UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO ACADÊMICO DO AGRESTE NÚCLEO DE FORMAÇÃO DOCENTE FÍSICA-LICENCIATURA Sobre a precisão de experimentos didáticos utilizados para medição da aceleração da gravidade Renato Felix Rodrigues Orientador: Paulo Henrique Ribeiro Peixoto CARUARU 2014

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO ACADÊMICO DO AGRESTE NÚCLEO DE FORMAÇÃO DOCENTE FÍSICA-LICENCIATURA Sobre a precisão de experimentos didáticos utilizados para medição da aceleração da gravidade Renato Felix Rodrigues Monografia apresentada como Trabalho de Conclusão do Curso de Física-Licenciatura, para obtenção do título de Licenciado em Física pela Universidade Federal de Pernambuco. Orientador: Paulo Henrique Ribeiro Peixoto Caruaru 2014

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4 DEDICATÓRIA A todos aqueles qυе dе alguma forma estiveram е estão próximos dе mim, fazendo esta vida valer cada vеz mais а pena.

5 Família, professores e colegas. AGRADECIMENTOS

6 RESUMO Com o objetivo de analisar o quão precisos são os experimentos utilizados pedagogicamente para medir a aceleração da gravidade, três experimentos que utilizam materiais de fácil aquisição foram reproduzidos e tiveram seus resultados comparados entre si e com a previsão teórica. Este estudo apontou os prós e os contras de cada uma das abordagens investigadas, mas de modo geral todos os modelos alcançaram resultados compatíveis com a precisão esperada para uma atividade de ensino. PALAVRAS CHAVE: aceleração da gravidade, gravímetro, precisão, queda livre, pêndulo simples.

7 SUMÁRIO INTRODUÇÃO... p 08 CAPÍTULO 1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA CAPÍTULO 2 METODOLOGIA CAPÍTULO 3 RESULTADOS E DISCUSSÕES CAPÍTULO 4 CONCLUSÃO REFERÊNCIAS... 34

8 8 INTRODUÇÃO Neste trabalho, serão analisados alguns dos métodos mais utilizados para medir o valor da grandeza que é provavelmente a mais conhecida das constantes físicas, pelo menos entre os alunos de ensino médio: a aceleração da gravidade. Uma vez que este trabalho se disponha a analisar experimentos, é preciso identificar o grau de sofisticação tecnológica dos experimentos que serão considerados. Assim sendo, o principal critério adotado para a seleção dos experimentos escolhidos foi a reprodutibilidade de cada método. Se a seguinte pergunta fosse feita a um aluno de ensino médio: como você faria para medir a aceleração da gravidade? A resposta mais provável, entre aqueles que conseguissem dar uma resposta satisfatória, seria algo como: deixaria um corpo cair próximo à superfície da Terra e, desprezando a resistência do ar, consideraria que o corpo descreve um movimento uniformemente variado cuja aceleração corresponde à aceleração da gravidade. E este cálculo seria feito utilizando-se alguma(s) equação(ões) da cinemática, dependendo de quais são as grandezas que possuem valores conhecidos, entre distância percorrida, tempo de queda e velocidades finais e iniciais. Do ponto de vista teórico a resposta está correta. Mas vamos analisar algumas possibilidades. Usando a seguinte equação: g= Δv Δt. Do ponto de vista teórico/matemático: esta seria a forma mais simples. A gravidade, como qualquer aceleração em um movimento uniformemente variado, é igual à variação da velocidade dividida pela variação do tempo. O problema poderia ser simplificado ainda mais fazendo-se o corpo partir do repouso (velocidade inicial igual a zero). Mas o que estamos procurando não é só um modelo teórico simples. Estamos interessados em uma forma de medir o valor da aceleração da gravidade e, nesse caso, precisaríamos medir os valores do intervalo de tempo de queda e também a velocidade final do corpo. Se a ideia é medir os intervalos de tempo com um cronômetro é bom pensar no modo de acionamento do cronômetro. Uma pessoa disparando e pausando o cronômetro pode gerar uma grande imprecisão na medida. Já o uso de sensores e de um sistema computadorizado poderia resolver esse

9 9 problema, mas a sofisticação causada poderia dificultar a reprodução do experimento. Isso sem falar em como a velocidade final da partícula seria medida, o que poderia se tornar um belo desafio do ponto de vista experimental. Este exemplo simples ilustra alguns dos problemas que surgem ao se tentar efetuar tal medida e na sequência desse trabalho serão analisados alguns dos métodos mais utilizados para se medir o valor desta grandeza, destacando as principais características de cada um e o quão precisos eles são.

