1. Geometria. 2. Matemática. I Título ISBN: CDD 516 ISBN: CDD 510

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1 Geometria Hiperbólica e Teoria dos Números 2 a Edição Salahoddin Shokranian

2 Geometria Hiperbólica e Teoria dos Números 2ª Edição Copyright Editora Ciência Moderna Ltda., 2013 Todos os direitos para a língua portuguesa reservados pela EDITORA CIÊNCIA MODERNA LTDA. De acordo com a Lei 9.610, de 19/2/1998, nenhuma parte deste livro poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Editora. Editor: Paulo André P. Marques Produção Editorial: Aline Vieira Marques Assistente Editorial: Lorena Fernandes Copidesque: Lorena Fernandes Diagramação: Sonia Nina Capa: Equipe Ciência Moderna Várias Marcas Registradas aparecem no decorrer deste livro. Mais do que simplesmente listar esses nomes e informar quem possui seus direitos de exploração, ou ainda imprimir os logotipos das mesmas, o editor declara estar utilizando tais nomes apenas para fins editoriais, em benefício exclusivo do dono da Marca Registrada, sem intenção de infringir as regras de sua utilização. Qualquer semelhança em nomes próprios e acontecimentos será mera coincidência. FICHA CATALOGRÁFICA SHOKRANIAN, Salahoddin. Geometria Hiperbólica e Teoria dos Números 2ª Edição Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., Geometria. 2. Matemática. I Título ISBN: CDD 516 ISBN: CDD 510 Editora Ciência Moderna Ltda. R. Alice Figueiredo, 46 Riachuelo Rio de Janeiro, RJ Brasil CEP: Tel: (21) / Fax: (21) LCM@LCM.COM.BR 06/13

3 Este livro é dedicado à MARIE

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5 Prefácio para segunda edição A primeira edição desse livro, publicado pela Editora da Universidade de Brasília em 2004, esgotou mais rápido do que se esperava.isso mostra o interesse da comunidade matemática e física do Brasil e dos outros paises de língua Portuguesa a respeito de temas matemáticos mais avançados e mais recentes.a essa nova edição são adicionados algumas novas referências, novos exercícios, e foram corrigidos erros obvios de digitação. Alguns aspectos sobre a história de geometria hiperbólica, em teoria dos números e análise harmônica, são discutidos amplamente no meu livro Uma Breve História de Teoria dos Números no Século XX, (veja o livro [Sho ubh] nas referências bibliográcas) e pode ser lido para saber os caminhos traçados até a chegada da solução do Último Teorema de Fermat e o futuro de geometria hiperbólica em teoria dos números. A Editora Ciência Moderna (Rio de Janeiro), aceitou publicar esta segunda edição.gostaria de agradecer por ter demonstrado interesse em publicar os meus livros. Salahoddin Shokranian Junho de 2008

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7 Sumário Introdução 1 Parte I Geometria HiperbólicaeaTeoria Básica de Formas Modulares 5 1 Subgrupos discretos de SL(2, R) Subgrupos de congruência O cálculo do índice Exercícios O plano superior Ação de G sobre H A compactação de H Pontos xos Os estabilizadores de pontos xos A geometria de H Exercícios O domínio fundamental O quociente da ação de Γ sobre H

8 viii Salahoddin Shokranian 3.2 A área de domínio fundamental O espaço quociente da ação Γ sobre H Subgrupos fuchsianos O modelo disco unitário Exercícios Formas modulares Formas modulares de peso par A teoria da ordem O teorema de ordem A expansão de Fourier Conjuntos de Siegel A existência do conjunto fundamental Exercícios O espaço M 2k A dimensão de M 2k A demonstração de teorema Uma base para M 2k A álgebra M Exercícios Parte II A Teoria de Hecke e a Aritmética de Formas Modulares 93 6 Formas parabólicas Os coecientes de Fourier de E 2k Os valores de ζ(2k) A função Δ de Ramanujan

9 Sumário ix Os coecientes não nulos Produto interno de Petersson Exercícios Os operadores de Hecke Denições Os coecientes de Fourier Propriedade multiplicativa de T (n) Exercícios As funções zeta Funções zeta de formas modulares Caracteres e soma de Gauss Formas modulares com caractere Os espaços M k (Γ,χ) e S k (Γ,χ) O teorema de Weil Exercícios Referências bibliográcas 153 Índice Remissivo 155

