FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO LICENCIATURA EM ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA E DE COMPUTADORES. Apontamentos das Aulas Teóricas

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1 FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO LICENCIATURA EM ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA E DE COMPUTADORES Análise Matemática 3 Equações Diferenciais Apontamentos das Aulas Teóricas Maria do Rosário de Pinho e Maria Margarida Ferreira Edição revista. Agosto 2004

2 Nota Estas notas poderão ter algumas incorrecções. Os autores agradecem que estas lhes sejam comunicados. Agradecem-se também quaisquer sugestões para melhorar a exposição. Pede-se aos alunos que verifiquem todos os cálculos aqui apresentados.

3 Índice 1 Introdução Noções Básicas Equações Diferenciais: Algumas Definições Equações Diferenciais de Primeira Ordem Campos de Direcções Existência e Unicidade de Solução Resolução de Equações Diferenciais Equações de Variáveis Separadas Equações Diferenciais Homogéneas Equações Redutíveis a Equações Homogéneas Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem Equação de Bernoulli Equações Diferenciais Exactas Equações Diferenciais Redutíveis a Exactas Aplicações de Equações Diferenciais de Ordem Um Equações Diferenciais Lineares de Ordem N Conceitos Fundamentais Operadores Diferenciais Wronskiano

4 ÍNDICE Equações Diferenciais Lineares Homogéneas de Coeficientes Constantes de Ordem Equações Diferenciais Lineares Homogéneas de Coeficientes Constantes de Ordem N Equações Diferenciais Não Homogéneas de Coeficientes Constantes Redução de Ordem de uma Equação Diferencial Linear de Ordem N Sistemas de Equações Diferenciais Introdução Sistema Linear de Equações Diferenciais Solução de Sistemas Lineares Invariantes no Tempo Conceitos de Álgebra Linear: Formas de Jordan Cálculo das Soluções de Sistemas Lineares Sistemas Lineares Forçados Diagramas de Fase Bibliography 121

5 Capítulo 1 Introdução O estudo das equações diferenciais ordinárias é de particular importância em engenharia, porque muitas leis físicas traduzem-se matematicamente nestas equações. Agora, em Análise Matemática 3, iremos considerar vários problemas que podem ser modelizados matematicamente usando equações diferenciais ordinárias. Serão abordados três grandes questões relacionadas com estas equações (não necessariamente por esta ordem): 1) modelização de situações físicas, 2) existência e unicidade de solução e 3) resolução de equações diferenciais. 1.1 Noções Básicas Chama-se equação diferencial a uma equação que relaciona uma função y(x), as suas derivadas e a variável independente x, i.e., é uma equação do tipo: F (x, y, y, y,..., y (k) ) = g(x) (1.1) onde g é uma função que depende somente de x. As equacões, (y ) 2 = cos(x), y 3y = 0, x 2 y xy + y = e x, são exemplos de equações diferenciais. Nestes exemplos a incógnita, ou seja, a função y, depende de uma só variável independente, x R. Em geral, a incógnita é uma função y : D R n R m 5

6 Capítulo 1. Introdução Pag. 6 onde n, m 1. Equações envolvendo funções deste tipo e que se podem escrever na forma (1.1) designam-se por equações diferenciais ordinárias (ou, para simplificar, EDO). Existe um outro tipo de equações diferenciais designadas por equações às derivadas parciais, equações essas do tipo: ( F x, y, y,..., x 1 y, 2 y x n x 2..., 1 2 y ),... = 0. x 1 x n Neste caso a variável independente x está definida em R n, com n > 1. Exemplo de uma equação às derivadas parciais é a da difusão ou condução do calor: α 2 2 u(t, x) x 2 = Neste caso, a variável independente é (t, x) R R. u(t, x). t O estudo das equações diferenciais às derivadas parciais sai do âmbito desta cadeira. Nos exemplos que demos até aqui de equações diferenciais ordinárias e de equações às derivadas parciais, a incógnita é uma função tomando valores em R. Contudo, nada nos impede de considerar y(x) R m. São de particular interesse as equações diferenciais de primeira ordem (em que k = 1 em (1.1)) onde a variável independente é escalar e a incógnita y toma valores em R m, ou seja, é da forma: y : I R R m, com I R e m 1. Este tipo de equações aparecem historicamente ligados a problemas de movimento em que a variável independente representa o tempo. Assim, é usual representá-la por t e a função que se deseja encontrar por x, uma vez que, em problemas de movimento, é a variável usada para representar o vector posição de um móvel. É prática geral escrever ẋ em vez de x quando queremos designar a derivada de uma função que depende do tempo. Esta notação parece ser geralmente aceite por todos. São equações diferenciais da forma ẋ(t) = f(t, x(t)) (1.2) onde x : I R m t (x 1 (t), x 2 (t),..., x m (t)) f : I R m R m (t, x) (f 1 (t, x), f 2 (t, x),..., f m (t, x))

7 Capítulo 1. Introdução Pag. 7 A equação diferencial (1.2) é uma representação vectorial do sistema de equações diferenciais ( ẋ 1 (t) = f 1 t, x1 (t), x 2 (t),..., x m (t) ) ( ẋ 2 (t) = f 2 t, x1 (t), x 2 (t),..., x m (t) ) ẋ m (t) = f m ( t, x1 (t), x 2 (t),..., x m (t) ) Como exemplo de um sistemas de equações diferenciais consideremos: { ẋ1 (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = x 1 (t) + t Vamos agora introduzir alguma ordem e precisão para que nos possamos entender no estudo futuro que pretendemos fazer. 1.2 Equações Diferenciais: Algumas Definições Consideremos uma EDO (equação diferencial ordinárial) tal como está definida em (1.1). Definição Designa-se por ordem de uma equação diferencial à maior das ordens das derivadas da incógnita que nela aparecem. Consideremos a equação y cos(x) = 0. A variável y representa uma função que depende de x. Presente na equação apenas a derivada de 1 ā ordem de y. Logo trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem. Consideremos agora a equação y 9 (y ) 5 3y x 6 = 0 Esta é uma equação de segunda ordem. O facto da segunda derivada estar elevada a uma potência não modifica em nada a ordem da equação. No que se segue focaremos a nossa atenção nas equações diferenciais ordinárias escritas na forma (1.1) onde a incógnita y é uma função da forma y : I R (2.1) e I é um intervalo de R. Definida ordem, interessa agora saber o que se entende precisamente por resolver uma equação diferencial. A pergunta que se põe é a de saber o que é uma solução de uma equação diferencial.

