Os dados expostos nesse levantamento têm consequências sociais relacionadas ao trabalho, à família, à educação e a muitos outros temas importantes.

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1 Introdução De acordo com um estudo realizado pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística), a quantidade de mulheres no Brasil é maior que a de homens. As informações de 2007 destacam que existem 95,3 homens para cada grupo de 100 mulheres. IESDE Brasil S.A. Os dados expostos nesse levantamento têm consequências sociais relacionadas ao trabalho, à família, à educação e a muitos outros temas importantes. Evidentemente, essa desproporção de mulheres em relação à quantidade de homens varia de acordo com a região. Segundo estudiosos em demografia, a quantidade de homens é maior no interior dos estados, onde as atividades ligadas à agricultura são mais exploradas. Já nos grandes centros urbanos, a mortalidade masculina, tanto infantil quanto adulta, é maior do que a feminina, principal razão pela qual a quantidade de mulheres é maior nessas áreas. Observe uma interessante tabela que apresenta a quantidade de homens para cada grupo de 100 mulheres em algumas grandes cidades brasileiras no ano de 2007:

2 Homem x Mulher: quantidade de homens para cada grupo de 100 mulheres (IBGE) Curitiba 95,3 Porto Alegre 93,3 Belo Horizonte 93,1 São Paulo 91,0 Salvador 90,7 Fortaleza 89,1 Belém 89,1 Rio de Janeiro 88,5 Recife 87,8 Fonte: IBGE Fonte: IBGE Com o auxílio dessa tabela é possível calcular o percentual de homens em Recife, por exemplo. Em outras palavras, ao se escolher uma pessoa ao acaso em Recife, a tabela permite calcular a probabilidade de essa pessoa ser um homem. As probabilidades são designadas por eventos. Entre as informações anteriores, alguns eventos seriam uma mulher em Recife ou um homem em Porto Alegre. Cada evento tem uma probabilidade de ocorrência que pode ser expressa por um número de 0 a 1, ou de forma equivalente, em porcentagem, por um número de 0% a 100%. A probabilidade de que você venha a morrer algum dia é 1 ou 100%, pois a morte, algum dia, é certa. Em contraste, a probabilidade de um evento impossível ocorrer é 0. Por exemplo, a probabilidade de o falecido cantor Barry White reaparecer e cantar a música You re the first, the last, my everything é 0 ou 0%. A figura a seguir apresenta algumas designações possíveis de eventos e suas correspondentes probabilidades: 248

3 certo 1 a 100% provável chances iguais 0,5 a 50% improvável impossível 0 a 0% Antes de definir o conceito de probabilidade, fique atento às próximas ideias relacionadas à probabilidade. Espaço amostral e evento aleatório Dado um experimento, o conjunto formado por todos os seus resultados possíveis é denominado espaço amostral. Denotando por S o espaço amostral no lançamento de um dado, temos que: S = {1; 2; 3; 4; 5; 6 } Quando realizamos um experimento, geralmente estamos em busca de alguns resultados de nosso interesse. Esses resultados constituem o que denominamos evento. Mais formalmente, evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Por exemplo, o evento A formado pelos resultados pares do dado é o subconjunto A = {2; 4; 6} contido em S. Outros exemplos de eventos no lançamento de um dado seriam B = {1; 3; 5}, correspondendo aos números ímpares; C = {1}, aos números menores que 2, ou D= {3;6}, aos números múltiplos de 3. Dessa forma, enquanto que espaço amostral é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento, evento é qualquer sub 249

4 conjunto do espaço amostral. Como podemos calcular a probabilidade de o resultado do lançamento de um dado comum ser par, por exemplo? A probabilidade de o resultado ser par é obtida dividindo o número de elementos do evento A (apenas os pares) pelo número de elementos do espaço amostral (todos os números), ou seja: p(a) = n (A) n (S) = 3 6 = 1 = 0,50 = 50% 2 Como se observa, o conceito de probabilidade baseia-se em uma operação de divisão. Probabilidade de um evento A probabilidade de ocorrer um evento A, contido em um espaço amostral S, é o número real dado por: p(a) = n (A) n (S) ou número de resultados favoráveis p(a) = número de resultados possíveis Exemplo 1: Considerando um experimento aleatório que consiste no lançamento de duas moedas, qual a probabilidade de as duas moedas apresentarem faces iguais? O espaço amostral do experimento, conjunto formado por todos os resultados possíveis do experimento, é dado por: S = {(Ca, Ca); (Ca, Co); (Co, Ca); (Co, Co)} O evento A formado pelos resultados que apresentam duas faces iguais é dado por: A = {(Ca, Ca); (Co, Co)} Logo, a probabilidade de se obter duas faces iguais no lançamento de 250

5 duas moedas comuns é igual a: p(a) = 2 4 = 1 = 0,50 = 50% 2 Exemplo 2: Considere novamente a tabela e responda: Homem x Mulher: quantidade de homens para cada grupo de 100 mulheres (IBGE) Curitiba 95,3 Porto Alegre 93,3 Belo Horizonte 93,1 São Paulo 91,0 Salvador 90,7 Fortaleza 89,1 Belém 89,1 Rio de janeiro 88,5 Recife 87,8 Fonte: IBGE a) Escolhida uma pessoa ao acaso em Recife, calcule a probabilidade de ser um homem. Em Recife existem 87,8 homens para cada grupo de 100 mulheres. Então, devido à proporção, pode-se considerar a quantidade de elementos do espaço amostral como sendo a soma 87, = 187,8. Dessa forma, a probabilidade de se obter um homem, na escolha de uma pessoa ao acaso, é igual a: número de homens em Recife p(homem em Recife) = número de pessoas em Recife = 87,8 0,468 = 46,8% 187,8 Conclusão: os dados indicam que 46,8% das pessoas de Recife são do sexo masculino. b) Qual é o percentual de mulheres em Curitiba? Em Curitiba existem 95,3 homens para cada grupo de 100 mulheres. Logo, o percentual de mulheres em Curitiba é igual a: número de mulheres em Curitiba p(mulher em Curitiba) = número de pessoas em Curitiba = ,3 0,512 = 51,2% 251