10 10 CAPÍTULO 1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Os instrumentos utilizados para se medir a aceleração da gravidade são chamados de gravímetros. Estes instrumentos podem ser classificados como: Gravímetros absolutos: medem simultaneamente os valores de posição e tempo ao longo do movimento de um corpo sujeito a um campo gravitacional para obter o valor da aceleração da gravidade. Gravímetros relativos: medem apenas um desses parâmetros, geralmente a posição, e calculam a variação da gravidade com relação a um valor de referência. Os gravímetros absolutos, que são o objeto de estudo deste trabalho, podem ser divididos em dois grupos: 1. Experimentos que utilizem o movimento de corpos em queda livre. 2. Experimentos utilizando pêndulos. Começando com os experimentos que utilizam o movimento de queda livre, foram selecionados dois exemplos dentre as propostas existentes que utilizam este princípio para avaliar a precisão de instrumentos didáticos comumente utilizados com a finalidade de medir a aceleração da gravidade. Segue abaixo o procedimento matemático que costuma ser utilizado nestas atividades. O ponto de partida é a função horária da posição do movimento uniformemente variado y ( t )=y 0 +v 0 t+ gt 2 2. Considerando y y 0 =Δy e que o objeto parte do repouso, a expressão comumente utilizada para medir a aceleração da gravidade nesta situação é: g = 2Δy t 2. Nesses casos é necessário medir a distância que o corpo percorre durante a queda e o tempo em que essa distância é percorrida. A partir daí, encontrar uma forma de medir essas grandezas depende da criatividade do experimentador e dos

11 11 equipamentos disponíveis. A seguir, são ilustradas duas propostas que buscam atender a esse objetivo. Experimento 1: Tempo medido através da captação do som do impacto de corpos com o solo. Adaptada a partir do modelo proposto por Peruzzo(2010), neste modelo duas porcas são soltas simultaneamente a partir do repouso e de alturas diferentes com relação ao solo. O que é medido aqui é o intervalo de tempo que transcorre entre a colisão dos dois corpos com a superfície. Considerando que o corpo 1 seja solto de uma altura h 1 e que o corpo 2 seja solto de uma altura h 2, onde h 2 > h 1 (Figura 1), e que ambos comecem a se mover simultaneamente, temos as relações: h 1 = gt e h 2 = gt 2 2 2, em que t 1 e t 2 são os tempos de queda dos corpos 1 e 2, respectivamente. h 2 h 1 Figura 1 - corpos soltos simultaneamente de alturas distintas Para obter uma expressão que relacione a aceleração da gravidade ao tempo entre colisões, já que é isto que o experimento se propõe a medir, isolamos o tempo nas duas equações e calculamos a diferença entre eles. Fazendo isso temos: = (1) t 2h = 1 1 e t 2h 2 g 2 g ; Δt = t 2 t 1= 2 g ( h 2 h 1 ). (2)

12 12 Com esta última equação, basta conhecer os valores de h 2 e h 1 e realizar a medição de Δt para ser possível obter um valor para a aceleração da gravidade. A razão para que o intervalo de tempo considerado seja o que transcorre entre o impacto das porcas com o solo é devida ao modo como o tempo é medido: a ideia do autor foi colocar um microfone próximo à região onde as porcas atingem o solo e gravar o som utilizando um programa de computador gratuito de edição de áudio chamado Audacity (versão 2.0.2). Enquanto grava, este programa produz um gráfico de intensidade sonora X tempo, proporcionando que a medição do tempo seja feita a partir da distância dos picos localizados no gráfico, como expresso na figura 2. Figura 2 - exemplo de gráfico produzido com o Audacity A discussão que segue foi proposta no artigo original como uma alternativa adicional que o experimento possibilita ao se utilizar um número maior de porcas. Ela será utilizada nesse trabalho por fornecer uma equação matemática mais simples para o problema. Comparando a equação (1) com a equação (2) é visível que a expressão matemática que relaciona o tempo de queda de uma única porca com a aceleração da gravidade (equação (1)) é mais simples que a equação matemática que relaciona a gravidade com a diferença entre os tempos de queda (equação (2)). Este fato pode ser utilizado para simplificar a equação (2), dependendo de como h 1 e h 2 se relacionem.

