PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

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1 PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL Análise do comportamento experimental e numérico de prismas de alvenaria estrutural submetidos a ações verticais utilizando elementos finitos volumétricos MARCELO RODRIGO DE MATOS PEDREIRO Orientador: Prof. Dr. Rogério de Oliveira Rodrigues Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia - UNESP Campus de Ilha Solteira, para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil. Área de Conhecimento: Estruturas Ilha Solteira SP Março/2011

2 FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Seção Técnica de Aquisição e Tratamento da Informação Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação da UNESP - Ilha Solteira. P371a Pedreiro, Marcelo Rodrigo de Matos. Análise do comportamento experimental e numérico de prismas de alvenaria estrutural submetidos a ações verticais utilizando elementos finitos volumétricos / Marcelo Rodrigo de Matos Pedreiro. -- Ilha Solteira : [s.n.], f. : il. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Área de Conhecimento: Estruturas, 2011 Orientador: Rogério de Oliveira Rodrigues Inclui bibliografia 1. Alvenaria estrutural. 2. Prismas. 3. Método dos elementos finitos. 4. Comportamento estrutural não-linear.

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4 Dedico esse trabalho a minha esposa Paula, meu filho Felipe, aos meus pais, irmãos, avôs e sobrinhos, e a todos aqueles que acreditaram e contribuíram com apoio incentivo e paciência, para que o objetivo pudesse ser alcançado.

5 AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente a DEUS, em quem confio plenamente, pela vida maravilhosa que me concedeste. Ao Prof. Dr. Rogério de Oliveira Rodrigues, pela orientação, dedicação e pela cumplicidade no desenvolvimento deste trabalho, sem os quais jamais teria chegado até aqui. Mais que um professor, um grande amigo e incentivador. Aos meus amigos e grandes incentivadores, desde os tempos da graduação, Prof. MSc. Roberto Racanicchi, Prof. MSc Maicon Marino Albertini, e Prof. MSc. Edson Florentino de Souza. A todos os professores do Departamento de Engenharia Civil da FEIS/UNESP que me fizeram crescer não só em conhecimento, mas como pessoa, durante esse período de convívio e aprendizado, em especial os professores Prof. Dr. Haroldo de Mayo Bernardes, Prof. Dr. Renato Bertolino Jr. e Prof. Dr. Jefferson Sidney Camacho. Agradeço aos meus amigos, que compartilharam comigo esses anos de mestrado, sabendo cultivar uma amizade que o tempo amadureceu. À minha esposa Paula e meu filho Felipe pela motivação, paciência e compreensão em todas as horas que precisei priválos do convívio. A minha família por ser base da minha formação e o grande motivador de minhas atitudes, em especial meus pais Clovis e Izabel, meus irmãos Michelle e Tiago, meus Avós Nair, João (In Memorian), Leonilda e José, meu cunhado Rafael, e meus queridos sobrinhos Karolline e Mateus.

6 RESUMO PEDREIRO, M. R. M. Análise do comportamento experimental e numérico de prismas de alvenaria estrutural submetidos a ações verticais utilizando elementos finitos volumétricos. 210p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista, Ilha Solteira, Com a crescente evolução da engenharia estrutural e dos diferentes sistemas construtivos, o profissional atuante nessa área necessita incorporar o microcomputador como uma ferramenta básica, de modo a manter a qualidade, a competitividade e a eficiência de seu trabalho. Apesar de o projeto de alvenaria estrutural ter uma modelagem bastante simples, a utilização de ferramentas computacionais para auxiliar o projetista, no desenvolvimento da análise e do cálculo, corresponde a uma parcela significativa do tempo total despendido na execução do projeto. Frente a esse fato, apresenta-se como necessidade imediata o desenvolvimento de códigos computacionais confiáveis que possibilitem efetuar várias simulações de situações de projeto e carregamento. Nesse contexto o presente trabalho tem como objetivo principal a simulação numérica do comportamento não-linear físico de primas de alvenaria estrutural submetidos a ações verticais. O Método dos Elementos Finitos será empregado como modelo discreto aplicado na análise numérica, utilizando-se elementos prismáticos triangulares lineares com seis nós e parabólicos com quinze nós, simulando-se as partes do bloco de concreto (14 x 19 x 29 cm), bem como as juntas de argamassa, efetuando uma modulação tridimensional do prisma, além de considerar de forma separada as características físicas de cada material citado.