6 Exemplo 3: Existem estudantes em um colégio. O gráfico de setores a seguir apresenta a distribuição das preferências de profissões entre os alunos. Se um aluno desse colégio é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de preferir Direito? Medicina 840 Direito Engenharia Outros 966 A probabilidade de escolher ao acaso um aluno que prefere o curso de Direito, denotada por P(D), é dada por: número de alunos que preferem Direito p(d) = número total de alunos do colégio p(d) = = 23 = 0,23 = 23% 100 Portanto, 23% dos alunos do colégio preferem o curso de Direito. Exemplo 4: Considere um baralho comum, composto de 52 cartas, sendo 13 delas de espadas ( ). a) Retirando-se ao acaso uma carta de um baralho comum, qual a probabilidade de ser uma carta de espadas? Thinkstock. 252

7 Todas as cartas têm a mesma probabilidade de serem escolhidas. Logo, a probabilidade de a carta retirada ser de espadas é dada por: número de cartas de espada p(espadas) = número de cartas do baralho p(espadas) = = 1 = 0,25 = 25% 4 b) E qual a probabilidade de não ser de espadas? Se, das 52 cartas, 13 são de espadas, então as 39 restantes não são de espadas. Assim, a probabilidade de a carta não ser uma figura é P(não de espadas) = No exemplo anterior, observe que: P(espadas) + P(não de espadas) = = = 1. Isso ocorre sempre que dois eventos são complementares. Exemplo 5: Um saco contém 12 bolas verdes e 8 bolas amarelas. Quantas bolas azuis devem ser colocadas no saco, de modo que a probabilidade de retirarmos do mesmo, aleatoriamente, uma bola azul seja 2/3? O saco contém 20 bolas no total, todas não azuis. Se acrescentarmos x bolas azuis, o saco ficará com (20 + x) bolas no total. Se na retirada a probabilidade de ocorrer uma bola azul deve ser 2/3, então x deve satisfazer a equação: P(Azul) = 2 3 ou x 20 + x = 2 3 Resolvendo, temos: 3x = x x = 40 Logo, devem ser colocadas 40 bolas azuis. 253

8 Exemplo 6: Observe o hexágono regular representado na figura: Escolhendo-se aleatoriamente três vértices do hexágono anterior, qual a probabilidade de ser formado um triângulo equilátero? O total de maneiras de escolhermos três vértices do hexágono é C 3 = 6 20 Para que seja formado um triângulo equilátero, temos as duas possibilidades representadas a seguir: Assim, a probabilidade do triângulo formado ser equilátero é igual a P = 2 20 = 1 = 0,10 = 10% 10 Eventos complementares Se A é um evento qualquer, designamos o evento complementar de A por A. Dois eventos A e A são complementares em relação ao mesmo espaço amostral S, quando A A = e A A = S. Para ilustrar, observe no diagrama os eventos A e A de um espaço amostral S: 254

9 S A A Considere um espaço amostral S, finito e não vazio, e um evento A S. Sendo n(a) o número de resultados do evento A, podemos escrever n(a) + n(a) = n(s) dividindo todos os termos por n(s): n(a) n(s) + n(a) n(s) = n(s) n(s) Substituindo as probabilidades correspondentes, temos: P(A) + P(A) = 1 Portanto, a soma das probabilidades de eventos complementares é sempre igual a 1. Observação: Se os eventos A e A são complementares, então A é complementar de A e, analogamente, A é complementar de A. Assim, a relação anterior permite calcular a probabilidade de um deles, conhecendo-se a probabilidade do outro. Exemplo 1: Uma moeda é viciada de modo que a probabilidade de ocorrer cara é o dobro de ocorrer coroa. Lançando essa moeda uma única vez, qual a probabilidade de ocorrer cara? Considere que a probabilidade de ocorrer coroa seja x, P(Co) = x. Dessa forma, a probabilidade de ocorrer cara será 2x, ou seja, P(Ca) = 2x. Como os dois eventos são complementares, podemos escrever: P(Ca) + P(Co) = 1 2x + x = 1 3x = 1 255

10 x = 1/3 Logo, a probabilidade de ocorrer cara é 1/3 0,3333 = 33,33%. Exemplo 2: Num curso de Inglês, a distribuição das idades dos alunos é apresentada no gráfico: No eixo horizontal são apresentadas as idades dos alunos e no eixo vertical o número de alunos correspondente a cada idade. Com base nos dados do gráfico, determine: a) O número total de alunos do curso. O número total de alunos do curso pode ser obtido somando a quantidade de alunos em cada categoria de idade. Assim, o número total de alunos é igual a: = 20 alunos b) Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade de sua idade ser de, no mínimo, 18 anos? Ter no mínimo 18 anos é ter 18, 19, 20 ou 21 anos. Existem = 11 alunos com no mínimo 18 anos. Logo, a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ter no mínimo 18 anos é igual a: P = 11/20 = 0,55 = 55%. c) Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade de sua idade ser 17 anos ou menos? Os alunos que têm 17 anos ou menos são os que têm 17 ou 16 anos. Exis 256

11 tem 9 alunos com 17 anos ou menos. Portanto, a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ter 17 anos ou menos é igual a: P = 9/20 = 0,45 = 45% Pode-se observar que os eventos ter no mínimo 18 anos e ter 17 anos ou menos são complementares e, por isso, a soma das probabilidades resulta 100% (55% + 45%). Probabilidade da união de eventos Um baralho comum é constituído por 52 cartas distintas: Ace T Jack Queen King Clubs Diamonds: Hearts: Spades: Das 52 cartas, 12 são figuras: {K, K, K, K, Q, Q, Q, Q, J, J, J, J } As 40 cartas restantes não são figuras. Suponha que uma carta seja escolhida ao acaso de um baralho completo. Considere os seguintes eventos: A: a carta é uma figura A: a carta não é uma figura A probabilidade de a carta escolhida ser uma figura é igual a: p(a) = A probabilidade de a carta escolhida não ser uma figura é: 257

