo aplicada a cada três anos. Disponível em: gestao2010.mec.gov.br/o_que_foi_feito/program_79.php. Acesso em: 17 dez. 2013

17 17 A percepção de regularidades, que pode levar a criação de modelos simbólicos para diversas situações, e a capacidade de traduzir simbolicamente problemas encontrados no dia a dia, ou provenientes de outras áreas do conhecimento, devem ser gradativamente desenvolvidas para se chegar ao uso pleno da linguagem e das técnicas da álgebra. O domínio da linguagem algébrica, para expressar generalizações que se constituam em propriedades de outros campos da Matemática, é outra função da álgebra que se deve ser, pouco a pouco, introduzida (BRASIL, 2010, p. 16). Em virtude da importância do assunto, verificada pelas inúmeras pesquisas desenvolvidas nos últimos anos, fui me interessando pelo tema, fazendo minhas leituras e cursando as disciplinas do mestrado. Em reuniões de orientação, minha orientadora sugeriu que analisasse livros didáticos, pois nas minhas leituras não havia encontrado pesquisas sobre a introdução da linguagem algébrica por meio de atividades de generalizações de padrões em livros didáticos. Desse modo, minha questão de pesquisa ficou assim definida: Os livros didáticos de Matemática dos 6º e 7º anos do Ensino Fundamental escolhidos no PNLD/2011 introduzem a linguagem algébrica por meio de atividades de generalizações de padrões? E como isso ocorre? Acreditamos que atividades desse tipo possam desenvolver o pensamento algébrico em nossos alunos, pois fazem com que percebam o invariante, o que muda, tentem prever o próximo número/figura, façam conjecturas e tentem resolvêlas. Tais atividades fazem com que os alunos pensem e desenvolvam sua capacidade criativa de resolver problemas. Dessa forma, para apresentar os frutos desta pesquisa, mostrarei no capítulo I a problemática do assunto Ensino de álgebra, pensamento algébrico e a generalização de padrões ; No capítulo II, a revisão bibliográfica das pesquisas e artigos relacionados com o tema da pesquisa; No capítulo III, um pequeno estudo sobre o livro didático, sua importância e o Programa Nacional do Livro Didático; No capítulo IV fundamento minha pesquisa com base nas ideias teóricas de Fiorentini; Miorin; Miguel (1993); Fiorentini; Fernandes; Cristóvão (2005); Sessa

18 18 (2005) e Ursini et al. (2005) e a metodologia a partir dos pólos cronológicos da Análise de Conteúdo conforme Bardin (2011); No capítulo V, farei as análises de algumas atividades de generalizações de padrões presentes nos livros didáticos selecionados, utilizando para tal as categorias para o desenvolvimento do pensamento algébrico adaptadas por Hamazaki (2010). E por último, tecerei as considerações finais desta pesquisa.

19 19 CAPÍTULO I PROBLEMÁTICA Neste capítulo apresentaremos nossa problemática de pesquisa referente à introdução da linguagem algébrica no Ensino Fundamental e algumas indicações nos documentos oficiais, mostrando a importância do assunto na escola básica. Faço parte do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC-SP no grupo de Pesquisa em Educação Algébrica (GPEA), sob orientação da Profa. Dra. Barbara Lutaif Bianchini, e minha pesquisa está inserida no projeto Funções do ponto de vista cognitivo e didático. Acreditamos que os problemas de aprendizagem na linguagem algébrica no 7º ano do Ensino Fundamental (EF) podem prejudicar o aprendizado dos conceitos relacionados ao tema função nos 8º e 9º anos do EF. Com o objetivo de contribuir para melhoraria da aprendizagem da álgebra no Ensino Fundamental, nossa pesquisa tem como objetivo analisar se os livros didáticos de Matemática dos 6º e 7º anos do EF escolhidos no PNLD/2011 introduzem a linguagem algébrica por meio de atividades de generalizações de padrões e como isso ocorre. Vários pesquisadores como: Fiorentini; Miorin; Miguel (1993); Ponte (2005); Sessa (2005); Ursini et al. (2005); Fiorentini; Fernandes; Cristóvão (2005); Branco (2008); Vale et al. (2008) publicaram suas investigações nos últimos anos que mostram a utilização desse tipo de atividade pode atenuar os problemas de aprendizagem que ocorrem nessa transição do pensamento aritmético para o algébrico. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998, p. 116) informam que os alunos têm um péssimo desempenho em avaliações externas de Matemática em questões relacionadas com álgebra (ficam abaixo de 40% de acertos). Fiorentini; Fernandes; Cristóvão (2005) afirmam que o ensino da álgebra para muitos professores desenvolve-se com base nos cálculos literais ou pela manipulação da linguagem simbólica, agravando os problemas dessa aprendizagem. Em contraposição a isso, os autores propõem atividades exploratório-investigativas,

20 20 como as atividades de generalização de padrões para o desenvolvimento do pensamento e da linguagem algébrica nos alunos. Ponte (2005) publicou um artigo sobre o rendimento dos alunos portugueses no exame PISA, em 2003, referente às questões de álgebra. Verificou o baixo rendimento desses alunos e como sugestão indicou atividades investigativas, como as de generalização de padrões, por exemplo, para desenvolver o pensamento algébrico desses alunos. Para ele, o pensamento algébrico deve ser desenvolvido na escola básica com atividades que façam o aluno desenvolver a capacidade de compreender e manipular símbolos, e as atividades de generalização de padrões que vêm mostrando um caminho interessante. No pensamento algébrico, dá-se atenção não só aos objetos, mas também às relações existentes entre eles, representando e raciocinando sobre essas relações, de modo geral, e abstrato tanto quanto possível. Por isso, uma das vias privilegiadas para promover este pensamento algébrico é o estudo de padrões e regularidades (PONTE, 2005, p.4). O pensamento algébrico diz respeito ao aluno: - Compreender padrões, relações e funções (Estudo das estruturas); - Representar e analisar situações matemáticas e estruturas, usando símbolos algébricos (Simbolização); - Usar modelos matemáticos para representar e compreender as relações quantitativas (Modelação); - Analisar mudança em diversas situações (Estudo da Variação) (NCTM, 2000 apud PONTE, 2005, p. 4). Para Becker e Groenwald (2009), o pensamento algébrico deve ser desenvolvido no ambiente escolar. O professor tem a responsabilidade de planejar, aplicar e avaliar estudos desenvolvidos para melhorar a aprendizagem de seus alunos. Os autores citados afirmam que existem dois momentos na aprendizagem da álgebra, baseados nos trabalhos de Krieger (2007). O primeiro seria um pensar algébrico, ou seja, a compreensão de conceitos e estratégias aprendidas e utilizadas na escola e fora dela, que não necessariamente possuem uma formalização algébrica. O segundo seria o aprendizado formal da linguagem simbólica utilizada na Matemática. Para esses pesquisadores: O pensamento algébrico consiste em um conjunto de habilidades cognitivas que contemplam a representação, a resolução de problemas, as operações e análises matemáticas de situações, tendo as ideias e conceitos algébricos como seu referencial (BECKER; GROENWALD, 2009, p. 3).

21 21 Para Alvarenga; Vale (2007), as atividades de generalização de padrões contribuem para o desenvolvimento de raciocínio e estabelecimento de conexões entre diversas áreas da Matemática e, portanto, desde os primeiros anos de escolaridade os alunos deveriam ser encorajados a observar e a representar padrões numéricos e geométricos, iniciando o estudo da álgebra de forma informal e intuitiva. Quando se apela aos padrões no ensino da Matemática, é normalmente porque se pretende ajudar os alunos a aprender uma Matemática significativa e/ou a envolver-se na sua aprendizagem, facultando-lhes um ambiente onde aprender tem algo a ver com sua realidade e experiências. (VALE et al., 2006 apud ALVARENGA;VALE, 2007, p. 1) Os Parâmetros Curriculares Nacionais apontam que: O papel da Matemática no Ensino Fundamental passa pela proposição de objetivos que evidenciam a importância de o aluno valorizá-la como instrumental para compreender o mundo à sua volta e de vê-la como área do conhecimento que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas (BRASIL, 1998, p. 15). de: Um dos objetivos proposto pelo PCN no EF é que os alunos sejam capazes Utilizar diferentes linguagens (verbal, musical, matemática, gráfica, plástica e corporal) como meio para produzir, expressar e comunicar ideias, interpretar e usufruir das produções culturais em contextos públicos e privados, atendendo a diferentes intenções e situações de comunicações (BRASIL, 1998, p. 7-8). O documento reforça que o estudo da álgebra é um momento importante para desenvolver nos alunos a capacidade de abstração e generalização e aumentar sua capacidade de resolver problemas com essa poderosa ferramenta chamada álgebra. Sugere que o professor desenvolva atividades com diversos tipos de representações, para que o aluno desenvolva noções algébricas. Propõe situações, para que os alunos investiguem padrões em sequências numéricas e geométricas (serão detalhadas na p. 25), identificando suas estruturas e construindo a linguagem algébrica para sua descrição. Esse tipo de atividade desenvolve a ideia de álgebra como uma linguagem para expressar regularidades, exemplificando esse tipo de atividade de padrões. Podemos citar dois exemplos:

22 22 Exemplo I: Quadro 1 Atividades de generalização de padrões nos PCN (1998)... 1º 2º 3º 4º 5º n Posição 1º 2º 3º 4º 5º nº Nº de quadradinhos 1 2+1= 3 3+2= = 7 5+4= 9 n+n-1 Exemplo II: Número de quadradinhos brancos: n² - n = n (n 1) Fonte: Adaptado de BRASIL (1998, p. 117) (Figura do Ex. I não fornecida no documento). O documento ressalta que as atividades algébricas desenvolvidas no Ensino Fundamental devem possibilitar que os alunos construam seus conhecimentos com base em situações-problema que desenvolvam o significado da linguagem algébrica, os conceitos e procedimentos no intuito de favorecer no aluno as diferentes interpretações dos símbolos. O processo de ensino e aprendizagem de Matemática vem apresentando diversos problemas no mundo e com a álgebra não é diferente. Pesquisas americanas da década de 1980 apontam que os alunos chegam ao ensino superior com defasagens referentes ao conceito de variável (por exemplo 2 : incógnita, número genérico ou relação funcional). Em Portugal, pesquisas de 2000 em diante, apontam que os alunos portugueses de educação básica têm dificuldades em interpretar o significado da letra em uma expressão algébrica. Na Argentina, de acordo com Sessa (2005), o ensino da álgebra resume-se em manipulações algébricas sem significados, levando os alunos a diversos problemas de assimilação desse conteúdo. No Brasil, não é diferente, os Parâmetros Curriculares Nacionais 2 Modelo 3UV de Ursini et al.(2005)

23 23 destacam: Nos resultados do SAEB, os itens referentes à álgebra raramente atingem o índice de 40% de acertos em muitas regiões do país (BRASIL, 1998, p. 116). Conforme os dados do Instituto Nacional de Ensino e Pesquisa (INEP), em 2003, 62,3% dos alunos do 3º ano do Ensino Médio da região Sudeste possuíam proficiência crítica em Matemática. O INEP classifica como proficiência no nível crítico os alunos que: Desenvolveram algumas habilidades elementares de interpretação de problemas, mas não conseguem transpor o que está sendo pedido no enunciado para uma linguagem matemática específica, estando, portanto, muito aquém do exigido para 8ª série. (Resolvem expressões com uma incógnita, mas não interpretam os dados de um problema fazendo o uso de símbolos matemáticos específicos. Desconhecem as funções trigonométricas para resolução de problemas) (INEP, 2003 apud SANTOS, 2007, p. 24). Os problemas de aprendizagem são agravados pelo fato de que o ensino da álgebra não possui significado para os alunos, fazendo com que a vejam como conteúdo matemático de manipulações de letras sem sentido. Em nossa pesquisa, acreditamos que a introdução da linguagem algébrica com atividades de generalização de padrões poderá atenuar tais problemas de aprendizagem, pois assim, o aluno talvez possa desenvolver o significado dos símbolos. Tradicionalmente, o estudo sistemático da álgebra elementar no currículo escolar brasileiro é feito no 7º ano do EF (FIORENTINI; FERNANDES; CRISTÓVÃO, 2005, p. 1), com o desenvolvimento da linguagem e do pensamento algébrico pelo estudo das equações polinomiais de 1º grau com ênfase nas regras de manipulação para o cálculo da incógnita sem nenhum significado. Com minha prática percebo que essa introdução do ensino da álgebra vem causando problemas de aprendizagem, pois, uma parte de nossos alunos não entende as regras de manipulação. Em 1985, foi criado o PNLD 3 com o objetivo de fornecer livro didático a todos os alunos matriculados em escolas públicas brasileiras. Ao longo de sua trajetória, tal programa foi se aprimorando e atualmente tem como objetivo melhorar a qualidade dos livros didáticos distribuídos e desenvolver a cidadania e a cultura dos estudantes. 3 Programa Nacional do Livro Didático

24 24 De certa forma, o livro didático baliza o trabalho do professor, desde a ordem dos conteúdos até o modo de desenvolver os conceitos (LAJOLO, 1996). Para a introdução da linguagem algébrica, utilizam-se as equações como porta de entrada para a álgebra, e nossa hipótese é que esta introdução da linguagem algébrica por meio das equações não está favorecendo o desenvolvimento do pensamento algébrico, como vêm mostrando as avaliações externas, como SAEB, ENEM e Saresp 4. E as atividades de generalização de padrões vêm sendo apontadas em diversas pesquisas, como um caminho interessante para desenvolver a linguagem algébrica com significado para os símbolos. Os padrões são considerados como um tema transversal para a Matemática (VALE, 2012), e têm potencial para desenvolver ideias matemáticas importantes, tais como: observação, generalização e desenvolvimento da linguagem simbólica para expressão de ideias matemáticas; por isso, o tema padrão chamou nossa atenção para o desenvolvimento desta pesquisa. Os padrões devem ser entendidos na Matemática escolar não apenas como um tema a explorar, mas também como um componente transversal. De acordo com Frobisher e seus colaboradores (2007), os padrões permeiam toda a Matemática e o seu estudo permite chegar a ideias matemáticas poderosas como a generalização e a álgebra (VALE, 2012, p. 187). Para a autora supracitada, o termo padrão utilizado em Matemática está relacionado à procura de ordem ou estrutura, e a ideia fundamental em um padrão envolve repetição e mudança. Para Devlin: A matemática é a ciência dos padrões. O que o matemático faz é examinar padrões abstratos (numéricos, de formas, de movimento, de comportamento, etc.). Esses padrões tanto podem ser reais como imaginários, visuais ou mentais, estáticos ou dinâmicos, qualitativos ou quantitativos, puramente utilitários ou assumindo um interesse pouco mais que recreativo. Podem surgir do mundo à nossa volta, das profundezas do espaço e do tempo, ou das atividades mais ocultas da mente humana. (DEVLIN, 2002, p.9) Para Orton e Orton, o termo padrão está associado à ideia de repetição e simetria, de modo a contemplar os diferentes contextos em que pode surgir, focando, em particular, o numérico e o geométrico (ORTON; ORTON, 1999 apud BARBOSA, 2009, p. 46). 4 SAEB: Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica, ENEM: Exame Nacional do Ensino Médio e Saresp: Sistema de Avaliação Rendimento Escolar do Estado de São Paulo.

25 25 Em sua pesquisa, Barbosa (2009) criou uma tabela com os significados de alguns termos associados ao conceito padrão, como podemos observar abaixo: Sequência Quadro 2 Definição de termos associados ao conceito de padrão Definição Referências Conjunto de elementos matemáticos ordenados, de acordo com uma regra. Frobisher et al. (1999) Padrão numérico Padrão visual Padrão de simetria Padrão de repetição Padrão de crescimento Friso Sequência na qual os elementos matemáticos são números. Sequência na qual os elementos são objetos, figuras ou símbolos. Um objeto ou configuração que possui simetria é constituído por partes equivalentes que podem ser trocadas sem alterar a aparência global. Sequência de números ou formas na qual se reconhece uma unidade (conjunto de elementos da sequência), que se repete ciclicamente. Sequência de números ou formas que se prolonga de modo regular. Padrão de repetição que envolve formas que podem ser colocadas indefinidamente ao longo de uma superfície. Frobisher et al. (1999) Frobisher et al. (1999), Vale et al.(2009) Frobisher et al. (2007) Threlfall (1999), Frosbisher et al. (1999) Moyer- Packenham (2005) Frobisher et al. (2007) Fonte: Adaptado de Barbosa (2009, p. 47) Desse modo, na figura abaixo, são apresentados exemplos pautados nas definições do quadro 2:

26 26 Figura 1 Exemplos pautados nas definições do termo padrão 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... Sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... Padrão numérico Padrão visual Padrão de simetria a, b, c, d, e, a, b, c, d, e,... Padrão de repetição 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30,... Padrão de crescimento Friso Fonte: Desenvolvido pelo pesquisador. Em nossa pesquisa, utilizaremos os padrões numéricos e os figurativos. Para os numéricos, empregaremos a definição mostrada nos dados do quadro 2 e de Frobisher et al.(1999) que define sequência, na qual os elementos matemáticos são números. Para os visuais ou figurativos, utilizaremos a definição de Riveira e Becker (2005 apud Vale, 2012, p. 187) que os define como sendo aqueles que utilizam figuras, no sentido do termo figural para se referir aos objetos (ou desenhos) que possuem atributos ou possuem relações entre eles. Nossa questão de pesquisa é a seguinte: Os livros didáticos de Matemática dos 6º e 7º anos do Ensino Fundamental escolhidos no PNLD/2011 introduzem a linguagem algébrica por meio de atividades de generalizações de padrões? E como isso ocorre? Em nossa pesquisa, a metodologia utilizada para a análise de dados será a Análise de Conteúdo desenvolvida por Bardin que assim se caracteriza: A Análise de Conteúdo é um conjunto de técnicas de análise das comunicações que utiliza procedimentos sistemáticos e objetivos de

27 27 cronológicos: teóricos: descrição de conteúdos das mensagens. A intenção da Análise de Conteúdo é a inferência de conhecimentos relativos às condições de produção (ou, eventualmente, de recepção), que recorre a indicadores (quantitativos ou não) (BARDIN, 2011, p. 45). Na Análise de Conteúdo, o método de análise é aplicado em três polos I. a pré-análise; II. a exploração do material; III. o tratamento do resultado. Em nossas análises, utilizaremos as ideias destes autores como referenciais a) Fiorentini; Miorin; Miguel (1993) apresentam alguns elementos para um repensar a educação algébrica elementar por meio de uma análise comparativa entre as concepções da educação algébrica que se manifestaram ao longo da história do ensino de Matemática e as concepções subjacentes às leituras mais frequentes do desenvolvimento histórico da álgebra; b) Sessa (2005) acredita que as atividades de generalização de padrões, para a introdução da linguagem algébrica seja um caminho para o aluno desenvolver a linguagem algébrica com significado; c) Fiorentini; Fernandes; Cristóvão (2005) propõem atividades investigativas para os alunos desenvolverem o pensamento algébrico; e d) Ursini et al. (2005) acreditam que os alunos devem compreender os três usos da variável (Modelo 3UV) na educação básica, além de proporem atividades distintas para desenvolver o sentido da variável, como incógnita, como número genérico, como relação funcional e atividades integradoras que contemplem os três usos propostos por elas. Para o próximo capítulo, faremos a revisão bibliográfica do tema generalização de padrões no ensino da álgebra para fundamentar nossa pesquisa.

