Cálculo I. Porque cursar esta disciplina? É fácil a aprendizagem? Tem como tornar mais fácil?

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1 Cálculo I Porque cursar esta disciplina? É fácil a aprendizagem? Tem como tornar mais fácil?

2 Problema 1 (O problema da caixa): Deseja-se construir uma caixa sem tampa a partir de uma folha retangular com 5 dm de comprimento e 4 dm de largura, retirando-se os quatro cantos e dobrando as abas restantes, conforme mostra a figura. Quais as dimensões da caixa de volume máximo?

3 canto retirado=quadrado de lado h (a) Qual o intervalo de variação de h? (b) Que valores pode ter o volume de uma caixa assim construída? Determine o volume V da caixa como função de h.

4 (a) Qual o intervalo de variação de h? (b) Que valores pode ter o volume de uma caixa assim construída? Determine o volume V da caixa como função de h.

5 x= 5-2h=? y= 4-2h=? x>0, y>0 h < 2 h> 0 (a) h (0,2) (b) V(1/2)=6 dm 3, V(1)= 6 dm 3, V(3/2)=3 dm 3, V(3/5)=6,384 dm 3. V= (5-2h)(4-2h)h

6 (a) h (0,2) (b) V(1/2)=6, V(1)= 6, V(3/2)=3, V(3/5)=6,384 V= (5-2h)(4-2h)h (c) O gráfico da figura 1 pode ser o da função V? Porque? Não, porque h (0,2)

7 (a) h (0,2) (b) V(1/2)=6, V(1)= 6, V(3/2)=3, V(3/5)=6,384 V= (5-2h)(4-2h)h (d) O gráfico da figura 2 pode ser o da função V? Porque? Sim, poderia porque satisfaz (a) e os valores obtidos para V.

8 (a) h (0,2) (b) V(1/2)=6, V(1)= 6, V(3/2)=3, V(3/5)=6,384 V= (5-2h)(4-2h)h (e) Sabendo-se que o gráfico da figura 2 é realmente o gráfico da função V do problema, estime o valor do volume máximo. V 6, 552 dm 3 quando h 0,7 dm.

9 (a) h (0,2) (b) V= (5-2h)(4-2h)h (f) Qual a característica geométrica especial do ponto do gráfico onde a função V atinge seu valor máximo? Reta tangente à curva no ponto P é horizontal m = 0

10 Coeficiente angular de reta tangente a uma curva y=f(x) Número real único m=tg α Derivada da função f

11 Porque cursar esta disciplina? Derivada (entre outros) Solução de problemas de otimização (máximo/mínimo) de funções Solução de muitos outros problemas

12 É fácil a aprendizagem? Tem como tornar mais fácil? CÁLCULO I Resolução de Problemas Equações, fatoração, desigualdades, etc Funções

13 Ensino Fundamental/Médio Questão Memória Exercício Treinar Algoritmos Cálculo I Problema Raciocínio, Síntese

14 Etapas de Resolução de um Problema Leitura e delimitação Modelagem matemática Escolha de um plano de estratégias para chegar à solução Execução do plano Validação dos resultados obtidos

15 Etapa 1: Leitura e delimitação do problema: ler cada frase, sublinhando dados relevantes identificação dos dados conhecidos e o objetivo do problema

16 Etapa 2: Modelagem matemática do problema: transformar os dados utilizando conceitos de variável independente, dependente, função, intervalo, conjuntos

17 Etapa 3: Escolha de um plano de estratégias para chegar à solução do problema Detalhes sobre as estratégias mais comuns em problemas de Cálculo I mais à frente.