8 Capítulo 1. Introdução Pag. 8 Definição Uma solução de uma equação diferencial ordinária de ordem k, definida num intervalo I = (a, b) (onde a poderá ser ou b = + ) é uma função contínua, com derivadas até à ordem k, definidas nesse intervalo, e que, juntamente com as suas derivadas, satisfaz a equação diferencial dada. É de importância fundamental saber em que intervalo I consideramos a equação definida. Pela exposição anterior, deverá ser claro que resolver uma equação diferencial será determinar a ou as funções y que satisfazem a equação, se é que existem. De facto, há exemplos de equações diferenciais para os quais não há solução. Na definição anterior referimos uma solução da equação diferencial. Estamos assim à partida a supor que poderão existir mais do que uma. Vejamos que tal pode ser o caso. Exemplo Consideremos a equação diferencial xy = 2y onde x (0, + ). Trata-se de uma equação de primeira ordem (note-se que x 0). Consideremos uma função y(x) = x 2 definida em (0, + ). Facilmente se verifica que y (x) = 2x e que xy = 2x x = 2x 2 = 2y. Ou seja, conhecemos uma solução da equação diferencial dada. Contudo, qualquer função definida em (0, + ), da forma y(x) = Kx 2 onde K simboliza uma qualquer constante não nula tem derivada dada por y (x) = 2Kx, ou seja, é também solução da equação. Não obtemos uma solução mas sim uma infinidade de soluções da equação diferencial, todas elas definidas no mesmo intervalo (0, + ). Tal não nos deve surpreender; na resolução desta equação está implícita uma integração (porquê?) e sabemos que a integração introduz constantes arbitrárias. Lembremos que uma função é definida por um trio (A, B, f), onde A é o domínio, B o conjunto de chegada e f a correspondência entre elementos de A e B. A expressão f(x) = x 2 quando definida em (0, + ) ou, por exemplo, em R representa duas funções distintas. Em particular, quando definida em (0, + ), é solução da equação diferencial dada no exemplo anterior, mas não o é quando o domínio é R. A determinação de soluções de uma equação diferencial não é, em geral, fácil. Perante uma dada equação diferencial, a primeira questão que se levanta é de saber se existe solução. Esta questão de existência de solução de equações diferenciais é crucial. Como já afirmámos nem todas as equações diferenciais têm solução. Suponhamos que sabemos que uma dada equação diferencial tem solução. Será que a solução é única? Neste caso, estamos perante uma questão de unicidade de solução. No exemplo anterior verificou-se que pode existir uma infinidade de soluções correspondentes a uma infinidade de escolha de uma constante. Suponhamos que estamos só interessados nas soluções dessa equação

9 Capítulo 1. Introdução Pag. 9 diferencial que satisfazem a condição inicial y(1) = 0. Será que existe alguma solução da equação dada que satisfaz esta condição? Consideremos uma função da forma y(x) = Kx 2 definida para todo o x > 0 e tal que y(1) = 0. Então y(x) = 0 é uma solução da equação diferencial que satisfaz a condição dada y(1) = 0. Será que é a única solução? Por vezes uma solução de uma equação diferencial poderá não ter uma forma simples. Por exemplo, existem soluções de equações diferenciáveis que são definidas implicitamente por uma equação algébrica. A existência e unicidade de solução são questões importantes no estudo de equações diferenciais. Para que o estudo das equações diferenciais seja o mais simples possível é usual dividir as equações em classes. Podemos dividi-las em equações diferenciais ordinárias e em equações às derivadas parciais. Nesta disciplina, estudaremos apenas equações diferenciais ordinárias. Estas podem ser também divididas por ordem da equação: equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, de segunda ordem, etc. Há ainda uma outra divisão possível e desejável: a divisão entre equações diferenciais ordinárias lineares e não lineares. O estudo de, por exemplo, equações diferenciais ordinárias de ordem 1 lineares e o de equações diferenciais ordinárias de ordem 1 não lineares é muito diferente. Definição A equação diferencial ordinária (1.1) diz-se linear se a função F for uma função linear nas variáveis y, y,..., y (n). Caso contrário, a equação diferencial diz-se não linear. Lembremos que uma função G(w) diz-se linear se satisfizer a G(αw 1 + βw 2 ) = αg(w 1 ) + βg(w 2 ) para quaisquer w 1, w 2 pertencentes ao domínio de G e α, β R. Exemplo Consideremos a equação diferencial y x 2 y y = cos(x) Comparando com (1.1) vem F (x, y, y, y ) = y x 2 y y. Consideremos então duas funções y 1 e y 2 e dois escalares α, β. Queremos verificar se F é linear nas variáveis y, y, y. Assim, F (x, α(y 1, y 1, y 1 ) + β(y 2, y 2, y 2 )) = F (x, αy 1 + βy 2, αy 1 + βy 2, αy 1 + βy 2 ) = αy 1 x2 αy 1 αy 1 + βy 2 x2 βy 2 βy 2 = αf (x, y 1, y 1, y 1 ) + βf (x, y 2, y 2, y 2 ).

10 Capítulo 1. Introdução Pag. 10 Seguindo o mesmo procedimento, é facil verificar que a equação diferencial (y ) 2 y = 0 não é linear. Realmente, para y = αy 1 + βy 2 onde α, β R, y 1 e y 2 duas funções e F (y, y ) = (y ) 2 y, temos F (y, y ) = α 2 (y 1) 2 + β 2 (y 2) 2 + 2αβy 1y 2 αy 1 βy 2 αf (y 1, y 1) + βf (y 2, y 2) Observe-se que a não linearidade da equação diferencial dada é consequência directa do termo (y ) 2, que é obviamente não linear. Exercício Determine a ordem e classifique as seguintes equações diferenciais ordinárias em lineares e não lineares: (i) y y + y 2 = 0 (ii) e x y (5) x 2 = 1 y (iii) sen(x)y y = 0 (iv) sen(y )x 3 y = 0 O estudo de equações diferenciais lineares está bem desenvolvido. O mesmo já não se pode dizer sobre as equações diferenciais não lineares. Para colmatar muitas lacunas na teoria de equações diferenciais não lineares e sempre que o que se pretende é um estudo local das equações, podem aproximar-se as equações não lineares por outras que são lineares. Como exemplo, consideremos a equação que modela o movimento do pêndulo. O ângulo α que um pêndulo de comprimento l, em oscilação, faz com a direcção vertical satisfaz a equação d 2 α d t 2 + g l sin(α) = 0 Trata-se de uma equação de segunda ordem não linear cuja incógnita é a função α. A não linearidade é causada pelo termo sin(α). Sabe-se contudo que para valores pequenos do ângulo α, sin(α) é aproximadamente α. Substituindo então sin(α) por α obtemos uma equação diferencial linear d 2 α d t 2 + g l α = 0. Verifica-se que esta equação é realmente uma boa aproximação da equação não linear dada, pois, qualquer solução da equação linear é uma boa aproximação de alguma solução da equação não linear para valores de α próximos de 0.