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11 Introdução Neste livro, discutiremos alguns aspectos elementares das relações entre a geometria não euclidiana e a teoria dos números. O modelo da geometria não euclidiana considerado aqui é o da geometria hiperbólica do plano superior IH, também conhecido como plano Poincaré. 1 O conjunto IH consiste em números complexos com suas partes imaginárias positivas. Nessa geometria, as linhas são de dois tipos: linhas perpendiculares ao eixo ox e semicírculos perpendiculares a esse eixo. A conexão com a teoria dos números começa por meio do grupo das matrizes {[ ] } a b SL(2, R) = a, b.c, d R, ad bc =1, c d seu subgrupo como {[ a b SL(2, Z) = c d ] SL(2, R) } a, b, c, d Z, e subgrupos de congruência (veja capítulo 1). O grupo SL(2, R) e seus subgrupos agem sobre o conjunto IH e preservam a estrutura de geometria hiperbólica desse conjunto. As órbitas de ação de SL(2, Z) e os subgrupos de congruência são 1 Essa geometria também tem um modelo em disco unitário.

12 2 Salahoddin Shokranian particularmente interessantes. Após um estudo básico da estrutura das órbitas de ação de SL(2, Z) sobre IH, apresentamos uma classe de funções analíticas conhecida como formas modulares, cujo conjunto [ é denotado ] por M 2k (veja capítulo 4). O fato de a matriz ser um elemento de SL(2, Z) implica a evidência de as formas modulares serem funções periódicas de período 1. Portanto, elas têm expansões de Fourier, bem como uma conexão com a teoria dos números, pois os coecientes dessas expansões são ricos em informações aritméticas. Outro campo em que existem relações fundamentais entre formas modulares e teoria dos números é a área de estudos algébricos do espaço vetorial M 2k, pois são espaços vetoriais complexos de dimensões nitas, e neles estão denidos os operadores de Hecke, uma ferramenta poderosa no estudo das formas modulares e das formas automórcas (veja capítulo 7). Os autovalores e as autofunções de Hecke são particularmente interessantes, pois são cheios de informações aritméticas. Eventualmente, no capítulo 8, usaremos esses operadores e estudaremos as funções zeta das formas modulares. Como veremos, tais funções satisfazem o produto euleriano, que é uma propriedade fundamental das funções zeta mais conhecidas, como, por exemplo, a função zeta de Riemann. No nal do capítulo 8, apresentamos o teorema de André Weil, 2 extraído de seu famoso trabalho (veja o trabalho de [W]) que contém uma versão clássica da conjectura de Shimura e Taniyama. Em seu artigo, Weil refere-se a uma ideia em nome de um exercício interessante para o leitor, que na verdade nada mais é do que as 2 André Weil ( ).

13 Introdução 3 ideias de Shimura e Taniyama, conceituadas em seus estudos matemáticos nos anos 1950, em Tóquio, e transmitidos a Weil em sua viagem ao Japão em Assim, André Weil introduziu aos matemáticos ocidentais uma grande ideia da escola japonesa. Essa ideia (hoje em dia conhecida como a conjectura de Shimura e Taniyama) foi a chave principal na resolução do Último Teorema de Fermat, por Andrew Wiles, em A origem deste livro é um velho manuscrito meu de 1983, no qual, pela primeira vez, ofereci um trabalho em língua portuguesa sobre formas modulares, baseado em meus seminários no Departamento de Matemática da Universidade de Brasília. As notas do seminário foram divulgadas em publicação interna do Departamento, na série Trabalhos de Matemática. O conteúdo deste livro é substancialmente diferente das notas do seminário, pois desde 1983 surgiram muitos avanços nessa área da matemática, cando evidente a necessidade de melhorar a apresentação do manuscrito e incorporálo a este livro, já que o interesse dos matemáticos brasileiros na teoria dos números cresceu muito da década de 1980 para cá. Este livro pode servir para alunos da matemática, física e para todos os interessados em estudos de geometria e teoria dos números, em particular aqueles que querem saber um pouco sobre as partes da matemática que foram usadas na demonstração do Último Teorema de Fermat. Esperamos que nos próximos volumes possamos explicar a noção de curvas modulares e a teoria analítica das formas automórcas. A teoria das formas automórcas é uma generalização das formas modulares, na qual a teoria da representação de grupos

