A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO ATRAVÉS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA. Paulo Roberto Castor Maciel. Orientadora:

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1 A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO ATRAVÉS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA Paulo Roberto Castor Maciel Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências e Matemática, Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ, como parte dos resquisitos à obtenção do título de Mestre Orientadora: Tereza Maria Rolo Fachada Levy Cardoso Rio de Janeiro Dezembro 2011

2 ii A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO ATRAVÉS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciência e Matemática do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre. Paulo Roberto Castor Maciel Aprovada por: Presidente, Prof.a Tereza Maria Rolo Fachada Levy Cardoso, D.H. (orientadora) Prof. Rafael Garcia Barbastefano, D.Sc. Prof. Dayse Haime Pastore, D.Sc. Prof. Lucia Maria Aversa Villela, D.Sc. (U.S.S) Rio de Janeiro Dezembro 2011

3 iii Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Central do CEFET/RJ M152c Maciel, Paulo Roberto Castor A construção do conceito de função através da história da matemática / Paulo Roberto Castor Maciel xii, 95f.: il. color., grafs. ; enc. Dissertação (Mestrado) Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca, Bibliografia : f Orientadora : Tereza Maria Rolo Fachada Levy Cardoso 1. Matemática História. 2. Ensino - Tecnologia. 3. Matemática - Educação. I. Cardoso, Tereza Maria Rolo Fachada Levy (Orient.). II. Título. CDD CDD CDD

4 iv Dedicatória Dedico esse trabalho ao meu amor.

5 v Agradecimentos Agradeço à Professora Tereza, por todas as suas dicas, sugestões, críticas, companheirismo e suporte para a realização desse trabalho. Agradeço aos meus pais por toda criação e apoio em todos os momentos da minha vida. Agradeço ao amigo Anderson, pelas conversas e apoio para ingressar no mestrado. Agradeço aos bolsistas do Laboratório de História da Ciência pelo magnífico trabalho que fizeram nas etapas de criação do vídeo. Agradeço à Andréia Quadrios pela correção dos textos. Agradeço ao Diego, por todo suporte, ajuda e companheirismo na execução da pesquisa e ajuda na produção da dissertação. Agradeço aos alunos que participaram da pesquisa, pois sem eles isso não teria sido possível.

6 vi Epígrafe... toda ciência pode ser exposta mediante dois caminhos essencialmente distintos: o caminho histórico e o caminho dogmático. Qualquer outro modo de exposição não será mais do que a combinação desses caminhos. Auguste Comte

7 vii RESUMO A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO ATRAVÉS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA Paulo Roberto Castor Maciel Orientadora: Tereza Maria Rolo Fachada Levy Cardoso. D.H. Resumo da dissertação submetida ao Programa de Ensino de Ciências e Matemática do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca, CEFET-RJ como parte dos requisitos necessários para obtenção do grau de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática. A educação pública brasileira é alvo de críticas e de promessas eleitorais no que tange à sua baixa qualidade e possibilidade de investimento. Com a intenção de quantificar o desempenho dos alunos da rede pública estadual do Rio de Janeiro, foram estabelecidos instrumentos de avaliação de Larga Escala, como o Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB) e o Sistema de Avaliação do Estado do Rio de Janeiro (SAERJ). Os resultados obtidos foram preocupantes, pois demonstraram que mais de 60 % dos alunos não atingiram o grau de proficiência adequado ao seu nível escolar para as habilidades em Matemática. Observou-se uma grande importância dada ao conceito de função na matriz de referência das avaliações de larga escala. Dessa forma, esse trabalho propõe-se a promover uma aprendizagem significativa desse conceito. Para isso, foi utilizada a História da Matemática como estratégia de ensino e o vídeo como recurso didático. O procedimento metodológico adotado consistiu em pesquisa bibliográfica sobre a história do conceito de função, sobre os aspectos relevantes ao ensino do conceito de função e dos aspectos históricos relevantes para o ensino de funções. Após essas etapas, elaborou-se um roteiro de vídeo direcionado ao Ensino Médio, com uma linguagem apropriada e de fácil entendimento. A pesquisa iconográfica foi simultânea ao processo de criação do vídeo. A construção e edição do vídeo foram às últimas etapas do processo. Cabe ressaltar que, nas etapas relacionadas à construção desse vídeo, houve a participação de alunos de ensino médio, sob supervisão. O vídeo apresenta-se em formato de documentário e aborda a História do conceito de função. Percebeu-se, no período de construção do roteiro, a necessidade de se elaborar um caderno de atividades para corroborar os conhecimentos tidos como relevantes sobre a temática por meio de exercícios direcionados. A intervenção foi realizada em uma turma do 1º ano do Ensino Médio da rede pública estadual do Rio de Janeiro. Como etapa prévia aos recursos didáticos, foi realizado um teste com questões objetivas a fim de verificar o conhecimento acumulado. Após a exibição do vídeo e resolução do caderno de atividades, teve-se a aplicação de uma segunda avaliação objetiva de modo a comparar os resultados. A análise dos dados ratificou o desempenho discente nos exames oficiais e não houve diferença entre as pontuações dos testes. No entanto, pela correção dos cadernos de atividades foi possível analisar o raciocínio dos alunos e perceber em que ponto deste há a defasagem que os impedem de prosseguir na resolução ou quais os conceitos que necessitam ser retomados ou retificados. Palavras-Chave: História da Ciência; Educação Matemática; função Rio de Janeiro Dezembro/2011

8 viii ABSTRACT CONSTRUCTION OF THE CONCEPT OF FUNCTION THROUGH THE HISTORY OF MATHEMATICS Paulo Roberto Castor Maciel Advisor: Tereza Maria Rolo Fachada Levy Cardoso D.H Abstract of dissertation submitted to Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências e Matemática- Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca CEFET/RJ as partial fulfillment of the requirements for the degree of Master in Science and Mathematics. The Brazilian public education is the target of critics and political campaign promises towards its low quality and its possibility of investments. With the aim of quantifying the development of the public school students of Rio de Janeiro, several large scale evaluation instruments have been established such as the National System of Basic Evaluation (SAEB) and the Evaluation System of the State of Rio de Janeiro (SAERJ). The results obtained were worrying, since they demonstrated that more than 60% of the students did not reach the proficiency level adequate to their school level for the abilities of Mathematics. It has also been observed a great importance given to the concept of function in the matrix of reference on the large scale evaluations. This way, this paperwork is supposed to promote significant learning of this concept. For this, it has been used the History of the Mathematics and the video as a learning resource. The methodological procedure adopted consisted of bibliographic research about the history of the concept of function, about the relevant aspects of the teaching of the concept of function and about the historical aspects relevant to the teaching of functions. After these stages, a videotape script towards High School level was elaborated, with appropriate language and easy understanding. The iconographic research was simultaneous to the process of the creation of the videotape. The confection and edit of the videotape were the last stages of the process. It is important to point out that during the stages of the confection of the videotape there were the participation of High School students under supervision. The videotape is presented as a documentary and it deals with the History of the concept of function. It has been noticed the necessity of elaboration of an activity book to corroborate the relevant knowledge over the theme through guided exercises during the time of the confection of the script. The intervention was taken in a group of the first year of High School of a public school of Rio de Janeiro. As a previous stage of the learning resources an objective test has been taken with the aims of verifying the cumulative knowledge. After the exhibition of the video and the solution of the activity book, a second objective evaluation took place so as to be able to compare the results. The data analysis ratified the student performance on the official evaluations and there were no differences among the evaluation scores. However, through the analyses of the way of thinking of the students by the correction of the activity books, we could notice at which point there is a deficit that prevents them from going on the solutions or which concepts need to be taken back or rectified. Keywords: History of Science; Mathematics Education; function Rio de Janeiro December/2011

9 ix Sumário Introdução 1 I A História do Conceito de Função 10 I.1 A História do Conceito de Função 10 II O Conceito de Função 22 II.1 A importância do Conceito de Função no currículo de Matemática 22 II.2 Aspectos importantes para o estudo de funções no Ensino Básico 25 II.2.1 Orientações Curriculares para o Ensino Médio 26 II.2.2 II.2.3 II.2.4 II.2.5 II.2.6 Orientações Complementares aos Parâmetros Curriculares do Ensino Médio (PCN+) O Ensino de Cálculo: Dificuldades de Natureza Epistemológica-Tese de Doutorado de Wanderley Rezende Artigo Aportes didáticos para abordar el concepto de función de Graciela Rey, Carolina Boubée, Patricia Sastre Vazquez e Alejandra Cañibano Artigo The history of the concept of function and some educational implications de João Pedro Ponte Dissertação de Mestrado: Cálculo no Ensino Médio: Uma proposta para o problema da variabilidade de Vinicius Mendes Couto Pereira II.2.7 Currículo Mínimo no Estado do Rio de Janeiro 31 II.2.8 Argumentos para alcançar os objetivos através de aspectos importantes sobre o conceito de funções 32 II.3 Aspectos Históricos Relevantes para o Ensino de Funções 34 III História da Matemática e o Vídeo no Ensino Médio 39 III.1 História da Ciência aplicada no ensino 39 III.2 História da Matemática no Ensino 40

10 x III.3 História da Matemática Pedagogicamente Vetorizada 41 III.4 O uso de Tecnologias no Ensino 42 III.5 O uso de Vídeo em sala de aula 45 III.6 Pesquisa sobre recursos audiovisuais 46 IV Metodologia 48 IV.1 Construção do Vídeo 49 IV.2 Construção do Caderno de Atividades 50 IV.3 Pré-teste e Pós-teste 51 IV.4 Aplicação em sala 52 V Discussão 53 V.1 Processo de levantamento bibliográfico e construção do vídeo 53 V.2 Intervenção em sala de aula 55 V.3 Correção dos cadernos de atividades 56 V.4 Instrumentos de Avaliação (Pré-teste e Pós-teste) 57 V.5 Resultados 58 Conclusões 61 Referências Bibliográficas 63 Apêndice I- Storyboard do video Apêndice II- Caderno de Atividades Apêndice III- Pré e Pós-teste

11 xi Lista de Quadros Quadro.1 Quadro.2 Quadro.3 Quadro.4 Quadro I.1 Quadro II.1 Quadro II.2 Quadro III.1 Quadro III.2 Quadro IV.1 Quadro IV.2 Quadro IV.3 Quadro IV.4 Matriz de Referência do SAERJ e do SAEB...4 Descrição sintética dos perfis de desempenho SAERJ...6 Quadro de Médias...7 Proficiência dos Alunos de 3º ano no SAERJ...8 Definição de Funções ao longo dos séculos...21 Formas de representar função segundo Rey...29 Correlação entre os objetivos dos PCNEM com os aspectos relevantes para o ensino do conceito de função...32 Propostas para o uso do vídeo...45 Correlaciona aprendizado e retenção...46 Categorização dos Aspectos Relevantes em Níveis de Complexidade...48 Fontes das Questões da Avaliação...51 Questões categorizadas pela complexidade que abordam...52 Duração das etapas da intervenção em sala de aula...52 Quadro V.1 Enquadramento das respostas do Caderno de Atividades... 60

12 xii Lista de Tabela Tabela II.1 Posição de um objeto em Queda...36 Lista de Figuras FIG I.1 Vista do Osso de Ishango, utilizado pra fazer ontagem...11 FIG I.2 Tábula Babilônica Plimpton FIG I.3 Representação Geométrica de Oresme FIG I.4 Problema da Corda Vibrante...15 Lista de Gráficos Gráfico V.1 Gráfico V.2 Gráfico V.3 Desempenho Discente nos Testes...59 Porcentagem do Desempenho Discente nos Testes...59 Desempenho Discente no Caderno de Atividades...60

13 1 Introdução O processo de ensino-aprendizagem da Matemática é um assunto importante dentro da Educação Matemática e tem sido foco de muitas pesquisas. Entretanto, mais do que desenvolver técnicas de ensino, é preciso analisar o impacto que essas propostas causam dentro da sala de aula. A sociedade tem sofrido grandes alterações, mas dentro do ambiente escolar se está preso a metodologias conservadoras e continua-se com propostas antiquadas que não agradam mais aos alunos e aos professores e não respondem às demandas da sociedade atual. Aos alunos, porque ao entrarem na escola não veem sentido nos conteúdos que devem aprender. Aos professores, porque têm sofrido com a indisciplina, desmotivação e desinteresse dos estudantes. Quais caminhos podem ser escolhidos para se tentar reduzir esses problemas? Será possível melhorar o ambiente escolar, transformá-lo em um lugar onde educadores e educandos sejam agentes de um conhecimento que deve ser intrínseco à sua realidade? Observa-se que o ensino de Matemática ainda mantem os métodos tradicionais, que valorizam a repetição de exercícios e transmissão de fórmulas e métodos, nos quais a reflexão sobre os conteúdos e sua importância histórica não são contemplados. Segundo os PCN (2000a), é necessária a criação de um ensino que primeiro humanize a matemática, que promova diálogo e significados sobre conceitos matemáticos, que os alunos possam compreender qual a importância de tal conceito para a sociedade em uma determinada época e compreender como ele está inserido na sociedade atual. A utilização de recursos tecnológicos também é mencionada nos PCN. No entanto, muitas vezes os alunos são impedidos de utilizarem em sala ou de não fazerem uso desses recursos e um exemplo dessa restrição é a Lei 5453/09 do estado do Rio de Janeiro, que proíbe o uso de celular em sala de aula. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) indicam quatro caminhos para se fazer matemática na sala de aula, são eles: Resolução de Problemas História da Matemática Tecnologias da Informação Jogos Segundo os PCN, o uso da História da Matemática: Ao revelar a Matemática como uma criação humana ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas em diferentes momentos históricos ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor tem a possibilidade de desenvolver atitudes e valores favoráveis do aluno diante do conhecimento matemático (BRASIL, 2000a, p.45). Os PCN (2000a) afirmam que em várias situações o uso da História da Matemática pode esclarecer as ideias matemáticas que estão sendo construídas pelo aluno.

14 2 Segundo os PCN+ no Ensino Médio, a Matemática é muito mais do que um instrumento e possui um caráter de ciência, com linguagens e características próprias de investigação, além de um papel integrador junto com outras ciências (BRASIL, 2002, p.111). Sua dimensão histórica tem uma relação estreita com a sociedade e culturas em diferentes épocas, o que amplia o espaço de conhecimento da Matemática e das relações com as outras ciências. Um outro papel que a História da Matemática tem é o de permitir a aquisição de uma visão crítica da ciência em constante construção, sem dogmatismos ou certezas definitivas (BRASIL, 2002, p.117). As Orientações Curriculares para o Ensino Médio afirmam que a utilização da História da Matemática pode ter um papel importante na atribuição de significado dos conceitos matemáticos e comentam sobre o fato da história servir como um instrumento para que o professor compreenda algumas dificuldades que os estudantes possam ter em certos conteúdos e associá-las às dificuldades históricas presentes na construção do conhecimento matemático. Por outro lado, o uso de tecnologias de comunicação, de acordo com os PCN (2000) alegam que boa parte da população possui acesso a recursos tecnológicos que podem contribuir para a melhoria do ensino da Matemática. As Orientações Curriculares para o Ensino Médio afirmam que: Não se pode negar o impacto provocado pela tecnologia de informação e comunicação na configuração da sociedade atual. Por um lado, tem-se a inserção dessa tecnologia no dia-a-dia da sociedade, a exigir indivíduos com capacitação para bem usá-la, por outro lado tem-se nessa mesma tecnologia um recurso que pode subsidiar o processo de aprendizagem matemática. É importante contemplar uma formação escolar nesses dois sentidos, ou seja, a Matemática como ferramenta para entender a tecnologia, e a tecnologia para entender a Matemática (BRASIL, 2006, p.87). Sobre os efeitos provocados por esses recursos, os PCNEM afirmam que o impacto da tecnologia na vida de cada indivíduo vai exigir competências que vão além do simples lidar com as máquinas (BRASIL, 2000b, p.41) e acarretará em um novo redimensionamento do ensino da Matemática, do ponto de vista curricular, para o favorecimento do desenvolvimento de habilidades e procedimentos, para que o aluno possa se reconhecer e se orientar no mundo em constate movimento. A pesquisa descrita nessa dissertação visou promover uma aprendizagem significativa do conceito de função. Para isso, foi utilizada a História da Ciência como estratégia de ensino. Dessa maneira, a História da Matemática precisava ser adequada ao espaço escolar e aos estudantes do ensino básico, com o intuito de promover uma compreensão da matéria e que fosse atraente. Para tornar o ensino, através da história, motivador, optou-se por utilizar o recurso do vídeo. Fez-se uma pesquisa bibliográfica sobre o conceito, elaborou-se o roteiro do vídeo, realizou-se também uma pesquisa iconográfica, foram feitas gravações das locuções e,

15 3 então, iniciou-se a edição e a construção do vídeo. Após essa etapa ocorreu a intervenção na sala de aula que compreendeu: o vídeo, o caderno de atividades e as avaliações diagnósticas. As etapas de criação do roteiro e construção do vídeo tiveram auxílio de alunos bolsistas, que cursam o ensino Médio e técnico do CEFET/RJ e participam de projeto de pesquisa do Laboratório de História da Ciência. 1 Justificativa O Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB) tem por objetivo selecionar uma amostragem de alunos que cursam as séries finais de cada ciclo, (5º ano do Ensino Fundamental, 9 º ano do Ensino Fundamental e 3 º ano do Ensino Médio), a serem avaliados por suas habilidades em Língua Portuguesa e Matemática, mantendo o foco na leitura e resolução de problemas respectivamente. Como a avaliação é uma amostra, não garante que sejam contemplados alunos de todas as unidades escolares, e os dados obtidos oferecem apenas meios para uma análise do país e das Unidades Federativas, ou seja, não é possível fazer um mapeamento dos resultados por cidade ou escola. Com isso, o governo federal lançou, em 2005, a chamada Prova Brasil, que avalia em regiões urbanas e de maneira mais ampla as séries finais dos ciclos do Ensino Fundamental (5º ano e 9º ano), deixando de ser amostral para analisar um quantitativo maior e regionalizado de alunos. O Sistema de Avaliação do Estado do Rio de Janeiro (SAERJ), é constituído por avaliação externa e diagnóstica. A externa segue o modelo do SAEB, no entanto, propõe-se avaliar todos os alunos concluintes das séries finais de cada ciclo. É importante salientar que essas provas não são obrigatórias, assim como o SAEB e a Prova Brasil, e que os resultados não são para avaliar a escola, professor ou aluno individualmente, mas avaliar o sistema como um todo. Para a elaboração destas avaliações foi necessária a seleção de conhecimentos específicos e que foram agrupados por habilidades e competências tidas como necessárias. Mas é preciso compreender que: A realização de uma avaliação de sistema com amplitude nacional, para ser efetiva, exige a construção de uma matriz de referência que de transparência e legitimidade ao processo de avaliação, informando aos interessados o que será avaliado. De acordo com os pressupostos teóricos que norteiam os instrumentos de avaliação, a Matriz de Referência é o referencial curricular do que será avaliado em cada disciplina e série, informando as competências e habilidades esperadas dos alunos (BRASIL, 2008, p. 17).

