A pulga e o escorpião
|
|
- Maria das Dores Valverde Marreiro
- 7 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 14 de Dezembro de a JORNADA A pulga e o escorpião A pulga e o escorpião jogam um jogo a dois de cerco e fuga. O jogo é jogado num tabuleiro de xadrez n n cujas casas são quadradinhos de lados de comprimento 1. É dado um real positivo d que não muda até ao fim do jogo. A pulga ocupa um dos nodos do tabuleiro saltando de um nodo para outro em cada jogada. O escorpião arrasta-se continuamente sobre a fronteira do tabuleiro e pode ocupar qualquer ponto dessa fronteira (não apenas os 4n nodos periféricos). Em cada jogada da pulga ela tem que desocupar o nodo em que se encontra e saltar para um dos nodos adjacentes a esse; cada jogada do escorpião consiste em arrastar-se sobre a linha periférica podendo percorrer qualquer distância d. Notem que, para ir dum ponto do bordo do tabuleiro ao ponto diametralmente oposto, o escorpião tem que percorrer uma distância 2n. Na primeira jogada, a pulga ocupa um nodo inicial à sua escolha; depois o escorpião ocupa um ponto da fronteira à sua escolha; a seguir, a pulga salta, depois o escorpião arrasta-se, etc., jogando alternadamente. Diz-se que a pulga escapa (e ganha o jogo) se salta para um nodo periférico aonde o escorpião não pode chegar na jogada seguinte. 1. Para n = 2 determinem, justificando, os valores de d para os quais a pulga tem estratégia para escapar ao cerco. 2. O mesmo que o problema anterior, para n = Suponham (apenas neste problema) que ao escorpião só é permitido percorrer distâncias estritamente inferiores a d. Com esta nova regra, respondam de novo aos problemas 1 e O mesmo que o problema 1, mas com n = Provem que se n = 5 e d = 3, a pulga tem estratégia para escapar. 6. Provem que se n = 5 e d 4, a pulga não tem estratégia para escapar. 7. Provem que, se n é um número par superior a 4 e d 3, a pulga tem estratégia para escapar.
2 Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 11 de Janeiro de a JORNADA Aρβηλoς O título desta jornada vai em Grego, um luxo que poderá não se repetir por muitas outras. É uma honra celebrar Arquimedes, considerado como o maior matemático da Antiguidade. Acredita-se que tenha X A Y estudado o arbelos, mas ao certo não se sabe. A palavra significa faca de sapateiro"e a forma geométrica é o que sobra dum semi-círculo depois de dele se retirarem dois semi-círculos menores (destes, na figura da esquerda, apenas se percebem as dentadas que deixaram). Os semi-círculos menores têm centros no diâmetro [XY ] do maior, são tangentes entre si e cada um deles é também tangente ao semi-círculo maior. A figura da direita mostra um arbelos múltiplo: do semi-círculo maior foram retirados 11 semi-círculos menores, com centros no diâmetro do maior e com as tangências que a figura mostra. 0. Arquimedes nasceu no ano 287 AC. Quantas velas teria ele de soprar este ano se por cá aparecesse? 1. Determinem o perímetro do arbelos múltiplo, sabendo que o raio do círculo maior é 1 e que os raios dos 11 círculos menores, quando postos por ordem crescente, crescem em proporção geométrica. 2. Provem que a área do arbelos é igual à área do círculo que tem como diâmetro o segmento vertical [AB] marcado na figura. 3. Considerem todos os arbelos múltiplos cujo arco maior tem raio 1 e que têm 2300 ou menos dentadas. Qual o máximo da área desses arbelos? Porquê? 4. Seja M a interseção do segmento ]BX[ com a semi-circunferência esquerda do arbelos, e N a interseção de ]BY [ com a semi-circunferência da direita. Provem que [ANBM] é um retângulo. 5. Provem que a reta MN é tangente a ambos os semicírculos menores. 6. Considerem todos os arbelos com semicírculo maior de raio 1. Determinem, justificando, o máximo possível da área do retângulo [ANBM] e para que arbelos esse máximo é atingido. 7. Os gémeos de Arquimedes. Provem que as duas circunferências marcadas no arbelos têm raios iguais.
3 Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens L IGA D ELFOS de Fevereiro de a J ORNADA Dobragens Num círculo de papel de raio R e centro C, fixem um ponto Z cuja distância ao centro é d, um real tal que 0 d < R. Escolham um ponto X no bordo do círculo e dobrem o papel de modo a fazer coincidir X com Z. Vinquem bem a dobra, depois desdobrem. Escolham outro ponto X e repitam a operação de modo a obter novo vinco no papel. Façam isto um bom número de vezes, variando as vossas escolhas de X, sem mudar Z. Fica no papel uma região, que parece ser um disco elítico, que não foi propriamente atravessada por nenhum vinco. A ideia desta 3a Jornada é provarem que isso é verdadeiro. Para elipse e disco elítico, sugere-se que utilizem a definição do jardineiro. Conjetura-se que a região da figura é um disco elítico D, delimitado por uma elipse E. Supomos que D contém E 1. Indiquem a vossa conjetura sobre quais os focos e as medidas dos eixos de E. O caso d = R foi excluído do problema; o que acontece nesse caso? 2. Provem que cada vinco, interpretado como uma reta, interseta a elipse conjeturada num e apenas num ponto. (Se isto não for verdade, a vossa conjetura não é boa.) 3. Cada vinco v determina dois semiplanos cuja interseção é v; denotamos por Sv o semiplano que contém Z. Provem que, para qualquer vinco v, o disco elítico D está contida em Sv. 4. Provem que o disco elítico D é a interseção de todos os semiplanos Sv. 5. Provem que por cada ponto do plano passam exatamente w vincos, onde w pode tomar um de 3 valores: 0, 1 ou 2. Para cada um destes w s, qual o conjunto dos pontos pelos quais passam w vincos? Descrevam uma construção de régua e compasso que determine o(s) vinco(s) que passa(m) por cada ponto P fixado no plano. Justifiquem. 6. Provem que D é estritamente convexo, isto é: se P, Q são pontos distintos do disco, então o segmento [P Q] está contido no disco e o seu ponto médio não pertence à elipse E. 7. Determinem, justificando, o lugar geométrico dos pontos do plano pelos quais passam dois vincos perpendiculares entre si.
