Caos em sistemas dinâmicos: Um exemplo

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1 Caos em sistemas dinâmicos: Um exemplo Gustavo Franco Marra Domingues Universidade Federal de Uberlândia - Faculdade de Matemática Graduando em Matemática - Programa de Educação Tutorial gmarra86@ hotmail. com Walter dos Santos Motta Júnior Universidade Federal de Uberlândia - Faculdade de Matemática Professor Titutar wmotta@ ufu. br Resumo: O presente trabalho tem como objetivo apresentar um exemplo de uma situação caótica em termos de sistemas dinâmicos discretos. Introduzidos os conceitos de sistemas dinâmicos discretos, órbitas convergentes, divergentes, periódicas e eventualmente periódicas, apresentamos um método de análise gráfica de convergência (via diagramas de Lamerey) e estabelecemos uma condição necessária e suficiente para que uma órbita seja convergente monotônica ou convergente oscilatória. A seguir, aplicamos o Método de Newton a uma equação polinomial de 2 o grau sem raízes reais, e obtivemos uma sequência caótica de números reais. Através de algumas transformações pudemos ver que tal parábola estava relacionada a uma equação da forma f(x) = µx(1 x), chamada equação logística. A parte final do trabalho estuda o comportamento de iterações de equações desta família conforme variamos o parâmetro µ de 1 até 4, obtendo convergências, convergências para ciclos e caos. Através de uma esquematização, obtivemos o diagrama de bifurcação, que se trata de um exemplo de uma estrutura fractal. 1 Introdução Nas últimas décadas, a pesquisa em Matemática direcionou sua atenção para certos fenômenos que rapidamente se popularizaram: caos e fractais. Em 1976, R. M. May chamou a atenção da comunidade científica para as aplicações de equações de diferenças em estudos de dinâmicas populacionais (ver (5)), desenvolvendo uma metodologia que tornou-se popular e foi aplicado em outras áreas (ver (), (9), (10)). O presente trabalho se propõe a explorar o comportamento caótico de certas relações de recorrência (também chamadas equações de diferenças). 2 Sistemas Dinâmicos Discretos Vamos fazer algumas considerações iniciais e definir nossos elementos de estudo. Seja f : R R uma função. A cada valor x R consideremos a sequência de composições (ou iterações): x, f(x), f 2 (x), f (x),..., f n (x),... (2.1) em que f n (x) = f f f... f (n vezes) e f 0 (x) = x. Podemos exprimir a equação (1) como sendo a sequência x n+1 = f(x n ) (2.2) n 0 com x 0 dado. Estaremos, assim, interessados em avaliar o comportamento dinâmico de sequências obtidas dessa forma, ou seja, que são obtidas via iterações de funções reais. A grosso modo, um sistema dinâmico discreto consiste do conjunto de todos os estados possiveis, dada uma lei (função) que determina o

2 90 FAMAT em Revista estado presente em termos dos anteriores. Neste artigo, estaremos interessados apenas aos sistemas dinâmicos discretos do tipo (4.1) acima, ditos homogêneos de 1 a ordem, seu comportamento assintótico e situações caoticas envolvendo os mesmos. Mais sobre sistemas dinâmicos pode ser encontrado em () e em (8). Exemplo 2.1. Seja f(x) = x. A cada valor x 0 a sequência x n+1 = f(x n ) = (x n ) é descrita como segue: x 0, x 0, x 9 0,..., x n 0,... (2.) e a natureza asintótica da sequência depende apenas de x 0. Neste caso, se x 0 < 1, essa sequência é convergente para 0; se x 0 > 1, a sequência divergirá e, se x 0 = 1 ou x 0 = 1, a sequência será constante com valores iguais a x 0. Definição 2.1. O conjunto definido por x 0, f(x 0 ), f 2 (x 0 ),... é chamado de órbita de