11 Capítulo 2 Equações Diferenciais de Primeira Ordem Vamos agora dedicar-nos ao estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Partes da matéria aqui abordada, em especial muito do que se refere a equações diferenciais lineares, foi já dada na disciplina de Análise Matemática Campos de Direcções Considere-se equações diferenciais da forma y (x) = f(x, y) (1.1) Por motivos que se tornarão claros mais tarde é usual escrever a derivada de y na notação de Leibniz: y (x) = dy dx Resolver a equação (1.1) é determinar a solução (se existir!) ou soluções da equação, ou seja, determinar a função ou funções que satisfazem a equação. A informação sobre uma dada função f poderá ser dada de várias formas. Pode-se definir uma função explicitando o domínio,o conjunto de chegada e a lei que une os objectos às respectivas imagens. Alternativamente informação sobre a função poderá ser dada por uma tabela de pontos da forma (x, y) onde y = f(x), ou ainda pode-se ter o gráfico de f, i.e., a representação geométrica da função. A equação diferencial (1.1) fornece ela mesmo informação sobre o gráfico das soluções. Sendo f uma função definida em R 2 e tomando valores em R, considere-se um ponto (x 1, y 1 ) do plano 11

12 Capítulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Pag. 12 R 2 para a qual a função f da equação diferencial (1.1) está bem definida e suponhamos que tal ponto pertence ao gráfico de uma solução da equação (i.e., que existe uma função ȳ tal que (x 1, y 1 ) satisfaz a (x 1, y 1 ) Graȳ = {(x, y) R 2 : ȳ(x) = y}, ou seja, ȳ(x 1 ) = y 1 ). Deduz-se de (1.1) que a derivada de ȳ no ponto x 1 é ȳ (x 1 ) = f(x 1, y 1 ). Geometricamente este facto pode ser representado traçando em R 2 um vector v 1 : de norma unitária com ponto inicial (x 1, y 1 ), apontando no sentido de crescimento dos valores da abcissa, cujo declive é f(x 1, y 1 ). Assim, o gráfico da possível solução da equação que passa no ponto (x 1, y 1 ) deverá ter como tangente nesse ponto uma recta cujo vector direcção é dado por v 1. O conjunto de todos estes vectores aplicados a pontos (x, y) onde a função f está definida designa-se por campo de direcções ou campo de vectores da equação (1.1) (ver figura da página seguinte). Os campos de direcções podem ser facilmente esboçados à mão. É evidente que não podemos traçar segmentos de rectas em todos os pontos do plano. O ideal é considerar uma rede de pontos no plano e marcar, em cada ponto extremo da rede, os referidos vectores. Os campos de vectores são particularmente úteis na determinação do comportamento qualitativo das soluções de equações diferenciais. Podem mesmo ajudar a determinar regiões de interesse particular. Determinar uma solução da equação (1.1) resume-se assim a determinar uma função cujo gráfico é uma curva, designada por curva integral, tal que a direcção da tangente à mesma em cada ponto coincide com a direcção do campo de direcções nesse ponto. Algum cuidado deve ser posto no esboço dos campos de direcções e na sua interpretação. Os pontos para os quais a função f não está definida são pontos singulares da equação diferencial (1.1). Definição Chama-se isoclina ao lugar geométrico dos pontos nos quais as tangentes às curvas integrais de uma equação diferencial têm todas o mesmo declive. Qualquer isoclina da equação (1.1) é definida pelo conjunto de pontos (x, y) para os quais f(x, y) = C, onde C é uma constante (e diz-se que esse conjunto de pontos forma a isoclina C).

13 Capítulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Pag. 13 Quando C = 0, obtemos a isoclina nula. Por definição, qualquer curva integral que passa por um ponto da isoclina nula, terá nesse ponto derivada nula, ou seja, a tangente à curva integral deverá ser horizontal. Os pontos em que a derivada é nula são pontos críticos de soluções da equação. Exemplo Consideremos a equação diferencial y (x) = y x A família de isoclinas é formada por rectas todas passando pela origem. Realmente: y = c y = cx sse x 0 x Todos os pontos sobre o eixo das ordenadas, x = 0 são pontos singulares da equação diferencial. Exemplo Consideremos a equação: y (x) = y 1 A figura apresenta um esboço do campo de direcções desta equação. y x Para pontos da forma (x, 0) o declive dos vectores do campo de direcções é 1 e para pontos da forma (x, 1) o declive é 0 (vectores horizontais). Tal como já foi dito, qualquer solução desta equação é tal que o gráfico dessa função num ponto é tangente ao vector do campo de direcções traçado nesse ponto. Da análise da figura podemos concluir que a função constante y(x) = 1 é solução da equação. Qualquer solução da equação diferencial cujo gráfico contenha um ponto (x 1, y 1 ) onde y 1 > 1, é crescente e será decrescente se

14 Capítulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Pag. 14 y 1 < 1. Ou seja, os gráficos de todas as soluções da equação diferencial que não contêm pontos da forma (x, 1) afastam-se da recta de equação y = 1. Observe-se que não podem existir duas curvas integrais que se intersectem. Fica ao cargo do aluno justificar esta afirmação. Vejamos agora que as conclusões tiradas a partir da análise do campo de direcções são verdadeiras. Por integração da equação diferencial dada podemos concluir que a solução geral da equação diferencial é da forma y(x) = Ce x + 1 onde C é uma qualquer constante (lembremos que falamos em solução geral quando queremos referir uma expressão que, para cada valor da constante C, permite obter uma solução particular da equação diferencial) 1. Determinada a solução geral da equação diferencial, podemos traçar os gráficos de algumas soluções particulares de forma a verificar as conclusões anteriores. Exercício Determinar as isoclinas da equação y (x) = y x Trace também algumas curvas integrais desta equação. 2. Esboce os campos de direcções, determine e esboce as famílias de isoclinas e esboce algumas curvas integrais das seguintes equações diferenciais: dy dx = e x 2y y = 3 y 2 y + 0.5y = 0 y + 0.5y = 1 y 2xy = 1 y 2xy = y Em cada caso pronuncie-se sobre qualquer característica de interesse das curvas integrais e determine, sempre que possível, o lugar geométrico dos máximos e/ou mínimos. 1 A resolução desta equação não deverá ser de qualquer dificuldade, pois, em Análise Matemática I, esta matéria foi já abordada. Convém que os mais esquecidos procedam a uma revisão exaustiva desse capítulo de AMI.