16 4 Segundo o Plano de Desenvolvimento da Educação (2009), a chamada matriz de referência do SAEB é um recorte do currículo escolar dos alunos e demonstra quais habilidades os alunos devem ter adquirido ao chegar ao final de tal fase. É preciso compreender que não é uma orientação curricular, mas sim que funciona como um pedaço da estrutura maior e que itens são tidos como os essenciais da grade curricular nacional e que, dessa forma, gera uma transparência e uma análise mais homogênea do resultado, propiciando fazer comparações entre os sistemas de ensino. A matriz referencial e a finalidade do SAERJ são assumidamente as mesmas do SAEB, uma vez que se propõem a avaliar as escolas públicas estaduais e entender a rede como um todo, na perspectiva de mapear as escolas que apresentam indicadores mais expressivos de insuficiência no estado para, assim, formular estratégias que vislumbrem melhorar a qualidade da educação e, como consequência, melhorar os resultados no SAEB, por isso a necessidade de ter uma prova similar com os mesmos parâmetros. Os itens da matriz referencial são definidos como descritores que explicitam dois pontos básicos do que se pretende avaliar: o conteúdo programático e o nível de operação mental necessário para a aprendizagem (RIO DE JANEIRO, 2008, p.20). Esses descritores estão divididos entre quatro temas. São eles: Espaço e Forma, Grandezas e medidas, Números e Operações/ Álgebra e Funções e Tratamento da Informação. É importante salientar que cada série avaliada pelo SAEB possui uma matriz de referência específica. Apresentar-se-á a Matriz de Referência do 3º ano do Ensino Médio, baseado no princípio de que a responsabilidade prioritária pelo Ensino Médio é dada aos estados pelo artigo 10 da Lei de Diretrizes Básica da Educação. Como um dos objetivos desse trabalho é analisar os resultados desse segmento escolar, o empenho será para a compressão da maneira como a aprendizagem dos alunos da rede estadual do Rio de Janeiro é trabalhada. A seguir, matriz de Referência do 3º ano do Ensino Médio: I. Espaço e Forma D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 Quadro 1- Matriz de Referência do SAERJ e do SAEB Identificar figuras semelhantes mediante o reconhecimento de relações de proporcionalidade. Reconhecer aplicações das relações métricas do triângulo retângulo em um problema que envolva figuras planas ou espaciais. Relacionar diferentes poliedros ou corpos redondos com suas planificações ou vistas. Identificar a relação entre o número de vértices, faces e/ou arestas de poliedros expressa em um problema. Resolver problema que envolva razões trigonométricas no triângulo retângulo (seno, cosseno, tangente). Identificar a localização de pontos no plano cartesiano. Interpretar geometricamente os coeficientes da equação de uma reta. Identificar a equação de uma reta apresentada a partir de dois pontos dados ou de um

17 5 D9 D10 ponto e sua inclinação. Relacionar a determinação do ponto de interseção de duas ou mais retas com a resolução de um sistema de equações com duas incógnitas. Reconhecer, dentre as equações do 2º grau com duas incógnitas, as que representam circunferências. II. Grandezas e Medidas D11 D12 D13 Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas. Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas. Resolver problema envolvendo a área total e/ou volume de um sólido (prisma, pirâmide, cilindro, cone, esfera). III. Números e Operações/ Álgebra e Funções D14 D15 D16 D17 D18 D19 D20 D21 D22 D23 D24 D25 D26 D27 D28 D29 D30 D31 D32 D33 Identificar a localização de números reais na reta numérica. Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas. Resolver problema que envolva porcentagem. Resolver problema envolvendo equação do 2º grau. Reconhecer expressão algébrica que representa uma função a partir de uma tabela. Resolver problema envolvendo uma função do 1º grau. Analisar crescimento/ decrescimento, zeros de funções reais apresentadas em gráficos. Identificar o gráfico que representa uma situação descrita em um texto. Resolver problema envolvendo P.A./P.G. dada a fórmula do termo geral. Reconhecer o gráfico de uma função polinomial de 1º grau por meio de seus coeficientes. Reconhecer a representação algébrica de uma função do 1º grau dado o seu gráfico. Resolver problemas que envolvam os pontos de máximo ou de mínimo no gráfico de uma função polinomial do 2º grau. Relacionar as raízes de um polinômio com sua decomposição em fatores do 1º grau. Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função exponencial. Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função logarítmica, reconhecendo-a como inversa da função exponencial. Resolver problema que envolva função exponencial. Identificar gráficos de funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente) reconhecendo suas propriedades. Determinar a solução de um sistema linear associando-o a uma matriz. Resolver problema de contagem utilizando o princípio multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjo simples e/ou combinação simples. Calcular a probabilidade de um evento. IV. Tratamento da Informação D34 D35 Resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos. Associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráficos que as representam e vice-versa. Como observado no quadro acima, para o ensino de Matemática, há 35 descritores definidos por documentos oficiais. O desempenho dos alunos é mensurado em sala de aula, na maioria das vezes por atribuição de notas que variam de 0 a 10. No entanto, ao se avaliar um sistema são necessários critérios com maior grau de complexidade e abrangência, para que as informações

18 6 possam ser comparadas e expressas em resultados. Por isso foi criado um mecanismo chamado escala de proficiência. Os resultados são apresentados em níveis, como se fosse uma régua com notas que variam de 0 a 500. MARQUES (2008) afirma que na escala o desempenho dos alunos está sempre ordenado de forma crescente e cumulativa. Assim, os alunos que dominam as habilidades descritas em um determinado nível, dominam também as habilidades descritas nos níveis anteriores da escala (2008, p. 14). No quadro abaixo, há a correlação entre pontuação, perfil definido pelo SAERJ e a descrição das habilidades que os alunos estão aptos a desempenhar: Quadro 2 - Descrição sintética dos perfis de desempenho SAERJ Intervalo Perfil Descrição Sintética 125 até até até até 325 Acima de 325 Grau I Grau II Grau III Grau IV Grau V Os alunos identificam figuras geométricas planas simples, resolvem problemas de cálculo de área com contagem das unidades de uma malha quadriculada, resolvem problemas de adição e subtração, utilizam o sistema de numeração decimal e lêem informações em tabelas de coluna única. Os alunos localizam objetos numa representação gráfica ou em um referencial quadriculado; identificam figuras geométricas planas a partir de alguns atributos; lêem horas e minutos em relógio digital; resolvem problemas relacionando diferentes unidades de uma mesma medida; utilizam algoritmos para efetuar adições com reserva, subtrações com até quatro algarismos, multiplicações com números de dois algarismos e divisões exatas por número de um algarismo; lêem e interpretam informações em tabelas de dupla entrada e em gráficos de colunas. Os alunos identificam características relacionadas aos sólidos geométricos e suas planificações; diferenciam poliedros de corpos redondos; resolvem problemas envolvendo as quatro operações; representam números racionais na forma fracionária com apoio de representação gráfica; calculam porcentagens simples; representam números inteiros e decimais na reta numérica; relacionam gráficos entre si e com dados apresentados na forma textual e/ou tabelas; identificam gráficos de colunas correspondentes a um gráfico de setores; localizam dados em tabelas de múltiplas entradas. Os alunos utilizam outros atributos para identificar quadriláteros; relacionam sólidos geométricos, incluindo poliedros e corpos redondos, às suas planificações; percebem os atributos variantes ou invariantes numa ampliação e redução; resolvem problemas mais complexos usando conversões de unidades de medidas; calculam a medida da área com base em propriedades da figura plana; calculam a medida do volume de sólidos geométricos; identificam frações próprias, impróprias e suas representações decimais; identificam frações equivalentes; comparam e ordenam números inteiros; calculam o valor de expressões algébricas; identificam a equação do primeiro grau adequada à solução de um problema; associam informações contidas num gráfico de colunas a uma tabela que o representa utilizando estimativas e reconhecer gráfico de linhas correspondente a uma seqüência de valores, ao longo do tempo, positivos aos negativos. Resolvem problemas envolvendo o Teorema de Pitágoras, a Lei angular de Tales e aqueles que utilizam a razão da semelhança entre polígonos. Estabelecem relações utilizando elementos geométricos como o raio, diâmetro e cordas. Diferenciam figuras bidimensionais de tridimensionais identificando propriedades comuns além de identificar a planificação do cubo. Representam e localizam pontos, retas e circunferências no plano cartesiano. Resolvem problemas envolvendo relações métricas em um triângulo retângulo. Resolvem

19 7 problemas envolvendo as grandezas volume e capacidade estabelecendo a relação entre suas medidas. Calculam o perímetro de polígonos sem o apoio de malhas quadriculadas, áreas de semicírculo e trapézio retângulo e volume de paralelepípedo, cilindro e cone dado à fórmula. Resolvem problemas de porcentagem, noções de juros simples e lucro. Resolvem problemas envolvendo equações do primeiro e do segundo graus e exponenciais bem como sistemas de equações. Resolvem problemas envolvendo as progressões aritmética e geométrica. Reconhecem e manipulam as funções lineares, afins, quadráticas, exponenciais e trigonométricas. Lêem, utilizam, interpretam e analisam informações vinculadas aos gráficos de linha do plano cartesiano e gráficos de colunas, representando diversas variáveis. Calculam a média aritmética de um conjunto de valores e a probabilidade de ocorrência de um evento simples de dois eventos sucessivos. Resolvem problemas de contagem utilizando o principio multiplicativo sem e com repetição de elementos, podendo utilizar fórmulas de analise combinatória. Fonte: (RIO DE JANEIRO, 2009, p. 58). Para se enquadrar os alunos da Rede Pública do Estado do Rio de Janeiro aos perfis, deve-se levar em conta o seguinte quadro, com dados do SAERJ e do SAEB: Programa de Avaliação Quadro 3 - Quadro de Médias. Etapa de Região Escolaridade Média Saeb 3º ano EM Brasil 262,9 SAERJ/2008 3º ano EM Rio de Janeiro 261,9 Fonte: (RIO DE JANEIRO, 2008, p. 31). Apresenta-se a seguir o quadro 3, com o percentual dos alunos do 3º ano do Ensino Médio, divididos em nível de proficiência, no SAERJ de 2008: Quadro 4: Proficiência dos Alunos de 3º Ano no SAERJ Nível Baixo Intermediário Adequado Avançado Intervalos Acima de 375 % de alunos 12% 13,2% 16,7% 18,8% 16,6% 11,4% 6,6% 3,1% 1,7% Fonte: (RIO DE JANEIRO, 2008). Os dados acima demonstram que 60,7 % dos alunos estão abaixo do rendimento tido como adequado, o que configura um resultado preocupante. Já os alunos que alcançaram o nível Avançado totalizam 11,4% dos avaliados. Ao se categorizar os níveis em Baixo/Intermediário, Adequado e Avançado, nota-se uma redução maior que 50% dos resultados (respectivamente). Cabe expor as seguintes hipóteses: a) há um déficit importante no processo de ensino-aprendizagem; b) os instrumentos avaliativos são inadequados, produzindo, dessa forma, resultados irreais ou c) há tanto um déficit no processo de ensino-aprendizagem, quanto um instrumento avaliativo inadequado. Durante a observação dos Descritores da Matriz Referencial para o ensino de Matemática, esteve nítida a importância destinada ao Conceito de Função. Essa afirmação é

20 8 respaldada no quantitativo de descritores, uma vez que representa mais de um terço do total: são 14 dentre os 35. Com isso, constatou-se a importância desse conteúdo para o referido seguimento escolar. Baseando-se em todas as argumentações feitas, definiu-se como o problema a ser respondido por essa dissertação o seguinte: a utilização da História da Matemática, como estratégia de ensino, facilitará o processo de ensino-aprendizagem do Conceito de Função? Além do problema definido, levantaram-se as seguintes questões de estudo: o Como se desenvolveu historicamente o conceito de função? Quais foram os nomes mais importantes que contribuíram para tal desenvolvimento ao longo do tempo? o Quais são os aspectos relevantes apresentados em documentos oficiais e/ou trabalhos científicos sobre função? o Quais são os aspectos históricos do conceito de função que devem ser apresentados aos alunos do Ensino Médio? o A utilização do vídeo sobre o conceito de função despertará o interesse dos alunos pelo conteúdo e /ou pela História da Matemática? 2 Objetivos 2.1 Objetivo Geral: o Promover uma aprendizagem significativa, para os alunos do Ensino Médio, sobre o conceito de função mediado pela História da Matemática. 2.2 Objetivos Específicos: o Construir historicamente o conceito de função. o Desenvolver uma História sobre o conceito de função adequada ao Ensino Médio o Utilizar o vídeo sobre o conceito de função como recurso didático. o Despertar o interesse dos alunos para a Matemática. o Desenvolver habilidades e competências utilizando o vídeo no ensino de funções. 3 Estrutura do trabalho O presente trabalho está dividido em quatro capítulos e conclusão. No primeiro capítulo, é descrita a história do conceito de função. O segundo capítulo apresenta a importância e a inserção do conceito no currículo de Matemática; os aspectos tidos como relevantes para se ensinar funções e as características históricas que podem contribuir para o ensino de funções.

21 9 O terceiro capítulo aborda a fundamentação teórica do trabalho, relata a utilização da história da Ciência e da Matemática na Educação. Apresenta-se o conceito de história da matemática pedagogicamente vetorizada de MIGUEL E MIORIM (2004). Essa proposta foi utilizada na construção do vídeo. Discute-se a inserção de novas tecnologias no ensino e a utilização do vídeo em sala de aula como recurso didático. O quarto capítulo expõe a metodologia utilizada na investigação do presente trabalho. Relata-se como foi feita a pesquisa bibliográfica; construção do vídeo, desde a elaboração do roteiro até a edição das imagens; os instrumentos avaliativos empregados; caderno de atividades e exibição do vídeo, ou seja, a intervenção em sala de aula. No quinto capítulo traz-se a discussão da aplicação do vídeo e do caderno de atividades em sala de aula, além dos resultados do pré-teste e pós-teste. E, finalmente, a conclusão acerca de toda a investigação realizada.

22 10 Capítulo I A História do conceito de Função Nesse capítulo apresenta-se o processo de transformação do conceito na história da humanidade. Relata-se os fatos importantes que aconteceram em cada época e os matemáticos que contribuíram para as diferentes definições do conceito. I. 1 A história do conceito de função A história do conceito da função se divide em três etapas significativas, segundo Youschkevich (apud SOUZA & MARIANI, 2005): Antiguidade: a noção de função aparece como uma dependência de valores de forma bem intuitiva; Idade Média: a noção de função está ligada às representações geométricas e mecânicas; Idade Moderna: a noção de função passa a ser representada por expressões analíticas. O conceito de função aparece intuitivamente na história da humanidade. Na Idade da Pedra, os homens comercializavam entre si e havia a necessidade de fazer o controle das partes das caçadas entre as famílias. Para a realização de tal procedimento havia a existência da ideia de contagem (EVES, 2004, p.23-24). O homem associava, por exemplo, uma pedra a cada animal de um rebanho para fazer o controle e dessa forma, estava criando uma relação de dependência entre as pedras e os animais (SÁ, SOUZA & SILVA, 2003). BOYER (1996) afirma que, gradualmente, os homens, a partir das suas experiências caóticas, começaram a perceber as existências das analogias e das semelhanças. Ao comparar o conjunto de objetos, como, por exemplo, lobos, carneiros e árvores, o homem percebia que entre eles havia algo em comum: a unicidade (p. 2). O referido autor define, então, o processo de contagem como uma correspondência entre objetos. Tal evento podia ser facilmente realizado com a utilização dos dedos de uma mão que indicavam conjuntos com um, dois, três, quatro ou cinco elementos ou, fazendo uso dos dedos das mãos e dos pés, o homem poderia contar até no máximo vinte. Mais do que esse valor era comum o uso de montes de pedras para representar a correspondência entre objetos de outro conjunto. Quando o conjunto de pedras era inadequado, pois tal recurso não favorecia o armazenamento da informação, utilizavam-se marcas num bastão ou pedaço de osso para fazer a contagem. O provável uso de contar se baseava em algum método simples que empregava o princípio da correspondência biunívoca. Nessa época, o conceito de função tem suas origens no surgimento do conceito do número (VAZQUEZ, REY & BOUBÉE, 2008).

23 11 Figura I.1- Vista do Osso de Ishango, utilizado pra fazer contagem Fonte : ( Além disso, a ideia de dependência de quantidades aparece nas tábulas dos babilônicos, que associavam valores em tabelas, o que demonstra que o conceito de função estava implícito. Eles construíam tais tabelas em argila fazendo uma associação entre valores da primeira coluna com a segunda, estes eram provenientes de resultados de operações com aqueles (SÁ, SOUZA & SILVA, 2003, p.3). Essas operações eram multiplicações, divisões, potenciações (quadrados, cubos), radiciações (raízes quadradas). Os babilônicos tinham a álgebra muito desenvolvida e percebe-se isso pelos procedimentos adotados nas tabelas, pois eles faziam uso de substituição, mudança de variáveis e exponencial (VAZQUEZ, REY & BOUBÉE, 2008, p.142). Figura I.2- Tábula Babilônica- Plimpton Fonte: ( Durante o período da Idade Média, Nicole Oresme ( ) desenvolveu a chamada teoria de latitude de formas, que hoje seria considerada como a representação gráfica de uma

24 12 função. Segundo BOYER (1996), durante um século antes do tempo de Oresme, filósofos escolásticos haviam discutido a quantificação das chamadas formas variáveis, como exemplo, pode-se citar a velocidade de um objeto móvel ou a variação de temperatura. Essas discussões eram muito extensas e não havia instrumentos adequados para fazer a análise de tais formas. Um teorema sobre o valor médio de uma forma uniformemente disforme, isto é, a taxa de variação da taxa de variação, foi obtido por alguns lógicos do Merton College. Sobre esse pensamento, Oresme começou a se questionar sobre a possibilidade de traçar uma figura da maneira como as coisas variam. Dessa forma ele estava por esboçar o que atualmente é considerado como um gráfico de uma função. BOYER afirma que Oresme: traçou perpendicularmente à reta de longitudes um segmento de reta (latitude) cujo comprimento representava a velocidade. As extremidades desses segmentos ele percebeu, jazem ao longo de uma reta; e se o movimento uniformemente acelerado parte do repouso, a totalidade do segmento velocidade [...] preencherá um triângulo retângulo. Como a área desse triângulo retângulo representa a distância percorrida, Oresme forneceu assim uma verificação geométrica da regra de Merton, pois a velocidade no ponto médio do intervalo de tempo é a metade da velocidade final (1996, p.180). Latitude e Longitude que foram usadas por Oresme, atualmente são equivalentes à ordenada e à abscissa, respectivamente, e a representação dele à Geometria Analítica (BOYER, 1996). Apesar do uso de coordenadas não ser novo, pois já haviam sido utilizadas por Apolônio, a representação de uma quantidade variável era algo recente. Oresme percebeu o princípio fundamental de representar uma função variável como uma curva e, no entanto, a preocupação dele era em determinar a área sob a curva. Figura I.3 Representação Geométrica de Oresme Fonte: (THEES, 2009,p.35) Se hoje se faz a afirmação de que o gráfico da velocidade num movimento uniformemente acelerado é uma reta, Oresme dizia que Toda qualidade uniformemente disforme terminando em intensidade zero é imaginada como um triângulo retângulo (BOYER, 1996, p. 181). No século XVI, o matemático francês François Viéte ( ) contribuiu fortemente para o avanço da Álgebra em seu trabalho In artem, no qual o desenvolvimento do simbolismo algébrico foi fortemente influenciado. Nesse texto, o francês introduziu a prática de se

25 13 utilizarem vogais para representar incógnitas e consoantes para a representação de valores constantes. Segundo EVES (2004), antes da notação de Viéte, era comum se usarem letras ou símbolos diferentes para representar as potências de uma mesma quantidade. Assim, o que se indica hoje por x, x² e x³ era expresso por Viéte como A, A quadratum e A cubum. Mendes (apud SÁ, SOUZA & SILVA, 2003) afirma que Viéte diferenciou a Álgebra e a Aritmética, fazendo uso de métodos mais gerais para analisar problemas. Galileu Galilei ( ) utilizava a matemática para modelar os fenômenos da natureza, uma forma de modelar relações de variáveis que dependiam de outra. O interesse de Galileu era entender como os fenômenos ocorriam com o intuito de descrever mudanças da natureza (MENDES Apud SÁ, SOUZA & SILVA, 2003, p.5). O estudo de movimento foi o que gerou os conceitos de relação entre variáveis e o de função ou, embora Galileu não formalizou esse último (SÁ, SOUZA & SILVA, 2003, p.5). Nessa época, ainda era popular a representação gráfica de Oresme das latitudes de formas. Galileu, na tentativa de modelar os fenômenos naturais, acaba criando relações entre as quantidades medidas dos fenômenos que podiam ser observáveis. Com isso, tais medidas passam a ser introduzidas nas representações gráficas, por fim acabam criando a noção de variável dependente através da análise experimental (GUIMARÃES, 2010). As bases do que se chama hoje de Geometria Analítica foram desenvolvidas por dois grandes matemáticos: René Descartes ( ) e Pierre de Fermat ( ). Descartes escreveu a obra Discurso do Método para Bem Conduzir a Razão e Procurar a Verdade nas Ciências em 1637, que continha três apêndices: La dioptrique, Lês météores e La géométrie. O terceiro apêndice, La Géométrie, contém explicações sobre geometria algébrica e revela um avanço em relação à geometria grega. Os gregos consideravam uma variável como um segmento, o produto de duas variáveis como a área de um retângulo e o produto de três variáveis como o volume de um paralelepípedo retângulo; por outro lado, Descartes interpretava a área e o volume como segmentos, o que lhe permitiu abandonar o princípio de homogeneidade e preservar o sentido geométrico. Baumgart afirma que ele chegou a definir função como qualquer potência de x, como x², x³, etc (apud SÁ, SOUZA & SILVA, 2003, p.5). Como houve uma aritmetização da Geometria, Descartes afirmava que uma equação de duas variáveis geometricamente pode ser representada por uma curva indicando a dependência entre quantidades variáveis. (PONTES, 1992, p.3). Ele procurou dar um sentido ao significado da Álgebra através da Geometria. Também foi revolucionário por estabelecer que uma curva pudesse ser construída através de uma equação algébrica, já que, nos períodos anteriores, era necessário o uso de régua e compasso para fazer a construção de curva (VAZQUEZ, REY e BOUBÉE, 2008, p.145). Fermat também contribuiu muito para a criação da Geometria Analítica, ele se propôs a reconstruir a obra Lugares Geométricos de Apolônio, afirmando que sempre que numa

26 14 equação final encontrarem-se duas quantidades incógnitas, ter-se-á um lugar geométrico que pode ser uma reta ou uma curva. (BOYER, 1996, p. 238). O desenvolvimento da Geometria Analítica foi importante para a criação do Cálculo Diferencial e Integral. No século XVII, dois matemáticos se destacam, Sir Isaac Newton ( ) e Gottfried Wilhem Leibniz ( ), exatamente pela criação do Cálculo, considerado uma das mais importantes ferramentas da matemática. Newton, apesar de fazer pesquisas mais voltadas para a Física, contribuiu para o conceito de função, sendo o primeiro matemático a mostrar que uma função poderia ser descrita como uma série de potência e foi ele quem introduziu o termo variável independente. O matemático inglês criou o chamado método dos fluxos, no qual uma curva era gerada pelo movimento contínuo de um ponto. Feita essa suposição, a abscissa e a ordenada de um ponto gerador passam a ser quantidades variáveis, que recebiam o nome de fluente e a taxa de variação de fluxo (EVES, 2004, p. 439). Já Leibniz foi o primeiro a usar o termo função para designar quantidades geométricas que dependiam de um ponto de uma curva (SÁ, SOUZA & SILVA, 2003, p.6), também introduziu os termos constantes, variável e parâmetro (PONTE, 1992). Em 1667, James Gregory, na sua obra Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura, conceituou função sem utilizar a palavra propriamente dita, da seguinte forma: Nós chamamos uma quantidade x composta de outras quantidades a, b,... se x resulta de a, b,... pelas quatro operações elementares, por extração de raízes ou por qualquer outra operação imaginável (MENDES apud SÁ, SOUZA & SILVA, 2003, p.6). No ano de 1698, Johann Bernoulli utiliza a palavra função para indicar a solução de um problema, ainda que o termo não representasse uma teoria, no entanto, dois anos depois, Bernoulli faz a publicação de um artigo com a definição de função, que acabou se popularizando entre os matemáticos. Tal definição era: função de uma quantidade variável de uma quantidade composta de qualquer maneira a partir dessa variável e de quantidades constantes (SIERPINSKA APUD BARALDO, 2009, p.13) Leonard Euler ( ) também contribuiu para a definição do conceito de função. Segundo ele, na obra intitulada Introdução à Análise Infinitesimal, uma função de quantidade variável é uma expressão analítica composta de qualquer modo que seja, por tal quantidade e por números ou quantidades constantes (EULER apud PALARO, p 4). Nessa mesma obra, ele faz a distinção entre função algébricas e transcendentes, bem como utiliza a notação f(x) para representar uma função de x (1734). Euler não chega a definir o que era uma expressão analítica, no entanto, tenta dar um significado para essas expressões dizendo que envolvem as quatro operações algébricas, raízes, exponenciais, logaritmos, funções trigonométricas, derivadas e integrais (KLEINER,1989; VAZQUEZ, REY & BOUBÉE, 2008). Segundo Hawkins (apud KLEINER, 1989, p.), o conceito de função não se originou com Euler, mas foi este o responsável por tratar o cálculo como uma teoria formal de funções.

