X Encontro Nacional de Educação Matemática Educação Matemática, Cultura e Diversidade Salvador BA, 7 a 9 de Julho de 2010

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1 O ENSINO E APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA PLANA COM ATIVIDADES POR MEIO DO SOFTWARE GEOGEBRA Humberto Alves Bento Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais humbertobento@gmail.com João Bosco Laudares Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais jblaudares@terra.com.br Resumo: Este artigo apresenta uma pesquisa, em desenvolvimento, num Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática que objetiva criar atividades de Geometria Plana usando o software Geogebra. A base teórica foi constituída com referenciais da Informática Educativa e do ensino de Geometria trabalhando o pensamento geométrico pela habilidade de visualização. É apresentada a atividade que explora Pontos Notáveis de um Triângulo. A pesquisa contempla outros conteúdos de Geometria Plana com mais cinco atividades, já elaboradas: área de retângulo e triângulo, uma propriedade para área de triângulo, exploração do Teorema de Pitágoras, soma dos ângulos internos de um polígono qualquer e a razão áurea. Com objetivo de validação destas atividades, estas estão sendo aplicadas em turmas de ensino médio e após os resultados analisados poderão ser reelaboradas com base no referenciais teóricos. Palavra-chave: Ensino e Aprendizagem; Geometria Plana; Software Geogebra. INTRODUÇÃO O ensino e aprendizagem de Geometria têm sido alvo de preocupação dos professores em sala de aula e como objeto de pesquisas do ensino e da Educação Matemática. Os estudantes poderão ter um apoio para a compreensão das proposições e conceitos geométricos, se desenvolverem o pensamento geométrico, especialmente com a aquisição da habilidade de visualização, com apoio dos recursos da Informática Educativa. Os resultados das pesquisas da Educação Matemática para o ensino de Geometria apontam na direção do uso de materiais concretos e da informática para exploração de atividades, que facilitam o entendimento de conceitos geométricos e suas aplicações. Foi selecionado do software Geogebra por ser um software livre e pela interface de fácil manipulação, interação e visualização, e ainda, por ser um software de Geometria Anais do 1

2 dinâmica. Com ele é possível verificar várias propriedades em Geometria Plana, com múltiplas representações. De acordo com essa tendência, desenvolve-se uma pesquisa com objeto na Geometria Plana e usando informática. O ENSINO DE GEOMETRIA A Geometria é um ramo importante da Matemática, tanto como objeto de estudo, quanto como instrumento para outras áreas. No entanto, várias pesquisas apontam a Geometria como um dos problemas de ensino e aprendizagem em Matemática. SHULTE e LINDQUIST (1994) e LORENZATO (1995). Quando se trata do processo ensino aprendizagem em Geometria, alguns fatores contribuem para o baixo desempenho dos alunos, como: 1. A dificuldade do aluno de visualização de uma figura geométrica e exploração de suas propriedades; 2. A dificuldade de representar situações reais do dia-dia com modelos matemáticos e de representação de figuras geométricas. 3. A capacidade de raciocínio, que é o processo que conduz para a prova e a explicação dos modelos matemáticos. Com muita freqüência a Geometria é considerada pelos professores na educação infantil simplesmente como o estudo de retângulos, segmentos de reta, ângulos, congruência e entre outros. Geralmente ensinam as crianças a reconhecer figuras (círculos, quadrados e triângulos) do mesmo modo que ensinam a reconhecer letras e números. Mesmo nos outros níveis de ensino da educação básica, quanto ao cumprimento dos planos de ensino Geometria muitas vezes é negligenciada até o fim do ano, quando então, às pressas, introduzem-se algumas figuras com alguns exercícios. PAVANELLO (1993). A decisão dos professores sobre a Geometria a ser ensinada se restringe aos conteúdos estudados pelos mesmos na educação básica e na licenciatura. TECNOLOGIAS E INFORMÁTICA EDUCATIVA As relações entre os homens, o trabalho, a própria inteligência dependem, na verdade, da metamorfose incessante de dispositivos informacionais de todos os tipos. Anais do 2

