Gabarito da Primeira Fase Nível Alfa

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1 . Gabarito da Primeira Fase Nível Alfa Questão 1 (20 pontos) Um pintor sabe que gasta 360 mililitros de tinta para pintar uma área quadrada de lado 2 metros. Quantos mililitros de tinta o pintor precisa para pintar uma parede quadrada de 3 metros de lado? Solução 1: O pintor gasta 90 = 360/4 mililitros de tinta por metro quadrado. Como a parede tem uma área de 9 metros quadrados então a quantidade necessária de tinta é 9 90 = 810 mililitros. Solução 2: Usando que a área do quadrado de lado 2 metros é 4 metros quadrados e a área do quadrado de lado 3 é 9 metros quadrados temos que, pela regra de três, a quantidade necessária de tinta é 9 360/4 = 810 mililitros. Questão 2 (20 pontos) Os gêmeos Laura e Marcus ganharam blocos de montar de aniversário. Depois de brincarem bastante eles foram guardar seus brinquedos em caixas. Eles observaram que se eles guardassem cinco blocos em cada caixa sobrariam dois blocos e se eles guardassem seis blocos em cada caixa sobraria uma caixa vazia. Quantos blocos e quantas caixas eles têm? Solução: Chame de B a quantidade total de blocos e C a quantidade de caixas. Sistematizando as informações da questão, obtemos se eles guardassem cinco blocos em cada caixa sobrariam dois blocos, então 5C + 2 = B, se eles guardassem seis blocos em cada caixa sobraria uma caixa, então 6(C 1) = B. Resolvendo o sistema obtemos C = 8 e B = 42, ou seja, a quantidade de caixas é 8 e de blocos de montar é 42. Questão 3 (20 pontos) Um x mágico consiste em um conjunto de cinco quadradinhos em formato de x, com um número em cada quadradinho, de modo que todos os números são distintos e as diagonais possuem a mesma soma. Por exemplo, o x formado com os números 4, 5, 6, 7, 8 como mostrado na Figura 1 abaixo é um x mágico : Página 1 de 7

2 Figura 1: x mágico formado com os números 4, 5, 6, 7, 8 A soma de cada uma das diagonais de um x mágico é chamada de constante mágica. No caso do exemplo dado na Figura 1 acima, a constante mágica é 18 = = a) Construa um x mágico com os números 1, 2, 3, 4 e 5. b) Determine todos os possíveis valores de constantes mágicas que podem ser obtidos a partir de um x mágico montado com os números 1, 2, 3, 4 e 5. Solução: a) Na figura a seguir temos alguns exemplos de x mágicos com os números 1, 2, 3, 4 e 5. Figura 2: Exemplos de x mágicos com os números 1, 2, 3, 4, 5. b) Nas figuras da solução da alternativa a) podemos ver que = 8, = 9 e = 10 são possibilidades de constantes mágicas para um x mágico construído a partir de 1, 2, 3, 4 e 5. Vamos verificar que estas são as únicas possibilidades. Página 2 de 7

3 Considere um x mágico geral formado com 1, 2, 3, 4, 5. Chame de a o número central, b e c os números que estão em uma diagonal e d e e os que estão na outra (como na figura abaixo). Como a + b + c + d + e = = 15 e como b + c = d + e temos 15 = a + b + c + d + e = a + 2(b + c). Logo a é ímpar e a constante mágica é: a + b + c = 15 (b + c). Como a {1, 2, 3, 4, 5} as possibilidades são: i) a = 1, neste caso 15 = , logo b + c = 7 e a + b + c = = 8; ii) a = 3, neste caso 15 = , logo b + c = 6 e a + b + c = = 9; iii) a = 5, neste caso 15 = , logo b + c = 5 e a + b + c = = 10. Assim, as possibilidades de constantes mágicas são de fato apenas 8, 9 e 10. Página 3 de 7

