Cálculo I: Noções Básicas

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1 Cálculo I: Noções Básicas Tecnologias de Informação e Comunicação na Educação Autores: Sílvia Maria Medeiros Caporale João Paulo Rezende Karine Angélica de Deus Colaboradores: José Antônio Araújo Andrade Marielle Aparecida Silva Lavras/MG 1 P á g i n a

2 2011 Ficha catalográfica preparada pela Divisão de Processos Técnicos da Biblioteca Central da UFLA Espaço a ser preenchido pela biblioteca

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4 Digite o Título do Documento Sumário Apresentação... 6 Relação de ícones... 7 Unidade Limite - Conceitos Básicos Limite - Conceitos básicos A idéia intuitiva de limite Definição informal de limite: Atividades propostas Limites laterais Definição de limites laterais: Atividades propostas Limite bilateral Definição de limite bilateral Existência de um limite bilateral Atividades propostas Continuidade de funções Definição de continuidade de uma função: Definição de continuidade de uma função Atividades propostas Cálculo de limites e técnicas de determinação Teorema (Alguns limites básicos) Cálculo de limites de polinômios quando tende a Cálculo de limites de funções racionais Primeiro Caso Segundo Caso Terceiro Caso: P á g i n a

5 Cálculo I Noções Básicas 1.8. Limites no infinito Unidade Derivada - Conceitos básicos Derivada - Conceitos básicos Taxa de Variação: Derivada ou diferencial Definição de derivada ou diferencial: Diferenciabilidade: Unidade Integral definida Integral definida Cálculo de áreas de figuras planas Atividades propostas Referências Bibliográficas P á g i n a

6 Cálculo I Noções Básicas Apresentação Caro estudante Elaboramos este material didático com o objetivo de auxiliá-lo na compreensão de conteúdos relativos ao Cálculo Diferencial e Integral. Material disponível: 1. Guia de estudos 2. Apresentações (PowerPoint) com áudio e animações O guia de estudos é composto por três unidades. Em cada unidade você encontrará além dos conteúdos, atividades e sugestões de leituras e sites. As unidades estão assim distribuídas: Unidade 1: Limite: conceitos básicos Unidade 2: Derivada Unidade 3: Integral Bom trabalho! 6 P á g i n a

7 Cálculo I Noções Básicas Relação de ícones Indicadores de ações requisitadas durante o estudo FAÇA. Determina a existência de tarefa a ser executada. Este ícone indica que há uma atividade de estudo para ser realizada. BUSQUE. Indica a exigência de busca por mais informação, seja ela em anexos do módulo impresso, em bibliografia específica ou em endereços de Internet. REFLITA. Indica a necessidade de se pensar mais detidamente sobre o(s) assunto(s) abordado(s) e suas relações com o objeto de estudo. SAIBA MAIS. Apresenta informações adicionais sobre o tema abordado de forma a possibilitar a obtenção de novas informações ao que já foi referenciado. ACESSE. Indica a necessidade de acessar endereço(s) específico(s), apontado(s) logo após o ícone. Indicadores de orientações do autor IMPORTANTE. Aponta uma observação significativa. Pode ser encarado como um sinal de alerta que o orienta para prestar atenção à informação indicada. EXEMPLO OU CASO. Indica a existência de um exemplo ou estudo de caso, para uma situação ou conceito que está em estudo. 7 P á g i n a

8 Cálculo I Noções Básicas Unidade 1 Limite - Conceitos Básicos 8 P á g i n a

9 1. Limite - Conceitos básicos 1.1. A idéia intuitiva de limite cuidados. O estudo de funções exige, em diversas situações, certos A função :, definida por, por exemplo, não tem restrições em seu domínio, mas imaginemos um quadrado de área por exemplo. Sabemos que a área desse quadrado está em função do comprimento de seu lado, ou seja,. Perceba que a função é do mesmo tipo da, mas não podemos lidar com seu domínio da mesma forma como fizemos com, uma vez que esta está definida para qualquer valor que pertença ao 9 P á g i n a

10 conjunto dos reais e a função não, pois, não faz sentido pensarmos em um comprimento negativo, ou nulo. Analisando com calma essa situação, notamos que dado um real positivo, encontramos. Alem disso, sabemos que à medida que diminui, também diminui, ou seja, a medida que se aproxima de, também se aproxima de. Em outras palavras, tende a quando tende a ou simplesmente, quando A ideia é extremamente simples e, como já dissemos, o lado do quadrado nunca terá comprimento zero, mas estará tão próximo de zero quanto a gente queira. Essa mesma análise pode ser feita com a função que definimos anteriormente, basta fazer os valores de se aproximarem de zero e observar o que acontece com a função. Mas antes de fazer isso, observe que nesse caso, a função está definida tanto para valores negativos quanto para valores positivos, por isso podemos fazer se aproximar de zero, por qualquer dos lados, ou seja pela esquerda ou direita de zero. Para diferenciá-los, dizemos que se aproxima de zero pela esquerda quando assume valores cada vez mais próximos de zero, mas sempre menores que zero e se aproxima de zero pela direita quando assume valores cada vez mais próximos de zero, mas sempre maiores que zero. 10 P á g i n a