28 28 CAPÍTULO II REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Neste capítulo, apresentaremos as pesquisas referentes ao tema generalização de padrões para situar e justificar a importância desta pesquisa. Para nossos aportes, pesquisamos vários artigos científicos, publicações em livros, dissertações e teses com referência ao assunto generalização de padrões, com ênfase para o ensino de álgebra. A seguir, apresentaremos a revisão bibliográfica dessas pesquisas para situar o assunto. Alvarenga; Vale (2007) tiveram como objetivo em sua pesquisa analisar o trabalho de alunos em tarefas que envolviam a exploração de padrões, assim como as implicações de tais tarefas no desenvolvimento e consolidação de conceitos matemáticos no 5º ano do Ensino Básico. As questões de pesquisa eram: Que processos são utilizados pelos alunos na resolução de tarefas problemáticas que envolvam a descoberta de padrões? Qual o papel das diferentes representações na resolução de tarefas problemáticas que envolvam a descoberta de padrões e de que forma essas representações são articuladas? Que relações se podem estabelecer entre a descoberta de padrões e os conceitos matemáticos subjacentes? (ALVARENGA; VALE, 2007, p. 2) As respostas apontaram que as atividades de resolução de problemas com procura de padrões é um modo de envolver o aluno e desenvolver alguns componentes do pensamento algébrico, tais como: particularizar, conjecturar, generalizar e simbolizar as relações observadas (ALVARENGA; VALE, 2007, p. 2). As pesquisadoras citam Blanton e Kaput com relação ao raciocínio algébrico: É um processo no qual os alunos generalizam suas ideias matemáticas a partir da observação de um conjunto de evidências, estabelecendo-as através de argumentações, expressando-as de modos cada vez mais formais de acordo com a idade. Assim, a álgebra é vista como uma ferramenta para expressar tais generalizações (BLANTON; KAPUT, 2005 apud ALVARENGA; VALE, 2007, p. 6). Justificam que a generalização de padrões é um tema matemático importante com potencialidades para fazer a transição do pensamento aritmético para o pensamento algébrico, pois dá significado à generalização sem recorrer, obrigatoriamente, às variáveis e às fórmulas. Essa compreensão é a base para o

29 29 sucesso da álgebra, entendendo esta como linguagem da generalização (ALVARENGA; VALE, 2007, p. 8). Nesse artigo, as pesquisadoras supracitadas (p. 23) acompanharam dois alunos do 5º ano de uma escola de Ensino Básico durante um ano letivo. As técnicas utilizadas para a coleta de dados foram: observação, entrevista e documentos. Concluíram que, em geral, os alunos conseguiram realizar com sucesso as tarefas propostas, revelando um grande entusiasmo durante o trabalho com padrões, privilegiando abordagens numéricas e geométricas. padrão: Os alunos conseguiram entender com facilidade a natureza recursiva do No entanto, têm algumas dificuldades em ir além desse reconhecimento ou não sentem necessidade de testar as suas conjecturas e de procurar uma estratégia mais eficaz [...] conseguem fazer a generalização próxima, mas sentem a dificuldades na generalização distante. (ALVARENGA; VALE, 2007, p.26) As pesquisadoras concluíram (p. 28) que os alunos que fizeram parte da pesquisa conseguiram desenvolver diferentes capacidades relacionadas com a resolução de tarefas envolvendo exploração de padrões, detectar e descrever, prolongar em termos próximos, calcular valores específicos e continuar para resolver a atividade proposta. Em sua pesquisa, Branco (2008) teve como objetivo compreender de que modo uma unidade de ensino para o 7º ano de escolaridade baseada no estudo de padrões e regularidades contribui para o desenvolvimento e mobilização do pensamento algébrico e para a compreensão, em particular, das variáveis e equações. O estudo seguiu uma metodologia qualitativa, baseada em estudo de caso. Suas questões de pesquisa foram: 1. Que estratégias adotam os alunos para descrever padrões e regularidades e para resolver problemas? 2. Que compreensões da linguagem algébrica revelam nesse ano de escolaridade? 3. Que evolução revelam os alunos relativamente às estratégias de generalização e de resolução de problemas e à sua compreensão da linguagem algébrica, após o desenvolvimento da unidade de ensino baseada no estudo de padrões e regularidades? (BRANCO, 2008, p. 7)

30 30 De acordo com os resultados, concluíram que os alunos desenvolveram a capacidade de generalizar e compreender a letra como número generalizado e como incógnita (BRANCO, 2008, p. 189). No entanto, na resolução de problemas dão preferência a métodos aritméticos e apresentam dificuldades em usar a linguagem algébrica para representá-los. De acordo com nossa hipótese, eles não percebem a simbologia da álgebra como sendo uma linguagem. Revelaram um desenvolvimento de compreensão da linguagem algébrica, como significado dos símbolos e o significado das manipulações de expressões. Mas, a pesquisadora mostrou que essa compreensão é muito frágil e que esse é o primeiro passo de um longo caminho para o desenvolvimento do pensamento algébrico. Salientou ainda que: Muitos professores têm dificuldades em diversificar suas práticas nos tópicos de álgebra de modo a proporcionar experiências de aprendizagem diferentes e significativas, a contribuir para o estabelecimento de conexões entre os seus diferentes domínios e a proporcionar uma aprendizagem deste tema com compreensão (BRANCO, 2008, p.2). Concluiu sua pesquisa afirmando: Penso que os alunos devem ser incentivados desde cedo a explorar padrões e procurar regularidades, com o intuito de desenvolverem a sua capacidade de generalização (BRANCO, 2008, p. 189). Em sua pesquisa, Hamazaki (2010, p. 7) analisou situações de aprendizagem sobre equações e inequações logarítmicas apresentadas no Caderno do Professor de 2009 da Secretaria da Educação do Estado São Paulo (SEE/SP). Sua questão de pesquisa foi: que aspectos do pensamento algébrico emergem na análise do Caderno do Professor no terceiro bimestre do primeiro ano do Ensino Médio sobre equações e inequações logarítmicas?. Concluiu que os exercícios sobre equações logarítmicas presentes no Caderno do Professor da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo favorecem o desenvolvimento do pensamento algébrico. Dos treze indicadores adaptados para o desenvolvimento do pensamento algébrico que a pesquisadora utilizou em seu estudo, foram encontrados dez. Em sua pesquisa, Ravazi (2011) analisou o material da Secretária da Educação do Estado de São Paulo o Caderno do Aluno, sendo seu objetivo: investigar quais os diferentes usos da variável que emergem da sequência de ensino

31 31 que compõe as quatro Situações de Aprendizagem do Caderno do Aluno da 6ª série (7º ano) do EF. O modelo dos três usos da variável (3UV) de Ursini et al. (2005) que apresenta o conceito de variável e seus principais usos na educação básica incógnita, número genérico e relação funcional; as concepções de álgebra, conforme Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra, conforme os PCN (BRASIL, 1998), foram usados. foram: Sua pesquisa foi qualitativa de cunho documental, suas questões de pesquisa O Modelo 3UV, as concepções de álgebra de Usiskin (1995), e as dimensões da álgebra conforme os PCN (BRASIL, 1998) podem ser identificados na sequência de ensino que compõe as Situações de Aprendizagem proposta no Caderno do Aluno da 6ª série, volume ? As atividades/problemas presentes nestas Situações de Aprendizagem apresentam quais usos da variável de acordo com o Modelo 3UV? Quais concepções de álgebra de Usiskin (1995) e quais dimensões da álgebra conforme os PCN (BRASIL, 1998)? (RAVAZI, 2011, p. 29) Como resultado, observou que estão presentes nesse material (Caderno do Aluno da 6ª série do EF), de acordo com o Modelo 3UV, a variável como incógnita específica, como número genérico e como uma relação funcional. Em relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995), estão presentes: álgebra como aritmética generalizada, como estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas e como estudos de relações entre grandezas, não estando presente a dimensão estrutural (como o estudo das estruturas). Com relação às suas dimensões, conforme os PCN (BRASIL, 1998) foram identificadas: álgebra como aritmética generalizada, álgebra das equações e álgebra funcional (RAVAZI, 2011, p. 159). Em seu artigo, Ponte (2005) situa os diversos problemas do ensino da álgebra em Portugal e afirma que séculos atrás os objetos fundamentais da álgebra eram as equações e as expressões que os livros didáticos atuais utilizam para iniciação do estudo da álgebra. Hoje em dia, esta visão não vem se mostrando um caminho eficiente, uma vez que, neste tema, estuda-se todo o tipo de estruturas definidas por operações ou relações entre conjuntos. Como estratégia para o ensino, propõe uma terceira via entre atrasar a introdução do simbolismo e impô-lo precocemente, que consiste em introduzir os símbolos e seu uso em contextos significativos no quadro

32 32 de atividades que mostrem, de forma natural, aos alunos o poder matemático da simbolização e da formalização. Afirma que, no nível escolar, o grande objetivo do estudo da álgebra é desenvolver nos alunos o pensamento algébrico que diz respeito ao estudo das estruturas, à simbolização, à modelação e ao estudo da variação: - Compreender padrões, relações e funções (Estudo das estruturas); - Representar e analisar situações matemáticas e estruturas, usando símbolos algébricos (Simbolização); - Usar modelos matemáticos para representar e compreender relações quantitativas (Modelação); - Analisar mudança em diversas situações (Estudo da Variação). (NCTM 5, 2000 apud PONTE, 2005, p. 4) Para o pesquisador, a capacidade de manipulação dos símbolos é um dos elementos importantes do pensamento algébrico e envolve o sentido do símbolo, isto é, a capacidade de interpretar e usar de forma criativa os símbolos matemáticos, na descrição e na resolução de problemas (ARCAVI, 1994 apud PONTE, 2005, p. 4). O pensamento algébrico privilegia não só os objetos estudados, mas também as relações existentes entre eles, representando e raciocinando sobre essas relações de modo geral e abstrato. E afirma: Por isso, uma das vias privilegiadas para promover este pensamento algébrico é o estudo de padrões e regularidades (PONTE, 2005, p.4). Ponte afirma que as dificuldades dos alunos na transição da linguagem aritmética para a linguagem algébrica vêm sendo discutidas por numerosos autores, como Booth (1994) e Rojano (2002). E cita: (I) Dificuldades têm a ver com o uso de letras para representar variáveis e incógnitas, não conseguindo ver uma letra como representando um número desconhecido e não percebendo o sentido de uma expressão algébrica; (II) Outra está em traduzir a informação da linguagem natural para a linguagem algébrica; (III) Outra ainda é compreender as mudanças de significado, na aritmética e na álgebra, dos símbolos + e = ( 23 = na Aritmética e 2x = 2 vezes x na álgebra ou = 8 e x + 3 = x + 3 por exemplo). Estas dificuldades dos alunos são compreensíveis, tendo em conta a complexidade dos conceitos em jogo e também as sutilezas que envolvem o uso da linguagem exemplificada (ROJANO, 2002, apud PONTE, 2005, p.11). Quanto ao significado do símbolo: 5 NCTM National Council of Teachers Mathematics (Conselho Nacional de Professores de Matemática).

33 33 Se perdemos de vista o significado do que os símbolos representam e apenas dermos atenção ao modo de os manipular, caímos no formalismo sem sentido. A solução não está em atrasar ou antecipar o simbolismo algébrico e sim por uma estratégia de ir introduzindo os símbolos e o seu uso, em contextos significativos, nos quadros de atividades que mostrem de forma natural aos alunos o poder matemático da simbolização e da formalização (DAVIS; HERSH, 1995 apud PONTE, 2005, p.11). Ponte (2005, p. 14) conclui que, nos programas de ensino básico e médio em Portugal, a álgebra desaparece, como grande tema da Matemática, ficando reduzida a um conjunto de técnicas de cálculos algébricos e ao estudo das funções. Não se dá atenção ao estudo de padrões e regularidades, nem ao uso do simbolismo em situações reais e contextualizadas, como comprovam os resultados da avaliação internacional PISA dos alunos portugueses analisados por Ponte nesse artigo. Assim, afirma que há necessidade de repensar o currículo de álgebra, com a seguinte questão: Quais são as finalidades, objetivos, conteúdos e métodos do currículo em Portugal a respeito do ensino de álgebra? E afirma que há: sérios problemas de aprendizagem em álgebra, que de resto têm sido bastante maltratada nos programas [...] motivos de sobra para aprofundar a reflexão tendo em vista a elaboração de um currículo mais coerente e ajustado às necessidades de quem ensina e de quem aprende (PONTE, 2005, p. 15). Em seu artigo, Borralho e Barbosa (2009, p.1) tinham como objetivo compreender o significado da utilização em sala de aula de padrões em um contexto de tarefas de investigação de forma a melhorar o desenvolvimento do pensamento algébrico. Argumentam que a passagem da linguagem aritmética para a linguagem algébrica é uma das grandes dificuldades dos alunos, e os professores devem diversificar as estratégias, permitindo a seus alunos desenvolverem o pensamento algébrico e o sentido do símbolo. Propõem que os professores realizem atividades numéricas, explorando-as, como atividades algébricas, facilmente se transformam problemas com respostas numéricas simples em novas situações, nas quais os alunos têm a possibilidade de conjecturar, construir padrões, generalizar e justificar fatos e relações matemáticas. Assim, para os pesquisadores, o emprego de atividades que envolvam padrões no ensino de Matemática, ajude os alunos a desenvolverem uma aprendizagem significativa, envolvendo-os e associando com suas experiências e sua realidade é bastante significativo.

34 34 Também para tais autores, a procura de um padrão em uma atividade proposta pelo professor permite ao aluno: formular generalizações em situações diversas, particularmente em contextos numéricos e geométricos, o que contribuirá para o desenvolvimento do raciocínio algébrico do aluno (BORRALHO; BARBOSA, 2009, p. 2). Suas questões de pesquisas foram: 1. Os padrões, num contexto de tarefas de investigação, permitem o estabelecimento de conexões matemáticas? 2. Como é que a análise de padrões e regularidades, envolvendo números e operações elementares, contribui para o entendimento da álgebra? 3. De que modo é que os padrões, num contexto de tarefas de investigação permitem promover a aptidão para discutir com outros e comunicar descobertas e ideias matemáticas através do uso de uma linguagem, escrita e oral, não ambígua e adequada à situação? (BORRALHO; BARBOSA, 2009, p. 3) Desse modo, os autores supracitados (p. 4) escolheram como sujeitos da pesquisa dois alunos do 8º ano. O critério de escolha foi por rendimento (o melhor e o pior) ambos oriundos de grupos distintos, pois o objetivo pretendido era confrontar as posições com seus respectivos desempenhos. Assim, nove tarefas de investigação foram propostas: quatro delas preliminares e duas aulas de exploração de conteúdos em pequenos grupos. No final de cada tarefa, era obrigatória a realização de um relatório, que depois era todo analisado e comentado. As aulas tiveram como objetivo proporcionar e promover a ponte, entre as tarefas de investigação realizadas e os conteúdos abordados. Os autores concluíram que a exploração de padrões em um contexto de tarefas investigativas permitiu o desenvolvimento do pensamento algébrico (o sentido do símbolo), ao proporcionar que os alunos utilizassem diferentes representações, identificassem e generalizassem relações, analisassem seus significados e tomassem consciência da importância da verificação de dados. E, com isso, afirmaram: é possível concluir que o estudo da álgebra pode ser iniciado através da exploração e generalização de padrões. Mas em simultâneo é necessário mudar práticas de ensino, deixar para trás um ensino tradicionalista que promove a rotina e, consequentemente, a aprendizagem isolada de conteúdos, para passarmos a ter práticas de ensino que desenvolvam aprendizagens significativas por parte dos alunos (BORRALHO; BARBOSA, 2009, p. 9).

35 35 Vale et al. (2008) no artigo intitulado Padrões no currículo de Matemática: presente e futuro, visavam a estudar o alcance de uma abordagem curricular centrada no estudo de padrões, no desenvolvimento do conhecimento matemático dos alunos da escola básica e na formação de professores 6. Para os pesquisadores, o projeto procurava: a) analisar o impacto da aprendizagem através de tarefas de natureza investigativa centradas na procura de padrões de alunos e (futuros) professores, quer no nível do desenvolvimento de conceitos (numéricos, pré-algébricos e geométricos), quer no nível de competências transversais (resolução de problemas, raciocínio, conexões, comunicação e argumentação); b) identificar práticas profissionais e curriculares que favoreçam o desenvolvimento de competências no nível daqueles conceitos; c) construir materiais curriculares que favoreçam uma atitude mais positiva em relação à Matemática e sejam potencializadores do poder matemático dos estudantes (VALE et al., 2008, p.2). Os pesquisadores analisaram as orientações curriculares nacionais em Portugal e as provas de aferição. Apesar do papel significativo em Matemática, os padrões não têm sido um tema ao qual se vem dando grande relevância nos currículos nacionais da Matemática escolar. E afirmam que: Vários estudos internacionais (TIMSS 7, 1996; PISA, 2003) assim como as provas de aferição e exames nacionais revelaram que os alunos portugueses têm sérias deficiências no nível das capacidades matemáticas, sobretudo na resolução de problemas, raciocínio e comunicação, assim como se vem assistindo a uma progressiva desmotivação dos alunos em relação à Matemática (VALE et al., 2008, p. 1). Partindo da concepção de que a Matemática é a ciência dos padrões (DEVLIN, 2002), propõe como objetivo que todos os alunos aprendam Matemática por meio de atividades significativas que os motive para esse aprendizado. Desse modo, o uso de atividades que utilizem padrões, pode propiciar aos alunos a desejável aprendizagem em vários conceitos matemáticos. Nos documentos analisados, os autores notaram que a generalização de padrões no ensino básico é um tema transversal em diversos níveis de escolaridade e que é utilizada em diferentes conteúdos, mas não consta de forma explícita das orientações nacionais (ainda em vigor, da década de 1990). O estudo dos padrões 6 Referente ao projeto: Matemática e padrões no ensino básico: perspectiva e experiências curriculares de alunos e professores. 7 TIMSS - Trends in International Mathematics and Science Study (Estudo das tendências em Matemática e Ciências).