14 4 Salahoddin Shokranian topológicos tem um papel fundamental. 3 Formas automórcas constituem uma área da matemática cujos pilares são a álgebra, a análise, a geometria e a topologia. Alguns dos fundadores da teoria clássica de formas automórcas são: C. F. Gauss ( ), H. Poincaré ( ), G. Eisenstein ( ), H. Hecke ( ), e C. L. Siegel ( ). Por outro lado, contribuíram para o avanço da teoria moderna de formas automórcas muitos pesquisadores como I. M. Gelfond, Harish-Chandra, R. P. Langlands, G. Shimura e Andrew Wiles, que usa ideias de formas modulares e formas automórcas para provar o Último Teorema de Fermat, que esteve em aberto por mais de 350 anos (veja o artigo de [Wiles]). Agradeço o apoio recebido dos colegas do Brasil e de outros países. Também quero agradecer o auxílio nanceiro que obtive de instituições brasileiras e estrangeiras em meus estudos e pesquisas. Salahoddin Shokranian Brasília, 2004 sash@mat.unb.br 3 Esse é um dos ramos do programa do Langlands, iniciado em 1967, que tem como objeto o estudo da teoria dos números por meio da teoria de representação de grupos.

15 Parte I Geometria Hiperbólica e a Teoria Básica de Formas Modulares

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17 Capítulo 1 Subgrupos discretos de SL(2, R) Neste livro, M 2 (R) indicará o anel das matrizes 2 2 com entradas reais e M 2 (Z), o anel das matrizes com entradas inteiras. Denotamos por G ou SL(2, R) o grupo { [ ] } a b g = M c d 2 (R) det(g) =ad bc =1. Neste capítulo, deniremos e estudaremos alguns tipos de subgrupos discretos de SL(2, R) conhecidos como subgrupos de congruência. Lema 1.1. Com a operação de multiplicação no M 2 (R), o conjunto SL(2, R) será um grupo não comutativo. Demonstração. Se g 1,g 2 SL(2, R), então det(g 1 g 2 )=det(g 1 )det(g 2 )=1. Isso implica: g 1 g 2 SL(2, R). Se g SL(2, R), então g 1 existe (pois det(g) 0). Por outro lado, det(g 1 ) = (det(g)) 1 = 1. Portanto, g 1 SL(2, R).

18 8 Salahoddin Shokranian É claro que o elemento neutro de SL(2, R) é a matriz identidade I = I 2. É óbvio que SL(2, R) é um grupo não comutativo e seu centro é: Z(SL(2, R)) = {g SL(2, R) gh = hg, h SL(2, R)} = {±I}. Para apresentar e denir subgrupos discretos de G = SL(2, R), precisamos da noção da vizinhança no espaço G. Primeiro, [ colocaremos G no espaço R 4 associando a cada elemento g = ] a b c d o ponto (a, b, c, d) R 4. Podemos, então, denir a noção da vizinhança de g por meio da topologia e da nocão de vizinhança do R 4. [ a1 b Denição 1.2. Sejam g 1 = 1 c 1 d 1 nimos a distância entre g 1,g 2 por ] [ a2 b,g 2 = 2 c 2 d 2 ] G. De- d(g 1,g 2 )= (a 1 a 2 ) 2 +(b 1 b 2 ) 2 +(c 1 c 2 ) 2 +(d 1 d 2 ) 2. Denição 1.3. Uma bola aberta de raio r e centro g 0 G no espaço G é o conjunto B(g 0,r)={g G d(g 0,g) <r}. Um conjunto O G é uma vizinhança de um elemento g 0 G se g 0 O e O contém uma bola aberta com centro g 0. Assim, podemos denir uma estrutura topológica sobre G (a topologia induzida por R 4 ), que torna G um grupo topológico. Mais precisamente, com essa topologia, as operações de multiplicação e inversão no SL(2, R) são contínuas. Denição 1.4. Um subgrupo Γ G é discreto se qualquer elemento γ Γ é o centro de uma bola aberta B tal que B Γ={γ}.