11 Façamos então, nossas aproximações para a função. Observe que quando,, tanto pela direita como pela esquerda, o limite dessa aproximação é zero, assim como acontecia no caso do quadrado. Repare que a função não precisa estar definida em zero, pois no caso do quadrado, por exemplo, não existe quadrado de comprimento de lado nulo, mas mesmo assim podemos dizer que o limite da área do quadrado quando o comprimentoo do seu lado tende a zero pela direita é zero. E o mesmo se aplica a função, porém pela direita e pala esquerda. Podemos reescrever essa informação usando a notação de limite da seguinte forma: 11 P á g i n a

12 ou, Lê-se: Limite de, quando é, ou Limite de, quando é. Acabamos de exemplificar a noção intuitiva de limite, agora é natural que generalizemos essa definição, embora de maneira informal Definição informal de limite: Dada uma função, se tomarmos valores de tão próximos de quanto quisermos e se aproximar cada vez mais de um valor, dizemos que: lim ou quando Observação: O fato de, não implica na função estar definida no pontoo. Conforme vocês percebem, o conceito de limite é bastante simples e intuitivo, mas sua importância para o cálculo não é da mesma forma, pelo contrário, é o alicerce pelo qual se fundamenta o cálculo, quer seja o cálculo diferencial ou integral, os quais trataremos nas unidades seguintes. Antes disso, julgamos conveniente que exploremos um pouco melhor o conceito de limite. Exemplo 1: Seja a função. Calculemos o limite de quando P á g i n a

13 Complete a tabela a seguir (se preferir use uma calculadora) e plote os pontos no plano cartesianos abaixo para confirmar que, a medida que pegamos números mais próximos da zero, tanto pela direita quanto pela esquerda, os valores de, tomam valores cada vez maiores.,,,,,, Nesse exemplo, não existee um número que é limite da função, pois essa cresce sem cota quando se aproxima de zero. Portanto, trata-se de um limite infinito. lim 1 Zero não faz parte do domínio da, mas isso não impede que possamos calcular o limite de quando 0, pois não estamos lidando com o valor de 0, mas sim com valores de quando está na vizinhança de zero, ou seja, para valores de tão próximos de zero quanto se queira. Busque mais informações sobre domínio de uma função no material didático da disciplina Matemática Fundamental. 13 P á g i n a

14 Acesse o link abaixo para obter mais informações: C1/intoducao_limite_novo.swf Atividades propostas Esboce os gráficos e calcule os limites (se preferir utilize o GeoGebra para plotar os gráficos): a) b) c) d) e) f) g) h) i) 1.3. Limites laterais Anteriormente para a função ², mostramos que quando se aproximava de zero pela direita, também se aproximava de zero, e quando se aproximavaa de zero pela esquerda, também se aproximava de zero. Podemos denotar essas situações da seguinte forma: lim 0 e lim 0 Dessa forma, calculamos os limites laterais de quando P á g i n a

15 Definição de limites laterais: Se tomarmos valores para do domínio, tão próximos de quanto quisermos, mas sempre maiores que e assumir valores na vizinhança de, dizemos que quando pela direita. Se tomarmos valores para do domínio, tão próximos de quanto quisermos, mas sempre menores que e assumir valores na vizinhança de, dizemos que quando pela esquerda Atividades propostas Calcule os limites laterais das funções, das atividades propostas no tópico (Atenção, nem sempre os limites laterais são iguais. Veja o exemplo 1 da sessão ) 1.4. Limite bilateral Para a função ² temos 15 P á g i n a

16 lim 0 e lim 0 Veja que quando calculamos os limites laterais de, temos que esta função se aproxima de zero tanto pela esquerda quanto pela direita. Quando os limites laterais de são iguais dizemos que o limite de é bilateral Definição de limite bilateral Quando os limites laterais de uma função existem e são iguais na vizinhança de um ponto do domínio de, dizemos que o limite de nesse ponto é bilateral, ou seja, lim lim ou seja, lim Acesse o seguinte site paraa obter mais informações: C1/ideia_limite_novo.swf. Acesse o site e realize a atividade proposta: 16 P á g i n a

17 Existência de um limite bilateral Dizemos que o limite bilateral de uma função em um ponto existe, se e somente se, os limites laterais existem e são iguais. Exemplo1: Por que não existe lim? Veja o gráfico da função. Logo temos que: lim 1 e lim 1 Como os limites laterais são distintos temos que o limite bilateral não existe Atividades propostas Acesse o site e realize a atividade proposta: 17 P á g i n a

18 1.5. Continuidade de funções Para introduzir esse conceito reflita sobre o seguinte trecho: Uma bola de beisebol não pode desaparecer em algum ponto para reaparecer em outro e continuar seu movimento. Assim, percebemos a trajetória da bola como uma curva sem interrupções (ANTON; BIVENS; DAVIS; 2007). Embasados por esse trecho, podemos definir, intuitivamente, a continuidade de uma função como: Definição de continuidade de uma função: Dizemos que uma função é contínua se não apresentar quebras ou buracos em seu gráfico. Analisando as possíveis situações onde ocorrem quebras em um gráfico temos que essas podem ocorrem em pontos do domínio onde: a função não está definida nesse ponto; os limites laterais são diferentes, ou seja, o limite não existe nesse ponto; a função está definida no ponto, o limite existe, mas seus valores são distintos. Vejamos alguns gráficos que representa a situação em que a função apresenta uma descontinuidade no ponto. A função não está definida no ponto. 18 P á g i n a