12 p(a) = Observe que os eventos são complementares: p(a) + p(a) = = 1 Exemplo: Num colégio existem alunos, sendo que exatamente 600 encontram-se no Ensino Médio. Os demais são alunos do Ensino Fundamental. Se um aluno do colégio é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de ser do Ensino Médio? E qual a probabilidade de ser do Ensino Fundamental? O que podemos dizer sobre esses eventos? Existem alunos, sendo 600 do Ensino Médio e 900 do Ensino Fundamental. Logo, a probabilidade de o aluno escolhido ser do Ensino Médio é igual a: p(médio) = = 0,40 A probabilidade de o aluno escolhido ser do Ensino Fundamental é igual a: p(fundamental) = = 0,60 Os eventos são complementares e, portanto, verificam a condição: p(médio) + p(fundamental) = 0,40 + 0,60 = 1 Retornando ao cálculo de probabilidades com o auxílio de um baralho, vamos considerar a seguinte situação: Retirando uma carta ao acaso de um baralho comum, qual a probabilidade de ser uma figura ou uma carta de copas? Um baralho possui 12 figuras e 13 cartas de copas entre suas 52 cartas. Como estamos interessados nas figuras ou nas cartas de copas podendo ser ambas começaremos adicionando as probabilidades correspondentes: p(figura) + p(copas) = Entretanto, existem 3 cartas que são simultaneamente figuras e de copas: 258

13 12 figuras 13 de Copas K Q J K Q J K Q J K Q J A figuras de copas Portanto, não encontraremos a resposta simplesmente adicionando as probabilidades. Como as 3 cartas comuns foram contabilizadas tanto entre as figuras quanto entre as de copas, é preciso subtrair a probabilidade de a carta retirada ser uma figura de copas. A probabilidade de a carta ser uma figura de copas é igual a: p(figura de copas) = 3 52 Logo, a probabilidade de a carta ser uma figura ou de copas é: p(figura de copas) = p(figura de copas) = = O resultado mostra que, das 52 cartas do baralho, exatamente 22 delas são figuras ou de copas, pois 22 = Esse exemplo ilustrou o cálculo da probabilidade da união de dois eventos: Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral A, a probabilidade do evento A B é igual à probabilidade do evento A, adicionada à probabilidade do evento B, subtraída da probabilidade do evento A B: p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) 259

14 Podemos provar a validade dessa relação para quaisquer eventos A e B de um mesmo espaço amostral S. Da teoria dos conjuntos, podemos escrever: n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) Dividindo todos os termos por n(s), temos: n(a B) = n(a) n(s) n(s) + n(b) n(a B) n(s) n(s) Substituindo as probabilidades correspondentes, temos: p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) De forma equivalente, podemos também utilizar algumas palavras convenientes em substituição das operações entre conjuntos: p(a ou B) = p(a) + p(b) p(a e B) Nesse caso é conveniente lembrar que A ou B significa a ocorrência de pelo menos um dos eventos, ou seja, ocorrer A, ocorrer B ou ocorrer ambos. Exemplo: Uma urna contém 100 bolas numeradas de 1 a 100. Se retirarmos uma bola aleatoriamente dessa urna, qual a probabilidade dela conter um número múltiplo de 2 ou de 5? Evento A: múltiplos de 2 A = {2; 4; 6;...; 100} 50 múltiplos de 2 Evento B: múltiplos de 5 B = {5; 10; 15;...; 100} 20 múltiplos de 5 Evento A B: múltiplos de 10 (2 e 5) A B = {10; 20;...; 100} 10 múltiplos de 10 Probabilidade de A B: p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) p(a B) = = 60 = 0,60 = 60% 100 A probabilidade da união de dois eventos pode ser simplificada nos casos em que os eventos não apresentam elementos comuns. 260

15 Dois eventos são mutuamente exclusivos quando é impossível ocorrerem simultaneamente. Isto é, os eventos A e B são mutuamente exclusivos, se A B =. S A B No lançamento de um dado comum, por exemplo, os eventos A: o número observado é maior que 4 e B: o número observado é menor que 3 são mutuamente exclusivos: A = {5; 6} e B = {1; 2} A B = Observe que dois eventos mutuamente exclusivos não apresentam resultados comuns. Dessa forma, se dois eventos, A e B, são mutuamente exclusivos, a probabilidade de ocorrer A e B é igual a zero, ou seja: p(a B) = 0 B resume-se à soma das pro Consequentemente, a probabilidade de A babilidades de A e B: p(a B) = p(a) + p(b) Se dois eventos, A e B, são mutuamente exclusivos, a probabilidade de A B é igual à soma da probabilidade do evento A com a do evento B: p(a B) = p(a) + p(b) Exemplo 1: Se uma carta é selecionada aleatoriamente de um baralho, qual a probabilidade de ser um rei ou uma dama? 261

16 Num baralho, não existem cartas que sejam simultaneamente reis e damas. Os eventos ser um rei e ser uma dama são, portanto, mutuamente exclusivos. Como existem 4 reis e 4 damas entre as 52 cartas do baralho, a probabilidade de a carta retirada ser um rei ou uma dama é a soma das probabilidades individuais de cada evento: p(rei ou dama) = p(rei) + p(dama) p(rei ou dama) = p(rei ou dama) = ,38% Logo, a probabilidade é aproximadamente igual a 15,38%. Exemplo 2: A tabela apresenta os resultados de uma pesquisa, realizada em um colégio, quanto à preferência dos alunos na modalidade de esporte praticado. Cada aluno escolheu um único esporte. Esporte Quantidade de alunos Atletismo 15 Basquete 30 Futebol 65 Natação 25 Vôlei 35 Total 170 Escolhendo ao acaso um aluno que tenha participado da pesquisa, responda: a) Qual a probabilidade de preferir futebol? A probabilidade de preferir futebol é igual a: p(futebol) = = 13 0,3824 = 38,24% 34 b) Qual a probabilidade de preferir atletismo ou vôlei? A probabilidade de preferir atletismo ou vôlei é igual a: p(atletismo ou vôlei) = p(atletismo) + p(vôlei) 262