x 0. Definição 2.2. Dada uma função f, se existe um ponto c em seu domínio tal que f(c) = c, então dizemos que c é um ponto fixo de f. Exemplo 2.2. Seja novamente a função f(x) = x. Temos que os pontos x = 1, x = 1 e x = 0 são pontos fixos de f. Podemos chegar a essa conclusão da seguinte forma: x = x x x = 0 x(x 2 1) = 0 (2.4) donde concluímos x = 0, x = 1 ou x = 1. Logo, estes três pontos são os pontos fixos de f. Sabendo que a solução não recorrente para x n+1 = f(x n ) com f(x n ) = x n é x n = x n 0, temos que a órbita de x 0 quando este é um ponto fixo é da forma {x n } n 0 = (x 0, x 0, x 0,..., x 0,...). Vamos generalizar a idéia acima, através do seguinte teorema: Teorema 2.1. Suponha uma sequência recorrente da forma x n+1 = f(x n ), onde f é uma função real que admite c como ponto fixo (ou seja, f(c) = c). Então, se x 0 = c, a órbita de x 0 será (c, c,..., c...). Demonstração. Seja x 0 = c. Então, x 1 = f(x 0 ) = f(c) = c, x 2 = f(x 1 ) = f(c) = c, x n = f(x n 1 ), e, por recorrência, x n 1 = x 0, logo, f(x n 1 ) = c. Daí, {x n } n 0 = (c, c, c,..., c,...). Definição 2.. Um ponto x é dito ponto periódico de período n se f n (x) = x. O menor n positivo tal que f n (x) = x é dito período principal de x. Naturalmente, os pontos fixos de uma função são pontos periódicos de periodo 1. Se um ponto x 0 é periódico, sua órbita é dita órbita periódica. Se um ponto x não é periódico, mas sua órbita contém algum ponto que é periódico, então dizemos que x é eventualmente periódico. Exemplo 2.. Seja f(x) = x 2 1. Vamos tomar x 0 = 1. Então, temos que x 1 = 0, x 2 = 1, x = 0, e etc. Então, ambos os pontos x = 1 e x = 0 são pontos periódicos de período 2. Por outro lado, se considerarmos x 0 = 1, então x 1 = 0, x 2 = 1 e repetiremos a sequência anterior. Dessa forma, x = 1 é um ponto eventualmente periódico. Observação: É importante perceber que, apesar de estarmos interessados apenas em recorrência discreta. Todavia, podemos formular, paralelamente a uma situação discreta, um análogo contínuo. Vejamos um exemploplo: Exemplo 2.4. Vamos supor que tenhamos um recipiente com volume V, cheio de água salgada. Suponha que removamos h litros de água, e, em seguida, adicionemos outros h litros de água com concentração de sal c. Sistemas Dinâmicos Discretos Universidade Federal de Uberlândia

3 Caos em sistemas dinâmicos: Um exemplo 91 Seja A(n) a quantidade de sal após n repetições deste processo. Na n-ésima repetição (ou n-ésima retirada de h litros de água), removemos h litros com concentração A(n) V para acrescentar outros h galões com concentração c. Repetindo esse processo muitas vezes, a concentração de sal na água se altera, aproximando-se cada vez mais de c e afastando-se de A(n). Entre uma retirada e outra de água, a variação na quantidade de sal é dada por: ( ) A(n) A(n + 1) A(n) = + c h (2.5) V Esta equação descreve uma variação discreta na quantidade de sal na água. Alternativamente, outra modelagem para o mesmo problema seria a seguinte: vamos supor que estamos adicionando água com concentração c de forma contínua (e, naturalmente, retirando água do recipiente de forma também contínua). Seja f(x) uma função que descreva a quantidade de sal na água. Se fizermos x = nh (o que é mais adequado, pois x representa a quantidade de água que é adicionada, da mesma forma que nh representa a quantidade de litros de água que adicionamos a cada passo), então temos A(n) = f(x) e A(n + 1) = f(x + h). Portanto, a equação (2.5) pode ser reescrita como: Dividindo tudo por h, temos: f(x + h) f(x) = f(x + h) f(x) h Se