19 Cálculo I: Noções Básicas O limite não existe quando tende a, uma vez que os limites laterais são diferentes. O limite quando tende a é infinito, ou seja, não existe. O valor da função e o valor do limite no ponto, são diferentes. Essas considerações nos levam a pensar nas propriedades que uma função precisa ter para afirmarmos que é contínua. Dessa forma podemos escrever uma definição mais formal de continuidade. 19 P á g i n a

20 Definição de continuidade de uma função. Dizemos que é contínua em, se: i. está definida; ii. existe; iii Atividades propostas a) Clique nos links abaixo e realize as atividades propostas. Observações: As atividades abaixo foram extraídas de (ANTON; BIVENS; DAVIS; 2007). b) Em cada parte, esboce o gráfico de uma função que satisfaz as condições propostas. I. é contínua em toda parte, exceto em 3, onde é contínua à direita. II. III. IV. tem limite bilateral em 3, mas não é contínua naquele ponto. não é contínua em 3, mas se seu valor em 3 for mudado de 3 1 para 3 0, torna-se contínua em 3. é contínua no intervalo 0, 3 e está definida no intervalo fechado 0, 3; mas não é continua no intervalo 0, 3. c) Encontre os pontos se houver, nos quais não é contínua. 20 P á g i n a

21 i ii. 8 iii. iv. ² ² v. ² vi. ² vii. viii. ix. ² ² x. 4 xi. 2 3, 7, Cálculo de limites e técnicas de determinação Para determinar algebricamente alguns limites vamos inicialmente considerar o seguinte teorema Teorema (Alguns limites básicos) I. ; ; 21 P á g i n a

22 Cálculo I: Noções Básicas Para a função constante, temos que os valores de não variam conforme os de variam, logo o limite de é. II. ; ; III. ; 22 P á g i n a

23 Cálculo I: Noções Básicas Esse resultado pode ser analisado intuitivamente. Ao estudarmos frações víamos que, quanto mais próximo de zero o denominador se encontrar, maior o valor que a fração representará, e quanto maior o denominador menor a fração será. Assim, quando tende a zero pela direita, temos que assume valores cada vez menores, mas sempre maiores que zero, logo, crescerá sem cota. E quando tende a zero pela esquerda, temos que assume valores cada vez maiores, mas sempre menores que zero, logo, decrescerá sem cota. IV. ; 23 P á g i n a

24 Cálculo de limites de polinômios quando tende a. Exemplo 1: lim ² 4 3 Vejamos no gráfico o comportamento do polinômio para valores de na vizinhança de 5. Veja pelo gráfico que lim ² 4 3 é 8. Para os polinômios temos uma relação interessante, pois, calcular o limite de um polinômio em um ponto qualquer é o mesmo que calcular. Então para ² 4 3 calculemos 5. ² ² lim ² P á g i n a

25 Teorema (Limites de polinômios): Para qualquer polinômio, e qualquer número real, lim 1.7. Cálculo de limites de funções racionais Seja uma função racional numero real. Estudaremos a seguir os casos em temos que determinar lim. Dividiremos nosso estudo em três casos possíveis: quando os limites do numerador e do, / 0, e seja um denominador são diferentes de zero, quando o limite do numerador é diferente de zero e o do denominador é zero e quando os limites do numerador e do denominador são nulos Primeiro Caso Exemplo 1: lim ³ Se calcularmos este limite do mesmo modo que calculamos no exemplo anterior, ou seja, substituindo por 2, verificaremos que este método também funciona para denominador não é nulo. Observe: 5 4 lim lim funções racionais em que o limite do 5³ P á g i n a

26 GeoGebra. Verifique o resultado plotando o gráfico desse função no Segundo Caso Exemplo 1: 3? Mas e se, para a função do exemplo 1 da sessão 1.7.1, tender a Se calcularmos este limite do mesmo modo que fizemos anteriormente verificaremos que este método não funciona para funções racionais em que o limite do denominador é nulo, pois não há divisão por zero. Observe: lim Resolveremos esse caso através da própria definição de limite. Quando calculamos o limite de uma função quando tende a não estamos interessados no valor de, mas sim nos valores de, para na vizinhança de. No 5³ 4 lim 3 5 3³ nosso exemplo, para a função, não faz sentido pensarmoss no valor de 3, pois 3 não pertence ao domínio de, mas podemos pensar em valores de próximos de 3. Usando o Excel ou uma calculadora, construa uma tabela com valores de para na vizinhança de 3. Não se esqueça de atribuir valores pela esquerda, ou seja, para valores de cada vez mais próximos de 3 mas sempre menores que 3 e pala direita, ou seja, para valores de cada vez mais próximos de 3 mas sempre maiores que P á g i n a

27 Confirme seus cálculos plotandoo o gráfico da função no GeoGebra e analisando seu comportamento na vizinhança de 3. lim Se o limite do denominador de uma função racional, quando, for nulo, e o limite do numerador, quando, for um número real diferente de zero, há três possibilidades para o limite dessa função quando : O limite pode ser ; O limite pode ser ; O limite pode ser pela direita e pela esquerda ou vice- versa. Exemplo 2: Inicialmente percebemos que quando tende a 5, ou seja, o denominador se aproxima de zero enquanto o numerador é constante. Antes de prosseguirmos, é conveniente que pensemos em uma fração do tipo, 0. Uma fração pode ser interpretada como uma divisão, no caso 8 dividido por. Vejamos uma tabela com diferentes valores para : tende a,,,, Uma forma de pensarmos em uma divisão é pensarmos quantas vezes o denominador cabe no numerador. Confira na tabela, por exemplo, que 8 cabe 1 vez em 8, 4 cabe 2 vezes em 8,..., 0,5 cabe 16 vezes em 8 e assim por diante. Concluímos que quanto mais próximo de zero for o valor de, maior será o resultado dessa divisão. 27 P á g i n a