17 p(atletismo ou vôlei) = = Exemplo 3: 0,2941 = 29,41% Em um colégio, uma pesquisa tinha por objetivo saber quantos alunos estavam matriculados em algum curso de idiomas. Essa pesquisa revelou que 250 alunos estudavam espanhol, 430 estudavam inglês, 50 estudavam espanhol e inglês, e 170 não estudavam idioma algum. Escolhendo aleatoriamente um aluno que participou da pesquisa, qual a probabilidade de que ele estude somente um dos idiomas? Observe o diagrama a seguir: inglês espanhol nenhum Escolhendo ao acaso um aluno que participou da pesquisa, a probabilidade de que ele estude somente um dos idiomas é igual a: p = = = = 0,725 = 72,5% Probabilidade da intersecção de eventos Uma das mais importantes relações da teoria das probabilidades é a probabilidade da intersecção de eventos. Tanto problemas relacionados a acontecimentos sucessivos quanto a simultâneos podem ser resolvidos com o auxílio dessa ferramenta. Sendo A e B eventos de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de ocorrer A e B, indicada por p(a B), é igual à probabilidade de A multiplicada pela probabilidade de B, dada a ocorrência de A: p(a B) = p(a). p(b/a) Observação: Observe que p(a B) = p(b A). Assim, podemos também expressar p(a B) da seguinte maneira: 263

18 p(a B) = p(b). p(a/b) Exemplo 1: Considere um baralho comum composto por 52 cartas. Ao retirarmos uma carta ao acaso desse baralho, qual a probabilidade de ser um rei de copas? O baralho possui apenas um rei de copas (K ). Logo, a probabilidade é dada por: p(rei de copas) = 1 52 A probabilidade da intersecção de eventos pode ser utilizada para calcular a probabilidade de obtermos um rei de copas. Para tanto, bastaria considerarmos que o rei de copas é uma carta que simultaneamente é rei e é de copas. Observe: p(rei de copas) = p(rei e copas) p(rei de copas) = p (R e C) Desmembrando a probabilidade da intersecção num produto, temos: p(rei de copas) = p(r). p(c/r) A probabilidade de uma carta escolhida ao acaso ser um rei é igual a: p(r) = 4 52 Existem 4 reis no baralho sendo que, destes, apenas um é de copas. Logo, a probabilidade de a carta escolhida ser de copas, sabendo-se que é um rei, é igual a: p(c/r) = 1 4 Assim, podemos escrever: p(rei de copas) = p(rei de copas) = 1 52 O resultado mostra que podemos calcular a probabilidade desmembrando o evento simultâneo rei de copas em dois outros. 264

19 Exemplo 2: Considere uma urna composta por 10 bolas, sendo 3 azuis e 7 brancas. Se duas bolas forem retiradas ao acaso, sucessivamente e sem reposição, qual a probabilidade de a primeira ser azul e a segunda ser branca? Há na urna 10 bolas, sendo 3 azuis. Logo, a probabilidade de a primeira ser azul é p(a 1 ) = 3. Após a retirada da primeira bola azul, restam 9 bolas, sendo 7 10 delas brancas. Assim, a probabilidade de a segunda ser branca, dado que a primeira foi azul, é p(b 2 / A 1 ) = 7 9. Portanto, a probabilidade de a primeira ser azul e a segunda ser branca é dada por: p(a 1 B 2 ) = p(a 1 ). p(b 2 / A 1 ) p(a 1 B 2 ) = p(a 1 B 2 ) = ,2333 = 23,33% Nesse exemplo podemos perceber que a relação da probabilidade de intersecção de eventos também pode ser utilizada na resolução de problemas relacionados a eventos sucessivos. Exemplo 3: Uma urna tem 5 bolas, sendo 3 amarelas e 2 brancas. Duas bolas são retiradas, aleatoriamente e sem reposição, dessa urna. Qual a probabilidade de que ambas sejam amarelas? p(a 1 e A 2 ) = p(a 1 ). p(a 2 /A 1 ) p(a 1 e A 2 ) = = 6 20 = 3 = 0,30 = 30% 10 Exemplo 4: O corpo docente de uma escola é formado por 4 professores de Matemática e 16 professores de outras disciplinas. Três professores serão escolhidos ao acaso para acompanhar os alunos em uma viagem. Qual a probabilidade de que seja escolhido exatamente um professor de Matemática? Sendo M um professor de Matemática e O um professor de outra disciplina, vamos calcular a probabilidade de ocorrer o resultado MOO. 265

20 p(m e O e O) = Devemos agora considerar que se o sorteio se desse em outra ordem também teríamos um professor de Matemática e dois de outras disciplinas, ou seja, os resultados OMO e OOM também são válidos. Logo, a probabilidade calculada inicialmente deve ser multiplicada por 3: p(1m e 2O) = = 8 19 Probabilidade condicional Considere uma pesquisa realizada com 50 estudantes de um colégio sobre a preferência de estudo entre os cursos de Administração e Economia. Os resultados da pesquisa encontram-se na próxima tabela: Sexo Curso Administração Economia Total Masculino Feminino Total Interpretando adequadamente as informações da tabela, vamos relacioná-las com o cálculo de probabilidades por meio do próximo exemplo. Exemplo: Escolhendo ao acaso um estudante da pesquisa, responda: a) Qual a probabilidade de ser do sexo masculino? Sendo p(m) a probabilidade de o estudante ser do sexo masculino, p(m e A) de o estudante ser do sexo masculino e preferir administração, e p(a/m) de o estudante preferir administração, sabendo-se que é do sexo masculino, temos: p(m) = 15 ou p(m) = 0,30 = 30% 50 O resultado indica que 30% dos alunos são do sexo masculino. b) Qual a probabilidade de ser do sexo masculino e preferir administração? 266