4 Questão 4 (20 pontos) Um número de 3 dígitos xyz (x 0) é chamado de montanhês se y > x e y > z. Por exemplo, 162 é um número montanhês pois 6 > 1 e 6 > 2. a) Forneça três exemplos distintos de números montanhêses. b) Quantos números montanhêses existem? Solução: a) Exemplos: 121, 780, 264. b) Para cada valor de y vamos contar quantas são as possibilidades: Para y = 9 temos 8 possibilidades para x e 9 possibilidades para z. Logo, existem 8 9 = 72 números montanheses da forma x9y. Para y = 8 temos 7 possibilidades para x e 8 possibilidades para z. Logo, existem 7 8 = 56 números montanheses da forma x8y. Para y = 7 temos 6 possibilidades para x e 7 possibilidades para z. Logo, existem 6 7 = 42 números montanheses da forma x7y. Para y = 6 temos 5 possibilidades para x e 6 possibilidades para z. Logo, existem 5 6 = 30 números montanheses da forma x6y. Para y = 5 temos 4 possibilidades para x e 5 possibilidades para z. Logo, existem 4 5 = 20 números montanheses da forma x5y. Para y = 4 temos 3 possibilidades para x e 4 possibilidades para z. Logo, existem 3 4 = 12 números montanheses da forma x4y. Para y = 3 temos 2 possibilidades para x e 3 possibilidades para z. Logo, existem 2 3 = 6 números montanheses da forma x3y. Para y = 2 temos 1 possibilidade para x e 2 possibilidades para z. Logo, existem 1 2 = 2 números montanheses da forma x2y. Para y = 1 não temos nenhum número montanhês. Página 4 de 7

5 Assim temos um total de: = 240, números montanheses. Página 5 de 7

6 Questão 5 (20 pontos) Considere um quadrado de vértices A, B, C e D. Seja O o centro do quadrado (ou seja, o ponto de intersecção das duas diagonais). Considere duas retas, l 1 e l 2, ambas passando por O e perpendiculares entre si. Suponha que l 1 e l 2 não são as diagonais e considere os pontos R, S, T e U de intersecção com os lados do quadrado. Estes pontos determinam quatro quadriláteros: AROU, BSOR, CT OS e DUOT (veja a figura abaixo). a) Mostre que os triângulos AOR e COT são congruentes (ou seja, possuem lados e ângulos correspondentes de mesma medida) usando que o centro O pertence a diagonal AC. b) Mostre que os quadriláteros AROU, BSOR, CT OS e DUOT são todos congruentes. Solução: a) Considere os seguimentos OA, OB, OC e OD. Note que todos esses segmentos possuem o mesmo tamanho pois saem do centro até o vértice do quadrado. Observe também que esses segmentos formam ângulos de 45 graus com os vértices do quadrado. Nosso objetivo é ver que os triângulos AOR e COT são congruentes. Observe que esses triângulos possuem um lado de mesmo tamanho (justamente os segmentos OA e OC). Vamos usar a semelhança de triângulo ângulolado-ângulo (ALA). Já temos os lados a serem comparados, vamos determinar os ângulos. Note que AÔR = CÔT por serem ângulos alternos internos. Como os ângulos OÂR e OĈT são de 45 Página 6 de 7

7 graus e a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180 graus então A ˆRO = C ˆT O. Aplicamos a semelhança ALA obtemos que os triângulos AOR e COT são congruentes. Observe que o mesmo raciocínio prova que os triângulos BOS e DOU são congruentes. b) Para provar que os quadriláteros AROU, BSOR, CT OS e DUOT são todos congruentes vamos primeiro mostrar que os triângulos AOR e DOU são congruentos. Provemos que AÔR = DÔU. Como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360 graus e todos os quatro quadriláteros do exercício possuem um ângulo reto no centro O e em cada vértice do quadrado então os outros dois ângulos dos quadriláteros são suplementares. Logo, A ˆRO e AÛO são suplementares e, consequentemente, DÛO = A ˆRO. Usando novamente que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus obtemos que AÔR = UÔD. Como os lados AO e DO são iguais, OÂR = DÔU e AÔR = UÔD concluímos, através da semelhança ALA, que os triângulos AOR e DOU são congruentes. Utilizando o mesmo raciocínio é possível mostrar que AOR, BOS, COT e DOU são todos congruentes. Agora, vamos mostrar que os triângulos AOU, DOT, COS e BOR são todos congruentes. Podemos usar novamente que a semelhança ALA. Os lados que iremos comparar são AU, DT, CS e BR e note que são iguais pois sabemos que os tamanhos AR, DU, T C e SB são iguais. Como já observado os ângulos do vértice do quadrado possuem 45 graus e os ângulos AÛO, D ˆT O, CŜO e B ˆRO são iguais. Assim os triângulos DOT, COS, BOR e AOU são congruentes. A congruência de todos esses triângulos fornece a congruência dos respectivos quadriláteros. Página 7 de 7