6 Dinâmica Relativística

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1 6 Dinâmica Relativística Este capítulo trata da dinâmica de uma partícula clássica relativística utilizando os recursos do formalismo tensorial do espaço-tempo de Minkowski. Trata-se de obter a generalização relativística da segunda lei de Newton, que no limite newtoniano de pequenas velocidades em relação à velocidade da luz se reduza exatamente à segunda lei de Newton. A equação deve ser invariante na forma pelas transformações gerais de Lorentz, uma propriedade que aparece explícitamente no formalismo tensorial. 6.1 Equação de movimento A segunda lei de Newton, dp dt = F, relaciona a taxa de variação no tempo do momento linear p = mv com um agente extertno atuando sobre a partícula através da força F. Para procurar a equação relativística equivalente, define-se o quadri-vetor de momento p µ = m 0 U µ, (1) onde m 0 será identificado como a massa de repouso da partícula. Uma equação covariante análoga à segunda lei de Newton é f µ = dpµ dτ = m du µ 0 dτ = m 0A µ, (2) desde que a ação externa sobre a partícula possa ser representada através de um quadri-vetor, f µ, quadri-vetor força. Para identificar o significado físico destas grandezas, pode-se relacioná-las com as grandezas tradicionais envolvidas como a massa, o momento linear e a força. Se não houver nenhuma força externa atuando sobre a partícula, f µ = 0 dpµ dτ = dpµ dt dt dτ = 0 dpµ dt = 0, (3) que implica na conservação do quadri-momento p µ. As componentes temporal e espaciais do quadri-momento p µ = (p 0, p i ) (4) são p 0 = m 0 U 0 = m 0 γ v c (5) 67

2 e respectivamente, onde v i = dxi dt são as componentes da velocidade e γ v = p i = m 0 U i = m 0 γ v v i, (6) 1 1 v2 /c 2 para v 2 = v 2 x + v 2 y + v 2 z. Define-se a massa relativística da partícula, dependente da velocidade, de modo que o quadri-momento p µ fica m = m 0 γ v, (7) p µ = (mc, mv). (8) A equação (2) pode ser reformulada para que a derivada seja em relação ao tempo do laboratório, usando dt = γ v dτ, dp µ dτ = f µ = dpµ dt γ v = γ v F µ, (9) ou seja, dp µ dt = F µ = ( dp0 dt, dp dt ) = (F 0, F). Esta última equação, embora não seja explicitamente covariante, é expressa em termos de grandezas físicas usuais. Em particular, a parte espacial é exatamente a equação de força da segunda lei de Newton dp dt = F. (10) Para identificar a componente F 0, considere a invariante U µ U µ = c 2, cuja derivada em relação ao tempo próprio é U µ. U µ = U µ A µ = 0, indicando que o quadri-vetor de força deve satisfazer à identidade U µ f µ = 0, (11) 68

3 ou seja, cf 0 v i F i = 0. (12) Esta equação relaciona a componente temporal da quadri-força f µ com a potência v F, F 0 = v F, (13) c de modo que e ou, mais explicitamente, ( ) v F f µ = γ v, F c ( dp µ dp 0 dt = dt, dp ) ( ) v F =, F dt c (14) (15) dp 0 dt = v F c e dp dt = F. (16) 6.2 Massa e energia O ganho de energia cinética de uma partícula, inicialmente em repouso, ao se locomover de uma posição O para uma outra posição P é dado pelo trabalho realizado pela força neste percurso, K = Utilizando as equações (8) e (10), K = P O F dr = P O P O d dt (mv) dr = F dr. (17) P e, fazendo uma nova mudança na variável de integração, K = P O v d(mv) = P Da massa relativística (7) resulta O dm = v [mdv + vdm] = m 0 (1 v 2 /c 2 ) 3 2 sendo conveniente fazer a substituição O d (mv) vdt dt P O v dv c 2, mv dv = (c 2 v 2 )dm 69 [mv dv + v 2 dm].