21 p(m e A) = 10 ou p (M A) = 0,20 = 20% 50 O resultado indica que 20% dos alunos são do sexo masculino e preferem administração. c) Sabendo-se que é do sexo masculino, qual a probabilidade de preferir administração? p(a / M) = ou p (A / M) = 2 0,6667 = 66,67% 3 O resultado indica que, dos alunos do sexo masculino, 66,67% destes são do sexo masculino. d) O que se pode concluir dividindo o resultado do item (b) pelo do item (a)? Vamos dividir os resultados mencionados: 10 p (M A) 50 = = 10 p (M) = 10 = p(a / M) O quociente da divisão de p(m A) por p(m) é a resposta do item (c). Tal relação sugere que podemos obter o valor de uma probabilidade condicional, p(a/m), dividindo a probabilidade de intersecção, p(m A), pela probabilidade da condição, p(m). Quando representamos uma probabilidade por p(a/b), estamos nos referindo à probabilidade do evento A na certeza da ocorrência do evento B. Assim, nesse caso, o evento B é certo, enquanto o evento A é incerto. A probabilidade do evento A, dada a ocorrência do evento possível B, representada por p(a/b), é igual à probabilidade do evento A B dividida pela probabilidade do evento B: p(a / B) = p (A B) p (B), p(b) 0 É importante destacar que o cálculo de uma probabilidade condicional é derivado de um raciocínio simples. Isto é, na probabilidade condicional p(a/b), a condição é a ocorrência certa de B. Logo, o espaço amostral do experimento é reduzido apenas ao evento B, que passa a ser denominador do quociente, ou seja, p(b) é denominador. Se essa condição é certa, naturalmente deve ocorrer no numerador. Portanto, o evento incerto, A, deve ocorrer simultaneamente ao B. Assim, o numerador é p(a B). Isso explica a fórmula da probabilidade condicional. 267

22 268 Em geral, p(a/b) não é igual a p(b/a). Isso ocorre porque, apesar de ambas as probabilidades condicionais apresentarem o mesmo numerador, cada uma delas tem um denominador diferente, já a condição considerada não é a mesma. Observe: p(b / A) = Exemplo 1: p (A B) p (A), p(a) 0 Um pescador sai diariamente para pescar, com probabilidade de 30% em dias de chuva e de 80% nos demais dias. Se onde ele mora a probabilidade de chuva num dia qualquer é de 40%, então: a) Qual a probabilidade de que o pescador vá pescar amanhã? Sendo: p(p) a probabilidade de pesca em um dia qualquer; p(c/p) a probabilidade de chuva em um dia de pescaria; p(c) = 40% a probabilidade de ocorrer chuva num dia qualquer; p(c) = 60% a probabilidade de não ocorrer chuva num dia qualquer; p(p/c) = 30% a probabilidade de pesca em um dia de chuva; p(p/c) = 80% a probabilidade de pesca em um dia de não chuva, temos: p(p) = p(c P) + p(c P) p(p) = p(c). p(p / C) + p(c). p(p / C) p(p) = 40%. 30% + 60%. 80% p(p) = p(p) = = = 60% b) Qual é a probabilidade de chuva em um dia de pescaria? p(c P) p(c / P) = p(p) p(c / P) = 12% 60% = = 1 = 0,20 = 20% 5

23 O resultado indica que, das vezes em que o pescador vai pescar, em 20% delas chove. Exemplo 2: Dois dados não viciados foram lançados. a) Qual a probabilidade de que a soma dos números das faces voltadas para cima tenha sido igual a 7? O espaço amostral do experimento é o conjunto S dado por: S = (1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) (2;1), (2;2), (2;3), (2;4), (2;5), (2;6) (3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (3;5), (3;6) (4;1), (4;2), (4;3), (4;4), (4;5), (4;6) (5;1), (5;2), (5;3), (5;4), (5;5), (5;6) (6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5), (6;6) Existem 6 pares ordenados que fornecem soma 7. Assim, a probabilidade de que a soma dos números das faces voltadas para cima tenha sido 7 é igual a: 6 p(soma 7) = 36 = 1 6 b) Qual a probabilidade de que a soma dos números das faces voltadas para cima tenha sido igual a 5? Existem 4 pares ordenados que fornecem soma 5. Assim, a probabilidade de que a soma dos números das faces voltadas para cima tenha sido 5 é igual a: 4 p(soma 5) = 36 = 1 9 c) Qual a probabilidade de que a soma dos números das faces voltadas para cima tenha sido igual a 7, sabendo que não foi igual a 5? Se sabemos que a soma não foi igual a 5, desconsideramos, do espaço amostral, os pares ordenados (1; 4), (2; 3), (3; 2) e (4; 1). Logo, a probabilidade de que a soma dos números das faces voltadas para cima tenha sido igual a 7, sabendo que não foi igual a 5, é igual a: p(soma 7 / não 5) = = 6 32 =

24 Distribuição binomial de probabilidades Thinkstock. Um esportista dispara flechas em um alvo. Suponha que, em uma tentativa qualquer, ele tenha 80% de chance de acertar o alvo na região destacada, independentemente de outro disparo. Se ele realiza cinco disparos, qual a probabilidade de acertar exatamente dois deles? Em cinco disparos, ele deve acertar 2 e errar 3, logo, sendo p(a) = 80% a probabilidade de ele acertar o alvo e p(e) = 20% a probabilidade de ele não acertar, temos: p(2 Acertos) = p(a). p(a). p(e). p(e). p(e) p(2 Acertos) = 80%. 80%. 20%. 20%. 20% p(2 Acertos) = (0,80) 2. (0,20) 3 Entretanto, se os dois acertos e os três erros ocorressem em outra ordem, também teríamos o resultado pretendido. Logo, é preciso ainda escolher 2 acertos entre os 5 disparos. Isso pode ser feito de C 2 5 maneiras. Logo, a probabilidade de apenas 2 acertos em 5 disparos é dada por: p(2 Acertos) = C 2 5. (0,80) 2. (0,20) 3 p(2 Acertos) = ,64. 0, p(2 Acertos) = 10. 0,64. 0,008 p(2 Acertos) = 0,0512 = 5,12% 270