18 Etapa 4: Execução do plano= Aplicação da(s) estratégia(s) para chegar à solução do problema: elos numa cadeia lógica de raciocínio, dependentes umas das outras etapas independentes cujas soluções conduzirão juntas ao resultado procurado

19 Etapa 5: Validação dos resultados obtidos: verificação crítica do trabalho realizado

20 Tipos de Estratégia Utilizar um esquema / diagrama / tabela / gráfico Organizar uma sequência de passos: para esgotar e visualizar todos os casos possíveis

21 Exemplo 1: Para ir a uma festa uma pessoa tinha disponíveis 1 calça vermelha e 1 calça azul e três camisetas, um amarela, uma verde e outra preta. De quantas maneiras distintas estas peças podem ser combinadas para produzir uma roupa para a festa?

22 Solução: 6 combinações possíveis Calça vermelha Camiseta amarela Camiseta verde Camiseta preta Calça azul Camiseta amarela Camiseta verde Camiseta preta

23 Tipos de Estratégia Desdobrar um problema complexo em questões mais simples

24 Exemplo 2: Para ir a uma festa uma pessoa tinha disponíveis 1 calça vermelha e 1 calça azul, três camisetas, um amarela, uma verde e outra preta e 3 sapatos, 1 preto, 1 marrom e 1 azul. De quantas maneiras distintas estas peças podem ser combinadas para produzir uma roupa para a festa?

25 Solução: desdobrar em dois problemas mais simples o do exemplo 1, com 6 combinações para cada uma, 3 sapatos possíveis Logo, há 18 combinações possíveis.

26 Tipos de Estratégia Trabalhar do fim para o princípio: quando se conhece o ponto final e se quer encontrar o ponto inicial

27 Exemplo 3:Uma criança levou para a escola um saco de biscoitos para dar aos amigos. Deu metade dos biscoitos que tinha no saco ao primeiro grupo de amigos que encontrou ao chegar. Depois encontrou mais amigos e deu metade dos que ainda tinha. E assim chegou à sala dele já só com 20 biscoitos, um para cada colega. Quantos biscoitos havia no saco, antes de ser aberto?

28 Solução: raciocínio reverso Quantidade final= 20 biscoitos Deu metade do que tinha para segundo grupo de amigos, logo tinha 40 Só que, ao chegar, tinha distribuído metade dos que tinha, então só poderia ter 80 biscoitos. Esta é a quantidade total de biscoitos no saco, antes de ser aberto: 80 biscoitos.

29 Tipos de Estratégia Simular / Simplificar o problema: criação de um modelo para a situação recorrendo a objetos

30 Exemplo 4:Uma pessoa guarda suas meias todas desarrumadas numa gaveta em seu quarto. Ela sabe que tem 1 par de meias marrons, 1 par de meias pretas e 1 par de meias brancas, todas do mesmo modelo. Supondo que a pessoa precise escolher um par de meias da mesma cor, sem acender a luz do quarto, qual o menor número de meias que deve tirar da gaveta para que, quando sair do quarto para um local iluminado, tenha com certeza um par da mesma cor?

31 Solução: Simulando a retirada de meias, supondo o pior cenário, se tirar 3 meias da gaveta, poderá haver 1 de cada uma das 3 cores. Se tirar pelo menos 4, haverá cor repetida, portanto, 2 da mesma cor. Então a solução é: 4 meias.

32 Tipos de Estratégia Descobrir uma regra ou padrão: a partir de casos específicos, obter uma generalização. Criar um problema equivalente: quando o problema tem números grandes, considerar primeiro com números menores, de modo que seja mais simples de representar. Descobrir casos particulares: consiste em resolver um problema do mesmo tipo, caso particular daquele que se quer resolver.

33 Exemplo 5: Dobra-se uma folha de papel retangular ao meio, e repete-se o processo em seguida, várias vezes. Em quantas partes a folha de papel original fica dividida, se a folha for dobrada 10 vezes?