4 que leva a K = P O [mv dv + v 2 dm] = m m 0 c 2 dm = mc 2 m 0 c 2. (18) Este resultado associa a energia cinética à variação da massa relativística, e a variação da energia cinética entre dois pontos quaisquer P 1 e P 2 fica K = K 2 K 1 = (m 2 m 1 )c 2. (19) No limite não relativístico (v c), usando a aproximação γ 1 = 1 1 v c 1 = 1 v c, 2 v2 c 2 a expressão relativística da energia cinética assume a forma usual da mecânica newtoniana, K = (m m 0 )c 2 = (γ 1)m 0 c 2 = 1 2 m 0v 2. (20) O resultado (18) sugere a definição da energia total da partícula livre como E = K + m 0 c 2 = mc 2, (21) onde E 0 = m 0 c 2 (22) define a energia de repouso. Pela equação (21) a variação da energia leva à variação da massa, E = m c 2, (23) mostrando a equivalência entre estas duas grandezas, a menos de um fator de conversão c 2 da unidade de massa para a unidade de energia. Com estes resultados, ficam definidas as componentes do quadri-vetor de energia-momento, ( ) E (p µ ) = (p 0, p) = (mc, p) = c, p, (24) e a equação (15), nestas variáveis, fica ( dp µ de dt = cdt, dp ) ( ) v F =, F dt c 70. (25)

5 Do produto escalar p µ p µ = E2 c 2 p2, invariante relativística, cujo valor no referencial de repouso (onde p = 0) é p µ p µ = E2 0 c 2 = m2 0c 2, resulta uma da relações fundamentais da Relatividade Restrita, E 2 p 2 c 2 = m 2 0c 4. (26) Para uma partícula com massa de repouso nula, (m 0 = 0), como o fóton, resulta E 2 p 2 c 2 = 0, (27) e, em módulo, Como a energia E = mc 2 = E = pc. (28) m 0 1 v2 /c 2 c2 deve ser finita, a velocidade de uma partícula sem massa deve ser igual à velocidade da luz. A energia quântica associada ao fóton e a outras partículas de massa nula é dada pela relação de Planck que, juntamente com a relação de De Broglie E = ω (29) p = k (30) leva à relação ω 2 = k 2 c 2 da física ondulatória. 6.3 Transformações de Lorentz As grandezas quadri-vetoriais, por definição, transformam-se da mesma maneira que as coordenadas, por uma transformação de Lorentz. Assim, para a transformação geral de Lorentz x µ = Λ µ νx ν, (31) 71

6 os quadri-vetores energia-momento e a quadri-força, definidos em (1) e (2), respectivamente, transformam-se exatamente da mesma forma, p µ = Λ µ νp ν e f µ = Λ µ νf ν. (32) Em especial, para uma transformação de Lorentz especial entre referenciais R e R com movimento relativo uniforme ao longo do eixo comum xx, ct = γ(ct βx) x = γ(x V t) y = y z = z x 0 = γ(x 0 βx 1 ) x 1 = γ(x 1 βx 0 ) x 2 = x 2, (33) x 3 = x 3 a transformação da energia-momento ( ) E p µ = m 0 U µ = c, p = (mc, mv) (34) fica E = γ(e V p x ) m = γm (1 v x V/c 2 ) p x = γ(p x EV/c 2 ) p (35) y = p y p z = p z e a transformação da força, obtida a partir da quadri-vetor ( ) v.f f µ = γ v c, F, resulta v F = F x = F y = F z = Na primeira das equações (35), m = 1 (1 v x V/c 2 ) [v F V F x] 1 [F (1 v x V/c 2 x Vc ] ) v F 2 1 γ (1 v x V/c 2 ) F y (36) 1 γ (1 v x V/c 2 ) F z m 0 1 v2 /c 2 e m = m 0 1 v 2 /c 2, (37) onde v e v são as velocidades nos referenciais R e R, respectivamente. 72

7 6.4 Força e aceleração Muitas vezes, para uma melhor visão dos processos físicos e das relações entre as grandezas envolvidas, torna-se necessária ou preferível trabalhar com as grandezas físicas usuais em vez das equivalentes quadri-vetoriais. A equação quadri-vetorial (2) fica mais intuitiva separando nas equações de força, e na equação de potência, dp dt = F, (38) de dt = F v = dm dt c2. (39) Resolver estas equações significa determinar a trajetória da partícula movendo-se sob a ação da força externa F. Pela definição do momento linear relativístico e, considerando a dependência da massa relativística com a velocidade, dp dt = d (mv) = vdm dt dt + mdv. (40) dt Como resulta ou seja, dm dt = F v c 2, d v) (mv) = v(f + m dv dt c 2 dt a = dv dt = F v) v(f. (41) m mc 2 Esta equação mostra que na Relatividade Restrita força e aceleração em geral não tem a mesma direção, nem resulta numa equação diferencial linear, o que pode dificultar muito a sua integração. No entanto, há dois casos em que a equação de movimento é facilmente integrada, respectivamente força e velocidade paralelas e força e velocidade perpendiculares, para forças constantes em módulo, que serão tratados a seguir. 6.5 Força constante: movimento hiperbólico Talvez este seja o sistema relativístico mais simples, uma partícula sujeita a uma força constante F 0. Se a força for aplicada na mesma direção da, 73