28 Cálculo I: Noções Básicas Voltando ao nosso cálculo, vemos que o denominador de tende a 0, quando tende a 5. Ou seja, assumirá valores cada vez, mais distantes de zero. Assim podemos afirmar que o limite procurado é um limite infinito, porém nosso trabalho ainda não está pronto, pois precisamos determinar se trata-se de ou. Uma boa saída é pensarmos no que acontece com a expressão quando assumimos valores cada vez mais próximos da zero. ATENÇÃO, é nesse momento que muitas vezes erramos por esquecer que um valor na vizinhança de zero, pode ser menor que zero ou maior que zero, por isso há a necessidade de estudarmos os limites laterais dessa função: a) lim Pela definição de limite lateral pela esquerda, assume valores cada vez mais próximos de 5, mas sempre menores que. Sabemos que o numerador de é uma constante positiva e que o denominador, nesse caso, é negativo, pois subtraímos 5 de, que por definição é necessariamente um numero menor que 5. Assim concluímos que essa fração assume valores negativos na vizinhança de 5, pela esquerda. Portanto: b) lim 8 lim = 5 Pela definição de limite lateral pela direita, assume valores cada vez mais próximos de 5, mas sempre maiores que. Sabemos que o numerador de é uma constante positiva e que o denominador, nesse caso, é positivo, pois subtraímos 5 de, que por definição é necessariamente um número maior que 5. Assim concluímos que essa fração assume valores positivos na vizinhança de 5, pela direita. Portanto: 28 P á g i n a

29 lim 8 = 5 Logo, o limite procurado não existe, pois os limites laterais são diferentes: lim 8 5 = Observação: no caso anterior, os limites laterais também não existem, pois não há um número em que a função se aproxima quando se aproxima de 5, seja pela direita ou pala esquerda. Mas apesar disso, sabemos o comportamento da função na vizinhança de 5. Por isso dizemos que se trata de limites infinitos e escrevemos: Exemplo 3: 8 lim =, lim 5 8 = 5 lim = Usando o mesmo raciocínioo do exemplo anterior temos: Como o limite do numerador é uma constante diferente de zero e o denominador é zero, precisamos determinar os limites laterais: lim = e lim =. Repare que nesse caso o denominador é sempre positivo pelo fato de estar elevado ao quadrado e o numerador é uma constante positiva, portanto: lim 8 5 = 29 P á g i n a

30 Exemplo 4: lim Determinando os limites laterais temos: lim = e lim =. Repare que nesse caso o denominador é sempre positivo pelo fato de estar elevado ao quadrado e o numerador é uma constante negativa, portanto: Terceiro Caso: Seja uma função racional lim 8 5 = numero real. O terceiro caso consiste em determinarmos lim, tal que, quando, 0 e 0. Nesse caso temos uma indeterminação do tipo. É fácil perceber porque dizemos que se trata de uma indeterminação, pois poderíamos supor que o limite seria zero já que zero dividido por um número real não nulo é zero, por outro lado o denominador também tende a zero, assim poderíamos afirmar que esse limite é um limite infinito como os do segundo caso, mas a segunda informação entra em conflito com a primeira e dessa forma nosso limite continua indeterminado. Você pode pensar que, sempre que haver uma indeterminação desse tipo basta dizer que o limite não existe, mas não se engane, pois rapidamente podemos mostrar que não é bem assim. Como = 0 e = 0, o numerador e o denominador necessariamente possuem um assim o limite de =, / 0, e seja um como o numerador tende a zero, ou mais fatores comuns de, quando tende a pode ser encontrado cancelando todos os fatores comuns de e usando um dos 30 P á g i n a

31 métodos considerados anteriormente para encontrar o limite da função simplificada. Exemplo 1: lim Observe que = 3 não faz parte do domínio da, o que não trás problemas ao cálculo desse limite, pois não estamos calculando 3, mas sim valores de quando está na vizinhança de 3. Veja que quando 3, ² 9, assim a fração ², o que é uma indeterminação. Como o numerador é uma diferença de quadrados, podemos fatorá-lo antes de efetuar o cálculo do limite: 9 lim 3 = lim = lim 3 = 3 3 lim 9 3 = 6 Veja outro exemplo no link: raiz_controller.swf Exemplo 2: lim Nesse caso, os processos de fatoração tradicionais se tornam um pouco complexos, pois temos no denominador uma potência de expoente não inteiro =. Mas isso não é problema, pois temos um artifício prático para simplificar essa função. Basta multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado de 1 que é 1: 31 P á g i n a

