Mario Goto Departamento de Física/CCE/UEL (Pesquisador MEC/SESu) (Versão completa )

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1 Evolução espaço-temporal do campo elétrico de uma carga em movimento hiperbólico (Pictorial representation of electric field space-time evolution of a charge in hyperbolic motion) Mario Goto Departamento de Física/CCE/UEL (Pesquisador MEC/SESu) (Versão completa ) Abstract Hyperbolic motion is a generalization of the uniformly accelerated motion, in both due to a constant force. It is the most simple relativistic motion but very important as physical and mathematical models. This work shows the space-time evolution of eletromagnetic field due to a charged particle in hyperbolic motion. For this purpose a pictorical representation of vector fields based in the Monte Carlo Method is used. Resumo O movimento hiperbólico é a generalização relativística do movimento uniformemente acelerado, em ambos devido a uma força constante. É o mais simples depois do movimento uniforme e, embora sejam conceitos ideais, são importantes como modelos matemáticos. Em especial, o movimento hiperbólico de uma partícula carregada, por envolver algumas questões fundamentais da física clássica, bem na interface com a relatividade geral e a mecânica quântica. O propósito do presente é apresentar uma técnica de representação pictórica de campos vetoriais aplicada ao campo eletromagnético, usando recursos do Método de Monte 1

2 Carlo. Esta representação pictórica é aplicada para acompanhar a evolução espaço-temporal do campo elétrico de uma carga fonte executando um movimento hiperbólico. Palavras chave: campo eletromagnético, movimento hiperbólico, Método de Monte Carlo, campo de cargas aceleradas. 1 Introdução Embora o movimento hiperbólico seja um conceito ideal, o detalhamento das suas propriedades é importante para a compreensão da dinâmica relativística. Torna-se particularmente interessante no caso de uma partícula eletricamente carregada pois, além da trajetória, o sistema envolve o campo eletromagnético e a radiação eletromagnética, sendo sensível a questões como a força de reação radiativa [1] e o campo eletromagnético na presença do campo gravitacional, como ocorre, pelo Princípio da Equivalência, no referencial próprio da carga [2]. Um dos propósitos deste estudo é desenvolver uma metodologia de imageamento com o uso das técnicas de simulação computacional [3] baseadas no Método de Monte Carlo [4] para a visualização de configurações de campos vetoriais. Um objetivo imediato é utilizar esta metodologia para estudar as configurações dos campos elétrico e magnético de uma carga em movimento hiperbólico. As soluções analíticas para os campos elétrico e magnético são conhecidas [5] mas de difícil interpretação, principalmente por conter, sobrepostas, soluções físicas e não físicas. Nas visualizações computacionais, as componentes não físicas podem ser eliminadas, tornando de fácil compreensão a evolução espaço-temporal do campo eletromagnético. O desenvolvimento das rotinas requer conhecimentos básicos de programação com recursos visuais, o software adotado sendo o Liberty BASIC [6], uma evolução bastante amigável das antigas linguagens Basic, cujo atrativo, além da simplicidade, é a interatividade. Apesar de ser um conceito ideal, esse sistema é muito importante, entre outras razões porque, através do Princípio da Equivalência, pode levar ao campo eletromagnético de uma carga em repouso na presença de um campo gravitacional uniforme. Com a particularidade interessante da presença da radiação eletromagnética para o observador inercial, que vê o movimento hiperbólico, e a ausência da radiação para o observador no referencial do campo gravitacional uniforme. Estas considerações estão relacionadas ao problema do efeito da radiação eletromagnética sobre a dinâmica da carga através da força de reação radiativa. 2