8 velocidade, a aceleração também resultará na mesma direção, e o movimento resultante será unidimensional. Com efeito, a = F 0 m F ) 0 v 2 3/2 (1 m c = v2 a 2 c 2 0, (42) onde a 0 = F 0 /m 0, constante, resultando 1 dv (1 v 2 /c 2 ) 3/2 dt = a 0, uma equação diferencial facilmente integrável. Porém, para um movimento unidimensional, há uma maneira mais simples de integrar a equação de movimento. A equação (38) fica, neste caso, d dt (mv) = F 0, (43) ou seja, d dt (γ vv) = a 0, (44) cuja integração é imediata. Dada a velocidade v 0 no instante t 0, resulta γ v v γ 0 v 0 = a 0 (t t 0 ), (45) onde γ v = 1 1 v2 /c 2. (46) Para isolar a velocidade, pode-se quadrar o resultado (45), e resolver para v 2, v 2 (t) 1 v 2 /c 2 = f 2 (t) = [γ 0 v 0 + a 0 (t t 0 )] 2, v 2 (t) = Supondo a velocidade v 0 = 0 no instante t 0 = 0, resulta v(t) = a 0 t 1 + (a0 t/c) 2 = f 2 (t) 1 + f 2 (t)/c 2. (47) c 1 + c2 /(a 0 t) 2 (48) e, para o fator γ v, γ v = 1 1 v2 /c 2 = 1 + (a 0 t/c) 2. (49) 74

9 Figura 6.1: Velocidade em função do tempo, < t <, no movimento hiperbólico. As expressões da velocidade na equação (48) mostra que, para tempos pequenos, a velocidade tende à expressão não-relativística v(t) = a 0 t, enquanto que, para tempos grandes, em especial no limite t, lim v(t) = c, t mostrando que a velocidade da luz é o limite superior da velocidade. A figura 1 ilustra a evolução da velocidade (em unidades de c) em função do tempo (em ct), vindo do infinito com velocidade v(t ) = c aproximando-se em direção à origem até atingir a velocidade mínima (em módulo) v(t = 0) = 0 e retornando ao infinito com velocidade crescente v(t ) = c. No caso relativístico, força constante não implica numa aceleração constante, e nem poderia ser, uma vez que existe uma velocidade limite definida pela velocidade da luz. A aceleração é dada por a(t) = a 0 [ 1 + (a0 t/c) 2] 3/2 = 1 γ 3 v a 0, (50) que tende a zero na medida em que a velocidade tende ao limite c (em t = ± ). A figura 2 mostra a evolução temporal da aceleração. 75

10 Figura 6.2: Aceleração em função do tempo no movimento hiperbólico. A aceleração decrescente com a velocidade para uma força aplicada constante está de acordo com a existência de uma velocidade limite c. Esta compensação ocorre devido à massa relativística m = m 0 1 (v/c) 2 = m (a0 t/c) 2, (51) crescente com o módulo da velocidade. Na medida em que a massa inercial tende ao infinito quando a velocidade se aproxima de c, nenhuma força externa será suficiente para aumentar a velocidade acima de c. A figura 3 mostra a dependência temporal da massa relativística de um corpo em movimento hiperbólico. Figura 6.3: Massa relativística, m/m 0, em função do tempo, no movimento hiperbólico. A trajetória da partícula, x(t) = x 0 + v(t) dt. 76