fizermos h 0 (já que estamos num modelo contínuo), teremos: ( ) h f(x) + hc (2.6) v = 1 f(x) + c (2.7) v f (x) = 1 f(x) + c (2.8) v Vamos agora admitir que c = 0 (isso significa que a água adicionada ao tanque não tem sal) e v = 1 (ou seja, admitir o volume do recipiente como unidade). Temos: Em termos de equações diferenciais, a solução para (2.9) é No caso discreto, temos f (x) = f(x) (2.9) f(x) = e x f(x 0 ) (2.10) A(n + 1) = (1 h)a(n) = A(n) = (1 h) n A(0) (2.11) Se x = nh, h = x n, daí A(n) = ( 1 x n) n A(0) (2.12) De (2.10) e (2.12) podemos concluir que ( lim 1 x ) n = e x n n (2.1) O resultado obtido em (2.1) faz parte do conteúdo das disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral, onde é obtido por outros métodos. Com as expressões apresentadas, é possivel concluir que a quantidade de sal na água (admitindo que a água adicionada não possui sal) decresce exponencialmente conforme adicionamos mais água, e que tanto a modelagem discreta quanto a contínua nos permitem chegar à mesma conclusão. Faculdade de Matemática Sistemas Dinâmicos Discretos

4 92 FAMAT em Revista Análise gráfica de comportamento assintótico Nesta seção, estaremos interessados em explorar o comportamento assintótico de alguns tipos de órbitas, sem estabelecer critérios de convergência ou divergência para as sequências de iterações. Dada uma órbita (x 0, x 1, x 2,..., x n,...), definiremos a sequência "dobrada"da forma (x 0, x 0, x 1, x 1, x 2, x 2,..., x n, x n,...). Se agruparmos estes elementos da sequência dois a dois, formaremos a seguinte sequência de pontos no plano: P 0 = (x 0, x 0 ), P 1 = (x 0, x 1 ), P 2 = (x 1, x 1 ), P = (x 1, x 2 ),..., P n = (x n 1, x n ), P n+1 = (x n, x n ). Se dispusermos, então, os segmentos de reta da forma P i P i+1 junto com o gráfico da função, então obteremos um gráfico de Lamerey (ou diagrama de escada, diagrama de Verhulst ou diagrama teiade-aranha; para mais detalhes sobre Gráficos de Lamerey, consulte (1), (), (4); iremos nos referir aos mesmos somente como Gráficos de Lamerey), que nos permite uma visualização do tipo de convergência obtida. Observa-se que os pontos de índice par estão sobre a curva y = x e os pontos de índice par estão sobre a curva y = f(x). Exemplo.1. Seja f(x) = x e seja x 0 = 0.8. Se iterarmos essa função vezes da forma que foi descrita anteriormente, obteremos a seguinte sequência: Teremos então a sequência de pontos dada por: (x 0, x 1, x 2, x ) = (0.8, 0.512, 0.142, ) (.1) P 0 = (0.8, 0.8) P 1 = (0.8, 0.512) P 2 = (0.512, 0.512) P 4 = (0.512, 0.142) P 5 = (0.142, 0.142) P 6 = (0.142, ) P 7 = (0.0024, ) Obtendo o diagrama na Figura 1. Figura.1: Gráfico de Lamerey para f(x) = x e x 0 = 0.8 Tal sequência converge para 0 quando n cresce. Considerando a mesma função f(x) = x, mas x 0 = 1.1, então teremos (x 0, x 1, x 2, x ) = (1.1, 1.1, 2.58, 1.11) (.2) Vemos a divergência na Figura 2. Esta sequência gerada nunca converge para algum valor real, pois x n+1 > x n, uma vez que x 0 > 1. O exemplo a seguir mostra como se comporta a sequência que converge de forma não monotônica (ou seja, a sequência oscila entre valores maiores e menores do ponto fixo, convergindo para este). Análise gráfica de comportamento assintótico Universidade Federal de Uberlândia