4 Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 22 de Março de a JORNADA Pedais e roletas Dado um polígono convexo fechado, P, dizemos que uma reta é subtangente a P se interseta P mas não interseta o interior de P. Fixemos, de uma vez por todas, um vértice V de P. Chama-se pedal de P ao lugar geométrico dos pés das perpendiculares lançadas de V para as subtangentes de P. Assente P sobre um eixo fixo do plano de P (o eixo é subtangente a P) e faça o polígono rolar sobre o eixo sem escorregar, como na figura da esquerda. A curva descrita por V chama-se roleta. Notem que a roleta é uma curva periódica, que toca periodicamente o eixo; chamamos arco da roleta a uma secção da roleta cujas extremidades são os únicos pontos de contacto da dita secção com o eixo. À região delimitada por um arco da roleta e pelo eixo chamamos região sob o arco da roleta. Nesta jornada, num polígono de n vértices não há três que sejam colineares. Por definição, ângulo entre dois arcos de circunferência que se cruzam em P é o ângulo formado pelos vetores tangentes em P, supondo, em cada circunferência, que os arcos se orientam no sentido direto. 1. Num triângulo arbitrário T escolham um vértice V. Desenhem um arco da roleta de T e determinem a área da região sob esse arco. 2. Para T e V como acima, desenhem a curva pedal e mostrem que ela é a fronteira da união de dois círculos, nenhum deles contido no outro. Calculem a área delimitada por essa pedal. 3. Provem que, se P tem n vértices, a pedal é a fronteira duma união de n 1 círculos, nenhum dos quais contido na união dos outros n A pedal é uma concatenação de n 1 arcos circulares. Determinem, em cada ponto de junção de dois arcos, o ângulo que eles fazem entre si. Calculem a soma desses ângulos. 5. Determinem, justificando, uma fórmula que dê o perímetro da pedal, em função dos lados, diagonais e ângulos em P. 6. Determinem, justificando, uma fórmula que dê a área sob um arco da roleta, em função dos lados, ângulos e diagonais de P. 7. Provem que, para qualquer escolha de P e V, a área delimitada pela pedal é metade da área da região sob um arco da roleta.
5 Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 26 de Abril de a JORNADA Problemas Isoperimétricos Considerem uma curva no plano. Aqui, uma curva é sempre contínua e simples, i.e., sem pontos múltiplos. Se for fechada, o conjunto plano constituído pela curva e pelo seu conteúdo designa-se por região. Dada uma região X de área A e perímetro P, ao número r(x) = A/P 2 chamamos razão isoperimétrica de X. Notem que regiões semelhantes têm a mesma razão isoperimétrica. Um problema isoperimétrico consiste em, dada uma família de regiões de perímetros iguais, determinar qual o supremo das áreas dessas regiões e quais as regiões da família (se existem) para as quais a área é máxima. O famoso teorema isoperimétrico afirma que r(x) 1 /4π, com igualdade se e só se X é um círculo. As vossas respostas devem sempre ser devidamente justificadas. 1. Na família dos triângulos existem elementos de razão isoperimétrica máxima. Quais são eles? 2. Um quadrilátero tem lados de comprimentos a, b, c, d. De entre os quadriláteros com lados com esses comprimentos, quais os de maior área? (Sugestão: usem a fórmula de C. Bretschneider (1842) que dá a área do quadrilátero: A = (s a)(s b)(s c)(s d) abcd cos 2 µ, onde s é o semi-perímetro e µ a média de dois ângulos opostos.) 3. Dentre os polígonos de n lados existem elementos de razão isoperimétrica máxima. Quais são eles? 4. Uma curva simples C de comprimento fixo L tem as suas extremidades apoiadas numa reta r, ficando toda do mesmo lado de r. (a) Provem que existem curvas deste género que tornam máxima a área entre C e r. Que curvas são essas? (Sugestão: use o truque da reflexão, de J. Steiner, 1838.) (b) Resolva o mesmo problema, supondo que as extremidades de C estão na reta r a uma distância d independente de C. 5. São dadas duas semi-retas s, t de origem O formando um ângulo convexo sot de amplitude fixa α. Contida em sot está uma curva C, de comprimento fixo L, com uma extremidade em s e outra em t. Provem a existência de C que maximiza a área da região delimitada por C no ângulo sot. 6. Dado um triângulo T, qual é o comprimento e a forma das curvas mais curtas que dividem T em duas regiões de áreas iguais? 7. Uma região é delimitada por uma concatenação de curvas simples em número par, S 1, S 2,..., S 2n, onde cada S k tem comprimento fixo L k. Para k ímpar, S k é um segmento de reta; para k par S k tem forma à nossa escolha. Das regiões possíveis identifiquem as que têm área máxima, e provem a sua maximalidade. Para simplificar, suponham que os números m = max{l 1, L 2,..., L 2n } e p = L 1 + L L 2n satisfazem p > ( π 2 + 1)m.
6 Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens L IGA D ELFOS de Maio de a J ORNADA As vossas respostas devem ser devidamente justificadas. 1. Neste final de Xadrez estranho, em tabuleiro 4 3, a Dama branca, que joga primeiro, tem como objetivo obrigar o Rei negro a ocupar a casa do canto superior direito (d3), em não mais de 4 movimentos do Rei. O objetivo do Rei é evitar isso. Qual dos dois tem estratégia vencedora? 2. (a) Três esferas maciças, impenetráveis, estão dentro dum contentor também esférico. O volume do contentor é o menor possível de modo a conter as 3 esferas. Mostrem que são complanares os centros das quatro esferas. (b) Se uma das três esferas tem raio R e as outras duas são iguais de raio r < R, determinem o raio do contentor em função de r e R. 3. (a) Antes de iniciar um jogo de snooker, as bolas foram empacotadas num caixilho triangular, sobre a mesa, como manda a tradição. Sem se retirar o triângulo, empilharam-se, com base nas 15 iniciais, o maior número possível de outras bolas congéneres, em várias camadas, de modo a que cada bola ficasse em contacto com 3 bolas da camada imediatamente abaixo. Sabendo que as bolas são esferas de 3 cm de raio, qual a distância do ponto mais alto da pilha à mesa de jogo? (b) A pilha de bolas e o caixilho triangular foram, de seguida, cobertos por uma campânula; esta é um paralelepípedo retângulo, cujo bordo retangular ficou assente na mesa de jogo. O caixilho tem espessura de 1 cm. Supondo que o paralelepípedo tem volume o menor possível de modo a conter a pilha e o caixilho, quais são as medidas dos seus lados? 4. Em R2 são dados dois pontos A e B. Definimos caminho zigzag entre A e B como sendo uma curva C, contínua, com extremidades A e B, que satisfaz a condição: Para n ímpar, se C interseta a faixa {(x, y) n y n + 1} em mais de um ponto, essa intersecção é um segmento de reta paralelo à bissetriz dos quadrantes pares, ou paralelo à bissectriz dos quadrantes ímpares. (a) Determinem o menor comprimento dos caminhos zigzag entre A = (0, 1.2) e B = (13, 50). (b) Determinem quantos caminhos zigzag entre A = (0, 1.2) e B = (13, 50) têm comprimento mínimo.