11 considerando a condição inicial x 0 = 0 em t = 0, fica ( ) 2 x(t) = c2 a0 t 1 + 1, (52) a 0 c ilustrada na figura 4. A equação da trajetória pode ser rearranjada na forma a 0 x 2 + 2c 2 x a 0 c 2 t 2 = 0, (53) equação da hipérbole no plano x ct que dá nome ao movimento hiperbólico. Figura 6.4: Trajetória hiperbolica de uma partícula sujeita a uma força constante. Na dinâmica relativística, uma força constante aplicada num corpo não resulta numa aceleração constante, uma vez que a velocidade é limitada pela velocidade da luz. No entanto, nos referenciais onde o corpo está instantaneamente em repouso, a aceleração a 0, constante, é dada por a 0 = 1 ( ) 1 v 2 3/2 a, (54) c 2 idêntica à equação (42), onde a(t) e v(t) são a aceleração e a velocidade no referencial de laboratório R. No referencial próprio R 0 da partícula, não inercial, a aceleração é nula, mas há um campo de aceleração equivalente a um campo gravitacional uniforme, como rege o Princípio da Equivalência de Einstein entre gravitação e aceleração. Deste modo, um observador num referencial inercial em queda livre num campo gravitacional uniforme verá um corpo em repouso no referencial de laboratório como executando um movimento hiperbólico. 77

12 Se integrar a relação diferencial entre o tempo próprio τ e o tempo de laboratório t, dt = γ v dτ, o fator γ v dado em (49)., considerando a condição τ = 0 quando t = 0, resulta t t τ = 1 v2 0 c dt = ( ) dt = c sinh 1 a 0 t a 0 t 2 a 0 c c cuja relação inversa é t = c ( a0 ) sinh a 0 c τ. As coordenadas no espaço-tempo de uma partícula executando movimento hiperbólico, com a condição x(t = 0) = c 2 /a 0, são ( x = c2 a0 ) cosh a 0 c τ ct = c2 a 0 sinh ( a0 c τ ), (55) equações paramétricas correspondentes ao ramo superior da equação da hipérbole no plano x ct. 7 Carga num campo magnético uniforme Um campo magnético B exerce uma força sobre uma partícula com carga elétrica q dada por F = q c v B que, sendo perpendicular à velocidade, F v = 0, e, portanto, de dt = d dt (mc2 ) = 0, mostrando que a energia é conservada e a massa relativística permanece constante. Força e aceleração resultam paralelas, F = ma = m 0 1 v2 /c 2 a, (56) 78

13 e, consequentemente, aceleração perpendicular à velocidade, típica de um movimento circular. A equação de movimento (41) fica a = q mc v B. (57) Para um campo magnético uniforme orientado na direção do eixo z, B = B z, e perpendicular à velocidade, v B = ( v x y + vy x)b, de modo que a = dv dt = qb mc (v yx v xy), resultando num sistema de equações diferenciais acopladas dv x dt dv y dt dv z dt = qb mc v y, = qb mc v x, (58) = 0. Derivando uma vez em relação ao tempo, resulta no par de equações desacopladas para d 2 v x dt + 2 ω2 v x = 0, d 2 v y dt + 2 ω2 v y = 0, (59) ω = qb mc. (60) Não é necessário considerar a componente z do movimento, que pode contribuir com uma velocidade v z constante, a qual pode ser tomada como nula sem perda de generalidade. No caso de uma partícula carregada que penetra numa região de campo magnético uniforme com uma velocidade v perpendicular ao campo, por exemplo ao longo do eixo x, que corresponde à condição inicial v(t = 0) = (v, 0, 0), 79

14 as componentes x e y da velocidade ficam v x (t) = v cos ωt e v y (t) = v sin ωt. (61) Integrando, resultam as coordenadas da trajetória, x = v ω sin ωt e y = v cos ωt, (62) ω que descreve um movimento circular uniforme no plano xy, ( v ) 2 x 2 + y 2 =, ω de raio r = v ω = mvc qb = pc qb conhecido como o raio de giro ou raio giromagnético de Larmor. A aceleração centrípeta é (63) a frequência angular dada pela equação (60). a = v2 r = qvb mc, (64) 7.1 Raios cósmicos Excetuando os provenientes do Sol, os raios cósmicos, essencialmente prótons e outros núcleos leves, tem origem no espaço exterior. Alguns são de origem galáctica, da nossa Via Láctea, outros são extra-galácticos. De onde quer que provenham, uma vez aceleradas e lançadas ao espaço, devem ter seguido uma longa caminhada até, eventualmente, penetrarem na atmosfera terrestre. No interior das galáxias as partículas carregadas estão sujeitas à ação do campo magnético que permeia o meio galáctico, da ordem de µg = 10 6 gauss (o campo magnético da Terra na superfície é da ordem de 0, 3 gauss). Uma partícula com carga Ze e energia E, numa região de campo magnético uniforme B, executará uma órbita circular definida pelo raio de Larmor ((63), r L = pc Ze.B E Ze.B. (65) Para um próton com energia de ev (ev = 1, erg) num campo de 3µG corresponde um raio de giro r L de aproximadamente 300pc, que é ordem da espessura do disco galáctico. Assim, raios cósmicos acima 80