32 1 lim 1 = lim = lim 1 lim 1 = lim 1 = lim 1 = 1 1 = lim 1 Veja outro exemplo no link: te/limite%20algebricamente_controller.swf Observação: Para o cálculo de limites do terceiro caso, é fundamental que você conheça todos os tipos de fatoração de polinômios. Caso haja a necessidade de revisar esses conceitos acesse o link abaixo e pesquise sobre fatoração de expressões algébricas: Limites no infinito Vocês devem ter percebido que nas discussões anteriores falamos de limites infinitos, ou seja, limites que crescem ou decrescem sem cota quando tende a um número real. Porém, outro tipo de limite muito importante é o limite no infinito. Esse estudo é extremamente importante quando desejamos saber o comportamento final de uma função, ou seja, o comportamento da para os valores de na vizinhança de e.. Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1: 32 P á g i n a

33 lim Nesse caso, cresce sem cota. Como 1 está dividido por, o resultado desse divisão tende a um valor cada vez mais próximo de zero. Logo: Exemplo 2: lim 1 = 0 lim 2 3 ² Observação: O comportamento final de um polinômio coincide com o comportamento final do seu termo de maior grau. lim 2 3 ² = lim 2 = Nesse caso, assume valores cada vez menores, ou seja, assume valores negativos. Um número negativo elevado a sétima potência e multiplicado por 2 continua negativo. Logo esse limite é. Veja mais informações DAVIS, 2007, p. 127). no livro: Cálculo (ANTON; BIVENS; Exemplo 3: lim Observação: O limite de uma função racional pode ser dado pelo quociente do limite do numerador pelo limite do denominador, desde que isso não gere nenhuma indeterminação. Como tanto o numerador 33 P á g i n a

34 quanto o denominador são polinômios e, a regra que vimos anteriormente vale nesse caso. Logo: 2 4 lim 2 = 2 lim = lim 2 = 2 Veja mais informações DAVIS, 2007, p. 127). no livro: Cálculo (ANTON; BIVENS; Exemplo 4: lim ² Nesse caso, quando, ², assim: lim ² = Observação: Nesse caso, temos um limite infinito no infinito. Veja mais informações DAVIS, 2007, p. 124). no livro: Cálculo (ANTON; BIVENS; 34 P á g i n a

35 Cálculo I: Noções Básicas Unidade 2 Derivada - Conceitos básicos 35 P á g i n a

36 2. Derivada - Conceitos básicos 2.1. Taxa de Variação: Taxa de variação é a comparação entre duas grandezas variáveis e dependentes. A velocidade média, por exemplo, é a taxa de variação do espaço em relação ao tempo. Ou seja, é o espaço percorrido em cada unidade de tempo. = Velocidade média. Variação do espaço. Variação do tempo. Exemplo 1: A tabela a seguir representa o espaço percorrido, em metros, por um móvel a cada unidade de tempo em segundos. Veja: A cada 1 segundo de movimento o espaço varia de 4 metros. 36 P á g i n a

37 Observe que ao considerarmos infinitos pontos que descrevem o movimento desse móvel em ralação ao tempo, formamos um gráfico retilíneo. Trata-se de uma função linear 1 do tipo =, onde é o coeficiente angular da reta. Como estamos tratando do espaço percorrido em relação ao tempo, podemos reescrever essa função como = e como o espaço varia metros a cada segundo, temos que o coeficiente angular da reta é, ou seja =, logo a função que descreva essa situação tem a seguinte lei de formação: Agora que conhecemos a = móvel em questão em relação ao tempo, podemos retomar a discussão acerca de taxa de variação, mais precisamente mediremos a taxa de variação média do espaço encontraremos a velocidade média do móvel em um dado intervalo de tempo. Tomemos o intervalo de a segundos: Para =, temos: = = = E para =, temos: Logo: = = = função que descreve o movimento do em relação ao tempo, ou seja, = = = / Observe que a variação do espaço em relação ao tempo é exatamente o coeficiente linear da reta. Para a mesma equação acima, escolha novos valores para, determine pares de pontos ; e encontre, a partir desses valores, a taxa de variação média entre esses pontos. Diga qual será a taxa de variação média de em relação a para quaisquer dois pontos pertencentes a reta =. Compare o resultado com o coeficiente angular da reta e escreva sua conclusão. 1 Busque mais informações sobre função linear no material didático da disciplina Matemática Fundamental. 37 P á g i n a

38 Cálculo I: Noções Básicas Podemos definir a taxa de variação média entre dois pontos quaisquer sobre o gráfico de uma função. Para isso consideremos o seguinte caso geral: Seja um ponto qualquer das abscissas e sua imagem : Variando um intervalo a partir do ponto, marcamos um novo ponto de abscissa que tem imagem : Note que houve também, uma variação ( ) no eixo das ordenadas 2. Assim, podemos determinar a taxa de variação de em relação a : = ou seja, = Assim, para um caso geral, a taxa de variação média é dada por = 2 Lembre-se que os valores para cada ponto correspondente do domínio de uma função são representados no plano cartesiano no eixo das ordenadas, por isso podemos afirmar que =. 38 P á g i n a