3 Escrita, leitura, visão, audição, criação, aprendizagem são capturados por uma informática cada vez mais avançada. Lévy (1993) privilegia, entre a grande quantidade de técnicas existentes, as técnicas de transmissão e tratamento das mensagens, uma vez que são as que transformam os ritmos e modalidades da comunicação de modo mais direto, contribuindo para a redefinição das organizações. Propõe o mesmo autor, a trajetória do desenvolvimento das tecnologias da inteligência em três tempos do espírito: a oralidade, a escrita e a informática. Esses tempos apesar de ter acontecido historicamente na seqüência apresentada pedem ser explorados em etapas metodológicas da aprendizagem, isto é, propor a estudante fazer Matemática com a oralidade, a escrita e a informática. Uma nova técnica do ensino e aprendizagem com a informática é a possibilidade da simulação, facilitada pelo uso do software, como, uma ferramenta dinâmica flexível de amplas possibilidades de experimentação com ensaios, conjecturas e intuição. Na reorganização do pensamento e do coletivo pensante, Borba e Penteado (2003) discutem o lugar no computador (software) nas práticas educativas buscando a construção de significados, no tratamento conceitual, liberando o estudante do trabalho intensivo mecânico, manipulativo e repetitivo no ensino da Matemática muitas vezes reduzido à operações aritméticas e algébricas com algoritmos e modelos prontos. ANÁLISE DOS PCN S QUANTO À INFORMÁTICA EDUCATIVA E O ENSINO DE GEOMETRIA. Os Parâmetros Curriculares Nacionais ao apresentarem as novas diretrizes para o ensino de Matemática salientam o seu papel para a discussão e argumentação da revolução informática. A denominada revolução informática promove mudanças radicais na área do conhecimento, que passa a ocupar um lugar central nos processos de desenvolvimento, em geral. É possível afirmar que, nas próximas décadas, a educação vá se transformar mais rapidamente do que em muitas outras, em função Anais do 3

4 de uma nova compreensão teórica sobre o papel da escola, estimulada pela incorporação das novas tecnologias. (PCN, p 119) a) O RECURSO ÀS TECNOLOGIAS DA COMUNICAÇÃO De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais, as tecnologias, em suas diferentes formas e usos, constituem um dos principais agentes de transformação da sociedade, pelas modificações que exercem nos meios de produção e por suas conseqüências no cotidiano das pessoas. Estudiosos do tema, como Lévy (1993), Borba e Penteado (2003), Costa (2001), Masseto (2000) e Valente (1999), mostram que escrita, leitura, visão, audição, criação e aprendizagem são influenciados, cada vez mais, pelos recursos da informática. Nesse cenário, inserem-se mais um desafio para a escola, ou seja, o de como incorporar ao seu trabalho, tradicionalmente apoiado na oralidade e na escrita, novas formas de comunicar e conhecer. Por outro lado, também é fato que as calculadoras, computadores e outros elementos tecnológicos estão cada vez mais presentes nas diferentes atividades da população. De acordo com os PCN s, (p 125) uso desses recursos traz significativas contribuições para se repensar o processo de ensino e aprendizagem de Matemática à medida que: Relativiza a importância do cálculo mecânico e da simples manipulação simbólica, uma vez que por meio de instrumentos esses cálculos podem ser realizados de modo mais rápido e eficiente; Evidencia para os alunos a importância do papel da linguagem gráfica e de novas formas de representação, permitindo novas estratégias de abordagem de variados problemas; Possibilita o desenvolvimento, nos alunos, de um crescente interesse pela realização de projetos e atividades de Anais do 4