27 15 Segundo VAZQUEZ, REY e BOUBÉE (2008), Euler enfrentou este problema: se cada função possui uma curva para representá-la, então toda curva pode ser representada como uma função e, ao ampliar o conceito de função, ele também faz a distinção entre função contínua e descontínua que teriam significados diferentes dos de hoje. Aquela seria representada por uma só equação, enquanto esta seria composta por mais de uma expressão, mas com um único gráfico. Observa-se, então, que o conceito de descontinuidade para Euler era em relação à forma analítica que ela tinha (PALARO, 2008). O referido autor também faz distinção entre funções algébricas, determinadas por polinômios e frações racionais que tenham a classificação de explícita 1 ou implícita 2 e transcendentais, representadas pelas trigonométricas, logarítmicas, trigonométricas inversas e exponenciais. (PALARO, 2008) No século XVIII, o chamado problema da corda vibrante influencia a reformulação do conceito de função, pois a ideia de que uma função poderia ser pensada como uma expressão analítica definida por uma série de potências era bem restrita na resolução de problemas de matemática aplicada do conceito como dependência funcional (CORREIA, 1999) Figura I.4- Problema da Corda Vibrante Fonte:(KlEINER,1989, p.285) O problema da corda vibrante pode ser descrito da seguinte forma: Uma corda elástica é presa em dois pontos A e B a uma distância l um do outro. Considera-se o referencial cartesiano em que A é a origem, AB é o eixo Ox e a linha perpendicular a AB por A é o eixo Oy. A corda assume a sua posição de equilíbrio ao longo do eixo Ox. Se desloca a corda da sua posição inicial, ela inicia um movimento vibratório, em virtude das tensões que se exercem nos seus pontos. Considera-se que esse movimento consiste de pequenas oscilações, ou seja, que os pontos da corda sofrem pequenos desvios da sua posição inicial. Podemos, portanto admitir que, durante o movimento, cada ponto P da corda permanece na mesma recta 1 Função cujo valor era resultante como um número infinito de soma, diferença, produtos, quocientes, potências (PALARO) 2 Função que tinha característica contraria às funções explícitas.

28 16 vertical, perpendicular ao eixo Ox, isto é, tem abscissa x constante (resumidamente, podemos dizer que as oscilações são transversais). Também podemos supor que a força de tensão é idêntica em cada ponto da corda. Pretende-se encontrar uma equação que represente o movimento ondulatório da corda, sendo o deslocamento y de cada ponto uma função da abscissa x e do tempo /; de seguida, resolver a equação de modo a encontrar explicitamente uma expressão para y (CORREIA, 1999, p.45). KLEINER (1989) salienta que, para entender as discussões do problema das cordas vibrantes, é necessário mencionar o chamado artigo da fé, o qual diz que se duas expressões analíticas concordam num intervalo elas concordam em qualquer lugar (p. 4). O autor afirma, ainda, que todo o curso de uma curva é determinado por uma parte pequena. Dessa forma, a variável independente em uma expressão analítica varia sobre o domínio total dos números reais, sem qualquer restrição. Jean Lê Rond D Alembert ( ) publicou um trabalho sobre o problema das cordas vibrantes, onde demonstrou que o movimento das cordas era dado pela equação diferencial, conhecida como equação da onda: 2 y 2 t a 2 2 y 2 x (a é uma constante), Onde y é uma função de duas variáveis que representa o deslocamento transversal do ponto x da corda no tempo t. A solução dada por D Alembert, considerada por ele a mais geral, é: ( x at) ( x at) y( x, t), 2 onde é considerada uma função arbitrária. D Alembert acreditava que somente funções expressas por uma única expressão analítica poderiam ser consideradas (SÁ, SOUZA & SILVA, 2003). Dessa forma, fazia uma restrição às possíveis funções que representariam de outra maneira, não sendo possível representar o movimento da corda por uma função (CORREIA, 1999, p. 48). SÁ, SOUZA e SILVA (2003) afirmam que Euler não concordava com tal restrição e dizia que funções mais gerais deveriam ser incluídas. Segundo KLEINER (1989), Euler afirmava que D Alembert, ao resolver o problema, percebeu, por experimentos, como a solução y(x,t) determinava a forma da corda para diferentes valores de t, ainda que o formato inicial da corda não fosse dado por uma única fórmula. Ele argumentou que esse poderia ser dado por vários tipos de expressões analíticas em diferentes intervalos e, de acordo com o artigo da fé da época, não havia a possibilidade de uma única expressão algébrica, logo a solução de D Alembert não poderia ser a mais geral.

29 17 Além disso, uma terceira visão do problema surge com Daniel Bernoulli em 1753, que possuía um ponto de vista mais físico, percebeu que a corda poderia vibrar de uma infinidade de maneiras diferentes, e qualquer vibração do tipo descrito por ele possuiria uma frequência particular, e que essa sim seria a forma mais geral do problema (SÁ, SOUZA & SILVA, 2003, p.8). Segundo KLEINER (1989), a solução de Daniel foi a seguinte para o problema das cordas vibrantes: n x n at y ( x, t ) bn sin cos n 1 l l A solução significa que uma função arbitrária f(x) pode ser apresentada no intervalo (0,l) por uma série de senos n x y( x,0) bn sin n 1 l Bernoulli tinha apenas o interesse de resolver o problema físico e não de dar um conceito para função. Além disso, o que ele chamava de função arbitrária significava forma arbitrária (KLEINER, 1989, p.6). Euler e D Alembert acharam um absurdo o argumento de resolução do problema. Utilizaram o artigo da fé em seus argumentos e verificaram que a função f(x) e a série coincidiam em um intervalo, no entanto, deveriam coincidir em todos os pontos. (KLEINER, 1989; VAZQUEZ, REY & BOUBÉE, 2008) Segundo SÁ, SOUZA e SILVA (2003); CORREIA (1999), a Academia de São Petesburgo ofereceu um prêmio para quem pudesse explicar como eram as funções arbitrárias obtidas nas soluções de equações diferenciais. O ganhador do prêmio foi Louis Arbogast ( ), que argumentou que tais funções não eram contínuas, precisando dessa forma dar um conceito para continuidade. Tal conceito foi definido por ele como: "A lei de continuidade consiste em que uma quantidade não poderá passar de um estado a outro sem passar por todos os estados intermédios sujeitos à mesma lei. (...) [A variável] não passará de um valor a outro sem passar também por todos os valores intermédios" (FRIEDELMEYER apud CORREIA, 1999, p. 71). Em 1806, Lagrange ( ) também contribuiu para o problema da corda vibrante, encontrando uma solução mais abrangente do que Daniel Bernoulli. Ao definir o conceito de função de duas formas. A primeira, em sua obra Théorie dês Functons Analytiquies (1797): Chama-se função de uma ou de várias quantidades a toda expressão do cálculo na qual essas quantidades entrem de alguma maneira, combinadas ou não com outras quantidades da função podem receber todos os valores possíveis. (MENDES apud SÁ, SOUZA & SILVA)

30 18 A outra definição foi dada em sua obra Lecons sur le calcul des functions em 1806: funções representam diferentes operações que deviam ser realizadas em quantidades conhecidas para obterem-se valores de quantidades desconhecidas, e estas quantidades desconhecidas eram propriamente o último resultado do cálculo (MENDES apud SÁ, SOUZA & SILVA, 2003, p. 9). O fato de não haver formalização do conceito e, muito menos, consenso, fez com que os matemáticos buscassem modelos explicativos nas mais diferentes vertentes. Neste contexto teve-se o trabalho do matemático francês Joseph Fourier ( ) sobre a propagação do calor, que teve uma importante contribuição para o conceito de função, ao considerar a temperatura como uma função de duas variáveis (PONTE, 1992). Em 1822, publica La Theorie Analique de La Chaleur, obra na qual faz a afirmação de que qualquer função poderia ser expressa por uma função trigonométrica. Sua definição sobre função era: Em geral, a função f(x) representa uma sucessão de valores que são dados à abscissa x, e existe um número igual de ordenadas f(x) (SÁ, SOUZA & SILVA, 2003, p.11). Segundo KLEINER (1989), o teorema apresentado por Fourier foi o seguinte: Qualquer função f(x) pode ser definida sobre (-l,l) e é representada nesse intervalo por uma série de senos e cossenos, onde os coeficientes a0 f ( x) 2 n 1 a a n e b n são dados por: n n x cos b 2 n n x sin, l a n 1 l l l n t f ( t)cos dt l e b n 1 l l l n t f ( t)sin dt l No final do século XVIII, muitas contradições surgiram na Matemática. Houve, então, a necessidade de formalização para dar uma fundamentação, pois havia sido empregada muita intuição e formalismo do século anterior. Assim, a ideia de função, entre outros conceitos, precisou ser claramente definida, implicando o surgimento da Análise Matemática que tinha como objeto de estudo as funções. Benhard Bolzano ( ), que é considerado o pioneiro nessa formalização apresentou definições sobre funções contínuas e derivadas, além de relacionar a continuidade, a derivabilidade e também demonstrou o chamado Teorema do valor médio. (SÁ, SOUZA & SILVA, 2003, p.11). Após esse trabalho de formalização do cálculo, outros matemáticos também contribuíram. Entre eles, Cauchy, George Cantor e Richard Dedekind. August Louis Cauchy ( ) contribui para dar rigor à Análise. Em sua obra Cours d analyse (1821) e obras posteriores, ele definiu os conceitos de continuidade, diferenciabilidade e integrabilidade de uma função por meio de termos de limites (KLEINER, 1989). Cauchy deu esta definição para função:

31 19 Quando quantidades variáveis estão ligadas entre si de tal forma que, o valor de uma delas sendo dado, pode-se determinar o valor das demais, diz-se usualmente que estas quantidades são expressas por meio de uma delas, que toma o nome de variável independente, e as outras quantidades expressas por meio da variável independente são o que chamamos de funções dessa variável. (SÁ, SOUZA & SILVA 2003, p.) Em 1837, Peter Gustav Lejune Dirichlet ( ) demonstrou que nem todas as funções poderiam ser escritas como séries de Fourier. Para isso, precisou fazer a separação do conceito de função da sua representação analítica, colocando tal conceito em termos de uma correspondência arbitrária entre variáveis (PONTE, 1992), dando uma definição mais ampla do conceito de função. EVES (2004) apresenta a seguinte definição de Dirichlet: Uma variável é um símbolo que representa um qualquer dos elementos de um conjunto de números; se duas variáveis x e y estão relacionadas de maneira que, nem sempre que se atribui um valor a x, corresponde automaticamente, por alguma lei ou regra, um valor a y, então se diz que y é uma função (unívoca ) de x. A variável x, à qual se atribuem valores à vontade, é chamada variável independente e a variável y, cujos valores dependem dos valores de x, é chamada variável dependente. Os valores possíveis que x pode assumir constituem o campo de definição da função e os valores assumidos por y constituem o campo de valores da função (EVES, 2004, p ). Segundo KLEINER (1989), Dirichlet apresentou uma função que não poderia ser escrita como uma série de Fourier, conhecida como Função de Dirichlet, que é dada por: c, x é racional D( x) d, x é irracional com c d,, c e d são constantes. Essa função foi umas das primeiras a não ser representada por uma expressão analítica e nem poderia ser representada como uma curva feita à mão livre, além de ser o primeiro exemplo de função descontínua em todos os pontos da função. Outro importante aspecto é que essa função foi a primeira a fazer uma restrição explícita do domínio num intervalo (KLEINER, 1989, p.292). Os trabalhos de Dirichlet influenciaram dois matemáticos alemães - Dedekind ( ) e Riemann ( ) - que apresentaram o conceito de função dizendo que: Uma aplicação φ de um sistema S é uma lei, que associa a cada elemento s de S uma certa coisa, que é chamada imagem de s e que escrevemos φ(s) onde o domínio e o contradomínio podem ser qualquer conjunto, não somente de números, mas de matrizes, vetores e mesmo de funções (BOYER, 1996) KLEINER (1989) afirma que Riemann trabalhou com representações de funções de séries de Fourier. Ele fez a expansão do conceito de integral de Cauchy, que havia sido desenvolvido apenas para funções contínuas, aplicando em funções descontínuas, surgindo, assim, o conceito de integral de Riemann.

32 20 Karl Theoder Weierstrass ( ) foi responsável por fazer a desvinculação do conceito de continuidade do de diferenciabilidade. Em 1872, apresentou um exemplo de função que era contínua, mas não era diferenciável. A função era dada por: n n f ( x) b cos( a x) n a onde a era número inteiro ímpar, b era número real tal que b (0,1) e 3 ab 1. Ele também 2 conceituou função como série de potências juntamente com todas as que podem ser obtidas dela por prolongamento analítico (SÁ et al, 2003). A necessidade de maior rigor nas bases da Análise Matemática no século XIX indicou que o conceito precisava estar melhor estruturado e formalizado. A Teoria dos Conjuntos, desenvolvida por Georg Cantor ( ), teve o papel de sanar essa demanda. No século seguinte, a definição de Dirichlet, que foi amplamente aceita, é reformulada pelo Movimento Bourbaki 3, utilizando a teoria descrito por Cantor, ficando da seguinte maneira: Sejam E e F dois conjuntos, distintos ou não. Uma relação entre uma variável s de E e uma variável y de F é dita uma relação funcional de E em F, se qualquer que seja x E, existe um e somente um elemento y a F que esteja associados a x na relação considerada. Dá-se o nome de função a operação que desta associa a todo o elemento x a E o elemento y a F que se encontra ligado a x na relação dada; diz-se que y é o valor da função para o elemento x, e que a função está determinada pela relação funcionais equivalentes determinam a mesma função (MENDES apud SÁ, SOUZA & SILVA, p.13) Percebe-se que o conceito de função passou por diversas modificações durante a história da humanidade, além disso, foi de extrema importância para o desenvolvimento de outras áreas da matemática como o cálculo e a análise. CARAÇA define função como: Sejam x e y duas variáveis representativas de conjuntos de números; diz-se que y é uma função de x e escreve-se y=f(x), se entre as duas variáveis existe uma correspondência unívoca no sentido x y. A x chama-se variável independente, a y variável dependente. (1975, p.129) Para chegar ao conceito que hoje temos, foi necessário o desenvolvimento de outros conceitos, tais como o de variável dependente, variável independente, continuidade, domínio, contradomínio, funções analíticas, etc. VAZQUEZ, REY e BOUBÉE (2008) apresentam um pequeno resumo sobre as definições do conceito de função ao longo dos séculos: 3 Nome de um grupo de matemáticos quase exclusivamente francês, uma espécie de sociedade anônima que assinou várias obras.

33 21 Época Século XVII Século XVIII Século XIX Quadro I.1- Definições de funções ao longo dos séculos Definição Qualquer relação entre variáveis Uma quantidade obtida de outras quantidades mediante operações algébricas ou qualquer outra operação imaginável. Qualquer quantidade que varia de um ponto a outro em uma curva. Quantidades formadas usando expressões algébricas e transcendentais de variáveis e constantes. Quantidades que dependem de uma variável. Função de algumas variáveis, como quantidade, que é composta, de alguma forma, de variáveis e constantes. Qualquer expressão útil para calcular. Correspondência entre variáveis. Correspondência entre um conjunto A e os números reais. Correspondência entre os conjuntos. Fonte: (VAZQUEZ, 2008) No quadro, pode-se ver uma pequena síntese das definições que o conceito de função recebeu ao longo dos séculos, verificando que sofreu interferências conjunturais, e não se manteve estático. O desenvolvimento dessas concepções foi extremamente importante para a Matemática.

34 22 Capítulo II O Conceito de Função O atual processo de ensino-aprendizagem de função remete a associações superficiais e limitadas do seu conceito. Para professores e alunos, é consolidado, quase que de imediato, que o termo função é indissociável de seus tipos: função afim, função quadrática, função exponencial, função logarítmica, etc. Dessa forma, observa-se uma apropriação utilitarista e prática da Matemática para aplicação de operações e obtenções de resultados. No entanto, o conceito é preterido e o ganho intelectual potencial desse aprendizado e as possibilidades de extrapolar esses conhecimentos no cotidiano são cerceados. Com o objetivo de dar o devido valor, até então perdido, à importância do conceito de função, faz-se necessário refletir sobre os seguintes questionamentos: 1. Por que estudar funções no ensino básico? 2. Quais são os aspectos importantes para o aprendizado? 3. Quais aspectos da história são importantes para compreender o conceito? No primeiro item, é preciso compreender o que motivou a inserção desse assunto no currículo do segmento básico de ensino. Já no segundo, ter-se-ão parâmetros norteadores relevantes ao processo de ensino-aprendizado que estão balizados em documentos oficiais e pesquisas nacionais e internacionais da área. Por último, no entanto, não menos importante, serão selecionados, arbitrariamente, os conteúdos relevantes para a construção significativa do conceito de função. II.1 A importância do conceito de função no currículo de Matemática Ao se pensar na importância de um conteúdo, como o do conceito de função dentro da matemática, deve-se entender como ocorreu a sua inserção no currículo dessa disciplina. Através desses fatos históricos, percebe-se como tal conceito é importante até hoje. O livro Função: a alma do Ensino da Matemática de Ciro Braga retrata de que maneira o conceito de função foi inserido e para quais fins passou a fazer parte do Currículo de Matemática. No início do século XX, havia um movimento mundial de renovação nas escolas secundárias do ensino da Matemática, que tinha bases na Alemanha, Inglaterra, França e Estados Unidos, conseguindo, ao longo do tempo, misturar o trabalho de professores, psicólogos e grandes matemáticos da época, como o matemático prussiano Christian Felix Klein (BRAGA, 2006, p.31). Felix Klein participou de um movimento para reformar o ensino secundário na Alemanha e teve um papel importante na liderança do movimento internacional que tinha como objetivo a

35 23 reforma do ensino secundário. Um fator que desencadeou tal atitude foi o fato de que, no sistema educacional alemão havia, nos diferentes tipos de escola, uma heterogeneidade, a qual acontecia, devido a autonomia cultural que permeava toda a sociedade alemã. Essa diversidade de formação matemática era evidenciada naqueles que ingressavam nas Escolas Técnicas Superiores, e, segundo Klein, a desigualdade nas culturas prévias entre os ingressantes no ensino superior constituía naquele momento para os cursos iniciais do primeiro ano um inconveniente tão grande como real (apud BRAGA, 2006, p.39). Sobre essa diversidade que o ensino superior abrigava, especialmente nos cursos de engenharia, o autor salienta ainda que havia a necessidade de um nivelamento, o que gerava transtornos aos cursos, pois se perdia tempo em suprir carências tendo que se abdicar de algumas disciplinas técnicas. O autor nos diz que: Essa sobrecarga a que ficava exposto o ensino superior resultava por não atender às demandas decorrentes da modernização do novo estado alemão que exigia um grande número de engenhos práticos nas três últimas décadas do século XIX, ocorreu uma grande expansão da sua indústria (BRAGA, 2006, p.39). A compactação das matemáticas superiores em três semestres, além do nivelamento no primeiro ano da universidade, indicava a necessidade de desafogar o curso superior, repassando alguns encargos para o ensino secundário, entre eles, a uniformização da matemática escolar e a encampação e alguns assuntos que eram próprios da matemática universitária. BRAGA relata que Klein passa a se dedicar também à formação dos professores do secundário. O ponto de vista de Klein era de reformar o ensino da Matemática Universitária e percebeu que isso requeria levar em consideração o sistema escolar como um alicerce para a educação superior. Lança, então, a obra Matemática Elementar sob um Ponto de vista Superior, obra onde estão expressas as ideias que se tornaram o princípio do movimento de modernização do ensino da matemática. Diversos trechos indicavam o objetivo de Klein de inserir uma Introdução ao Cálculo no ensino secundário, no entanto, tal fato não aconteceu. Sobre isso, o autor elucida: [...] sobre tentativas anteriores de se incluir esse tópico e que resultaram em fracasso, originaram uma oposição muito forte contra a Introdução do Cálculo Infinitesimal no ensino secundário oposição que foi se estendendo até culminar nos decênios de 70 e 80(do século XIX) em uma proibição oficial do ensino de Cálculo (BRAGA, 2006, p.44). Com a restrição da Introdução ao Cálculo, a maneira de colocar uma via entre o secundário e o nível superior da Matemática seria centrar o ensino da matemática escolar no conceito de função (p.52).

