Processamento Digital de Sinal Aula 4 4.º Ano 2.º Semestre

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1 Instituto Superior Politécnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia de Viseu Curso de Engenharia de Sistemas e Informática Processamento Digital de Sinal Aula 4 4.º Ano.º Semestre, Eng.º Programa:. Introdução ao Processamento Digital de Sinal. Representação e Análise de Sinais 3. Estruturas e Projecto de Filtros FIR e IIR 4. Processamento de Imagem 5. Processadores Digitais de Sinal

2 Bibliografia: Processamento Digital de Sinal: Sanjit K. Mitra, Digital Signal Processing A computer based approach, McGraw Hill, 998 Cota: 6.39 MIT DIG Roman Kuc, Introduction to Digital Signal Processing, McGraw Hill, 988. Cota: 6.39 KUC IT Johnny R. Johnson, Introduction to Digital Signal Processing, Prentice-Hall, 989. Cota: 6.39 JOH IT G. Proakis, G. Manolakis, Digital Signal Processing Principles, Algorithms Applications, 3ª Ed, P-Hall, 996. Cota: 6.39 PRO DIG James V. Candy, Signal Processing The modern Approach, McGraw-Hill, 988 Cota: 6.39 CA SIG Mark J. T., Russel M., Introduction to DSP A computer Laboratory Textbook, John Wiley & Sons, 99. Cota: 6.39 SMI IT James H. McClellan e outros, Computer-Based Exercises - Signal Proc. Using Matlab 5, Prentice-Hall, 998. Cota: 6.39 MCC COM Processamento Digital de Imagem: Rafael C. Gonzalez & Richard E. Woods, Digital Image Processing, Prentice Hall, ª Ed.,. Cota: 68.5 GO DIG. I. Pittas H. McClellan e outros, Digital Image Processing Algorithms and Applications, John Wiley & Sons,. Cota: 6.39 PIT. William K. Pratt, Digital image processing, John Wiley, ª Ed, 99. Cota: 68.5 PRA DIG Bernd Jãhne, Digital image processing : concepts, algorithms, and scientific applications, Springer, 997. Cota: 68.5 JAH 3 Avaliação: A avaliação é composta pela componente teórica e componente prática ponderadas da seguinte forma: Classificação Final = 8% * Frequência ou exame + % * Prática O acesso ao exame não está condicionado embora não tenha função de melhoria, ou seja, se o aluno entregar a prova de exame, será essa a classificação a utilizar no cálculo da média final independentemente da nota da prova de frequência obtida. A avaliação prática é constituída por trabalhos laboratoriais a executar em MATLAB 4

3 . Representação e Análise de Sinais (cont.) Análise de Fourier Transformada de Fourier (FT) FT & generalised impulse Princípio da Incerteza Transformada Discreta de Fourier no Tempo (DTFT) Transformada Discreta de Fourier (DFT) Comparação: DFS, DTFT & DFT DFT leakage & coherent sampling 5 Análise de Fourier: Porquê? Rápida & eficiente inspecção nos blocos de construção do sinal. Simplificação do Problema Original - ex.: resolução de Eq. Diferenciais. Poderosa & complementar às técnicas de análise no domínio do tempo. Várias transformadas em DSPing: Fourier, Laplace, z, etc. tempo, t s(t) análise F síntese frequência, f S(f) = F[s(t)] Transformada geral como uma ferramenta de resolução dum problema. s(t), S(f) : Par de Transformadas 6