36 36 apresentam várias oportunidades, para que sejam explorados em qualquer tema matemático, desde o início da educação básica. Também ressaltam: Estamos conscientes de que há um longo percurso a fazer junto dos alunos e professores sobre as potencialidades dos padrões no desenvolvimento do conhecimento matemático. Estas vão muito mais além do que a exploração de padrões de repetição e além do campo da Geometria. A sua riqueza reside na sua transversalidade tanto dos conteúdos como das capacidades que promovem nos alunos de qualquer nível, e também na forte ligação que tem com a resolução de problemas, como uma estratégia riquíssima, que é a procura de padrões (VALE et al., 2008, p. 11). O grupo de pesquisa em Educação Algébrica (GPEA) de que faço parte, em 2006 a 2010, desenvolveu um projeto intitulado Sobre observação e generalização de padrões uma atividade Matemática transversal. E muitos dos trabalhos realizados nesse projeto mostram que as atividades de generalização de padrões podem ser um caminho interessante para desenvolver a linguagem algébrica, mas, que muitos professores desconhecem esse tipo de atividade e que os alunos apresentam muitas dificuldades no uso da linguagem simbólica, quando a iniciação do estudo da álgebra se faz pelo estudo das equações, agravando seus problemas de aprendizagem. Desse modo, construímos o Quadro 3, cujos dados mostram os resultados desse projeto, com o potencial das atividades de generalização de padrões para o desenvolvimento da linguagem algébrica. Quadro 3 Fichamento de pesquisas do projeto Sobre observação e generalização de padrões Autor Informações Cesar Augusto Sverberi Carvalho Título: O aluno do Ensino Médio e a criação de uma fórmula para o termo geral da progressão aritmética (Mestrado Acadêmico ). Sujeitos: Alunos da 1ª série do Ensino Médio. Objetivo: Investigar se é possível criar condições para que alunos do Ensino Médio generalizem termos de progressões aritméticas e, em caso afirmativo, se esta generalização permite que os alunos construam uma fórmula para o termo geral desse tipo de sequência. Resultados: Pelas análises, a posteriori constatou-se que os alunos conseguiram generalizar termos de uma progressão aritmética após um momento de observação, mas isso não implicou a construção da fórmula do termo geral em razão da dificuldade apresentada em relação à utilização de notação algébrica formal. O fato de o pensamento algébrico ter se manifestado confirmou a autonomia do aluno generalizar. (p.111) Cristiane Regina de Moura Ferreira Título: Os alunos do 1º ano do Ensino Médio e os padrões: observação, realização e compreensão (Mestrado Acadêmico ). Sujeitos: Alunos da 1ª série do Ensino Médio. Objetivo: investigar como o aluno que terminou a 1ª série do Ensino Médio em 2008 observa, realiza e compreende atividades que envolvem a observação de

37 37 regularidades e a generalização de padrões (p.56). Resultados: os alunos mostraram facilidade para indicar o próximo termo das sequências propostas, conforme verificado em pesquisas similares, como na de Carvalho (2008). [...] com relação a termos distantes, foi possível analisar vários aspectos: duplas conseguiram expressar verbalmente o termo da 1ª sequência, porém o registro da resposta em linguagem natural demonstrou ser problema para alguns alunos. Orton e Orton (1999) quando esclarecem que explicações orais das regras são dadas por uma quantidade maior de alunos do que aqueles que podem escrever uma explicação (p. 136). Com relação ao encontro de um esquema generalizador para a soma de uma progressão geométrica, apenas um aluno conseguiu verbalizar esse processo apresentando observações pertinentes a sequência, porém esse esquema está preso ao método recursivo [...](p. 139). Maria Margarida Massagnan de Almeida Título: Estratégias de generalizações de padrões de alunos do Ensino Fundamental do ponto de vista de seus professores (Mestrado Acadêmico ). Sujeitos: Professores do Ensino Fundamental. Objetivo: investigar se e como o professor do 2º ciclo do Ensino Fundamental trabalha atividades de observação de regularidades e generalizações de padrões (p.17). Resultados: Quatro dos cincos professores tiveram algum contato com as questões da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. Almeida (2006) concluiu que a maioria teve contato com questões de generalizações de padrões (p.79). Os professores entrevistados trabalham, esporadicamente, com atividades semelhantes às apresentadas e que preveem que seus alunos utilizem, prioritariamente, a estratégia de desenho e contagem; no entanto, sugerem que trabalhariam com seus alunos estratégias de resolução que envolva generalização sem uma formalização algébrica mais rigorosa (p.90). [...] para esses professores, a formalização algébrica está longe de ser trabalhada em atividades desse tipo no Ensino Fundamental. E sugere para pesquisas futuras as questões: Como é apresentado o assunto generalização de padrões no livro didático do 2º ciclo do Ensino Fundamental, quais as sugestões que trazem para esse trabalho? Que tipo de generalização de padrão é esperado em cada série do Ensino Fundamental? Elisangela Parra Zigart Perez Título: Alunos do Ensino Médio e a generalização de padrão (Mestrado Acadêmico ). Sujeitos: Alunos do Ensino Médio. Objetivo: investigar se e como alunos do Ensino Médio resolvem situaçõesproblema que envolvem generalização de padrões. Resultados: As três atividades válidas da 1ª sessão deixaram claro que os alunos resolveram questões de generalização de padrões e apresentaram diferentes estratégias. [...] ao solicitar que escrevessem uma regra que pudesse representar o número de pontos ou a forma de uma posição qualquer da sequência, não conseguiram expressar-se na linguagem matemática, mesmo já tendo se expressado diversas vezes na linguagem natural. Considero que eles resolveram as questões mesmo apresentando dificuldades em escrever algebricamente/simbolicamente a regra geral (p.114). Quanto à generalização, percebo que possuem dificuldades em relação ao termo fórmula geral, verificando que não são capazes de formular simbolicamente, a regra geral (p.103). Deixou como sugestão para futuras pesquisas essa questão: Se e como o livro didático do Ensino Médio aborda o tema generalização de padrões? Juliana Grassmann dos Santos Título: Observação e generalização de padrões: Um tema para a investigação de professores sobre sua própria prática (Mestrado Acadêmico ). Sujeitos: Professores de Ensino Fundamental.

38 38 Objetivo: Investigar quais as mudanças de percepção dos professores sobre o tema observação e generalização de padrões ao vivenciarem um processo de pesquisa em sua própria sala de aula (p. 15). Resultados: O processo de formação continuada descrito nesse estudo instigou mudanças na percepção de Maurina e Doroti sobre o tema observação e generalização de padrões, mudanças que só se justificam por terem sido desejadas pelas participantes (p.108). [...] mudança, de Maurina ocorrida durante o processo, quando esta adquiriu a capacidade de ver, ouvir e fazer coisas que não fazia antes. Já no processo de Doroti, nota-se que a mudança só ocorreu porque a aluna-professora sentia-se dentro da situação e de posse do processo de tomada de decisão (p. 108). Os resultados das pesquisas dos alunos-professores indicaram ser possível desenvolver atividades de observação e generalização de padrões na sala de aula e que esse trabalho oferece vantagens para professores e alunos (p. 109). Lucimeire Omoti de Aquino Título: Os alunos de 5ª série / 6º ano frente às atividades sobre observação e generalização de padrões (Mestrado Profissional ). Sujeitos: alunos 6º ano Ensino Fundamental. Objetivo: Investigar se e como alunos de uma 5ª série / 6º ano do Ensino Fundamental são sensibilizados e criam estratégias para resolver situações que envolvem a percepção e generalização de padrões em sequências. Resultados: os alunos foram sensibilizados, pois apropriaram-se dos problemas propostos. Essa apropriação possibilitou-lhes observar, analisar, reconhecer e expressar de modo explícito ou implícito, seja pelo discurso oral ou escrito, pelas ações, pelos gestos, pelos sinais ou pelos ritmos, a regularidade de sequências que apresentavam um padrão. [...] pelos resultados apresentados, após a análise a posteriori, os alunos estão desenvolvendo o pensamento algébrico, ou seja, já estão fazendo álgebra, pois são capazes de observar, perceber a regularidade e expressar a generalidade, tanto que manipularam essa generalidade, aplicando-a nas soluções das questões propostas (p.129). Marcelly Mingorancia de Carvalho Título: SÃO PAULO FAZ ESCOLA : Muda a abordagem de progressões na sala de aula? (Mestrado Acadêmico ) Sujeitos: Professores e Caderno do Professor da Secretária da Educação do Estado de São Paulo. Objetivo: investigar as mudanças que ocorreram em relação ao trabalho dos professores do primeiro ano do Ensino Médio da rede estadual paulista, frente o material: Progressões integrante da Proposta Curricular do Estado de São Paulo de Material que traz atividades de generalização de padrões de diversas sequências, antes de apresentar as progressões propriamente ditas. Resultados: A análise das entrevistas apontou que foi unânime a aceitação e aprovação dos professores quanto a esse material, além de ter proporcionado mudanças significativas nas aulas dos docentes e ter sensibilizado os professores que desconheciam o tema: Observação de regularidades e generalização de padrões. [...] com exceção do professor Castro, todos os outros docentes seguiram o desenvolvimento proposto no Caderno do Professor (2008) apenas tirando um ou outro exercício por falta de tempo ou porque acreditavam ser muito complexo. Castro foi o único que preferiu continuar trabalhando da forma que fazia anteriormente. Há mais de duas décadas são realizadas pesquisas que apontam os benefícios que a observação de regularidades e a generalização de padrões promovem no desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos, porém, em relação ao professor Novaes este tema não se fez presente em sua graduação (p. 81).

39 39 Renato Silvestre da Silva Título: OFICINA EXPERIÊNCIAS MATEMÁTICAS: Professores e a exploração de padrões (Mestrado Acadêmico ). Sujeitos: Professores. Objetivo: investigar com que frequência os professores que ministram aulas nas oficinas Experiências Matemáticas de uma determinada região aplicam atividades que envolvem observação de regularidades e generalização de padrões nessas oficinas e ainda buscar compreender quais são as causas que justifiquem a frequência encontrada (p. 19). Resultados: as análises indicam que atividades que envolvem observação e generalização de padrões são pouco trabalhadas nas oficinas Experiências Matemáticas, porque os professores que ministram estas oficinas desconhecem o objetivo principal do trabalho com esse tipo de atividade e, consequentemente, seu benefício para os alunos. Concluí, assim, que as atividades que envolvem observação e generalização de padrões são pouco trabalhadas nas oficinas Experiências Matemáticas, porém, isso não ocorre pela desaprovação dos professores em relação a tais atividades, mas, sim, pelo desconhecimento do assunto (p. 95). Sebastião Archilia Título: Construção do termo geral da progressão aritmética pela observação e generalização de padrões (Mestrado Profissional ). Sujeitos: alunos da 2ª série do Ensino Médio. Objetivo: investigar se alunos da 2ª série do Ensino Médio frente às atividades de observação e generalização de padrões de sequências constroem uma fórmula para o termo genérico de uma Progressão Aritmética. Resultados: Levaram a concluir que, embora os alunos tenham expressado em linguagem natural uma fórmula para o termo geral, isso não foi suficiente para converterem esse resultado para uma forma simbólica algébrica. O fato de nenhum protocolo de meus alunos registrar uma fórmula para o enésimo termo, parece indicar a falta desse trabalho constante e competente (atividades de generalização de padrões) em toda a trajetória escolar (p. 79). [...] acredito que, se os alunos estivessem acostumados a trabalhar com observações e generalizações de padrões, os resultados com o ensino e a aprendizagem da álgebra seriam melhores (p. 80). Fonte: Elaborado pelo pesquisador Das nove pesquisas desenvolvidas no projeto Sobre observação e generalização de padrões Uma atividade Matemática transversal, cinco foram desenvolvidas com alunos e quatro com professores, três trataram do Ensino Fundamental e cinco do Ensino Médio e em uma foi analisado o Caderno do Professor da SEE/SP. A maior parte das pesquisas foi realizada com alunos e concentrou-se no Ensino Médio, houve poucas pesquisas com material didático, nenhuma analisou livros didáticos, sendo assim optamos por pesquisar este tipo de material. Mas, o que nos chamou a atenção nestas pesquisas foi o fato de que os alunos apresentaram dificuldades para se expressar na linguagem simbólica e que alguns professores desconheciam o tema generalização de padrões e suas potencialidades. Isto vem reforçar nossa hipótese de pesquisa que os alunos

40 40 apresentam dificuldades em usar a linguagem algébrica para expressar ideias e resolver problemas na educação básica, dificuldades estas que se agravam nas séries seguintes, comprometendo a aprendizagem de outros assuntos importantes para o currículo de Matemática, como por exemplo, o estudo das funções. Para Sessa quando pensamos no ensino de álgebra, no que diz à aprendizagem escolar: A concebemos como um conjunto de práticas associadas a um espaço de problemas que se constituem a partir de um conjunto de conceitos com suas propriedades. Práticas que se, escrevem em uma determinada linguagem simbólica, com tratamentos de leis específicas que regem a configuração de um conjunto de técnicas. Todos esses elementos complexos [...] produzem um "quadro" que configura trabalho algébrico. Alguns argumentam que esses aspectos do trabalho algébrico são muito difíceis de instalar na escola, porque eles precisam de habilidades préoperatórias que os alunos não possuem (SESSA, 2005, p ) Com esta revisão bibliográfica sobre a generalização de padrões, para a introdução da linguagem algébrica, acreditamos que nossa pesquisa seja relevante, pois os alunos da educação básica apresentam problemas de aprendizagem em álgebra, como demonstrado em diversas investigações. Assim, conforme nossa hipótese, que a introdução da linguagem algébrica pelo estudo das equações polinomiais do 1º grau por meio das manipulações sem significados (SESSA, 2005) feita nos livros didáticos não favorece o desenvolvimento da linguagem algébrica em nossos alunos, nosso objetivo foi ver e analisar se os livros didáticos de Matemática dos 6º e 7º anos do EF escolhidos no PNLD/2011 introduzem a linguagem algébrica por meio de atividades de generalização de padrões e como isso ocorre? No próximo capítulo, faremos um breve estudo sobre o livro didático no Brasil e um a respeito do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD). 8 Cuando pensamos el álgebra, a propósito del aprendizaje escolar, la concebimos como un conjunto de prácticas asociadas a um espacio de problemas que se constituyen a partir de un conjunto de conceptos con sus propiedades. Prácticas que se inscriben en un determinado lenguaje simbólico, con leyes de tratamiento específicas que rigen la configuración de un conjunto de técnicas. Todos estos elementos complejos [...] producen um entramado que configura el trabajo algebraico. Hay quienes afirman que estos aspectos del trabajo algebraico son muy difíciles de instalar en la escuela porque necesitan de una destreza operatoria previa que los alumnos no possen.

41 41 CAPÍTULO III LIVRO DIDÁTICO E O PNLD Neste capítulo, apresentamos um breve estudo histórico do livro didático no Brasil e também sobre a criação do Programa Nacional do Livro Didático. O livro didático é um instrumento importante no ensino e na aprendizagem, pois baliza o trabalho do professor com relação aos conteúdos e, para o aluno, indica a grade de conteúdos e propõe as atividades que desenvolvem sua aprendizagem. Para Gérard e Roegiers (1998 apud BRASIL, 2010, p. 19), o livro didático é um instrumento impresso, intencionalmente estruturado para se inscrever num processo de aprendizagem, com o fim de lhe melhorar a eficácia. Para a pesquisadora Lajolo: Didático é o livro que vai ser utilizado em aulas e cursos, que provavelmente foi escrito, editado, vendido e comprado, tendo em vista essa utilização escolar e sistemática. Sua importância aumenta ainda mais em países como o Brasil, onde uma precaríssima situação educacional faz com que acabe determinando conteúdos e condicionando estratégias de ensino, marcando, pois, de forma decisiva, o que se ensina e como se ensina (LAJOLO, 1996, p. 4). Para a autora citada, o livro didático tem as funções de produzir e alterar significados, patrocinar envolvimentos afetivos e experiência estética. É também um instrumento específico e importante no ensino e aprendizagem formal. Embora não seja o único material de aprendizagem, como sugere a literatura, indica o caminho para a aprendizagem e poderá ser decisivo na qualidade do ensino, o livro didático se caracteriza por ser passível de uso na situação específica da escola, isto é, de aprendizado coletivo e orientado por um professor (LAJOLO, 1996, p. 5). Um livro para ser considerado didático precisa ser usado de forma sistemática no ensino e aprendizagem de um determinado objeto do conhecimento humano. É dirigido a professores e alunos (alguns exemplares são chamados de livro do professor). Professores e livros didáticos são parceiros em um processo de ensino importante, cujo beneficiado será o aluno. Todas as atividades propostas no livro didático devem ter o objetivo de desenvolver a aprendizagem. O aluno desenvolve, assim, diversos tipos de

42 42 linguagens (escrita, figural, numérica, algébrica, etc.), para que todas sejam igualmente eficientes. Matemática: Varizo pesquisou alguns aspectos evolutivos da história do livro didático de - Segunda metade do século XIV primeira vez que a Matemática aparece como matéria, na Universidade de Oxford; - Em 1478, possivelmente a impressão do primeiro livro didático de Matemática o Aritmética di Treviso, com intenção de tornar o cálculo acessível ao público em geral; - Em 1482, com o advento do Humanismo, houve a impressão do livro Elementos de Euclides em diversas línguas tornando-se o best-seller do período; - Em 1667, foi publicado o protótipo do livro moderno de Matemática Novos Elementos de Antoine Arnaud; - Em 1789, com a Revolução Francesa foi estabelecido o primeiro sistema escolar voltado para educação geral e pública. No mesmo período D Alembert apresenta um estudo de como deveria ser os livros didáticos de Matemática; - Em 1792, a reforma de Condorcet de que os instrumentos para a reforma social eram os livros didáticos elementares e o treinamento de professores; - Em 1932, a unificação das disciplinas Aritmética, Álgebra e Geometria por uma chamada de Matemática, pela reforma Francisco de Campos (VARIZO, 1995 apud SANTOS, 2007, p. 45). O livro didático acompanhou o desenvolvimento do processo de escolarização do Brasil. De 1929 até 1985 (com o PNLD) foram criados diversos institutos com a intenção de melhorar o acesso dos estudantes ao conhecimento por meio do livro didático e desenvolver a formação cultural da população. Os dados do Quadro 4 mostram o histórico do livro didático no Brasil.