39 Conforme percebemos no exemplo 1 da sessão 2.1, a taxa de variação média em uma função linear é constante para qualquer intervalo de pontos sobre o gráfico e corresponde exatamente ao coeficiente angular da reta. O mesmo pode ser dito de uma função afim 3 qualquer. Mas e quando não lidamos com uma reta? Em uma curva qualquer podemos encontrar dois pontos distintos e usar a mesma definição para encontrarmos a taxa de variação média no intervalo que tem os dois pontos como extremos. Como vimos, essa taxa de variação é a inclinação da reta que passa pelos pontos em questão. A essa reta denomina-se reta secante. Busque mais informações sobre reta secante e reta tangente a curva nos links: > Derivada > Problema da reta tangente a uma curva; O exemplo a seguir pode ilustrar nossas considerações: Exemplo 2: Imagine o movimento de um objeto solto a uma altura de 50 metros em queda livre. Com o auxílio da física, podemos descrever seu movimento através da função: : Altura do objeto em metros em ralação ao solo a cada segundo de = 50 4,9², em que movimento. : Tempo de movimento do objeto em segundos a partir do início da queda. 3 Busque mais informações sobre função linear no material didático da disciplina Matemática Fundamental. 39 P á g i n a

40 Complete as lacunas na tabela a seguir substituindo os valores na função dada e plote os pontos num plano cartesiano: Como podemos observar abaixo, o gráfico da função não é mais uma reta, mas podemos determinar a taxa de variação média através da expressão = quaisquer dois pontos da curva. que definimos anteriormente em Vejamos dois casos: a) Para = e =, temos: = = =, = =,, =,, = 40 P á g i n a

41 Observe que a taxa de variação media que encontramos corresponde a inclinação da reta que passa pelos pontos: ; e ;, ou seja ; ;,. Confirme que a lei de formação da função representada pela reta secante a curva é =,. Veja que o coeficiente angular da reta secante a curva pelos pontos ; e ;, é igual a taxa de variação média entre esses dois pontos. b) Para = e =, temos: = = =,, = =,, = =,, Observe que a taxa de variação media que encontramos corresponde a inclinação da reta que passa pelos pontos: ; e ;, ou seja ;, e ;,. 41 P á g i n a

42 Confirme que a lei de formação da função representada pela reta secante a curva é =,,. Veja que o coeficiente angular da reta secante a curva pelos pontos ;, e ;, é igual a taxa de variação média entre esses dois pontos. Veja que quando observamos intervalos distintos, temos taxas de variação distintas. Observe ainda que do primeiro para o segundo exemplo que utilizamos, mantivemos o ponto ;,, variando somente o segundo ponto. Esse procedimento pode ser repetido infinitamente e para cada novo ponto temos uma nova reta secante e consequentemente encontramos taxas de variação médias distintas 42 P á g i n a

43 Em vista a estas considerações, façamos uma nova análise: encontrávamos dois pontos de tangência a curva, determinando os valores de e. Agora, manteremos um ponto fixo, escolhendo um valor para e consideraremos um ponto que se move sobre a curva variando o valor de, Ou seja: O ponto ; é fixo e o ponto ; varia a medida que varia o valor de. Seja =. Assim os pontos serão ;, e,. Agora basta escolher diferentes valores para e encontraremos diferentes retas secantes. Complete a tabela a seguir e para cada valor de trace o esboço da reta secante a curva =, ², e que passa pelo ponto ;, Experimente substituir por zero no exemplo anterior. O que acontece? Se aceitarmos =, o que podemos concluir com relação aos pontos ;, e,? É possível encontrar a inclinação da reta secante a curva nesse caso? Por quê? Você deve ter percebido, no exercício anterior, que à medida que tomávamos valores para mais próximos de zero o ponto variável 43 P á g i n a

44 , se aproxima Alem disso não é possível determinar o valor da taxa de variação média da altura em relação ao tempo pois nesse caso, = ;,, ou seja, teremos apenas um ponto sob a curva. Assim não faz sentido pensarmos em taxa de variação média, mas em taxa de variação instantânea já que teríamos um único instante =. Mas como determinar essa taxa? Não podemos determinar cada vez mais do ponto fixo ;,. = podemos determinar seu valor para na vizinhança de zero, ou seja, para valores de tão próximos de zero quanto se queira. Esse processo nos sugere utilizarmos o conceito de limite., quando =, o valor de, quando =, mas Veja no vídeo de derivada desse material, o processo de aproximação das ratas secantess a reta tangente e um dado ponto. Veja no vídeo de derivadaa que a medida que aproximamos um ponto móvel sobre a curva de um ponto fixo, se aproxima de zero e a reta secante a curva pelos dois pontos se aproxima da reta tangente 4 a curva no ponto fixo. A inclinação da reta tangente corresponde exatamente a taxaa de variação instantânea do espaço em relação ao tempo em =. Calculemos então nossa taxa de variação instantânea: =, =, ², ², =,,, ², =,,,, = = 4 Acesse o seguinte link e encontre mais informações sobre a aproximação da reta secante a uma tangente: / C1/problema_reta_tangente_novo.swf 44 P á g i n a

45 =,, =, =, Assim podemos dizer que a taxa de variação instantânea do espaço em ralação ao tempo para o nosso exemplo é,. Nesse exemplo consideramos um ponto específico, ;, mas podemos generalizar nossas considerações para um ponto qualquer,. Basta repetirmos o cálculo usando um qualquer. Veja: =, =, ² ², ² =, ²,, ², ² =,,,, = = =,, =,, ² =, Repare que para =, o limite que calculado anteriormente é exatamente, como já havíamos mostrado. Por tanto basta substituir diferentes valores para que encontraremos a taxa de variação instantânea no ponto,. Logo podemos calcular a taxa de variação instantânea ou inclinação da reta tangente a curva =, ² em um ponto do seu domínio através expressão:. Ao resultado dessa expressão denomina-se DERIVADA ou DIFERENCIAL de = em um ponto qualquer. Nem todas as funções permitem 45 P á g i n a