3 Na secção 2 discute-se de forma suscinta a técnica de visualização, na secção 3 discute-se o movimento hiperbólico e em sequ~encia, na sub-secção 3.1 calcula-se o campo eletromagnético de uma carga em movimento hiperbólico, na sub-secção 3.2 são obridos os campos elétrico e magnético e na sub-secção 3.3 estuda-se as configurações, usando as técnicas de visualização apresentadas na secção 2, do campo elétrico numa sequência espaço-temporal acompanhando o movimento da carga fonte, proveniente do infinito de forma desacelerada até reverter o movimento próximo à origem e afastando-se novamente para o infinito. As figuras são auto-explicativas. Em relação à notação tensorial do espaço-tempo de Minkowski [7], os sinais relativos das componentes temporal e espaciais do tensor métrico g µν são (+,,, ). Em relação à representação pictórica apresentada por R.Y.Tsien (1972) [8], a diferença fundamental é não recorrer a linhas contínuas para representar as orientações dos campos vetoriais. As orientações dos campos são representadas por segmentos de reta de igual comprimento, tangenciais ao campo em cada ponto, e com densidade proporcional à intensidade do campo, os pontos lançados aleatoriamente usando o Método de Monte Carlo e aplicando a técnica de rejeição de Neumann [3,4]. 2 Técnica de imageamento O procedimento, do ponto de vista qualitativo, é relativamente simples [3]. A partir de uma distribuição uniforme de pontos aleatórios, mais precisamente pseudo-aleatórios, gerados por um algoritmo computacional, aplica-se a técnica de rejeição de Neumann [4] para transformar na distribuição desejada. Como um exemplo característico, a figura 1 mostra a representação pictórica da distribuição de probabilidades do auto-estado ψ 410 do átomo de hidrogênio [9,10], obtida a partir da impressão dos pontos sorteados numa região de 64a 0, a 0 raio de Bohr [3]. 3

4 Figura 1: representação pictórica do átomo de hidrogênio no nível (410), obtido via simulação de Monte Carlo. Os campos elético e magnético são funções vetoriais que, além da intensidade, tem orientações definidas no espaço. Um complicador adicional é a presença de divergência na posiçao da carga fonte, que deve ser isolada, do contrário haverá uma rápida saturação dos pontos sorteados. Tomando como exemplo o campo elétrico, considerando apenas configurações bidimensionais, as orientações dos campos em cada ponto podem ser definidas usando a relação E x E z = tan θ. (1) Para uma determinada coordenada (x, z), além do peso probabilístico proporcional à intensidade E do campo, a orientação espacial pode ser indicada usando segmentos de reta de igual comprimento s com as extremidades ancoradas nos pontos (x, z) e (x + x, z + z) para x = s sin θ e z = s cos θ. (2) O segmento s deve ser o menor possível com resolução que permita visualizar as orientações do campo e, para evitar os efeitos de saturação 4

5 que ocorrem próximos aos pontos de divergência, podem ser atribuídas cores aleatórias em cada sorteio dos pontos. Figura 2: configuração do campo elétrico (vista longitudinal) de uma carga em movimento uniforme com velocidades β = Como teste de funcionalidade, foi aplicado para obter as configurações dos campos elétrico e magnético, [ ] (x βct) x + yŷ + zẑ E = qγ ( γ2 (x βct) 2 + y 2 + z 2) (3) 3/2 e B = v c E, (4) respectivamente, de cargas em movimento uniforme ao longo do eixo x com velocidade β = 0.99, apresentadas nas figuras 2 e 3. 5

6 Figura 3: configuração do campo magnético (vista transversal) de uma carga em movimento uniforme com velocidades β = Cargas em movimento hiperbólico O movimento hiperbólico corresponde à generalização relativística do movimento uniformemente acelerado devido à ação de uma força externa constante. Na relatividade einsteniana a ação de uma força externa constante sobre uma partícula resulta na sua aceleração própria (aceleração no referencial onde a partícula encontra-se instantaneamente em repouso) constante. Supondo a força na direção do movimento, resulta numa trajetória unidimensional, considerada ao longo do eixo z, as coordenadas do espaço-tempo dadas por (z 0, z) = c2 (sinh λτ, cosh λτ). (5) a Representa um caso ideal de uma partícula proveniente de z com velocidade c sendo desacelerada até a velocidade anular-se em z = c 2 /a, revertendo o movimento acelerado até retornar a z atingindo a velocidade limite c. Aqui, a = F/m é a aceleração própria constante devido à ação da força F constante, λ = a/c um parâmetro auxiliar, m a massa de 6