5 investigação e exploração como parte fundamental de sua aprendizagem; Permite que os alunos construam uma visão mais completa da verdadeira natureza da atividade Matemática e desenvolvam atitudes positivas diante de seu estudo. Embora os computadores ainda não estejam amplamente disponíveis para a maioria das escolas, eles já começam a integrar muitas experiências educacionais, prevendo-se sua utilização em maior escala a curto prazo. Eles podem ser usados nas aulas de Matemática com várias finalidades: Como fonte de informação, poderoso recurso para alimentar o processo de ensino e aprendizagem; Como auxiliar no processo de construção de conhecimento; Como meio para desenvolver autonomia pelo uso de softwares que possibilitem pensar, refletir e criar soluções; Como ferramenta para realizar determinadas atividades - uso de planilhas eletrônicas, processadores de texto, banco de dados etc. Além disso, o computador pode ser um grande aliado no desenvolvimento cognitivo dos alunos, principalmente na medida em que possibilita a metodologia de um trabalho que se adapta a distintos ritmos de aprendizagem e permite que o aluno aprenda com seus erros. Por outro lado, o bom uso que se possa fazer do computador na sala de aula também depende da escolha de softwares, em função dos objetivos que se pretende atingir e da concepção de conhecimento e de aprendizagem que orienta o processo. As experiências escolares com o computador também têm mostrado que seu uso efetivo pode levar ao estabelecimento de uma nova relação professor-aluno, marcada por uma maior proximidade, interação e colaboração. Isso define uma nova visão do professor, que longe de considerar-se um profissional pronto, ao final de sua formação acadêmica, tem de continuar em formação permanente ao longo de sua vida profissional. Anais do 5

6 Portanto, afastando-se a proposição de que o computador viria substituir o professor, seu uso, sobretudo, reforça o papel do professor na preparação, condução e avaliação do processo de ensino e aprendizagem. b) GEOMETRIA ESPAÇO E FORMA De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais, os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de Matemática da educação básica, porque, por meio deles, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. O estudo da Geometria é um campo fértil para trabalhar com situações-problema e é um tema pelo qual os alunos costumam se interessar naturalmente. O trabalho com noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois estimula o aluno a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades etc. O trabalho com espaço e forma pressupõe que o professor de Matemática explore situações em que sejam necessárias algumas construções geométricas com régua e compasso, como visualização e aplicação de propriedades das figuras, além da construção de outras relações. Além disso, é fundamental que os estudos do espaço e forma sejam explorados a partir de objetos do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, de modo que permita ao aluno estabelecer conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento. ELABORAÇÃO DAS ATIVIDADES A pesquisa, em desenvolvimento, consiste em criar atividades no Geogebra para apoio ao estudo de conceitos da Geometria Plana. Foram elaboradas as seguintes atividades: 1ª) Atividade de introdução conhecendo o Geogebra Conteúdo: Área do Retângulo e do Triângulo. 2ª) Uma propriedade para a área do triângulo. 3ª) Exploração do Teorema de Pitágoras. 4ª) Soma dos ângulos internos de um polígono qualquer. 5ª) Pontos notáveis do triângulo. Anais do 6

7 6ª) Razão Áurea. Neste artigo, será apresentada a 5ª atividade relativa aos Pontos Notáveis do Triângulo, com investigação dos seguintes conteúdos: a) O Baricentro b) Um lugar geométrico para o Baricentro. c) Outra propriedade para o Baricentro. d) O Incentro. e) Uma propriedade para o Incentro. f) Circunferência Exinscritas Exincentros. g) O Circuncentro h) O Ortocentro i) Propriedade interessante envolvendo o ortocentro. j) Um lugar geométrico interessante (Ortocentro) l) A reta de Euler. Em cada atividade foram levantados os Objetivos que se deseja cumprir. Nesta atividade apresentada os objetivos foram os seguintes: identificar, utilizando os recursos computacionais do Geogebra as propriedades dos Pontos Notáveis do Triângulo. (Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro); aplicar os conhecimentos adquiridos nas propriedades dos Pontos Notáveis do Triângulo, para construção de aplicações sobre o lugar geométrico para o Baricentro, Circunferância Exinscritas Exincentros, propriedade envolvendo o ortocentro, lugar geométrico para o ortocentro e a Reta de Euler ; associar as propriedades dos Pontos Notáveis do Triângulo aos recursos visuais e computacionais do Geogebra, que podem ser utilizados como instrumentos para realização de demonstrações, mantendo-se as propriedades dos Pontos Notáveis do Triângulo. Anais do 7

