Matemática - Combinatória

Transcrição

1 Matemática - Combinatória André Koga 1 Introdução Com o objetivo de ajudar quem pretende participar de olimpíadas científicas de matemática como a OBM e a OBMEP, esse curso de combinatória mostrará diferentes técnicas para a resolução de problemas desse tema. A introdução tem, por sua vez, o intuito de esclarecer as principais ferramentas que serão utilizadas para encarar os problemas, de forma que o leitor possa discernir sobre quais métodos usar em quais momentos. Os temas que serão abordados serão: Contagem Princípio da Casa dos Pombos (ou PCP) 1

2 Teoria dos Jogos Grafos Invariantes Princípio do Extremo Veremos agora problemas que se encaixam nos dois primeiros tópicos: 2 Problemas Introdutórios 1- (Contagem) Suponha que você possui um quadro que deseja pintar com uma cor e com uma textura. Ainda mais, você possui três opções de cores: azul, vermelho e roxo, e dois padrões: listrado e pontilhado. Quantas são as combinações possíveis de cor e textura? Solução: Note que é possível solucionar esse problema manualmente. Chamando as cores respectivamente de a, v e r para facilitar, e chamando os padrões de L e P, temos as possíveis combinações: Assim, teremos seis combinações (La, Lv, Lr, Pa, Pv e Pr). Esse método é válido, porém pouco prático para combinações gigantescas. Se no problema tivéssemos 100 cores e 50 padrões, por exemplo, seria muito demorado criar uma tabela para cada combinação. Para problemas que requerem combinações e contagem da quantidade de possibilidades, utilizamos a ferramenta de mesmo nome Contagem. No problema 1, por exemplo, para cada cor usada teremos dois padrões possíveis. Ou seja, como temos três cores, teremos = 2 x 3 = 6 combinações no total. Se tivéssemos 100 cores e 50 padrões, teríamos 50 padrões para cada cor usada, ou seja, = 100 x 50 = 5000 combinações no total. Note que a resposta é simplesmente a multiplicação da quantidade de cada tipo. Esse é o que chamamos de princípio multiplicativo, muito utilizado para a resolução de problemas desse formato. 2- (Contagem) Um garoto deseja comprar um sanduíche no Subwei, uma rede de fast-food muito famosa. Nele, o cliente pode escolher os ingredientes que serão usados dentre três tipos de pães, dois tipos de salada, cinco tipos de proteína e sete tipos de condimentos. Supondo que o garoto vá escolher um de cada tipo, quantas combinações diferentes de sanduíche ele poderia criar? 2

3 Solução: De mesma forma que o problema anterior utilizaremos o princípio multiplicativo. Assim, ao invés de testar cada combinação manualmente, basta calcular 3 x 2 x 5 x 7 = 210. Assim, o garoto pode criar 210 sanduíches diferentes. Se tivéssemos 3 tipos de salada ao invés de 2, a conta se tornaria 3 x 3 x 5 x 7 = 315 combinações. Simples, certo? 3- (PCP) Pedro, que ama comer, quer comer 15 brigadeiros nessa semana. Sua mãe, porém, se preocupa com sua saúde, e portanto o obrigou a ingerir no máximo dois brigadeiros por dia. É possível que Pedro realize seu desejo sem descumprir a ordem da mãe? Solução: A princípio, parece razoável testar caso a caso. Porém, de mesma forma que os problemas anteriores, resolver manualmente problemas se torna praticamente impossível conforme os casos aumentam de tamanho. Dessa forma, como poderemos resolver esse problema? Primeiramente, note que a mãe o obrigou a comer dois brigadeiros por dia no máximo. Oras, mas se Pedro comer dois por dia teremos apenas 2 x 7 = 14 brigadeiros ingeridos no final da semana, sobrando um último. Note que 2 x = 15. Esse um, que representa o brigadeiro restante, implica que, caso Pedro coma todos os brigadeiros na semana, ele obrigatoriamente estará descumprindo a ordem. Mas descumprir a ordem da mãe significa que, em algum dos dias pelo menos, ele comeu mais de dois brigadeiros. Assim, Pedro não conseguirá cumprir a ordem de sua mãe e seu desejo simultaneamente. Perceba que a lógica utilizada envolve a conta 2 x = 15. Se ele quisesse comer 14 brigadeiros por semana, por exemplo, teríamos 2 x 7 = 14, e esse + 1 some. Assim, ele pode comer 14 brigadeiros por semana sem problemas, basta comer 2 doces por dia. Da mesma forma, se ele quisesse comer 17 brigadeiros, teríamos 2 x = 17, sendo que esse + 3 implica que Pedro não poderá comer todos os doces. Se a mãe o obrigasse a comer no máximo 4 brigadeiros por dia ao longo de um mês de 30 dias, por exemplo, e Pedro quisesse comer 121 brigadeiros, seria possível? Novamente, pelo PCP temos que 4 x = 121, e novamente não será possível, pois temos um sobrando. Se ele quisesse comer 120 ou menos, porém, seria completamente possível. O Princípio da Casa dos Pombos, portanto, busca solucionar problemas que envolvem limitações da quantidade de certa coisa, item ou evento no problema. 4- (PCP) Se temos cinco caixas e dezesseis bolas, é possível colocar as bolas nas caixas de modo que não haja recipiente com mais de três itens? Se não for 3