36 24 Integral: O referido autor salienta sobre a ideia de função na disciplina de Cálculo Diferencial e Aliás, cabe observar que a função revelava-se imprescindível para a abordagem por ele proposta para a disciplinarização do Cálculo fato este denunciado pela própria nomenclatura de seus elementos constituintes: limite de uma função, derivada de uma função num ponto, função derivada, função primitiva, integral de uma função, etc. Dessa forma, o sucesso no ensino de Cálculo estaria intimamente ligado a um bom domínio de função por parte do aluno. E mais o entrelaçamento desses dois assuntos poderia vingar se o educando soubesse transitar com relativo desembaraço pelas várias representações de função (BRAGA, 2006, p.52). Percebe-se que, de acordo com Klein, para o ensino de Cálculo era necessário um bom domínio de função. Além disso, após a proibição do ensino do Cálculo, a função seria o caminho mais fácil de inserir um conteúdo para facilitar esse ensino na educação superior. BRAGA também aborda em seu trabalho, como o conceito de função foi inserido no currículo de Matemática do Brasil. Segundo ele: O processo de inserção do tema função entre os conteúdos da nossa matemática do secundário está diretamente vinculado à criação, concretizada no ano letivo de 1929, de uma nova disciplina escolar do ensino brasileiro denominada matemática, resultante da unificação de três outras, até então, independentes: a aritmética, a álgebra e a geometria. Essa fusão é feita a partir de uma referência internacional[...]cujo epicentro se encontra nas idéias do renomado matemático prussiano Felix Klein, que propunha uma renovação nesse nível de ensino. Essa transformação estrutural da nossa matemática escolar é, em 1931, referendado por uma reforma educacional mais ampla, conhecida como Reforma Francisco Campos (BRAGA, 2006, p. 25). Além do fato histórico da inserção de funções no currículo, documentos oficiais também salientam a importância desse conceito hoje. Os PCNEM afirmam que: O PCN+ nos diz que: Além das conexões internas à própria Matemática, o conceito de função desempenha também um papel importante para descrever e estudar através da leitura, interpretação e construção dos gráficos, o comportamento de certos fenômenos tanto no cotidiano, como de outras áreas do conhecimento como a Física, Geografia ou Economia (BRASIL, 2000b, p.43-44). O estudo de funções permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a linguagem das ciências necessárias para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo várias conexões dentro e fora da Matemática (BRASIL, 2002, p.121). Percebe-se assim, a partir desta ótica histórica, a importância dada à inserção desse conteúdo ao currículo de Matemática. Destaca-se que tal ainda hoje é considerado como sendo um assunto moderno.

37 25 II.2 Aspectos importantes para o estudo de funções no Ensino Básico Nesse subitem, analizar-se-ão os aspectos importantes do conceito de função que devem ser identificados por meio de documentos oficiais e trabalhos acadêmicos que abordem o assunto. Dessa forma, o conteúdo abordará nesse trabalho, com intuito de enfatizar essas características que serão desenvolvidas nas atividades que constituirão o produto e a dissertação. O Ministério da Educação elaborou um documento com diretrizes, ou seja, características mínimas e relevantes para o ensino do conceito. Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM) indicam objetivos a serem alcançados pelo aluno com o ensino da Matemática, ao final desse segmento escolar, que orientaram a elaboração e corroboraram as ideias selecionadas dos trabalhos acadêmicos. Os objetivos apresentados nos PCNEM (BRASIL, 2000, p.42) seguem enumerados: 1. compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que permitam a ele desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação científica geral; 2. aplicar seus conhecimentos matemáticos a situações diversas, utilizando-os na interpretação da ciência, na atividade tecnológica e nas atividades cotidianas; 3. analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes, utilizando ferramentas matemáticas para formar uma opinião própria que lhe permita expressar-se criticamente sobre problemas da Matemática, das outras áreas do conhecimento e da atualidade; 4. desenvolver a capacidade de raciocínio e resolução de problemas, de comunicação, bem como o espírito crítico e criativo; 5. utilizar com confiança procedimentos de resolução de problemas para desenvolver a compreensão dos conceitos matemáticos; 6. expressar-se oral, escrita e graficamente em situações matemáticas e valorizar a precisão da linguagem e as demonstrações em Matemática; 7. estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e o conhecimento de outras áreas do currículo; 8. reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito, relacionando procedimentos associados às diferentes representações; 9. promover a realização pessoal mediante o sentimento de segurança em relação às suas capacidades matemáticas, o desenvolvimento de atitudes de autonomia e cooperação. A pesquisa desenvolvida por essa dissertação utilizará os objetivos dos PCNEM, que serão fundamentais para alcançar uma aprendizagem mais significativa do conceito de função, pois a

38 26 partir desse documento oficial (objetivos) serão focados os pontos relevantes que a investigação deverá alcançar. II.2.1 Orientações Curriculares para o Ensino Médio As Orientações Curriculares para o Ensino Médio, documento elaborado pela Secretaria do Ministério da Educação e Cultura (MEC), tem como estratégia a promoção e o estabelecimento de canais de diálogo entre docentes e escola, com a contribuição do saber docente. O documento privilegia três aspectos: 1) escolha de conteúdos; 2)forma de trabalhar os conteúdos e 3) o projeto pedagógico e a organização curricular que estão agrupados. Os conteúdos são divididos em quatro blocos, a saber: 1) Números e Operações; 2) Funções; 3) Geometria e 4) Análise de Dados e Probabilidades. Sobre o ensino de funções, as Orientações dizem que esse conceito pode ser introduzido através da exploração qualitativa das relações entre duas grandezas, como, por exemplo, tempo e distância percorrida. Além disso, considera que os alunos deverão ser provocados a apresentarem outras relações funcionais, esboçando inicialmente gráficos qualitativos dessas relações e fazendo o registro dos tipos de crescimento e decrescimento. Também salienta-se a importância de se tornar o aluno apto a expressar a forma algébrica de funções, o que facilitará a identificação e percepção discente da existência e aplicação da ideia de função em outras áreas do saber. (BRASIL, 2006, p.72). A construção de gráficos, sempre que possível, representará traçados do entendimento global da relação crescimento e decrescimento e não da simples construção de tabelas numéricas, pois essas não permitem uma compreensão sobre o comportamento das funções. O estudo de funções deve ser seguido pelos seus diferentes tipos: afim, quadrático e exponencial. II.2.2 Orientações Complementares aos Parâmetros Curriculares do Ensino Médio (PCN+) Os PCN+ têm como objetivo facilitar a organização do trabalho da escola através da explicitação da articulação das competências e apresenta sugestões sobre práticas educativas e de organização curricular (BRASIL, 2002, p.7). Sobre o estudo de funções, o documento afirma que tal conteúdo: permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo várias conexões dentro e fora da própria matemática. (BRASIL, 2002, p.121)

39 27 Os PCN+ também afirmam que a ênfase do estudo de funções deve ser dada ao estudo do seu conceito, às propriedades das operações, à interpretação de gráficos e à aplicação das funções (p.121). Assim, o estudo de funções terá início por situações contextualizadas que explorem a dependência entre grandezas. Pelas recomendações existentes neste documento percebe-se que a linguagem formal deverá se evitada. Além disso, os problemas de aplicação que envolvem conceito deverão ser trabalhados como uma proposta contextualizadora e motivadora para o estudo, e não deixá-los para o final da sequência de ensino. Muitos dos fenômenos que envolvem a dependência de grandezas podem ser estruturados através de situações que envolvam o cotidiano e que utilizem a representação gráfica. O documento oferece ainda algumas habilidades que os estudantes devem ser capazes de realizar ao final da temática de funções. Pode-se destacar as seguintes habilidades: Reconhecer e utilizar a linguagem algébrica nas ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e fazendo conexões dentro e fora da Matemática. Compreender o conceito de função, associando-o a exemplos da vida cotidiana. Associar diferentes funções a seus gráficos correspondentes. Ler e interpretar diferentes linguagens e representações envolvendo variações de grandezas. Identificar regularidades em expressões matemáticas e estabelecer relações entre variáveis (BRASIL, 2002, p ). Essas habilidades são importantes formas de nortear essa dissertação, dada sua importância para que os estudantes sejam capazes de desenvolver como produto do processo ensino/aprendizagem o conceito de função. II.2.3 O Ensino de Cálculo: Dificuldades de Natureza Epistemológica-Tese de Doutorado de Wanderley Rezende REZENDE (2003) afirma que a dificuldade do ensino de Cálculo é de caráter epistemológico, contrariando pesquisas que dizem que o problema é de origem psicológica individual. Segundo ele, um dos principais entraves do ensino de Cálculo tem a ver com a ausência das suas ideias e problemas essenciais na Educação Básica. Em sua obra, o autor cita que, com o passar do tempo, o conceito de função se tornou um assunto muito importante na disciplina de Cálculo. No entanto, devido ao processo histórico, o conceito acaba aderindo ao âmbito da Teoria dos Conjuntos, deixando o do Cálculo, e ainda menciona o fato do ensino de funções no Ensino Básico possuir uma definição formal e abstrata que provoca desvios de natureza epistemológica no Ensino do Cálculo (p.343). Muitos alunos caracterizam as funções por expressões analíticas, e a ideia de função é estabelecida por eles como correspondência de valores das variáveis x e y, além de considerarem que o gráfico pode ser estabelecido por tabela com valores determinados pelo docente, o que faz com que as propriedades e elementos principais sejam caracterizados como

40 28 estáticos e em termos algébricos. Na verdade, o que deveria ser valorizado é a forma pela qual as grandezas variam. Dessa maneira, estar-se-ia fazendo a imersão das ideias do Cálculo como o problema da variabilidade, que seria umas das diretrizes para resolver os impasses enfrentados em seu ensino. Segundo REZENDE (2003), na Educação Básica, encontram-se alguns resultados do Cálculo na disciplina de Matemática. Por exemplo: o cálculo de áreas de círculos, a soma de uma progressão geométrica infinita, porém, na verdade, o que não está presente é o Cálculo. O autor menciona que o Ensino Básico de Matemática está baseado em três vias: a da geometria, a da aritmética e a da álgebra. No entanto, falta a via do Cálculo que é uma disciplina importante e que poderia ser considerada como a espinha dorsal do conhecimento matemático (p.403). Sobre a inserção das ideias do Cálculo no ensino, o autor esclarece que a sua apresentação deve ser feita de forma gradual e que tal aprendizagem não se esgote em um só momento, sendo necessário retomar o assunto em outros contextos, articulando-o a outras ideias. REZENDE (2003) esclarece que o problema da variabilidade tem um papel de rompimento com a representação algébrica do conceito de função, fazendo com que esse conceito seja devolvido ao Cálculo. Dessa forma, caracterizar as funções reais usualmente estudadas no ensino básico a partir do estudo das suas variações (p.409). II.2.4 Artigo Aportes didáticos para abordar el concepto de función de Graciela Rey, Carolina Boubée, Patricia Sastre Vazquez e Alejandra Cañibano. No artigo de REY et al (2009) encontram-se argumentos sobre as limitações dos estudantes no que diz respeito ao conceito de função, já que muitos, ao chegarem ao ensino superior, apresentam dificuldades em interpretar, analisar e esboçar o gráfico de funções especialmente pela ausência de elementos fundamentais para o conceito, como a variabilidade e dependência. Segundo REY et al (2009), o conceito de função nos livros didáticos é apresentado como um caso particular do conceito de relações que é embasado pela Teoria dos Conjuntos, e, em muitos casos, o conceito é formalizado e só posteriormente são apresentados exercícios construídos exclusivamente para a aplicação direta do conceito, sem qualquer transformação. Os diferentes alunos apresentam uma diversidade de concepções sobre a noção de função, e, provavelmente, pelos métodos de ensino que tiveram não promoveram o estudo e análise da variabilidade de fenômenos ligados a mudanças, assim as funções encontrariam um significado ligado a origens epistemológicas. Essas diferentes concepções são advindas da utilização de estratégias de ensino que valorizam o uso de rotinas e procedimentos

41 29 algorítmicos, como a construção de tabelas, cálculo de domínios, etc. As fórmulas (expressões analíticas de funções) são consideradas como receitas, bastando encontrar os valores das incógnitas, dessa forma, elimina-se o sentido de variabilidade, fazendo valer as incógnitas em detrimento das variáveis. Segundo os autores, as limitações dos alunos em relação a funções estão relacionadas à ausência do potencial modelador da noção de função que tem como ferramenta importante a noção de dependência que implica na existência de relação entre quantidades e carrega a ideia de que, se houver mudanças nas quantidades, causará alterações sobre outras. Essa noção de dependência não é facilmente identificada sem aporte em outra noção que é a da variabilidade. REY et al (2009) aponta os seguintes elementos que integram a noção de função: a variação, a dependência, a correspondência, a simbolização e a expressão da dependência e as distintas formas de representação. Para as autoras, o conceito de função pode ter várias formas de registro. A seguir, encontra-se um quadro que resume essa explicação: Quadro II.1 Formas de representar função REGISTRO Descrição do conceito de função Algumas Limitações Verbal Linguagem natural xxxxxxxxxxxxxxxxx Em Tabela Gráfico Algébrico Algorítmico Representada por uma tabela de valores que colocados em forma de relação correspondência Curva no Plano Cartesiano Expressão algébrica (fórmula) Programas e procedimentos como os que são utilizados em calculadores e computadores. Fonte: Rey et al (2009) Número limitado de pares de valores que se podem incluir na tabela Limitação do desenho que só permite visualizar uma parte da curva, tendo imaginar mais do que é possível observar. Segundo REY et al (2009), para os alunos, a articulação entre o registro gráfico e algébrico é o mais difícil, pois a leitura da representação gráfica envolve uma interpretação mais global, alem de ser necessário discriminar variáveis visuais e perceber as variações correspondentes. É comum no ensino básico propor exercícios para transformação da representação algébrica em representação gráfica construída ponto a ponto, e é pouco frequente a transformação inversa. Em algum momento da aprendizagem, os alunos deveriam ser capazes de distinguir a função de suas representações e atividades de articulação entre os registros poderiam favorecer essa diferenciação. O estudante é estimulado a memorizar fórmulas e sem se apropriar do significado verdadeiro. REY et al (2009) concluem o artigo, dizendo que são necessários os seguintes pilares para representar uma alternativa do ensino de funções:

42 30 Reconhecer as representações mentais dos alunos na educação básica; Poder modelador do conceito de função, baseado na variabilidade e dependência; Diferenciação entre o conceito de função e suas representações; Resolução de problemas contextualizados que promovam articulação entre os diferentes registros. II.2.5 Artigo The history of the concept of function and some educational implications de João Pedro Ponte Nesse artigo, PONTE faz a exposição de aspectos da história do conceito de função, observando as relações desse com outras ciências. Há discussão de seu uso em situações reais, além de uma abordagem didática dando atenção ao papel das diferentes formas de representação do conceito e da natureza do trabalho do conceito das atividades realizadas pelos alunos. PONTE (1992) afirma que, atualmente, a matemática não está tão ligada às ciências físicas, no entanto, tem se ampliado seus domínios de aplicação em várias áreas do conhecimento. Com a aplicação da matemática a outras ciências, a noção de modelos matemáticos se torna importante para a representação de relações e estruturas que propõe descrever elementos em cada situação. Para confirmar tais modelos, é necessário estabelecer relações funcionais que envolvam os parâmetros e as variáveis do problema. Para o autor, a correspondência numérica entre variáveis é muito importante. Muitos alunos chegam ao ensino secundário com dificuldades em abstração, e o ensino de funções precisa estar articulado às três importantes formas de representar função: numérica, gráfica e algébrica. As dificuldades dos estudantes surgem quando o professor começa a lidar de forma mais abstrata com os conteúdos, sem levar em conta fundamentos naturais. Construir e analisar tabelas e calcular valores numéricos auxiliam no desenvolvimento de um sentido quantitativo e de fácil manejo com números concretos. O currículo de matemática precisa estabelecer interpretações de características significativas das representações gráficas das funções. Algumas ideias relacionadas com variação (crescimento, decrescimento, constância, máximo, mínimo) e com a variação da variação podem ser apreendidos a partir dos gráficos da funções. O trabalho com a representação algébrica é importante, porém, mais que ser capaz de manipular fórmulas corretamente, o significado dessas expressões em situações reais, pelos estudantes, deve ser compreendido. Os estudantes precisam ter oportunidades para prática e reflexão sobre a resolução de problemas significativos. Para realizar essa tarefa, podem fazer uso das tecnologias, que permitem uma visão mais apropriada, deixando de lado o trabalho mecânico.

43 31 As funções numéricas são apropriadas para introduzir o conceito de função, elas são atraentes devido às propriedades elementares, suas representações são simplistas e intuitivas, além de serem úteis para representar vários tipos de situações. Com essas funções, ao utilizarem a aritmética e a álgebra elementar, estabelece-se uma ponte na geometria por causa da sua representação geométrica. II.2.6 Dissertação de Mestrado: Cálculo no Ensino Médio: Uma proposta para o problema da variabilidade de Vinicius Mendes Couto Pereira. Nessa dissertação, PEREIRA (2009) relata as dificuldades encontradas no Ensino de Cálculo e embasado por argumentos de REZENDE (2003) fez a identificação da ausência das ideias e problemas do Cálculo no Ensino Médio. Baseado nesse fato, o autor acaba por desenvolver uma proposta para inserir ideias desses problemas, utilizando a Engenharia Didática que é uma metodologia adotada por pesquisadores de Educação Matemática que concebem o trabalho do pesquisador como o de um engenheiro dividindo o trabalho em sequências didáticas. Aplicou a proposta em alunos de 1º e 2º anos do Ensino Médio utilizando recursos computacionais para apresentar o conteúdo. Uma das conclusões foi que tais ideias podem ser aplicadas na Educação Básica, contribuindo para a melhoria do Ensino de Matemática. II.2.7 Currículo Mínimo do Estado do Rio de Janeiro O documento foi criado pela Secretaria de Educação do estado do Rio de Janeiro e serve como referência para unificar o currículo da rede estadual de ensino. Apresenta as competências e habilidades dos conteúdos que devem ser trabalhados nas aulas dos professores da rede. No documento, encontra-se o conceito de função no nono ano do Ensino Fundamental e no primeiro ano do Ensino Médio. As competências e habilidades apresentadas no currículo Mínimo para o Ensino Fundamental são: Médio são: - Compreender intuitivamente o conceito de função como relação entre duas grandezas. - (...) - Representar graficamente uma função no plano cartesiano, utilizando tabelas de pares ordenados. - Resolver situações-problema que envolvam o conceito de função. (RIO DE JANEIRO, 2011, p. 15) As competências e habilidades apresentadas, no referido documento, para o Ensino

44 32 - Compreender o conceito de função através da dependência entre variáveis. - Identificar a expressão algébrica que expressa uma regularidade ou padrão. - Representar pares ordenados no plano cartesiano. - Construir gráficos de funções utilizando tabelas de pares ordenados. - Analisar gráficos de funções (crescimento, decrescimento, zeros, variação do sinal). (RIO DE JANEIRO, 2011, p. 17) II.2.8- Argumentos para alcançar os objetivos através de aspectos importantes sobre o conceito de funções Após a exposição das ideias para constituir os aspectos relevantes para o ensino de funções e é necessário definir de que maneira os argumentos encontrados nos documentos oficiais e trabalhos acadêmicos corroboram para alcançar os objetivos definidos nos PCNEM. Dessa forma, pode-se criar uma correspondência entre os objetivos e os chamados aspectos importantes do conceito de função, definindo assim o que deve ser valorizado no ensino/aprendizado de funções pelos alunos do Ensino Básico. O quadro a seguir apresenta os objetivos dos PCNEM numa coluna e, na outra, os argumentos dos documentos citados anteriormente nesse subitem. Tal quadro é uma síntese do autor dessa dissertação. Quadro II.2. Correlação entre os objetivos dos PCNEM com os aspectos relevantes para o ensino do conceito de função Aspectos relevantes para o ensino do Objetivos dos PCNEM conceito de funções compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que permitam desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação científica geral; O estudo de função permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a linguagem das ciências (BRASIL, 2002) Imersão das Ideias do Cálculo Problema da variabilidade-(rezende, 2003) Viabilidade da inserção do problema da variabilidade na educação básica (PEREIRA, 2009) aplicar seus conhecimentos matemáticos a situações diversas, utilizando-os na interpretação da ciência, na atividade tecnológica e nas atividades cotidianas analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes, utilizando ferramentas matemáticas para formar uma opinião própria que lhe permita expressarse criticamente sobre problemas da Matemática, das outras áreas do conhecimento e da atualidade desenvolver a capacidade de raciocínio e resolução de problemas, de comunicação, bem como o espírito crítico e criativo Compreender o conceito de função, associando-o a exemplos da vida (BRASIL, 2002) Significado de expressões algébricas em situações reais devem ser compreendidas pelos alunos (PONTE, 1992) A forma algébrica de funções facilita a identificação e aplicação da idéia de função em outras áreas do saber (BRASIL, 2006) Modelos descritivos de fenômenos permitem conexões dentro e fora da Matemática (BRASIL, 2002) Problemas de aplicação para motivar os alunos (BRASIL, 2002)

45 33 utilizar com confiança procedimentos de resolução de problemas para desenvolver a compreensão dos conceitos matemáticos expressar-se oral, escrita e graficamente em situações matemáticas e valorizar a precisão da linguagem e as demonstrações em Matemática estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e o conhecimento de outras áreas do currículo Resolução de problemas contextualizados que promovam articulação entre diferentes registros (REY at al) Construir e analisar tabelas ajudam do desenvolvimento quantitativo (PONTE, 1992) Resolução situações problema envolvendo o conceito de função (RIO DE JANEIRO, 2011) Reconhecer as representações mentais dos alunos (REY at al, 2009) Resolução de problemas contextualizados que promovam articulação entre diferentes registros (REY at al, 2009) Imersão das Ideias do Cálculo Problema da variabilidade- (REZENDE, 2003) A forma algébrica de funções facilita a identificação em outras áreas do saber (BRASIL, 2006) Funções numéricas são úteis para representar vários tipos de situações (PONTE, 1992) reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito, relacionando procedimentos associados às diferentes representações promover a realização pessoal mediante o sentimento de segurança em relação às suas capacidades matemáticas, o desenvolvimento de atitudes de autonomia e cooperação Ler e interpretar diferentes Linguagens (PCN+) Função possui várias formas de registros (tabelas, gráfica, algébrica e algorítmica) (REY at al) Função e suas formas de representação (numérica, gráfica e algébrica) (PONTE,1992) Representação no plano cartesiano de função, relação entre duas grandezas (RIO DE JANEIRO, 2011) Baseado nesse quadro-resumo, indicam-se os seguintes aspectos de caráter pedagógico, que devem ser valorizados na construção do o conceito de função. Ele deve ser apresentado por suas várias representações; compreendido através do problema da variabilidade; associado com a resolução de problemas contextualizados; utilizado como modelo matemático para as outras ciências; valorizado pela dependência entre variáveis.