7 repouso da partícula, z 0 = ct a componente temporal das coordenadas do espaço-tempo e τ o tempo próprio. A quadri-velocidade e a quadri-aceleração resultam e (ż0, ż) = c(cosh λτ, sinh λτ) (6) (.. z 0,.. z) = a(sinh λτ, cosh λτ), (7) respectivamente, os pontos acima das variáveis indicando derivadas em relação ao tempo próprio,. z µ = v µ = dzµ (8) dτ e.. z µ = a µ = dvµ dτ = d2 z µ dτ. (9) 2 A figura 4 ilustra a trajetória hiberbólica (azul), a velocidade (vede) e a aceleração (vermelho), no plano z ct, o eixo z vertical e o eixo ct horizontal. z t Figura 4: gráficos do movimento hiperbólico, para a trajetória (azul) z(t), a velocidade (verde) v(t) e a aceleração (vermelho) a(t), em variáveis adimensionais. 7

8 3.1 Campo eletromagnético O campo eletromagnético devido a uma partícula de carga q em movimento arbitrário é dado pelo potencial de Liénard-Wiechert A µ q = qvµ R ν v ν (10) q para satisfazendo à condição R µ = ( c 2 (t t q ), (r r q ) ) (11) R µ R µ = 0 c 2 (t t q ) 2 = (r r q ) 2 = R 2 (12) que define o tempo retardado (ou avançado) t q = t R c, (13) sendo r q = r(t q ) a posição da carga no tempo retardado (ou avançado) t q. As componentes temporal e espaciais do quadri-potencial (10) são A 0 q = φ q = R R v/c (14) q e A q = qv c(r R v/c), (15) q respectivamente, onde R = r r q (t q ) = R.n (16) e R = r r q = c (t t q ). (17) O movimento hiperbólico, equação (5), corresponde à trajetória z(t q ) = c α 2 + t 2 q, (18) velocidade v(t q ) = ct q α2 + t 2 q (19) e aceleração a(t q ) = cα 2 ( α2 + t 2 q) 3/2, (20) 8

9 ajustadas para as condições iniciais (t q = 0) z 0 = cα e v 0 = 0. O parâmetro auxiliar α = c/a = 1/λ.é usado para deixar as equações mais compactas. Para esta trajetória hiperbólica, a condição (12) fica c 2 (t t q ) 2 = (z z q ) 2 + y 2 + x 2 = R 2 (21) e, usando a equação da trajetória (18), c 2 t 2 2c 2 tt q + c 2 t 2 q = r 2 2zc α 2 + t 2 q + c ( 2 α 2 + tq) 2, que pode ser rearranjada na forma 2zc α 2 + t 2 q = ( r 2 + c 2 α 2 c 2 t 2) + 2c 2 tt q. e quadrada. Reorganizando os termos, resulta 4c 2 ( z 2 c 2 t 2) t 2 q 4c 2 t ( r 2 + c 2 α 2 c 2 t 2) t q +4z 2 c 2 α 2 ( r 2 + c 2 α 2 c 2 t 2) 2 = 0 (22) uma equação algébrica de segundo grau em t q cujas soluções são ct q = ct (r2 + c 2 α 2 c 2 t 2 ) 2 (z 2 c 2 t 2 ) Para compactar estas expressões, considere e os parâmetros auxiliares z (r 2 + c 2 α 2 c 2 t 2 ) 2 (z 2 c 2 t 2 ) 4c 2 α 2. 2 (z 2 c 2 t 2 ) (23) ρ 2 = r 2 z 2 = x 2 + y 2 (24) ξ = r 2 + c 2 α 2 c 2 t 2 (25) e η = = ξ 2 4c 2 α 2 (z 2 c 2 t 2 ) (r 2 c 2 α 2 c 2 t 2 ) 2 + 4ρ 2 c 2 α 2, (26) de modo que a equação (23) fica ct q = ctξ zη 2 (z 2 c 2 t 2 ). (27) 9