4 Análise de Fourier - ferramentas time, t 4 6 time, t time, t k 4 6 time, t k 8 Sinal de Entrada no Tempo Contínuo Discreto Periódico (período T) Aperiódico Periódico (período T) Aperiódico FS FT DFS DTFT DFT ota: j = -, ω = π/t, s[=s(tn), = o. of samples ** ** Espectro de Frequência Discreto Continuo Discreto Continuo Discreto ** T c jk ω t k = s(t) e dt T j π f t S(f) = s(t) e dt ~ ck = j s[ e n= j s[ e n= π k n S(f) = s[ e j π f n n= π k n ~ ck = Calculado via FFT 7 Integral de Fourier (FI) Ferramentas de Análise de Fourier para sinais aperiódicos. () () s(t) contínuo, s (t) monótona s(t) dt < - (3) A(ω ) Ligação Real-Complexo S(ω ) = π = s(t) cos( ω t) dt π [ A(ω ) j B(ω )] Teorema do Integral de Fourier Any aperiodic signal s(t) can be expressed as a Fourier integral if s(t) piecewise smooth () in any finite interval (-L,L) and absolute integrable (). s(t) = + dω síntese { A(ω ) cos( ω t) + B(ω ) sin( ω t) } B(ω ) = s(t) sin( ω t) dt π análise jω t S(ω ) = s(t) e dt s(t) = π Forma Complexa + S( ω ) e jω t dω (3) Par de Transformadas -FT 8

5 Resumo Domínio Tempo Frequência Sinal real complexo Periódico FS a k, b k c k Aperiódico FI A(ω), B(ω) C(ω) FT 9 Da Série - FS para a Transformada - FT FS tende para FT quando o período T aumenta: espectro contínuo τ S(f) s(t) τ t Trem de impulsos, largura τ =.5 FT 5 5 T Espaçamento na Frequência! f a k T = a k T =. 5 5 a k T =. 5 5 ota: a k a com k a é traçado em k= k f k f k f

6 ck Obtenção da FT a partir da FS = Definição de FS T/ s(t) e - jk ω t dt T T/ s(t) = jk ωt ck e k= f = ω/(π) = /T espaçamento na frequência Γω k cω f s(t) = ω k = Γ ω = k T/ s(t) e - j ω T/ k e j ω k = Com f, troca-se f, ω K, ω k por df, πf, T/ c - j ωk t k = f s(t) e dt cωk T/ Definição de FT = c e j ωk t S(f) = lim jω t Γω = s(t) e s(t) dt k ω f k ωk = s(t) = S(f) e jπ ft df t k f t dt FT & Delta de Dirac Definição de δ Dirac, if t t δ(t t ) = undefined, t = t b y(t),if a < t < b y(t) δ(t t)dt = a, otherwise FT A FT dum impulso δ (Dirac) é uma exponencial complexa Assim FT do Dirac δ j π f t { δ (t } e t ) = y(t) δ (t t )dt = y(t ) - FT propriedade jα t { e } = π δ (ω α ) FT dum trem infinito de impulsos δ: T jm ω T FT δ (t kt) = e = k = m= π T δ (ω m= π T i.e: Função de Amostragem, Shah(T) = Щ(T) ou comb ota: δ & Щ = funções generalizadas m) /T t f

7 Transformada de Fourier - FT - Propriedades Linearidade a s(t) + b u(t) a S(f)+b U(f) Multiplicação s(t) u(t) S(f f) U(f)df Convolução s(t t) u( t)dt S(f) U(f) Deslocamento em t - e j π f t s(t t) S(f) Deslocamento em f Inversão no Tempo s(-t) S(-f) Diferenciação Identidade de Parseval h(t) g*(t) dt = H(f) G*(f) df jπf S(f) Integração s(u) du S(f)/(jπf ) Energia & Parseval s (E is t-to-f invariant) Tempo e + j π f s(t) t - ds(t) dt E = - s(t) dt Frequência = - S(f) df S(f - f ) 3 FT Princípio da Incerteza Teorema Larg. Banda Para duração efectiva t & Larg. de Banda f γ> t f γ Para Sinais de Energia: E= s(t) dt = S(f) df < Implicações Produto incerteza Define valores médios t = t s(t) dt E f = f S(f) df E Define desv. pad t = (t t ) s(t) dt E f = (f f ) S(f) df E Princípio da Incerteza de Fourier t f /4π Limited accuracy on simultaneous observation of s(t) & S(f). Good time resolution (small t) requires large bandwidth f & vice-versa. 4