5 Caos em sistemas dinâmicos: Um exemplo 9 Figura.2: Gráfico de Lamerey para f(x) = x e x 0 = 1.1 Exemplo.2. Seja x n+1 = x n com f(x) = e x, x > 0. Se x 0 = 1, então x 1 = x 2 = x = 0.50 x 4 = x 5 = x 6 = x 7 = 0.56 x 8 = 0.57 x 9 = Com estes valores, temos o Diagrama de Lamerey da Figura. Figura.: Gráfico de Lamerey para f(x) = e x e x 0 = 1 Todos os exemplos anteriores foram expostos com funções que admitiam pontos fixos. Vamos ver a seguir uma sequência de iterações que tem como lei uma função sem pontos fixos. Exemplo.. Seja x n+1 = x n com f(x) = x Se x 0 = 0.1, então x 1 = 0.51 x 2 = x = x 4 = x 5 =.2607 x 6 = Com estes valores, temos o Diagrama de Lamerey da Figura 4. Tal sequência caracteriza-se pela sua divergência, independente de qual x 0 seja escolhido. Podemos verificar isso da seguinte forma: Se x = x, então x 2 x = 0, e as raizes dessa equação são complexas. Faculdade de Matemática Análise gráfica de comportamento assintótico

6 94 FAMAT em Revista Figura.4: Gráfico de Lamerey para f(x) = x e x 0 = Condições de Convergência Até o momento, exploramos algumas características de convergência para órbitas, sem, no entanto, estabelecer condições para que estas sequências fossem convergentes. O teorema enunciado a seguir estabelece condições necessárias e suficientes para que a convergência de sequências geradas através de iterações de sistemas dinâmicos discretos sejam convergentes. Para a demonstração do mesmo, precisaremos de dois resultados, que aqui serão enunciados como lema, e que cujas demonstrações estão em (11). Lema 4.1 (Teorema do Valor Médio). Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a, b] e diferenciável em (a, b). Então, existe c (a, b) tal que f (c) = f(b) f(a) b a Lema 4.2 (Teorema da Permanência do Sinal). Seja f uma função real de variável real definida e contínua numa vizinhança de x 0. Se f(x 0 ) 0 então f(x) 0 para todo x numa vizinhança suficientemente pequena de x 0. Teorema 4.1. Seja f(x) contínua, de classe C 2 num intervalo I que contenha um ponto x tal que f(x) = x. Se x 0 I e M é um limitante real da forma f (x) M < 1 em I, então: a) x k x 0 b) Se f (x) 0 ou f (x) = 0 e f (x) 0, e se x 0 f (x) for suficientemente pequeno, então a sequência [x n ] será monotônica ou oscilante. Demonstração. a) Sabemos que x k+1 x = f(x k ) f(x). Pelo Teorema do Valor Médio, temos: (4.1) x k+1 x = f (ξ k )(x k x) (4.2) onde ξ k está entre x k e x. Se colocarmos a igualdade acima em valores absolutos, temos: Temos: Como M < 1 e x 0 x é limitado, temos x k x = f (ξ k ) x k x M x k x (4.) x k x M x k 1 x M 2 x k 2 x... M k x 0 x (4.4) lim M k = 0 (4.5) k e, portanto, x k x 0. b) Seja f (x) 0. Pelo Lema 2 temos que, numa vizinhança suficientemente pequena de x, f (x) terá o mesmo sinal de f (x). Assim, de x k+1 x = f (ξ k )(x k x) temos: Condições de Convergência Universidade Federal de Uberlândia

7 Caos em sistemas dinâmicos: Um exemplo 95 (i) Se f (x) > 0 e x k x x k+1 x (ii) Se f (x) > 0 e x k x x k+1 x. (iii) Se f (x) < 0 e x k x x k+1 x. (iv) Se f (x) < 0 e x k x x k+1 x. Como x k x 0, a convergência será monotônica em (i) e (ii) e será oscilante em (iii) e (iv). Por outro lado, se f (x) = 0 e f (x) 0, pelo Lema 1, temos: onde θ k está entre ξ k e x. Assim, f (ξ k ) f (x) = f (θ k )(ξ k x) (4.6) x k+1 x = f (θ k )(ξ k x)(x k x) (4.7) Pelo Lema 2, f (x) terá o mesmo sinal de f (x) numa vizinhança suficientemente pequena de x. Como (ξ k x)(x k x) 0, pois tanto ξ k quanto x k são ambos maiores ou menores que x, temos que, se f (x) > 0 x k+1 x, k f (x) < 0 x k+1 x, k então a sequência x 0, x 1, x 2,..., será monotônica, independente do sinal de x 0 x. 5 Caos Os resultados e técnicas até aqui abordados serão agora utilizados para estudar como se comporta uma sequência específica gerada por um sistema dinâmico discreto que, aparentemente, deveria convergir para um valor complexo