13 13 Fazendo Δt=t 1 : Esse raciocínio pode ser estendido para n corpos (figura 3) desde que o i- ésimo corpo esteja a uma altura h i em relação ao solo, que se relacione com a altura do primeiro objeto segundo esta equação: O artigo que propõe este modelo tenta explorar a característica decorrente desta equação aplicada a um conjunto de corpos que caem de alturas diferentes, resultando que o intervalo de tempo de queda entre corpos consecutivos seja constante. 2h 1 g = 2 g ( h 2 h 1 ) 2 g h 1= 2 g ( h 2 h 1 ) h 2 =2 h 1 h i = i 2 h 1. (3) Neste trabalho, esta relação entre as distâncias será utilizada para que o tempo que transcorre entre a queda dos dois corpos (o tempo medido) possa ser igualado ao tempo de queda do primeiro corpo e, assim, a relação matemática entre as grandezas medidas e a aceleração da gravidade possa ser simplificada. t= 2h g, h 2 = 4h 1. g= 2h t 2. (4) No capítulo que descreve a metodologia (o próximo) este modelo voltará a ser explorado mais detalhadamente. h 3 h 1 h 2 Figura 3 corpos com alturas em relação ao solo de acordo com a equação (3)

14 14 Experimento 2: tempo de queda medido a partir da filmagem do movimento. Adaptada de Corvelone (2009), uma segunda forma de medir o valor da aceleração da gravidade através de uma situação que envolva corpos em queda livre é descrita a seguir. É feita a filmagem da região onde um corpo, inicialmente em repouso, é solto a partir de uma altura h 1 em relação ao solo. É importante que dentro do mesmo quadro onde o movimento ocorre haja algo que possua um comprimento conhecido para que, através da contagem do número de pixels correspondentes ao comprimento conhecido, possa ser estabelecida uma relação entre a distância entre dois pontos na imagem e o número de pixels que os separa. No artigo onde a ideia é proposta, foi utilizada a função multi-burst de uma câmera digital para tirar uma sequência de fotos com um curto intervalo de tempo entre elas (30 fotos por segundo). Depois as fotos foram analisadas para produzir um gráfico relacionando deslocamento X tempo e o valor da aceleração da gravidade é calculado a partir da comparação da função polinomial que aproxima a curva produzida com a função horária da posição de um movimento uniformemente variado. Na reprodução deste experimento o modo como as imagens foram obtidas foi alterado. O uso da função multi-burst, que não é encontrada em todas as câmeras digitais, foi substituído pela filmagem do deslocamento do corpo e as imagens foram obtidas através da decomposição do filme em sequência de quadros utilizando o pré-processador de vídeos gratuido VirtualDub.

15 15 Experimento 3: pêndulo simples. Já o método que utiliza o pêndulo simples é provavelmente o mais comumente utilizado. O experimento consiste em deixar um fio inextensível e flexível, de comprimento l, com uma de suas extremidades fixa e prender na outra um corpo de massa m (figura 4). Figura 4 - pêndulo simples Fonte: O movimento pendular é provocado pela ação da força restauradora causada pela gravidade quando a massa é deslocada de sua posição de equilíbrio. Nesse modelo, ao desconsiderar as forças dissipativas (como a resistência do ar) e considerar que o pêndulo oscile sobre um plano vertical, as forças atuando sobre o corpo são a tensão do fio e o peso da massa m. Figura 5 Fonte:

16 16 P é decomposta numa componente radial Pcos (θ) e na componente Psen (θ) que é tangente à trajetória da partícula (Figura 5). Esta componente tangencial é a força restauradora, escrita como: F= Psen(θ). Como o radiano é definido como a razão entre o comprimento de um arco (x) e seu raio (l), o ângulo θ (medido em radianos) pode ser substituído na expressão anterior por θ = x l, resultando em: F = Psen( x l ). (5) É fácil notar que esta força não leva a um movimento harmônico simples (MHS), já que a força não é proporcional ao deslocamento, mas sim ao seno dele. É aqui que é feita uma importante aproximação deste modelo, conhecida como aproximação harmônica 1. Para ângulos suficientemente pequenos, θ π /8, o valor do seno do ângulo, em radianos, é aproximadamente igual ao valor do próprio ângulo. Utilizando esta aproximação, a equação (5) pode ser escrita como: F = mgx. l (6) Vamos obter agora a relação entre o valor da aceleração da gravidade e o período do pêndulo simples, usando o fato de que dentro do limite de validade desta aproximação o movimento do pêndulo pode ser considerado um MHS. Para um movimento periódico desse tipo é válida a seguinte função horária: x (t )=x m cos(ωt+ϕ) (7) Onde x m é a amplitude do movimento, ω é sua frequência angular e ϕ é uma constante de fase (três parâmetros constantes). tempo. A aceleração é obtida derivando a euquação (7) duas vezes em relação ao 1 - A dedução de uma expressão geral para o período do pêndulo não será realizada neste trabalho por estar além de seu objetivo. Esta dedução, que utiliza o princípio da conservação da energia mecânica e resulta no cálculo da integral eliptica completa do primeiro tipo pode ser encontrado em Carvalhaes(2009).

17 17 a( t )= ω 2 x m cos(ωt+ϕ) a (t )= ω 2 x. Portanto, F= mω 2 x. (8) que resulta em: Igualando as equações (6) e (8): mω 2 x= mgx l, ω= g l. Como a frequência angular se relaciona com o périodo (T) pela expressão T=2π /ω, o período de oscilação do pêndulo é dado por: T=2π l g. Esta é a equação comumente utilizada para medir o valor da aceleração da gravidade utilizando um pêndulo simples. Termina aqui a apresentação dos três modelos que terão suas precisões avaliadas. Para realizar esta análise, os experimentos serão reproduzidos e serão calculados média, desvio-padrão e erro relativo para cada um deles. De posse destes parâmetros, os resultados serão comparados entre si e também com a previsão teórica.

18 18 CAPÍTULO 2 METODOLOGIA Para avaliar a precisão dos valores que serão medidos para a aceleração da gravidade através do uso de cada um dos três métodos, cada experimento será submetido a análise composta por duas etapas: Como os erros nas medições são propagados pelo modelo. Obtenção de valor médio, desvio-padrão amostral e erro relativo para um conjunto de 50 repetições das medidas. Cada experimento passará por essa análise individualmente e depois seus resultados serão comparados com os obtidos pelos outros métodos e com o valor previsto teoricamente. 2.1 Precisão dos experimentos O erro propagado durantes as medidas será calculado por meio da equação (9), que fornece, através de uma expansão em série de Taylor, a incerteza (Δy ) propagada no cálculo de uma grandeza y que é medida indiretamente a partir das grandezas x 1 e x 2 : Δy= y x 1 Δx 1 + y x 2 Δx , (9) onde as derivadas são calculadas no ponto x 1 = x 1, x 2 = x 2,.... Este cálculo será feito com o uso da seguinte expressão: g= x t, (10) 2 onde x = 2h para os dois primeiros métodos e x = 4π 2 l para o pêndulo simples. Assim, relaciona-se a incerteza propagada pelo cálculo de g às incertezas relativas à medida de t e de h conforme a equação (9), obtendo-se:

19 19 Calculando estas derivadas: Δg= g t Δt+ g x Δx. Δg= 2x t 3 Δt+ 1 t 2 Δx, com x= x,t= t. (11) No capítulo 3 a equação (11) será utilizada para calcular como os erros são propagados por cada experimento. Outro parâmetro que será utilizado para avaliar o resultado é o cálculo do desvio-padrão amostral para um número N de medidas: que indica o quanto os valores medidos estão dispersos em relação à média. Este desvio-padrão será utilizado para calcular o desvio-padrão da média: σ x = σ x N. O desvio-padrão da média costuma ser utilizado para representar a medida de uma grandeza: e os resultados obtidos serão escritos dessa forma. E por fim mas não menos importante, com o desvio-padrão da média será calculado o erro relativo σ x x, "que caracteriza a precisão de um resultado, é uma indicação da qualidade de um experimento." (Santoro 2008). A tabela a seguir resume os parâmetros utilizados: σ x = N ( x i x ) 2 i=1, N 1 x= x±σ x, Parâmetro média desvio-padrão amostral desvio-padrão da média símbolo x σ x σ x erro relativo Tabela 1 - parâmetros estatísticos σ x x