7 Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 7 de Junho de a JORNADA Puzzle dos 16 & companhia Trata-se dum puzzle do famoso Sam Lloyd ( ) jogado num tabuleiro 4 4, com 15 peças numeradas e uma casa vazia que rotulamos com. Em cada jogada, troca de posição com o rótulo duma das casas adjacentes. Uma configuração ou rotulação é uma permutação de, 1,..., 15, lida no tabuleiro linha após linha (da esquerda para a direita) de cima para baixo; a rotulação da figura acima é S = ( ). O problema de Sam Lloyd é o de saber se existe uma sequência de jogadas que permita, partindo de S, chegar à configuração natural N = ( ). Numa sequência de jogadas, o rótulo percorre um caminho no tabuleiro, que se chama circuito se começa e acaba na mesma posição. Cada circuito de determina uma aplicação f C C, onde f(a) é a configuração obtida quando se executa o circuito de começando com A. Chamamos F ao conjunto dessas funções. Um invariante de F é uma aplicação ϕ de domínio C, tal que ϕ(f(a)) = ϕ(a). A órbita de A C é o conjunto O A = {f(a) f F }. Os elementos duma órbita têm todos no mesmo local. Os problemas básicos são descobrir invariantes e determinar órbitas. 1. Mostrem que F é um grupo para a composição funcional. Provem que O A = O B se e só se existe f F tal que B = f(a), e que órbitas distintas são disjuntas. 2. No puzzle dos 16, que relação há entre as paridades das permutações A e f(a)? O problema de Sam Lloyd tem solução? Quantas órbitas há e quantos elementos tem cada uma? ( ) O puzzle pode generalizar-se a um grafo (simples) com nodos rotulados, um deles com. Pergunta-se então: quais são e quantos são os elementos da órbita da configuração dada? 3. Respondam às perguntas colocadas em ( ), quando: (a) O grafo é o de 16 nodos da figura. (b) O grafo é o triangular da figura. Generalizem a um grafo triangular com n nodos de lado. (c) O grafo é um ciclo de 2n nodos com uma ponte de 1 nodo ligando dois nodos opostos do ciclo. (d) O grafo é o da quarta figura acima. 4. No conjunto C das rotulações dum grafo com n 3 nodos, há n órbitas. Provem que o grafo é conexo, sem nodos pendentes, e com pelo menos um ciclo ímpar. Será verdadeiro o recíproco?
8 Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 28 de Junho de a JORNADA Filhos e primos 1. Duas amigas matemáticas que não se viam há muito, encontram-se na rua e conversam: Casei-me há 23 anos e, depois disso, tive 4 filhos. A outra pergunta: Que idades têm eles? Bem, o produto das idades (que são números naturais) é 216 e a soma é o número daquela porta acolá. A outra pensou, pensou e disse: Isso não chega para eu saber as idades deles! Sim, eu sei, mas poderás determiná-las se eu acrescentar que a diferença entre o máximo e o mínimo das idades é um número primo. Que idades têm os quatro filhos? 2. Seja m um inteiro positivo. Mostrem que todo o inteiro par pode ser escrito, de infinitas maneiras, como diferença de dois inteiros positivos primos com m. 3. Determinem todos os naturais n para os quais existem números inteiros, a 1, a 2,..., a n, tais que 1 3 a a a n 1 = Sendo n e m números naturais, n m denota o natural cuja representação na base 10 é a concatenação das representações de m e n na base 10. Por exemplo: = 2014 e = (NB: neste problema, é positivo o dígito mais à esquerda da representação decimal dum número.) Diz-se que m é mágico se, para todo o natural n, o número m é divisor de n m. (α) Determinem todos os números mágicos menores que (β) Determinem quantos números mágicos existem menores que Em certa base de numeração b, o número n e o seu triplo representam-se por 854 b e 2351 b (quer dizer: n = 8b 2 + 5b + 4 e 3n = 2b 3 + 3b 2 + 5b + 1). Determinem b e n na base De cada um dos naturais na lista abaixo, apenas se revelam os seis algarismos mais à direita da representação decimal. Dentre eles existe um quadrado perfeito. Determinem o resto da divisão por desse quadrado perfeito Seja p um primo ímpar. Por definição, um p-gono, ou polígono de p vértices, é uma sequência de p pontos do plano, G = (V 0, V 1,..., V p 1 ); os V i chamam-se vértices de G. Pensem num p-gono como polígono fechado de p vértices, os quais se consideram numerados módulo p, isto é: V p+k = V k, para todo o k inteiro. É dado um p-gono G 0 arbitrário. Define-se uma sequência G 0, G 1, G 2, G 3,... de p-gonos de acordo com a seguinte regra: se W 0,..., W p 1 são os vértices de G k 1, o j-ésimo vértice de G k é o ponto simétrico de W j relativamente a W j+k, j = 0,..., p 1. Mostrem que G p 1 é semelhante a G 0. Vejam soluções em
9 Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 11 de Setembro de a JORNADA Última Jornada de Mostrem que para n 4 qualquer triângulo pode partir-se em n triângulos isósceles. NB: neste problema e no seguinte os triângulos são de áreas positivas. 2. Quais são os triângulos que podem partir-se em dois triângulos isósceles? TPC: Quais os que podem partir-se em três triângulos isósceles? 3. Seja [ABCD] um losango. Uma circunferência que passa em A intersecta o lado [AD] em N, o lado [AB] em M e a diagonal [AC] em P. Mostre que AP = (AM + AN) AB AC. 4. Um sudoku é uma matriz que resulta do preenchimento de todas as casas dum tabuleiro 9 9, cada casa com um número de 1 a 9, de acordo com regras que todos conhecem. A casa na linha i e coluna j é identificada com o par (i, j), e o tabuleiro é o conjunto T desses 81 pares. Matematicamente falando, um sudoku é uma aplicação s T {1,..., 9}, com características muito especiais vossas conhecidas. Cada uma das 81! permutações τ T T transforma um sudoku s numa aplicação s τ que pode ser ou não um sudoku. Uma dessas permutação diz-se sudokante se, para todo o sudoku s, s τ é também um sudoku. Mostrem que a permutação que corresponde a trocar a primeira coluna com a última não é sudokante; e que a transposição, (i, j) (j, i), é sudokante. 5. Quais e quantas são as permutações sudokantes? 6. Mediatrizes em Manhattan. Num tabuleiro de xadrez n n, com n 2 casas, chamamos passo ao salto duma casa para outra adjacente, a norte, a sul, a este ou a oeste. A distância-m da casa A à casa B é, por definição, o número mínimo de passos para ir de A até B. Uma casa diz-se mediadora de A e B, se ela está a igual distância-m de A e de B; a mediatriz-m de A e B é o conjunto de todas as casas mediadoras de A e B. Para cada par de casas, determinem o número de elementos da sua mediatriz-m. 7. Quais são os pares de casas distintas que têm mediatriz-m de maior cardinal?
Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens L IGA D ELFOS As vossas respostas devem ser devidamente justificadas.
Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens L IGA D ELFOS 201-2014 17 de Maio de 2014 6a J ORNADA As vossas respostas devem ser devidamente justificadas. 1. Neste final de Xadrez estranho, em tabuleiro
Leia maisProblemas Isoperimétricos
LIGA DELFOS 013-014 Problemas Isoperimétricos Considerem uma curva no plano. Aqui, uma curva é sempre contínua e simples, i.e., sem pontos múltiplos. Se for fechada, o conjunto plano constituído pela curva
Leia maisPolígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1
Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1 Polígonos Polígono é uma figura geométrica plana e fechada formada apenas por segmentos de reta que não se cruzam no mesmo plano. Exemplos 11.1 Elementos de um polígono
Leia maisCircunferência. MA092 Geometria plana e analítica. Interior e exterior. Circunferência e círculo. Francisco A. M. Gomes
Circunferência MA092 Geometria plana e analítica Francisco A. M. Gomes UNICAMP - IMECC Setembro de 2016 A circunferência é o conjunto dos pontos de um plano que estão a uma mesma distância (denominada
Leia maisXXIX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA TERCEIRA FASE NÍVEL 1 (5 a. e 6 a. Séries)
TERCEIRA FASE NÍVEL 1 (5 a. e 6 a. Séries) PROBLEMA 1 Parte das casas de um quadriculado com o mesmo número de linhas (fileiras horizontais) e colunas (fileiras verticais) é pintada de preto, obedecendo
Leia mais1. A imagem da função real f definida por f(x) = é a) R {1} b) R {2} c) R {-1} d) R {-2}
1. A imagem da função real f definida por f(x) = é R {1} R {2} R {-1} R {-2} 2. Dadas f e g, duas funções reais definidas por f(x) = x 3 x e g(x) = sen x, pode-se afirmar que a expressão de (f o g)(x)
Leia maisProjeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 20 de Novembro de 2016 LIGA DELFOS JORNADA 1. Aritmética Modular
Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 20 de Novembro de 2016 LIGA DELFOS 2016-2017 JORNADA 1 Aritmética Modular Sejam a, b, n inteiros. Dizemos que a e b são congruentes módulo n precisamente
Leia maisESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO
ESCOLA SECUNDÁRIA DE ALBERTO SAMPAIO Matemática 10º ANO Novembro 004 Ficha de Trabalho nº 4 - Conjuntos de pontos e condições Distância entre dois pontos Mediatriz de um segmento de recta Circunferência
Leia maisAxiomas e Proposições
Axiomas e Proposições Axiomas: I Incidência I.1 Existem infinitos pontos no plano. I.2 Por dois pontos distintos (ou seja, diferentes) passa uma única reta. I.3 Dada uma reta, existem infinitos pontos
Leia maisRaizDoito. 1. Num referencial o.m. do plano, considere a reta r de equação x = -5.
1. Num referencial o.m. do plano, considere a reta r de equação x = -5. Qual dos seguintes pares de pontos define uma reta perpendicular à reta r? (A) (B) ( C) (D) 2. A condição que define o domínio plano
Leia mais1.4 Determine o ponto médio e os pontos de triseção do segmento de extremidades A(7) e B(19).
Capítulo 1 Coordenadas cartesianas 1.1 Problemas Propostos 1.1 Dados A( 5) e B(11), determine: (a) AB (b) BA (c) AB (d) BA 1. Determine os pontos que distam 9 unidades do ponto A(). 1.3 Dados A( 1) e AB
Leia maisNOTAÇÕES. R : conjunto dos números reais C : conjunto dos números complexos
NOTAÇÕES R : conjunto dos números reais C : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária: i = 1 z : módulo do número z C Re(z) : parte real do número z C Im(z) : parte imaginária do número z C
Leia maisXXVI OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA TERCEIRA FASE NÍVEL 1 (5ª e 6ª séries - Ensino Fundamental)
TERCEIRA FASE NÍVEL 1 (5ª e 6ª séries - Ensino Fundamental) PROBLEMA 1 Encontre todos os números naturais n de três algarismos que possuem todas as propriedades abaixo: n é ímpar; n é um quadrado perfeito;
Leia maisCIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 1ª PARTE DEFINIÇÕES
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 1ª PARTE DEFINIÇÕES CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA Circunferência: é uma linha. Exemplos: argola, roda de bicicleta... Círculo: é uma superfície. Exemplos: moeda, mesa redonda... CIRCUNFERÊNCIA
Leia maisNOTAÇÕES. R N C i z. ]a, b[ = {x R : a < x < b} (f g)(x) = f(g(x)) n. = a 0 + a 1 + a a n, sendo n inteiro não negativo.
R N C i z det A d(a, B) d(p, r) AB Â NOTAÇÕES : conjunto dos números reais : conjunto dos números naturais : conjunto dos números complexos : unidade imaginária: i = 1 : módulo do número z C : determinante
Leia maisNovo Espaço Matemática A 11.º ano Proposta de Teste Intermédio [janeiro 2015]
Proposta de Teste Intermédio [janeiro 015] Nome: Ano / Turma: N.º: Data: - - GRUPO I Na resposta a cada um dos itens deste grupo, seleciona a única opção correta. Escreve, na folha de respostas: o número
Leia maisProfessor Alexandre Assis. Lista de exercícios de Geometria
1. A figura representa três círculos idênticos no interior do triângulo retângulo isósceles ABC. 3. Observando a figura a seguir, determine (em cm): a) o valor de x. b) a medida do segmento AN, sabendo
Leia maisXXV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA TERCEIRA FASE NÍVEL 1 (5 ª ou 6 ª Séries)
TERCEIRA FASE NÍVEL 1 (5 ª ou 6 ª Séries) Quantos inteiros positivos menores que 1000 têm a soma de seus algarismos igual a 7? PROBLEMA : Considere as seqüências de inteiros positivos tais que cada termo
Leia maisMaterial Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3. Módulo e Produto Escalar - Parte 2. Terceiro Ano - Médio
Material Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3 Módulo e Produto Escalar - Parte 2 Terceiro Ano - Médio Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto Nesta segunda parte, veremos
Leia maisGEOMETRIA PLANA. Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.