7 Neste trabalho demonstra-se todo processo de dedução explicita das matrizes de rigidez para os elementos usados na discretização, sendo que para a consideração da não-linearidade dos materiais utilizou-se o critério de Mohr-Coulomb, permitindo representar a diminuição da rigidez em função da ruptura do material. O código gerado em linguagem Visual Basic permitiu realizar simulações numéricas, cujos resultados quando comparados com resultados experimentais mostraram-se bastante satisfatórios. Palavras-chave: Alvenaria Estrutural. Prismas. Método dos Elementos Finitos. Comportamento estrutural não-linear.

8 ABSTRACT PEDREIRO, M.R.M., Experimental and numeric analysis of behavior of the masonry prisms submitted to vertical actions using volumetric finite elements. 210p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista, Ilha Solteira, With the growth of the Structural Engineering and the different building systems, the professional who works in this area needs to incorporate the computer as a basic tool in a way to keep the quality, competitiveness, and the efficiency of his work. Despite of the structural masonry project has a very simple modeling, the uses of computational tools help the designer in the development of the analysis and the calculation, it corresponds to a significant plot of the total time spent on the project execution. Before this fact, it is presented as an immediate necessity the development of computational reliable programs which enables to perform many simulations of design situations and loading. In this context, the present work aims the numerical simulation of nonlinear behavior of physical structural masonry prisms submitted to vertical actions. The Finite Element Method will be employed as discrete models to numerical analysis using triangular linear prisms with six nodes and parabolic prisms with fifteen nodes, simulating concrete blocks parts (14 x 19 x29cm), as well as the mortar joints, making a tridimentional modulation of the prism, besides considering separately the physical characteristics of each cited material. It is presented in this work, the entire process of explicit deduction of the matrices of stiffness to the elements used in the discretization, the Mohr-Coulomb Criteria was used

9 to consider the nonlinear of materials, permitting to represent the decrease of stiffness in function of the material rupture. The code generated in Visual Basic language allowed making numerical simulations whose results, when compared to the experimental, are showed as very satisfying. Key words: Structural Masonry. Prisms. Finite Element Method. Nonlinear structural behavior.

10 LISTA DE FIGURAS Figura 1.1 Discretização do prisma para o elemento prismático regular de 8 nós Figura 1.2 Discretização do prisma com o elemento prismático regular de 20 nós Figura Geometria do bloco de concreto Figura Geometria do elemento finito (Wedge) Figura Discretização do chanfro com elemento finito prismático triangular Figura Comportamento tensão x deformação típico do concreto. 30 Figura Curva típica tensão x deformação axial e tensão x deformação volumétrica do concreto para ensaio de compressão uniaxial Figura Critério de Mohr-Coulomb Figura 2.4 Definição da superfície de ruptura Figura 2.5 Definição da superfície de ruptura no plano desviador Figura 2.6 Relação Tensão x Deformação Genérica Figura 3.1 Elemento finito prismático linear com seis nós Figura 3.2 Sistema de coordenadas Figura Sistema de coordenadas obliquas Figura Pirâmide de Pascal Figura Valores para as coordenadas nodais W Figura Elemento finito prismático parabólico com quinze nós. 62 Figura Valores para as coordenadas nodais W Figura Discretização da viga com carregamento axial (KN) em z e 8 elementos W Figura 5.2 Resultados dos deslocamentos nodais (cm) para discretização com 8 elementos W6 e carregamento axial Figura 5.3 Discretização da viga com carregamento perpendicular ao eixo (KN) e 8 elementos W Figura 5.4 Resultados dos deslocamentos nodais (cm) para discretização com 8 elementos W6 e carregamento (KN) perpendicular ao eixo Figura 5.5 Discretização da viga com carregamento perpendicular ao eixo (KN) e 256 elementos W Figura Resultados dos deslocamentos nodais (cm) para discretização com 256 elementos W6 e carregamento (KN) perpendicular ao eixo Figura 5.7 Numeração das camadas nodais (a) camada da base