4 possível, quantas bolas a caixa mais ocupada terá pelo menos? Solução: Novamente pelo PCP, temos que 5 x = 16. Assim, não é possível. Além disso, para a segunda pergunta temos que a caixa mais ocupada terá sempre, pelo menos, 4 bolas. Isso é porque, ao calcularmos 5 x 3, estamos calculando a quantidade de bolas permitidas no máximo. Oras, mas o máximo significa que cada caixa está cheia até o permitido, que é 3. Assim, adicionando uma bola ao conjunto significa que, onde quer que ela seja colocada, acabaremos ultrapassando o limite de ao menos uma das caixas, o que significa que teremos 4 bolas ao menos na caixa mais cheia. Se tivéssemos 25 bolas e 4 caixas, a caixa mais ocupada teria ao menos 7 bolas, pois 25 = 4 x Ou seja, se tivéssemos 24 itens, cada caixa poderia ter 6 no seu interior pois 4 x 6 = 24. Porém, adicionando mais um implica que um dos recipientes ultrapassará essa quantidade, tendo portanto 7 bolas no mínimo. 3 Problemas Abaixo temos alguns problemas para que o leitor possa treinar as ferramentas recém aprendidas. Note que é possível encontrar outros problemas desse mesmo formato nas plataformas da OBMEP, POTI e OBM 5 - Temos 5 moedas e 3 notas, todas distintas. Quantas combinações moedanota teremos? E se tivéssemos m moedas e n notas? 6 Arnaldo, Bernaldo e Cernaldo estão numa fila, um atrás do outro, não necessariamente nessa ordem. De quantas formas eles podem se posicionar? E se tivéssemos n pessoas numa fila, de quantas formas elas poderiam se posicionar? 7 Marcos quer criar uma palavra com as letras A, B, C, D, E e F (uma de cada apenas), sem se importar se a palavra existe ou não. Quantas palavras diferentes ele pode criar? 8 Quantas pessoas precisamos, no mínimo, para termos certeza que três delas nasceram no mesmo mês? E para termos certeza que n pessoas nasceram no mesmo mês? 9 Temos quatro chaves e quatro portas. Quantos testes no mínimo são necessários para descobrir qual chave é de qual porta? E para n chaves e n portas? 4

5 10 Se na semana de provas de uma escola temos quinze provas diferentes, e elas podem ser realizadas de segunda a sábado, terá algum dia com mais de duas provas? Se sim, quantos dias no mínimo terão mais de duas provas? E no máximo? 4 Soluções 5 - Se precisamos calcular a quantidade de pares moeda-nota possíveis, note que temos 5 moedas e 3 notas, ou seja, 5 x 3 combinações no total, resultando em 15 pares distintos. Analogamente, teremos m x n pares para a segunda pergunta. 6 - Como temos três pessoas, temos três possibilidades para preencher a primeira vaga. Após a mesma ser ocupada, a segunda vaga terá duas pessoas livres que a podem preencher. Por fim, a terceira vaga será ocupada pela restante. Ou seja, temos 3 x 2 x 1 possibilidades no total, resultando em 6. Para n pessoas seguimos a mesma lógica, obtendo n x (n-1) x (n-2) x... x 1 = n! (lê-se n fatorial, sendo n! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x... x n, com n natural) 7 - Seguindo a resposta generalizada do problema 6, teremos 6! palavras diferentes (pois temos 6 letras distintas que deverão ser dispostas "numa fila" por assim dizer, resultando em lógica semelhante à do problema anterior) 8 - Primeiramente, considere que um ano possui 12 meses. Queremos a quantidade mínima de pessoas, portanto teremos que, por PCP, determinar o menor número que se adeque aos requisitos. Se tivéssemos 2 pessoas por mês, teríamos um total de 24 pessoas. Ou seja, 2 x 12 = 24. O que acontece se adicionarmos a 25 a pessoa? Oras, como 25 = 2 x , esse +1 implica que em algum dos meses pelo menos teremos 3 pessoas, como explicado nos problemas 3 e 4. Assim, a menor quantidade é 25. Para n pessoas, por sua vez, suponha que temos 12(n - 1) indivíduos. Como 12(n - 1) = 12 x (n - 1), temos que 12(n - 1) não é a resposta certa ainda, pois poderíamos simplesmente ter n - 1 pessoas que fazem aniversário em cada mês exatamente, e portanto o enunciado não seria cumprido. Mas, se adicionássemos mais uma pessoa, teremos que 12(n - 1) + 1 = 12 x (n - 1) + 1, de forma que essa última pessoa implica que em algum dos meses pelo menos teremos n aniversariantes. Ou seja, a resposta será sempre 12(n - 1) + 1 5

6 9 - Para a primeira porta, teremos 4 chaves que podem ser testadas. Mas note que, se as 3 primeiras chaves falharem, nem precisamos checar a última, pois ela obrigatoriamente funcionará. Seguindo a lógica, na primeira porta teremos 3 testes, na segunda porta 2, na terceira apenas 1 e a quarta porta nem necessitará. Assim, a resposta é igual a = 6. Para n chaves e portas, por sua vez, teremos n testes a serem realizados Como temos 6 dias para 15 provas, e 15 = 6 x 2 + 3, obrigatoriamente, devido a esse + 3, teremos ao menos um dia com mais de duas provas. Por sua vez, teremos no mínimo apenas um dia com mais de duas provas (é fácil checar; se a escola fosse louca o suficiente e desejasse que todos os testes fossem realizados no mesmo dia, por exemplo, teríamos apenas um dia com mais de duas provas). Por fim, a última pergunta é uma pegadinha. Não é necessário utilizar nem contagem, nem PCP. Basta notar que 15 dividido por 3 é igual a 5. Ou seja, podemos ter 5 dias com mais de duas provas, basta cada um ter 3 provas (sim, e um dos dias não terá nenhum teste) 6