34 Solução: primeira estratégia (tabela) problema equivalente, com um número menor de dobras lei de formação Dobras n 10 Partes n 1024

35 Tipos de Estratégia Procurar um problema análogo mais simples: resolvendo o mais simples, pode-se descobrir mais facilmente como chegar à solução do problema original

36 Exemplo 6: Suponha que há um certo número de coelhos e de galinhas numa gaiola, totalizando 7 cabeças e 22 patas. Quantos coelhos e galinhas estão na gaiola? Solução: Só galinhas 7 7 cabeças e 14 patas; São 22 patas 8 patas sobrando; 2 patas a mais para cada animal (que não será galinha, mas coelho) 4 animais com 4 patas. Então são 4 coelhos e 3 galinhas.

37 Estratégias mais comuns Utilizar um esquema / diagrama / tabela / gráfico Organizar uma sequência de passos: para esgotar e visualizar todos os casos possíveis Desdobrar um problema complexo em questões mais simples Trabalhar do fim para o princípio: quando se conhece o ponto final e se quer encontrar o ponto inicial Simular / Simplificar o problema: criação de um modelo para a situação recorrendo a objetos Descobrir uma regra ou padrão: a partir de casos específicos, obter uma generalização Criar um problema equivalente: quando o problema tem números grandes, considerar primeiro com números menores, de modo que seja mais simples de representar. Descobrir casos particulares: consiste em resolver um problema do mesmo tipo, mas que corresponda a um caso particular daquele que se quer resolver. Procurar um problema análogo mais simples: resolvendo o mais simples, pode-se descobrir mais facilmente como chegar à solução do problema original

38 Problemas envolvendo funções, suas representações e propriedades; Não necessitam nenhum conhecimento de Cálculo I; Utilizar as 5 etapas; Escolher estratégia (s).

39 Problema 2: Uma formiga anda sobre o contorno de um retângulo ABCD, com vértices A, B, C, D, no sentido anti-horário, sendo A o vértice inferior esquerdo. Ela parte do ponto A, ao andar 20 cm chega ao vértice B, depois se andar mais 10 cm chega ao vértice C e finaliza seu trajeto andando mais 20 cm e chegando em D. A partir de A, se ela andar x cm, a formiga estará em um ponto F do contorno. a) Determine a função que associa o comprimento x ao valor da área do triângulo ADF. b) Determine x para que a área seja máxima.

40 Solução: Etapa 1 Dados conhecidos: AD = BC = 10cm, AB = CD =20cm, x= distância de A até F, ao longo do contorno (variável independente). A determinar: a função f(x)= área do triângulo ADF e o valor de x para que f(x) tenha valor máximo. triângulo ADF, se a formiga estiver em algum ponto do lado AB

41 Solução: Etapa 2 Note que x varia à medida que a formiga anda de A até D. Os valores possíveis para x são: x є [0,50].

42 Solução: Etapa 3 utilizar a estratégia de separar o problema em 3 casos, quando a formiga estiver no lado AB, no lado BC e no lado CD. Verificar que o tipo de triângulo é o mesmo, quando a formiga estiver num lado, assim a fórmula de área de triângulo fornecerá um resultado para cada caso.

43 Solução: Etapa 4:Formiga no lado AB xє[0, 20], o triângulo ADF é retângulo, relativo ao vértice A. Tomando como base o lado AF, que tem medida x, a altura será AD=10, logo a área será f(x)= x.10 2 = 5x

44 Solução: Etapa 4:Formiga no lado BC xє[20, 30], o triângulo ADF não é mais retângulo, mas tem sempre a mesma base, AD=10 e a mesma altura, CD=AB=20. Logo a área será f(x)= = 100

45 Solução: Etapa 4:Formiga no lado CD xє[30, 50], triângulo ADF é retângulo, reflexão de outro quando a formiga está em AB. Como a função área, no lado AB tem como gráfico um segmento de reta, o mesmo ocorrerá agora. Quando a formiga está em D, x=50 e f(50)=0; quando está em C, satisfaz a outra expressão, isto é, f(30)=100. Os extremos do segmento de reta são (50,0) e (30,100). y 0 x 50 = => y=5 (50-x)= f(x)