8 FT - Exemplo S(f) S(f) S(f) S(f) f/hz f/hz f/hz f/hz f/hz f/hz S(f) = τ s MAX sync(fτ) s(t) s(t) τ τ = =.4.. -τ -τ -τ τ τ τ t t Incerteza de Fourier FT de τ-janela Rectangular Escolha t = s(t)/s() dt = τ, f = S(f)/S() df =/(τ) = metade da distância entre os primeiros zeros (f,- = ±/τ) of S(f) então: t f = Gráfico Power Spectral Density (PSD) vs. Frequência f. ote: As fases não são importantes 5 FT Espectro de Potência Power Spectral Density, PSD(f) = de/df = S(f) Bandas PSD dos Sinais Telefónicos POTS = Voice/Fax/modem Phone HPA = Home Phone etwork US = Upstream DS = Downstream A partir do espectro de potência, pode-se saber se os sinais coexistem sem interferirem. 6

9 FT Formas de Onda mais importantes 7 Transformada Discreta de Fourier no Tempo - DTFT DTFT definida como: análise= S(f) n= síntese s[ = π s[ e π S(f)e j π f n j π f n df ota: domínio contínuo da frequência! (função densidade da frequência) Para sinais aperiódicos s[ period n Obtida a partir DFS com c ~ k = j s[ e n= π k n s[ n 8

10 DTFT - Convolução Sistema Digital Linear Invariante no Tempo: obedece ao princípio da sobreposição. δ[ DTFT(δ[) n f x[ DIGITAL LTI SYSTEM x[ DIGITAL LTI SYSTEM h[ h[ h[ n y[ y[ = Convolução x[ h[ = X(f) H(f) Y(f) = X(f) H(f) h[t] = resposta impulsional m = x[n m] h[m] 9 DTFT - Amostragem/Convolução s[ u[ S(f) U(f), * s[ u[ S(f) * U(f) (Das propriedades da FT) Amostragem s(t) s(t) ts Tempo u(t) t Frequência S(f) fs U(f) f Multiplicação s(t) by Shah = Щ(t) s [ t S (f) f n f

11 Transformada Discreta de Fourier - DFT DFT definida como: c ~ k análise = j s[ e n= Resolução na frequência Frequências em análise f m m f f S m =, m =,... π k n síntese s[ π k n = ~ j ck e k = Impulsos da DFT localizados nas frequências de análise f m DFT ~ filtros passa-banda centrados em f m Aplica-se a sinais discretos no tempo e na frequência. A mesma forma da DFS mas para sinais aperiódicos: sinal tratado como periódico apenas para efeitos computacionais. ~ ~ ota: c k+ = c k o espectro tem período DFT - impulso & sinusóide a) Impulso rectangular, largura r[ =, se n -, outros ~ c k = (/) e -jπk(-)/ sin(πk)/ sin(πk/) s[ n ~ c k k b) Sinusóide real, frequência f = L/ i.e. L completa ciclos em pontos amostrados cos[ = cos(jπf n) ~ c k = (/) e jπ{(f -k)-(f -k)/} (½) sin{π(f -k)}/ sin{π(f -k)/)} + (/) e jπ{(f +k)-(f +k)/} (½) sin{π(f +k)}/ sin{π(f +k)/)}

12 DFT - Exemplos Os traçados DFT são versões amostradas da DTFT janelada. 3 DFT - Propriedades Tempo Linearidade a s[ + b u[ a S(k)+b U(k) Multiplicação Convolução s[ u[ m= s[m] u[n m] Frequência h= S(k) U(k) Deslocamento em t s[n - m] j e π h t + j Deslocamento em f e T s[ S(k - h) S(h)U(k π k m T - h) S(k) 4

13 DTFT vs. DFT vs. DFS (a) (c) s[ s [ IDFT (e) t S(f) T/ T T f DFT (f) ~ c K (b) (d) t f (a) Sinal discreto aperiódico. (b) Transformada DTFT - módulo. (c) Versão periódica de (a). (d) Coeficientes DFS = amostras de (b). (e) A Inversa de DFT estima um único período de s[ (f) A DFT estima um único período de (d). 5 DFT leakage Leakage Spectral components belonging to frequencies between two successive frequency bins propagate to all bins. Ex: 3 impulsos da DFT da sinusóide V P amostrada a f=3khz. Resolução/frequência khz. (a) Sinusóide - 8 khz * (a) (b) Sinusóide khz (b) * Módulo (c) Sinusóide 8.75 khz (c) 6

