Oficina Operações. 1ª etapa Discussão sobre a importância das operações

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1 Oficina Operações A oficina está dividida em 3 etapas: - Na primeira etapa serão discutidas com os alunos algumas das inúmeras situações cotidianas em que fazemos uso das operações com números. - Na segunda etapa, serão propostas duas situações-problema que envolvem as quatro operações básicas e o uso do material dourado para representar os números. - A última etapa é constituída de alguns jogos, atividades e curiosidades sobre as operações. Todas essas etapas têm o objetivo de desenvolver a habilidade em Operar com números inteiros (H6). 1ª etapa Discussão sobre a importância das operações Para iniciar a oficina, é interessante discutir com os alunos que as situações cotidianas que exigem a capacidade de operar com números são vastas. Pedir que eles deem alguns exemplos. A seguir vão algumas sugestões. - Orçamento doméstico: soma das despesas mensais, subtração entre receitas e despesas. Escrever ou projetar na lousa uma pequena planilha e mostrar como determinamos as receitas, os gastos e o quanto sobra. Neste momento, não é preciso fazer as contas, pois o objetivo é apenas mostrar o uso das operações em uma situação cotidiana. Receitas: Despesas: Salário 1: R$1.200,00 Alimentação: R$ 450,00 Salário 2: R$ 540,00 Serviços básicos (água, luz, gás...): R$ 95,00 Transporte: R$ 300,00 Aluguel: R$ 400,00 - Estimativa da quantidade de tijolos necessários para fazer um muro. Para determinar quantos tijolos formam uma fileira, devemos dividir o comprimento da fileira pelo comprimento de um tijolo (mais o rejunte); a mesma coisa para o número de fileiras: devemos dividir a altura da parede pela altura do tijolo; finalmente, o número total de tijolos na parede é dado pela multiplicação do número de tijolos em uma fileira pelo número de fileiras. Novamente, ilustrar esse procedimento desenhando ou projetando na lousa a imagem de uma parede de tijolos, e mostrando como determinaríamos os números citados, apontando o uso das operações, mas sem fazer os cálculos.

2 Se a altura do muro mede 55 cm e a altura do tijolo (mais o rejunte) é de 5 cm, então haverá 11 fileiras de tijolos (55 5). Se a largura do muro mede 120 cm e a largura do tijolo (mais o rejunte) é de 20 cm, então haverá 6 tijolos em uma fileira (120 20). O número total de tijolos é aproximadamente 11 6 = Preparação de uma feijoada: se serão usados 5 kg de feijão, quantos pacotes de meio quilo de feijão deverão ser comprados? (operação de divisão). - Estimativa do gasto mensal com transporte: multiplicação do gasto diário pelo número de dias no mês em que se faz uso de transporte pago. - Comparação de datas - resolver problemas como o seguinte: Minha mãe nasceu em Quantos anos ela tinha no golpe militar de 1964? A operação envolvida é uma subtração entre os anos. Como foi dito, os exemplos são inúmeros. A lista vai longe... 2ª etapa Proposição de situações-problema Nesta etapa, serão propostas algumas situações-problema sobre operações. Argumentar com os alunos que o primeiro e mais importante passo é identificar a operação envolvida no problema. É evidente que as técnicas de cálculo são importantes (fundamentais, na verdade), mas só com o domínio das técnicas não se chega a lugar nenhum! É fundamental compreender o problema e identificar conceitualmente a operação envolvida. Com o objetivo de fazer com que os alunos aprimorem sua compreensão e habilidade de cálculo, pediremos que eles representem com o material dourado os números e as operações necessárias para a resolução de cada problema.

3 PROBLEMA 1 Um atleta, preparando-se para a corrida de São Silvestre, realizou os seguintes treinos na semana que antecedeu a prova: Segunda-feira: 18 km Terça feira: 20 km Quarta feira: 15 km Quinta feira: 14 km Sexta feira: 13 km a) Qual a distância total percorrida na semana? Resposta: 80 km b) Quantos quilômetros a mais ele percorreu na terça feira em relação à quinta feira? Resposta: 6 c) Suponha que nas 5 semanas anteriores ele tenha seguido exatamente o mesmo cronograma de treinos. Qual a distância total percorrida nestas 5 semanas? Resposta: 400 km d) Se ele quisesse percorrer a mesma distância total na semana, mas correndo uma mesma distância todos os dias, quantos quilômetros ele deveria correr por dia? Resposta: 16. Comentários: Esse problema aborda as quatro operações básicas. Para o item a), o aluno deverá representar cada uma das 5 distâncias com o material dourado e depois somá-las, agrupando as unidades e dezenas e transformando os grupos de 10 unidades em uma dezena. Para os demais itens, seguir a mesma ideia de representação (no item c), será necessário usar as placas de centenas do material dourado). No item d), comentar que esse cálculo de divisão recebe um nome especial: é a famosa média! PROBLEMA 2 Um pedreiro vai azulejar uma cozinha. Veja as medidas das quatro paredes: 40 cm 40 cm 60 cm 120 cm 20 cm 20 cm 220 cm Há duas paredes como essa 220 cm Janela 220 cm 120 cm Porta 400 cm 260 cm 260 cm