25 A probabilidade de ele, em 5 disparos, acertar exatamente 2 deles é 5,12%. Esse exemplo ilustrou uma situação em que utilizamos a ideia de probabilidade binomial. Considere um experimento aleatório que será realizado n vezes e com as seguintes características: cada resultado do experimento pode ser classificado em apenas uma de duas categorias: sucesso ou fracasso; os eventos são independentes; p é a probabilidade de um sucesso e (1 p) é a de um fracasso. Nessas condições, a probabilidade de ocorrer um número k de sucessos é dada por: p(k sucessos) = C k n. p k. (1 p) n k ; k = 0, 1, 2,..., n As probabilidades destacadas na fórmula anterior constituem-se, em termos, de um binômio de Newton. Por isso a denominação binomial. Exemplo 1: Uma moeda não viciada é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de obtermos 2 caras e 4 coroas? Vamos inicialmente calcular a probabilidade de obtermos cara nas duas primeiras vezes e coroa nas outras quatro vezes: p (CaCaCoCoCoCo) = = 1 64 No entanto, observe que poderíamos obter duas caras e quatro coroas em outra ordem. O total de maneiras de escolher as duas posições em que as caras irão aparecer é C 2 6 = 15. Assim, devemos multiplicar a primeira probabilidade obtida por 15, ou seja: p (2Ca e 4Co) = =

26 Portanto, a probabilidade de obtermos 2 caras e 4 coroas em 6 lançamentos de uma moeda comum é 15/64. Exemplo 2: Um aluno não estudou para uma prova de Matemática e, por isso, não sabia resolver questão alguma de uma prova composta por 10 questões com 5 alternativas cada uma, onde apenas uma era correta. Se esse aluno respondeu todas as questões ao acaso, qual a probabilidade de que ele tenha acertado exatamente 4 questões da prova? A probabilidade de o aluno acertar uma questão no chute é 1 5. Consequentemente, a probabilidade de ele errar é 4. Assim, a probabilidade de o 5 aluno ter acertado exatamente 4 questões da prova é igual a: p(4 acertos) = C = = ,088 = 8,8% Exemplo 3: Um casal pretende ter 5 filhos. Qual a probabilidade de que nasçam pelo menos 4 meninas? A probabilidade de que nasçam pelo menos 4 meninas é igual à soma das probabilidades de nascer 4 ou 5 meninas. Probabilidade de nascer exatamente 4 meninas em 5 crianças: p(4 meninas) = C = 5 32 Probabilidade de nascer 5 meninas em 5 crianças: p(5 meninas) = C = 1 32 Portanto, a probabilidade do nascimento de 4 ou 5 meninas em 5 crianças é dada por: p(4 meninas ou 5 meninas) = = 0,1875 = 18,75% 16 Exemplo 4: Suponha que, no trajeto de carro do colégio até sua casa, a probabilidade de um semáforo estar aberto (luz verde) seja igual 1/3. Considere também que existam um total de 4 semáforos não sincronizados nesse trajeto. 272

27 a) Qual a probabilidade de que exatamente dois semáforos estejam abertos? A probabilidade de o semáforo estar é 1/3 e a de não estar aberto é 2/3, logo: 2 2 p(2 abertos) = C p(2 abertos) = = 24 0,2963 = 29,63% 81 b) Qual a probabilidade de que exatamente três semáforos não estejam abertos? Se exatamente três não estiverem abertos, apenas um estará aberto, então: 1 3 p(1 aberto) = C p(1 aberto) = = ,3951 = 39,51% c) Qual a probabilidade de que exatamente k semáforo(s), k = 0, 1, 2, 3, 4, esteja(m) aberto(s)? k 4 k p(k abertos) = C k , k = 0, 1, 2, 3, 4 Ampliando seus conhecimentos O próximo texto foi extraído do livro Matemática, Cadê Você?: Sobre Números, Personagens, Problemas e Curiosidades. Pesquisa com pergunta proibida (PAENZA, 2009, p ) Esse exemplo mostra uma maneira sutil de evitar um problema. Suponhamos que alguém queira pesquisar um grupo de pessoas sobre um tema crítico, delicado. Digamos, por exemplo, que se queira averiguar a porcentagem de jovens que consumiram alguma droga durante o Ensino Médio. É possível que a maioria se sentisse incomodada se tivesse que responder sim. Naturalmente, isso destruiria o valor de verdade da pesquisa. Como fazer então para contornar o obstáculo do pudor ou incômodo que a pergunta gera? 273

28 No exemplo, o entrevistador quer perguntar a cada aluno se ele consumiu alguma droga durante o Ensino Médio e diz a ele que o método que vão usar é o seguinte: O jovem entrará numa cabine cega, como se fosse votar, e se disporá a jogar uma moeda. Ninguém está vendo o que ele faz. Só lhe pedem que respeite as regras: 1) se saiu cara, ele deve responder sim (seja qual for a resposta verdadeira); 2) se saiu coroa, deve responder a verdade. De qualquer forma, a única testemunha do que o jogador faz ou diz é ele mesmo. Com esse método, esperam-se pelo menos 50% de respostas positivas (que são as que provêm da estimativa de que saiu cara na metade das vezes). Em contrapartida, quando alguém diz que não, é porque a resposta verdadeira é não. Ou seja, esse jovem não se drogou. Entretanto, suponhamos que haja 70% das respostas positivas (disseram que sim). Isso não quer dizer algo? Ou seja, não é tentador dizer que com esses dados seria possível tirar alguma conclusão? Como sempre, convido-o a pensar um pouco sozinho. E, depois, continue com o raciocínio. Qualquer que seja o número de respostas positivas, era esperado de antemão que houvesse (ao menos) 50% delas. E isso acontece porque se supõe que, como a moeda não está viciada, deveria sair cara na metade das vezes. Com esse dado somente, sabe-se que, ao sair da cabine, a metade dos participantes deve dizer que sim. Mas, ao mesmo tempo, há outros 20% de respostas que são afirmativas e NÃO provêm do fato de que a moeda deu cara. Como interpretar esse dado? O fato é que isso está dizendo que, das vezes em que saiu coroa (que é a outra metade das vezes), 20% dos alunos disseram sim, que se drogaram. Como consequência, poderíamos inferir (e o convido a pensar comigo) que pelo menos 40% dos alunos foram consumidores de alguma droga. Por quê? Porque, dos 50% restantes, 20% (nada menos!) responderam que sim. E, justamente, 20% desses 50% significam 40% das pessoas. Esse sistema evita marcar quem responde sim e expô-lo a uma situação embaraçosa. Por outro lado, mantém viva a possibilidade de pesquisar o que se pretende. 274