15 10 18 ev tendem a ser excluídos do plano galáctico, sendo, portanto, um limitante para a energia dos raios cósmicos de origem galáctica. O pc (parsec), abreviatura de paralax per second, corresponde à distância de uma estrela fixa tal que um observador na Terra, ao ocupar as posições opostas durante a sua translação em torno do Sol, vê a posição desta estrela deslocada de um segundo de arco. Equivale a 3, 262 anos-luz, um ano-luz sendo a distância percorrida pela luz no vácuo durante um ano, = 9, cm. Ocorrem eventos raros, conecidos como raios cósmicos ultra-energéticos, com energias acima da ordem ev, reconhecidos como de origem extragaláctica. Suas trajetórias são pouco afetadas por campos magnéticos da ordem de grandeza dos campos galácticos e inter-galácticos, de modo que a direção de entrada na atmosfera de uma partícula cósmica ultra energética deve apontar diretamente para a sua fonte. No entanto, o espaço cósmico é permeado pela radiação cósmica de fundo que, embora não tenha energia suficiente para afetar partículas cósmicas com energias abaixo da ordem de ev, pode-se mostrar que interage fortemente com os raios cósmicos de ultra alta energia, com energias acima da ordem de ev, causando uma rápida perda de energia causada pela criação de pares partícula antipartícula como os píons. 7.2 Colisões Efeitos relativísticos são particularmente importantes no universo das partículas elementares, que podem alcançar velocidades próximas à da luz. Informações acera da natureza destas partículas e o tipo de interações a que estão sujeitas são, em geral, obtidas em processos de colisões como as dos raios cósmicos ao incidirem sobre os núcleos dos gases atmosféricos ou em experimentos realizados nos aceleradores de partículas. Como o tempo de interação é extremamente curto nestes processos, os experimentos se reduzem às observações dos estados inicial e final do sistema, as leis de conservação sendo fundamentais na análise dos dados coletados. Para a energia e momento, as leis de conservação garantem que o momento linear total e a emergia total do sistema antes e depois do processo são iguais, P i = P f e E i = E f. Os índices i e f referem-se aos estados inicial e final, respectivamente. Considere, por exemplo, uma colisão e espalhamento entre duas partículas, A e B, resultando em duas outras, C e D, A + B C + D. 81

16 A equação de conservação do momento linear total fica e a equação de conservação da energia, p A + p B = p C + p D (66) E A + E B = E C + E D, (67) com a equivalente lei de conservação da massa relativística, m A + m B = m C + m D. (68) Na linguagem dos quadri-vetores, resume-se na equação de conservação da energia-momento total do sistema, p µ A + pµ B = pµ C + pµ D. (69) As colisões podem ser elásticas, inelásticas. Nas colisões elásticas, a energia cinética total do sistema é conservada e nas ineláticas, parte da energia cinética é absorvida pelo sistema Colisões elásticas Diz-se que uma colisão é elástica quando a energia cinética total do sistema é conservada, K A + K B = K C + K D. (70) Como a energia cinética relativística de uma partícula de massa m e velocidade v é definida como K = (m m 0 )c 2, podemos ver que a conservação da energia cinética aliada à conservação da massa relativística implica na conservação da massa de repouso das partículas, m 0A + m 0B = m 0C + m 0D. (71) Como exemplo de uma colisão elástica, vamos considerar uma partícula incidente, massa m 0, momento p 0 e energia E 0, chocando-se com uma outra partícula idêntica, em repouso, sendo que, após o choque, as partículas emergem espalhadas simetricamente de um ângulo θ em relação ao eixo de incidência. Pela conservação de energia e momento, E 0 = E 1 + E 2, 0 = p 1 sin θ p 2 sin θ, p 0 = p 1 cos θ + p 2 cos θ, (72) 82