PARTE 01 GEOMETRIA PLANA Introdução A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada
Leia maisRETAS E CIRCUNFERÊNCIAS
RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS Diâmetro Corda que passa pelo centro da circunferência [EF] e [GH] Raio Segmento de reta que une o centro a um ponto da circunferência [OD] [AB], [IJ], [GH], são cordas - segmentos
Leia mais. f3 = 4 e 1 3 e 2. f2 = e 1 e 3, g 1 = e 1 + e 2 + e 3, 2 g 2 = e 1 + e 2,
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-457 Álgebra Linear para Engenharia I Segunda Lista de Exercícios - Professor: Equipe da Disciplina EXERCÍCIOS 1. Dê a matriz de mudança
Leia mais10. Determine as equações cartesianas das famílias de retas que fazem um ângulo de π/4 radianos com a reta y = 2x + 1.
Geometria Analítica. 1. Determine as posições relativas e as interseções entre os conjuntos em R abaixo. Em cada item também faça um esboço dos dois conjuntos dados no mesmo sistema de eixos. (a) C : (x
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS MAT GEOMETRIA E DESENHO GEOMÉTRICO I
LISTA DE EXERCÍCIOS MAT 230 - GEOMETRIA E DESENHO GEOMÉTRICO I 1. Numa geometria de incidência, o plano tem 5 pontos. Quantas retas tem este plano? A resposta é única? 2. Exibir um plano de incidência
Leia maisGeometria Analítica I - MAT Lista 1 Profa. Lhaylla Crissaff
1. Entre os pontos A = (4, 0), B = ( 3, 1), C = (0, 7), D = ( 1 2, 0), E = (0, 3) e F = (0, 0), (a) quais estão sobre o eixo OX? (b) quais estão sobre o eixo OY? 2. Descubra qual quadrante está localizado
Leia maisPagodes de Hanoi. 1. Suponham que k = 3 e m = 4. Calculem H 3 (1, 1, 1, 1). 2. Calculem H 3 (1, 3, 2, 2) e H 4 (1, 3, 2, 2).
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 17 de Dezembro de 2011 LIGA D ELFOS 2012 MATCH 1 Pagodes de Hanoi À semelhança do jogo das torres de Hanoi, no jogo dos pagodes de Hanoi são dadas k 3
Leia maisMATEMÁTICA APLICADA À AGRIMENSURA PROF. JORGE WILSON
MATEMÁTICA APLICADA À AGRIMENSURA PROF. JORGE WILSON PROFJWPS@GMAIL.COM DEFINIÇÕES GEOMETRIA PLANA Ponto: Um elemento do espaço que define uma posição. Reta: Conjunto infinito de pontos. Dois pontos são
Leia maisGeometria Plana 1 (UEM-2013) Em um dia, em uma determinada região plana, o Sol nasce às 7 horas e se põe às 19 horas. Um observador, nessa região, deseja comparar a altura de determinados objetos com o
Leia maisJ. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
76 Capítulo 4 Distâncias no plano e regiões no plano 1. Distância de um ponto a uma reta Dados um ponto P e uma reta r no plano, já sabemos calcular a distância de P a cada ponto P r. Definição 1 Definimos
Leia maisOs problemas em Desenho Geométrico resumem-se em encontrar pontos. E para determinar um ponto basta obter o cruzamento entre duas linhas.
31 4 LUGARES GEOMÉTRICOS Os problemas em Desenho Geométrico resumem-se em encontrar pontos. E para determinar um ponto basta obter o cruzamento entre duas linhas. Definição: Um conjunto de pontos do plano
Leia maisEscola Secundária de Alberto Sampaio Ficha Formativa de Matemática A Geometria II O produto escalar na definição de lugares geométricos
Escola Secundária de Alberto Sampaio Ficha Formativa de Matemática A Geometria II O produto escalar na definição de lugares geométricos º Ano No plano Mediatriz de um segmento de reta [AB] Sendo M o ponto
Leia maisExercícios de Aprofundamento Mat Geom Espacial
1. (Fuvest 015) No cubo ABCDEFGH, representado na figura abaixo, cada aresta tem medida 1. Seja M um ponto na semirreta de origem A que passa por E. Denote por θ o ângulo BMH e por x a medida do segmento
Leia mais(A) 389 (B) 399 (C) 409 (D) 419 (E) 429
Destinatários: alunos dos 10. o e 11. o anos de escolaridade Duração: 1h 0min Nome: Turma: Não podes usar calculadora. Em cada questão deves assinalar a resposta correta. As questões estão agrupadas em
Leia maisLista Determine o valor máximo e o valor mínimo da função f sujeita às restrições explicitadas:
UFPR - Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matemática CM048 - Cálculo II - Matemática Diurno Prof. Zeca Eidam Lista 3 Máximos e mínimos de funções de duas variáveis
Leia maisEscola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II. TPC nº 5 (entregar no dia 6 ou )
Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II TPC nº (entregar no dia 6 ou 7 1 010) 1. Considere, num cubo de 8 cm de aresta, a secção que resulta
Leia maisObjetivos. em termos de produtos internos de vetores.