46 esse cálculo para todo o seu domínio. Mais adiante trataremos sobre esse assunto. Acesse o seguinte link e resolva a atividade proposta: Notação: podemos representarr a derivada de função do nosso exemplo, da seguinte forma:,, ou. A taxa de variação média entre dois pontos, distintos ; (ponto inicial) e ; (ponto final) de uma função :, é dada pela expressão o: =. Vimos que o limite dessa expressão com tendendo a nos fornece outra taxa de variação, a instantânea. É natural que se utilize outra notação para diferenciarmos os dois tipos de taxa de variação, justificando dessa forma, os diferentes tipos de notação de derivada vistos anteriormente Derivada ou diferencial Definição de derivada ou diferencial: A derivada de uma função é a função (éfe linha), desde que o limite abaixo exista: = Observação: É muito comum se utilizar outro símbolo algébrico como a letra, por exemplo, para representar a variação em, ou seja, o. Nesse caso, a definição acima pode ser reescrita como: = lim 46 P á g i n a

47 Cálculo I: Noções Básicas Diferenciabilidade: Uma função é derivável em um intervalo aberto, se existe para qualquer valor de nesse intervalo. Uma função é derivável em um intervalo fechado,, se a função é diferenciável em um intervalo aberto, e existem os limites: e Uma função é dita derivável em um ponto =, se existe derivada no ponto =. Uma função que é derivável para todos os valores de seu domínio é denominada função derivável ou diferenciável. 47 P á g i n a

48 Cálculo I: Noções Básicas Unidade 3 Integral definida 48 P á g i n a

49 3. Integral definida O objetivo desta unidade é contextualizar o conceito de integral definida trazendo elementos que fizeram parte da história da construção desse conceito que, dentre outras aplicações, resolveu o problema da área definida por contornos irregulares. Como nosso foco é a integral definida, consideramos como pré-requisito que o estudante tenha conhecimento do conceitoo de integral indefinida. Indicamos para estudo desse último conceito no capítulo 6 do livro Cálculo (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007) Cálculo de áreas de figuras planas Uma idéia intuitiva do conceito de integral pode surgir de um procedimento simples, porém engenhoso, desenvolvido por Arquimedes na Grécia Antiga. O cálculo de áreas de figuras planas pode ser trivial, quando se trataa de uma figura conhecida como um quadrado, um círculo e um triângulo, por exemplo. O problema é que em diversas situações temos que calcular áreas de superfícies totalmente irregulares como no exemplo a seguir: 49 P á g i n a

50 Exemplo 1: Calcular a área da superfície abaixo: É possível fazer isso? Arquimedes resolveu essee problema, aproximando a área da figura irregular à soma de áreas de figuras conhecidas, obtendo assim uma boa aproximação. Observe: No nosso exemplo, utilizamos o quadrado. Sobrepondo diversos quadrados sobre a figura dada, podemos dizer que sua área se aproxima da soma das áreas de todos os quadrados inscritos na figura. Mas parece que nossa aproximação não é das melhores. Porém, se reduzirmos o tamanho dos quadrados, podemos perceber que o erro de aproximação vai se reduzindo. 50 P á g i n a

51 Procedendo assim, sucessivamente, pode-se obter uma aproximação tão precisa quanto se queira. Veremos adiante, o quanto esse procedimento pode nos ser útil para compreendermos a idéia intuitiva de Integral definida. Mas antes, vejamos um exemplo que norteará nossas discussões. Exemplo 2: Imagine um carro, ao longo de uma estrada, se movendo com uma velocidade constante. Sabendo que a velocidade é a taxa de variação da distância com relação ao tempo, podemos encontrar a distância percorrida, analisando o comportamento da velocidade. = = :, : é, : çã ç, : çã. 51 P á g i n a

52 Cálculo I: Noções Básicas Podemos encontrar um modelo, que descreve a distância percorrida, a partir da relação acima que determina a velocidade média do automóvel, logo: = Suponha que esse carro esteja a uma velocidade constante de / e viaja, com a mesma velocidade, por. Nesse caso, qual seria a distância percorrida? Sabemos que: =. Então, a distância percorrida pelo carro, será: = = Vejamos o gráfico dessa situação: 52 P á g i n a

53 Observe que a distância percorrida é exatamente a área da figura sob o gráfico, logo: = é á â: = = = Exemplo 3: Mas e quando a velocidadee não for constante? É interessante analisarmoss essa situação, pois, normalmente os carros possuem velocidades que variam de acordo com o tempo. Voltemos ao nosso exemplo: Imagine que depois dos quatro segundos, nosso carro aumente a cada instante de tempo sua velocidade em /, como mostra a tabela. Assim, a velocidade do móvel entre e segundos será dado pela expressão: = Vejamos agora o gráfico dessa situação: 53 P á g i n a

54 Cálculo I: Noções Básicas Da equação da velocidade temos que: = = Da física sabemos que em um movimento retilíneo uniformemente variado podemos utilizar a equação de Torricelle: = :, :, : çã, : ç. Sabemos que: = e = ², já que a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo e essa é constante, pois a velocidade varia a cada segundo de movimento. = = = = Assim a distância total percorrida é de =. Observe também que a distância percorrida é numericamente igual à área da figura sob o gráfico, logo: = é á é = = = = 54 P á g i n a