15 Capítulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Pag Existência e Unicidade de Solução Focamos agora a nossa atenção em questões que se relacionam com a existência e unicidade de solução. Comecemos por equações diferenciais de primeira ordem lineares. Qualquer equação diferencial deste tipo pode ser representada na forma y + p(x)y = g(x), (2.1) onde p e g são funções dadas. Comparando com a equação diferencial (1.1), concluimos que a equação (2.1) pode ser escrita na forma (1.1) onde f(x, y) = g(x) p(x)y é uma função linear em y. Deseja-se saber se existe uma solução da equação (2.1) que satisfaça a condição inicial y(x 0 ) = y 0 (2.2) Se existir tal solução, será ela única? E em que intervalo é que tal solução estará definida? Teorema Considere a equação diferencial y + p(x)y = g(x). Se as funções p e g são contínuas num intervalo aberto I que contém o ponto x 0, então existe uma única solução y = ϕ(x) que satisfaz a equação diferencial para todo o x I e que satisfaz também a condição inicial (2.2). Este Teorema dá-nos condições suficientes para garantir a existência e unicidade de solução. Mas diz mais: garante que a solução está definida em todo um intervalo I em que essas condições são satisfeitas. Em vez de demonstrar este resultado, vamos agora ver como obter a solução desta equação que satisfaz à condição inicial. Observação atenta da equação leva-nos a desejar que tivessemos uma outra equação em vez desta. Por exemplo, se multiplicarmos ambos os membros desta equação por uma função diferenciável e positiva r(x), obtemos r(x)y (x) + r(x)p(x)y(x) = r(x)g(x) (2.3) O primeiro membro desta nova equação lembra imediatamente a derivada de um produto. Como ( r(x)y(x) ) = r (x)y(x) + r(x)y (x), podemos somar e subtrair, na equação, o termo que falta

16 Capítulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Pag. 16 para obter a derivada de um produto e teremos ( r(x)y (x) + r (x)y(x) ) ( r (x)y(x) r(x)p(x)y(x) ) = r(x)g(x). (2.4) O primeiro membro desta equação corresponderá exactamente à derivada de um produto se r (x) r(x)p(x) = 0. Como não definimos até agora qual a função r a tomar, podemos considerar r uma função que toma valores positivos e que satisfaz a r (x) r(x)p(x) = 0. Como r(x) 0, podemos dividir ambos os membros da equação por r e obtemos r (x) r(x) Integrando ambos os membros e lembrando que r (x) r(x) = d dx r(x) = e p(x)dx+c = p(x). (2.5) ln(r(x)) tem-se ou seja, uma família de funções positivas. Interessa-nos ter apenas uma função r. Assim, e para simplificar, consideremos a constante C = 0. Temos r(x) = e p(x)dx > 0 Substituindo em (2.4) e lembrando que r (x) r(x)p(x) = 0, vem ( r(x)y(x) ) = r(x)g(x). Integrando esta última equação, deduz-se que K + y(x) = r(x)g(x)dx r(x). (2.6) A expressão (2.6) é a solução geral da equação: para cada valor de K obtemos uma solução da equação. Em particular, a solução que satisfaz a condição inicial (2.2) é aquela para o qual o valor da constante é K = r(x 0 )y 0 F (x 0 ), onde F é a primitiva de r(x)g(x), i.e., F (x) = r(x)g(x). Observação Observe-se que o método acima descrito para a resolução de equações diferenciais de primeira ordem lineares obriga ao cálculo de uma primitiva da função r(x)g(x). Acontece que existem funções para os quais não é conhecida uma forma fechada para a primitiva. Nestes casos, aceita-se que na solução geral apareça o integral. Tais soluções podem ser facilmente tratadas numericamente.

17 Capítulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Pag. 17 Exercício Demonstre o teorema (Sugestão: Verifique que a determinação da solução geral da equação diferencial feita acima poderá ser usada na demonstração.) 2. Determine a forma geral da equação (2.1) quando (i) g(x) = 0; (ii) p(x) = 0; (iii) g(x) = p(x) = Se tem acesso a um computador onde esteja instalado Maple ou Mathematica, utilize este software para esboçar os campos de direcções e para analisar o comportamento das soluções das seguintes equações quando x tende para + : y + 3y = x + e x ; y + y = e x. 4. Calcule, analiticamente, a solução dos seguintes problemas de valor inicial y + 3y = x + e x, y(0) = 1, y 2 x 2 = cos(x), y(1) = 0. Segue-se a discussão de questões de existência e unicidade de equações diferenciais mais gerais, i.e., aquelas que podem ser escrita na forma (1.1) onde f é possivelmente não linear. A noção de função de Lipschitz tem um papel importante no que se segue e vamos aqui introduzi-la para o caso de funções reais de variável real. Definição Seja I R um intervalo e considere-se a função f : I R f diz-se Lipschitz contínua em I se existir uma constante L > 0 tal que f(x 1 ) f(x 2 ) L x 1 x 2 x 1, x 2 I (2.7) Algumas propriedades de uma função Lipschitz contínua estão descritas no exercício que se segue. Exercício Mostre que toda a função Lipschitz contínua é contínua.

18 Capítulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Pag Mostre que toda a função diferenciável no intervalo [a, b] e com derivada limitada em (a, b) é Lipschitz contínua. 3. Verifique que a função f(x) = x, definida em [ 1, 1], é de Lipschitz com constante L = Será que toda a função Lipschitz contínua é diferenciável? Se não, forneça um exemplo. 5. Uma função diz-se convexa se para todo o α R e todo o x, y do domínio se tem f ( αx + (1 α)y ) αf(x) + (1 α)f(y). (a) Dê uma interpretação geométrica à condição anterior. (b) Verifique que f(x) = x 2 é convexa, mas g(x) = x 3 não é. (c) Será que toda a função convexa é Lipschitz contínua? A definição de continuidade de Lipschitz pode ser facilmente generalizada a funções reais de variável vectorial, ou seja, a funções definidas em conjuntos de R n. Para o estudo em causa interessa-nos a seguinte definição: Definição Seja f : D R, onde D é um domínio em R 2. A função f diz-se Lipschitz contínua em ordem a y se existir uma constante L > 0 tal que f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) L y 1 y 2, (2.8) para qualquer x e quaisquer y 1, y 2 tais que (x, y 1 ), (x, y 2 ) D. Observação Recorde que se diz que um conjunto D R n é um domínio se D for um conjunto aberto e conexo, ou seja, um conjunto aberto tal que quaisquer dois pontos desse conjunto podem ser unidos por uma curva totalmente contida em D. Exercício Seja f : D R, onde D é um domínio em R 2. Verifique que se existe um L > 0 tal que f y (x, y) < L, (x, y) D então f satisfaz a condição de Lipschitz em ordem a y em D.