19 Subgrupos discretos de SL(2, R) 9 O nosso primeiro e ao mesmo tempo mais importante exemplo de subgrupo discreto de SL(2, R) será o subgrupo SL(2, Z) de matrizes inteiras. Em outras palavras, { [ ] } a b SL(2, Z) = γ = SL(2, R) a, b, c, d Z. c d Lema 1.5. SL(2, Z) é um subgrupo discreto de G. [ ] a0 b Demonstração. Seja γ 0 = 0 SL(2, Z). Considere a c 0 d 0 bola B(γ 0, 1) com centro γ 2 0 e raio 1. Esta bola tem a interseção 2 {γ 0 } com o grupo SL(2, Z), que é o único elemento comum entre B(γ 0, 1 ) e SL(2, Z). Portanto, SL(2, Z) é discreto Subgrupos de congruência Uma classe grande de subgrupos discretos de G é a dos grupos de congruência, cuja denição é simples e está baseada no conceito de denição de congruência entre inteiros. 1 Seja N um número inteiro positivo. [ ] [ ] a1 a Denição 1.6. Duas matrizes A = 2 b1 b,b = 2 do a 3 a 4 b 3 b 4 anel M 2 (Z) são congruentes módulo N quando a i b i ( mod N), i =1, 2, 3, 4. É fácil vericar que a relação de congruência entre matrizes é uma relação de equivalência (veja o exercício 3). 1 Para a denição e propriedades elementares de congruência entre inteiros, veja o livro [SSG] ou o livro [Sho uit].

20 10 Salahoddin Shokranian Seja Z/N Z o sistema completo de resíduo módulo N. Sabemos que Z/N Z, com as operações de soma e multiplicação de classes de resíduo módulo N, forma um anel comutativo e nito com N elementos. O elemento identidade desse anel éa classe formada pelos números cujo resto da divisão por N é 1 (para detalhes veja o livro de [SSG] ou o livro [Sho uti]). Seja λ : Z Z/N Z o homomorsmo de projeção entre anéis. Podemos estender essa função e denir que λ N : SL(2, Z) SL(2, Z/N Z), de forma que ([ ]) [ ] a b a b λ N =, c d c d onde SL(2, Z/N Z) éa matriz 2 2 com entradas de Z/N Z. Esse conjunto com a multiplicação de classes forma um grupo. Lema 1.7. λ N éum homomorsmo entre grupos. [ ] [ ] a1 a Demonstração. Sejam A = 2 b1 b,b= 2 SL(2, Z). a 3 a 4 b 3 b 4 Então, [ ] a1 b AB = 1 + a 2 b 3 a 1 b 2 + a 2 b 4. a 3 b 1 + a 4 b 3 a 3 b 2 + a 4 b 4 A denição de λ N nos mostra que: [ ] a1 b λ N (AB) = 1 + a 2 b 3 a 1 b 2 + a 2 b 4 a 3 b 1 + a 4 b 3 a 3 b 2 + a 4 b 4 = [ a1 b 1 + a 2 b 3 a 1 b 2 + a 2 b 4 a 3 b 1 + a 4 b 3 a 3 b 2 + a 4 b 4 ] = λ N (A)λ N (B).