4 Considere que os azulejos escolhidos para o revestimento são quadrados com lados de 20 cm, já contando a pequena espessura do rejunte. a) Quantos azulejos serão usados na cozinha? Resposta: 650 azulejos. b) Considere que os azulejos são vendidos em caixas que contêm, cada uma, 30 peças. Quantas caixas o pedreiro precisará comprar para este serviço? Resposta: 22 caixas. Comentários: Antes de apresentar o problema com todos os seus dados, é interessante propô-lo aos alunos de maneira bem aberta. Por exemplo, perguntar simplesmente: quantos azulejos são necessários para revestir uma parede? O objetivo é fazer com que os alunos identifiquem as variáveis relevantes: as medidas das paredes e o tamanho do azulejo. Esse é um ponto muito importante: os problemas tradicionais, isto é, do tipo que costuma ser cobrado em avaliações, sempre trazem as informações necessárias. Entretanto, avaliar quais são essas informações é uma habilidade essencial, que devemos desenvolver nos alunos em atividades como essa. Após ouvir a opinião dos alunos sobre quais são os dados necessários, fornecer as medidas. Dar liberdade para que os alunos resolvam como acharem mais conveniente. Para aqueles que não conseguirem, sugerir que usem a estratégia mencionada no exemplo da parede de tijolos, isto é, verificar quantos azulejos cabem em uma fileira (dividindo o comprimento da fileira pelos 20 cm de cada azulejo) e em seguida multiplicar o resultado pelo número de fileiras necessárias. Atenção para a subtração dos azulejos que ocupariam o espaço da porta e da janela. Veja um exemplo para a parede com a janela (o desenho está meio desproporcional!): Janela N de azulejos caso não houvesse a janela: = N de azulejos ocupados pela janela: 36 (4 9) N de azulejos utilizados: = 107 A exemplo do problema anterior, este trabalha as 4 operações básicas. Não esquecer de representar as operações com o material dourado (13 11, etc.)

5 3ª etapa Atividades, jogos e curiosidades Oficina CNI/EF Atividade 1 Subtração diferente Propor aos alunos a leitura do seguinte texto, retirado do site português NETMATE ( curiosidades com números): No ano 830, Mohamed Ben Musa Alkarismí, um dos sábios mais notáveis do Século IX, fazia subtrações de números inteiros da seguinte forma: (Para que possa acompanhar as operações usaremos aqui algarismos modernos.) De vamos tirar A operação era iniciada pela esquerda (operação I). Assim, a 12 tirava 3 e restavam 9; cancelava os algarismos considerados( 12 e 3) e escrevia o resto obtido em cima do "minuendo". (Veja abaixo.) = Continuando: a 90 tirava 6 restavam 84. A diferença obtida (operação II) era escrita sobre o "minuendo", e os algarismos que formavam os termos de subtracção eram cancelados = Por fim, a 8425 tirava 4 e restavam 8421 (operação III). E assim temos a diferença entre os números dados.

6 PROBLEMA 3 Usando a técnica descrita no texto, efetue a subtração Resposta: = = O resultado é = 645. Atividade 2 - O problema dos quatro quatros Leia a descrição de um interessante jogo matemático. O problema dos quatro quatros foi apresentado na obra O Homem que Calculava, do autor brasileiro Júlio César de Mello e Souza, sob o heterônimo Malba Tahan. O problema consiste em formar expressões aritméticas utilizando apenas quatro algarismos 4, equivalentes, cada um, aos números inteiros. Segundo o autor, é possível formar todos os números inteiros entre 0 e 100, utilizando, além dos números, quaisquer sinais e operações matemáticas Fonte: Para compreender melhor o problema, vejamos algumas maneiras de se obter os números 0 e 1 por meio de expressões contendo apenas 4 algarismos 4 e os sinais operatórios básicos: 0 = = = = PROBLEMA 4 Tente construir expressões para os números de 0 a 10, formadas apenas quatro algarismos 4 e os sinais +,, e. É permitido também usar os parênteses. Por exemplo: 0 = (4 + 4) Resposta: A seguir estão algumas outras possibilidades, além das escritas acima.