10 O vetor (16) fica R = x x + yŷ + ( ) z c α 2 + t 2 q ẑ (28) e, portanto, R v c = = ( ) t z c α 2 + t 2 q q α2 + t 2 q ( ) z c t α2 + t 2 q. (29) q Como [ α 2 + t 2 q = α 2 ctξ zη + 2c (z 2 c 2 t 2 ) ] 2 = 4c2 α 2 (z 2 c 2 t 2 ) 2 (ctξ zη)2 4c 2 (z 2 c 2 t 2 ) 2 + 4c 2 (z 2 c 2 t 2 ) 2 e, de (26), após alguns cáculos resulta 4c 2 α 2 ( z 2 c 2 t 2) = ξ 2 η 2, (30) α 2 + t 2 q = (ξz ηct)2 4c 2 (z 2 c 2 t 2 ) 2. (31) Considerando apenas o tempo retardado t q = t ret nas equações (13) e (17), R = c (t t q ), resulta ( R R v ) c ret = = ( ( ct ct z zt q α2 + t 2 q ) 4 (z 2 c 2 t 2 ) 2 (ξz ηct) 2 ) ctξ zη 2 (z 2 c 2 t 2 ) A raiz quadrada pode ser elimina devido às condições vinculadas z > ct ξ > η. ou z < ct ξ < η 10

11 da equação (30), resultando ( R R v ) = ±η (z2 c 2 t 2 ) c ret (ξz ηct) Assim, as componentes não nulas do quadri-potencial, equações (14) e (15), ficam. e A 0 (ξz ηct) ret = q ±η (z 2 c 2 t 2 ) A 3 zη + ξct ret = q ±η (z 2 c 2 t 2 ), funções das coordenadas atuais do espaço-tempo. como Podem ser expandidas e A 0 = ±q ξ η z (z 2 c 2 t 2 ) q ct (z 2 c 2 t 2 ) A 3 = ±q ξ η de modo que, definindo a função podem ser escritos como ct (z 2 c 2 t 2 ) q z (z 2 c 2 t 2 ) Λ = q 2 ln ( z 2 c 2 t 2) e A 0 = ±q ξ η z (z 2 c 2 t 2 ) + Λ c t A 3 = ±q ξ η ct (z 2 c 2 t 2 ) Λ z, caracterizando uma transformação de gauge A µ A µ µ Λ que pode ser eliminada, resultando as expressões finais dos potenciais A 0 = q ξ η z (z 2 c 2 t 2 ) (32) 11

12 e onde A 3 = q ξ η ct (z 2 c 2 t 2 ), (33) ξ η = r 2 + c 2 α 2 c 2 t 2, (34) (r 2 + c 2 α 2 c 2 t 2 ) 2 4c 2 α 2 (z 2 c 2 t 2 ) os sinais ± absorvidos pela carga. 3.2 Campos elétrico e magnético De posse dos potenciais, os campos elétrico e magnético podem ser obtidos imediatamente, e onde E i = F i0 = i A 0 0 A i = A0 x i B i = F jk = j A k + k A j = Ak x j A componente E x do campo elétrico fica [ ( )] E x = A0 ξ x = q x η e portanto x De forma similar, Para a componente Ai x 0 (35) Aj x k. (36) z (z 2 c 2 t 2 ) ( ) ξ = 2x η η ξ η η 2 x = α 2 x (z 2 c 2 t 2 ) 8c2 η 3 E x = 8qc2 α 2 xz η 3. (37) E y = 8qc2 α 2 yz η 3. (38) E z = A0 z A3 c t as derivadas derivações são mais trabalhosas. Assim, A 0 z = q ( ) ξ z z η (z 2 c 2 t 2 ) + q ξ [ ] z η z (z 2 c 2 t 2 ) 12

13 para e resultando z A 0 z ( ) ξ = 4c2 α 2 z (x 2 + y 2 z 2 + c 2 t 2 + c 2 α 2 ) η η 3 [ z ] z (z 2 c 2 t 2 ) = (z2 + c 2 t 2 ) (z 2 c 2 t 2 ) 2 = q 4c2 α 2 z 2 (x 2 + y 2 z 2 + c 2 t 2 + c 2 α 2 ) + η 3 (z 2 c 2 t 2 ) q ξ (z 2 + c 2 t 2 ) η (z 2 c 2 t 2 ) 2. Para A 3 c t = q [ ξ c t η = q c t [ ξ η ] ct (z 2 c 2 t 2 ) ] ct (z 2 c 2 t 2 ) + ξ η [ c t ct (z 2 c 2 t 2 ) ], usando e resulta c t [ c t A 3 c t ( ) ξ = 4c3 tα 2 (x 2 + y 2 z 2 + c 2 t 2 + c 2 α 2 ) η η 3 ct (z 2 c 2 t 2 ) ] = z2 c 2 t 2 + 2c 2 t 2 (z 2 c 2 t 2 ) 2 = z2 + c 2 t 2 (z 2 c 2 t 2 ) 2 = q 4c4 t 2 α 2 (x 2 + y 2 z 2 + c 2 t 2 + c 2 α 2 ) (z 2 c 2 t 2 ) η 3 + +q ξ η (z 2 + c 2 t 2 ) (z 2 c 2 t 2 ) 2. Somando as duas contribuições, resulta E z = q 4c2 α 2 (x 2 + y 2 z 2 + c 2 t 2 + c 2 α 2 ) η 3 (39) 13