8 TAREFAS A REALIZAR NA ATIVIDADE DE PONTOS NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO. O BARICENTRO O aluno vai encontrar, com o auxílio das ferramentas do Geogebra, o Ponto Notável do Triângulo chamado baricentro (que é o encontro das medianas de um triângulo). Para isso, o aluno vai primeiramente construir no Geogebra um triângulo ABC. Depois selecionar os pontos médios de cada lado do triângulo, ligar esses pontos médios em cada vértice oposto aos pontos médios. A intersecção dessas três retas é o que chamamos de baricentro (G) do triângulo. UM LUGAR GEOMÉTRICO PARA O BARICENTRO O aluno vai primeiramente criar um triângulo ABC e construir o baricentro (G) do triângulo ABC. Depois o aluno vai construir uma reta passando pela base AC e outra reta paralela a AC passando por B. Feito isso, o aluno vai criar uma reta p paralela a AC passando pelo baricentro (G). Tudo isso, para verificar que quando o vértice B do triângulo ABC se desloca sobre uma reta paralela a base, o baricentro (G) se desloca sobre a reta p que é paralela a base do triângulo. OUTRA PROPRIEDADE PARA O BARICENTRO O aluno vai primeiramente criar um triângulo ABC e construir o baricentro (G) do triângulo ABC. Depois o aluno vai construir uma reta paralela ao segmento BC passando pelo baricentro(g) em seguida vai construir uma reta paralela ao segmento AB passando pelo baricentro (G) com isso o aluno vai verificar a seguinte propriedade: As paralelas a dois lados de um triângulo que passam pelo baricentro (G) dividem o terceiro lado em três partes iguais. O INCENTRO O aluno vai encontrar com o auxílio das ferramentas do Geogebra o Ponto Notável do Triângulo chamado incentro (I), que é o encontro das bissetrizes de um triângulo. Para isso, o aluno vai primeiramente construir no Geogebra um triângulo ABC, depois criar as bissetrizes do triângulo. Os pontos de intersecção dessas três retas bissetrizes é o que chamamos de incentro (I). Anais do 8

9 UMA PROPRIEDADE PARA O INCENTRO O aluno vai primeiramente ler o que diz o enunciado da propriedade e logo em seguida vai com o auxílio da figura construir a propriedade. O aluno vai também deformar a figura para verificar se a propriedade continua valendo. CIRCUNFERÊNCIA EXINSCRITAS EXINCENTROS Essa atividade é uma aplicação do ponto notável do triângulo incentro. É também um desafio para o aluno. Para construir essa figura, primeiramente teremos que encontrar o incentro e depois os três pontos externos que eqüidistam dos lados do triângulo. Essa atividade vai exigir uma grande habilidade com o software por parte do aluno. O CIRCUNCENTRO O aluno vai encontrar com auxílio das ferramentas do Geogebra o Ponto Notável do Triângulo chamado de circuncentro, que é o encontro das mediatrizes de um triângulo. Para isso, o aluno vai primeiramente construir no Geogebra um triângulo, depois criar as mediatrizes do triângulo, Os pontos de interseção dessas três retas mediatrizes, é o que chamamos de circuncentro. O ORTOCENTRO O aluno vai encontrar com o auxílio das ferramentas do Geogebra o Ponto Notável do Triângulo chamado de ortocentro, que é o encontro das alturas de um triângulo. Para isso, o aluno primeiramente construir no Geogebra um triângulo ABC, depois criar as alturas em cada lado do triângulo obtendo a reta perpendicular à base passando pelo vértice. Fazendo isso com os outros dois lados, vamos obter o encontro (intersecção) dessas três retas que é o que chamamos de ortocentro. PROPRIEDADE INTERESSANTE ENVOLVENDO O ORTOCENTRO O aluno vai construir um triângulo ABC cujo ponto notável seja o ortocentro para verificar a seguinte propriedade: Anais do 9