20 Reprodução dos experimentos: EXPERIMENTO 1 Material utilizado: - Duas porcas (de 2,3 cm de diâmetro aproximadamente) - Fio (linha) - Microfone - Computador com o software Audacity - Uma superfície plana de madeira - Grampeador para madeira - Trena - Toalha Procedimento experimental: Uma das extremidades da linha foi grampeada à superfície de madeira e na outra extremidade foi presa uma porca, de modo que sua superfície inferior ficasse a 50 cm de distância da base quando a linha estava esticada. Nesta porca foi preso um outro pedaço de fio que também tinha uma porca presa à sua extremidade oposta e com comprimento tal que a distância entre as bases das duas porcas fosse 150 cm quando o fio era esticado, como indica a figura cm 50 cm Figura 6 - distância entre as porcas A superfície de madeira foi escolhida para intensificar o som emitido ao ser atingida pelas porcas e o grampeador foi utilizado para fixar uma das extremidades

21 21 do fio à superfície, para manter a primeira porca à mesma altura em cada repetição. Já a toalha foi colocada ao redor da região onde o impacto das porcas com a superfície ocorria a cerca de 5 cm do ponto central, para diminuir o ruído causado por impactos sucessivos da primeira porca. Para realizar as medições, o fio com as porcas foi esticado verticalmente e o microfone foi colocado próximo à região de impacto das porcas com a superfície. O fio foi solto e o som das colisões foi gravado pelo Audacity. O intervalo de tempo a ser utilizado na equação (4) foi obtido a partir da análise de gráficos como o da figura 7. Figura 7 gráfico produzido pelo Audacity De posse de um gráfico como este, basta colocar o cursor do programa sobre a posição correspondente ao pico no gráfico para que o instante de tempo correspondente seja indicado pelo programa. EXPERIMENTO 2 Material utilizado: - Fita adesiva - Trena

22 22 - Câmera digital (samsung ES 65) - 1 bola com cerca de 7,5 cm de diâmetro - Computador Procedimento experimental: Uma câmera foi colocada sobre um apoio a uma altura de 1,45 m em relação ao solo e a 2,25 m de distância de uma parede. Nesta parede, foram colocados pedaços de fita adesiva de modo que o topo de cada pedaço de fita estivesse a 10 cm de distância do topo dos pedaços imediatamente acima e abaixo dele. 10 cm Figura 8 região percorrida pelo corpo durante a queda livre Uma bola foi solta estando sua base à mesma altura que o topo da fita mais acima, a 1,92 m do solo, e foi feita a filmagem do seu movimento durante a queda. A segunda etapa do experimento consistiu em decompor este video, com taxa de 30 quadros por segundo, em uma sequência de imagens. Para cada uma dessas imagens em que foi identificado que a bola estava em movimento foi contado, utilizando o editor de imagens Paint (Windows) no seu modo de ampliação máxima (800%), o número de pixels entre a posição atual da bola e uma posição de referência (figura 9).

23 23 Figura 9 bola X quadros após o inicio do movimento ser detectado A partir da contagem do número de pixels entre as fitas, foi obtido que a relação entre o número de pixels e o comprimento foi a seguinte: 1 pixel = 0,40 cm, ou que 1 cm = 2,50 pixels. Com esta relação, a distância medida pelo número de pixels foi transformada em metros e foi feito o gráfico entre posição e tempo (figura 10). O valor da aceleração da gravidade foi obtido através de ajuste polinomial dos pontos desse gráfico (o programa utilizado foi o OriginPro ). Figura 10-a gráfico Distância X Tempo Figura 10-b parâmetros do ajuste polinomial EXPERIMENTO 3 Material utilizado: - Fio (linha) - Porca (mesma do experimento 1) - Cronômetro

24 24 Procedimento experimental: O experimento foi realizado pendurando um pedaço de fio em um gancho preso no teto. Na outra extremidade foi presa uma porca e o comprimento considerado para o pêndulo foi a distância entre o gancho e o centro de massa da porca,no seu centro, medido com uma trena. O comprimento medido foi de 150,0±0,1 cm. O pêndulo foi visualizado de baixo para cima para garantir que realizasse o movimento o mais próximo possível de um plano, ao invés de um movimento circular, e um cronômetro com 0,01 s como menor divisão da escala foi utilizado para medir o tempo de dez oscilações. Este artifício é comumente utilizado nas atividades que envolvem o pêndulo para minimizar a imprecisão gerada pelo experimentador ao disparar e pausar o cronômetro. Após a medição, o intervalo de tempo é dividido por 10 e obtêm-se um valor para o período do pêndulo.