17 de onde resulta e portanto p 1 = p 2 = p E 1 = E 2 = E, E 0 = 2E, p 0 = 2p cos θ, (73) de modo que cos θ = p 0 2p = E 2 0 m 2 0c 4 2 E 2 m 2 0c 4 = Utilizando a relação entre energia e momento, a equação anterior fica E 2 p 2 c 2 = m 2 c 4, E 2 0 m 2 0c 4 2 E 2 0/4 m 2 0c 4 cos θ = = E 2 0 m 2 0c 4 E 2 0 4m 2 0c 4 = (E0 + m 0 c 2 ) (E 0 m 0 c 2 ) (E0 + 2m 0 c 2 ) [(E 0 m 0 c 2 ) m 0 c 2 ] (E0 + m 0 c 2 ) (E 0 m 0 c 2 ) (E0 + 2m 0 c 2 ) [(E 0 m 0 c 2 ) m 0 c 2 ] = E 0 + mc 2 E 0 + 3mc, 2 (74) que define o ângulo de espalhamente em função da energia inicial da partícula incidente e da massa das partículas Colisões inelásticas Uma colisão é inelástica quando a energia cinética, e consequentemente, a massa de repouso não são conservadas, K A + K B K C + K D (75) e m 0A + m 0B m 0C + m 0D. (76) Numa colisão inelástica, pode ocorrer reações tal que K A + K B < K C + K D, que caracteriza uma colisão com absorção de energia cinética, ou K A + K B > K C + K D, 83

18 que caracteriza uma colisão explosiva, com liberação de energia cinética. Como caso extremo, temos as colisões completamente inelásticas, quando as partículas emergentes após a colisão se agregam, formando um corpo único; neste caso, há a absorção máxima da energia cinética. O exemplo a seguir mostra um típico processo completamente inelástico: a colisão frontal de duas partículas de massas iguais movendo-se com velocidades iguais em módulo e sentidos opostos, após a colisão emergindo uma única partícula de massa de repouso M 0. Da conservação da energia e momento, 2mc 2 = M 0 c 2, o momento inicial e o final nulos, de modo que a partícula resultante deve estar em repouso. A energia cinética inicial do sistema é K = 2mc 2 2m 0 c 2, de modo que a relação entre as massas antes e depois do evento fica M 0 c 2 = 2mc 2 = 2m 0 c 2 1 v2 /c 2 = 2m 0c 2 + K, (77) onde K é a energia cinética totalmennte absorvida e incorporada à massa de repouso M 0 do sistema resultante. Em sistemas macroscópicos, a energia pode ser absorvida como energia de ligação do sistema., assim como ser parcial ou totalmente convertida em energia térmica, por exemplo. Significa que qualquer tipo de energia contribui para a massa total do sistema, sendo que, do ponto de vista relativístico, massa e energia podem ser tomadas como sinônimos, diferindo apenas por conveniência das unidades de medida. Em processos explosivos, o sistema libera energia em forma de energia cinética, como nos decaimentos expontâneos e criação e aniquilação de pares. Suponha uma partícula de massa M, inicialmente em repouso, fragmentandose em duas outras de igual massa de repouso m 0. Nesta reação, M 0 c 2 = 2mc 2, o momento final permanecendo nulo, de modo que as duas partículas devem ser lançadas em direções opostas, com a mesma velocidade em módulo. O momento linear de cada partícula, em módulo, sendo p = mv. A relação entre as massas fica M 0 = 2m 0 + K c 2, 84

19 onde K é a energia cinética liberada, mostrando que a reação somente pode ocorrer se M 0 > 2m 0. Em sistemas de partículas elementares, colisões, aniquilações e produções de pares são fenômenos comuns. Na colisão e aniquilação de um par elétronpósitron, deve resultar no mínimo dois fótons para que o momento linear seja conservado, pois os fótons, embora de massa nula, transportam energia e momento diferentes de zero relacionados por E γ = pc. Se o momento inicial do sistema elétron-pósitron for nulo, o momento final também deve permanecer nulo, o que é impossível com a produção de apenas um fóton. Dois fótons também podem dar origem a um par elétron-pósitron, desde que a energia dos fótons seja suficiente para, no mínimo, fornecer as energias de repouso do elétron e do pósitron. 7.3 Referencial de Centro de Massa Considere um sistema de N partículas cujo momento linear total é P = N p i. i=1 Define-se o referencial do Centro de Massa R como o referencial onde o momento linear total é nulo, P = 0. Considerando a energia e o momento totais, as transformações relativísticas, equação (35), entre os referenciais R e R (em movimento relativo uniforme V ao longo do eixo x) resultam E = γ(e V P x ), P x = γ(p x EV c 2 ), (78) P y = P y, P z = P z, Se o eixo x for escolhido tal que P x = P e P y = P z = 0, a condição de nulidade, P = 0, do momento linear total em R leva a Deste modo, E = γ(e V P x ), P = γ(p EV c 2 ) = 0. V = P c2 E 85 (79)