29 Atividades de aplicação 1. As colunas a seguir relacionam designações de eventos com probabilidades de ocorrência dos eventos. Associe as colunas corretamente: I. Muita chance de ocorrer ( ) 0,5 II. Evento certo ( ) 0 III. Pouca chance de ocorrer ( ) 0,93 IV. Chances iguais ( ) 0,08 V. Evento impossível ( ) 1 2. Considere o lançamento de duas moedas distintas. Descreva o espaço amostral S do experimento e o evento A formado pelos resultados que apresentam duas caras. Logo após, calcule a probabilidade de ocorrer o evento A. 3. Paulo está rifando uma bicicleta em sua escola. A rifa é constituída de 100 diferentes números. Se você compra quatro desses números, que probabilidade tem de ganhar a bicicleta? 4. Sorteando um número natural não nulo de 1 a 100, qual a probabilidade de ele ser um: a) número par? b) número divisível por 3? c) número cujo algarismo das unidades é 7? d) número primo? 5. Em uma caixa encontram-se 30 bolas numeradas de 1 a 30. Ao se retirar uma bola ao acaso da caixa, calcule: a) a probabilidade de o número da bola retirada ser par. b) a probabilidade de o número da bola retirada ser múltiplo de 5. c) a probabilidade de o número da bola ser par ou múltiplo de Em uma escola foi feita uma pesquisa com os alunos do terceiro ano do Ensino Médio sobre o hábito de leitura de duas revistas A e B. Dos 275

30 250 alunos consultados, 112 afirmaram ler a revista A, 77 a revista B e 22 as duas revistas. Se um aluno do terceiro ano dessa escola é escolhido ao acaso, calcule: a) a probabilidade de ele ser leitor de apenas uma das revistas. b) a probabilidade de ele não ler qualquer uma das revistas. c) a probabilidade de ele ser leitor da revista A ou da revista B. 7. Em uma universidade, os alunos que ingressaram no início desse ano estão divididos em três áreas, de acordo com a tabela a seguir: Área Masculino Feminino Tecnologia Biológica Humanística Se escolhermos ao acaso um aluno dessa universidade, calcule a probabilidade de que ele seja do sexo masculino ou da área biológica. 8. Em uma caixa encontram-se 5 bolas verdes, 3 bolas pretas e 2 bolas azuis. Se retirarmos, aleatoriamente e sem reposição, duas bolas dessa caixa, calcule a probabilidade de: a) as duas bolas serem verdes. b) a primeira bola ser preta e a segunda azul. c) as duas bolas serem da mesma cor. 9. Uma amostra de um lote de peças contém 5 peças defeituosas e 15 peças perfeitas. Retirando-se, sem reposição, três peças do lote, calcule a probabilidade de que: a) as três peças sejam defeituosas. b) pelo menos uma peça seja defeituosa. c) exatamente uma peça seja defeituosa. 276

31 10. Dois jogadores, Lucas e João, lançam um dado. Lucas vencerá o jogo se o número da face voltada para cima do seu dado for maior do que ou igual ao número da face voltada para cima do dado de João. Calcule a probabilidade de que Lucas vença o jogo. 11. Ana disse para Bruno: Vou lançar um dado sem que você veja. Se você acertar, em uma única tentativa, o número da face voltada para cima, lhe dou R$10,00. Suponha que Ana, após lançar o dado, informe a Bruno que o número da face voltada para cima é ímpar. Qual a probabilidade de que Bruno ganhe os R$10,00? 12. Em uma universidade, a eleição para reitor reunirá dois candidatos A e B. Na última pesquisa, realizada com um grupo de 500 alunos, foi fornecida a seguinte tabela: Candidato Masculino Feminino Total A B Branco/nulo Total Escolhendo aleatoriamente um aluno da universidade que participou da pesquisa, calcule: a) a probabilidade de ser do sexo masculino e ter a intenção de votar no candidato A. b) a probabilidade de ser do sexo feminino, sabendo que tem a intenção de votar no candidato A. c) a probabilidade de ter a intenção de votar no candidato B, sabendo que é do sexo masculino. 13. Um dado honesto é lançado 10 vezes. Qual a probabilidade de a face voltada para cima exibir um número primo exatamente 4 vezes. 14. A probabilidade de um atirador acertar um alvo é de 80%. Ao realizar 5 disparos, qual a probabilidade de que ele acerte o alvo exatamente 3 vezes? 277