19 Capítulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Pag. 19 Considere a função f(x, y) = 2 y cos(x) definida em R 2. Determine os pontos em que f y não existe. Verifique ainda que a função dada satisfaz a condição de Lipschitz em ordem a y em R 2. Que pode concluir? (Sugestão: Relacione a sua resposta com a alínea anterior). Teorema Se uma função f : D R, onde D é um domínio em R 2, for contínua e se satisfizer a condição de Lipschitz em ordem a y em D, então o problema do valor inicial y (x) = f(x, y) y(x 0 ) = y 0 onde (x 0, y 0 ) D, tem solução única. A condição de Lipschitz em ordem a y é essencial para garantir a existência de solução única do problema de valor inicial, como o seguinte exemplo ilustra. Exemplo Considere-se a EDO y = f(x, y) onde 4x 3 y f(x, y) = x 4 + y 2 se x 2 + y se x = y = 0 Comecemos por ver que esta função é contínua em todo o seu domínio. Note-se que continuidade em todos os pontos, excepto na origem, decorre das propriedades básicas da continuidade. Basta, então, averigurar a continuidade na origem. Observe-se que (x 2 y) 2 = x 4 + y 2 2x 2 y 0 e (x 2 + y) 2 = x 4 y 2 2x 2 y 0 Concluimos assim que 2x 2 y x 4 + y 2 para qualquer (x, y) próximo da origem. Assim 0 4x 3 y x 4 + y 2 2 x x 4 + y 2 x 4 + y 2 = 2 x Deduz-se pelo teorema das funções enquadradas que f é continua em (0, 0). Passemos então ao estudo da continuidade de Lipschitz com respeito a y. Sejam (x, y 1 ) e (x, y 2 ) dois pontos de R 2 com a mesma abcissa x 0 e para os quais existem dois escalares α, β tais que y 1 = αx 2 e y 2 = βx 2. Obtemos f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) = 4αx 5 x 4 (1 + α 2 ) 4βx5 x 4 (1 + β 2 ) = 4 x y 1 y 2 1 αβ (1 + α 2 )(1 + β 2 ).

20 Capítulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Pag. 20 Se f satisfizesse a condição de Lipschitz em ordem a y, então deveria haver uma constante L tal que L 4 M, (2.9) x onde M = 1 αβ (1 + α 2 )(1 + β 2 ). Contudo, em qualquer aberto que contenha a origem, qualquer que seja o L > 0, é sempre possível determinar um x 0 para o qual (2.9) não se verifique. Pode verificar-se ainda que a equação admite como solução geral a família de funções De facto, para esta função y, tem-se y (x) = e, como x 4 = (C 2 y(x)) 2 C 4, vem y(x) = C 2 x 4 + C 4 2x 3 x 4 + C 4 = 2x 3 y(x) C 2 4x 3 y(x) x 4 + y(x) 2 = ( 4x3 C 2 x 4 + C 4) (C 2 y(x)) 2 C 4 + y 2 = y (x). Consideremos a condição inicial y(0) = 0. Vejamos para que valor de C a função y(x) = C 2 x 4 + C 4 satisfaz esta condição inicial. Obtemos y(0) = C 2 C 4 = 0 C R. Quer isto dizer que qualquer solução da forma y(x) = C 2 x 4 + C 4 satisfaz a condição inicial, ou seja, o problema de valor inicial dado não tem solução única. 2.3 Resolução de Equações Diferenciais Seja f : D R onde D R 2 qualquer. Se sabemos que um problema de valor inicial { y (x) = f(x, y) y(x 0 ) = y 0 tem solução, é lícito perguntar qual é ela. Observe-se que y (x) = f(x, y) é uma equação diferencial de primeira ordem que poderá ser não linear. Como não há uma só abordagem para determinar soluções deste tipo de equações, é usual considerar grupos ou classes de equações diferenciais que podem ser resolvidas por uma certa

21 Capítulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Pag. 21 técnica. Na resolução de uma equação diferencial, o primeiro passo é sempre o de caracterizar a equação dada de forma a que uma determinada técnica de resolução possa ser escolhida. De salientar, contudo, que poderá haver mais do que uma maneira de resolver uma equação diferencial de primeira ordem Equações de Variáveis Separadas Designam-se por equações diferenciais de variáveis separadas as equações da forma y (x) = f(x, y) para as quais a função f, uma função contínua, pode ser escrita como o produto de duas funções reais de variável real, cada uma dependendo apenas de x ou y, ou seja, equações da forma: dy = α(x)β(y). (3.1) dx Suponhamos que as duas funções α e β são ambas contínuas e consideremos a condição inicial y(x 0 ) = y 0. Distinguem-se dois casos. (i) β(y 0 ) = 0. Neste caso, a função constante y(x) = y 0 é solução. Realmente, a derivada desta função é zero e β(y(x)) = β(y 0 ) = 0. Mas será esta a solução única? Só poderemos garantir a unicidade desta função se β, além de contínua, for Lipschitz contínua. Exercício Dê um exemplo, se existir, de uma equação diferencial de variáveis separadas satisfazendo as condições mencionadas em cima e para o qual a função constante y(x) = y 0 não é única. (ii) β(y 0 ) 0. Defina-se, então, quatro outras funções, P, R, Q e S, tais que P (x) = α(x) Q(y) = 1 β(y) R (x) = P (x) S (y) = Q(y). (Observe-se que a função Q está bem definida num aberto em torno de y 0 (porquê?).) Então, lembrando que d dx h(g(x)) = h (g(x))g (x),

22 Capítulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Pag. 22 temos Integrando esta última equação, vem dy dx = α(x)β(y) Q(y) dy dx = P (x) P (x) + Q(y) dy dx = 0 R (x) + Q(y) dy dx = 0 R (x) + ds(y(x)) dx = 0 d [R(x) + S(y)] dx = 0. R(x) + S(y) = C (3.2) onde C é uma constante. A equação (3.2) poderá ou não ser resolvida em ordem a y. Se tal for possível, então obtemos a solução geral da equação diferencial na forma explícita, ou seja, deverá ser possível determinar uma função φ e uma constante C 0, com R(x 0 ) + S(y 0 ) = C 0, y 0 = φ(x 0 ) e tal que, para x numa vizinhança de x 0, y = φ(x) R(x) + S(φ(x)) = C 0. É o que acontece se, por exemplo, considerarmos S(y) = y em (3.2). Contudo, nem sempre é possível resolver (3.2) explicitamente em ordem a y. Na impossibilidade de o fazer, a constante C é calculada como anteriormente e falamos então na solução da equação diferencial definida implicitamente pela equação R(x) + S(y) = C 0 Nestes casos, poderemos obter alguma informação sobre a solução numa vizinhança do ponto (x 0, y 0 ). Informação qualitativa poderá ainda ser fornecida pelo estudo do campo de direcções da equação.