21 Subgrupos discretos de SL(2, R) 11 Denição 1.8. O núcleo (kernel) de homomorsmo λ N éosubgrupo de congruência principal de nível N de SL(2, Z). Por meio dessa denição, podemos escrever que: Γ(N) =Ker(λ N )={γ SL(2, Z) λ N (γ) =I}. Então, [ a b Γ(N) = γ = c d ] SL(2, Z) a 1(mod N) b 0(mod N) c 0(mod N) d 1(mod N). Exemplo 1.9. (a) O grupo SL(2, Z) é o subgrupo de congruência principal de nível 1 de SL(2, [ Z). ] 1 0 (b) Se N =2, I = Γ(2), mas I Γ(k), para 0 1 k>n. Observe que 1 1( mod k) se k>2. Pela parte (a) podemos denotar SL(2, Z) por Γ(1). Lema 1.10: Suponha que c 1 e d 1 são inteiros e que o máximo divisor comum (c 1,d 1,N)=1. Então, existem inteiros c,d tal que c c 1 ( mod N), d d 1 ( mod N), (c,d )=1. Demonstração. Suponha que (c 1,d 1 )=t. Então, existem inteiros x, y, tal que xc 1 +yd 1 = t. Dividindo ambos os lados por t, teremos que xc 2 + yd 2 =1, onde c 1 = tc 2, d 1 = td 2. Mas (c 1 yn, d 1 + xn) divide (xc 1 xyn, d 1 + xn). Usando a propriedade geral de máximo divisor comum, que nos diz que para qualquer inteiro l,

22 12 Salahoddin Shokranian (a, b) =(a + lb, b), podemos ver que para os valores a = xc 1 xyn, b = d 1 + xn, el = y, (xc 1 xyn, d 1 + xn) =(xc 1 + yd 1,d 1 + xn). Por outro lado (xc 1 + yd 1,d 1 + xn) = (t, d 1 + xn) = (t, xn), pois t d 1 = (t, x), pois (t, N) =1. Portanto, (xc 1 xyn, d 1 + xn) divide (t, x). Da mesma forma, podemos mostrar que (c 1 yn, d 1 + xn) divide (t, y). Para ver isso, observe que (c 1 yn, d 1 + xn) divide (c 1 yn, yd 1 + xyn) e que: (c 1 yn, yd 1 + xyn) = (c 1 yn, yd 1 + xc 1 ) = (c 1 yn, t) = ( yn, t) = (y, t). Daí, (c 1 yn, d 1 +xn) divide ambos, (x, t) e (y, t) e, daí, ele divide (x, y) =1. Portanto, (xc 1 yn, d 1 + xn) =1. Para completar a demonstração, basta colocar c := c 1 yn, ed := d 1 + xn. Teorema (a) Γ(N) é um subgrupo normal de Γ(1). (b) A função λ N é sobrejetora. (c) O índice [Γ(1) : Γ(N)] é nito. Demonstração. O fato de ser Γ(N) o núcleo de homomorsmo λ N já mostra que Γ(N) é normal em SL(2, [ Z) ] = Γ(1). Para provar a a b parte (b) do teorema, suponha que SL(2, Z/N Z). Isso c d nos mostra que existem inteiros a 1,b 1,c 1,d 1, tal que: [ ] [ ] a b a1 b 1 ( mod N). c d c 1 d 1

23 Subgrupos discretos de SL(2, R) 13 Segue-se que a 1 d 1 b 1 c 1 1( mod N). Assim, o máximo divisor comum (c 1,d 1,N)=1. Agora, para mostrar que λ N é sobrejetora podemos usar o lema acima. Podemos supor que (c 1,d 1 )=1. Seja n um inteiro que satisfaza igualdade a 1 d 1 b 1 c 1 =1+nN. Mas pelo fato de que (c 1,d 1 )=1, existem inteiros a 2,b 2, tal que: a 2 d 1 b 2 c 1 = n. Agora deniremos: a = a 1 + a 2 N, b = b 1 + b 2 N c = c 1, d = d 1. Portanto, podemos ver que [ ] [ a b a b Γ(1), e c d c d ] [ a1 b 1 c 1 d 1 ] ( mod N). Isso mostra que λ N é sobrejetora. A demonstração de (c) é bastante simples, pois o fato de Γ(N) ser um subgrupo normal de Γ(1) mostra-nos a que o índice de Γ(N) no Γ(1) é igual à ordem do grupo Γ(1)/Γ(N). Então, pelo teorema do isomorsmo em teoria elementar de grupos, temos que: [Γ(1) : Γ(N)] = Γ(1)/Γ(N) = SL(2, Z/N Z). E pelo fato de ser a ordem de grupo SL(2, Z/N Z) nita (pois o anel Z/N Z é nito), temos que [Γ(1) : Γ(N)] é nito. Denição Um subgrupo de congruência de nível N é um subgrupo de SL(2, Z) que contém o grupo de congruência principal de nível N.