Aula 5 Produto interno - Aplicações MÓDULO 1 - AULA 5 Objetivos Calcular áreas de paralelogramos e triângulos. Calcular a distância de um ponto a uma reta e entre duas retas. Determinar as bissetrizes
Leia mais{ } Questão 1. Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Questão 2. Seja o conjunto = { : 0 e 2 2
NOTAÇÕES : conjunto dos números complexos. : conjunto dos números racionais. : conjunto dos números reais. : conjunto dos números inteiros. = 0,,,,.... { } { } * =,,,.... i : unidade imaginária; i =. z=x+iy,
Leia maisPREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 8 Geometria
PREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 8 Geometria QUESTÕES DISCURSIVAS Questão 1. (PROFMAT-2012) As figuras a seguir mostram duas circunferências distintas, com centros C 1 e C 2 que se intersectam nos pontos A e
Leia maisExemplo Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:
GEOMETRIA PLANA TEOREMA DE TALES O Teorema de Tales pode ser determinado pela seguinte lei de correspondência: Se duas retas transversais são cortadas por um feixe de retas paralelas, então a razão entre
Leia maisEscola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA 1 GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I. 2º Teste de avaliação versão1 Grupo I
Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA 1 GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I º Teste de avaliação versão1 Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada
Leia maisOS PRISMAS. 1) Definição e Elementos :
1 OS PRISMAS 1) Definição e Elementos : Dados dois planos paralelos α e β, um polígono contido em um desses planos e um reta r, que intercepta esses planos, chamamos de PRISMA o conjunto de todos os segmentos
Leia mais1º S I M U L A D O - ITA IME - M A T E M Á T I C A
Professor: Judson Santos / Luciano Santos Aluno(a): nº Data: / /0 º S I M U L A D O - ITA IME - M A T E M Á T I C A - 0 0) Seja N o conjunto dos inteiros positivos. Dados os conjuntos A = {p N; p é primo}
Leia maisProfª.. Deli Garcia Ollé Barreto
CURVAS CÔNICAS Curvas cônicas são curvas resultantes de secções no cone reto circular. Cone reto circular é aquele cuja base é uma circunferência e a projeção do vértice sobre o plano da base é o centro
Leia maisExercício 1) Uma praça circular tem 200 m de raio. Quantos metros de grade serão necessários para cerca-la?
O círculo e o número π As formas circulares aparecem com freqüência nas construções e nos objetos presente em nosso mundo. As formas circulares estão presentes: nas moedas, nos discos, roda do carro...
Leia maisCONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 2 1 NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA 1.1 GEOMETRIA A necessidade de medir terras
Leia maisCurso: Engenharia Disciplina: Desenho Técnico Prof.ª Me. Aline Ribeiro CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS 1. DESENHO GEOMÉTRICO
1 Curso: Engenharia Disciplina: Desenho Técnico Prof.ª Me. Aline Ribeiro CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS 1. DESENHO GEOMÉTRICO 1.1. O que é desenho geométrico Desenho Geométrico é o conjunto de técnicas utilizadas
Leia maisExercícios Propostos. Exercício 1: Cinco retas distintas em um plano cortam-se em n pontos. Determine o maior valor que n pode assumir.
Exercícios Propostos Exercício 1: Cinco retas distintas em um plano cortam-se em n pontos. Determine o maior valor que n pode assumir. Exercício 2: As bissetrizes de dois ângulos adjacentes AÔB e BÔC são,
Leia maisGEOMETRIA ANALÍTICA. 2) Obtenha o ponto P do eixo das ordenadas que dista 10 unidades do ponto Q (6, -5).
GEOMETRIA ANALÍTICA Distância entre Dois Pontos Sejam os pontos A(xA, ya) e B(xB, yb) e sendo d(a, B) a distância entre eles, temos: Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem: [d
Leia maisGeometria Descritiva 28/08/2012. Elementos Primitivos da Geometria
Geometria Descritiva Prof. Luiz Antonio do Nascimento ladnascimento@gmail.com www.lnascimento.com.br A Geometria, como qualquer outra ciência, fundamenta-se em observações e experiências para estabelecer
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano de escolaridade Versão 3
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Teste 0.º Ano de escolaridade Versão Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 0/0/07 É permitido o uso de calculadora científica Apresente o seu raciocínio de forma
Leia maisGeometria. Nome: N.ª: Ano: Turma: POLÍGONOS = POLI (muitos) + GONOS (ângulos)
MATEMÁTICA 3º CICLO FICHA 16 Geometria regular inscrito numa circunferência Nome: N.ª: Ano: Turma: Data: / / 20 POLÍGONOS = POLI (muitos) + GONOS (ângulos) é uma figura plana limitada por segmentos de
Leia maisPreparação para a Prova Final de Matemática 2.º Ciclo do Ensino Básico Olá, Matemática! 6.º Ano
Geometria Figuras no plano Retas, semirretas e segmentos de reta Ângulos: amplitude e medição Polígonos: propriedades e classificação Círculo e circunferência: propriedades e construção Reflexão, rotação
Leia maisMATEMÁTICA Polígonos e circunferências. Circunferência
MTEMÁTI ircunferência hama-se circunferência de centro e raio r ao conjuntos de pontos do plano cuja a distância ao ponto é igual a r. Uma circunferência de centro e raio r designa-se geralmente por (,
Leia maisGeometria Analítica - Aula
Geometria Analítica - Aula 18 228 IM-UFF K. Frensel - J. Delgado Aula 19 Continuamos com o nosso estudo da equação Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 1. Hipérbole Definição 1 Uma hipérbole, H, de focos F 1
Leia maisÁreas IME (A) (B) (C) (D) 104 (E) e 2
Áreas IME 1. (IME 010) Seja ABC um triângulo de lados AB, BC e AC iguais a 6, 8, e 18, respectivamente. Considere o círculo de centro O isncrito nesse triângulo. A distância AO vale: 104 (A) 6 104 (B)
Leia maisLista 5. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 4.1, pág. 147 em diante.
MA13 Exercícios das Unidades 8, 9 e 10 2014 Lista 5 Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 4.1, pág. 147 em diante. 1) As retas r, s e t são paralelas com s entre r e t. As transversais
Leia maisLista 3. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante.
MA13 Exercícios das Unidades 4 e 5 2014 Lista 3 Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante. 1) Seja ABCD um quadrilátero qualquer. Prove que os pontos médios
Leia maisCanguru Matemático sem Fronteiras 2009
Duração: 1h30min Destinatários: alunos dos 10 e 11 anos de Escolaridade Nome: Turma: Não podes usar calculadora. Há apenas uma resposta correcta em cada questão. As questões estão agrupadas em três níveis:
Leia maisI - INTRODUÇÃO II LUGARES GEOMÉTRICOS, ÂNGULOS E SEGMENTOS 1. POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA Professores: Deise Maria Bertholdi Costa, Luzia Vidal de Souza, Paulo Henrique Siqueira,
Leia maisNOTAÇOES A ( ) 2. B ( ) 2^2. C ( ) 3. 7 D ( ) 2^ 3- E ( ) 2. Q uestão 2. Se x é um número real que satisfaz x3 = x + 2, então x10 é igual a
NOTAÇOES R : conjunto dos números reais N : conjunto dos números naturais C : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária: i2 = z : módulo do número z E C det A : determinante da matriz A d(a,
Leia maisAssociamos a esse paralelepípedo um número real, chamado volume, e definido por. V par = a b c.