46 34 II.3-Aspectos Históricos Relevantes para o Ensino de Funções A história do conceito de função pretende estruturar de maneira didática a forma como esse se desenvolve e evolui. Dentro dessa proposta, torna-se pertinente relacioná-lo aos marcos históricos. Ao resgatar a historicidade do conceito de função, como surgiu e as várias definições que tal conceito recebeu em cada época, é possível compreendê-lo atualmente e, por meio da análise de sua estruturação através dos séculos, pode-se tornar uma ferramenta importante para auxiliar o processo de ensino-aprendizagem de função. Anteriormente, nesse capitulo, foram apresentados os aspectos importantes sobre o ensino de função. Demonstrou-se que tais aspectos contribuem para que os alunos alcancem os objetivos traçados pelos PCNEM. Com isso, pretende-se apresentar os acontecimentos históricos que podem contextualizar esses aspectos importantes e apresentá-los de forma a facilitar a aprendizagem sobre funções, por meio de uma aprendizagem significativa. No item anterior dessa dissertação, baseado em trabalhos acadêmicos e documentos oficiais, determinou-se cinco aspectos elencados como importantes para o ensino com base em documentos, artigos, dissertações e teses. Segundo os documentos oficiais e trabalhos pesquisados percebeu-se a importância de destacar: a) as várias representações que o conceito possui; b) o problema da variabilidade que deve fazer parte da apresentação para os alunos com intuito de inserir as ideias do Cálculo no Ensino Fundamental (REZENDE, 2003); c) a dependência de variáveis deve ser valorizada, a motivação para estudo deve partir da resolução de problemas contextualizados e d) função como modelo para outras ciências. Durante a Idade da Pedra, a necessidade do homem quantificar seu rebanho o fez realizar a contagem por meio de associações. Isto intuitivamente favoreceu a que se chegasse ao conceito de função, uma vez que para associar elementos aos números, com o objetivo de determinar a quantidade, foi importante para o desenvolvimento do processo de contagem e do desenvolvimento dos números. Eles trabalhavam de maneira intuitiva essa dependência de objetos. As Orientações Curriculares indicam que deve ser valorizada a relação qualitativa entre grandezas, com destaque ao conceito de dependência. Esse objetivo poderá ser trabalhado por meio do conhecimento da história dos babilônicos, os quais utilizavam as Tábulas para representar a associação entre valores de uma tabela. Sendo assim, a segunda coluna era dependente dos valores da primeira. As Tábulas expressavam de maneira bastante natural a ideia de função. Essa forma de representar uma função é mantida até hoje e percebe-se a facilidade e simplicidade para abordar tal conceito. Segundo PONTE (1992), os alunos apresentam dificuldades de trabalhar com a forma mais abstrata. Dessa maneira, a construção e análise de tabelas auxiliam no desenvolvimento do sentido quantitativo. As tabelas são as

47 35 representações mais simples de expressar uma função. Percebe-se que ao trabalhar com tabelas para expressar uma função, relacionam-se valores baseados em uma regra. No século XIV, o bispo Nicole Oresme, baseado no teorema do valor médio, que fora desenvolvido por pesquisadores do Merton College da Universidade de Oxford no século anterior, questionou a possibilidade de se construir uma representação gráfica sobre o comportamento da variação, ou seja, ele tinha o intuito de representar por meio de uma figura como as coisas variavam. Então, procurou demonstrar a velocidade de um móvel em cada instante. Para tal, traçou uma reta horizontal e graduou-a em intervalos de tempo (instantes) que ele chamou de longitudes e, para cada longitude, ergueu uma perpendicular denominada de latitude, na qual o comprimento representava a velocidade naquele instante. Seu interesse consistia na área formada por tais perpendiculares, posto que resultavam na distância percorrida pelo móvel. Nessa representação de Oresme gerou-se um triângulo retângulo. Com isso ele havia descoberto o princípio fundamental para representar uma função como uma curva, desenvolvendo, então, a Teoria de Latitude de Formas que expressava geometricamente uma função. Nesse período da história, observou-se a tendência à representação gráfica. Os primeiros gráficos traçados possuem semelhanças com o que o que hoje consideramos como abscissa e ordenada, mas não se utilizavam as coordenadas atuais e sim a ideia de latitude e longitude. Também se pode relatar a ideia da variabilidade como uma das preocupações de Oresme, que desejava representar o comportamento da variação das coisas (REZENDE, 2008). Galileu Galilei tinha como objetivo modelar os fenômenos da natureza por meio da matemática, representando relações de variáveis que dependiam de outra. Nesse pensamento, percebe-se a preocupação da variabilidade e da dependência de varáveis além da resolução de problemas. Nessa época, ainda era popular a representação gráfica de Oresme da latitude de formas. Galileu, na tentativa de modelar os fenômenos naturais, acaba criando relações entre as quantidades medidas dos fenômenos que podiam ser observáveis. Com isso, tais medidas passavam a ser introduzidas nas representações gráficas. Segundo REZENDE (2008), o pensador italiano fez a demonstração de que o peso de um corpo não exercia influência na velocidade da queda livre e, baseado nisso, enunciou a lei da queda dos corpos no vácuo: o espaço percorrido por um corpo em queda livre é diretamente proporcional ao quadrado do tempo levado para percorrer esse espaço. Ele percebeu isso por meio da variação dos valores. O referido autor diz ainda que interessante é observar que Galileu chegou a este resultado sem dispor dos atuais conceitos de derivada e integral e ainda salienta que já que o filósofo italiano fez isso sem dispor do Cálculo, os alunos da Educação Básica podem estudar essa temática sem qualquer problema. Em sua dissertação PEREIRA faz a caracterização das funções reais: afim e quadrática, que são abordadas no Ensino Médio, por meio do estudo das suas variações. Ele afirma que:

48 36 Desta forma, a função afim será caracterizada segundo o que consideramos ser, a sua propriedade fundamental, a saber: acréscimos iguais na variável independente ocasionam acréscimos iguais na variável dependente, ou ainda, o acréscimo f (x + h) - f (x) depende apenas de h.já a função quadrática será a função em que a taxa de variação da taxa de variação da quantidade y com relação à quantidade x será constante. (PEREIRA, 2009, p.53) Percebe-se a importância em sinalizar para os alunos a questão da variação no problema de Galileu ao enunciar que o espaço percorrido por um objeto em queda livre é diretamente proporcional ao quadrado do tempo levado para percorrer esse espaço. Aqui, deve-se questionar o aluno sobre qual é a taxa de variação da função quadrática, além da taxa da variação da taxa de variação como menciona PEREIRA. REZENDE para exemplificar a queda livre, onde foram fornecidas as medidas das posições de um objeto em queda, chamou o intervalo de tempo de dt, a medida da posição do corpo de s (em metros) e tempo de t. A tabela, a partir do instante inicial t=0, demonstra a posição de queda do copo naquele instante: Tabela II.1- Posição um objeto em queda (REZENDE,2008) Fonte: (REZENDE, 2008) Nessa tabela, o valor de Δs é a taxa de variação da função e Δs² é a taxa de variação da taxa de variação e assim por diante. Ainda em relação a Galileu, percebe-se que ele partiu de um problema da física e, para responder suas indagações, valeu-se da variabilidade. Podese enfatizar com os alunos, nesse trecho da história, como a matemática foi importante no desenvolvimento da Lei dos corpos em queda livre. As bases da Geometria Analítica foram desenvolvidas por René Descartes e Pierre de Fermat. Aquele percebeu que uma equação de duas variáveis poderia ser representada geometricamente por meio de uma curva, o que indicava a dependência entre quantidades variáveis. Ele foi revolucionário ao estabelecer que uma curva poderia ser construída por meio de uma equação algébrica. Ele afirmava que, numa equação, encontram-se duas quantidades incógnitas, o que seria representado por um lugar geométrico que seria uma reta ou uma curva A representação de uma função por meio de gráficos é considerada importante, segundo as Orientações Curriculares, pois pode gerar um entendimento global sobre crescimento e decrescimento de função. Além disso, segundo o Currículo Mínimo para o Estado do Rio de Janeiro, os alunos devem desenvolver a habilidade de representar uma função no plano cartesiano. Com o vídeo, pode-se mostrar que o desenvolvimento da

49 37 Geometria Analítica foi crucial para o emprego de gráficos que utilizam dois eixos perpendiculares e valores dependentes que são marcados como pontos que têm suas coordenadas. James Gregory, em 1667, foi um dos primeiros a definir a função como uma expressão analítica sem que propriamente utilizasse essa palavra, pois ele apenas afirmava: quantidade composta por outras quantidades que sofreram algumas operações (MENDES apud SÁ et al, 2003, p.6). Ou seja, uma variável dependia da adição, subtração, multiplicação ou divisão das outras variáveis. No ano seguinte, Johann Bernoulli utilizava a palavra função para indicar a solução de um problema e indica como uma variável que dependia dessa mesma variável e outras constantes, afirmava de forma implícita que uma função poderia ser escrita por meio de uma fórmula. No entanto, Euler foi o primeiro a considerar claramente uma função como uma expressão analítica. Também é preciso mencionar que o primeiro a utilizar a palavra função foi o alemão Leibnz. Ele utilizou a palavra função para designar quantidades geométricas que dependiam de um ponto de uma curva. Com relação à expressão algébrica (expressão analítica), como salienta as Orientações Curriculares (BRASIL, 2006) deve-se fazer com que os alunos estejam aptos a percebê-la em outras áreas do saber. Segundo os PCN+, a linguagem algébrica é a linguagem da ciência. Assim, a importância dessa representação na história contribui para mostrar como a evolução permitiu a aplicação do conceito para representar situações de outras ciências. No século XVIII, o problema da corda vibrante faz com que o conceito passe por uma grande reformulação, mas as abordagens dadas nessa época são dispensáveis para alunos do Ensino Médio, pois exigiriam conteúdos de nível superior para a compreensão da sua evolução. As funções, naquele momento, foram importantes, verifica-se a utilização das funções nas diversas áreas do conhecimento humano, como exemplo nota-se que foram utilizadas para representar o movimento da corda vibrante, o que dificulta o entendimento para alunos do Ensino Básico, já que as funções eram as soluções das chamadas equações diferenciais. Nessa época, os estudos de Joseph Fourier corroboraram a ideia de que as funções poderiam ser descritas como séries de senos e cossenos: a chamada série de Fourier. Nesse período da história, percebe-se, outra vez, que um problema físico foi capaz de contribuir para a transformação do conceito de função. Logo, pode-se registrar para os alunos tal concepção matemática foi importante para representar o movimento da corda vibrante, explicando a relação do conceito com a Física. Em 1837, Peter Gustav Lejune Dirichlet fez uma demonstração de que nem todas as funções poderiam ser escritas como séries de Fourier. Para isso ele precisou reformular o conceito de função, separando-o de sua representação analítica, fazendo com que uma função fosse correspondência arbitrária entre variáveis, ou seja, uma relação entre dois valores.

50 38 Posteriormente, o movimento Bourbaki apresenta a nova definição do conceito de função e a representa de uma maneira até hoje muito utilizada nos livros didáticos. A definição considerava dois conjuntos (A e B), representados por uma relação de uma variável x que pertencia ao conjunto A e uma variável y que pertencia ao conjunto B. Apenas classificar-se-ia como uma função, se para todo x pertencente ao conjunto A existisse um único elemento y do conjunto B que possuísse uma associação na relação considerada. Com a definição utilizando conjuntos e relações pode-se mostrar mais uma forma de representar o conceito de função por meio da Teoria de Conjuntos. No entanto, vale ressaltar que, depois do Movimento da Matemática Moderna, essa notação tem sido evitada já que possui uma visão muito formal do conceito e os alunos apresentam muitas dificuldades em lidar com essa representação.

51 39 Capítulo III História da Matemática e o Vídeo no Ensino da Matemática A utilização da História da Matemática na educação como uma estratégia de ensino é o foco principal dessa investigação. No entanto, construiu-se um vídeo que pudesse ser aplicado em sala de aula como um recurso didático. Para fundamentar o trabalho, identificou-se a relação da História da Ciência no Ensino e da História da Matemática que se pretende constituir. III.1 História da Ciência aplicada no ensino No artigo intitulado História, Filosofia e Ensino de Ciências: A tendência atual de reaproximação, Michael Matthews aborda várias questões sobre a utilização da História da Ciência no ensino, onde se encontram argumentos a favor e contra. MATTHEWS (1995) menciona, no artigo, a crise em que os sistemas educacionais se encontram pela evasão de estudantes e professores, os grandes índices de analfabetismo em Ciências e a baixa qualidade na qual os cursos de Ciências e Matemática se encontram. Segundo ele, a História, a Filosofia e a Sociologia não têm todas as respostas, mas: [...] podem humanizar as ciências e aproximá-las dos interesses pessoais, éticos, culturais e políticos da comunidade; podem tornar as aulas de ciências mais desafiadoras e reflexivas, permitindo deste modo o desenvolvimento do pensamento crítico; podem contribuir para um entendimento mais integral de matéria científica, isto é, podem contribuir para a superação do mar de significação que se diz ter inundado as aulas de ciências. (MATTHEWS, 1995, p. 166). Nesse ponto, pode-se refletir sobre a falta de significação que se encontra no ensino da Matemática, pensando no uso da História dessa ciência como instrumento capaz de dar significado aos conteúdos e humanizar seu ensino. Sobre os argumentos a favor da utilização da História da Ciência, MATTHEWS (1995) afirma que seus defensores advogam sobre a contextualização das Ciências, caracterizando que o ensino deva ser em e sobre Ciências (p. 166). Ele também afirma que essa tradição contribui para o ensino por: Motivar e atrair alunos; Humanizar a matéria; Promover uma melhor compreensão dos conceitos científicos; Haver um valor intrínseco na compreensão de certos episódios da História da Ciência; Demonstrar que a ciência é mutável e instável; Opor-se à ideologia cientificista; Permitir uma compreensão do método científico através da história, apresentando os padrões de mudança na metodologia.

52 40 MATTHEWS (1995) afirma que a História que se utiliza no ensino deve ser simplificada, levando em conta a faixa etária dos alunos e o currículo que se pretende desenvolver. Ele também afirma que: Na pedagogia como na maioria das coisas, muitas vezes a matéria tem que ser simplificada. E isto é tão verdadeiro para a história da ciência quanto o é para: a economia, ou para a própria ciência. Porém o fato da história da ciência seja simplificada não se torna um argumento decisivo contra ela. A tarefa da pedagogia é, então, a de produzir uma história simplificada que lance uma luz sobre a matéria, mas que não seja uma mera caricatura do processo histórico. (MATTHEWS, 1995, p.177). III.2 História da Matemática no Ensino O uso da História da Matemática no ensino, aqui no Brasil, não é algo que surgiu com os PCNs. Segundo MIGUEL e MIORIM (2004), a preocupação com a introdução de elementos históricos se manifestou de forma explícita em 1930, na legislação vigente na época. No entanto, já havia anteriormente indícios dessa abordagem histórica em livros didáticos do final do século XIX e início do XX. D AMBROSIO (1996) afirma que a História da Matemática pode ser utilizada por alunos, pais, professores e públicos em geral e que serve: 1. para situar a matemática como uma manifestação cultural de todos os povos em todos os tempos, como a linguagem, os costumes, os valores, as crenças e os hábitos, e como tal diversificada nas suas origens e na sua evolução; 2. para mostrar que a matemática que se estuda nas escolas é uma das muitas formas de matemática desenvolvidas pela humanidade; 3. para destacar que essa matemática teve sua origem nas culturas da Antiguidade mediterrânea e se desenvolveu ao longo da Idade Média e somente a partir do século XVII se organizou como um corpo de conhecimentos, com um estilo próprio; 4. e desde então foi incorporada aos sistemas escolares das nações colonizadas e se tornou indispensável em todo o mundo em conseqüência do desenvolvimento científico, tecnológico e econômico (D AMBROSIO, 1996, p.3). Sobre as discussões do uso ou não da História da Matemática, MIGUEL e MIORIM tecem o seguinte comentário: Por um lado, entre as posições extremadas que tentam nos convencer de que a história tudo pode ou nada pode, parece-nos mais adequado assumir uma posição intermediária que acredita que a história desde que devidamente constituída com fins explicitamente pedagógicos e organicamente articulada com as demais variáveis que intervêm no processo de ensino-aprendizagem escolar da Matemática - pode e deve se constituir ponto de referência para a problematização pedagógica para a transformação qualitativa da cultura escolar e da educação escolar (2008, p ).

53 41 MIGUEL e MIORIM (2008) não compartilham do ponto de vista que considera a existência de uma única História da Matemática, da qual possam fazer uso e abuso, além de serem recortadas e inseridas homeopaticamente no ensino. Segundo eles, as histórias podem e devem constituir pontos de referência para a problematização pedagógica da cultura escolar e, mais particularmente da cultura matemática (2008, p. 156), e afirmam que tais histórias devem ser constituídas com fins explicitamente pedagógicos além de estarem articulados com as outras variáveis que geram intervenção no processo de ensino-aprendizagem da Matemática. III.3 História da Matemática Pedagogicamente Vetorizada Sobre o uso da História da Matemática no ensino, escrita por matemáticos ou historiadores, MIGUEL e MIORIM (2008) acreditam que não realça alguns elementos e aspectos que poderiam, além de não trazer uma real contribuição aos professores em suas aulas, já que essa história não foi feita com tal objetivo. Exatamente sobre a necessidade de se constituir uma História da Matemática para ser utilizada na sala de aula, MIGUEL e MIORIM (2008) afirmam a necessidade de se constituir histórias pedagogicamente vetorizadas e escritas por educadores matemáticos. Mas o que seria uma História da Matemática pedagogicamente vetorizada? Sobre essa questão MIGUEL e MIORIM esclarecem que: Uma história pedagogicamente vetorizada não é nem uma história adocicada ou suavizada, nem uma história distorcida, nem uma adaptação ou transposição didática das verdadeiras histórias da Matemática para o âmbito da escola. Uma característica inicial de um tal tipo de história diz respeito ao fato de pretender uma história institucional. Uma característica inicial de tal tipo de história diz respeito ao fato de pretender uma história institucional da cultura da matemática. Como a escola é uma dentre outras instituições sociais constituídas para cumprir finalidade específica dentro de um contexto social... (MIGUEL & MIORIM, 2008, p.157). Com base nas palavras de MIGUEL e MIORIM (2008), uma História da Matemática Pedagogicamente vetorizada é constituída para o espaço institucional, ou seja, para a escola, que tem uma série de necessidades e, por isso, a importância de se constituir uma história por um ator desse espaço, no caso o educador matemático. É claro que ele deve buscar uma formação para a execução dessa tarefa e, possivelmente, juntar-se a um grupo de pesquisa em História da Matemática. Sobre a questão da história institucional da Matemática, MIGUEL e MIORIM consolidam que para a constituição dessas, deve-se partir de problemas e questões que emergem das e/ou se relacionam com as práticas sociais nas quais a cultura Matemática se acha envolvida (2008, p.158). Segundo os autores citados, as histórias pedagogicamente vetorizadas devem

54 42 ser mais do que meramente histórias das ideias matemáticas, devem ser histórias de diferentes culturas matemáticas que se constituíram a partir de distintas práticas sociais. A necessidade de se constituir histórias pedagogicamente vetorizadas também é apresentada por MIGUEL e MIORIM, que utilizaram o seguinte ponto de vista de Rogers: [...] de que a cultura matemática se apresenta nos currículos oficiais e nos manuais didáticos é predominantemente concebida como algo que teria produzido resultados, mas que não teria propriamente história, enquanto os currículos oficiais e os manuais da disciplina escolar história continuam a ignorar uma parte significativa de nossa cultura cientifica e matemática (ROGERS apud MIGUEL e MIORIM, 2008, p.156). Com base na fala de Rogers, MIGUEL e MIORIM (2008) veem como uma justificativa para se compor às histórias pedagogicamente vetorizadas tentar romper a forma de relacionar a cultura matemática e a cultura histórica que são colocadas e estabelecidas de forma disciplinar e compartimentar. O ponto central da questão das histórias pedagogicamente vetorizadas diz respeito a uma nova escrita do ponto de vista do educador matemático da História da Matemática, MIGUEL e MIORIM (2008, p.161) deixam claro que a historiografia é vista como uma fonte de diálogo e não como uma fonte de respostas. Dessa maneira, constitui-se uma nova história, não só por que se fazem novas perguntas, mas por que também se utilizam novas fontes para pesquisa, novas vozes para o diálogo. Nesse campo de diálogos, deve-se usar a história não porque ela é um objeto de uso e sim um campo de diálogo" (MIGUEL e MIORIM, 2008, p. 162). III.4 O uso de Tecnologias no Ensino O uso das tecnologias no ensino é um assunto muito pertinente numa sociedade moderna, pois os recursos tecnológicos estão por toda parte. Segundo KENSKI (2007), a evolução tecnológica não está restrita somente aos novos usos de equipamentos, pois ela altera também o comportamento. Mas afinal o que é tecnologia? Sobre essa questão KENSKI diz: Estamos muitos acostumados a nos referir a tecnologias como equipamentos e aparelhos. Na verdade, a expressão tecnologia diz respeito a muitas outras coisas além das máquinas. O conceito de tecnologias engloba a totalidade de coisas que a engenhosidade do cérebro humano conseguiu criar em todas as épocas, suas formas de uso, suas aplicações. (KENSKI, 2007, p. 22). As tecnologias são tão antigas como os próprios homens, e a capacidade de criação humana é que permite a origem das diferentes tecnologias. O raciocínio humano tem permitido o crescimento das inovações, que têm criado diferentes recursos (KENSKI, 2007).