25 25 CAPÍTULO 3 RESULTADOS E DISCUSSÕES Os dados experimentais serão apresentados através de gráficos onde o eixo horizontal representa o número da medida e o eixo vertical indica o valor medido para a aceleração da gravidade. EXPERIMENTO 1: Os resultados para este experimento estão expressos no gráfico a seguir: Figura 11 - gráfico de medições do experimento 1 dados: Os seguintes parâmetros estatísticos foram obtidos ao se analisar estes Parâmetro x σ x σ x σ x x valor (m/s²) 10,057 0,369 0,052 0,005 Tabela 2 - parâmetros do experimento 1

26 26 Discutindo o experimento 1 O momento de analisar o gráfico para determinar os instantes em que as colisões acontecem é o mais delicado deste experimento. Foi observado que a primeira porca quicava duas vezes antes da segunda chegar ao solo e esse ruído dificultava a identificação do pico correspondente à chegada da segunda porca. Para solucionar este problema, uma toalha foi colocada em torno da região onde os impactos ocorreram para amortecer os sucessivos impactos da primeira porca. O resultado pode ser observado na figura 12. Figura 12-a - medida sem a toalha Figura 12-b - medida com a toalha Mesmo utilizando a toalha para abafar os ruídos externos, é difícil determinar o instante de cada impacto com precisão maior que 0,003 s; e ao se somar ou subtrair esta quantidade do valor médio medido para o tempo o valor da aceleração da gravidade varia de 10,25 m/s² a 9,87 m/s². Esta imprecisão gera a possibilidade de que dois experimentadores considerem valores distintos para o intervalo de tempo fornecido por um mesmo gráfico e, como indicado no exemplo acima, uma divergência como esta pode influenciar consideravelmente o resultado. Um outro ponto que foi observado é que na primeira vez que as medições foram realizadas, todos os (50) valores obtidos para a aceleração da gravidade foram maiores que o valor conhecido teoricamente, o que significa que os intervalos de tempo medidos foram menores que o valor que seria obtido para o intervalo de tempo se o cálculo inverso fosse efetuado. Depois de refazer o experimento, foi observado que quando a linha estava totalmente esticada o intervalo de tempo medido era menor que o resultado da medição feita se a linha estivesse um pouco

27 relaxada. A explicação encontrada para isto foi que quando o fio era esticado e solto, além da força de atração gravitacional puxando as porcas para baixo havia também uma força restauradora devido à propriedade elástica do fio. Portanto, como na prática o fio utilizado não era inextensível como o fio ideal considerado no modelo, na hora de determinar os comprimentos dos fios estes deveriam ser medidos com o fio não totalmente esticado, principalmente para a porca mais abaixo. Depois destas constatações, o experimento foi refeito e foram obtidos os valores presentes na figura 11. Propagação de erros no experimento 1 A medida do comprimento dos fios foi feita utilizando uma trena. Com este instrumento, foi possível realizar medições com precisão milimétrica, ±0,001 m. Mas devido principalmente à elasticidade do fio utilizado, as medições sucessivas indicam que uma imprecisão de ±0,002 m é mais condizente com as condições de realização do experimento. Para a medida do tempo, como argumentado anteriormente, mesmo com as adaptações realizadas detectar o ponto no gráfico correspondente ao instante de contato de cada porca com o solo se tornava incerto para intervalos menores que 0,003 s. Considerando estas incertezas para as medidas, que o intervalo de tempo médio foi de 0,315 s e que o comprimento médio era 0,5 m, o valor de calculado ao se aplicar a equação (11) equação deste modelo foi de: Δg= 4h t 3 Δt+ 2 t 2 Δx Δg=0,23 m/s 2. A principal contribuição para este valor é oriunda da incerteza associada à medição do tempo (aproximadamente 0,19 m/s²), e este fato se deve à combinação de dois fatores: a gravidade ser proporcional a 1/t² e a proximidade entre a ordem de grandeza do valor medido e da incerteza dos instrumentos utilizados. 27 Δg