55 Em livros de mecânica, você verá que para qualquer gráfico da velocidade em relação ao tempo, a área sob a curva, definida por um intervalo, das abscissas é numericamente igual a distância percorrida pelo móvel entre os instantes que variam de a. Exemplo 4: Mas e se carro frear? O quê irá acontecer? Veja o gráfico que representa essa situação: Como calcular a distância percorrida, ou seja, como determinar a área sob o gráfico? Nos outros exemplos, sabíamos facilmente qual era a função que descrevia a velocidade em relação ao tempo. Nesse caso a aceleração é variável, ou seja, como a aceleração é a variação da velocidade em relação ao tempo, temos que essa taxa de variação não é constante, o que dificulta encontrarmos a função que descreve 55 P á g i n a

56 essa situação. Em um experimento real, uma possibilidade seria medir a velocidade em vários espaços de compreendidos no intervalo a ser observado e fazer um ajuste de curva através do método de regressão. Observação: o método de regressão para determinarmos uma curva que melhor representa uma distribuição de pontos no plano pode ser estudado em qualquer livro de estatística básica. Como nosso foco aqui é outro e nossoo problema é fictício encolhemos uma curva que atendia bem nossas necessidades conceituais. Determinamos, para esse em relação ao tempo é: caso, que a equação da velocidade = ² Veja que se trata de uma função polinomial do segundo grau, sendo assim seu gráfico é uma parábola. Quando analisamos a área formada entre a parábola e o intervalo [;, vemos que não se trata de uma figura geométrica da qual conhecemos uma fórmula para calcular sua área diferentemente do retângulo e do trapézio que encontramos nas duas primeiras situações. Agora, o método de Arquimedes que citamos no início dessa unidade parece ser útil. Para calcular a área sob o gráfico do ponto = à =, basta subdividirmos essa área em várias figuras da qual sabemos calcular a área. No nosso caso subdividimos a área sob o gráfico, em retângulos de mesma largura e tais que cada um esteja completamente abaixo do gráfico e que o intercepte em pelo menos um ponto, como pode ser observado na figura: 56 P á g i n a

57 Cálculo I: Noções Básicas Assim temos que a área sob o gráfico será aproximadamente a soma das áreas de todos os retângulos inscritos. No entanto, quanto menor a largura dos retângulos, melhor será a sua aproximação. Veja: 57 P á g i n a

58 Manipule a animação Somas de Riemann na mesma página desse material. Isto nos sugere fazer tender a largura dos retângulos a zero e assumir a área sobre o gráfico como um valor limite da soma das áreas. Vejamos: Seja o número de subintervalos que dividimos,. Dessa forma, a largura dos retângulos é dada por: = Suponha = = = = = 58 P á g i n a

59 Veja que, a imagem de pela função é f( ), de é f( ), e assim por diante. Essas imagens são respectivamente as alturas dos retângulos sob a curva. Logo, temos que a área sob a curva é aproximadamente a soma das áreas de todos os retângulos, logo, = = Podemos aumentar cada vez mais a quantidade de subintervalos e assim, teremos que a área será o limite das aproximações da área quando os subintervalos crescem sem parar. Assim, a área sob a curva é dada por: = Essa expressão corresponde à Integral Definida. Resolver a Integral definida acima é encontrar uma função cuja derivada resulta na, e encontra a diferença entre e. = ou seja, = Exemplo 5: Considere a integral: ² A função, cuja derivada resulta em = ², seria ³, sendo que C representa uma constante qualquer. 59 P á g i n a

60 Cálculo I: Noções Básicas ² = ³ = ² = = Voltemos a situação-problema do carro. Observe as correspondentes funções de cada parte do gráfico. = = = ² Sabe-se que o espaço percorrido em um intervalo de tempo, é dado pela área sob a curva é essa por sua vez é calculada por: = = = 60 P á g i n a

61 Logo, se aplicarmos esse conceito no exemplo do carro, teremos para = : = = = = = Para = : = = ² ² = = ² = = = = Veja que esses dois primeiros resultados são exatamente os mesmos que encontramos fazendo os cálculos através das fórmulas da área do retângulo e do trapézio. Para = ² : = ² = ² = ² ² = = = = 61 P á g i n a

62 No terceiro caso, assim como na maioria dos fenômenos naturais, a área sob a curva não prevê uma fórmula ou procedimento para o cálculo de sua área a não ser pelo cálculo da integral definida Atividades propostas As seguintes atividades foram extraídas do livro Cálculo com geometria analítica (SWOKOWSKI, 1994). a) Calcule a integral definida encarando-a como a área sob o gráfico de uma função. Sugestão: Plote os gráficos das funções no GeoGebra e visualize a área delimitada por cada intervalo. i. ii. iii. iv. v. ² vi. ² ², 0 vii. ² viii. ² 62 P á g i n a

63 Cálculo I: Noções Básicas 4. Referências Bibliográficas ANTON, Haward; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. 8ª Ed. Bookman: Porto Alegre: V. 1, BIZELLI, Maria Helena S. S. : Calculo Online [Internet]. UNESP; acesso em 09/02/ E-Cálculo [internet]. USP; acesso em 09/02/ SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: v. 1, P á g i n a