43 43 Quadro 4 O Livro didático no Brasil: histórico : Criação do Instituto Nacional do Livro (INL). Seu objetivo era contribuir para a legitimação do livro didático nacional e auxiliar no aumento de sua produção; 1934: No governo do presidente Getúlio Vargas, o INL recebeu suas primeiras atribuições, como editar obras literárias para a formação cultural da população, elaborar uma enciclopédia e um dicionário nacional e expandir o número de bibliotecas públicas; 1938: Criação da Comissão Nacional do Livro Didático (CNLD) pelo Decreto-Lei nº 1.006, de 30/12/38, que estabelecia a primeira política de legislação para tratar da produção, do controle e da circulação dessas obras. Esta comissão possuía mais a função de controle políticoideológico do que propriamente uma função didática; 1945: O Estado consolida a legislação sobre as condições de produção, importação e utilização do livro didático, restringindo ao professor a escolha do livro a ser utilizado pelos alunos, conforme definido no artigo 5º do Decreto-Lei nº 8.460, de 26/12/45; 1966: Realização do acordo entre o Ministério da Educação (MEC) e a Agência Norte- Americana para o Desenvolvimento Internacional (USAID) que permitiu a criação da Comissão do Livro Técnico e Livro Didático (COLTED). Esta comissão tinha como objetivo coordenar as ações referentes à produção, edição e distribuição do livro didático e pretendia distribuir gratuitamente 51 milhões de livros no período de 3 anos; 1971: Extinção da COLTED e o término do convênio MEC/USAID, o INL passou a desenvolver o Programa do Livro Didático para o Ensino Fundamental (PLIDEF), assumindo as atribuições administrativas e de gerenciamento dos recursos financeiros; 1976: Extinção do INL e a Fundação Nacional do Material Escolar (FENAME) tornou-se responsável pela execução do PLIDEF. Por meio do Decreto nº , de 4/02/76 o governo iniciou a compra dos livros com recursos do Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação (FNDE) e com as contribuições dos estados; 1983: Em substituição à FENAME, foi criada a Fundação de Assistência ao Estudante (FAE), que incorporou vários programas de assistência do governo, incluindo o PLIDEF. Já nesta época, propôs-se a participação dos professores na escolha dos livros e a ampliação do programa, com a inclusão das demais séries do Ensino Fundamental; e 1985: Criação do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) que veio substituir o PLIDEF em 1985, com a edição do Decreto nº , de 19/08/85. Fonte: Adaptado de FREITAS; RODRIGUES (2007); DA SILVA; RÉGINIER (2009); BARBOSA; LINS (2009). Desde 1945, a legislação indica o professor como responsável pela escolha do livro didático, pois é ele quem o utilizará com seus alunos. Isso mostra a importância do professor conhecer o livro didático que será adotado em sua escola que é, muitas vezes, sua única fonte de consulta, fazendo com que se aproprie das propostas de atividades sugeridas. Temos como hipótese de pesquisa que o início do estudo da álgebra no 6 ou 7º ano nos livros didáticos, dependendo da coleção, por intermédio do estudo das equações polinomiais do 1º grau, não está favorecendo o desenvolvimento da linguagem algébrica de nossos alunos e que as

44 44 atividades de generalização de padrões vêm se mostrando uma opção interessante para desenvolver a linguagem algébrica com significado. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998) recomendam que o professor utilize diversos tipos de materiais como fonte de informação, de forma a ampliar o acesso à informação e fazer com que o aluno seja inserido no mundo onde vive. Apesar disso, em geral, muitos professores utilizam apenas o livro didático para preparar e organizar suas aulas. No ano de 1985, foi criado o PNLD pelo governo federal com a função de distribuição de livros didáticos a todos os estudantes de escolas públicas. Em 1997, começaram as avaliações dos livros didáticos para melhoraria de sua qualidade. Assim, nos dados do Quadro 5 apresentamos o histórico do Programa Nacional do Livro Didático:

45 45 Quadro 5 Programa Nacional do Livro Didático: histórico : Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) substitui o PLIDEF (Programa do Livro Didático para o Ensino Fundamental), com o Decreto nº , de 19/08/85. E tem como objetivo distribuir livro didático a todos os estudantes matriculados em escolas públicas; 1997: Primeira avaliação dos livros didáticos teve como objetivo excluir obras do Ensino Fundamental I que contivessem erros conceituais graves, discriminações sociais, preconceitos, doutrinas religiosas, entre outros; 1999: Segunda avaliação dos livros didáticos do Ensino Fundamental II, teve como objetivo a adequação de conceitos, contribuição para o exercício da cidadania, contribuição para domínio das habilidades e procedimentos envolvidos no uso da Matemática. As editoras puderam submeter apenas um livro de sua coleção para avaliação; 2002: Na terceira avaliação, os livros didáticos deveriam respeitar o Estatuto da Criança e do Adolescente (ECA), não podendo conter divulgação de drogas, álcool e armas em partes textuais ou ilustrações. As editoras passaram a submeter a coleção completa para avaliação, não sendo mais possível apresentar o volume único; 2004: Governo Federal cria o Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio (PNLEM); 2005: Na quarta avaliação, foram mantidos os critérios eliminatórios de aspectos gerais: (a) correção de conceitos e informações básicas, (b) correção e adequação metodológica e (c) contribuição para a construção da cidadania; 2007: Governo Federal cria o Programa Nacional do Livro Didático para a Alfabetização de Jovens e Adultos (PNLA) para prover as escolas das redes federal, estadual e municipal e as entidades parceiras do programa Brasil Alfabetizado ; e 2008: Na quinta avaliação os critérios das coleções foram redefinidos: (a) seleção e distribuição de conteúdos, (b) proposta metodológica das coleções, (c) contextualização e interdisciplinaridade e (d) manual do professor. Fonte: Adaptado de FREITAS; RODRIGUES (2007); DA SILVA; RÉGINIER (2009). Em nossa pesquisa, faremos análise de livros didáticos escolhidos no PNLD/2011, por ser o PNLD mais recente 9 para escolha de livros didáticos e, por isso, descreveremos os critérios de seleção com mais detalhes. Lembrando que, em 2012, houve escolha de livros didáticos para o Ensino Médio (PNLD/2012), que não analisaremos, pois nossa pesquisa examinará a introdução da linguagem algébrica através da generalização de padrões em livros didáticos do Ensino Fundamental II. Os critérios eliminatórios comuns para todas as áreas são: 9 De acordo com o período do desenvolvimento pesquisa ( ), pois em 2013 já houve a escolha dos livros didáticos para serem adotados nas escolas em 2014, 2015 e 2016 pelo PNLD/2014 para o Ensino Fundamental II.

46 46 I. Respeito à legislação, às diretrizes e às normas oficiais relativas ao Ensino Fundamental; II. Observância de princípios éticos necessários à construção da cidadania e ao convívio social republicano; III. Coerência e adequação da abordagem teórico-metodológica assumida pela coleção, no que diz respeito à proposta didático-pedagógica explicitada e aos objetivos visados; IV. Correção e atualização de conceitos, informações e procedimentos; V. Observância das características e finalidades especificas do manual do professor e adequação da coleção à linha pedagógica nele apresentada; e VI. Adequação da estrutura editorial e do projeto gráfico aos objetivos didático-pedagógicos da coleção (BRASIL, 2010, p. 25). Além desses critérios comuns, para a componente curricular Matemática, os critérios eliminatórios específicos são: - apresentar erro ou indução a erros em conceitos, argumentação e procedimentos matemáticos, no livro do aluno, no manual do professor e, quando houver, no glossário; - deixar de incluir um dos campos da Matemática escolar, a saber, números e operações, álgebra, geometria, grandezas e medidas e tratamento da informação; - dar atenção apenas ao trabalho mecânico com procedimentos, em detrimento da exploração dos conceitos matemáticos e de sua utilidade para resolver problemas; - apresentar os conceitos com erro de encadeamento lógico, tais como: recorrer a conceitos ainda não definidos para introduzir outro conceito, utilizar-se de definições circulares, confundir tese com hipótese em demonstrações matemáticas; - deixar de propiciar o desenvolvimento, pelo aluno, de competências cognitivas básicas, como: observação, compreensão, argumentação, organização, análise, síntese, comunicação de ideias matemáticas, memorização; supervalorizar o trabalho individual; e - apresentar publicidade de produtos ou empresas (BRASIL, 2010, p.26). O Manual do Professor deverá: - apresentar orientações metodológicas para o trabalho do ensinoaprendizagem da Matemática; - contribuir com reflexões sobre o processo de avaliação da aprendizagem de Matemática; e - apresentar orientações para a condução de atividades propostas (BRASIL, 2010, p. 26). Com relação às competências associadas à álgebra, o PNLD/2011 propõe que os livros didáticos devam desenvolver: A percepção de regularidades, que pode levar à criação de modelos simbólicos para diversas situações, e à capacidade de traduzir simbolicamente problemas encontrados no dia a dia, ou provenientes de outras áreas do conhecimento, devem ser gradativamente desenvolvidas para se chegar ao uso pleno da linguagem e das técnicas da álgebra. O uso da linguagem algébrica, para expressar generalizações que se constituam em propriedades de outros campos da Matemática, é outra função da álgebra que deve ser, pouco a pouco, introduzida (BRASIL, 2010, p. 16).

47 47 Como vemos, no PNLD/2011, a introdução da linguagem algébrica deve ser feita, gradualmente, para que o aluno possa desenvolvê-la e, consequentemente, utilizá-la na Matemática e em outras áreas do conhecimento. A introdução da linguagem algébrica com atividades de generalização de padrões pode ser uma proposta interessante, pois é provável que o aluno desenvolva a linguagem simbólica com significado por meio deste tipo de atividade. Nossa pesquisa irá analisar se e como esse tipo de atividade está sendo proposta nos livros didáticos escolhidos no PNLD/2011. No próximo capítulo explicaremos nosso referencial teórico pra fundamentar nossa pesquisa e o referencial metodológico para à análise dos livros didáticos.

48 48 CAPÍTULO IV REFERENCIAL TEÓRICO E METODOLÓGICO A seguir, apresentaremos o referencial teórico de nossa pesquisa e também o referencial metodológico que nos auxiliará nas análises das atividades de generalização de padrões selecionadas nos livros didáticos Referencial teórico Para a análise das atividades de generalização de padrões nos livros didáticos de Matemática escolhidos no PNLD/2011 visando à introdução da linguagem algébrica, utilizaremos as ideias de Fiorentini; Miorin; Miguel (1993); Sessa (2005); Fiorentini; Fernandes; Cristóvão (2005); Ursini et al. (2005). Estes autores em suas pesquisas mostram que, para a iniciação da atividade algébrica, é necessário que o professor proponha atividades que desenvolvam o significado da simbologia empregada e evidenciem o poder da linguagem e do pensamento algébrico na aplicação e resolução de problemas, superando a aritmética, mostrando que esse processo de utilização da linguagem algébrica na resolução de problemas é muito mais que um conjunto de regras sem significados que pode desenvolver a aprendizagem dos alunos. Portanto, suas ideias podem fundamentar nossa pesquisa. Sessa afirma: Para os professores, álgebra representa a ferramenta por excelência da Matemática [...]. Do lado dos estudantes, álgebra é apresentada como uma fonte inesgotável de perda de sentido e dificuldades operatórias muito difíceis de superar (SESSA, 2005, p ). A autora propõe que se inicie o tema com atividades que os alunos deem algum significado às letras, para que eles percebam o poder da álgebra por meio dessa linguagem e adquiram algumas ferramentas de controle essenciais para tal. Defendemos que é por meio dessas práticas que se adquire compreensão do significado da operação algébrica e, [...] permita a aquisição de ferramentas de controle que são essenciais para alcançar a autonomia no 10 Para profesores, el álgebra representa la herramienta por excelencia de la matemática [ ]. Del lado de los alumnos, el álgebra se presenta como una fuente inagotable de pérdida de sentido y de dificultades operatorias muy difíciles de superar.

49 49 desempenho do aluno. A inter-relação entre a atividade modelizadora, aprendizagem da álgebra e manejo de técnicas constituem um ponto-chave para o domínio da álgebra (SESSA, 2005, p ). A iniciação à linguagem algébrica nos livros didáticos, na maioria das vezes, é feita pelo estudo das equações, o que tem provocado problemas de aprendizagem para a maioria dos alunos em diferentes partes do mundo (SESSA 2005, p.13). A pesquisadora propõe que essa iniciação do aluno no trabalho algébrico seja por meio das ideias de variável, de fórmula e número genérico. Para a autora: O que estamos postulando é que chegar as equações por meio da ideia de variável, de fórmula ou número genérico poderia desenvolver melhores condições aos alunos para que eles entendam o sentido desse objeto com toda a sua riqueza. [...] O trabalho com generalização que estamos propondo permitiria que os alunos construissem referências para realizar e controlar transformações algébricas que respeitem a equivalência de expressões. Assim, eles seriam capazes de abordar o objeto "equação", com maior domínio técnico (SESSA, 2005, p ). Ainda propõe que a entrada dos alunos no trabalho algébrico seja por meio de atividades de generalização de padrões, para que eles aprendam a linguagem algébrica com significado. A forma como queremos explorar é baseada na idéia de generalização. A generalização é o coração da Matemática. Em sala de aula, o professor deve dar um problema para trabalhar através dele ou a partir dele, aspectos gerais (no caso de problemas relacionados aos contextos matemáticos ou extra-matemáticos). Generalizar é encontrar características que unificam, reconhecer tipos de objetos e de problemas. Ao descontextualizar o trabalho feito em um problema e discutir a Matemática envolvida, entramos em um processo de generalização, que permitirá utilizar e adaptar o que foi feito neste problema a outros problemas do mesmo tipo (SESSA, 2005, p ). 11 Nosotros sostenemos que es a través de estas prácticas que se va comprendiendo el sentido de la operatoria algebraica y, [ ] permite la adquisición de herramientas de control que son imprescindibles para lograr autonomía en el desempeño de los estudiantes. La interrelación entre la actividad modelizadora del álgebra y el aprendizaje y el manejo de las técnicas constituye un punto clave en el dominio del álgebra. 12 Lo que estamos postulando es que la llegada a las ecuaciones desde la idea de variable, de fórmula o de número general pondría en mejores condiciones a los alumnos para atrapar el sentido de ese objeto en toda su riqueza. [ ] El trabajo en torno a la generalización que proponemos permitiría que los alumnos construyeran referencias para realizar y controlar las transformaciones algebraicas que respetan la equivalencia de expresiones. De este modo, estarían en condiciones de abordar el objeto ecuación con mayor dominio técnico. 13 La vía que queremos explorar se apoya en la idea de generalización. La generalización está en el corazón de la matemática. En aula es un proyecto siempre presente para el profesor: damos un problema para poder trabajar, a través de él o a partir de él, aspectos generales (y esto es así se trate de los problemas referidos a contextos matemáticos o extra-matemáticos). Generalizar es encontrar características que unifican, reconocer tipos de objetos y de problemas. As descontextualizar el trabajo hecho sobre un problema y discutir sobre la matemática involucrada, entramos en un proceso

50 50 Para a autora, a introdução da linguagem algébrica com atividades de generalização é uma possibilidade interessante, para que o aluno expresse a generalidade, provocando um mecanismo de validação de suas conjecturas nas regras de transformações das expressões algébricas, utilizando as letras para representar números genéricos e também atividades que desenvolvam a ideia de dependência entre duas grandezas ou valores, considerando as letras para expressá-los, com intuito de construir o poderoso conceito de função (SESSA, 2005, p.71). Utilizaremos também as ideias de Ursini et al. (2005) com sua proposta alternativa para o ensino de álgebra na escola básica. Para os autores a ideia central do ensino de álgebra escolar é o conceito de variável: O inicio do ensino da álgebra escolar é caracterizado pela introdução dos símbolos literais, normalmente chamados variáveis, para representar números. Na escola secundária, as letras surgem, cada vez mais com maior frequência, em contextos não geométricos, e espera-se que os estudantes não as considerem, como rótulo ou iniciais de palavras, mas que aprendam a interpretá-las, como incógnita ou como números indeterminados, dependendo do expressão ou situação em que elas aparecem. Os resultados de inúmeras investigações mostram que a maioria dos alunos tem sérias dificuldades em desenvolver uma compreensão adequada do uso das letras em álgebra e alcançar uma capacidade aceitável para trabalhar com elas (URSINI et al., 2005, p ). Na resolução de atividades algébricas a variável apresenta-se de várias maneiras natureza multifacetada originando muitas dificuldades de aprendizagem aos alunos (p.9). Os autores citados afirmam que a álgebra escolar é abordada essencialmente com três diferentes usos da variável: as incógnitas, os números genéricos e as relações funcionais chamado modelo dos três usos da variável (3UV). Ao trabalhar com cada um desses usos da variável em diferentes ou nos mesmos anos, esperamos que os alunos desenvolvam a capacidade de interpretar, simbolizar e manipulá-la corretamente. de generalización, que permitirá utilizar y adaptar lo hecho con este problema a otros problemas del mismo tipo. 14 El inicio de la enseñanza del álgebra escolar se caracteriza por la introducción de los símbolos literales, comúnmente llamados variables, para representar números. La escuela secundaria, las letras surgen, cada vez con mayor frecuencia, en contextos no geométricos, y se espera que los alumnos ya no las consideren etiquetas o iníciales de palabras, sino que aprendan a interpretarlas como incógnitas o como números indeterminados, dependiendo de la expresión o la situación en la que aparecen. Los resultados de numerosas investigaciones se sabe que la mayoría de los estudiantes tienen serias dificultades para desarrollar una comprensión adecuada del uso de las letras en álgebra y lograr una capacidad aceptable para trabajar con ellas.