23 Capítulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Pag. 23 Regra prática Os problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais de variáveis separadas no caso (ii) podem ser resolvidas facilmente se se usar uma regra prática que usa e abusa da notação de Leibniz para derivadas. Dizemos uma regra prática porque as operações matemáticas efectuadas não são formalmente válidas. Contudo assentam em resultados teóricos bem definidos e rigorosos e o resultado final é verdadeiro. Consideremos a equação diferencial onde β(y 0 ) 0. Escrevendo dy dx = α(x)β(y), dy β(y) = α(x)dx, separamos as variáveis, escrevendo num dos membros os objectos relacionados com y e no outro os objectos relacionadas com x. Integrando ambos os membros dy β(y) = α(x)dx, e relembrando as definições de S e R vem S(y) = R(x) + C, ou seja, R(x) + S(y) = C, onde C é calculado de acordo com a condição inicial. Tratámos o operador dy como um quociente de números reais o que, como sabemos, não é dx verdadeiro. Sabemos que tal não é verdade. No entanto, esta regra prática permite-nos chegar formalmente à solução geral da equação. Exemplo Considere-se a equação diferencial y + ln(x)y = 0, x > 0. Podemos garantir que esta equação tem solução e qualquer solução está definida para x > 0 (porquê?). Para resolver a equação, comecemos por escrevê-la na forma: dy = ln(x)y. (3.3) dx

24 Capítulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Pag. 24 Suponhamos que y(x) nunca se anula. Então dy y = ln(x)dx. Integrando, obtém-se: ln( y ) = [ 1. ln(x) dx = x ln(x) ] dx = x ln(x) + x + K. Donde, y(x) = e K e x e x ln(x) = C 1 e x e x ln(x). Como C 1 = e K, esta constante é sempre positiva. Eliminando o módulo no primeiro membro obtemos y(x) = ±C 1 e x e x ln(x) = Ce x e x ln(x). onde C pode agora tomar qualquer valor real, positivo ou negativo, com excepção do valor 0. Contudo, e como se pode verificar facilmente e directamente em (3.3), a função nula também é solução da equação diferencial. Conclusão: a solução geral da equação diferencial dada é y(x) = Ke x e x ln(x), onde K é uma qualquer constante real. Qualquer solução da equação diferencial pode escrever-se nesta forma, para algum valor de K R O próximo exemplo ilustra um comportamento de alguns problemas de valor inicial onde as equações diferenciais são não lineares, nomeadamente o facto das singularidades da solução (pontos onde as soluções não estão definidas) poderem depender não só, da equação diferencial em si, mas também das condições iniciais. Exemplo Considere o problema de valor inicial Determine o intervalo em que a solução existe. y = y 2 y(0) = 1. Os resultados anteriores garantem a existência de uma solução única (verifique!). Se y(x) 0, então donde dy y 2 = dx, y(x) = 1 x + C. (3.4)

25 Capítulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Pag. 25 Para y(0) = 1, vem C = 1. Assim y(x) = 1 é a solução do problema dado. Como se pode 1 x ver a solução não é limitada quando x tende para 1 ( a solução está definida em (, 1)). Da análise da equação diferencial em si nada nos indica que x = 1 é um ponto diferente de qualquer outro. Consideremos agora a condição inicial y(0) = y 0 onde y 0 é qualquer. A solução do problema de valor inicial dado é agora Neste caso, a solução é ilimitada quando x tende para ) ( ) solução é (, 1y0 1 se y 0 > 0 e, + se y 0 < 0. y 0 y(x) = y 0 1 y 0 x. (3.5) 1 y 0. Logo, o intervalo de existência de A solução geral (3.4) da equação diferencial foi obtida considerando y 0. Facilmente se verifica que a função nula, y 0, é solução da equação. Será possível detereminar um C tal que (3.4) representa a função nula? É evidente que não. Este exemplo mostra que nem toda a solução desta equação diferencial não linear poderá ser escrita na forma (3.4) para algum C R, ou seja, há soluções da equação diferencial que não podem ser obtidos atribuindo um dado valor à constante C de integração. Como vimos em AMI, no caso das equações diferencias lineares toda e qualquer solução pode ser obtida da solução geral. Quando passamos para equações diferencias não lineares, tal não se verifica. Neste caso, devemos dizer que qualquer solução da equação diferencial dada ou é a função nula y(x) 0, ou é dada por (3.4). Muitas vezes as equações diferenciais são escritas fazendo já a divisão do operador dy como se dx de um quociente se tratasse. Vejamos como proceder em tais casos através de mais um exemplo. Exemplo Considere-se a EDO 3e x tan(y)dx + (2 e x ) sec 2 (y)dy = 0. Equações escritas desta maneira podem ter duas interpretações; podemos considerar y como uma função de x ou, x como uma função de y. Ao resolver este tipo de equações deve ficar sempre claro que tipo de solução procuramos. Comecemos por resolver a equação como se se tratasse de determinar uma função y. Dividindo ambos os termos da equação por (2 e x ) tan(y), obtemos 3e x dx 2 e x + sec2 (y)dy tan(y) = 0.

26 Capítulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Pag. 26 donde tan(y) (2 e x = C. (3.6) ) 3 Ao dividirmos ambos os membros da equação diferencial pelo produto (2 e x ) tan(y), estamos a supor que os factores são não nulos. Contudo, os factores anulam quando: y = kπ para k = 0, 1,... ou x = ln(2) Ao resolver esta equação eliminamos à partida soluções deste tipo. É pois necessário verificar se estas funções poderão ser soluções, pois, determinar a solução geral, é determinar todas as possíveis soluções da equação dada. Verifica-se que, para qualquer k Z, as funções constantes y kπ são soluções da equação. Observe-se, contudo, que se obtém y kπ da solução geral fazendo C = 0. Este é um exemplo de uma equação diferencial não linear cujas soluções são todas dadas pela expressão (3.6). Que dizer, por último, sobre a singularidade x = ln(2)? Reescrevendo a equação diferencial dada na forma y = 3ex sin(y) cos(y) 2 e x. torna-se pois evidente que x = ln(2) é ponto singular, ou seja, qualquer solução da equação diferencial estará definida num intervalo que não contém ln(2). Exercício Resolva a equação diferencial do exemplo anterior, considerando que a incógnita é uma função da forma x(y) Equações Diferenciais Homogéneas Uma função f : R 2 R diz-se homogénea de grau α se e só se, para t 0, f(tx, ty) = t α 1 f(x, y). (3.7) Só nos interessam pontos t, x, y para os quais a função esteja bem definida em (x, y) e em (tx, ty). Equações Diferenciais escrita na forma y (x) = f(x, y), onde f é uma função homogénea de grau um (α = 1) herdam a designação da função que as define e dizem-se equações diferenciais de primeira ordem homogéneas.