24 14 Salahoddin Shokranian O cálculo do índice O teorema acima mostrou que o índice [Γ(1) : Γ(N)] é nito. Podemos nos perguntar se existe a possibilidade de calcular explicitamente o índice [Γ(1) : Γ(N)]. O objetivo desta parte é mostrar o cálculo do índice. Seja M 2 (A) o anel das matrizes 2 2 com entradas de A, onde A é um anel associativo, comutativo e unitário. Lema Se N = p N p ep for a decomposição de N nos seus divisores primos, então (a) M 2 (Z/N Z) = M 2 (Z/p ep Z) é um isomorsmo entre anéis. p N (b) SL(2, Z/N Z) = SL(2, Z/p ep Z) é um isomorsmo entre p N grupos. Demonstração. Pelo teorema do resto Chinês, 2 a função a modp p N(a ep ) de Z/N Z no produto p N(Z/p ep Z) é um isomorsmo de anéis que induzo seguinte isomorsmo entre anéis das matrizes: M 2 (Z/N Z) = p N M 2 (Z/p ep Z), onde: [ a b c d ] [ a b c d p N( ] mod p ep ). 2 Veja o livro [SSG], ou o livro [Lang], ou o livro [Sho uit].

25 Subgrupos discretos de SL(2, R) 15 Isso completa a demonstração de [ (a). Para ] demonstrar o item (b), a b deveremos observar que se γ = Γ(1), então (γ mod p c d ep ) pertence ao grupo SL(2, Z/p ep Z). Reciprocamente, se ([ ) a b ]mod p ep SL(2, Z/p ep Z) c d para todos os divisores primos p de N, então ad bc 1( mod p ep ), e daí, ad bc 1( mod N). Lema Seja ϕ a função de Euler. 3 Então, a seguinte igualdade entre as ordens de grupos é verdadeira: GL(2, Z/N Z) = ϕ(n) SL(2, Z/N Z). Demonstração. Seja (Z/N Z) o grupo de elementos inversíveis de Z/N Z pela operação de multiplicação de classes. Sabemos que a função ϕ de Euler nos fornece uma fórmula para a ordem desse grupo. Isso quer dizer que ϕ(n) é a ordem de (Z/N Z). Considere agora a função determinante associando a cada matriz seu determinante det : GL(2, Z/N Z) (Z/N Z). É fácil notar que essa função é um homomorsmo sobrejetor (por quê? Veja exercício 6). O núcleo desse homomorsmo é o grupo SL(2, Z/N Z). Portanto, pelo teorema de isomorsmo entre grupos temos a igualdade desejada. Lema A ordem do grupo SL(2, Z/N Z), ou igualmente o 3 Veja o livro [SSG] ou livro [Sho uit].

26 16 Salahoddin Shokranian índice [Γ(1) : Γ(N)] é: SL(2, Z/N Z) = N 3 p N(1 1 p 2 ). Demonstração. Para calcular essa ordem, podemos usar a parte (b) do lema Então, basta calcular as ordens dos grupos SL(2, Z/p ep Z). Quando e p =1, o anel Z/pZ será um corpo com p elementos. Nesse caso, a ordem de GL(2, Z/pZ) =(p 2 1)(p 2 p) (veja exercício 7). Portanto, pelo lema anterior, SL(2, Z/pZ) = p 3 (1 1 ). E quando e p 2 p > 1, a projeção Φ:SL(2, Z/p ep Z) SL(2, Z/pZ) denida pela ([ a módulo p e b módulo p Φ e ]) [ (a mod p) (b mod p) c módulo p e d módulo p e = (c mod p) (d mod p) ] será um homomorsmo sobrejetor (a prova desse fato é exatamente como o teorema acima). Então, temos que: SL(2, Z/p ep Z) = SL(2, Z/pZ) KerΦ. Mas KerΦ={γ SL(2, Z/p ep Z) γ I( mod p)}. Agora, precisamos calcular a ordem do grupo KerΦ. observemos que, para todo b, c, d Z/p ep Z com Para isso, b c 0( mod p), d 1( mod p),