14 A equação (36) fornece as componentes do campo magnético, B x = B 1 = A3 y A2 z, B y = B 2 = A1 z A3 x, B z = B 3 = A2 x A1 y. Como a única componente espacial não nula do potencial vetor é A 3, equação (33), resultam B x = q ( ) ξ ct y η (z 2 c 2 t 2 ) q 8c2 α 2 yct (40) η 3 e B y = q x A componente z é nula, ( ) ξ η ct (z 2 c 2 t 2 ) = q 8c2 α 2 xct. (41) η 3 B z = 0 (42) Coletando estes resultados, em componentes cilíndricas, as componentes do campo elétrico são e o campo magnético, ou simplesmente E ρ = 8qc2 α 2 ρz η 3, E ϕ = 0, E z = q 4c2 α 2 (x 2 + y 2 z 2 + c 2 t 2 + c 2 α 2 ) η 3 (43) B = B x x + B y ŷ = 8qc2 α 2 (y x xŷ) ct = 8c 2 α 2 q η 3 ρ (sin ϕ x cos ϕŷ) ct η 3 para η = B = 8c 2 α 2 q ρct ϕ, (44) η3 (r 2 + c 2 α 2 c 2 t 2 ) 2 4c 2 α 2 (z 2 c 2 t 2 ). 14

15 Como o campo eletromagnético propaga-se com a velocidade da luz, deve estar confinada à região z + ct > 0, (45) cuja fronteira plana avança com a velocidade da luz, a frente de propagação do campo dada por z + ct = 0. (46) 3.3 Configuração do campo elétrico A seguir considera-se a carga fonte executando um movimento hiperbólico, proveniente de z Esta sub-secção apresenta as configurações do campo elétrico mostrando a sua evolução no espaço-tempo, acompanhando o movimento hiperbólico da carga fonte. A escala de tempo é arbitrária e a trajetória da carga é tomada no intervalo 15L < ct < 15L, a simulação realizada no plano z x delimitada por 20L < z < 20L e 20L < x < 20L (a origem no centro), L representando uma unidade arbitrária de comprimento (que será omitida daqui em diante) e a/c 2 = 0.5L 1 é o termo de aceleração usado nestas simulações. Os campos tem simetria azimutal. As posições da carga em cada instante são definidas pela equação da trajetória (18) e são representadas nas figuras por pontos brancos coincidentes com os pontos de divergência do campo. A tabela 1 contém os dados sobre a posição z q (t), velocidade β(t) e aceleração a(t)/c 2 da carga fonte e a posição z γ (t) da frente plana de propagação do campo elétrico no intervalo 15L < ct < 15L referentes ao conjunto de quadros da figura 5. Nos momentos iniciais, a configuração do campo elétrico é quase planar, devido à velocidade próxima à da luz da carga fonte. Em desaceleração, no instante t = 0 a carga fonte chega à posição z = 2 e a velocidade se anula, β = 0, revertendo o movimento para retornar ao infinito. A frente de propagação do campo atinge a posição z γ = ct = 0 e continua avançando em direção oposta à da carga, para z γ. Observa-se que o campo elétrico tem uma parte solidária à carga fonte e uma outra que prossegue, com a velocidade da luz, ignorando o retorno da carga. ct z q (t) β(t) a(t)/c z γ (t)