55 43 Existem muitas definições sobre tecnologias e seus recursos. Dentre essas definições encontram-se as chamadas Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs) e/ou Novas Tecnologias de Informação e Comunicação (NTICs). KENSKI elucida que: Jornais, revistas, rádio, cinema, vídeo etc são suportes midiáticos populares, com enorme penetração social. Baseados no uso da linguagem oral, da escrita e da síntese entre som, imagem e movimento, o processo de produção e o uso desses meios compreendem tecnologias especificas de informação e comunicação, as TICs. O avanço tecnológico das últimas décadas garantiu novas formas de uso das TICs para a produção e propagação de informações, a interação e a comunicação em tempo real, ou seja, no momento em que o fato acontece. Surgiram, então, as novas tecnologias de informação e comunicação, as NTIC. Nessa categoria é possível ainda considerar a televisão e, mais recentemente, as redes digitais, a Internet. Com a banalização do uso dessas tecnologias, o adjetivo novas vai sendo esquecido e todas são chamadas de TICs, independentemente de suas características. Cada uma, no entanto tem suas especificidades. (KENSKI, 2007, p. 28). As novas tecnologias são as mais recentes, que com o passar do tempo serão apenas tecnologias após um processo de banalização e fácil acesso. Como se podem inserir os novos recursos dentro da sala de aula? A questão não se restringe ao simples uso por parte do professor de tais recursos, mas de como e quando usar. Como o professor pode se apropriar desses recursos em sala de aula, já que se vive em um mundo cercado dessas novas tecnologias? Segundo KENSKI, tem-se que: Vídeos, programas educativos na televisão e no computador, sites educacionais, softwares diferenciados transformam a realidade da sala de aula tradicional, dinamizam o espaço de ensino-aprendizagem, onde anteriormente, predomina a lousa, o giz, o livro e a voz do professor. Para que as TICs possam trazer alterações no processo educativo, no entanto, elas precisam ser compreendidas e incorporadas pedagogicamente. Em síntese, segundo a autora, incorporam-se as tecnologias na educação desde que haja um entendimento de seu uso e compreensão no universo escolar e não simplesmente colocar os recursos em sala, sem o menor preparo. Não basta mudar a parte externa da educação: é preciso rever as metodologias de ensino. A referida autora também alerta que por mais que as escolas utilizem novas tecnologias, elas ainda se mantêm restritas às salas de aula, seriadas, finitas no tempo e ligadas a disciplinas únicas. Os professores desenvolvem atividades isoladas no espaço escolar, sem a menor articulação com outros professores e disciplinas. O fato de inserir as novas tecnologias digitais não oferecem aos seus usuários um novo mundo sem problemas (KENSKI, 2007, p.53). Esse fato é uma conseqüência do nosso pioneirismo da revolução tecnológica, como afirma a autora. Sobre o fracasso do uso das tecnologias nas escolas, a referida autora menciona sobre os resultados de algumas pesquisas que apontam dois itens como fatores principais para os maus resultados. O primeiro diz respeito à falta de conhecimento dos professores para o melhor uso pedagógico da tecnologia (p.57), o que é uma consequência da formação dos

56 44 professores, pois não têm nenhum preparo para o uso dos novos recursos e acabam usandoos para passar o conteúdo, esquecendo-se do aprendizado do aluno. O segundo item diz respeito à não-adequação da tecnologia ao conteúdo que vai ser ensinado e aos propósitos do ensino (p.57), pois não se considera que cada tecnologia tenha uma especificidade e necessite de uma compreensão para o seu uso. Além disso, várias escolas são equipadas com computadores ou televisores, que são apresentados como solução milagrosa dos problemas da escola e, na verdade, são estratégias econômicas e políticas de escolas e empresas, mas que sozinhas não resolvem os problemas que afligem o ambiente escolar. Isso não implica que devemos abrir mão de tais recursos, pois: A imagem, o som e o movimento oferecem informações mais realistas em relação ao que esta sendo ensinado. Quando bem utilizadas, provocam a alteração dos comportamentos de professores e aluno, levando-os ao melhor conhecimento e maior aprofundamento do conteúdo estudado (KENSKI, 2007, p.45). Segundo KENSKI (2007), o uso da fala na sala de aula é um instrumento preferencial para a interação, ensino e verificação da aprendizagem, e o aluno é o que menos fala, e, geralmente, a informação é transmitida de forma que seja armazenada. No entanto, os jovens de hoje estão acostumados com as dinâmicas da oralidade televisiva (2007, p.54) e, comumente, distraem-se nas aulas com a fala monótona do professor. Para um melhor resultado, é preciso que a própria dinâmica da aula não tendo o professor como único ser falante na sala, a participação ativa, o uso intenso do diálogo em classe criam um outro clima, favorável a aprendizagem (2007, p.55). Usar adequadamente as tecnologias na sala de aula, de forma pedagogicamente correta, e compreender melhor o mundo tecnológico em que se vive, além de fazer o uso do diálogo auxiliam na sala de aula. No entanto, para KENSKI: Mais importantes que as tecnologias, que os procedimentos pedagógicos mais modernos, no meio de todos esses movimentos e equipamentos o que vai fazer a diferença qualitativa é a capacidade de adequação do processo educacional aos objetivos que levaram [...], aluno ao encontro desse desafio de aprender (KENSKI, 2007, p.46).

57 45 III.5 O uso do Vídeo em sala de aula O uso do vídeo não é algo recente, mas será que é positivo inseri-lo dentro da sala de aula sem nenhuma restrição? E de que maneira pode-se usá-lo em sala? Segundo MORAN: O vídeo parte do concreto, do visível, do imediato, próximo, que toca todos os sentidos. Mexe com o corpo, com a pele-nos toca e tocamos os outros, estão ao nosso alcance através dos recortes visuais, do close, do som estéreo envolvente. Pelo vídeo sentimos, experenciamos sensorialmente o outro, o mundo, nós mesmos (1995). MORAN (2007) diz que os meios de comunicação audiovisuais (televisão, vídeo e cinema), indiretamente, possuem um papel educacional relevante, além de passar, continuamente, informações interpretadas, mostram modelos de comportamento e dão privilégio a alguns valores em detrimento de outros. Sobre a linguagem do audiovisual, MORAN (1995) afirma que desenvolve múltiplas atitudes perceptivas: solicita constantemente a imaginação e reinveste a afetividade com um papel de mediação primordial do mundo. Sobre o uso em sala de aula, MORAN (1995) indica algumas propostas para o uso dos vídeos, que serão apresentadas, resumidamente, nesta tabela: Quadro III.1: Propostas segundo MORAN(1995) para uso dos vídeos. PROPOSTA de Vídeo como: FINALIDADE SENSIBILIZAÇÃO ILUSTRAÇÃO SIMULAÇÃO CONTEÚDO DE ENSINO Utilizado para a introdução de um novo assunto, para motivar e despertar a curiosidade dos alunos. Facilitará o desejo de pesquisar nos alunos pra aprofundar os assuntos do vídeo na matéria. Auxilia na visualização do que esta sendo falado dentro da sala de aula, e a compor cenários desconhecidos dos alunos. É uma ilustração mais sofisticada. Como exemplo pode se exibir experimentos de química que seriam perigosos. Mostra um conteúdo de forma direta ou indireta. Quando de forma direta informa sobre uma temática especifica. Quando mostra de forma indireta uma temática, permite abordagens múltiplas. PRODUÇÃO: Documentário Intervenção Expressão AVALIAÇÃO ESPELHO Pode apresentar como forma de documentação, registrando eventos, aulas, estudos, experimentos, entrevistas e depoimentos. Interferir, modificar um determinado material audiovisual, acrescentando sons ou editando o material de forma mais simplificada. Para avaliar o aluno, o professor e o processo. Analisar os grupos, e dos papéis de cada um. Acompanhar o comportamento dos participantes, e do ponto de vista de

58 46 participação. INTEGRAÇÃO/SUPORTE Fazer integração com outras mídias como televisão, vídeo, computador, etc. O professor deve perceber que existem situações em que os vídeos não devem ser aplicados na sala de aula. MORAN (1995) lista os seguintes usos inadequados: Vídeo tapa-buraco, usado quando ocorre algo inesperado; Vídeo enrolação, quando não possui conexão com a matéria; Vídeo deslumbramento, quando ocorre o demasiado uso nas aulas, se privando de outros recursos; Vídeo-perfeição, quando o professor questiona falhas de informação ou estéticas e não usa o recurso, sem perceber que pode ser trabalhada tal falha com alunos; Só vídeo, quando não há uma discussão sobre o uso dos vídeos em sala, ocorre apenas a exibição. III.6- Pesquisa sobre recursos audiovisuais Em uma pesquisa realizada nos Estados Unidos pela Secondy-Vaceium Oil Co, tem-se: Quadro III.2 Correlaciona aprendizado e retenção. Aprendizado Retenção 1% através do gosto 10% do que lemos 1,5% através do tato 30% do que vemos 3,5 % através do olfato 50% do que escutamos 11% através do ouvido 70% do que ouvimos e logo discutimos 83% através da vista 90 % do que ouvimos e realizamos Dados retidos Método de Ensino 3 horas depois 3 dias depois Somente Oral 70% 10% Somente visual 72% 20% Visual e oral simultaneamente 85% 65% Fonte: Sant Anna e Sant Anna (2004) A partir desses dados, percebe-se que os recursos que utilizam o audiovisual facilitam a retenção de conhecimento e, dessa maneira, o seu uso adequado implica em uma assimilação

59 47 dos conteúdos ensinados por um tempo maior. Além disso, devem-se promover atividades para uma melhor retenção daquilo que se ouve e se realiza. Baseados na informação dessa pesquisa, Sant Anna e Sant Anna (2004) afirmam que os recursos audiovisuais propiciam: Memorização eficiente; Interpretação com maior clareza; Facilitação da compreensão; Aprendizagem rápida, eficaz e duradoura; Aquisição de novos conhecimentos. Se o uso de recursos audiovisuais possui essa característica, os vídeos podem ser aproveitados para potencializar o processo de aprendizagem.

60 48 Capítulo IV: Metodologia Nessa seção será abordado o conteúdo referente aos materiais e métodos adotados na elaboração do produto do projeto, bem como, na confecção dos instrumentos que serviram de meio para o mesmo. Essa dissertação destinou-se a construção de um vídeo composto de conteúdo didático para ser utilizado na disciplina de matemática do ciclo básico como uma estratégia de ensino a corroborar o processo de ensino-aprendizagem em sala de aula. Sendo assim, o recurso didático, em vídeo, foi construído em formato de documentário e teve como proposta narrar A história do conceito de função. Dessa forma, a utilização ficou pertinente aos alunos regularmente matriculados no 1º ano do ensino médio de uma escola estadual da cidade de Petrópolis. Tal escolha se justifica por ser a unidade onde estou lotado e por ser o professor da disciplina. No entanto, tendo em vista que esse assunto está presente nas séries do 9º ano ao 3º ano do ensino médio, o vídeo não está vinculado a uma série específica. Para mensurar o impacto dessa intervenção alternativa, fez-se necessária a elaboração de instrumentos que: a) mensurassem o grau de conhecimento matemático específico antes da utilização do vídeo; b) promovessem a fixação dos conteúdos abordado no vídeo e c) mensurassem o grau de conhecimento após a intervenção proposta nesse trabalho. Com base no exposto, foram elaborados: a) um teste de avaliação inicial, chamado de Pré-Teste; b) exercícios de fixação, que compuseram o Caderno de Atividades para aplicação após o vídeo e c) um teste após a realização do Caderno de Atividades, chamado de Pós-Teste. De acordo com o quadro-resumo do capítulo II e a síntese elaborada pelo autor dessa dissertação, efetuou-se a categorização dos aspectos relevantes para o ensino do conceito em cinco níveis, de A a E. Essa classificação obedeceu a uma hierarquização arbitrária de crescente grau de dificuldade e complexidade do tema abordado A B C D E Quadro IV.1- Categorização dos aspectos relevantes para o ensino de funções Categorização dos Aspectos Relevantes por Níveis de Complexidade O conceito de função deve valorizar a dependência entre variáveis; O conceito de função deve ser apresentado por suas várias representações; O conceito de função deve ser associado com a resolução de problemas contextualizados; O conceito de função deve ser utilizado como modelo matemático para as outras ciências e O conceito de função deve ser compreendido através do problema da variabilidade.

61 49 IV.1 A Construção do Vídeo A elaboração do vídeo demandou grande empenho dos envolvidos, visto que as ações realizadas visaram a construção de um produto novo. Desta forma, as etapas foram categorizadas, de modo a simplificar a compreensão, em três momentos distintos, a saber: a) aprofundamento teórico do tema em questão, b) elaboração do roteiro e c) produção e edição do vídeo. Na etapa da pesquisa teórica, priorizaram-se bibliografias que versassem sobre a história do conceito de função, aspectos importantes sobre o seu ensino e os aspectos históricos relevantes a seu ensino e sua aprendizagem. Primeiramente, realizou-se a pesquisa bibliográfica em livros de História da Matemática, dentre eles se destacam os livros de BOYER e de EVES HOWARD. Além de artigos, teses e dissertações sob o descritor história do conceito de função. Durante essa etapa, percebeu-se que o material de História da Matemática utilizado carecia de algumas informações pertinentes à História da Ciência, como a motivação de alguns matemáticos para estudar e se preocuparem com o conceito de função, além disso, não se encontrou relatos, no material de história da matemática, sobre as preocupações da sociedade em alguns períodos em destaque. Em relação à Idade Média não se encontravam muitas informações sobre o desenvolvimento do conceito de função, pois havia um lapso temporal entre os séculos XIV e XVII nos materiais utilizados para a pesquisa. A compreensão da dinâmica social, política e econômica foi fundamental para o entendimento do processo histórico de desenvolvimento do conceito de função. A própria limitação da escrita da matemática dificultou o desenvolvimento, por exemplo, na Idade supracitada o conceito ficou estagnado. Já a notação de Viete contribuiu para que a evolução do conceito pudesse alcançar a forma de expressão algébrica. Ainda na primeira parte da investigação para a construção do vídeo, pesquisaram-se a os aspectos importantes ao se ensinar funções. Realizou-se um levantamento em trabalhos acadêmicos e documentos oficiais sobre tais características e, como conseqüência, uma discussão sobre a temática encontra-se no capitulo I dessa dissertação. Ainda nesse capítulo, discutiu-se sobre a correlação entre os aspectos relevantes ao ensino de função e a contextualização histórica. Na segunda etapa, realizou-se a construção do roteiro baseado nas informações encontradas na pesquisa bibliográfica. Nesse ponto, preservou-se a idéia da História da Matemática pedagogicamente vetorizada de MIGUEL e MIORIM (2004). Na elaboração do roteiro consideraram-se os aspectos importantes sobre o ensino de função, os aspectos históricos relevantes, a necessidade de uma linguagem apropriada ao ensino básico e a contextualização histórica no processo de evolução do conceito.

62 50 Para que o vídeo tivesse uma linguagem mais adequada, o roteiro foi apresentado aos alunos do Ensino Médio que são bolsistas de Iniciação tecnológica do Laboratório de História da Ciência do CEFET-RJ, que ao lerem os textos apresentaram as dificuldades de entendimento das palavras e das passagens históricas. Com isso, foram necessárias diversas retificações no roteiro para que se pudesse chegar a uma linguagem compreensível aos estudantes do ensino básico. Os alunos em questão foram críticos com relação às palavras utilizadas e aos processos que eles não compreenderam. Eles contribuíram reescrevendo o roteiro, sendo solicitada uma compreensão histórica dos processos bem como o entendimento da matemática envolvida. Esse processo teve a duração, aproximada, de 4 a 5 meses para sua conclusão. Na última etapa, os alunos bolsistas auxiliaram na pesquisa iconográfica, baseada no roteiro. Eles pesquisaram os matemáticos citados, processos e idéias descritas. Deu-se inicio a gravação das falas do roteiro, realizada nas instalações da TV CEFET, sem dificuldades aparentes. No entanto, na fase de edição, a qual houve a construção do vídeo com auxilio do programa Adobe Premier percebeu-se a necessidade de reelaborar parcialmente o roteiro e ratificar a locução desde dicção até a pronuncia. Com o consenso entre bolsistas, pesquisadores e técnicos da TV CEFET, foram promovidas as alterações necessárias previstas e, também, a divisão do vídeo em quatro partes, para facilitar o processo de construção, sugestão dos profissionais da TV CEFET. No Apêndice I encontra-se um stroryboard do vídeo. IV.2 Construção do Caderno de Atividades Com base nas informações sobre os aspectos importantes para o ensino de funções apresentadas no Capitulo II desse trabalho, decidiu-se construir um instrumento como objetivo de contribuir para o entendimento, maior compreensão e fixação do conceito de função. Dessa forma, elaborou-se um caderno com atividades selecionadas pelo autor deste trabalho, para que contemplem os objetivos necessários descritos nos documentos oficiais. As questões foram obtidas de materiais existentes, a saber: do livro Construindo o conceito de função, de Lucia Tinoco, da dissertação de Rita Guimarães: Atividades para Aprendizagem do Conceito Matemático de Função, da dissertação de Vinicius Mendes Couto Pereira: Cálculo no Ensino Médio: Uma proposta para o problema da variabilidade, e de atividades encontradas no site do projeto fundão. O Caderno possui tarefas que auxiliam na compreensão das várias formas de se representar às funções, seja por meio de tabelas, gráfico, fórmulas, conjuntos etc. As atividades foram organizadas de acordo com a seqüência do desenvolvimento histórico do

63 51 conceito apresentado no vídeo. Esse Caderno contempla, também, questões que abordam a variabilidade de funções. O Material com as atividades encontra-se no Apêndice II. IV.3 Pré-teste e Pós-teste Com a proposta de promover uma avaliação inclusiva e que reflita sobre a contribuição da intervenção proposta nesse processo de ensino-aprendizagem, optou-se por realizar uma averiguação prévia dos conceitos, chamada de Pré-Teste e outra após este processo, com o mesmo instrumento avaliativo. Esse formulário será composto de 10 questões fechadas, com 4 ou 5 alternativas, porém uma única resposta correta. A avaliação encontra-se no Apêndice III. A escolha de se utilizar a mesma avaliação antes e após o vídeo deu-se por: a) necessidade de elaborar apenas um instrumento; b) evitar vieses, pela dificuldade de se encontrar questões com o mesmo nível de exigência e c) sugestões feitas pelos manuais da International Training e Education Center for Health 4. As questões versaram sobre tópicos trabalhados nos vídeos e aprofundados no Caderno de Atividades e foram selecionadas ou inspiradas em provas como SAERJINHO 5, SAEB e SAT 6. A seguir, apresenta-se de onde foram retiradas as 10 questões da avaliação: Quadro IV.2- Fonte das questões da avaliação Questão Fonte 1 Site INEP Site INEP BRASIL (2011) SAT SAT Site INEP Adaptada (Pereira, 2009). Vestibular da UFF SAERJINHO - 1º Bimestre SAERJINHO - 2º Bimestre 4 Instituto que trabalha com educação e saúde no Estados Unidos. 5 Avaliação bimestral preparatória para o SAERJ, aplicada nas escolas estaduais do Rio de Janeiro 6 Scholastic Assessment Test, teste de acesso para as Universidades americanas

64 52 Baseado na primeira página desse capitulo, contendo a categorização dos aspectos importantes para o ensino de funções, determinaram-se para cada questão os itens que elas privilegiam. Quadro IV.3- Questões e os itens que abordam Questão Aspectos Valorizados A B C D E IV.4 Aplicação em sala A intervenção em sala de aula ocorreu com os alunos do 1º ano do ensino médio da Escola Estadual Irmã Cecília Jardim, localizada na cidade de Petrópolis, situada no Estado do Rio de Janeiro. A escola possui aproximadamente 300 alunos no 1 ano e 24 alunos participaram. As atividades foram ordenadas da seguinte forma: 1) aplicação do Pré-Teste; 2) exibição do Vídeo; 3) resolução do Caderno de Atividades e 4) aplicação do Pós-Teste. No entanto, como o Vídeo foi divido em quatro partes, ao final de cada seção, foram resolvidos os exercícios referentes à exibição. O tempo reservado para essa intervenção correspondeu a 4 aulas com duração de 50 minutos cada. A divisão obedeceu à tabela abaixo: Quadro IV.4- Duração das etapas da aplicação em sala Etapa Pré-Teste Exibição do Vídeo e Resolução dos exercícios Pós-Teste Duração Até 50 minutos Até 200 minutos Até 50 minutos

65 53 Capítulo V Discussão V.1 Processo de levantamento bibliográfico e construção do vídeo A pesquisa em questão teve por objetivo possibilitar um processo de ensinoaprendizagem significativo do conceito de função por meio da História da Matemática. A pesquisa bibliográfica demonstrou a escassez de abordagem sobre esse tema e a dificuldade de encontrar literatura com linguagem apropriada ao Ensino Básico. A proposta vanguardista defendida nesse projeto mobilizou esforços de adequação, análise e formatação dos conteúdos pesquisados, uma vez que, foi necessário investigar os aspectos importantes sobre o ensino de funções, em documentos oficiais, e correlacioná-los com o processo histórico de desenvolvimento da Matemática. Assunto esse que apresentou lapsos temporais, contudo, sanados pela contextualização dos acontecimentos sócio-políticos e econômicos contemporâneos. A correlação histórica pautou-se tanto pela História das Ciências quanto pela História da Matemática, demonstrando-se ambas permeadas pelo desenvolvimento humano do período em questão. No entanto, selecionaram-se apenas os fatos que puderam contribuir para a construção do conceito de função de maneira a contemplar os aspectos tidos como relevantes para o ensino da matemática. A saber: a) a valorização do conceito por meio da dependência de variáveis; b) as várias formas de representar o conceito; c) apresentação do conceito por meio da resolução de problemas contextualizados; d) o poder modelador do conceito para outras ciências e e)a variabilidade de funções. A construção do vídeo sobre o tema foi um processo que extrapolou o cronograma, que se estendeu por alguns meses. Para a construção do vídeo, houve a colaboração de estudantes do ensino médio do CEFET/RJ. Os alunos contribuíram ativamente para o processo de criação do roteiro e do vídeo como um todo. Nessa etapa não se considerou o potencial pedagógico proporcionado pela construção dos recursos audiovisuais aos bolsistas sobre o tema, já que não compunha o escopo dos objetivos do projeto. O processo de edição exigiu, dos participantes, muita dedicação e trabalho para transformar o roteiro em uma produção atraente visualmente. Enfim, o objetivo de sua participação foi justamente inseri-los em um projeto de pesquisa. A decisão pela inclusão de novas mídias na educação escolar demanda planejamento e constante análise dos objetivos de trabalho pelo professor, pois não se pode utilizar o vídeo pelo vídeo, é preciso um planejamento adequado e, até mesmo, um período de experimentação para verificar quais outros recursos serão necessários para complementar e consolidar os conteúdos em questão. Deve-se incluir, nessa etapa, o tempo necessário para que os alunos possam maturar as ideias a serem desenvolvidas e que não se pode resumir a

66 54 exibição do vídeo em uma única aplicação, pois a cada re-exibição, percebem-se características diferentes dos participantes do processo. A pesquisa deixou claro, com as aplicações do caderno de atividades e dos testes, que há a necessidade de validá-los com testagem prévia para torná-los mais eficazes. Contudo, devem-se considerar as carências formativas apresentadas pelos alunos, uma vez que poderão interferir nos resultados. Para despertar o interesse dos alunos para a Matemática, é necessário tornar o processo de aquisição do conhecimento em uma disciplina palpável, que se relacione com sua realidade e, para isso, deve-se considerar o perfil dos alunos. A utilização da História da Matemática permite a esses entender de que forma essa disciplina se desenvolveu e auxilia na compreensão do mundo, em por que se estuda a matemática, em como ela se insere na história da humanidade e a compreender que a essa disciplina não é um saber pronto e estático, mas que tem sido sistematizado ao longo dos séculos para a resolução das demandas humanas. A história do conceito de função, em vídeo, permite aos alunos perceber o quanto o conceito evoluiu ao longo dos séculos e que sua transformação ocorreu à medida que a sociedade se desenvolveu. A história tem um papel motivador e junto com o recurso do vídeo contribuiu para que os alunos se interessassem pela matemática. Mas ainda é preciso testar mais vezes o produto dessa dissertação. O curto período destinado à aplicação pode ter sido um dos fatores que comprometeram os resultados. Outro fator que comprometeu o desempenho dos alunos foi a falta de habilidade desses com os conteúdos básicos do ensino fundamental, o que dificultou a aquisição de conhecimentos mais elaborados. Para a superação dos lapsos apresentados pelos discentes, podem-se resgatar esses conteúdos por meio de cadernos de atividades com progressão gradual no nível de complexidade, ou seja, é necessário que o atual caderno de atividades seja reformulado, para que constem conteúdos como números inteiros, decimais e suas operações e expressões algébricas, uma vez que os alunos apresentaram muita dificuldade nesses pontos, e, ao se trabalhar com situações cotidianas, em problemas matemáticos, tem-se a utilização de valores que não são inteiros e com propriedades que precisam ser refletidas em expressões algébricas, aprendizagem que deveria ter sido realizada anteriormente. Percebeu-se que os alunos não estão acostumados com essa proposta, mas a adoção desse tipo de intervenção poderá permitir mudanças de posturas na sala de aula tanto do aluno quanto do professor, posto que para se construir uma educação de qualidade é necessária a união de planejamento escolar, de pesquisa sobre o processo de ensino-aprendizagem e de vontade, tanto individual quanto coletiva. No entanto, mais do que formular, é preciso testar as ferramentas e avaliar seus resultados para que possam ser adequados e traduzam a realidade testada. Enquanto educadores, os profissionais devem buscar o desenvolvimento intelectual do seu corpo discente.