28 28 EXPERIMENTO 2. Os resultados das medições realizadas para este experimento estão no gráfico a seguir: Figura 12 medições do experimento 2 Os parâmetros obtidos ao se analisar esses dados foram: Parâmetro x σ x σ x σ x x valor (m/s²) 9,841 0,280 0,040 0,004 Tabela 3 - parâmetros do experimento 2 Discutindo o experimento 2 Um fator que influencia o resultado obtido através desse método é a distância que a câmera está com relação à linha vertical percorrida pelo corpo em queda livre. Se a câmera estiver perto demais, a relação entre comprimento e número de pixels não é constante para toda a imagem devido a efeitos de perspectiva. E se a câmera se afasta dessa linha, a posição do objeto se torna menos nítida já que a imagem deste se torna menor.

29 29 Além disso, como o vídeo é gravado com uma taxa de 30 imagens por segundo, cada imagem registra o deslocamento sofrido pela bola durante um intervalo de 0,0333 s. Como a bola está acelerando, com o passar do tempo ela percorre uma distância cada vez maior durante este intervalo, ficando cada vez mais difícil identificar sua posição com boa precisão. Devido a isso, cerca de 15 quadros após o início da queda o corpo já está rápido o suficiente para que determinar sua posição tenha uma alta imprecisão, a não ser que fosse utilizado um equipamento que registrasse um número maior de quadros por segundo. Então as medidas foram realizadas utilizando 12 quadros, em média, para produzir cada gráfico. Propagação de erros no experimento 2 O cálculo da propagação de erros para este experimento não é similar ao cálculo feito para os demais, já que neste modelo o valor da aceleração da gravidade só é obtido após o ajuste de um gráfico. Se ao invés de utilizar o gráfico o valor da aceleração da gravidade fosse obtido, por exemplo, medindo seu valor para cada uma das imagens pertencentes a uma mesma sequência e em seguida fosse calculada a média, então o erro propagado poderia ser calculado através da equação (4). Mas ainda assim haveria o problema de estimar a incerteza associada à medição do tempo entre dois quadros consecutivos. Este cálculo não será realizado aqui.

30 30 EXPERIMENTO 3 figura a seguir: Os resultados das medições realizadas para este experimento estão na Figura 13 - medições do experimento 3 Com estas medidas foram calculados os seguintes parâmetros estatísticos: Parâmetro x σ x σ x σ x x valor (m/s²) 9,865 0,072 0,010 0,001 Tabela 7 - parâmetros do experimento 3 Discutindo o experimento 3 O experimento é de fácil reprodução e proporciona a obtenção de bons resultados desde que a medida do comprimento seja feita de forma meticulosa e a restrição com relação à amplitude do ângulo inicial seja respeitada, para que a aproximação harmônica possa ser utilizada. Propagação de erros no experimento 3 Para a realização destes cálculos, será utilizado como valor médio para o comprimento do pêndulo 1,5 m com uma incerteza associada de 0,001 m. E para o

31 valor do tempo será utilizada a média para o período de oscilação medido, 2,45 s, com uma incerteza de 0,01 s associada. 31 Para estes valores, Substituindo os valores, g=4π 2 l T 2 Δg= 4π2 T 2 Δl+8π2 l T 3 ΔT. Δg=0,09 m/s 2. Mais uma vez o termo que fornece a maior contribuição para este valor é a incerteza associada à medição do tempo (aproximadamente 0,08 m/s²). O que torna este resultado menor que os demais é o fato de que este método possibilita a menor razão entre incerteza associada e valor médio para a medida do tempo. PREVISÃO TEÓRICA O cálculo da previsão teórica foi feito utilizando a mesma equação utilizada por Corvelone(2009), g = 9, [1+0, sen(2μ)] 1 0, sen 2 (μ) 0, h, (12) onde μ e h correspondem, respectivamente, à latitude e à altitude (em metros) do ponto para o qual a gravidade está sendo calculada. Utilizando o site geografos.com.br, os valores obtidos para estes parâmetros correspondentes à cidade de Caruaru - PE foram: altitude = 554 m e latitude = 08 17' 00'' sul. Substituindo estes valores em (12) o resultado teórico previsto para a aceleração da gravidade em Caruaru é: g=9,78 m/s 2.