46 Solução: Etapa 4 Área máxima: 100cm 2, obtida quando a formiga estiver em qualquer ponto do lado BC: 20 cm x 30 cm.

47 Solução: Etapa 5 O gráfico da função área quando xє[30, 50] é de fato uma reflexão do caso em que xє[0, 20] Quando a formiga está nos pontos A, ou D, o triângulo tem área zero, conforme mostra o gráfico Quando a formiga está no ponto B, que pertence AB e a BC, e no ponto C, que pertence a BC e CD, os valores das duas sentenças coincidem.

48 Observações 1) há mais de uma forma de chegar à solução correta; 2) existe uma infinidade de pontos de máximo da função área. Conteúdos relembrados área de triângulos; domínio e imagem de função; equação da reta que passa por dois pontos dados; função constante; simetria; gráfico de funções do 1º grau; função definida por várias sentenças.

49 Problema 3: Um criador de gado leiteiro necessita de um hectare de área de pasto para cada vaca. Cada uma produz 4500 litros de leite por ano, em média, que é vendido a R$0,20 o litro. Este produtor tem um gasto anual fixo de R$ ,00 com a manutenção do processo de coleta e transporte de leite. Um criador de gado de corte produz 250 kg de carne de gado (peso médio de 1 vaca por ocasião do abate) por hectare necessário a ela, por ano, e vende a R$0,80 o quilo, sem custos adicionais. (a) Determine a função maior lucro (em gado de corte ou leiteiro), correspondente à área destinada ao gado. (b) Qual o número mínimo de vacas que ele deve possuir, para que o maior lucro anual seja obtido com gado leiteiro?

50 Solução: Etapa 1 Tipo Quantidade (Gado) (unidades) Leiteiro 1 Área (hectares) Rendimento (por ano) Preço (reais) De corte 1 Tipo Quantidade Área Rendimento (por Preço (Gado) (unidades) (hectares) ano) (reais) Leiteiro l/ano R$ 0,20/l De corte kg/ano R$ 0,80/kg

51 Solução: Etapa 2 Lucro = receita custo

52 Solução: Etapa 3 separar o problema em partes, determinar o lucro com gado leiteiro, o lucro com gado de corte, fazer o gráfico de cada função, determinar o gráfico da função maior lucro Determinar a função maior lucro

53 Solução: Etapa 4- Lucro com gado leiteiro x= número de hectares para pasto de vacas leiteiras por ano Venda= 0, x = 900 x Custo=R$ ,00 Lucro: 900x Função afim: gráfico reta x= hectares: x 0 Pontos do segmento de reta: A(0,-20000) e B( 20000,0) 9

54 Solução: Etapa 4- Lucro com gado de corte x= número de hectares para pasto de gado de corte por ano Venda=0, x = 200 x Custo=0 Lucro: 200x Função linear: gráfico reta x= hectares: x 0 Pontos do segmento de reta: A(0, 0) e B(1,200)

55 Solução: Etapa 4- Gráfico das duas funções e da função maior lucro

56 Solução: Etapa 4- função maior lucro f(x) = 200x, se 0 x x 900x , se x > x Se forem x hectares, o lucro será igual 200x = 900x x= 28, 6 hectares f(x) = 200x, se 0 x 28,6 900x , se x > 28,6

57 Solução: Etapa 4 e Etapa 5- número mínimo de vacas para o maior lucro ser com gado leiteiro Domínio: xє{0,1,.., 28, 29, 30,...}. Número mínimo de vacas para maior lucro ocorrer com gado leiteiro 29 vacas

58 Problema 4: Num certo país, o imposto de renda é cobrado da seguinte forma: os que têm rendimento bruto até u.m. (unidades monetárias) anuais são isentos; aos que possuem rendimento bruto anual acima de u.m. até u.m., cobrase um imposto de 10% sobre o total da renda; acima de u.m. de rendimento bruto anual, o imposto é de 20% sobre o total da renda. a) Determine o valor do imposto de duas pessoas, uma com rendimento bruto anual de 5500 u.m. e a outra com 6100 u.m. e compare a renda líquida das duas. b) Determine a expressão algébrica e esboce o gráfico da função que relaciona o rendimento bruto anual com o imposto cobrado. c)determine a expressão algébrica e esboce o gráfico da função que relaciona a renda bruta com a renda líquida correspondente. Analise os resultados sob o ponto de vista de justiça social.