67 55 V.2 Intervenção em sala de aula A condução do processo esteve pautada nas etapas descritas no Capítulo III. Os alunos foram informados sobre as etapas de aplicação do material, que estão descritas no capítulo supracitado, sobre as avaliações, sobre o vídeo e sobre o caderno de atividades. Participaram desse processo 24 alunos por livre adesão. A aplicação do Pré-Teste deu-se sem intercorrências e dentro do prazo estipulado, até 50 minutos. Na etapa seguinte, foram exibidas as quatro partes do vídeo com as atividades referentes a cada uma delas e com intervalos entre cada parte de 10 a 20 minutos. Na exibição da primeira parte, os alunos mantiveram-se atentos ao vídeo, que teve duração de cinco minutos aproximadamente. Eles ficaram deslumbrados com alguns detalhes, principalmente, por saberem que o vídeo foi construído por alunos do Ensino Médio do CEFET/RJ. Em seguida, foram entregues os cadernos de atividades, eles necessitaram de uma hora para a realização dos exercícios, sendo que a primeira atividade foi a que levou maior tempo. Foram feitos elogios sobre o caderno de atividades a respeito de sua estética, demonstrando, também, gostarem de realizar os exercícios nesse material. Na segunda parte, os participantes demonstraram mais interesse na resolução das atividades, questionaram sobre termos dos enunciados que desconheciam e algumas dificuldades na compreensão do solicitado na questão. A função do pesquisador restringiu-se em explicar o enunciado. Já na terceira parte do vídeo, os discentes continuaram atentos e bastante interessados, no entanto, apresentavam sinais de cansaço. Alguns alunos deixaram algumas atividades em branco, alegaram não terem compreendido os questionamentos, fato que pode ser atribuído ao desgaste tanto físico, quanto mental experimentado pelos alunos, visto que se trata de uma nova proposta metodológica. A exibição da última parte ainda prendeu a atenção do grupo, no entanto, houve resistência quanto à execução dos exercícios do caderno de atividades, o que ocasionou baixa adesão dos alunos. A partir dessa situação, transferiu-se o Pós-teste para o dia seguinte, que transcorreu sem qualquer problema. Cabe salientar que não houve críticas ao material utilizado, mas ao método de realização da proposta. A utilização do vídeo, foi capaz de promover nos alunos o interesse e a motivação para a realização das atividades propostas, mas a realização do Pré-teste e exibição, em um único dia, das quatro partes conjuntamente com a resolução dos exercícios, foi exaustiva para os alunos. Tal situação pode justificar a não execução das atividades propostas. Também, observou-se que os alunos perguntaram muito sobre o entendimento dessas atividades,

68 56 demonstrando a inabilidade com a interpretação e compreensão do enunciado, além de desconhecimento de termos como inflação, definição de grandezas, entre outros. V.3 Correção dos cadernos de atividades: A avaliação do desempenho discente, a partir da correção dos cadernos de atividades, corroborou os resultados divulgados pelos exames de larga escala do Estado do Rio de Janeiro. O caderno de atividades tinha como objetivo trabalhar as representações de função, a resolução por meio de problemas contextualizados ou ligados a outras áreas do conhecimento e o entendimento de funções por meio de variabilidade. As atividades selecionadas foram provenientes de livro e dissertações. O livro utilizado como fonte parcial das atividades é direcionado aos alunos do nono ano do ensino fundamental. Já que, em alguns currículos, o conteúdo de funções é abordado nessa série. Todos os participantes concluíram as etapas de intervenção. Com base nos dados e nas informações sobre a aplicação do vídeo, podem-se traçar os seguintes comentários: Os alunos apresentam dificuldades com conceitos e operações de Matemática do ensino fundamental como: proporção, operações com inteiros, não conseguem trabalhar com expressões algébricas, tiveram grande dificuldade em generalizar os casos, ou seja, escrever as funções como fórmulas; Os alunos possuem dificuldades em marcar pontos no plano cartesiano; Os alunos não conseguem compreender e interpretar as solicitações; Os alunos apresentam inabilidade na utilização da língua materna, tanto na escrita quanto na leitura; Os alunos não possuem o hábito de resolver exercícios em formato de problemas, estão acostumados com exercícios diretos, resolva, efetue. Os objetivos propostos eram desenvolver competências com funções, no entanto, percebeu-se que a carência de conteúdos do ensino fundamental comprometeu a compreensão dos enunciados das atividades, que interferiram na resolução dos mesmos. Com a análise das atividades discursivas, foi possível elencar possíveis nós críticos existentes no processo de ensino-aprendizagem em matemática, que são experimentados pelos alunos de ensino médio dessa escola. O caderno significou uma fonte de dados enriquecedora, posto que demonstrou fatores potencialmente responsáveis para uma apropriação inadequada e com baixo aproveitamento do conceito de função que não apenas relacionada ao método adotado em si.

69 57 V.4 Instrumentos de Avaliação (Pré e Pós-testes) Na análise comparativa entre os resultados obtidos na aplicação das avaliações, constatou-se não haver diferença expressiva no desempenho individual e coletivo. A intervenção empregada não alcançou os objetivos iniciais baseados em uma proposta alternativa para o processo de ensino-aprendizagem do conceito de função mediado pelo Vídeo e Caderno de Atividades. Como hipóteses para o baixo desempenho discente têm-se: a) o processo ter ocorrido em um período de tempo muito curto; b) necessidade de maior intervalo de tempo para que os aluno possam maturar as ideias trabalhadas com os recursos; c) a baixa proficiência em conteúdos prévios que servem de pré-requisitos matemáticos, percebidos na correção do caderno de atividades e da interpretação dos tópicos; d) a redução do tempo, por parte dos alunos, para a resolução do Pós-Teste em relação ao Pré-teste e e) o fato das questões do pré e pós teste serem as mesmas, o que pode ter provocado resistência para uma nova resolução. Os dois primeiros itens foram fatores que não puderam ser alterados nessa intervenção, uma vez que condicionados pela conclusão tardia do vídeo e pela estreita margem de adequação no calendário escolar, que tornou-se pouco flexível à mudança, por estar pautado pelo Currículo Mínimo que é orientado às escolas estaduais do Rio de Janeiro. No entanto, não significa que o processo foi ineficaz, apenas sinaliza para a necessidade de um tempo maior para a aplicação do vídeo e do caderno de atividades. Uma proposta interessante seria a fragmentação em seis dias, um dia para realização de cada teste (Pré e Pós) e um dia para exibição de cada parte do vídeo com a resolução dos seus respectivos exercícios. A hipótese do item C é comprovada pelo baixo desempenho nos testes e corroborada pela correção dos Cadernos de Atividades que demonstraram que os alunos estão chegando ao Ensino Médio sem o mínimo de conhecimento necessário, sem compreender as operações básicas e com pouca capacidade de interpretação das questões e, por isso, não realizam as atividades solicitadas. A partir disso, deve-se pensar na reformulação do caderno de atividades, que sejam incluídas atividades que trabalhem as operações básicas e operações relacionadas a expressões algébricas de maneira gradual e com complexidade progressiva, o que permitirá ao aluno realizar generalizações e escrever fórmulas que as expressem. Já nos dois últimos itens, foi presumível que os alunos reduzissem o tempo para a realização do Pós-teste, pois eles não compreenderam as solicitações das questões do Préteste ou, ainda, não as tenham feito pelo fato de serem as mesmas questões, o que pode terlhes gerado desânimo. Vale ressaltar que se optou em aplicar as mesmas questões pela dificuldade em encontrar questões que já tivessem sido utilizadas em avaliações de larga escala e que possuíssem o mesmo grau de dificuldade.

70 58 É perceptível que a aplicação dos recursos em sala foi positiva, pois os alunos se sentiram motivados em participar dessa etapa, mas para que haja maior impacto no processo de ensino-aprendizagem serão necessários ajustes que considerem os itens listados anteriormente. O fato da construção do vídeo ser um processo lento e a intervenção requerer várias aplicações para que se possa realizar um diagnóstico do material e, até mesmo, de reelaboração do mesmo, não seria possível, já que a duração do curso para o qual o material foi criado tem um tempo máximo de duração, viabilizar essa etapa. No entanto, cabe ressaltar que a pesquisa foi capaz de perceber que é necessário suprir eventuais carências de conteúdo para que os alunos consigam compreender de forma mais clara as atividades propostas, resolvê-las com maior destreza e, dessa forma, refletirem os impactos de uma aprendizagem significativa. A avaliação também precisa passar por uma reformulação sendo necessário criar instrumentos com questões diferentes, mas que mantenham o mesmo nível para que se possa criar um mecanismo de comparação antes e após o processo de intervenção sobre o conceito de função. V.5 Resultados Nessa seção apresenta-se os dados tabulados que serviram de base para análise do desempenho discente, bem como para compreensão do desfecho dos testes, a partir da análise das questões discursivas. O desempenho absoluto dos alunos nos testes (pré e pós) está representado em barras (Fig IV.1) Optou-se por demonstrar os acertos totais por questões. Desta forma, pode-se ter uma panorama do resultados, onde as questões foram marcadas no eixo X e os acertos no eixo Y. O máximo de acertos por questão seriam 24, pelo fato de ser o número de participantes. As questões com maior número de acertos foram as de número 7, no pós-teste, e 10, no pré-teste. A questão com menor número de acertos foi a de número 3, no pré-teste.

71 % de Acertos Acertos 59 Gráfico V.1 Desempenho discente nos Testes Número de Questão Pré-Teste Pós-Teste De maneira a situar os valores obtidos pelos discentes nessas avaliações, o gráfico a seguir (gráfico IV.2), trará a porcentagem dos acertos por questão. Gráfico V.2 - % do desempenho discente nos Testes ,66 41,66 37, , ,16 29, ,83 20,83 20, ,66 16,66 16,66 16, ,5 12,5 10 8,33 5 4, Número da Questão Pré-Teste Pós-Teste Neste processo de intervenção, os alunos foram submetidos a duas avaliações, como o objetivo de compará-las. No entanto, a compreensão e entendimento do raciocínio matemático não ficaria explicito, por que foram compostos de questões objetivas. Por isso, elaborou-se o

72 Número de Alunos 60 cadernos de atividades com a finalidade de averiguar em parte do raciocino matemático os alunos têm dificuldade ou não conseguem prosseguir para a resolução dos exercícios. O gráfico IV.3 foi estruturado a partir do caderno de atividade que foi composto de 21 atividades, marcadas no eixo X r o quantitativo de alunos no eixo Y. Foram categorizadas quatro possíveis alternativa de enquadramento dos alunos, na tabela IV.1, a seguir. Quadro V.1 Enquadramento das respostas do Caderno de Atividades Enquadramento Definição Acertos Respondeu completamente correta a questão Acertos Parciais Respondeu corretamente a questão, > 50% Erros Em Branco Respondeu Errado, ou menos de 50% de acerto Não respondeu 30 Gráfico V.3 Desempenho Discente no Caderno de Atividades Questão Acertos Acertos Parciais Erros Em Branco

73 61 Conclusão Esse trabalho pretende trazer uma contribuição para os pesquisadores em Educação Matemática e em História da Matemática, visto que há pouca produção científica nessas linhas de estudo. Outra contribuição está relacionada ao Conceito de Função que possui menor expressividade em trabalhos acadêmicos que abordam o assunto, bem como em materiais didáticos direcionados ao público do ensino básico. A linguagem utilizada nos textos pesquisados traduz-se como mais um fator complicador, visto que se utilizam termos rebuscados e bastante específicos que representam a época em que foram escritos. A transformação desses em linguagem didática representou um desafio a todos os envolvidos na confecção desse produto. Para a elaboração dessa história foi necessário recorrer a três histórias e correlacionálas a fim de promover uma construção coerente e sólida sobre o desenvolvimento do conceito, a saber: Histórias da Matemática, da Ciência e das Sociedades Humanas. Logo, confirmou-se o caráter dinâmico, não só do conceito de função, mas como também do da matemática. No processo de elaboração do vídeo, os alunos envolvidos puderam aprender e apreender, de maneira informal, o tema, sinalizando um potencial pedagógico de grande valia, digno de ser relatado. Assim, vislumbra-se mais uma alternativa de trabalho com os discentes que viabilize um processo de ensino-aprendizagem inclusivo e prazeroso, uma vez que percebeu-se um grande potencial desse recurso na inserção dos alunos tanto na produção, quanto para serem telespectadores. Assim, a utilização do vídeo como um recurso didático evidenciou que os alunos são atraídos por esse tipo de mídia, tornando-os mais receptivos aos novos conteúdos, pois sendo submetidos à exibição do vídeo, interessaram-se pelo conteúdo e pelo fato de ter sido construído com auxílio de outros alunos do Ensino Médio. No entanto, as exibições e resoluções das atividades devem ser divididas em mais de um dia com o intuito de promover maior aproveitamento e reduzir o desgaste físico e mental. Contudo, o processo de ensino-aprendizagem sobre o conceito de função necessita de conhecimentos matemáticos prévios os quais os alunos demonstraram, por meio de caderno de atividades, não possuírem adequadamente o que comprometeu a aquisição do novo conteúdo. Então, faz-se necessária uma recuperação breve desses conceitos para uma maximização dos resultados do recurso empregado. Esse trabalho demonstrou que o baixo rendimento no desempenho dos alunos auferidos pelos instrumentos utilizados na intervenção proposta não é necessariamente devido

74 62 ao Conceito de Função, os resultados expressam a consequência. Pela análise dos cadernos de atividades, foi possível averiguar as possíveis causas, a inabilidade e inaptidão dos alunos com conteúdos não-matemáticos e matemáticos. No primeiro bloco de conteúdos, foi explícita a dificuldade dos alunos na compreensão de alguns dos enunciados dos exercícios, na utilização incorreta da linguagem escrita e no desconhecimento do significado de vocábulos que permeiam os conhecimentos gerais, inerentes aos alunos. Já no segundo, percebeu-se a dificuldade em resgatar conhecimentos matemáticos prévios e necessários para a resolução dos exercícios, dificuldade em realizar generalizações e abstrações. Assim, compreendem-se os resultados expressos nos exames de larga escala e nesse trabalho. A utilização de metodologias novas, de tecnologias de informação e comunicação e estratégias de conteúdos mais atraentes não representou um ganho no processo de ensinoaprendizagem. É necessário que, além de uma escolha planejada, realize-se uma contextualização dos conteúdos, adequação aos alunos que receberam essa proposta e avaliação dos conceitos prévios para a compreensão dos objetivos em voga para que componham o novo material. Esse produto, por meio de sua aplicação piloto, demonstrou grande potencial de auxílio ao docente na perspectiva de categorizar os déficits e demonstrar as defasagens de conteúdos dos alunos em uma prática pedagógica que despertou o interesse deles para a participação em sala, demonstrou potencial transformador da dinâmica do processo de ensino-aprendizagem, redefiniu os papéis na sala de aula onde o professor passou a ser o mediador e os alunos tendem a superar a postura passiva frente ao conhecimento. A avaliação dos resultados tem função propositiva, visto que não se findará com uma mera nota. A proposta é de realizar as reformulações necessárias para garantir uma adequação dos instrumentos utilizados para a construção de um saber que não se limite ao conceito de função ou aos conceitos necessários para a compreensão desse, mas um saber que eduque para compreensão do mundo e para o entendimento de como as disciplinas estão diretamente ligadas aos acontecimentos cotidianos.

75 63 Referências Bibliográficas BARALDO,B.P.F. Sobre a necessidade e a viabilidade de um ensino dinâmico de funções.monografia. Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio Grande do Sul., Porto Alegre,2009 BOYER, C. B. História da matemática. Tradução de Elza F. Gomide. 2 ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996 BOTELHO, L.M.L., Funções Polinomiais na Educação Básica: Uma Proposta. Monografia graduação. Niterói: UFF, 2005 de Pós BRAGA, Ciro. Função a alma do ensino da matemática. São Paulo: Annablume; Fapesp, p. BRASIL. Ministério da Educação. PDE: Plano de Desenvolvimento da Educação: SAEB: ensino Médio: Matriz de Referência, tópicos e descritores. Brasília: MEC, SEB; Inep, p.. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais-2 ed Rio de Janeiro: DP&A, 2000a. 142 p.. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros curriculares para o ensino Médio (PCNEM).ParteIII - Ciências da Natureza, Matemática e suas tecnologias. Brasília: MEC/SEMT, 2000b.. Secretaria de Educação Básica. Orientações Curriculares para o Ensino Médio. Ciências da Natureza, Matemática e suas tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria da Educação Básica, Secretaria de Educação Média e Tecnológica. PCN+ Ensino Médio: Orientações educacionais complementares aos Parâmetros curriculares. Ciências da Natureza, Matemática e suas tecnologias. Brasília: MEC/SEMT, CARAÇA, B.J. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa. Portugal: Livraria Sá da Costa Editora, CARDOSO, T. F. L.. As luzes da educação: fundamentos, raízes históricas e prática das aulas régias no Rio de Janeiro Bragança Paulista, EDUSF, Sociedade e Desenvolvimento tecnológico: uma abordagem histórica. In: Miriam Paura Zippin Grinspun. (Org.). Educação Tecnológico: desafios e perspectivas. 3 ed. São Paulo: Cortez, 2009, v. 1, p CORREIA, J.M.T. A Evolução do Conceito de Função na Segunda Metade do Século XVIII. Dissertação(mestrado)- Universidade do Porto, Lisboa, D AMBROSIO, U. História da Matemática e Educação. Caderno Cedes, n.40. Campinas: UNICAMP, EVES, H. Introdução à história da Matemática. Tradução Hygino H Domingues. Campinas: Unicamp, 2004 GUIMARÃES, R. S. Atividades para aprendizagem do Conceito matemático de função. Dissertação (mestrado)- Universidade Federal de São Carlos 2010 KENSKI, Vani Moreira. Educação e Tecnologias: O novo ritmo da informação. Campinas, SP: Papiros, p. KLEINER, I. Evolution of the Function Concept: A Brief Survey. The College Mathematics Journal, September 1989, 20 (4), , Disponível em Acesso 21/10/2011

76 64 MARQUES, Elizabeth Ogliari. Resultados de testes de larga escala: um ponto de partida para ações de formação continuada de professores em matemática, Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática) Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática UFRJ. Rio de Janeiro. Disponível em (Acesso em 29/09/2009) MATTHEWS, Michael R. História, Filosofia e Ensino de Ciências: A Tendência atual de Reaproximação. Caderno Catarinense do Ensino de Física. V.12, n3: pp , dez MIGUEL, Antonio; MIORIM, Maria Ângela. História na Educação Matemática: Propostas e desafios. Belo Horizonte: Autêntica, p. MORAN, José Manuel. Desafios na Comunicação Pessoal. 3ª Ed. São Paulo: Paulinas, 2007, p O vídeo na sala de Aula. In Comunicação & Educação. São Paulo, ECA. Moderna. jan/abril de p 27 a 35 Orientações para pré e pos teste. Disponível em Acesso:20/10/2011 PALARO, L. A. LEONHARD EULER E O CONCEITO DE FUNÇÃO. In: Seminário Educação, 2008, Cuiabá. Seminário Educação 2008: 20 anos de Pós Graduação em Educação, avaliação e perspectivas. Cuiabá, PELHO, E. B.B, A introdução ao conceito de função: A importância da compreensão das variáveis. Dissertação (mestrado) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, SP,Brasil, 2003 PEREIRA, V.M. Cálculo no Ensino Médio: Uma Proposta para o Problema da Variabilidade. Dissertação Mestrado, Universidade Federal do Rio de Janeiro/Rio dejaneiro,rj,brasil PONTE, J. P. The history of the concept of function and some educational implications. Mathematics Educator, v.3, n.2, p.3-8, REY, G.; BOUBÉE, C.; VÁZQUEZ, S.;CANIBANO, A.; Aportes didáticos para abordar el concepto de función Revista Iberoamericana de Educación Matemática; v. 4, n.20, pp , Dez REZENDE, W.M. Galileu e as Novas Tecnologias no Estudo das Funções Polinomiais no Ensino Básico. In: IV Colóquio de História e Tecnologia no Ensino de Matemática, 2008, Rio de Janeiro. Anais do IV Colóquio de História e Tecnologia no Ensino de Matemática. Rio de Janeiro : UFRJ, p REZENDE, W. M. O Ensino de Cálculo: Dificuldades de Natureza Epistemológica. Tese de Doutorado. FE/USP,São Paulo,2003 RIO DE JANEIRO. Lei n.5453, de 26 de maio de 2009 do Rio de Janeiro.Modifica a lei nº 5222, de 11 de abril de 2088, que dispõe sobre a proibição do uso de telefone celular nas escolas estaduais do Estado do Rio de Janeiro. Disponível em Acesso em 26/02/2010. RIO DE JANEIRO. Secretaria de Estado da Educação. Currículo Mínimo: Matemática. Rio de Janeiro, 2011.