Volumes Paralelepípedo Retângulo Dado um retângulo ABCD num plano α, consideremos um outro plano β paralelo à α. À reunião de todos os segmentos P Q perpendiculares ao plano α, com P sobre ABCD e Q no
Leia maisUECEVEST - ESPECÍFICA Professor: Rikardo Rodrigues
UECEVEST - ESPECÍFICA Professor: Rikardo Rodrigues 01) (UECE 2017.2) Seja YOZ um triângulo cuja medida da altura OH relativa ao lado YZ é igual a 6 m. Se as medidas dos segmentos YH e HZ determinados por
Leia maisSeja AB = BC = CA = 4a. Sendo D o ponto de interseção da reta s com o lado AC temos, pelo teorema de Tales, AD = 3a e DC = a.
GABARITO MA1 Geometria I - Avaliação 2-201/2 Questão 1. (pontuação: 2) As retas r, s e t são paralelas, como mostra a figura abaixo. A distância entre r e s é igual a e a distância entre s e t é igual
Leia mais1ª Aula. Introdução à Geometria Plana GEOMETRIA. 3- Ângulos Consecutivos: 1- Conceitos Primitivos: a) Ponto A. b) Reta c) Semi-reta
1ª Aula 3- Ângulos Consecutivos: Introdução à Geometria Plana 1- Conceitos Primitivos: a) Ponto A Na figura, os ângulos AÔB e BÔC são consecutivos, portanto AÔC=AÔB+AÔC b) Reta c) Semi-reta d) Segmento
Leia maisA(500, 500) B( 600, 600) C(715, 715) D( 1002, 1002) E(0, 0) F (711, 0) (c) ao terceiro quadrante? (d) ao quarto quadrante?
Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM131 - Geometria Analítica e Cálculo Vetorial Professora: Monique Rafaella Anunciação de Oliveira Lista de Exercícios 1 1. Dados os pontos:
Leia maisCONCURSO DE ADMISSÃO AO COLÉGIO MILITAR DO RECIFE - 99 / 00 PROVA DE CIÊNCIAS EXATAS DA. 1 a é equivalente a a
13 1 a PARTE - MATEMÁTICA MÚLTIPLA ESCOLHA ESCOLHA A ÚNICA RESPOSTA CERTA, ASSINALANDO-A COM X NOS PARÊNTESES À ESQUERDA Item 01. Se a R e a 0, a expressão: 1 a é equivalente a a a.( ) 1 b.( ) c.( ) a
Leia maisGeometria Analítica - AFA
Geometria Analítica - AFA x = v + (AFA) Considerando no plano cartesiano ortogonal as retas r, s e t, tais que (r) :, (s) : mx + y + m = 0 e (t) : x = 0, y = v analise as proposições abaixo, classificando-
Leia maisAGRUPAMENTO de ESCOLAS de SANTIAGO do CACÉM Ano Letivo 2015/2016 PLANIFICAÇÃO ANUAL
AGRUPAMENTO de ESCOLAS de SANTIAGO do CACÉM Ano Letivo 2015/2016 PLANIFICAÇÃO ANUAL Documento(s) Orientador(es): Programas e Metas Curriculares do Ensino Básico 2º CICLO MATEMÁTICA- 6º ANO TEMAS/DOMÍNIOS
Leia maisTEMA 3 GEOMETRIA FICHAS DE TRABALHO 10.º ANO COMPILAÇÃO TEMA 3 GEOMETRIA. Jorge Penalva José Carlos Pereira Vítor Pereira MathSuccess
FICHAS DE TRAALHO 10.º ANO COMPILAÇÃO TEMA 3 GEOMETRIA Site: http://www.mathsuccess.pt Facebook: https://www.facebook.com/mathsuccess TEMA 3 GEOMETRIA 016 017 Matemática A 10.º Ano Fichas de Trabalho Compilação
Leia maisa) b) c) d) e) x = ,7x 0,3x = 100 x =
MATEMÁTICA b A figura exibe um mapa representando 3 países. Considerando-se como países vizinhos aqueles cujas fronteiras têm um segmento em comum, o número mínimo de cores que se pode utilizar para colori-los,
Leia maisEXERCÍCIOS DE REVISÃO ENSINO MÉDIO 4º. BIMESTRE
EXERCÍCIOS DE REVISÃO ENSINO MÉDIO 4º. BIMESTRE 1ª. SÉRIE Exercícios de PA e PG 1. Determinar o 61º termo da PA ( 9,13,17,21,...) Resp. 249 2. Determinar a razão da PA ( a 1,a 2, a 3,...) em que o primeiro
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano de escolaridade Versão 4
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Teste 0.º Ano de escolaridade Versão 4 Nome: N.º Turma: Professor: José Tinoco 0/0/07 É permitido o uso de calculadora científica Apresente o seu raciocínio de forma
Leia maisMESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL. ENQ Gabarito
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL ENQ 2017.1 Gabarito Questão 01 [ 1,25 ] Determine as equações das duas retas tangentes à parábola de equação y = x 2 2x + 4 que passam pelo ponto (2,
Leia maisCoordenadas Cartesianas
1 Coordenadas Cartesianas 1.1 O produto cartesiano Para compreender algumas notações utilizadas ao longo deste texto, é necessário entender o conceito de produto cartesiano, um produto entre conjuntos
Leia maisCombinatória geométrica
Yuri Lima yurilima@gmail.com Combinatória geométrica Problema 1. São desenhadas n 3 retas no plano tais que: (i) quaisquer duas retas são concorrentes; (ii) por todo ponto de interseção entre duas retas
Leia maisGeometria Plana. Exterior do ângulo Ô:
Geometria Plana Ângulo é a união de duas semiretas de mesma origem, não sendo colineares. Interior do ângulo Ô: Exterior do ângulo Ô: Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, apresentarem um lado
Leia maisMatemática GEOMETRIA PLANA. Professor Dudan
Matemática GEOMETRIA PLANA Professor Dudan Ângulos Geometria Plana Ângulo é a região de um plano concebida pelo encontro de duas semirretas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo. A
Leia maisParalelismo. MA13 - Unidade 3. Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria.
