eletromagnético de uma carga em queda livre num campo gravitacional uniforme.

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1 Campo eletromagnético de uma carga em queda livre num campo gravitacional uniforme (Electromagnetic field of a free falling charge in an uniform gravitational field) Mario Goto Departamento de Física/CCE/UEL (Pesquisador MEC/SESu) (Versão revista - 008) Abstract Electromagnetic field of free falling charge in an uniform gravitational field is obtained using Rindler transformations. Resumo As transformações de Rindler são usadas para obter o campo eletromagnético de uma carga em queda livre num campo gravitacional uniforme. Palavras chave: transformações de Rindler, campo gravitacional uniforme, carga em queda livre, efeito gravitacional sobre o campo eletromagnético. 1 Introdução O referencial próprio R 0 de um corpo em queda livre num campo gravitacional uniforme é um referencial inercial para o qual um corpo em repouso junto a este campo no referencial R executa um movimento hiperbólico. O campo de uma carga em movimento hiperbólico já é conhecido [1 ], assim como 1

2 o campo eletrostático de uma carga em repouso num campo gravitacional uniforme [3]. O interesse aqui é o campo eletromagnético de uma carga em queda livre num campo gravitacional uniforme. No referencial próprio R 0 da carga o campoéocoulombiano,epodesertransformadoparaocampoemr usando as transformações de Rindler [4,5]. O referencial principal, do observador, é o R, com coordenadas (x µ )= (x 0 = ct, x 1 = x, x = y, x 3 = z). O R 0 é o referencial inercial, em queda livre, com coordenadas (x 0α ) = (x 00 = ct 0,x 01 = x 0,x 0 = y 0,x 03 = z 0 ). O campo gravitacional, uniforme, será definido ao longo do eixo zz 0, g = a = gbz e o tensor métrico g µν definido de forma compatível com o tensor métrico minkowskiano [6 10] η αβ com os sinais relativos das componentes diagonais (, +, +, +). Por simplicidade usa-se c = 1 desde que não prejudique a clareza. Transformações de Rindler As transformações de Rindler conectam referenciais inerciais com os referenciais uniformemente acelerados equivalentes aos referenciais em repouso na presença de um campo gravitacional uniforme. Nos referenciais inerciais as propriedades do espaço-tempo e as leis da Física são descritas pela Relatividade Restrita. Nos referenciais não inerciais, as propriedades do espaço-tempo são definidas pela métrica [9,10] através do tensor métrico ds = c dτ = g µν dx µ dx ν (1) g µν = x0α x 0β x µ x η ν αβ. () No caso de um campo gravitacional uniforme, ds = c dτ = g 00 (z)c dt + g zz (z)dz + dx + dy (3) com as componentes não triviais g 00 (z) = e az e g zz (z) =e az. (4) Como as componentes não diagonais do tensor métrico são nulas, a identidade g µλ g λν = g λ µ = δ λ µ (5)

3 define as componentes contravariantes g 00 = 1 = e az e g 33 = 1 = e az. (6) g 00 g 33 Conhecida a métrica, as transformações entre o referenciais R e R 0 podem ser obtidas resolvendo o sistema de equações diferenciais x 0α x µ x = x0α ν x a Γa µν (7) onde Γ λ µν = 1 ½ gνη gηλ x + g µη µ x g ¾ µν (8) ν x η éaconexãoafim, cujas componentes não nulas são Γ 0 z0 = Γ z 00 = Γ z zz = a, (9) e resultam nas transformações ct 0 = c a eaz (e at e at ), z 0 = c a eaz (e at + e at ) c a, (10) definidas para satisfazer a condição na origem (ct =0,z =0) (ct 0 =0,z 0 =0). As transformações (10) e métrica (3) diz que um corpo em repouso na origem do referencial R executa um movimento hiperbólico em R 0, dadas pelas coordenadas do espaço-tempo (ct 0,z 0 )= c (sinh aτ, cosh aτ 1). (11) a Por outro lado, um corpo em repouso na origem do referencial inercial R 0 por definição está em queda livre em relação ao referencial R. Considerando z 0 =0nas transformações (10), resulta ou seja, 1 eaz (e at + e at )=1 (1) z = c a ln [cosh(at)], (13) 3

4 que descreve um objeto vindo de z = (com velocidade c) desacelerando até parar em z =0e então retornando para de forme acelerada até atingir a velocidade c. Nesta trajetória a velocidade é e a aceleração, a z = a v z = sinh(at) cosh(at) cosh (at) cosh (at) sinh (at) 1 cosh = a (at) cosh (at) (14). (15) A figura 1 mostra a trajetória (vermelho), a velocidade (azul) e a aceleração (verde) de um corpo em queda livre num campo gravitacional uniforme. Figura 1: gráficos da trajetória (vermelho), velocidade (azul) e aceleração (verde) de um corpo em queda livre num campo gravitacional uniforme. 3 Campo eletromagnético As transformações diferenciais dx 0α = x0α x µ dxµ (16) definem as transformações dos campos vetoriais, A 0α = x0α x µ Aµ. (17) 4