77 65. Secretaria de Estado da Educação. Revista do Professor de Avaliação da Educação: Sair- 2008/Universidade Federal de Juiz de Fora, Faculdade de Educação, Caed. V.1. (jan/dez. 2008), Juiz de Fora, 2008-Anual. SANT ANA, Ilza Martins e SANT ANA Victor Martins. Recursos Educacionais para o ensino: quando e por quê? Petrópolis, RJ: Vozes, p. SÁ, P. F. ; SOUZA, G. S. ; SILVA, I. D. B.. A Construção do Conceito de Função: Alguns dados históricos.. Traços (UNAMA), Belém, v. 6, n. 11, p , SOUZA, V. M. ; MARIANI, V. C. UM BREVE RELATO DO DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE FUNÇÃO. In: V EDUCERE, 2005, Curitiba. Anais do V EDUCERE, v. 1. p VÁZQUEZ, S.; REY, G.; BOUBÉE, C.; El concepto de función a través de la Historia, Revista Iberoamericana de Educación Matemática; v. 4, n.16, pp , Dez THEE, A.V. Um estudo de caso do conhecimento do professor de matemática da educação básica sobre o comportamento variacional das funções afim e quadrática. Monografia. Pósgraduação. Universidade Federal Fluminense. Niterói, 2009 TINOCO, Lúcia. Construindo o Conceito de função no 1º Grau. IM/UFRJ- Projeto Fundão, Referências Eletrônicas:

78 APÊNDICE I

79 STORYBOARD DO VÍDEO STORYBOARD DO VÍDEO A HISTÓRIA DO CONCEITO DE FUNÇÃO PARTE I Nesta parte do vídeo apresenta-se como a idéia de função estava presente na Antiguidade. Por meio da contagem e das tabulas percebe-se a idéia intuitiva. Depois disso já na Idade Média surge a representação geométrica de um função feita por Nicole Oresme.

80 PARTE II Na segunda etapa relata-se como a criação na notação da álgebra de Viete foi importante e como a Revolução Cientifíca do Século XVII foi imporante para o desenvolvimento do conceito de função. Galileo Galilei e René Descartes foram importantes para a desenvolvimento do conceito de função. Nesta época surge o plano cartesiano.

81 PARTE III Na terceira parte relata-se como a função passou a ser definida por uma fórmula e como o problema da corda vibrante foi importante para contribuir para uma nova maneira de representar o conceito.

82 PARTE IV Na quarta parte relata-se a transformação do conceito devido ao problema da corda vibrante e da necessidade da formalização dos conceitos matemáticos que passam a se valer da Teoria dos Conjuntos.

83 APÊNDICE II

84 Colégio 2 Nome: Turma: Caderno de Atividades 2011

85 ATIVIDADE 1 3 Uma livraria recebe certo livro por um custo de R$ 40,00 por exemplar. O gerente vendeu inicialmente 36 desses livros por semana a R$ 100,00 cada. Sabendo que, se reduzisse o preço de cada livro de R$ 5,00 por semana, venderia mais 6 livros por semana, resolveu experimentar e foi reduzindo o preço do livro R$ 5,00 a cada semana. 1) Complete a tabela e responda as perguntas. Semana Inicial n Custo de 1 livro Preço de Venda de 1 Livro Lucro com 1 Livro Nº de Livros Vendidos na Semana Lucro Total a) O preço de custo do livro varia com o tempo? b) A cada semana o que acontece com o preço de venda do livro? c)e com o número de livros vendidos por semana? d) E com o lucro obtido na venda de cada livro? e) E com o lucro total por semana? 2) Na última coluna da tabela você escreveu uma expressão para o preço de venda de 1 livro. Ela está coerente com o que você respondeu no item a acima? 3) Pelo que você observou na tabela, valeria a pena o gerente continuar a diminuir o preço de venda do livro? A partir de que semana ele deveria fixar o preço de venda do livro? Explique sua resposta..

86 4 ATIVIDADE 2 Para preparar suas tintas, um pintor costuma dissolver cada 4 latas de tinta concentrada em 6 latas de água. Complete a tabela e responda as questões abaixos. Tinta Concentrada Água ) Quais as grandezas envolvidas na situação? Elas variam? 2) Se o pintor usar mais tinta concentrada, o que deverá acontecer com a quantidade de água, para manter a mesma concentração? 3) Sabendo que a quantidade de tinta concentrada, ele pode usar qualquer quantidade de água? 4) Para cada lata de tinta concentrada, quantas latas de água ele usa? 5) Tente escrever uma expressão que relacione o número de latas A de água, com o número T de latas de tinta concentrada. ATIVIDADE 3

87 5 A tabela a seguir relaciona a medida dos lados de um quadrado com a sua área. Complete-a Medida do Lado (L) Área (A) 10 a) A cada medida do lado (valores da 1ª Coluna), obtémse um valor correspondente da área do 10,3 quadrado(2ª Coluna). Escreva como você obteve cada 121 valor da tabela ,3 8,5 16 b) Em geral, você pode representar a medida de um lado qualquer do cômodo por L, e da área por A. Expresse uma relação entre estas duas medidas. c) Alguma destas medidas depende da outra? Como é esta dependência? ATIVIDADE 4

88 6 Com base no gráfico ao lado, responda as perguntas a seguir. a) Em qual(is) que país(es) os homem(ns) e as mulher(es) têm a mesma vida média? b)há algum país no qual os homens têm maior expectativa de vida que as mulheres? c) No Brasil, qual é a vida média dos homens? E das mulheres? d)em que país a diferença entre as vidas médias dos homens e mulheres é maior? ATIVIDADE 5 Cada pessoa abaixo está relacionada a um ponto do gráfico ao seu lado, associe-as e justifique. ATIVIDADE 6

89 7 Um motorista, a certa velocidade, vê um obstáculo na entrada. Leva algum tempo até que ele pise no freio (tempo de reação) e mais outro intervalo de tempo até que o carro pare (tempo de frenagem). Nesses espaços de tempo o carro percorre certas distâncias: - Distância de reação (DR) : é a distância percorrida do instante em que se vê o obstáculo até o instante em que se pisa no freio. - Distância de frenagem (DF): é a distância percorrida enquanto se está freiando. - Número (N): representado a distância total percorrida desde o momento em que o motorista vê o obstáculo até que o carro para. No gráfico, ao lado de cada velocidade, estão representadas: ( DR ) ( DF ) ( N ) Observando este gráfico, responda. 1) Que grandezas este gráfico relaciona? 2) Se um carro está a 120km/h, quantos metros ele percorre até parar? 3) Quais as barrinhas que aumentam mais, as listradas ou as brancas? 4) Observando as velocidades de 80km/h e 90km/h, o que se pode dizer sobre as distâncias de reação e frenagem? 5) As normas de trânsito aconselham que se mantenha uma distância de 50m do veículo da frente. Neste caso, qual seria a maior velocidade que um carro deveria manter para evitar a colisão com o carro da frente se este parar repentinamente? 6) Se um motorista está a 115 km/h, dê uma idéia da distância que ele percorre até parar. Justifique. ATIVIDADE 7

90 8 Indicador de Nível de Atividade 1) Onde se vêem as datas (meses) referentes ao gráfico? 2) Onde se vê o nível de produção? 3) Qual o nível de produção durante o mês de abril? 4) Qual o mês de maior produção? E o de menor? 5) Entre os meses de fevereiro e abril, as atividades cresceram ou diminuíram? 6) E durante os meses de agosto e novembro o que ocorreu? 7) E entre os meses de novembro e fevereiro de 92? 8) De quê poderia ser a indústria do gráfico? ATIVIDADE 8

91 9 O gráfico abaixo mostra a variação da inflação de novembro de 1995 a abril de Onde são registrados os meses correspondentes ao gráfico? 2- Onde são registrados os índices da inflação? 3-Qual foi a inflação de janeiro /96? 4- Entre que meses a inflação subiu mais? 5- Entre que meses a inflação passou de positiva para negativa? 6- Qual a diferença entre queda de inflação e inflação negativa? pp ATIVIDADE 9 Dona Maria lavou as camisas do time de futebol de seu neto Carlinhos e vai colocá-las para secar da seguinte forma: -Cada camisa é presa por dois pregadores; -Cada camisa é ligada à seguinte por um pregador. a) Quantos pregadores Dona Maria usará para pendurar 5 camisas? b) Complete abaixo, onde n a quantidade de camisas e p é a quantidade de pegadores: n p c) Complete: c.1) p(7)= c.2) p(8)= c.3) p(12)= c.4) p(21) d) Complete a expressão que representa o número de pregadores p necessários para pendurar um número n qualquer de camisas, isto é p(n)= ATIVIDADE 10

92 10 Pedro vai a padaria levando uma nota de R$ 2,00 para comprar seu chiclete favorito. Se comprar cinco chicletes receberá de troco R$ 1,25 de troco. a) Se comprar apenas dois chicletes, quanto receberá de troco? b) E quanto será o troco se comprar 4 chicletes? c) Escreva uma expressão que represente o troco, quando são comprados n chicletes. Use a notação t(n), isto é, troco para comprar n chicletes. t(n)= d) Qual é a maior quantidade de chicletes que Pedro pode comprar com o dinheiro que tem? Para facilitar, faça uma tabela com a situação descrita. ATIVIDADE 11 Observe a seqüência ao lado. a) Desenhe a quarta figura. b) Quantos quadradinhos azuis têm a 10ª figura? c) Complete a tabela. (A última linha da tabela servirá para responder os próximos itens). Número da ordem da figura Número de quadradinhos em branco Número de quadradinhos azuis Total de quadradinhos 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 15ª nª d) Qual é a fórmula que expressa a quantidade A(n) de quadradinhos azuis em função da ordem n da figura?

93 11 A(n)= e) Calcule: a. A(11) b. A(20) ATIVIDADE 12 a) Desenhe a próxima figura e complete a quantidade de lápis. b) Você notou uma regra de formação? Para obter mais um triângulo basta acrescentar sempre mais lápis. c) Cada novo triângulo é formado apenas acrescentando mais lápis, porém o primeiro triângulo precisou de lápis, a mais que qualquer outro. d) Termine de preencher os valores correspondentes na tabela abaixo, onde T é a quantidade de triângulos formados com L lápis: T L e) Usando L(T) para dizer lápis necessários para formar T triângulos, calcule: e.1)l(10) e.2)l(15) e.3)l(22)= e.4)l( )=33 f) Qual poderia ser uma fórmula geral para obter a quantidade L(T) de lápis necessários para construir T triângulos? L(T)= ATIVIDADE 13

94 12 a) Indique que pontos estão nas seguintes posições: (2,4) (0,0) (-1,3) (3,-1) (-2,5) b) Agora, marque as posições dos seguintes pontos: b.1) (5,0) como ponto W b.2) (0,-2) como ponto Y b.3) (-2,-5) como ponto H ATIVIDADE 14 Uma garrafa de 500 ml de suco concentrado deve ser dissolvida em 1 litro de água para obtermos um suco reconstituído. a) Se utilizarmos todo o suco concentrado de uma garrafa, quantos litros teremos de suco pronto para beber: b) Queremos servir suco no almoço de domingo para toda a família presente. Quantos litros de suco pronto vamos preparar usando 2 garrafas de suco concentrado? c) Complete a tabela, onde c é o total de garrafas de suco concentrado e L é o total de litros de suco pronto: C L d) Expresse a quantidade de suco pronto L em função da quantidade c e de garrafas de suco concentrado: L(c)= e) Os valores relacionados na tabela podem ser vistos como pares. Com duas garrafas de suco obtemos exatamente 3 litros de suco pronto. Vamos escrever estar par como (2,3) e representá-lo num sistema de coordenadas cartesianas.

95 13 f) Se você continuar a tabela acima e marcar os pontos na figura, o ponto (8,12) vai ser marcado? g) Você não precisa utilizar uma garrafa inteira de suco concentrado. Que ponto seria marcado se você utilizasse apenas meia garrafa? Marque este ponto no plano cartesiano h)se você marcar na figura outros pontos dados na função L(c), com valores cada vez mais próximos uns dos outros, o que vai aparecendo na figura? R: ATIVIDADE 15

96 14 Um caminhão percorre uma estrada com velocidade constante igual a 40 km/h. a) Qual será a distância percorrida após: a.1) 2h = a.2) 3h = a.3) 15min = a.4) 1h e 30min = b)escreva a fórmula da distância percorrida d, em função do tempo t. d(t)= Se fossemos construir uma tabela com todos os valores de t e marcássemos os pontos em um sistema cartesiano obteríamos uma linha contínua. Esta linha chama-se gráfico. Veja como este ficaria a) Suponha que o carro ande a uma velocidade de 60 km/h. Faça o gráfico desta situação.

97 ATIVIDADE 16 Um móvel está em movimento em uma pista com velocidade constante. A tabela abaixo informa a posição do móvel em um dado instante de tempo. Por exemplo, decorridos 3 segundos o móvel está na posição 6,6 metros. Tempo (s) Posição (m) 0 2,2 4,4 6,6 8, ,2 15,4 17,6 a) Qual foi a variação da posição do móvel nos 3 primeiros segundos? b) Qual foi a velocidade média do móvel nos dois primeiros segundos? c) Qual foi a velocidade média do móvel nos 8 primeiros segundos? d) A velocidade média do móvel foi maior nos 4 primeiros segundos ou nos 4 últimos segundos de sua trajetória? e) A velocidade média do móvel, segundo a segundo, sempre aumentou? f) No instante t=3s, o velocímetro do móvel estava marcando quantos m/s? g) O que podemos afirmar sobre a velocidade do carro durante todo o trajeto? h) Para observarmos qual é a variação da posição a cada segundo, complete a tabela abaixo Instantes Variação da Posição entre os instantes Variação da variação da posição entre os instantes t=0 e t= t=1 e t=2 t=2 e t=3 t=3 e t=4 t=4 e t=5 t=5 e t=6 t=6 e t=7 t=7 e t=8 i)o que você pode concluir em relação aos dados da tabela?

98 16 ATIVIDADE 17 Um móvel se locomove com aceleração constante. A tabela abaixo informa a posição do móvel em um dado instante. Tempo (s) Posição (m) 0 0,1 0,4 0,9 1,6 2,5 3,6 4,9 6,4 a) Qual foi a velocidade média do móvel nos dois primeiros segundos? b) Qual foi a velocidade média do móvel nos 8 primeiros segundos? c) A velocidade média do móvel foi maior nos 4 primeiros segundos ou nos 4 últimos segundos de seu movimento? d) Qual foi a velocidade média do móvel entre os instantes t=1s e t=2s? e) Qual foi a velocidade média do móvel entre os instantes t=2 s e t=3s? f) Qual foi a velocidade média do móvel entre os instantes t=3s e t=4s? g) Complete a seguinte tabela, para observarmos como são as variações a cada segundo : Variação dos Instantes Variação da Posição entre os instantes (Velocidade Média) Variação da variação da posição entre os instantes Entre t=0 e t= Entre t=1 e t=2 Entre t=2 e t=3 Entre t=3 e t=4 Entre t=4 e t=5 Entre t=5 e t=6 Entre t=6 e t=7 Entre t=7 e t=8 h) Observando a tabela que você preencheu, o que você percebe em relação à seqüência das velocidades médias registradas? i) Observando a tabela que você preencheu, o que você percebe em relação à aceleração?

99 17 ATIVIDADE 18 Dada a função y=3x+4, determine: a) Qual é a variação de y quando x passa de 10 para 11? b) A variação de y é maior quando x passa de 3 para 4 ou quando passa de 5 para 6? c) Qual é a variação de y quando x passa de 251 para 252? d) Considerando y em função de x, o que você entende por taxa de variação de y em relação a x? ATIVIDADE 19 Qual é a taxa de variação da função y=4x-5. Justifique sua resposta. ATIVIDADE 20 Considerando a função y=3x²+2, responda: a) a variação de y é maior quando x passa de 3 para 4 ou quando passa de 5 para 6? b) Qual é a taxa de variação média quando x passa de 2 para 6?

100 18 ATIVIDADE 21 Observando cada um dos diagramas abaixo diga qual das relações estabelecidas por meio de setas, são funções e justifique. REFERÊNCIAS DAS ATIVIDADES Fonte Atividades TINOCO, Lúcia. Construindo o Conceito de função no 1º Grau. IM/UFRJ- Projeto Fundão, ,2,4,5,6,7,8 PELHO, E. B.B, A introdução ao conceito de função: A importância da compreensão das variáveis. Dissertação (mestrado) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, SP,Brasil, GUIMARÃES, R. S. Atividades para aprendizagem do Conceito matemático de função. Dissertação (mestrado)- Universidade Federal de São Carlos p PEREIRA, V.M. Cálculo no Ensino Médio: Uma Proposta para o Problema da Variabilidade. Dissertação Mestrado, Universidade Federal do Rio de Janeiro/Rio dejaneiro,rj,brasil ,10,11,12,13,14,15 16,17,18,19,

101 APÊNDICE III

102 Colégio: Nome: Nota: Avaliação 2011

103 Questão 1 Para alugar um carro, uma locadora cobra uma taxa básica fixa acrescida de uma taxa que varia de acordo com o número de quilômetros rodados. A tabela ao lado mostra o custo total (C) do aluguel, em reais, em função do número de quilômetros rodados (q). A sentença que representa o custo total e: Quilômetros rodados(q) Custo(C) (A) C(q) = 5q + 5. (B) C(q) = q (C) C(q) = 4q (D) C(q) = 10 q (E) C(q) = 2 q +50 Questão 2 Uma pedra é largada de uma certa altura e cai em queda livre. Desprezando-se a resistência do ar, a velocidade da pedra durante a queda é expressa por v = g t, em que g = 10 m/s² é a aceleração da gravidade e t é o tempo transcorrido, em segundos. Qual é o gráfico que melhor ilustra a velocidade da pedra em função do tempo, até o momento em que ela chega ao solo?

104 Questão 3 As variáveis n e P assumem valores conforme mostra a figura a seguir. A relação em P e n é dada pela expressão a) P=n+1 b) P=n+2 c) P=2n-2 d) P=n-2 Questão 4 n P O lucro de uma empresa, P, em reais para a produção de x maquinas em um dia é dado por P=500x-20x². Se a empresa produz 10 máquinas em um dia, então de acordo com essa fórmula, qual será o lucro para esse dia? a) R$ 5000,00 b) R$ 4000,00 c) R$ 3000,00 d) R$ 2000,00 e) R$ 1000,00 Questão 5 Qual das seguintes expressões representa y em termos de x para os quatro pares de valores da tabela ao lado? a)y=5x+7,5 b)y=5,5x+2 c)y=5,5x+7,5 d)y=7,5x e)y=7,5x+5,5 x y 1 7, ,5 4 24,0

105 Questão 6 A tabela abaixo mostra a variação de posição de um trem que passava no quilômetro 40 de uma ferrovia quando o movimento começou a ser observado (t = 0). Depois de quanto tempo após o início da viagem, o trem passou pelo quilômetro 120 da ferrovia? Tempo(em horas) Espaço( em quilômetros) a)2 horas e 40 minutos b)2 horas e 30minutos c)5 horas d)1hora e 30 minutos Questão 7 As figuras mostradas a seguir estão organizadas dentro de um padrão que se repete. Mantendo essa disposição, a expressão algébrica que representa o total de pontos T em função da ordem n (n = 1, 2, 3,...), é a)t=2n-1 b)t=2n+1 c)t=n²-1 d)t=n²+1

106 Questão 8 Considere a relação f de M em N, representada no diagrama abaixo. Para que f seja uma função de M em N, basta: a) apagar a seta (1) e retirar o elemento s b) apagar as setas (1) e (4) e retirar o elemento k c) retirar os elementos k e s d) apagar a seta (4) e retirar o elemento k e) apagar a seta (2) e retirar o elemento k Questão 9 A velocidade de um corpo em queda livre, em metros por segundo(m/s), aumenta a cada segundo. Para determinar uma expressão matemática que permita calcular a velocidade de um corpo em queda livre, sua velocidade foi anotada em uma tabela. Assim, a velocidade (v) do corpo em queda livre se dá em função do tempo(t). Qual a expressão matemática que relaciona a velocidade do corpo em queda livre em função do tempo de queda? a)v=2t+8 b)v=5t+10 c)v=2t d)v=10t e)v=20t-4 t (segundos) Velocidade (m/s) t v