Paralelismo M13 - Unidade 3 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT Nomes tradicionais reta t corta as retas r e s. Dizemos que a reta t é uma
Leia maisAGRUPAMENTO de ESCOLAS de SANTIAGO do CACÉM Ano Letivo 2017/2018 PLANIFICAÇÃO ANUAL
AGRUPAMENTO de ESCOLAS de SANTIAGO do CACÉM Ano Letivo 2017/2018 PLANIFICAÇÃO ANUAL Documento(s) Orientador(es): Programas e Metas Curriculares do Ensino Básico 2º CICLO MATEMÁTICA- 6º ANO TEMAS/DOMÍNIOS
Leia maisREVISÃO UNIOESTE 2016 MATEMÁTICA GUSTAVO
REVISÃO UNIOESTE 01 MATEMÁTICA GUSTAVO 1 Considere a figura: Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de metros de lado, conforme a figura
Leia maisExercícios de Aprofundamento Matemática Geometria Analítica
1. (Unicamp 015) Seja r a reta de equação cartesiana x y 4. Para cada número real t tal que 0 t 4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0) e no ponto P de abscissa x t pertencente à reta
Leia maisa) 6% b) 7% c) 70% d) 600% e) 700%
- MATEMÁTICA 01) Supondo-se que o número de vagas em um concurso vestibular aumentou 5% e que o número de candidatos aumentou 35%, o número de candidatos por vaga para esse curso aumentou: a) 8% b) 9%
Leia maisUFBA / UFRB a Fase Matemática RESOLUÇÃO: Professora Maria Antônia Gouveia. QUESTÕES de 01 a 08
UFBA / UFRB 008 1a Fase Matemática Professora Maria Antônia Gouveia QUESTÕES de 01 a 08 INSTRUÇÃO: Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados e marque o resultado na Folha de
Leia maisMatemática. Nesta aula iremos aprender as. 1 Ponto, reta e plano. 2 Posições relativas de duas retas
Matemática Aula 5 Geometria Plana Alexandre Alborghetti Londero Nesta aula iremos aprender as noções básicas de Geometria Plana. 1 Ponto, reta e plano Estes elementos primitivos da geometria euclidiana
Leia maisProva final de MATEMÁTICA - 3o ciclo Época especial
Prova final de MATEMÁTICA - o ciclo 016 - Época especial Proposta de resolução Caderno 1 1. Como os triângulos [OAB] e [OCD] são semelhantes (porque têm um ângulo comum e os lados opostos a este ângulo
Leia maisEscola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA 1 GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I. TPC nº 7 entregar no dia
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A TEMA 1 GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I TPC nº 7 entregar no dia 4 0 013 1. O cubo da figura tem as faces paralelas aos planos coordenados
Leia maisJ. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
178 Capítulo 10 Equação da reta e do plano no espaço 1. Equações paramétricas da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que
Leia maisLista de exercícios Prof. Ulisses Motta
Lista de exercícios Prof. Ulisses Motta 1. (Ufpe) Na figura a seguir, os retângulos ABCD e A'B'C'D' têm o mesmo centro e lados iguais a 5 cm e 9 cm. Qual o diâmetro da maior circunferência contida na região
Leia maisBANCO DE QUESTÕES MATEMÁTICA A 11. O ANO
BANCO DE QUESTÕES MATEMÁTICA A 11. O ANO DOMÍNIO: Trigonometria e funções trigonométricas 1. Considera o triângulo PQR e as medidas apresentadas na figura ao lado. O comprimento do lado QR é: (A) 4 (C)
Leia maisSólidos Geométricos, Poliedros e Volume Prof. Lhaylla Crissaff
Sólidos Geométricos, Poliedros e Volume 2017.1 Prof. Lhaylla Crissaff www.professores.uff.br/lhaylla Sólidos Geométricos Prisma Pirâmide Cilindro Cone Esfera Prisma Ex.: P é um pentágono. Prisma Prisma
Leia maisLUGARES GEOMÉTRICOS Geometria Euclidiana e Desenho Geométrico PROF. HERCULES SARTI Mestre
LUGARES GEOMÉTRICOS Geometria Euclidiana e Desenho Geométrico PROF. HERCULES SARTI Mestre Lugar Geométrico Lugar geométrico é uma figura cujos pontos e somente eles satisfazem determinada condição. Todos
Leia maisDomínio: Números e operações
AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE MARTIM DE FREITAS Ano letivo 2018/2019 Domínio: Números e operações PLANIFICAÇÃO DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA 6ºANO Números naturais - Números primos; - Crivo de Eratóstenes; Subdomínio/Conteúdos
Leia maisProposta de Resolução. Grupo I. θ = 1. x. Daqui resulta que ( ) ( )< π π π 4 2. π 5π. 1. Se. (x pertence ao 1.º Q e 2x pertence ao 2.º Q).
Grupo I 1. Se π π π π π x, 4, então < x < < x < π. 4 (x pertence ao 1.º Q e x pertence ao.º Q. Assim, tan( x < 0 e cos > 0 Opção: (A tan( x cos( x x. Daqui resulta que ( ( < tan x cos x 0.. sinx = 0 sinx
Leia mais1.2. Utilizar o crivo de Eratóstenes para determinar os números primos inferiores a um dado número natural
MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS MATEMÁTICA e CIENCIAS NATURAIS Matemática Números e operações (NO6) Unidade 1 Números naturais 1. Números primos e números compostos Números primos. Crivo de Eratóstenes.
Leia maisGEOMETRIA MÉTRICA ESPACIAL
GEOMETRIA MÉTRICA ESPACIAL .. PARALELEPÍPEDOS RETÂNGULOS Um paralelepípedo retângulo é um prisma reto cujas bases são retângulos. AB CD A' B' C' D' a BC AD B' C' A' D' b COMPRIMENTO LARGURA AA' BB' CC'
Leia maisDesenho Geométrico e Concordâncias
UnB - FGA Desenho Geométrico e Concordâncias Disciplina: DIAC-1 Prof a Eneida González Valdés CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS Todas as construções da geometria plana são importantes, há, entretanto algumas, que
Leia maisEXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA
EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA - 015 1. (Unicamp 015) Seja r a reta de equação cartesiana x y 4. Para cada número real t tal que 0 t 4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0),
Leia maisPrimeiramente é importante destacar um aspecto referente a definições, nomenclatura e classificações.
FIGURAS BIDIMENSIONAIS Primeiramente é importante destacar um aspecto referente a definições, nomenclatura e classificações. O termo "polígono", por exemplo, aparece em alguns textos como uma figura plana
Leia mais