27 Capítulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Pag. 27 Consideremos, como anteriormente, a condição inicial y(x 0 ) = y 0, e vejamos como se resolvem. Método de Resolução Ideia geral: Transformar a equação diferencial dada numa equação diferencial de variáveis separáveis. Passos: (i) Seja y = xz onde z é ainda uma função de x. Então y = z + xz. (ii) Substituindo na equação dada e lembrando que f(x, xz) = x 0 f(1, z) = f(1, z), obtém-se z + xz = f(1, z). Seja g(z) = f(1, z). Então z = g(z) z, x ou seja, obtém-se uma equação diferencial de variáveis separadas. (iii) Resolvendo a equação anterior, tem-se a solução geral z(x). A solução geral da equação diferencial inicial será então y(x) = xz(x). Exemplo Considere-se y = y x y + x. A função f(x, y) = y x ty tx é homógenea; realmente, para qualquer t 0, f(tx, ty) = y + x ty + tx = f(x, y). Seja então y = xz. Vem z + z x = zx x zx + x = z 1 z + 1, donde 1 + z z dz = dx x

28 Capítulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Pag. 28 É uma equação diferencial de variáveis separadas. Tem-se 1 2z 2 z dz + dz z = dx x integrando: ln( z 2 + 1) + arctan (z) = ln ( x ) + K juntando os logarítmos: arctan (z) = ln ( x z ) K eliminando os logarítmos: e arctan(z) = e K x z Ora, como y = zx, verifica-se que y está definida implicitamente pela equação ( y ) e arctan x = C y 2 + x Equações Redutíveis a Equações Homogéneas Equações Diferenciais escritas na forma y (x) = ax + by + c ex + fy + g onde c 0 ou g 0 podem ser reduzidas a equações diferenciais de primeira ordem homogéneas. Consideremos, como anteriormente, a condição inicial e vejamos como proceder. y(x 0 ) = y 0, Método de Resolução Ideia geral: homogénea. Transformar a equação diferencial numa equação diferencial de primeira ordem Passos: (i) Considera-se { y = y1 + k onde k e h são constantes a determinar. x = x 1 + h

29 Capítulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Pag. 29 (ii) Escrever-se a equação original em termo de x 1 e y 1. Vem dy 1 = ax 1 + by 1 + c + ah + bk dx 1 ex 1 + fy 1 + g + eh + fk. (3.8) (iii) Determinar k e h de forma a que os termos independentes no numerador e denominador da fracção do segundo membro sejam nulos, i.e., { c + ah + bk = 0 g + eh + fk = 0. (iv) Substituir k e h em (3.8); obtém-se uma equação diferencial de primeira ordem homogénea (v) Resolver (3.9) e expressar a solução geral em ordem a x e y. dy 1 dx 1 = ax 1 + by 1 ex 1 + fy 1. (3.9) Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem Como já vimos, tratam-se de equações diferenciais da forma y + p(x)y = g(x), onde p e g são funções contínuas no seu domínio. Voltamos a falar delas, não só em prol de uma exposição o mais completa possível, mas também, porque são úteis para a introdução do método da variação dos parâmetros de que voltaremos a falar brevemente. Consideremos dois casos: g 0: Neste caso a equação diz-se linear homogénea (não confundir com o caso anterior; neste caso o termo homogénea refere-se ao facto do segundo membro da equação diferencial dada ser nulo) e é fácil verificar que se trata de uma equação de variáveis separáveis. A solução geral é y(x) = Ce p(x)dx. g 0: Trata-se de uma equação linear não homogénea (segundo membro não é uma função nula). A solução geral pode ser determinada pelo método da variação dos parâmetros que passamos a expor.

30 Capítulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Pag. 30 Método da Variação dos Parâmetros Considera-se uma solução do tipo y(x) = C(x)e p(x)dx, onde C representa agora uma função de x e não uma constante como anteriormente. Derivando e substituindo na equação diferencial inicial obtém-se a solução geral onde r(x) = e p(x)dx. y(x) = k + r(x)g(x)dx, r(x) Exercício Considere uma equação diferencial linear de ordem 1 qualquer. Verifique que todas as soluções podem ser obtidas da expressão da solução geral fixando valores para a constante de integração. Tais soluções dizem-se soluções regulares. Cada uma das equações diferenciais seguintes tem pelo menos um coeficiente com uma descontinuidade em x = 0. Resolva cada uma das das equações para x > 0 e descreva o comportamento das soluções quando x tende para 0 para vários valores da constante. Esboce os gráficos de algumas curvas integrais. y + 2 x y = 1 x 2 y 1 x y = x y 1 x y = x y + 1 x y = cos(x) x Determine o maior intervalo no qual pode garantir que a solução de cada um dos seguintes problemas de valor inicial existe. (x 3)y + ln(x)y = 2x e y(1) = 3 y + tan(x)y = sin(x) e y(π) = 0

31 Capítulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Pag Equação de Bernoulli Equações diferenciais da forma y + p(x)y = g(x)y n, para n 0, 1 dizem-se equações de Bernoulli. Através da mudança de variável z = 1 y n 1, estas equações podem ser reduzidas a uma equação diferencial linear. Exemplo Considere a equação y + y = y 2 Seja y(x) 0 e z = 1/y. Então y = 1/z e y = z z 2. Assim, Seja r(x) = e x. Então z z z = 1 z 2 z z = 1. z(x) = k + e x e x, ou seja, z(x) = ke x + 1, donde se conclui que y(x) = nula, y 0 é solução. 1 ke x. Verifica-se ainda que a função Equações Diferenciais Exactas Seja D R 2 um conjunto aberto simplesmente conexo, i.e., um conjunto que não tem buracos no seu interior. Mais precisamente, D é um conjunto aberto simplesmente conexo se qualquer curva fechada contida em D tem todo o seu interior completamente contido em D. Consideremos duas funções M, N : D R com derivadas parciais contínuas em D, e a equação diferencial da forma M(x, y) + N(x, y) dy = 0. (3.10) dx Suponhamos que é possível identificar uma função φ : D R de classe C 2 (i.e., as quatro derivadas parciais de segunda ordem existem e são contínuas) tal que φ (x, y) x = M(x, y) (3.11) φ (x, y) y = N(x, y),, (3.12)

32 Capítulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Pag. 32 e para a qual a equação algébrica φ(x, y) = C, (3.13) define y como função implícita de x. Neste caso, a equação diferencial (3.10) pode ser escrita como que é equivalente a escrever φ φ dy (x, y) + (x, y) x y dx = 0, d φ(x, y(x)) = 0. (3.14) dx Assim, a equação diferencial (3.10) reduz-se à equação diferencial (3.14) e designa-se por equação diferencial exacta. De (3.14) deduz-se que a solução geral da equação diferencial exacta (3.10) está definida implicitamente por uma equação algébrica da forma φ(x, y) = C. A questão que se levanta neste momento é a de identificar uma equação diferencial exacta. Ou seja, dada uma equação diferencial escrita na forma (3.10), onde M e N são funções de classe C 1, quando poderemos nós afirmar que a equação diferencial é de facto exacta? A resposta é dada pelo seguinte resultado. Teorema Sejam M, N : D R duas funções definidas num conjunto aberto simplesmente conexo D, e de classe C 1. A equação diferencial (3.10) é uma equação diferencial exacta se e só se M(x, y) + N(x, y) dy dx = 0 M y N (x, y) = (x, y), (3.15) x para todo o (x, y) D. Demonstração. Mostramos primeiro que se a equação diferencial for exacta, então M e N satisfazem (3.15). Quer isto dizer que (3.15) é uma condição necessária para que a equação diferencial seja exacta.