51 51 Para os autores citados os alunos apresentam muitas dificuldades em manipular a variável e apresentam as mais comuns: 1. Dificuldade em distinguir entre diferentes usos da variável; 2. Dificuldades em interpretar as letras quando aparecem acompanhadas por um coeficiente ou tem um expoente; 3. Dificuldades para aceitar uma expressão aberta (x + 7; 3x) como resposta válida; 4. Tendência a ignorar a letra que representa um parâmetro ou lhe atribuir um valor; e 5. Dificuldade em reconhecer a variação conjunta de duas variáveis relacionadas (URSINI et al., 2005, p ). Assim, os autores supracitados propõem para melhoria do ensino da álgebra que o professor desenvolva alguns tipos de atividades: - Generalização: enfatizar o reconhecimento de padrões e métodos gerais; - Funções:introduzir a álgebra por meio do trabalho com quantidades relacionadas, para então chegar à expressão simbólica das relações, usando as letras, e consequentemente explorar as relacões; - Resolução de problemas: enfatizar a análise de problema e resolução de equações; e - Considerar a álgebra como uma linguagem com a sua própria gramática. Isto é, possibilitar uma abordagem estrutural da álgebra (URSINI et al., 2005, p ). Além disso, estes autores citam algumas habilidades básicas que devem ser desenvolvidas nos alunos para aprendizagem da álgebra na escola básica: - Realizar cálculos simples que operem com variáveis; - Entender porque é possível operar com variáveis e porque essas operações permitem chegar a um resultado, seja ele numérico ou não; - Perceber a importância de alcançar a capacidade de usar variáveis para modelar matematicamente as situações de diversos tipos; - Distinguir entre os diferentes usos que são dados para as variáveis em álgebra. - Transitar com flexibilidade entre os diferentes usos das variáveis; e - Integrar os diversos usos da variável e percebendo-as como diferentes Dificultades para diferenciar entre los distintos uso de la variable; 2. Dificultades para interpretar la letra cuando aparece acompañada de un coeficiente o tiene un exponente; 3. Dificultades para aceptar una expresión abierta (x + 7; 3x) como respuesta válida; 4. Tendencia a ignorar la letra que representa un parámetro o a asignarle un valor; 5. Dificultad para reconocer la variación conjunta de dos variables relacionadas. 16 La generalización, en la que se enfatiza en el reconocimiento de patrones y métodos generales; Las funciones. Esta propuesta plantea acercarse al álgebra a través del trabajo con cantidades relacionadas, hasta llegar a la expresión simbólica de las relaciones usando las literales y, en consecuencia, explorar las relaciones; La resolución de problemas. Este enfoque pone el énfasis en análisis de problemas y en la resolución de ecuaciones; Considerar el álgebra como a un lenguaje con su propia gramática. Se trata aquí de un acercamiento estructural al álgebra.

52 52 faces de um mesmo objeto matemático, que são reveladas, dependendo da situação particular (URSINI et al., 2005, p ). Para os autores mencionados, a variável como incógnita não representa um valor fixo que não está sujeito à variação, depende do papel que o símbolo desempenha na equação, e dão um exemplo de duas equações: incógnita.. Neste caso, x apresenta-se como número genérico.. Já, neste caso, x apresenta-se como Para a variável como número genérico, é preciso desenvolver a capacidade de reconhecer padrões, encontrar regras, inferir e descrever métodos gerais (URSINI et al., 2005, p. 31) Para as variáveis em uma relação funcional é preciso ser capaz de reconhecer, em primeiro lugar, que em certas situações estão envolvidas quantidades, cujos valores estão relacionados e, em segundo lugar, que em tais situações a variação de uma quantidade afeta a variação da outra (URSINI et al., 2005, p. 34). Citam como exemplo: Considere a expressão 5 x = y. Se os valores de x variam entre -4 e 5, quando y alcança o valor máximo? E quando y alcança o valor mínimo? (URSINI et al., 2005, p ) 17 Realizar cálculos sencillos operando con las variables; Comprender por qué es posible operar con las variables y por qué estas operaciones permiten llegar a un resultado, sea este numérico o no; Darse cuenta de la importancia que tiene lograr la capacidad de usar las variables para modelar matemáticamente situaciones de distinto tipo; Distinguir entre los distintos usos que se les da a las variables en álgebra; Pasar con flexibilidad entre los distintos usos de las variables; Integrar los diversos usos para verlos como caras distintas de un mismo objeto matemático, que se revelan dependiendo de la situación particular. 18 Considere la expresión 5 x = y. Si los valores de x varían entre -4 y 5, cuándo alcanza y su valor máximo? Cuándo alcanza y su valor mínimo?

53 53 Para a resolução deste exemplo, substitui-se os valores de x por -4 e 5: E verificar quando x = -4, y alcança o valor máximo (y = 9) e quando x = 5, y alcança seu valor mínimo y = 0 para o domínio definido no exemplo. Neste caso, x e y relacionam-se em uma relação funcional. Utilizaremos também as ideias de Fiorentini; Miorin; Miguel (1993) e Fiorentini; Fernandes; Cristóvão (2005) que acreditam que o pensamento algébrico manifesta-se, independente da linguagem algébrica, por meio da língua materna, dos números, da geometria e de uma linguagem simbólica de natureza concisa. Para os autores, caracterizar o pensamento algébrico é pensar que ele é um tipo especial de pensamento que pode se manifestar não apenas nos diferentes campos da Matemática, como também em outras áreas do conhecimento. O pensamento algébrico está na base da construção e compreensão do universo conceitual desses campos e áreas, isto é, é um pensamento indispensável para a constituição do universo conceitual e temático subjacente à ciência contemporânea. Nesse sentido, um olhar algébrico perpassa e impregna o modo de produção de conhecimento em qualquer domínio. No plano pedagógico, a construção do pensamento algébrico não se realiza de modo isolado, mas em articulação com tais campos e áreas (FIORENTINI; MIORIN; MIGUEL, 1993, p. 89). Para iniciação do trabalho algébrico, os autores sugerem atividades investigativas (generalização de padrões, por exemplo) a fim de que os alunos percebam as regularidades e os aspectos invariantes. Atividades que introduzam a linguagem algébrica sem significados não são aconselháveis na escola básica, pois diversas pesquisas vêm mostrando as dificuldades de aprendizagem com estes para introdução da linguagem algébrica. Para Fiorentini; Miorin; Miguel (1993, p. 87), atividades investigativas desenvolvem algumas características do pensamento, como: percepção de regularidades e de aspectos invariantes em contraste com outros que variam, tentativas de expressar ou explicitar a estrutura de uma situaçãoproblema e a presença de um processo de generalização.

54 54 Para Fiorentini; Miorin; Miguel (1993, p. 90), este tipo de atividade, que visa à construção de uma linguagem simbólica, desenvolve-se em etapas, e pretende que o aluno: I Chegue às expressões simbólicas pela análise de situações concretas; II Parta de uma expressão algébrica e tente atribuir algumas significações que ela comporta; III Dê ênfase ao transformismo e aos procedimentos que legitimam essas transformações. Conforme os autores, algumas ações dos estudantes podem ser consideradas caracterizadoras do pensamento algébrico. Assim, iremos utilizar algumas em nossa análise: - relações/comparações entre expressões numéricas ou padrões geométricos; - perceber e tentar expressar as estruturas aritméticas de uma situaçãoproblema; - produzir mais de um modelo aritmético para uma mesma situaçãoproblema; ou, reciprocamente, produzir vários significados para uma mesma expressão numérica; - interpretar uma igualdade, como equivalência entre duas grandezas ou entre duas expressões numéricas; - transformar uma expressão aritmética em outra mais simples; - desenvolver algum tipo de processo de generalização; - perceber e tentar expressar regularidades ou invariâncias; e - desenvolver/criar uma linguagem mais concisa ou sincopada ao expressar-se matematicamente (FIORENTINI; FERNANDES; CRISTÓVÃO, 2005, p. 5). Hamazaki (2010) adaptou os caracterizadores do pensamento algébrico com base nas ideias de Fiorentini; Miorin; Miguel (1993), Fiorentini; Fernandes; Cristóvão (2005) e Ursini et al. (2005), e desenvolveu os seguintes indicadores que caracterizam o pensamento algébrico, conforme mostram os dados do Quadro 6:

55 55 Quadro 6 Indicadores do pensamento algébrico O pensamento algébrico favorece que o aluno: 1 Perceba e tente expressar relações entre representações numéricas pertinentes a uma situação-problema em um modelo aritmético/algébrico ou geométrico; 2 Estabeleça relações/comparações entre expressões numéricas ou entre medidas; 3 Produza mais de um modelo aritmético/algébrico ou geométrico para uma situação-problema; 4 Produza vários significados para uma mesma expressão; 5 Interprete uma igualdade, como equivalência numérica entre duas medidas ou entre duas expressões; 6 Transforme uma expressão ou representação numérica em outra; 7 Desenvolva algum tipo de processo de generalização; 8 Perceba e tente expressar regularidades ou invariâncias; 9 Perceba a relação de dependência das variáveis; 10 Perceba o uso da variável como incógnita; 11 Perceba o uso da variável como número geral; 12 Perceba o uso da variável como relação funcional; e 13 Desenvolva ou crie uma linguagem mais concisa ao expressar uma sentença ou expressão matemática. Fonte: Hamazaki (2010, p. 37) Estes indicadores do desenvolvimento do pensamento algébrico serão utilizados em nossa análise das atividades de generalização de padrões nos livros didáticos de Matemática do Ensino Fundamental, escolhidos no PNLD/2011, porque caracterizam ações a serem desenvolvidas pelos alunos em atividades de generalização de padrões para o desenvolvimento do pensamento algébrico, como consequência da linguagem algébrica Referencial metodológico Para nossas análises, utilizaremos a metodologia de pesquisa qualitativa de cunho documental desenvolvida por Bardin (2011), denominada Análise de Conteúdo. Para Minayo et al.: A pesquisa qualitativa se preocupa com um nível de realidade que não pode ser quantificado. Ela trabalha com o universo de significados, motivos, aspirações, crenças, valores e atitudes, que corresponde a um espaço mais

56 56 profundo das relações, dos processos e dos fenômenos que não podem ser reduzidos à operacionalização de variáveis (MINAYO et al. s/d, p. 21). Bogdan e Biklen (2006, p.16) utilizam-se da expressão investigação qualitativa, como um termo genérico que agrupa diversas estratégias de investigação que compartilham determinadas características. A abordagem de investigação qualitativa exige que o mundo seja examinado com a ideia de que nada é trivial, que o mundo tem potencial para construir uma pista que nos permita estabelecer uma compreensão mais esclarecedora do nosso objeto de estudo (BOGDAN; BIKLEN, 2006, p. 49). Para Mazzotti e Gewandsnajder: As pesquisas qualitativas são caracteristicamente multimetodológicas, isto é, usam uma grande variedade de procedimentos e instrumentos de coletas de dados. Podemos dizer, entretanto, que observação, a entrevista em profundidade e a análise de documentos são os mais utilizados, embora possam ser contemplados por outras técnicas (MAZZOTTI; GEWANDSNAJDER, 1999 apud BARDIN, 2011, p. 163). Conforme Bardin (2011, p. 44), a Análise de Conteúdo é: um conjunto de técnicas e de análises das comunicações que utiliza procedimentos sistemáticos e objetivos de descrição do conteúdo das mensagens. O interesse não está na descrição do conteúdo, mas, sim, no que esta poderá ensinar de acordo com as categorias de análise. análise: caso); Para a pesquisadora, dois tipos de documentos podem ser submetidos à - documentos suscitados pelas necessidades de estudos (livros, no nosso - documentos naturais, produzidos espontaneamente na realidade (comunicação). O que difere a Análise de Conteúdo da documental é a inferência, pois limitamos as possibilidades técnicas a apenas à análise de categorias ou temas. Análise documental: é uma operação ou um conjunto de operações visando representar o conteúdo de um documento sob uma forma diferente da original, a fim de facilitar, num estado ulterior, a sua consulta e referenciação (CHAUMIER, 1988 apud BARDIN, 2011, p. 51). Para Bardin (2011), a Análise de Conteúdo é organizada em torno de três polos cronológicos:

57 57 1) Pré-análise: é a fase de organização e corresponde a um período de intuições, mas tem como objetivo tornar operacionais e sistematizar as ideias iniciais, de maneira a conduzir a um esquema preciso de desenvolvimento das operações sucessivas, num plano da análise. A primeira fase possui três missões: (a) a escolha do documento; (b) a formulação das hipóteses; e (c) a elaboração dos indicadores que fundamentem a interpretação final (p. 125); 2) Exploração do material: se a pré-análise for concluída, a fase de análise terá aplicação sistemática das decisões tomadas. Podem ser procedimentos aplicados manualmente ou por computador. Esta fase é longa e fastidiosa, consiste em operar a codificação, decomposição ou enumeração, em função de regras previamente reformuladas (p. 131); e 3) Tratamento dos resultados: os resultados brutos são tratados de maneira a serem significativos e válidos. Operações simples ou mais complexas permitem estabelecer quadros de resultados, diagramas, figuras e modelos, que condenam e põem em relevo as informações fornecidas pela análise (p. 131). Com base no tratamento dos resultados, podemos propor as inferências e adiantar interpretações e propósitos dos objetivos previstos ou descobertas inesperadas. Esses resultados, conforme Bardin (2011), podem ser codificados ou categorizados. A codificação corresponde a uma transformação dos dados brutos do texto, transformação esta que, por recorte, agregação e enumeração, permite atingir uma representação do conteúdo ou de sua expressão; suscetível de esclarecer o analista a respeito da característica do texto, que pode servir de índice. (p. 134) A categorização é uma operação de classificação de elementos constitutivos de um conjunto por diferenciação e, em seguida, por reagrupamento, conforme o gênero, com os critérios previamente definidos. As categorias são classes às quais se reúnem um grupo de elementos sob o título genérico, agrupamento esse efetuado em razão das características comuns destes elementos (p. 147). Para propor as inferências, o pesquisador deverá atentar para o mecanismo clássico da comunicação: a mensagem (significação e código) e seu suporte ou canal, o emissor e o receptor. A mensagem é o objeto de análise na Análise de Conteúdo. Esta constitui o material, o ponto de partida e o indicador sem o qual a análise não seria possível (BARDIN, 2011, p. 166). A intenção de qualquer investigação é produzir inferências válidas, baseadas nos dados. É relativamente simples inferir-se do conteúdo as predisposições causais do locutor atitudes, valores, móbiles, etc. mas é difícil prever as comunidades engendradas por estes fatores causais com base em seu conhecimento (NAMENWIRTH, s.d. apud BARDIN, 2011, p. 168).

58 58 Para nossa metodologia de análise das atividades de generalização de padrões nos livros didáticos, acreditamos que a Análise de Conteúdos seja adequada, pois, constitui um bom instrumento de investigação das causas a partir dos efeitos, embora o inverso, predizer os efeitos a partir de fatores conhecidos, ainda não esteja ao alcance de nossa capacidade (BARDIN, 2011, p. 169), isto é, não sabemos se os livros didáticos analisados utilizam as atividades de generalização de padrões para a introdução da linguagem algébrica. De acordo com a Análise de Conteúdo, nossa pesquisa desenvolveu-se com os três pólos cronológicos: A pré-análise desenvolveu-se com o tema generalização de padrões, de acordo com nossas inquietações para introduzir a linguagem algébrica no Ensino Fundamental por meio de leituras relacionadas com tema. Nessa etapa fizemos um levantamento bibliográfico de dissertações, teses e artigos referentes à atividade de generalização de padrão. Fizemos a leitura do PNLD/2011 para encontrarmos os livros que constam do PNLD para posterior análise. Para nossa análise, serão usados os indicadores do pensamento algébrico adaptados por Hamazaki (2010), a partir das ideias de Fiorentini; Miorin; Miguel (1993); Fiorentini; Fernandes; Cristóvão (2005); Sessa (2005) e Ursini et al. (2005). Achamos adequados os indicadores desenvolvidos pelo nosso grupo de pesquisa (GPEA), pois categorizam alguns aspectos do pensamento algébrico que serão base para o desenvolvimento da linguagem algébrica. Para a escolha do material, no nosso caso os livros didáticos, recorremos ao Programa Nacional do Livro Didático de 2011, o mais recente durante o desenvolvimento da nossa pesquisa. O PNLD/2011 selecionou 10 coleções de acordo com os dados do quadro 7 a seguir:

59 59 Quadro 7 Livros de Matemática aprovados no PNLD/2011 anos finais do Ensino Fundamental Coleções 19 Autores Editora 1 Matemática Edwaldo Bianchini Editora Moderna 2 A Conquista da José Ruy Giovanni Jr. Editora FTD Matemática Edição Renovada e Benedicto Castrucci 3 APLICANDO A MATEMÁTICA Alexandre Luís Trovon de Carvalho e Casa Publicadora Brasileira Lourisnei Fortes Reis 4 MATEMÁTICA IDEIAS E DESAFIOS Iracema e Dulce Saraiva Livreiros Editores 5 MATEMÁTICA Luiz Márcio Imenes e Editora Moderna Imenes & Lellis Marcelo Lellis 6 Matemática e realidade Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Antonio Saraiva Livreiros Editores Machado 7 Matemática na Medida José Jakubovic e Editora Scipione Certa Marília Ramos Centurión 8 Projeto RADIX Jackson da Silva Editora Scipione MATEMÁTICA Ribeiro 9 tudo é Matemática Luiz Roberto Dante Editora Ática 10 Vontade de saber MATEMÁTICA Joamir Souza e Patricia Moreno Pataro Fonte: Adaptado de: BRASIL (2010, p. 7) Editora FTD Vale destacar que o nome dos autores faz parte do título de uma das coleções aprovadas no PNLD/2011, MATEMÁTICA Imenes & Lellis. Das dez coleções aprovadas pelo PNLD/2011, quatro coleções foram selecionadas para análise, e as justificativas dessa seleção estão a seguir: MATEMÁTICA - Imenes & Lellis - Imenes e Lellis (2009), 6º e 7º ano EF (adotado na escola que o autor da pesquisa lecionou em 2012); 19 Manteremos os títulos das coleções de acordo com o apresentado nas capas.