59 Solução: (a) Renda Líquida = Renda Bruta - IR Renda Bruta Anual (u.m.) Imposto de Renda (% da Renda Bruta Total) 0 até Acima de 1500 até Acima de : segunda faixa de Renda Bruta, então IR 10% = 550u.m. Renda líquida = = 4950 u.m. 6100: terceira faixa de Renda Bruta, então IR 20%=1220u.m. Renda Líquida= =4880 u.m Renda Bruta aumentou, mas a Renda Líquida diminuiu!

60 Solução (b): x = renda bruta F(x) = imposto a pagar F(x)= x 0, x 1500, 1500 < x x 5, x > 6000

61 Solução (c): Renda Líquida= Renda Bruta - IR x= Renda Bruta F(x)= IR G(x)=x-F(x) = Renda Líquida G(x)= x, x 1500 x x, < x 6000 x x, 5 x > 6000

62 Problema 5: No Brasil, o imposto de renda está sendo cobrado em 2018 da seguinte forma: os que têm rendimento mensal até R$1.903,98 ficam isentos; os que possuem renda entre R$1.903,99 e R$2.826,65, pagam um imposto de 7,5% sobre o que exceder R$1.903,98; os que possuem renda entre R$2.826,65 e 3.751,05, pagam também um imposto de 15% sobre o que exceder R$2.826,65; os que possuem renda entre R$3.751,05 e R$4.664,68, pagam também um imposto de 22,5% sobre o que exceder R$3.751,05; os que possuem renda superior a R$4.664,68, pagam também um imposto de 27,5% sobre o que exceder R$4.664,68. a)determine a expressão algébrica e o gráfico da função que associa a cada valor de rendimento bruto mensal o imposto de renda cobrado. b) Explique a coluna parcela a deduzir do imposto da tabela ao lado.

63 Solução de (a): x = rendimento mensal bruto e F(x)= Imposto cobrado Se x 1903,98 então F(x)=0 Se 1903,99 < x 2826,65 então F(x) = 7,5 100 (x-1903,99)= 7,5 100 x 142,80. Se 2826,65 < x 3751,05 então F(x)= 7,5 15 (2826, ,99) + (x-2826,65) F(x)=69, (x-2826,65)= x- 354, Se 3751,05 < x 4664,68 então F(x)= 15 (3751,05)- 354,80+22,5 100 F(x)= 22,5 100 x-636, (x- 3751,05) Se x > 4664,68 então F(x)= 22,5 100 (4664,68)+27,5 27,5 (x-4664,68)= x-869,

64 F(x)= 0, x 1903,98 7, , ,5 100 x 142,80, 1903,99 < x 2826,65 x 354,80, 2826,65 < x 3751,05 x 636,13, 3751,05 < x 4664,68 x 869,36, x > 4664,68

65 Gráfico da função F

66 Solução de (b): A parcela a deduzir : é o tamanho do salto que haveria se a taxa de imposto fosse aplicada a todo o rendimento e não à parte que excede a faixa. Transforma a expressão algébrica de cada sentença, de linear em afim, transladando o gráfico para baixo para colar as partes. A parcela a deduzir representa a translação.

67 Atividades e problemas relacionados a estes tópicos Bianchini, W., Cálculo I, disponível em /index.html Rocha, A. S., Pré-cálculo, site disponível em