7 0 = 4 4 ; 0 = (4 4) (4 + 4) = 4 4 ; 1 = ; 1 = = ; 2 = = = ; 4 = (4 4) 4 5 = = = ; 7 = = (4 + 4); 8 = = = Comentário: De acordo com o problema original, outros símbolos e operações matemáticas podem ser usados, como a potenciação, a raiz quadrada, o fatorial (símbolo! ) etc. Como os alunos ainda estão no início do curso, devemos nos limitar às operações básicas (+, -, e ), que, como vimos, são suficientes para obter expressões para os números de 0 a 10. Talvez os alunos não estejam familiarizados com o uso dos parênteses. Caso isso aconteça, dar uma breve explicação sobre sua função em uma expressão numérica, argumentando que futuramente eles verão isso em mais detalhes (uma sugestão é imaginar os parênteses como um grupinho isolado do resto). Atividade 3 O problema dos cinco dois Esta atividade foi extraída do excelente livro A Magia da Matemática, de Ilydio Pereira de Sá 1. Ela é bem parecida com a anterior. PROBLEMA 5 Tente construir expressões para os números de 0 a 10, formadas apenas com cinco algarismos 2 e os sinais +,, e. É permitido também usar os parênteses, mas não é necessário! Resposta: Seguem algumas possibilidades (há várias outras, principalmente se usarmos os parênteses!): 1 Editora Ciência Moderna, 2007.

8 0 = = = = = = = = = = = Atividade 4 Multiplicação Russa Como você deve ter percebido na atividade 1, as técnicas tradicionais que aprendemos para efetuar cálculos não são únicas. Diversos povos desenvolveram seus próprios métodos. Veremos agora uma técnica para efetuar a multiplicação entre dois números inteiros, conhecida como multiplicação russa (por ter sido, segundo alguns pesquisadores, utilizada por camponeses russos no século 19). Esta técnica também está descrita no livro A Magia da Matemática, citado anteriormente. Vamos imaginar uma multiplicação qualquer entre dois números inteiros. Por exemplo: Escrevemos os dois números lado a lado Em seguida, aplicamos repetidamente o seguinte procedimento: dividimos o número da coluna da esquerda por 2 e multiplicamos o da direita por 2, escrevendo os resultados na linha de baixo. Caso a divisão por dois (na coluna da esquerda) não seja exata, o resultado deve ser aproximado para baixo. O processo termina quando o número da coluna da esquerda chega a 1. Veja:

9 As divisões 11 2 e 5 2 não são exatas. Por exemplo, 11 2 tem quociente 5 e resto 1. Neste caso, mantém-se o 5 na linha de baixo. Oficina CNI/EF O passo seguinte é eliminar da tabela as linhas em que o número da esquerda é par: Finalmente, somamos os números da coluna da direita: = 2552 Este é justamente o resultado da multiplicação procurada. Pode verificar! É interessante notar que, com esse método, é possível calcular qualquer multiplicação apenas com multiplicações e divisões por 2! PROBLEMA 6 Calcule o produto pelo método russo descrito acima. Resposta: = PROBLEMA 7 Desafio Você conseguiria explicar por que o método da multiplicação russa funciona? Discuta com seus colegas e seu (sua) monitor (a), reflitam sobre as questões que foram apresentadas nesse material e tentem chegar a uma conclusão. Vamos lá, mão na massa! Outra pergunta: No exemplo dado, se o 29 tivesse sido colocado na coluna da esquerda e o 88 na coluna da direita, de forma que o 29 fosse sendo dividido por 2 e o 88 fosse sendo multiplicado por 2, isso faria alguma diferença? Resposta: Não!

10 Atividade 5 Quadrados mágicos Um passatempo matemático muito interessante são os Quadrados Mágicos, cuja origem remonta a antes da era Cristã. Como o próprio nome sugere, um quadrado mágico é uma tabela com igual número de linhas e colunas, onde cada posição deve ser ocupada por um número diferente, de tal forma que a soma dos números em qualquer linha, coluna ou diagonal seja sempre a mesma. Veja um exemplo: Observe que a soma dos números em todas as linhas, colunas e nas duas diagonais é sempre igual a 15. Este é um quadrado de ordem 3, por possuir 3 linhas e 3 colunas, mas há quadrados de ordens muito superiores. O passatempo consiste em completar um quadrado mágico inicialmente preenchido com apenas algumas posições. Veja um exemplo abaixo: Podemos iniciar observando que a soma de uma diagonal é = 45. Esse deve ser, portanto, o resultado da soma dos números em todas as linhas e colunas. Na coluna da direita, por exemplo, já temos os números 12 e 14, que somados resultam em 26. Portanto, para que a soma nessa coluna seja 45, o número do meio deve valer 19 (pois = 19). O mesmo raciocínio nos permite concluir que o número do meio da última linha deve ser 13 (pois = 32, e = 13). Com essas duas novas posições preenchidas, não é difícil completar o restante:

11 PROBLEMA 8 Tente completar o seguinte quadrado mágico: Atividade 6 Jogo do resto O jogo do resto é bastante simples, e está descrito nas páginas 4 e 5 do seguinte artigo: Além de jogar, os alunos deverão responder às 5 questões propostas pelo autor: PROBLEMA 9 1. No começo do jogo, quais os resultados do dado que não permitem ao jogador avançar? 2. Qual o maior número de casas que um jogador pode andar? 3. Por que na casa 0 está escrita a palavra Tchau? 4. Estando em uma casa qualquer, quais os resultados no dado que não permitem ao jogador avançar? 5. Se o jogador estiver na casa 80, quais são os números que devem sair no dado para que ele ganhe o jogo? E se ele estiver na casa 51?