32 Referências ASIMOV, Isaac. Cronologia das Ciências e das Descobertas. Rio de Janeiro: Civilização Brasileira. BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher, DANTE, Luiz Roberto. Matemática contexto e aplicações. São Paulo: Ática. 472 p. v. 2. Edição reformulada. DEVLIN, Keith. O Gene da Matemática o talento para lidar com números e a evolução do pensamento matemático. Rio de Janeiro: Record, GARBI, Gilberto G. O Romance das Equações Algébricas. São Paulo: Makron Books, A Rainha das Ciências um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática. São Paulo: Livraria de Física, GAZETA DO POVO, 25 set Vida e Cidadania, p. 7. HOGBEN, Lancelot. Maravilhas da Matemática. 3. ed. Porto Alegre: Globo, IEZZI, Gelson et al. Matemática ciência e aplicações. 4. ed. São Paulo: Atual, p. v. 1. LIMA, Elon L. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática). LIMA, Elon L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, v. 1.. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, v. 2.. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, v. 3. LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, v. 1. PAENZA, Adrian. Matemática, Cadê Você?: sobre números, personagens, problemas e curiosidades. Tradução de: LEMOS, Maria Alzira Brum. Rio de Janeiro: Civilização Brasileira, p. 278

33 SINGH, Simon. O Último Teorema de Fermat. Rio de Janeiro: Record, Probabilidades TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, Os Números Governam o Mundo: folclore da Matemática. 3. ed. Rio de Janeiro: Ediouro, p. 279

34 Gabarito 1. A associação correta é I-0,93; II-1; III-0,08; IV-0,5, V-0 2. Lançando duas moedas o espaço amostral é S = {(Ca,Ca); (Ca,Co); (Co,Ca); (Co,Co)}, no qual Ca representa face cara e Co coroa, e o evento A formado por duas caras é A = {(Ca,Ca)). Logo, a probabilidade teórica é P(A) = 1/4 = 0,25 = 25%. 3. A probabilidade de Paulo vir a ser sorteado é P = 4/100 = 0,04 = 4%. 4. Existem 100 números naturais possíveis de serem sorteados, sendo que 50 deles são pares (2, 4, 6,..., 100); 33 deles são múltiplos de 3 (3, 6, 9,..., 99); 10 deles têm o algarismo das unidades igual a 7 (7, 17, 27,..., 97) e 25 deles são primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97). Logo, as probabilidades são dadas por: 5. a) P(par) = 50/100 = 0,50 = 50% b) P(múltiplo de 3) = 33/100 = 0,33 = 33% c) P(unidade igual a 7) = 10/100 = 0,10 = 10% d) (primo) = 25/100 = 0,25 = 25% a) Na caixa temos 15 bolas com números pares. Logo, a probabilidade de o número da bola retirada ser par é = 1 = 0,5 = 50%. 2 b) Na caixa temos 6 bolas com números múltiplos de 5. Assim, a probabilidade de o número da bola retirada ser múltiplo de 5 é igual a 6 30 = 1 = 0,2 = 20%. 5 c) Observe que na caixa temos 3 bolas com números pares e múltiplos de 5. Assim, a probabilidade de o número da bola retirada ser par ou múltiplo de 5 é igual a: = = 3 = 0,6 = 60%

35 6. Observe os diagramas a seguir: A B Nenhuma = = a) A probabilidade de ele ser leitor de apenas uma das revistas é = = b) A probabilidade de ele não ler qualquer uma das revistas é c) A probabilidade de ele ser leitor da revista A ou da revista B é = O total de alunos é igual a = Sendo p(m ou B) a probabilidade do aluno ser do sexo masculino ou da área biológica, temos: p(m ou B) = = = a) Sendo p(v 1 e V 2 ) a probabilidade de a primeira bola retirada ser verde e a segunda também, temos: p(v 1 e V 2 ) = = 2 9. b) Sendo p(p 1 e A 2 ) a probabilidade de a primeira bola retirada ser preta e a segunda azul, temos: p(p 1 e A 2 ) = = c) As duas bolas podem ser verdes, pretas ou azuis. Assim, temos: p(v 1 e V 2 ) + p(p 1 e P 2 ) + p(a 1 e A 2 ) = = =

36 9. a) Sendo p(d 1 e D 2 e D 3 ) a probabilidade de que as três peças sejam defeituosas, temos: p(d 1 e D 2 e D 3 ) = = b) Podemos, inicialmente, calcular a probabilidade de que nenhuma peça seja defeituosa. Sendo p(d 1 e D 2 e D 3 ) a probabilidade de que nenhuma peça seja defeituosa, temos: p(d 1 e D 2 e D 3 ) = = Assim, a probabilidade de que pelo menos uma das peças seja defeituosa é igual a: P = = c) Sendo p(1d e 2D) a probabilidade de que uma peça seja defeituosa e duas peças sejam perfeitas, temos: p(1d e 2D) = = Para que Lucas vença a partida, deverá obter em seu dado um número maior do que ou igual ao número do dado de João. Logo, sendo p(lv) a probabilidade de Lucas vencer o jogo, temos: p(lv) = = = O espaço amostral do experimento é o conjunto {1; 3; 5}, pois sabemos que o número da face voltada para cima é ímpar. Logo, em uma única tentativa, a probabilidade de que Bruno ganhe os R$10,00 é 1 3. A partir da informação de que o resultado é ímpar, a escolha deve recair entre um de três números (1, 3 ou 5). Por isso, a probabilidade inicial igual a 1/6 passa a ser 1/3 com a informação de que o número é ímpar. 282

37 12. a) A probabilidade de ser do sexo masculino e ter a intenção de votar no candidato A é igual a: P = = 6 25 b) A probabilidade de ser do sexo feminino, sabendo que tem a intenção de votar no candidato A é igual a: P = = 9 17 c) A probabilidade de ter a intenção de votar no candidato B, sabendo que é do sexo masculino é igual a: P = O número de maneiras de escolher as 4 vezes que um número primo irá aparecer é C 4 10 = 210. A probabilidade de que o número da face voltada para cima seja primo é igual a: P (primo) = 3 6 = 1 2 Consequentemente, a probabilidade de que o número não seja primo também é igual a: P (não primo) = 1 2 Portanto, a probabilidade de obtermos um número primo exatamente 4 vezes é igual a: P (4 vezes) = C = = = = A probabilidade de o atirador acertar o alvo exatamente 3 vezes é igual a: P (3 vezes) = C 3 5. (0,8) 3. (0,2) 2 = = =

38

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