não real. Todavia, iremos mostrar que esta sequência não segue nenhum padrão de convergência ou divergência, mas cria uma situação "caótica". Neste estudo, utilizaremos o Método de Newton, cuja dedução e argumentação sobre a convergência do mesmo foram omitidas e podem ser obtidos em (6). Maiores detalhes sobre esse tipo de situação caótica em (2). Pelo Método de Newton, temos a sequência: x k+1 = x k f(x k) f (x k ) onde x 0 é dado num intervalo I e x x 0 é suficientemente pequeno (x é tal que f(x) = 0). Admitiremos que esta sequência converge para x quando k, se não existir um número a em I tal que f (a) = 0. Geometricamente, se x é um ponto tal que f(x) = 0, podemos tomar um intervalo I = (x+h, x h) onde f (x) 0 para todo x em I. Escolhendo x 0 em I, traçamos a reta tangente ao gráfico em f(x 0 ). Como nenhum ponto em I tem derivada nula, esta reta nunca é paralela ao eixo x, logo, existe interseção desta tangente com o eixo. Seja x 1 esta interseção. Agora, traçamos a reta tangente ao gráfico em f(x 1 ). Repetindo esse processo, geramos uma sequência de x i que converge para a raiz. Vejamos um exemplo. Exemplo 5.1. Seja f(x) = tg(x), x ( π, π). Sabemos que tg(0) = 0. Vamos produzir uma sequência via Método de Newton que convirja para 0, usando x 0 = 1. Temos: e temos os seguintes elementos da sequência: x k+1 = x k tg(x k) sec 2 (x k ) (5.1) (5.2) x 1 = x 2 = x = Podemos visualizar as retas tangentes na Figura 5. Faculdade de Matemática Caos

8 96 FAMAT em Revista Figura 5.1: Retas tangentes em f(x) = tg(x) Da forma com que foi descrito, o Método de Newton define um sistema dinâmico. Estaremos interessados em aplicar o Método de Newton para equações da forma f(x) = x 2 b, e, mais especificamente, no caso em que b = 1. Sabemos que tal equação não possui raízes reais, e, portanto, o Método de Newton não converge para nenhum valor. Isso não implica divergência. Nosso interesse é, portanto, estudar o comportamento apresentado por essa sequência. Se f(x) = x 2 + 1, então f (x) = 2x e portanto o Método de Newton gera uma sequência da forma x k+1 = x k x2 k + 1 2x k (5.) Vamos considerar alguns exemplos para o sistema dinâmico com (5.) como função associada. Exemplo 5.2. Considerando (5.), e x 0 = 1, então temos: x 1 = = = 0 (5.4) Dessa forma, x 2 não pode ser definido (pois teríamos uma divisão por zero). O mesmo acontece se tomarmos x 0 = 1. Podemos, no entanto, considerar x 0 = 1. Então Dessa forma, temos x 1 = 1 x 2 = 1 ( ) = = 1 2 = 1 (5.5) ( ) = 1 + e, portanto, concluímos que 1 e 1 são pontos periódicos de periodo 2. Considerando (5.), e x 0 = 2, então temos: 2.4 = = 1 (5.6) x 1 = 0.75 x 2 = x = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 = x 8 = x 7 = x 8 = x 9 = x 10 = x 11 = x 12 = x 1 = x 14 = A sequência acima não apresenta nenhuma tendência convergente ou divergente aparente. É razoável supor que tal comportamento ocorre pelo Método de Newton não poder convergir para um número complexo. É natural que o método falhe. Doravante, nosso objetivo será conhecer a natureza desta falha. Caos Universidade Federal de Uberlândia