14 DFT Exemplo: leakage Hz - Co-seno Cosine Windowed Sampled wavewindowed cos wave s[ u[ S(f) * U(f) (Convolução) s(t) FT{s(t)}. 4.. Cosine Rectangular Sampling wave function window O Leakage é causado pela amostragem num número não inteiro de períodos!!! 7 DFT Amostragem Coerente. Hz Co-seno Cosine Sampled Windowed wave windowed cos wave wave s[ u[ S(f) * U(f) (Convolução) s(t) FT{s(t)}. 4.. Rectangular Cosine Sampling wave function window Coherent sampling: C input cycles exactly into S = C (f S /f I ) sampled points. 8

15 DFT - Transformada Discreta de Fourier Considere a sequência finita x[ e a periódica associada ~ x [ = x[ n r ] r = Se comprimento de x[ ~ x [, n x[ =, outros Pela propriedade da Dualidade da DFS ~ [ ou x = x[(( n)) ] ~ x [ n ] 9 DFT - Transformada Discreta de Fourier ~ X [ k ], k X [ k ] =, outros ~ X [ k ] = X [(( k )) Temos que: ou ] Podemos definir a DFT de pontos: Eq. de análise: Eq. de síntese: X [ k ] = x[ = n = k = x[. e X [ k ]. jk π n π e jk n 3

16 DFT - Transformada Discreta de Fourier x[ = k = X [ k ]. π e jk n X [ k ] = ( ) x[ DFT X [ k ] n= Interpretações: ~ - X [ k ], DFS de x[, é uma amostragem do espectro X(ω) x[. e jk π n -X[k] uma amostragem de período de X(ω) espectro do sinal não periódico. ~ -X[k] é um período do espectro X [ k ] do sinal ~ x[ periódico associado 3 DFT DFT de um sinal contínuo não limitado no tempo 3

17 Exemplo: aliasing =5 = = = 5 = =5 34

18 DFT Sinais sinusoidais Porém:

19 DFT Sinal limitado em frequência com limitação igual ao período. 37 DFT Sinal limitado em frequência. com limitação diferente do período. 38

20 DFT - Propriedades ( 3 ) Linearidade: x DFT X [ k ] [ x [ ( 3 ) DFT X [ k ] ax n bx n ax k bx k ( 3. [ ] +. [ ] DFT ). [ ] +. [ ] ( ) Deslocamento Circular: x[ DFT X [ k ] x[(( n m)) 3 max{, } n ] DFT ( ) jk X [ k ]. e π m ( ) Dualidade: x[ DFT X [ k ] X [ DFT ( ). x[(( k )) ] k 39 DFT - Convolução Circular ada mais é do que a convolução periódica considerando sinais de duração finita x [ e x [ Linear: Sinais ilimitados Periódica: Sinais periódicos Circular: Sinais limitados [ * x[ = x[ m]. x m = x [ n m] [ ~ x[ = ~ x [ m]. ~ x[ n m] M = ~ x * x [ x[ = x[(( m)) ]. x[(( n m)) ] m= ( ) x[ DFT X [ k ] ( ) x[ DFT X [ k ] ( ) x[ x[ DFT X [ k ]. X [ k ] 4

21 DFT - Convolução Linear Existem algoritmos muito eficientes p/ cálculo da DFT algoritmos de FFT - Fast Fourier Transform Pelo que, é eficiente implementar a convolução de sinais através dos seguintes passos:. Calcular as DFTs de x [ e x [, X [k] e X [k]. Calcular X 3 [k]=x [k].x [k] 3. Calcular IDFT de X 3 [k], x 3 [, obtendo: x 3[ = x[ x[ Porém muitas vezes desejamos: x = x [ x [ ] 3[ n 4 Sendo: x [ de x [ de compriment compriment o o O resultado da convolução circular de amostras será igual à convolução linear se: L + P L P Porém, se um dos sinais tiver comprimento indeterminado (processamento em tempo real). Dois métodos implementam uma forma eficiente de cálculo da convolução linear através da DFT. Overlap-add e Overlap-save 4

22 DFT - Resumo das Propriedades 43