5 Das transformações de Rindler (10) resultam eainversa A 00 = e az (eat e at ) A 3 + e az (eat + e at ) A 0, A 01 = A 1 e A 0 = A, (18) A 03 = e az (eat + e at ) A 3 + e az (eat e at ) A 0 A 0 = e az (eat e at ) A 03 + e az (eat + e at ) A 00, A 1 = A 01 e A = A 0, (19) A 3 = e az (eat + e at ) A 03 e az (eat e at ) A 00. Para as componentes covariantes A 0 (x, y, z, t) = g 00 A 0 (x, y, z, t) = e az A 0 (x, y, z, t) e A 3 (x, y, z, t) = g 33 A 3 (x, y, z, t) =e az A 3 (x, y, z, t), as transformações (19) ficam A 0 (x µ ) = (eat + e at ) e az A 00 (x 0α )+ (eat e at ) e az A 03 (x 0α ), A 1 (x µ ) = A 01 (x 0α ),A (x µ )=A 0 (x 0α ), (0) A 3 (x µ ) = (eat e at ) e az A 00 (x 0α )+ (eat + e at ) e az A 03 (x 0α ). O potencial eletrostático de uma carga puntual localizada na origem de R 0 é A 00 = φ 0 q = p, (1) x 0 + y 0 + z 0 as componentes espaciais sendo nulas, A 0 = 0. No referencial R as componentes não nulas resultam A 0 (x, y, z, t) = q e az (e at + e at ) q, x + y + c4 [e 4a az (e at + e at ) 1] () A 3 (x, y, z, t) = q e az (e at e at ) q. x + y + c4 [e 4a az (e at + e at ) 1] 5

6 A partir do tensor eletromagnético [1 14] F µν =( µ A ν ν A µ ) (3) se obtém os campos elétrico e magnético, E i = F0 i = g ij F j0 (4) e B k = F.j i = g im F mj, (5) respectivamente. 3.1 Campo elétrico Das equações () e (4) se obtém as componentes do campo elétrico: E x = E 1 =( 1 A 0 0 A 1 )= 1 A 0, E y = E = A 0, µ E 3 = F0 3 = g 33 F 30 = g 33 ( 3 A 0 0 A 3 )=e az A0 z A 3 t resultando, (6) E x = q xe az (e at + e at ) x + y + c4 [e 4a az (e at + e at ) 1], 3/ E y = q ye az (e at + e at ) x + y + c4 [e 4a az (e at + e at ) 1], (7) 3/ " # E z = E 3 = q [e az (e at + e at ) 1] a c4 x + y + 1 c 4a 4 [e az (e at + e at ) 1], 3/ com módulo quadrático E = q ρ a e az (e at + e at ) +[e az (e at + e at ) 1] 4a ρ + c4 [e 4a az (e at + e at ) 1] 3. (8) Em coordenadas cilíndricas, E ρ (ρ, z, t) = q ρe az (e at + e at ) ρ + c4 [e 4a az (e at + e at ) 1], 3/ E ϕ = 0, (9) " # E z (ρ, z.t) = q [e az (e at + e at ) 1] a c4 ρ + 1 c 4a 4 [e az (e at + e at ) 1]. 3/ 6

7 No limite a 0, considerando as aproximações lim cosh at a 0 = 1 lim a 0 eaz = 1 lim a 0 e az a = 1 (1 + az) a e 1 lim e az (e at + e at ) 1 1 =lim µaz + 4a z = z, a 0 4a a 0 4a pode-se mostrar que as componentes, equação (7), do campo elétrico ficam E x = q x (x + y + z ) 3/ E y = q y (x + y + z ) 3/ E z = E 3 = q z (x + y + z ) 3/ do campo coulombiano de uma carga em repouso na origem de um referencial inercial. 3. Campo magnético As componentes do campo magnético, equação(5), são B x = B 1 = F.3 = F 3 = A 3, B y = B = F.1 3 = g 33 F 31 = e az A 3 x, (30) B z = B 3 = F. 1 = F 1 =0, com as componentes não nulas " # B x = 1 q ye az (e at e at ) x + y + 1 c 4a 4 [e az (e at + e at ) 1] 3/ e (31) " # B y = 1 q xe az (e at e at ) x + y + 1 c 4a 4 [e az (e at + e at ) 1]. 3/ 7