16 Tabela 1: posição, velocidade e aceleração da carga fonte e a posição da frente plana de propagação do campo elétrico no intervalo 15L < ct < 15L. ct = 15 ct = 10 ct = 5 ct = 19 ct = 0 ct = 15 ct = 10 ct = 5 Figura 5: sequência temporal das configurações do campo elétrico de uma carga em movimento hiperbólico, entre 15L < ct < 15L. A tabela 2 traz detalhes dos momentos imediatamente após a reversão do movimento da carga fonte contendo a posição, velocidade e aceleração da carga fonte e a posição da frente plana de propagação do campo elétrico no 16

17 intervalo de tempo 0 < ct < 5L referentes aos quadros da figura 6. Após a carga fonte reverter o movimento no instante t = 0, o campo elétrico passa a apresentar, de forma nítida, duas componentes, uma solidária à carga fonte, e outra que se desacopla da carga fonte e continua a se propagar adiante em direção a z com a velocidade da luz, característica da radiação eletromagnética. ct z q (t) β(t) a(t)/c z γ (t) Tabela 2: posição, velocidade e aceleração da carga fonte e a posição da frente plana de propagação do campo elétrico no intervalo 0 < ct < 5L. ct = 0 ct = 1 ct = 2 ct = 3 ct = 4 ct = 5 Figura 6: sequência temporal das configurações do campo elétrico de uma carga em movimento hiperbólico, entre 0 < ct < 5L. 17

18 3.3.1 Vetor de Poynting O teorema de Poynting, que pode ser representado pela equação de continuidade u + S = J E (47) t define a conservação da energia total de um sistema de cargas, onde u = 1 ( E 2 + B 2) (48) 8π é a densidade de energia armazenada no campo eletromagnético e S = 1 (E B) (49) 4π é o vetor de Poynting que define o fluxo de energia e momento do campo eletromagnético. O termo à direita é a potência relacionada à transferência de energia mecânica do sistema de cargas para o campo eletromagnético e vice-versa; J a densidade de corrente elétrica. Para o movimento hiperbólico aqui tratado, os campoos E e B dados pelas equações (43) e (44), resulta ou, mais explicitamente, S = 8q2 π S = 1 4π ( E zb ϕ ρ + E ρ B ϕ ẑ) (50) c 4 α 4 η 6 ct [( ρ 2 + c 2 α 2 z 2 + c 2 t 2) ρ ρ + 2ρ 2 zẑ ], (51) De uma forma geral, cargas aceleradas emitem radiação eletromagnética, a potência irradiada definida pela integral de superfície R = S n r 2 dω = 2 q 2 a 2. (52) 3 c 2 4 Conclusão Fórmulas matemáticas contém informações muitas vezes de difícil interpretação física. A tradicional representação por linhas de força é uma ferramenta fundamental para que se possa entender a natureza do campo coulombiano, por exemplo. O campo eletromagnético de uma carga em movimento hiperbólico pode ser obtido de forma analítica, mas é de difícil interpretação, principalmente considerando que aparece na forma de uma superposição de 18

19 campos da carga fonte e de uma carga espelho localizada numa posição diametralmente oposta cujo campo evolui contra o tempo. É verdade que esta contribuição espúria pode ser eliminada impondo a condição z + ct > 0 que difine o cone de luz da carga fonte. Regiões fora do cone de luz não tem conexão causal com a carga fonte e portanto não pode ter nenhum campo originado desta carga. Esta condição torna-se particularmente importante, permitindo visualizar apenas o campo físico ou, se desejar, apenas o campo não físico. Embora possa parecer contraditório, a parte não física pode conter informações relevantes relacionadas à radiação eletromagnética e à conservação de carga, contrapondo-se à idéia de uma carga elétrica isolada. As representações pictóricas usando as linhas de campo aliadas ao Método de Monte Carlo mostram-se eficientes para uma apreciação qualitativa da evolução espaço-temporal do campo elétrico de uma carga fonte em movimento hiperbólico. 5 Bibliografia [1] John David Jackson, Classical Electrodynamics (third edition), John Wiley & Sons, [2] Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology, John Wiley & Sons, [3] Mario Goto, H. Iwamoto, V. M. de Aquino e V. C. Aguilera-Navarro, Monte Carlo image representation, American Journal of Physics 69, n.3, p. 1-5, [4] I. M. Sobol, The Monte Carlo Method, Univ. Chicago Press, Chicago, 1974.; M. H. Kalos and P. M. Whitlock, Monte Carlo Method, John Wiley, New York, 1986; H. Gould and J. Tobochnik, An Introduction to Computer Simulation Methods - Aplications to Physical Systems, part 2, Addison- Wesley, Reading, [5] Thomas Fulton and Fritz Rohrlich, Classical Radiation from a Uniformly Accelerated Charge, Annals of Physics , [6] Liberty BASIC 4.03, [7] Richard A. Mould, Basic Relativity, Springer, N.Y. (1994). [8] Roger Y. Tsien, Pictures of Dynamic Electric Fields, American Journal of Physics 40 (1972) p.46. [9] Stephen Gasiorowicz, Quantum Physics (third edition), John Wiley & Sons, N.Y. (2003). [10] L. Pauling and E. B. Wilson, Introduction to Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York,