32 32 CAPÍTULO 4 CONCLUSÃO Comparando inicialmente os dois experimentos que utilizam a queda livre para medir o valor da aceleração da gravidade entre si, os resultados obtidos no capítulo 3 (tabela 5) indicam que o experimento 2 é o mais eficaz por obter um valor médio mais próximo da previsão teórica e apresentar um desvio-padrão menor. O principal problema encontrado na reprodução destes experimentos é o modo como os dados são obtidos, o tempo no experimento 1 e a posição no experimento 2, dando margem para que a subjetividade do experimentador interfira nos resultados. Ao incluir o experimento 3 nesta comparação, através dele também foram obtidos resultados mais satisfatórios que os obtidos através do experimento 1, e os experimentos 2 e 3 também possuem a vantagem de que cada um deles dispõe de um artifício que minimiza a imprecisão de suas medidas, fazer o gráfico para o experimento 2 e medir o tempo de 10 oscilações para o experimento 3. Ao comparar os experimentos 2 e 3, o experimento 2 alcançou um valor médio mais próximo do valor teórico, enquanto que o desvio-padrão do experimento 3 foi menor. O experimento 2 tem a vantagem de ser mais intuitivo para alunos menos experientes, enquanto que o experimento 3 tem a vantagem de ser o de reprodução mais simples e o menos suscetível à interferência do experimentador. experimento média para a gravidade (m/s²) desvio-padrão Desviopadrão da média valor esperado experimento 1 10,06 0,37 0,05 experimento 2 9,84 0,28 0,04 experimento 3 9,86 0,07 0,01 g=10,06±0,05 g=9,84±0,04 g=9,86±0,01 Tabela 5 - comparando os resultados Por fim, embora o experimento 1 seja uma maneira criativa de medir o intervalo de tempo, o método oferece a maior imprecisão dentre os experimentos

33 33 utilizados e as medições indicaram que é o mais suscetível à ocorrência de erros sistemáticos, além do fato de que a tarefa de determinar os comprimentos exija destreza e paciência. Mas uma boa utilização para este modelo é mostrar, em especial qualitativamente, que o intervalo de tempo entre corpos sucessivos em queda livre a partir de alturas que obedeçam a equação (3) é constante. A diferença entre o valor teórico e o valor médio obtido pelo experimento foi de menos de 1% tanto para o experimento 2 quanto para o experimento 3, e de pouco menos de 3% para o experimento 1. Assim sendo, conclui-se que todos os resultados estão dentro de um intervalo aceitável por se tratarem de atividades de ensino e dada a simplicidade dos materiais utilizados para medir o valor da aceleração da gravidade. Vale salientar que existem ainda outros experimentos que podem ser utilizados para medir a aceleração da gravidade de forma didática, como através do uso de molas, sensores de movimento ou planos inclinados.

34 34 REFERÊNCIAS CARVALHAES, C. G.; SUPPES, P. O cálculo de alta precisão do período do pêndulo simples. Revista Brasileira de Ensino de Física, São Paulo, V. 31, n. 2, p a , COORDENADAS geográficas; Caruaru. Disponível em: < Acesso em: 17/02/14. CORVELONE, E. P. M, GOMES, E. S.; SAMPAIO, A. R.; MENDES, A. F.; COSTA, V. L. L.; VISCOVINI, R. C. Utilização de máquina fotográfica digital (multi-burst) para aulas experimentais de cinemática - queda livre. Revista Brasileira de Ensino de Física, São Paulo, V. 31, n. 3, p a , HALLIDAY, D., RESNICK,R., WALKER, J., Fundamentos de física. 7ª edição, vol. 1, São Paulo: editora LTC, PÊNDULO simples, Só Física. Disponível em: < Acesso em: 11/02/2014. PERUZZO, J. Determinação de g através da captação do som de impacto de corpos com o solo. Caderno Brasileiro de Ensino de Física, Florianópolis, v. 27, n. 1, p , SANTORO, A.; et al. Estimativas e erros em experimentos de física. 2.ed. Rio de Janeiro: EdUERJ, p. - (Coleção Comenius)