60 60 Vontade de saber MATEMÁTICA - Souza e Pataro (2009), 7º ano EF (adotado na escola que o autor da lecionou em 2012); Matemática e realidade - Iezzi, Dolce e Machado (2009), 7º ano EF (adotado na escola que o irmão do autor da pesquisa lecionou em 2013); tudo é Matemática - Dante (2011), 6º ano e 7º ano EF (adotado na escola que um colega do mestrado do autor desta pesquisa lecionava em 2013). Os livros que foram analisados nos 6º e 7º anos do EF devem-se ao fato de que no PNLD/2011 foram citados tópicos de álgebra, desde 6º ano EF, e os outros livros a partir do 7º ano EF, de acordo com o PNLD/2011 só abordam os conteúdos de álgebra a partir do 7º ano EF. No próximo capítulo, desenvolveremos as análises dos livros didáticos selecionados e das atividades selecionadas, de acordo com os critérios estipulados.

61 61 CAPÍTULO V ANÁLISE DO CORPUS DA PESQUISA Neste capítulo, descreveremos a análise dos livros didáticos escolhidos. Inicialmente, serão apresentadas as características expressas no PNLD/2011 que se referem ao estudo da álgebra; em seguida, faremos uma breve apresentação dos sumários, localizando o assunto nos livros e como é proposta a introdução ao estudo da álgebra nesses capítulos. Em seguida, serão selecionadas as atividades de generalização de padrões que serão categorizadas e, por fim, a seleção de algumas atividades e suas respectivas análises. Para as análises das atividades, utilizamos alguns caracterizadores do pensamento algébrico adaptados por Hamazaki (2010) que, em sua pesquisa, teve por base as ideias de Fiorentini; Miorin; Miguel (1993), Fiorentini; Fernandes; Cristóvão (2005) e Ursini et al. (2005), apresentados anteriormente. Realizamos um estudo dos livros didáticos selecionados e mapeamos alguns capítulos que compreendem estudos de assuntos relacionados com álgebra. Selecionamos as atividades de generalização de padrões e categorizamos para nossa análise de acordo com nossa questão de pesquisa: os livros didáticos de Matemática dos 6º e 7º anos do Ensino Fundamental escolhidos no PNLD/2011 introduzem a linguagem algébrica por meio de atividades de generalização de padrões? E como isso ocorre? Nossa hipótese é que os livros usam pouco e que a introdução por meio do estudo das equações por regras de manipulações mecânicas sem sentido pode causar problemas de aprendizagem em álgebra, e as atividades de generalização de padrões vêm se mostrando um caminho interessante para a introdução da linguagem algébrica, conforme apresentado na revisão bibliográfica desta pesquisa. Organizamos o quadro a seguir, para posterior análise das atividades que envolvem generalização de padrões em nossa pesquisa.

62 62 Quadro 8 Capítulos dos livros didáticos relacionados com o estudo da álgebra MATEMÁTICA Imenes & Lellis tudo é Matemática Pelo PNLD/2011, o estudo da álgebra inicia-se no 6º e 7º ano do Ensino Fundamental. 6º ano Capítulo 5 Múltiplos e divisores - apresenta algumas sequências numéricas e geométricas; Capítulo 11 Linguagem matemática - com atividades de expressões numéricas e atividade de generalização com potenciação; e Capítulo 14 Generalizações - propõem atividades de generalização de padrões geométricos e figurais (problema da mesa com amigos sentados). 7º ano Capítulo 3 Padrões numéricos: múltiplos, divisores, possibilidades e padrões - atividades de sequências numéricas, regularidades na potenciação, na divisão e padrões em combinatória com a árvore das possibilidades; Capítulo 11 Usando letras em Matemática - atividades com o uso de fórmulas e padrões geométricos /figurais; e Capítulo 13 Equações - atividades para calcular o valor da incógnita. Vontade de saber MATEMÁTICA Pelo PNLD/2011, o estudo da álgebra inicia-se no 7º ano do Ensino Fundamental. 7º ano Capítulo 6 Expressões algébricas - apresenta atividades com uso de fórmulas, equação do 1º grau e de generalização de padrões geométrico /figurais. Pelo PNLD/2011, o estudo da álgebra inicia-se no 6º e 7º ano do Ensino Fundamental. 6º ano Capítulo 1 Números naturais e sistema de numeração - apresenta algumas atividades de generalização de padrões em sequências numéricas; e Capítulo 2 Operações fundamentais com números naturais - apresenta atividades de regularidades na multiplicação. 7º ano Capítulo 5 Equações do 1º grau com uma incógnita - inicia o estudo da Álgebra de modo tradicional com o estudo da equação do 1º grau. Matemática e realidade Pelo PNLD/2011 o estudo da álgebra inicia-se no 7º ano do Ensino Fundamental. 7º ano Unidade 6 Equações, sistemas e inequações - inicia o estudo da álgebra de modo tradicional com atividades de noções iniciais e, a seguir, com o estudo das equações e resolução de problemas. Fonte: Elaborado pelo pesquisador A seguir, faremos uma pequena descrição da caracterização apresentada no PNLD/2011 de cada livro didático escolhido em relação ao estudo da álgebra, um breve resumo dos sumários dos livros didáticos analisados e uma sucinta análise dos capítulos que iniciam o estudo da álgebra e utilizam atividades de generalização de padrões para introdução da linguagem algébrica MATEMÁTICA - Imenes & Lellis 6º e 7º ano De acordo com o PNLD/2011, o livro didático MATEMÁTICA Imenes & Lellis estimula o aluno a descobrir padrões numéricos e geométricos, desde o 6 ano pela observação de regularidades. Valoriza a tradução em linguagem algébrica

63 63 de expressões na língua materna. No estudo das equações, sistema de equações e problemas, a compreensão é mais valorizada do que a mecanização. A ideia de função é trabalhada, desde o 6 ano com ideias de dependência e de variação entre grandezas. Figura 2 Percentual do livro didático MATEMÁTICA - Imenes & Lellis Fonte: BRASIL (2010, p. 61). No 7º ano, a iniciação do estudo da álgebra é proposta com padrões numéricos, a letra para traduzir ideias e o estudo da equação. apresentaremos seus sumários: 6º ano do Ensino Fundamental Capítulo 1. Um panorama da Matemática Capítulo 2. Formas tridimensionais Capítulo 3. Operações fundamentais Capítulo 4. Formas planas Capítulo 5. Múltiplos e divisores Capítulo 6. Frações e porcentagens Capítulo 7. Construções geométricas Capítulo 8. Medidas e números decimais Capítulo 9. Operações com números decimais Capítulo 10. Estatística Capítulo 11. Linguagem matemática Capítulo 12. Áreas e perímetros Capítulo 13. Simetria Capítulo 14. Generalizações Capítulo 15. Adição e subtração de frações A seguir, Fonte: Imenes & Lellis (2009, p. 8-9).

64 64 7º ano do Ensino Fundamental Capítulo 1. Sistema de numeração Capítulo 2. Construções geométricas Capítulo 3. Padrões numéricos Capítulo 4. Operações com números fracionários Capítulo 5. Medidas Capítulo 6. Números negativos e contabilidade Capítulo 7. Proporcionalidade Capítulo 8. Geometria: do espaço para o plano Capítulo 9. Tratamento da informação Capítulo 10. Multiplicação e divisão de números com sinais Capítulo 11. Usando letras em Matemática Capítulo 12. Perímetro, áreas e volumes Capítulo 13. Equações Fonte: Imenes & Lellis (2009, p. 8-10). Os Capítulos 5, 11 e 14 do livro didático do 6º ano estão relacionados com o estudo da álgebra. A introdução da linguagem algébrica é proposta com a atividade de observação de sequências numéricas e geométricas, regras de divisibilidade e divisores de um número (Capítulo 5), padrões em expressões numéricas, regularidades na potenciação (Capítulo 11), na multiplicação e problemas de generalização figurais atividade dos amigos sentados à mesa, por exemplo, que analisaremos posteriormente (Capítulo 14). No final do livro, há a apresentação de um dicionário de termos matemáticos, definindo a palavra padrão : Característica comum a um certo grupo de objetos, que pode ser formado por figuras, sequências de números, etc. A palavra padrão é usada muitas vezes com um sentido bastante amplo. Na sequência 0, 2, 4, 6, 8,..., um padrão é cada número, tem duas unidades a mais que o anterior (IMENES; LELLIS, 2009, p. 319). Os Capítulos 3, 11 e 13 do 7º ano estão relacionados com o estudo da álgebra. Iniciam-se com atividades de sequências numéricas, regularidades na multiplicação, potenciação e na divisão, possibilidades e padrões (Capítulo 3). Há as introduções da linguagem algébrica por meio da comunicação de ideias, introdução do conceito de função por meio de relação entre duas grandezas. Também são propostos problemas de generalização geométrica e figurais, cálculo com letras (Capítulo 11), adivinhações numéricas, resolução de equação do 1º grau e resolução de problemas.

65 tudo é Matemática 6º e 7º ano De acordo com o PNLD/201,1 o livro didático tudo é Matemática introduz o raciocínio algébrico, desde o 6º ano por meio de atividades de generalização de padrões. São apresentadas diferentes representações e estratégias de resolução no estudo das equações. As letras são usadas para expressar as generalizações das propriedades operatórias, para representar números desconhecidos em equações e sistemas de equações ou intervalos numéricos nas inequações. O estudo das expressões algébricas é feito por meio da passagem da língua materna para a língua algébrica. Figura 3 Percentual do livro didático tudo é Matemática Fonte: BRASIL (2010, p. 85). No 7º ano, a iniciação do ensino da álgebra é proposta pelo estudo das equações, como no Capítulo 5. A seguir, apresentaremos seus sumários: 6º ano do Ensino Fundamental Capítulo 1. Números naturais e sistema de numeração Capítulo 2. Operações fundamentais com números naturais Capítulo 3. Potenciação, raiz quadrada e expressões numéricas. Capítulo 4. Geometria: sólidos geométricos, regiões planas e contornos. Capítulo 5. Divisores e múltiplos de números naturais Capítulo 6. Frações e porcentagens Capítulo 7. Números decimais Capítulo 8. Geometria: ângulos, polígonos e circunferências Capítulo 9. Grandezas e medidas

66 66 Capítulo 10. Perímetros, áreas e volumes Fonte: Dante (2011, p. 4-7). 7º ano do Ensino Fundamental Capítulo 1. Revendo o que aprendemos Capítulo 2. Números inteiros Capítulo 3. Números racionais Capítulo 4. Geometria: sólidos geométricos, regiões planas e contornos Capítulo 5. Equações do 1º grau com uma incógnita Capítulo 6. Equações do 1º grau com duas incógnitas inequações do 1º grau com uma incógnita sistemas Capítulo 7. Geometria: ângulos e polígonos Capítulo 8. Proporcionalidade Capítulo 9. Matemática financeira: regra de sociedade, juros simples e juros compostos Capítulo 10. Circunferências e construções geométricas Fonte: Dante (2011, p. 4-7). Os Capítulos 1 e 2 do 6º ano estão relacionados com o estudo da álgebra e são iniciados com atividades de observação de padrões em sequências numéricas e geométricas números pares, ímpares, quadrados perfeitos e triangulares (Capítulo 1) e regularidades na multiplicação (Capítulo 2). Os Capítulos 5 e 6 do 7º ano do Ensino Fundamental estão relacionados com o estudo da Álgebra e são iniciados com as seguintes atividades: valor numérico em expressões algébricas; linguagem materna/algébrica; propriedades da equação; resolução de equações de diversos modos; resolução de problemas do 1º grau com uma incógnita; métodos de resolução de equação do 1º grau com duas incógnitas; resolução de inequação do 1º grau com uma incógnita e resolução de sistemas de inequação com duas incógnitas Vontade de saber MATEMÁTICA 7º ano De acordo com o PNLD/2011, o estudo da álgebra é iniciado no 7 ano com a introdução da linguagem algébrica. Todos os conteúdos relevantes ao estudo da álgebra estão presentes nesta coleção, embora explorados efetivamente nos 8 e 9 anos do EF. O conceito de função é proposto por meio de exemplos que relacionam quantidades.

67 67 Figura 4 Percentual do livro didático Vontade de saber MATEMÁTICA Fonte: BRASIL (2010, p.93) A introdução da linguagem algébrica é proposta no 7º ano com atividades de diversos tipos: uso de fórmulas, padrões figurais, equação do 1º grau e resolução de problemas do 1º grau. A seguir, apresentaremos seu sumário: 7º ano do Ensino Fundamental Capítulo 1. Frações Capítulo 2. Números decimais Capítulo 3. Formas geométricas espaciais Capítulo 4. Números positivos e números negativos Capítulo 5. Tratamento da informação Capítulo 6. Expressões algébricas, fórmulas e equações Capítulo 7. Grandeza e unidades de medida Capítulo 8. Ângulos Capítulo 9. Polígonos Capítulo 10. Proporcionalidade Capítulo 11. Transformações de figuras Capítulo 12. Medidas de volume Capítulo 13. Simetria Fonte: Souza e Pataro (2009, p. 4-6) O Capítulo 6 está relacionado com o estudo da álgebra. São propostas atividades envolvendo expressões algébricas: padrões, funções em problemas e algumas operações algébricas entre polinômios; fórmulas prontas são propostas em problemas; equações são propostas com atividades de nomenclatura (membros e incógnita) e resolução por meio de operações inversas e balança de dois pratos.

68 Matemática e realidade 7º ano De acordo com o PNLD/2011, a linguagem algébrica é iniciada com a tradução de expressões da língua materna em símbolos no 7 ano. As noções de variável, de expressão algébrica e de valor numérico são estudadas, bem como as representações geométricas das expressões algébricas. As equações são estudadas, como ferramenta para a descoberta de número desconhecido. A ideia de função é estudada por meio de tabelas, fórmulas e gráficos, mas privilegia-se o domínio das técnicas algébricas, adquiridas pela realização de técnicas repetitivas. Figura 5 Percentual do livro didático Matemática e realidade Fonte: BRASIL (2010, p. 67) O início do estudo da álgebra é proposto por atividades com o uso da linguagem algébrica e, em seguida, o estudo da equação do 1º grau. A seguir, apresentaremos seu sumário: 7º ano do Ensino Fundamental Unidade 1. Números inteiros: Números positivos e números negativos; os números inteiros; adição; subtração; multiplicação; divisão; potenciação; Unidade 2. Geometria - ângulos e retas: ângulo, classificação e relação entre ângulos; posições relativas de duas retas; Unidade 3. Números racionais: os números racionais; representação geométrica; adição e subtração; multiplicação; divisão; média aritmética e porcentagem; Unidade 4. Potenciação e radiciação: potência de expoente natural; potência de expoente negativo; raiz quadrada aritmética; Unidade 5. Geometria - áreas: distâncias e áreas; Unidade 6. Equações, sistemas e inequações: noções iniciais de álgebra; equações; resolução de problemas; sistemas; inequações;

69 69 Unidade 7: Aritmética aplicada: razões; proporções; grandezas proporcionais; juros simples; e Unidade 8: Estatística: gráficos. Fonte: Iezzi, Dolce, Machado (2009, p. 5-8) A Unidade 6 está relacionada com o estudo da álgebra, são propostas atividades para introdução da linguagem algébrica, valores numéricos em expressões algébricas, monômios, termos semelhantes e polinômios, estudo da equação pelos métodos de resolução, resolução de problemas e de resolução de sistemas lineares. É importante ressaltar que no livro de 7º ano desta coleção não encontramos atividades de generalização de padrões para a introdução à linguagem algébrica Análises das atividades selecionadas Para iniciarmos nossas análises, fizemos uma procura detalhada nos livros selecionados de atividades propostas pelos autores que estavam relacionadas com a generalização de padrões, foram encontradas 85 atividades. Diante dessas atividades, criamos critérios, de acordo com os dados do Quadro 2 apresentado na página 25, para classificar e organizar nossa análise. O critério utilizado para classificação das atividades foi: Critério 1 (C.1): atividades que recorram às figuras em seus enunciados, classificamos como padrões figurais; Critério 2 (C.2): atividades que recorram às sequências numéricas, classificamos como padrões numéricos; Critério 3 (C.3): atividades que recorram a padrões em operações numéricas, classificamos como padrões em operações; e Critério 4 (C.4): atividades que recorram à ideia de relação entre duas grandezas, classificamos como função. A seguir, apresentaremos uma tabela mostrando a distribuição das atividades selecionadas em cada livro e o total nos livros analisados.

70 70 Tabela 1 Quantidade de atividades selecionadas Coleções C.1 C.2 C.3 C.4 Total MATEMÁTICA Imenes & Lellis 6 ano MATEMÁTICA Imenes & Lellis 7 ano tudo é Matemática 6 ano tudo é Matemática 7 ano Vontade de saber MATEMÁTICA 7 ano Matemática e realidade 7 ano Total Fonte: Tabela desenvolvida pelo autor Com base nos dados da tabela verificamos que só duas coleções utilizam os padrões figurais (C.1) nas atividades selecionadas. Das 32 atividades desta categoria selecionadas, 29 estão em uma coleção, mostrando que, das quatro coleções analisadas, uma delas concentra a maior parte das atividades envolvendo padrões figurais. Os padrões numéricos (C.2) aparecem em três coleções, mas, o número de atividades desta categoria é menor que o número de atividades da categoria (C.1). Das 21 atividades selecionadas, 13 estão em uma mesma coleção, sobretudo no 6º ano. Os padrões em operações (C.3) são utilizados em duas coleções e das 13 atividades selecionadas, 12 estão em uma única coleção. As atividades que dão a ideia de função (C.4), aparecem em três coleções e o número de atividades desta categoria é maior que o de (C.3), mas menor que os de (C.1) e (C.2). Notamos que em uma das coleções não apareceu nenhum tipo de exercício de generalização de padrões, que é nosso tema de pesquisa. Para nossas análises, iremos selecionar duas atividades de cada categoria criada. A análise será feita de acordo com os modos de resolução desenvolvidos pelos autores, utilizando os indicadores do pensamento algébrico adaptados por Hamazaki (2010) de acordo com as ideias de Fiorentini; Miorin; Miguel (1993); Fiorentini; Fernandes; Cristóvão (2005) e Ursini et al. (2005). Também serão analisadas duas atividades que classificamos como diferenciadas em sua abordagem de resolução. Nossas interpretações e resoluções das atividades não são únicas e, portanto, outros pesquisadores podem analisar estas mesmas atividades de modo diferente.