9 Caos em sistemas dinâmicos: Um exemplo 97 Se considerarmos que y = f(x) = x 2 + 1, obteremos a sequência definida por y n+1 = x 2 n Dessa forma, estaremos analisando a distribuição da sequência sobre o eixo y. Temos: Então y n+1 = = = 1 4 ) (x n (x n+1) 2 2 2x n + 1 ( 2x 2 n x2 n +1 ) 2 2x n + 1 ( ) 2 x n 1 x n + 1 ( ) x 2 n = 1 4 = 1 (x 2 n 1)2 4 x 2 n y 2 n = 1 4 y n 1 y n+1 = 1 4 y n 1 Vamos executar a mudança de variável y n = 1. Teremos, então: z n ( ) 2 1 y 2 n x 2 n (5.7) 1 z n+1 = 1 4 É importante notar que, sendo z n 1 z n + 1 z n+1 = 4 z n z n z 2 n z n+1 = 4z n 4z 2 n (5.8) z = 1 y = 1 x então z é sempre diferente de zero, e z (0, 1]. A equação (5.8) é um caso particular da equação logística, em uma versão "discretizada". Voltaremos a ela mais tarde. Neste ponto, algumas observações são importantes. É possível verificar que as interseções de (5.8) e a reta diagonal são z = 0 e z = 4. Se F (z) = 4z 4z 2, então F (z) = 8z + 4. Dai, temos F (0) = 4 e F ( 4 ) = 2 e, pelo Teorema 2, temos que essas sequências não convergirão (pois não atendem às hipóteses do mesmo). No entanto, veremos que essas sequências também não divergirão. Se x então z 0. Se z 0 = 1 2, então z 1 = 1 e z 2 = 0. Todos os outros z n serão zero depois da 2 a iteração. (5.9) Como z = 4 é ponto fixo, pelo Teorema 1, segue que ele é cíclico. Temos: z = 1 x x2 = 1 x = ± 1 (5.10) É importante perceber a relação entre os valores de x acima e os pontos periódicos obtidos no Exemplo 5.2. Vamos observar o comportamento caótico de uma sequência de iterações de (5.8) para algum z 0 inicial entre 0 e 1, diferente de 1 2 e de 4, pelo gráfico de Lamerey na Figura 6. Percebemos uma sequência não convergente e não divergente com comportamento muito similar àquela obtida quanto iteramos a equação (5.). A essa situação chamaremos de caos. Naturalmente, se produzíssemos mais iterações, continuaríamos gerando mais números caóticos. Como já vimos, os dois pontos fixos da parábola possuem derivadas com valor absoluto maior que 1, e, portanto, as hipóteses do teorema não são atendidas. Faculdade de Matemática Caos

10 98 FAMAT em Revista Figura 5.2: Gráfico de Lamerey para z n+1 = 4z n 4z 2 n e x 0 = 0.4 com 10 iterações 6 Períodos Quadráticos e Bifurcações Nessa última seção, realizaremos um breve estudo sobre pontos periódicos que surgem em equações do tipo f(x) = µx(1 x), onde µ é um coeficiente real. À família de equações desse tipo daremos o nome de família quadrática ou equação logística. Elas foram introduzidas por May (ver (5)), e se referem à modelagem matemática de populações. Nosso objetivo será verificar que o comportamento de uma sequência gerada por composições sucessivas de uma equação logística varia entre convergência, caos e divergência quando varia o parâmetro µ. Já sabemos que a sequência gerada quando µ = 4 é de natureza caótica. Vamos analisar o comportamento das sequências para outros valores de µ. Primeiramente, vamos encontrar os pontos fixos de f(x) = µx(1 x), considerando µ 0. Se x = µx µx 2, então os pontos fixos são x 1 = 0 ou x 2 = µ 1 µ. Além disso, f (x) = 2µx + µ. Em x 1 = 0, temos f (0) = µ, e, em x 2 = µ 1 ( ) µ 1 µ, temos f = 2 µ. Pelas condições do Teorema µ (4.1), temos: Se 0 < µ < 1, 0 < f (x 1 ) < 1, portanto, a sequência converge para 0. Para 1 < µ <, 1 < f (x 2 ) < 1, logo, a sequência converge para µ 1 µ. Para µ >, a convergência e impossivel (pois f (x 1 ) > e f (x 2 ) < 1). No entanto, a sequência pode convergir para ciclos, como veremos no exemplo a seguir. Exemplo 6.1. Na equação f(x) = µx(1 x) a tabela abaixo relaciona os ciclos para os quais a sequência converge quando alteramos o valor de µ. Tomamos as centésima até centésima décima Períodos Quadráticos e Bifurcações Universidade Federal de Uberlândia