8 Em forma vetorial, B = 1 q ρ (eat e at )(e az sin ϕbx e az cos ϕby) ρ + 1 c 4a 4 [e az (e at + e at ) 1], (3) 3/ com simetria azimutal apenas em z =0, B = 1 q ρ (eat e at )(sinϕbx cos ϕby) ρ + 1 c 4a 4 [(e at + e at ) 1] 3/ = 1 q ρ (e at e at ) ρ + 1 c 4a 4 [(e at + e at ) 1] bϕ. (33) 3/ A radiação eletromagnética é uma das consequências mais notáveis das cargas aceleradas, e o vetor de Pointyng S = 1 4π E B define o fluxo de energia e momento transportados pela radiação. A perda de energia e momento introduz a força de reação radiativa cujos efeitos na dinâmica das partículas carregadas não são bem conhecidos [11 15].Acarga em queda livre, pelo Princípio da Equivalência, deve seguir a mesma trajetória (13) como qualquer outro corpo em queda livre [9,16]. E a força de reação radiativa? A proposta do autor [5] éumapequena diferença entre as massas gravitacional e inercial que, embora viole o Princípio da Equivalência na versão fraca (massas inercial e gravitacional iguais), está de acordo com a versão forte (equivalência entre a gravitação e a aceleração do referencial). 3.3 Evoluçãodocampoelétrico Como a evolução espaço-temporal do campo elétrico ao longo do eixo z é dado pelo argumento 1 eaz (e at + e at )=1 que descreve a trajetória de queda livre, equação (1), da carga fonte, a configuração do campo elétrico acompanha o movimento da carga, sem deformação. As ilustrações da figura 1 mostra a sequência temporal da evolução do campo elétrico no intervalo de tempo entre 0L <ct<0l. As ilustrações são simulações computacionais baseadas em técnicas de Monte Carlo [17 19] 8

9 com uma amostragem de três mil pontos distribuídos de forma proporcional à intensidade do campo, realizadas no plano z x delimitada por 0L <z< 0L e 0L < x < 0L (a origem no centro), L representando uma unidade arbitrária de comprimento e g/c =0.5L 1 é a aceleração gravitacional. ct = 15 ct = 10 ct = 5 ct = 0 ct =0 ct =15 ct =10 ct =5 Figura 1: sequência temporal da evolução do campo elétrico de uma carga em queda livre num campo gravitacional uniforme, entre 15L <ct<15l. A figura mostra em detalhes as configurações das linhas de campo tomadas no instante t =0, quando a carga em queda livre está na posição z =0. Estasconfigurações não sofrem alterações durante a queda livre, deslocando-se como um todo e solidariamente à carga. 9

10 Figura : detalhes das configurações das linhas de campo no instante t =0, a carga em queda livre na posição z =0. 4 Conclusões As transformações de Rindler podem ser usados como recursos simples para obter o campo eletromagnético de cargas em queda livre num campo gravitacional uniforme e os recursos de imageamento mostram a configuração não muito trivial do campo elétrico, em queda livre, sem deformação, acompanhando a carga fonte. 5 Bibliografia 1. T. Fulton and F. Rohrlich, Classical Radiation from a Uniformly Accelerated Charge, Annals of Phys. 9, (1960).. Mario Goto, Representação pictórica da evolução espaço-temporal do campo elétrico de uma carga em movimento hiperbólico, manuscrito Dpto. de Física, UEL, Mario Goto, Campo eletrostático de uma carga em repouso num campo gravitacional uniforme, manuscrito Dpto. de Física, UEL,

11 4. N.D. Birrel & P.C.W. Davies, Quantum fields in curved space, Cambridge Univ. Press (198). 5. Mario Goto, Transformações de Rindler e as massas inercial e gravitacional das partículas carregadas, manuscrito Dpto. de Física, UEL, James H. Smith, Introducción a la Relatividad Especial, ed. Reverté, Barcelona (1969). 7. Richard A. Mould, Basic Relativity, Springer, N.Y. (1994). 8. C. Møller, The Theory of Relativity (second edition), Oxford University Press (197). 9. Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology, John Wiley & Sons (197). 10. Eric A. Lord, Tensors Relativity and Cosmology, Tata McGraw-Hill, New Delhi (1979). 11. John David Jackson, Classical Electrodynamics (third edition), John Wiley & Sons (1999). 1. A.O.Barut,Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles, Dover, NY (1980). 13. L. Landau and E. L. Lifshitz, The Classical Theory of Fields, Pergamon Press, Oxford (1976). 14. C. Teitelboim, D. Villarroel and Ch. G. Van Weert, Classical Electrodynamics of Retarded Fields and Point Particles, Rev. NuovoCimento, 3, n.9, 1-64 (1980). 15. D.G.Boulware,Radiation from a Uniformly Accelerated Charge, Annals of Phys. 14, (1980). 16. F. Rohrlich, The Principle of Equivalence, AnnalsofPhys., (1963). 17. Mario Goto, H. Iwamoto, V. M. de Aquino e V. C. Aguilera-Navarro, Monte Carlo image representation, American Journal of Physics 69, n.3, p. 1-5 (001). 18. I. M. Sobol, The Monte Carlo Method, Univ. Chicago Press, Chicago (1974). 11

12 19. M. H. Kalos and P. M. Whitlock, Monte Carlo Method, John Wiley, New York (1986). 1