71 Atividades relacionadas com padrões figurais (C.1) As atividades com padrões figurais são aquelas que utilizam figuras, no sentido do termo figural para se referir aos objetos (ou desenhos) que possuem atributos ou possuem relações entre eles (RIVIERA; BECKER, 2005 apud VALE, 2012, p. 187). Essa definição foi utilizada como critério (C.1) para classificar 32 atividades de generalização de padrões figurais, destas atividades analisaremos duas que tenham características de resolução semelhantes às demais atividades, que julgamos interessantes e que atendem aos propósitos desta pesquisa. Escolhemos uma atividade no livro didático MATEMÁTICA Imenes & Lellis que de acordo com o PNLD/2011, utiliza atividades de generalização de padrões para a introdução da linguagem algébrica. Selecionamos esta atividade por ser proposta com base em um contexto que pode facilitar o entendimento do aluno. Figura 6 Atividade 1 (6º ano EF) Fonte: Imenes & Lellis (2009, p.244) Resolução 1 De acordo com a figura apresentada no enunciado da atividade: 1 mesa acomoda 6 pessoas. 2 mesas acomodam 10 pessoas (nota-se que aumentaram 4 pessoas). a) Se 2 mesas acomodam 10 pessoas então, para 3 mesas aumentarão 4 pessoas, totalizando 14 pessoas.

72 72 Se 3 mesas acomodam 14 pessoas, então, para 4 mesas aumentarão 4 pessoas, totalizando 18 pessoas. b) Para 27 mesas, temos que a 1ª mesa acomoda 6 pessoas e que cada mesa acrescentada acomoda mais 4 pessoas, portanto, = = 110 pessoas. Resolução 2 A cada mesa acrescentada acomodam-se mais 4 pessoas. Comparando a sequência numérica da quantidade de pessoas acomodadas nas mesas com a sequência dos múltiplos de 4, percebemos que o número de pessoas que se acomodam nas mesas é um múltiplo de 4 acrescido de 2 unidades, portanto, o número de pessoas que se acomodam nas mesas é sempre um múltiplo de 4 acrescido de 2 unidades. a) 3 mesas = = 14 Para 3 mesas, acomodam-se 14 pessoas. 4 mesas = = 18 Para 4 mesas, acomodam-se 18 pessoas. b) 27 mesas = = 110 Para 27 mesas, acomodam-se 110 pessoas. Resolução 3 Utilizando a mesma ideia da resolução 2 e utilizando a linguagem algébrica para expressar esta ideia temos P = 4m + 2, em que P representa o total de pessoas acomodadas e m o número de mesas (m 1). a) Para 3 mesas m = 3 P = P = P = 14 Se m = 3 mesas, então, P = 14 pessoas.

73 73 Para 4 mesas m = 4 P = P = P = 18 Se m = 4 mesas, então, P = 18 pessoas. b) Para 27 mesas m = 27 P = P = P = 110 pessoas Se m = 27 mesas, então, P = 110 pessoas. De acordo com nossas análises, a resolução 1 favorece o desenvolvimento do pensamento algébrico, de acordo com os indicadores: 1. Perceba e tente expressar relações entre representações numéricas pertinentes a uma situação-problema em um modelo aritmético/algébrico ou geométrico. O aluno poderá perceber o padrão, mesas e pessoas acomodadas, e tentar expressar a atividade em um modelo aritmético ou algébrico; 7. Desenvolver algum tipo de processo de generalização. O aluno poderá perceber a relação entre o número de mesas e o número de pessoas acomodadas e generalizar para uma maior quantidade de mesas; e 8. Perceber e tentar expressar regularidades ou invariâncias. O aluno poderá perceber que a quantidade de pessoas que senta nas pontas das mesas não varia e que a quantidade de pessoas sentadas nas laterais de duas em duas em cada lado das mesas varia; De acordo com nossas análises, a resolução 2 contempla os seguintes indicadores do desenvolvimento do pensamento algébrico: 2. Estabeleça relações/comparações entre expressões numéricas ou entre medidas. O aluno poderá relacionar a sequência dos múltiplos de 4 com a sequência da quantidade de pessoas acomodadas, dependendo da quantidade de mesas; 9. Perceba a relação de dependência das variáveis. O aluno poderá perceber a relação entre o número de mesas e a quantidade de pessoas acomodadas;

74 Perceba o uso da variável como incógnita. O aluno poderá calcular a quantidade de pessoas (incógnita) acomodadas, de acordo com a quantidade de mesas; e 12. Perceba o uso da variável como relação funcional. O aluno poderá relacionar o número de pessoas com a quantidade de mesa. De acordo com nossas análises, a resolução 3 contempla os seguintes indicadores do desenvolvimento do pensamento algébrico: 1. Perceba e tente expressar relações entre representações numéricas pertinentes a uma situação-problema em um modelo aritmético/algébrico ou geométrico. O aluno poderá perceber o padrão, o número de mesas e de pessoas acomodadas e tentar expressá-las, utilizando a linguagem algébrica P = 4m + 2, sendo P o número de pessoas acomodadas e m o número de mesas; e 13. Desenvolva ou crie uma linguagem mais concisa ao expressar uma sentença ou expressão matemática. O aluno poderá desenvolver uma linguagem mais concisa, a linguagem algébrica, para expressar suas ideias. De acordo com nossa análise, esta atividade contempla oito indicadores do pensamento algébrico: 1, 2, 7, 8, 9, 10, 12 e 13. Notamos que, nesta atividade, não foi proposto para cálculo a quantidade de mesa, de acordo com a quantidade de pessoas que deveria ser acomodada. A próxima atividade que escolhemos está no livro Vontade de saber MATEMÁTICA, de acordo com o PNLD/2011 que introduz a linguagem algébrica desde 7º ano, mas todos os conteúdos relevantes do estudo da álgebra são explorados nos 8º e 9º anos do EF. Escolhemos esta de relacionar a posição do quadro com a quantidade de bolinhas, pois é muito utilizada na generalização de padrões.

75 75 Figura 7 Atividade 2 (7º ano EF) Fonte: Souza e Pataro (2009, p. 147) Resolução 1 De acordo com a figura, o quadro 1 tem 1 bolinha; o quadro 2, 4 bolinhas; o quadro 3, 7 bolinhas; o quadro 4, 10 bolinhas e o quadro 5, 13 bolinhas. Observamos que aumentam três bolinhas entre quadros consecutivos. a) Para o quadro 6, é só acrescentar 3 bolinhas com as 13 bolinhas do quadro 5, portanto, 16 bolinhas. Para o quadro 7, de modo análogo acrescentamos 3 bolinhas nas 16 bolinhas do quadro 6, portanto, 19 bolinhas. b) Escolhemos o quadro 1 (n = 1) para calcular a quantidade de bolinhas e verificamos se a quantidade calculada está de acordo com a figura, temos: I) 3n = 3.1 = 3 (não satisfaz) II) 3n + 1 = = 4 (não satisfaz) III) 3n - 1 = = 2 (não satisfaz)

76 76 IV) 3n 2 = = 1 (satisfaz) V) 3n + 2 = = 5 (não satisfaz) Portanto, a expressão (IV) 3n 2 representa a relação entre o número do quadro e a quantidade de bolinhas. c) Para o quadro 9 n = = 25 Portanto, 25 bolinhas. Para o quadro 15, n = = 43 Portanto, 43 bolinhas. Resolução 2 A cada número de quadro consecutivo acrescentamos 3 bolinhas, assim teremos: 1, 4, 7, 10, 13,... portanto, a quantidade de bolinhas é múltiplo de 3 diminuído 2 unidades, comparando a sequência numérica da quantidade de bolinhas com a sequência dos múltiplos de 3 percebemos que os elementos dessa sequência têm duas unidades a menos que os múltiplos de 3. Expressando essa ideia em linguagem algébrica temos: B = 3n 2, em que B é a quantidade de bolinhas e n é o número do quadro. a) Quadro 6 n = 6 B = 3.6 2

77 77 B = 16 Quadro 7 n = 7 B = B = 19 b) De acordo com a expressão desenvolvida no item anterior, a expressão que relaciona é (IV) 3n 2. c) Utilizando a equação (IV), temos: n = 9 B = B = 25 Resposta: 25 bolinhas. n = 15 B = B = 43 Resposta: 43 bolinhas. De acordo com nossas análises, a resolução 1 favorece o desenvolvimento do pensamento algébrico, de acordo com os indicadores: 1. Perceba e tente expressar relações entre representações numéricas pertinentes a uma situação-problema em um modelo aritmético/algébrico ou geométrico. O aluno poderá perceber que existe uma relação entre a quantidade de bolinhas e a posição do quadro (modelo aritmético); 7. Desenvolva algum tipo de processo de generalização. O aluno poderá desenvolver um processo de generalização, quando verificar que a quantidade de bolinhas aumenta de 3 em 3; 8. Perceba e tente expressar regularidades ou invariâncias. O aluno poderá perceber a regularidade (aumenta de 3 em 3) e tentar expressar suas ideias em língua materna;

78 78 9. Perceba a relação de dependência das variáveis. O aluno poderá perceber que a quantidade de bolinha depende do número do quadro; e 12. Perceba o uso da variável como relação funcional. O aluno poderá perceber que existe uma relação funcional entre a posição do quadro e a quantidade de bolinhas. De acordo com nossas análises, a resolução 2 favorece o desenvolvimento do pensamento algébrico, de acordo com os indicadores: 1. Perceba e tente expressar relações entre representações numéricas pertinentes a uma situação-problema em um modelo aritmético/algébrico ou geométrico. O aluno poderá perceber que existe relação entre a posição do quadro e a quantidade de bolinhas e tentar se expressar, utilizando um modelo algébrico; 7. Desenvolva algum tipo de processo de generalização. O aluno poderá desenvolver um processo de generalização para a resolução da atividade proposta; 8. Perceba e tente expressar regularidades ou invariâncias. O aluno poderá perceber a regularidade (aumenta de 3 em 3) e tentar expressar em linguagem simbólica; 9. Perceba a relação de dependência das variáveis. O aluno poderá perceber a relação de dependência entre o número do quadro e a quantidade de bolinhas; 10. Perceba o uso da variável como incógnita. O aluno poderá calcular a quantidade de bolinhas (incógnita) nos quadros 6, 7, 9 e 15; 11. Perceba o uso da variável como número geral. O aluno poderá perceber que a quantidade de bolinha poderá ser expressa por 3n 2, sendo n o número do quadro, e essa expressão representa um número geral; 12. Perceba o uso da variável como relação funcional. O aluno poderá perceber que existe uma relação entre a quantidade de bolinhas e o número do quadro; e 13. Desenvolva ou crie uma linguagem mais concisa ao expressar uma sentença ou expressão matemática. O aluno poderá desenvolver uma linguagem simbólica para representar suas ideias de generalização da atividade proposta.

79 79 De acordo com nossa análise, tendo por base os modos de resolução, esta atividade contempla oito indicadores do pensamento algébrico: 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12 e 13. Notamos que, nesta atividade não foi proposto o cálculo do número do quadro, de acordo com a quantidade de bolinhas, para que o aluno pudesse perceber que as variáveis relacionam-se e que é possível calcular o número do quadro, de acordo com a quantidade de bolinhas Atividades relacionadas com padrões numéricos (C.2) As sequências numéricas são sequências na qual os elementos matemáticos são números (FROBISHER et al.,1999 apud BARBOSA, 2009, p. 47). Essa definição foi utilizada como critério (C.2) para classificarmos 21 atividades de sequências numéricas, destas analisaremos duas que tenham características de resoluções diferentes, que julgamos interessantes e que atendem aos propósitos da presente pesquisa. Escolhemos esta atividade no livro didático MATEMÁTICA Imenes & Lellis, que de acordo com o PNLD/2011, este utiliza atividades de generalização de padrões para a introdução da linguagem algébrica desde o 6º ano. A atividade foi selecionada, porque utiliza sequências numéricas para o aluno observar e tentar perceber o padrão de formação de cada sequência. Figura 8 Transcrição da atividade 3 (6º ano EF) 17. Escreva uma regra de formação de cada sequência: a) 0, 12, 24, 36,... b) 3, 15, 27, 39,... c) 0, 11, 22, 33,... d) 4, 15, 26, 37,... Fonte: Imenes & Lellis (2009, p.102)

80 80 Resolução 1 a) Observando os números desta sequência, percebemos que todos são múltiplos de 12. Assim, podemos expressar essa regra de formação em língua materna: múltiplos de 12. b) Observando os números desta sequência, percebemos que aumentam de 12 em 12, portanto, os incrementos são múltiplos de 12, comparando com a sequência do item (a), percebemos que os elementos desta sequência possuem 3 unidades a mais, portanto, os múltiplos de 12 mais 3 unidades. c) Observando os números desta sequência, percebemos que todos são múltiplos de 11. Assim podemos expressar a regra de formação da sequência como múltiplos de 11. d) Observando os números desta sequência, percebemos que aumentam de 11 em 11, portanto, os incrementos são múltiplos de 11, comparando com a sequência do item (c), percebemos que os elementos desta sequência possuem 4 unidades a mais, portanto, os múltiplos de 11 mais 4 unidades. Resolução 2 Utilizando as ideias da resolução 1 e expressando em linguagem algébrica temos: a) 12n, com n ϵ N. b) 12n + 3, com n ϵ N. c) 11n, com n ϵ N. d) 11n + 4, com n ϵ N. De acordo com nossas análises, a resolução 1 favorece o desenvolvimento do pensamento algébrico, de acordo com os indicadores: 1. Perceba e tente expressar relações entre representações numéricas pertinentes a uma situação-problema em um modelo aritmético/algébrico ou geométrico. O aluno poderá perceber que os números das sequências apresentadas são múltiplos de 11 e de 12 e conforme a resolução, expressar essa relação em língua materna;

81 81 7. Desenvolva algum tipo de processo de generalização. O aluno poderá desenvolver um processo de generalização para expressar a ideia de múltiplos de 11 e de 12; 8. Perceba e tente expressar regularidades ou invariâncias. O aluno poderá expressar essa regularidade por meio da língua materna. 9. Perceba a relação de dependência das variáveis. O aluno poderá perceber a relação entre a posição e o número; e 12. Perceba o uso da variável como relação funcional; o aluno poderá perceber que a posição ocupada está relacionada como o número. De acordo com nossas análises, a resolução 2 favorece o desenvolvimento do pensamento algébrico, de acordo com os indicadores: 7. Desenvolva algum tipo de processo de generalização. O aluno poderá desenvolver o processo de generalização, utilizando a linguagem algébrica para expressar suas ideias; 8. Perceba e tente expressar regularidades ou invariâncias. O aluno poderá perceber e expressar a regra de formação de cada sequência numérica, utilizando a linguagem algébrica; 9. Perceba a relação de dependência das variáveis. O aluno poderá perceber a relação entre as variáveis (número e posição) na formação de cada sequência; 11. Perceba o uso da variável como número geral. O aluno poderá perceber e representar o padrão em linguagem algébrica, por exemplo: 11n + 4, com n ϵ N. 12. Perceba o uso da variável como relação funcional. O aluno poderá perceber que os números da sequência possuem uma relação, de acordo com a posição que ocupa; e 13. Desenvolva ou crie uma linguagem mais concisa ao expressar uma sentença ou expressão matemática. O aluno poderá desenvolver uma linguagem simbólica para expressar sua ideia.

82 82 De acordo com nossa análise, esta atividade contempla sete indicadores do pensamento algébrico: 1, 7, 8, 9, 11, 12 e 13. A próxima atividade que escolhemos está no livro tudo é Matemática que, de acordo com o PNLD/2011, introduz o raciocínio algébrico, desde o 6º ano por meio das atividades de generalizações de padrões. Escolhemos esta atividade de sequência numérica, pois é um tipo de atividade que poderá desenvolver nos alunos a observação de regularidade para completar os últimos elementos de cada sequência. Figura 9 Atividade 4 (6º ano EF) Fonte: Dante (2011, p. 15) Resolução 1 a) Observando os números desta sequência percebemos que diminuem de 4 em 4, começando pelo número 27 e que os dois últimos números da sequência são 7 e 3. b) Observamos que a quantidade de números está relacionada com seu valor; por exemplo: o número 1 aparece uma vez, o número 2 aparece duas vezes e que os sete últimos números são 4, 4, 5, 5, 5, 5 e 5. c) Observamos que o sucessor de dois números da sequência é a soma dos dois anteriores (Sequência de Fibonacci) e que os cincos últimos números são 21, 34, 55, 89 e 144.

83 83 d) Observamos que o sucessor de três números da sequência é a soma dos três números anteriores e que os três últimos números são 31, 57 e 105. e) Observamos que a sequência de números é constituída pelos resultados das potências de base 2 com expoente natural, por exemplo 2 0 =1, 2¹ = 2, 2² = 4 e que os dois últimos números da sequência são 32 e 64. f) Observamos que a sequência numérica tem dois padrões: os números ímpares nas posições ímpares e os múltiplos de quatro nas posições pares e que os quatro últimos números são 16, 9, 20 e 11. Resolução 2 a) De acordo com a sequência numérica, a cada número consecutivo, percebemos que diminuem 4 unidades começando pelo número 27, expressando essa ideia em linguagem simbólica temos: 27 4n, sendo n a posição de cada número e com n ϵ N. n = = 7 n = = 3 Portanto, os dois últimos números da sequência são: 7 e 3. b) de acordo com a sequência numérica, a quantidade de números está, de acordo com o valor do número. Portanto, para 1, temos 1; para 2 temos 2 e 2; para 3 termos 3, 3 e 3; para 4 temos 4, 4, 4 e 4; assim por diante. c) de acordo a sequência numérica, o sucessor de dois números da sequência é a soma dos dois anteriores, então, temos: 1; 1; = 2; = 3; = 5; = 8; = 13; = 21; = 34; = 55; = 89 e = 144 (Sequência de Fibonacci).