11 Caos em sistemas dinâmicos: Um exemplo 99 sexta iterações, para que tivéssemos uma boa margem de convergência em cada caso. µ =.4 µ =.5 µ =.55 µ =.57 z 100 = z 101 = z 102 = z 10 = z 104 = z 105 = z 106 = z 107 = z 108 = z 109 = z 110 = z 111 = z 112 = z 11 = z 114 = z 115 = z 116 = Percebemos, assim, que, conforme o parâmetro µ cresce em direção a 4, convergências para pontos periódicos de ordem 2, 2 2, 2, etc, vão surgindo. Percebemos que o surgimento de novos períodos é instável; a mínima variaçao em µ pode determinar o surgimento de períodos de ordem 2, 4 ou 8. Percebemos que, quando µ =.57 já fica impossível obter pontos de período 16 ou menor. A afirmação de que estamos contemplando um período de ordem 2 ou maior não pode ser feita apenas via esse método. E, conforme o parâmetro µ cresce, especificamente para valores de µ maiores que.8, ciclos de periodos de ordens diferentes de potências de 2 surgem até que, finalmente, temos uma situação de caos, onde qualquer sequência gerada a partir de iterações não obedece nenhum padrão de convergência, convergência para ciclos ou divergência. O resultado final de todas as considerações feitas até agora será obtido da seguinte maneira: em um gráfico onde o eixo das abcissas corresponde aos valores de µ e o eixo das ordenadas, aos valorez para os quais a sequência dos z n converge. Obteríamos, assim, o Diagrama de Bifurcação (Figura 7). Essa figura é chamada de Diagrama de Bifurcação e é um exemplo de uma estrutura fractal. Quando µ.8, existe um ciclo de período. É conveniente citar, então, o Teorema de Sarkovskii. Teorema 6.1. Seja f : R R contíua. Suponha que f tenha um ponto periódico de periodo. Então f terá pontos periódicos de todos os outros períodos. Este resultado permite perceber que, uma vez que µ >.8, teremos uma situação onde periodos de todas as ordens poderão surgir e desaparecer logo em seguida na sequência gerada. A demonstração do teorema, bem como estudos mais aprofundados sobre suas consequências em dinâmicas caóticas podem ser encontradas em (8). 7 Considerações finais Caos e sistemas dinâmicos complexos são áreas de estudo que recentemente têm recebido atenção especial dos pesquisadores. Neste artigo, expusemos alguns tópicos introdutórios sobre dinâmica caótica através de um exemplo - o comportamento do Método de Newton quando aplicado a uma equação com raízes complexas. Não estivemos interessados, portanto, em aprofundar na teoria sobre Sistemas Dinâmicos que elucida muitas das questões que talvez tenham surgido. Em especial, aos interessados são recomendadas as leituras () e (8) nas referências bibliográficas. Faculdade de Matemática Considerações finais

12 100 FAMAT em Revista Figura 6.1: Diagrama de bifurcação Referências Bibliográficas [1] SANDEFUR, James T, "Discrete Dynamical Modeling". The College Mathematics Journal, no. 22, 1-22, [2] STRANG, Gilbert. "A Chaotic Search for i". The College Mathematics Journal; no.22, -11, [] HOLMGREN, Richard A. "A first course in discrete dynamical systems". Ed. Springer-Verlag, [4] DEVANEY, Robert L. "The Orbit Diagram and the Mandelbrot set". The College Mathematics Journal; no. 22, 2-7, [5] MAY, R, M. "Mapa Logístico". Nature, 261:469,1976. [6] FRANCO, Neide Bertoldi - "Cálculo Numérico". Ed. Pearson-Prentice Hall. São Paulo-SP, [] BASSANEZI, Rodney C. "Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática". Ed. Contexto. São Paulo-SP, [8] DEVANEY, Robert L. "An Introduction to Chaotic Dynamical Systems". 2 a edição, ed. ABP, Colorado, US, [9] EDELSTEIN-KESHET, Leah. "Mathematical Models in Biology". Ed McGraw Hill, US, [10] CÂMARA, Fernando Portela. "Dinâmica de Populações". IM-UFRJ. [11] GUIDORIZZI, Luís Hamilton. "Um Curso de Cálculo", vol. 1, 5 a edição, ed. LTC. São Paulo, SP, Considerações finais Universidade Federal de Uberlândia