20 A N E X O Este anexo contém as figuras individuais que ilustram os quadros das figuras 4 e 5 do texto. Representações pictóricas da evolução espaço-temporal do campo elétrico de uma carga executando um movimento hiperbólico, proveniente de z. A escala de tempo é arbitrária e a trajetória da carga é tomada no intervalo 15L < ct < 15L, a simulação realizada numa região de 40L 40L do plano z x delimitada por 20L < z < 20L e 20L < x < 20L, a origem no centro. L é a unidade (arbitrária) de comprimento e a/c 2 = 0.5L 1 a aceleração própria constante que alimenta o movimento hiperbólico. A posição da carga a cada instante é marcada por um pequeno círculobranco. A origem do tempo é definida para coincidir com a chegada da frente de propagação do campo na posição z = 0. Figura A1: ct = 15, posição da carga fonte z q (t) = 15, 1, velocidade β(t) = 0, 9934, aceleração a(t)/c 2 = 0, 0012, frente de propagação z γ (t) =

21 Figura A2: ct = 10, posição da carga fonte z q (t) = 10, 2, velocidade β(t) = 0, 9804, aceleração a(t)/c 2 = 0, 0038, frente de propagação z γ (t) =

22 Figura A3: ct = 5, posição da carga fonte z q (t) = 5, 4, velocidade β(t) = 0, 9259, aceleração a(t)/c 2 = 0, 0254, frente de propagação z γ (t) = 5. 22

23 Figura A4: ct = 0, posição da carga fonte z q (t) = 2, velocidade β(t) = 0, aceleração a(t)/c 2 = 0, 5, frente de propagação z γ (t) = 0. 23

24 Figura A5: ct = 1, posição da carga fonte z q (t) = 2, 2, velocidade β(t) = 0, 4464, aceleração a(t)/c 2 = 0, 3757, frente de propagação z γ (t) = 1. 24

25 Figura A6: ct = 2, posição da carga fonte z q (t) = 2, 8, velocidade β(t) = 0, 7067, aceleração a(t)/c 2 = 0, 1822, frente de propagação z γ (t) = 2. 25

26 Figura A7: ct = 3, posição da carga fonte z q (t) = 3, 6, velocidade β(t) = 0, 8310, aceleração a(t)/c 2 = 0, 0857, frente de propagação z γ (t) = 3. 26

27 Figura A8: ct = 4, posição da carga fonte z q (t) = 4, 5, velocidade β(t) = 0, 8948, aceleração a(t)/c 2 = 0, 0439, frente de propagação z γ (t) = 4. 27

28 Figura A9: ct = 5, posição da carga fonte z q (t) = 5, 4, velocidade β(t) = 0, 9259, aceleração a(t)/c 2 = 0, 0254, frente de propagação z γ (t) = 5. 28

29 Figura A10: ct = 10, posição da carga fonte z q (t) = 10, 2, velocidade β(t) = 0, 9804, aceleração a(t)/c 2 = 0, 0038, frente de propagação z γ (t) =

30 Figura A11: ct = 15, posição da carga fonte z q (t) = 15, 1, velocidade β(t) = 0, 9934, aceleração a(t)/c 2 = 0, 0012, frente de propagação z γ (t) =