84 84 d) de acordo a sequência numérica, o sucessor de dois números da sequência é a soma dos três anteriores, dai, temos: 1; 1; 1; = 3; = 5; = 9; = 17; = 31; = 57 e = 105. e) a sequência de números é constituída pelos resultados das potências de base 2 com expoente natural, expressando em linguagem simbólica, temos 2 n, com n ϵ N. n = 5 2 n = 2 5 = 32 n = 6 2 n = 2 6 = 64 f) a sequência numérica tem dois padrões intercalados: os números ímpares nas posições ímpares, e os múltiplos de quatro nas posições pares. Posições pares 4n, com n ϵ N Para n = 4, temos 4. 4 = 16 Para n = 5, temos 4. 5 = 20 Posições ímpares 2n 1, com n ϵ N* Para n = 5, temos = 9 Para n = 6, temos = 11 Portanto, os quatro últimos números da sequência são: 16, 9, 20 e 11. De acordo com nossas análises, a resolução 1 favorece o desenvolvimento do pensamento algébrico, de acordo com os indicadores:

85 85 1. Perceba e tente expressar relações entre representações numéricas pertinentes a uma situação-problema em um modelo aritmético/algébrico ou geométrico. O aluno poderá perceber as sequências numéricas e expressar suas relações completando os termos solicitados; 7. Desenvolver algum tipo de processo de generalização. O aluno poderá perceber a disposição dos números das sequências e associar a um padrão de regularidade; e 8. Perceber e tentar expressar regularidades ou invariâncias; o aluno poderá expressar suas ideias, observando os padrões de formações em cada sequência. De acordo com nossas análises, a resolução 2 favorece o desenvolvimento do pensamento algébrico, de acordo com os indicadores: 1. Perceba e tente expressar relações entre representações numéricas pertinentes a uma situação-problema em um modelo aritmético/algébrico ou geométrico. O aluno poderá perceber as sequências numéricas e expressar suas relações por meio de um modelo algébrico para completar os termos solicitados; 7. Desenvolver algum tipo de processo de generalização. O aluno poderá perceber a disposição dos números das sequências e associar a um padrão de regularidade para determinar os termos solicitados; 8. Perceber e tentar expressar regularidades ou invariâncias. O aluno poderá perceber as regularidades e invariâncias nas sequências e tentar expressar suas ideias; 9. Perceba a relação de dependência das variáveis. O aluno poderá perceber a relação entre a posição e o número; 10. Perceber o uso da variável como incógnita. O aluno poderá perceber a relação entre a posição e o número, expressar suas ideias em linguagem simbólica e calcular o valor da incógnita na expressão algébrica; 11. Perceba o uso da variável como número geral. O aluno poderá perceber o padrão em cada sequência e expressar sua ideia na linguagem algébrica, como por

86 86 exemplo: 27 4n, com n ϵ N, expressão algébrica que representa um número geral; 12. Perceba o uso da variável como uma relação funcional. O aluno poderá perceber que números das sequências possuem uma relação com a posição que ocupam, caracterizando uma relação funcional; e 13. Desenvolva ou crie uma linguagem mais concisa ao expressar uma sentença ou expressão matemática. O aluno poderá desenvolver ou criar uma linguagem mais concisa, (linguagem algébrica, por exemplo) para expressar a regularidade e descobrir os termos solicitados. De acordo com nossa análise, esta atividade contempla oito indicadores do pensamento algébrico: 1, 7, 8, 9,10, 11, 12 e Atividades relacionadas com padrões em operações (C.3) As atividades relacionadas com padrões de operações são aquelas nas quais, quando efetuamos uma determinada operação, observamos um padrão: por exemplo, os divisores ou múltiplos de 5 possuem um padrão no algarismo da unidade (0 ou 5). Esta definição foi utilizada como critério (C.3) para classificar 13 atividades de padrões em operações; destas atividades, analisaremos duas que tenham características de resoluções diferentes, que julgamos interessantes e que atendem aos propósitos desta pesquisa. Escolhemos esta atividade no livro didático MATEMÁTICA Imenes & Lellis, porque ela utiliza padrões em operações, neste caso, potenciação, para o aluno observar e tentar perceber o padrão no algarismo da unidade:

87 87 Figura 10 Atividade 5 (7º ano EF) Fonte: Imenes & Lellis (2009, p. 55) Resolução a) Os algarismos das unidades aparecem da seguinte forma: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, 3,..., percebemos que é uma sequência numérica que sempre repete os algarismos 3, 9, 7 e 1, notamos que falta a potência 3 0 = 1, portanto, o padrão das unidades das potências de base 3 será sempre 3, 9, 7 e 1 (padrão de repetição). b) Como foi observado no item anterior, os algarismos da unidade da potência de 3 obedecem ao padrão de repetição 3, 9, 7 e 1 (de 4 em 4), para a potência , dividiremos o expoente por 4 para sabermos quantos blocos de 4 contêm o expoente 2000 (2000/4 = 500 blocos) e concluímos que são 500 blocos exatos e que a unidade da potência é 1. De acordo com nossas análises, a resolução favorece o desenvolvimento do pensamento algébrico, de acordo com os indicadores: 1. Perceba e tente expressar relações entre representações numéricas pertinentes a uma situação-problema em um modelo aritmético/algébrico ou

88 88 geométrico. O aluno poderá perceber que os algarismos das unidades obedecem a um padrão de repetição; 7. Desenvolver algum tipo de processo de generalização. O aluno deverá perceber que a cada sequência de 4 algarismos da unidade, a sequência volta a se repetir; e 8. Perceber e tentar expressar regularidades ou invariâncias. O aluno deverá expressar o padrão repetição que as unidades da potência de 3 obedecem. De acordo com nossa análise, baseada nos modos de resolução, esta atividade contempla três indicadores do pensamento algébrico: 1, 7 e 8. Escolhemos esta atividade no livro didático tudo é Matemática, porque ela utiliza padrões em operações, neste caso, multiplicação, para o aluno observar e tentar perceber o padrão nos algarismos: Figura 11 Transcrição da atividade 6 (7º ano EF) 50. REGULARIDADES Copie, análise e complete com os números que estão faltando, sem multiplicar. a) 1 x 1 = 1 11 x 11 = x 111 = x 1111 = x = x = b) 3 x 37 = x 37 = x 37 = x 37 = x = x = Fonte: Dante (2011, p. 55) Resolução a) de acordo com a sequência de resultados: x = e de modo análogo x = b) de acordo com as colunas: os primeiros fatores estão aumentando de 3 em 3, portanto, 3, 6, 9, 12, 15 e 18, todos os segundos fatores são iguais a 37, e os produtos são formados por um número de três algarismos repetidos, portanto, 111,

89 89 222, 333, 444, 555 e 666. Assim, a tabela: 12 x 37 = 444; 15 x 37 = 555 e 18 x 37 = 666. De acordo com nossas análises, a resolução favorece o desenvolvimento do pensamento algébrico, de acordo com os indicadores: 1. Perceba e tente expressar relações entre representações numéricas pertinentes a uma situação-problema em um modelo aritmético/algébrico ou geométrico. O aluno poderá perceber e tentar expressar as regularidades da multiplicação por meio de um modelo aritmético; 7. Desenvolva algum tipo de processo de generalização. O aluno poderá desenvolver um processo de generalização na multiplicação, de acordo a disposição dos fatores e dos produtos; 8. Perceba e tente expressar regularidades ou invariâncias. O aluno poderá perceber e tentar expressar a regularidade da multiplicação, de acordo os fatores e os produtos dispostos na atividade; e 13. Desenvolva ou crie uma linguagem mais concisa ao expressar uma sentença ou expressão matemática. O aluno poderá desenvolver uma linguagem mais concisa para expressar as regularidades da multiplicação. De acordo com nossa análise, esta atividade contempla quatro indicadores do pensamento algébrico: 1, 7, 8 e Atividades relacionadas com a ideia de função (C.4) As atividades que recorram à ideia de relação entre duas grandezas, classificamos como função. Essa definição foi utilizada como critério (C.4) para classificar 19 atividades relacionadas com a ideia de função; dessas atividades, analisaremos duas que tenham características de resoluções diferentes, que julgamos interessantes e que atendam aos propósitos desta pesquisa. Escolhemos esta atividade no livro didático Vontade de saber MATEMÁTICA, porque nela é utilizada a ideia de relação entre duas grandezas para o aluno observar e tentar perceber a regularidade:

90 90 Figura 12 Atividade 7 (7º ano EF) Fonte: Souza e Pataro (2009, p. 162) Resolução a) Como o jardineiro cobra fixo 15 reais e mais 3 reais por hora de trabalho, a expressão algébrica que representa o valor cobrado é: V = x, em que V representa o valor cobrado, e x as horas de trabalho. b) Para um trabalho de 8 horas, x = 8 V = V = V = 39 Resposta: 39 reais De acordo com nossas análises, a resolução favorece o desenvolvimento do pensamento algébrico, de acordo com os indicadores:

91 91 1. Perceba e tente expressar relações entre representações numéricas pertinentes a uma situação-problema em um modelo aritmético/algébrico ou geométrico. O aluno poderá perceber a relação entre a hora trabalhada e o valor a receber e tentar expressar a situação-problema em um modelo algébrico; 7. Desenvolva algum tipo de processo de generalização. O aluno poderá desenvolver um processo de generalização que represente a situação-problema; 8. Perceba e tente expressar regularidades ou invariâncias. O aluno poderá perceber e tentar representar suas ideias em língua materna ou algébrica; 9. Perceba a relação de dependência das variáveis. O aluno poderá perceber a relação entre a hora trabalhada e o valor a receber; 10. Perceba o uso da variável como incógnita. O aluno poderá calcular o valor a receber na expressão algébrica, de acordo com o tempo trabalhado ou vice-versa (que, nesta atividade, não foi solicitada); 11. Perceba o número da variável como número geral. O aluno poderá perceber que o valor cobrado poderá ser representado pela expressão algébrica x, que representa um número geral que depende de x (quantidade de horas trabalhada); 12. Perceba o uso da variável como relação funcional. O aluno poderá perceber que existe uma relação entre o valor a receber e a quantidade de horas trabalhada; e 13. Desenvolva ou crie uma linguagem mais concisa ao expressar uma sentença ou expressão matemática. O aluno poderá desenvolver uma linguagem simbólica mais concisa para expressar suas ideias. De acordo com nossa análise, baseada no modo de resolução, esta atividade contempla oito indicadores do pensamento algébrico: 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12 e 13. Para Ursini et al. (2005), este tipo de atividade tem como propósito levar os alunos a ver variável como um só conceito que tem diferentes facetas 20 e é, por 20 Las actividades integradoras tenían el propósito de llevar a los estudiantes a ver a la variable como un solo concepto que tiene diferentes facetas (URSINI et al., 2005, p. 59).

92 92 eles denominada atividade integradora, pois utiliza os três usos da variáveis indicadores: 10, 11 e 12. Escolhemos esta atividade no livro didático MATEMÁTICA Imenes & Lellis porque ela utiliza a ideia de relação entre duas grandezas empregando uma tabela. Esta atividade é semelhante à atividade analisada por Fiorentini; Fernandes; Cristóvão (2005) em seu artigo e denominada máquina mágica, aplicada para os alunos de 6ª série (sujeitos da pesquisa): Figura 13 Transcrição da atividade 8 (7º ano EF) 20. Minha calculadora enlouqueceu! Veja o que ela fez: Número digitado Número que aparece no visor após pressionar = Sabendo que o número digitado é multiplicado por um segundo número (sempre o mesmo) e somado a um terceiro (sempre o mesmo), diga que resultado a calculadora doida apresentaria para os números: a) 1 b) 12 c) 23 d) x Fonte: Imenes & Lellis (2009, p. 250) Resolução Observando a tabela: o número 3 será multiplicado por um segundo número e o resultado somado com um terceiro número, chegando ao resultado 17; verificando os múltiplos de 3 próximos de 17 e encontramos o 15 e o 18, e 17 tem duas unidades a mais que 15 e uma unidade a menos que 18. De modo análogo ao número 5, que resultou 27, verificamos os múltiplos de 5 mais próximos e encontramos o 25 e o 30, e 27 tem duas unidades a mais que 25 e três unidades a menos que o 30 e, para o número 10, que resultou 52 do mesmo modo, verificamos os múltiplos de 10 próximos de 52, encontramos o 50 e o 60, 52 tem duas unidades a mais que 50 e oito unidades a menos que 60. Dessas observações concluímos que o segundo número é o 5 (múltiplo de 5) e o terceiro é o 2 (adicionado).

93 93 a) para o número 1, teremos: = 7 b) para o número 12, teremos: = 62 c) para o número 23, teremos: = 117 d) para um número qualquer x, teremos: 5x + 2 De acordo com nossas análises, a resolução favorece o desenvolvimento do pensamento algébrico, de acordo com os indicadores: 1. Percebe e tenta expressar relações entre representações numéricas pertinentes a uma situação-problema em um modelo aritmético/algébrico ou geométrico. O aluno poderá perceber e tentar expressar a relação entre o número digitado na calculadora e resultado apresentado pela mesma em um modelo aritmético/algébrico; 7. Desenvolva algum tipo de processo de generalização. O aluno poderá desenvolver um processo de generalização de acordo com a situação-problema; 8. Perceba e tente expressar regularidades ou invariâncias. O aluno poderá perceber a regularidade na tabela (múltiplos de 5) e as invariâncias (duas unidades a mais) e tentar expressar essa regularidade em linguagem algébrica; 9. Perceba a relação de dependência das variáveis. O aluno poderá perceber a relação entre o número digitado e o resultado apresentado pela calculadora; 10. Perceba o uso da variável como incógnita. O aluno poderá perceber e calcular a incógnita, utilizando a expressão algébrica desenvolvida para expressar a regularidade; 11. Perceba o uso da variável como número geral. O aluno poderá perceber a regularidade e se expressar na linguagem algébrica para representar um número geral, que para esta atividade foi 5x + 2, sendo x o número digitado na calculadora; 12. Perceba o uso da variável como relação funcional. O aluno poderá perceber uma relação funcional entre o número digitado e o resultado que aparece no visor da calculadora; e

94 Desenvolva ou crie uma linguagem mais concisa ao expressar uma sentença ou expressão matemática. O aluno poderá desenvolver uma linguagem mais concisa para expressar a regularidade da atividade. De acordo com nossa análise, baseada no modo de resolução, esta atividade contempla oito indicadores do pensamento algébrico: 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12 e 13. Para Ursini et al. (2005), este tipo de atividade é denominada atividade integradora pois utiliza os três usos da variáveis indicadores: 10, 11 e Atividades diferenciadas Analisaremos duas atividades de generalização de padrões que classificamos como diferenciadas. Entendemos como diferenciadas aquelas atividades que recorram à situação-problema incomum - observação de padrões geométricos e padrões algébricos estruturais, por exemplo. Escolhemos esta atividade no livro didático MATEMÁTICA Imenes & Lellis porque propõem a observação de padrões geométricos relacionados com a ideia de relação entre duas grandezas (faixas e retas paralelas) por meio de uma tabela: Figura 14 Atividade 9 (6º ano EF) Fonte: Imenes & Lellis (2009, p. 244) Resolução Observando as figuras, percebemos que 2 retas paralelas formam 1 faixa; que 3 retas paralelas formam 2 faixas; que 4 retas paralelas forma 3 faixas e concluímos que o número de faixas é sempre uma unidade a menos que o número de retas.

95 95 a) Preenchendo a tabela de acordo com a generalização: Números de Retas paralelas Número de faixas um. b) O número de faixas é sempre igual ao número de retas paralelas menos De acordo com nossas análises, a resolução favorece o desenvolvimento do pensamento algébrico, de acordo com os indicadores: 1. Perceba e tente expressar relações entre representações numéricas pertinentes a uma situação-problema em um modelo aritmético/algébrico ou geométrico. O aluno poderá perceber uma relação entre o número de retas paralelas e o número de faixas e expressar essa relação em um modelo algébrico ou geométrico; 7. Desenvolva algum tipo de processo de generalização. O aluno poderá desenvolver um processo de generalização, que relacione o número de retas paralelas com o número de faixas; 8. Perceba e tente expressar regularidades ou invariâncias. O aluno poderá perceber as regularidades da atividade e expressá-las em uma linguagem simbólica; 9. Perceba a relação de dependência das variáveis. O aluno poderá perceber a relação de dependência entre o número de retas paralelas e o número de faixas; 10. Perceber o uso da variável como incógnita. O aluno poderá perceber que existe um valor desconhecido que se poderá calcular; 11. Perceba o uso da variável como número geral. O aluno pode perceber e representar o número de faixas em relação ao número de retas paralelas (n -1);

96 Perceba o uso da variável como relação funcional. O aluno poderá perceber a relação funcional entre o número de retas paralelas e o número de faixas; e 13. Desenvolva ou crie uma linguagem mais concisa ao expressar uma sentença ou expressão matemática. O aluno poderá desenvolver uma linguagem concisa e expressar a regularidade da tabela ( m = n 1, em que m é o número de faixas em n é o número de retas paralelas). De acordo com nossa análise, esta atividade contempla oito indicadores do pensamento algébrico: 1, 7, 8, 9, 10, 11, 12 e 13. Para Ursini et al. (2005) este tipo de atividade é denominada atividade integradora, pois utiliza os três usos da variáveis indicadores: 10, 11 e 12. Escolhemos esta última atividade para análise no livro didático MATEMÁTICA Imenes & Lellis porque propõe a observação de padrões estruturais algébricos que, neste caso, é o quadrado da soma de dois termos, estudado com mais detalhes no 8º ano do EF, este tipo de generalização de padrões é pouco explorada nas séries anteriores:

97 97 Figura 15 Atividade 10 (7º ano EF) Fonte: Imenes & Lellis (2009, p. 197) temos: Resolução a) Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, b) Observando as expressões algébricas acima, concluímos que