10 As paralelas aos lados de um triângulo ABC que passam pelos vértices opostos, formam um triângulo A B C em que A B = 2 AB, A C = 2 AC e B C = 2BC, em que A, B e C são os pontos médios de B C, A C e A B, respectivamente. Como conseqüência, as alturas do triângulo [ABC] são as mediatrizes de [A'B'C']. As três alturas de um triângulo (que são afinal mediatrizes de outro triângulo) cortam-se num ponto H. No entanto, o aluno, no final da atividade vai concluir que: H é o ortocentro do triângulo [ABC] e o circuncentro de [A'B'C']. UM LUGAR GEOMÉTRICO INTERESSANTE (ORTOCENTRO) O aluno terá oportunidade de verificar uma propriedade interessante para o ortocentro. Quando um vértice (no caso da figura B ) de um triângulo ABC se desloca sobre uma paralela ao lado oposto A C, o ortocentro (H) sempre descreve uma parábola. Para fazer esta verificação o aluno deverá seguir os seguintes passos: Primeiro vai criar um pono A, na janela de construção do Geogebra. Depois uma reta (b) paralela ao eixo das abscissas. Depois criar um triângulo cujo ponto notável seja o ortocentro. Logo em seguida, irá habilitar a função rastro no ponto (H) e mover o ponto B para descrever uma parábola. A RETA DE EULER Essa tarefa se torna muito interessante porque o aluno terá a possibilidade de num mesmo triângulo, plotar os pontos notáveis: baricentro (G) encontro das medianas do triângulo -, circuncentro (C) encontro das mediatrizes do triângulo - e o ortocentro (O) encontro das alturas do triângulo. Quando o aluno terminar a construção desses três pontos notáveis C, G e O ele terá a possibilidade de verificar através da deformação do triângulo, que estes três pontos notáveis estarão sempre alinhados. Anais do 10

11 Concluindo, as seis atividades que compõem a pesquisa estão sendo aplicadas em turmas do ensino médio, para testar a sua validade e poderão ser reformuladas a partir da análise dos resultados obtidos. REFERÊNCIAS BORBA, Marcelo de Carvalho: PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais (Ensino fundamental e Ensino Médio). Secretaria de educação - Brasília: MEC/SEMT, LÉVY, Pierre. As Tecnologias da Inteligência o futuro do pensamento na era da informática. Rio de Janeiro: Ed LORENZATO, S. Por que não Ensinar Geometria? A Educação Matemática em Revista, Ano III, n. 4, 1º semestre, Blumenau: SBEM, MASSETO, Marcos T. e outros. Novas Tecnologias e Mediação Pedagógica. Campinas, SP. Papirus, OLIVEIRA, Celina Couto; COSTA, José Wilson da; MOREIRA, Mércia. Ambientes informatizados de aprendizagem: Produção e avaliação de software educativo Campinas, SP: Papirus, (Série Prática Pedagógica) PAVANELLO, R. M. O abandono do ensino da Geometria no Brasil: causas e conseqüências. Zetetiké. Campinas: UNICAMP/FE/CEMPEM. Ano 1, n. 1, março, pp. 7-17, SHULTE, Alberto P; LINDQUIST, Mary Montogomery. Aprendendo e ensinando geometria. Tradução de Hygino H. Domingues. São Paulo: atual, Anais do 11

12 VALENTE, José Armando; ALMEIDA, Fernando José. Visão Analítica da informática na educação no Brasil: a questão da formação do professor. MIED UNICAMP/ PUC SP Anais do 12