33 Capítulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Pag. 33 Suponhamos então que existe uma função φ de classe C 2 que verifica (3.11) e (3.12) para alguma função y(x). Derivando (3.11) e (3.12) em ordem a x e y respectivamente, segue que M y (x, y) = 2 φ (x, y), y x N x (x, y) = 2 φ (x, y). x y Logo, as derivadas parciais cruzadas de segunda ordem são iguais, ou seja, verifica-se (3.15). Suponhamos agora que (3.15) é verificada. Teremos então que construir uma função φ que satisfaça (3.11) e (3.12) para alguma função y(x). Seja φ(x, y) = M(x, y)dx + h(y), (3.16) para alguma função h real de variável real. Suponhamos ainda que φ (x, y) = N(x, y). y Determina-se a constante de integração h(y); derivando (3.16) em ordem a y, obtém-se φ y (x, y) = M(x, y)dx + h (y) y M = y (x, y)dx + h (y), donde h (y) = N(x, y) M (x, y)dx. y Ora, como estamos a supor que (3.15) é verificada, podemos concluir que N h (y) = N(x, y) (x, y)dx = N(x, y) N(x, y) + g(y) = g(y) x onde g(y) é a constante de integração (estamos a integrar algo que depende de (x, y) em ordem a x; logo a constante de integração pode ser função de y). Ou seja, h (y) depende apenas de y e podemos determinar h. Assim, temos, por último, ( M ) φ(x, y) = M(x, y)dx + N(x, y) y (x, y)dx dy e facilmente se verifica que φ φ (x, y) = N(x, y) y (x, y) = M(x, y), x completando a demonstração.

34 Capítulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Pag. 34 A última parte da demonstração do Teorema fornece-nos um método para calcular soluções de equações diferenciais exactas. Recomenda-se que se siga este processo sempre que se quer resolver uma equação deste tipo. Ilustremos o procedimento com um exemplo. Exemplo Pretende-se resolver a equação diferencial 2x sin(y)dx + (x 2 cos(y) 1)dy = 0, sujeita a y(0) = 1/2. Considere-se M(x, y) = 2x sin(y) e N(x, y) = x 2 cos(y) 1. A equação é exacta pois ou seja, (3.15) é verificada. Seja f uma função tal que ( ) ( 2x sin(y) = 2x cos(y) = x 2 cos(y) 1 ), y x Deduz-se que f y f x f(x, y) = = x 2 cos(y) 1 = N(x, y), = 2x sin(y) = M(x, y). 2x sin(y)dx = x 2 sin(y) + h(y). Derivando f em ordem a y e igualando a x 2 cos(y) 1, concluimos que h (y) = 1, i.e., h(y) = y + k. Donde f(x, y) = x 2 sin(y) y + k. A solução geral da equação diferencial exacta dada pode ser assim escrita na forma f(x, y) = C, ou seja, a solução geral está implicitamente definida pela equação x 2 sin(y) y = K, para alguma constante K R. Quando y(0) = 1/2, vem 1/2 = K. Portanto, a solução desejada é definida implicitamente por x 2 sin(y) y = 1 2

35 Capítulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Pag. 35 Observe-se que, definindo g(x, y) = x 2 sin(y) y + 1 2, a curva de nível 0 desta função N 0 (g) = {(x, y) R 2 g(x, y) = 0}, representa localmente o gráfico da solução do problema de valor inicial dado. Recorde-se que o teorema da existência e unicidade de solução de equações diferenciais de primeira ordem, só garante a existência de solução numa vizinhança do ponto inicial. Sabemos também que, de uma forma geral, só podemos garantir a existência de funções definidas implicitamente numa vizinhança de um ponto. Encontre a solução geral da equação (usando sofware como o Mathematica, se quiser) ( 1 + e xy y + y cos(xy) ) dx + ( 1 + e xy x + x cos(xy) ) dy = 0, onde M(x, y) = 1 + e xy y + y cos(xy) e N(x, y) = 1 + e xy x + x cos(xy). Facilmente se verifica que estamos na presença de uma equação diferencial exacta. Integrando M em ordem a x tem-se ( φ(x, y) = 1 + e xy y + y cos(xy) ) dx + h(y) = x + e xy + sin(xy) + h(y). Derivando φ a ordem a y e igualando a N(x, y) vem h (y) = 1 permitindo concluir que a solução geral da equação diferencial exacta dada é definida implicitamente pela equação e xy x + y + sin(xy) = C Equações Diferenciais Redutíveis a Exactas Nalguns casos, quando a equação diferencial (3.10) não é exacta, é possível multiplicar a equação por uma dada função de forma a torná-la exacta. Este é um procedimento similar ao usado para resolver equações difrenciais lineares de primeira ordem. Consideremos a equação diferencial (3.10) Multiplique esta equação por uma função γ(x, y). M(x, y) + N(x, y) dy = 0. (3.17) dx Vem γ(x, y)m(x, y) + γ(x, y)n(x, y) dy = 0. (3.18) dx

36 Capítulo 2. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Pag. 36 Esta nova equação é exacta se e só se γ y ou, o que é o mesmo, (x, y)m(x, y) + γ(x, y) M y γ γ (x, y)m(x, y) y (x, y) = γ x ( M x (x, y)n(x, y) + y (x, y)n(x, y) + γ(x, y) N (x, y), x (x, y) N x (x, y) ) γ(x, y) = 0 Se γ(x, y)m(x, y)+γ(x, y)n(x, y) dy = 0 é uma equação diferencial exacta, então a função dx γ é designada por factor integrante. Se a equação (3.18) é exacta, a sua solução poderá ser determinada usando o método descrito anteriormente. Qualquer solução da equação M(x, y) + N(x, y) dy dx = 0 é solução de (3.18). Realmente, se y(x) é solução da equação inicial, tem-se M(x, y) + N(x, y) dy = 0 para todo o x do domínio de y. Logo, como (3.18) pode ser escrita como dx o produto ( γ(x, y) M(x, y) + N(x, y) dy ) = 0, dx y é solução de (3.18). Contudo, nem todas as solução da equação (3.18) são soluções da equação inicial. Por exemplo, poderemos ter uma função ȳ tal que γ(x, ȳ(x)) = 0 para todo o x no domínio de ȳ e ȳ poderá não ser solução da equação inicial. Precisamos então de verificar quais as soluções de (3.18) que são soluções de No caso de γ(x, y) 0, para todo o (x, y), então tal verificação não será necessária. Infelizmente, a determinação de factores integrantes nem sempre é tarefa fácil. Na prática, eles só são usados em casos especiais. A maior parte das situações em que factores integrantes podem ser determinados ocorre quando γ depende de uma só variável. Será fundamentalmente com este tipo de situações que iremos trabalhar neste capítulo. Determinamos agora condições necessárias e suficientes sobre M e N para garantir que a equação (3.17) tem um factor integrante que depende só de x. Se γ é uma função só de x, então ( ) γ(x)m(x, y) y ( ) γ(x)n(x, y) x = γ(x) M (x, y) y = γ x N(x, y) + γ(x) N (x, y). x