20 define a velocidade do referencial do centro de massa R em relação ao referencial de R, e a relação E = 1 E, (80) 1 V 2 c 2 para E = Mc 2 e E = M 0 c 2 define a relação entre a massa relativística total do sistema e a massa no referencial de Centro de Massa, M = 1 M 0. (81) 1 V 2 c 2 Para um sistema de partículas que não interagem entre si, a posição do Centro de Massa pode ser definida pela fórmula usual R = i m ir i. (82) Como as massas relativísticas das partículas assim como a massa relativística total do sistema são constantes, i m iv i dr dt = V = i m i i m i = Pc2 E (83) resulta na velocidade uniforme do Centro de Massa, já definida pela equação (79). O referencial do Centro de Massa é o referencial de repouso do sistema como um todo. Neste sentido, verifica-se, também, a relação relativística entre a energia e o momento do sistema, E 2 P 2 c 2 = M 2 0 c 4. É como se uma única partícula com massa de repouso M 0 estivesse localizada nas coordenadas do Centro de Massa do sistema, movendo-se com velocidade uniforme V, aproximação usada quando os graus de liberdade internos ao sistema não são perceptíveis. Exercícios 1. Para um quadri-vetor A µ o produto escalar A µ A µ é uma invariante relativística. Determine estas invariantes para os quadri-vetores de posição, x µ, e do momento, p µ. 86

21 2. Demonstre que, assim como m = m 0 1 v2 /c 2 define a massa relativística de uma partícula de massa de repouso m 0 e velocidade v num referencial R, num outro referencial R em movimento uniforme com velocidade V em relação a R, ao longo do eixo comum xx, a massa relativística será m = m 0 1 v 2 /c Como variam no tempo a massa e a energia de uma partícula submetida a uma força constante? Esboce gráficos destas variações em função da velocidade e do tempo. 4. Obtenha o movimento de uma partícula sujeita a uma força constante, integrando a equação de movimento diretamente na sua forma tensorial. 5. As estrêlas obtem parte da energia pela fusão de três partículas α, ou H2, 4 formando um núcleo de Carbono, C6 12. Quanta energia é liberada nesta reação? Dados: massas em unidade de massa atômica, u.m.a. = kg = 931.1MeV, nêutron próton Hélio (α) Carbono C Considere a reação H 2 + Li 6 2He 4. a) Supondo que toda a energia excedente desta reação transforme-se em energia térmica, qual é o ganho em temperatura após a reação? b) Qual é a energia cinética ganha por cada molécula de hélio, considerando que um mol contém moléculas? Os pesos de um mol de cada uma das substâncias abaixo são: H 2 (deutério) g Li 6 (lítio) g He 4 (hélio) g. 87

22 Bibliografia 1. H. A. Lorentz, A. Einstein e H. Minkowski, Textos Fundamentais da Física Moderna, I volume - O Princípio da Relatividade (3 a. edição), Editora da Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa (1958). 2. Richard A. Mould, Basic Relativity, Springer, NY, C. Moller, The Theory of relativity (second edition), Oxford University Press (1972). 4. L. Landau and E. L. Lifshitz, The Classical Theory of Fields, Pergamon Press, Oxford (1976). 5. P. G. Bergmann, Introduction to the Theory of Relativity, Dover Publications, NY, (1976). 6. David Griffi ths, Introduction to Elementary Particles, John Wiley & Sons, NY, Thomas K. Gaisser, Cosmic Ray and Particle Physics, Cambridge University Press, Bradley W. Carrol e Dale A. Ostlie, An Introduction to Modern Astrophysics, Addison-Wesley, Reading, Andrew Liddle, An Introduction to Modern Cosmology (second edition), John Wiley & Sons, John F. Hawley e Katherine A. Holcomb, Foundations of Modern Cosmology (second edition), Oxford University Press, Hélio Schechter e Carlos A. Bertulani, Introdução à Física Nuclear, editora da UFRJ (2007). 88

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