11 (vinculada), (b) Camada intermediária do elemento e (c) Camada do topo (livre) Figura 5.8 Discretização da viga com carregamento axial(kn) e oito elementos W Figura Resultados dos deslocamentos nodais (cm) para discretização com 8 elementos W15 e carregamento axial (KN) Figura Discretização da viga com carregamento perpendicular ao eixo (KN) e oito elementos W Figura Resultados dos deslocamentos nodais (cm) para discretização com 8 elementos e carregamento perpendicular(kn) Figura 5.12 Discretização da viga com duas camadas de elementos W Figura 5.13 Discretização da viga com carregamento perpendicular ao eixo (KN) e oito elementos W Figura Resultados dos deslocamentos nodais (cm) na direção y, discretizado com duas camadas de elementos W15 e carregamento perpendicular (KN) Figura 5.15 Prisma discretizado com elementos pentaétricos triangulares Figura 5.16 Primeira camada de Elementos Finitos (Bloco) Figura 5.17 Segunda camada de Elementos Finitos (Bloco) Figura 5.18 Terceira camada de Elementos Finitos (Argamassa) Figura 5.19 Quarta camada de Elementos Finitos (Bloco) Figura 5.20 Quinta camada de Elementos Finitos (Bloco) Figura 5.21 Posição das camadas nodais nos prismas, discretizados com elementos lineares Figura 5.22 Primeira camada de nós para elemento W Figura 5.23 Segunda camada de nós para elemento W Figura 5.24 Terceira camada de nós para elemento W Figura 5.25 Quarta camada de nós para elemento W Figura 5.26 Quinta camada de nós para elemento W Figura 5.27 Sexta camada de nós para elemento W Figura 5.28 Prisma discretizado com elementos W6 e carregado em z Figura Posição das camadas nodais nos prismas, discretizados com elementos W Figura 5.30 Primeira camada de nós para elemento W Figura 5.31 Segunda camada de nós para elemento W Figura 5.32 Terceira camada de nós para elemento W Figura 5.33 Quarta camada de nós para elemento W

12 Figura 5.34 Quinta camada de nós para elemento W Figura 5.35 Sexta camada de nós para elemento W Figura 5.36 Sétima camada de nós para elemento W Figura 5.37 Oitava camada de nós para elemento W Figura 5.38 Nona camada de nós para elemento W Figura 5.39 Décima camada de nós para elemento W Figura 5.40 Décima primeira camada de nós para elemento W Figura 5.41 Prisma discretizado com elementos W15 e força distribuída em z Figura 5.42 Fluxograma geral de cálculo Figura 6.1 Primeiros elementos a romper no PR2-A01, análise com elemento W Figura Gráfico Força x Deslocamento comparativo entre resultados experimentais e numéricos - W6 PR2-A Figura 6.3 Primeiros elementos a romper no PR2-A01, analise com elemento W Figura Gráfico Força x Deslocamento comparativo entre resultados experimentais obtidos por Albertini (2009) e o resultado do elemento W15 PR2-A Figura Gráfico Força x Deslocamento comparativo entre resultados experimentais obtidos por Albertini (2009) e o resultado numérico dos elementos W15 e W6 PR2-A Figura 6.6 Modo de ruptura do prisma PR2-A Figura 6.7 Primeiros elementos a romper no PR2-A02, análise com elemento W Figura Gráfico Força x Deslocamento comparativo entre resultados experimentais obtidos por Albertini (2009) e o resultado do elemento W6 PR2-A Figura 6.9 Primeiros elementos a romper no PR2-A02, análise com elemento W Figura Gráfico Força x Deslocamento comparativo entre resultados experimentais obtidos por Albertini (2009) e o resultado do elemento W15 PR2-A Figura Gráfico Força x Deslocamento comparativo entre resultados experimentais obtidos por Albertini (2009) e o resultado numérico dos elementos W15 e W6 PR2-A Figura 6.12 Modo de ruptura do prisma PR2-A

13 LISTA DE TABELAS Tabela Deslocamentos x números de camadas Tabela 5.2 Forças nodais em z W6 (KN) Tabela 5.3 Forças nodais em z W15(KN) Tabela 6.1 Deslocamentos dos nós 299, 312, 353 e 361 no PR2-A01 - W Tabela 6.2 Deslocamentos dos nós 1165, 1217, 1387 e 1425 no PR2- A01 W Tabela 6.3 Deslocamentos dos nós 299, 312, 353 e 361 no PR2-A02 - W Tabela 6.4 Deslocamentos dos nós 1165, 1217, 1387 e 1425 no PR2-

14 A02 W LISTA DE SÍMBOLOS εx, εy, εz γ xy, γ yz, γ xz Componentes de deformações lineares (específicas) nas direções x, y, z Componentes de deformações (específicas) de cisalhamento ou de distorções σx, σ y, σz Componentes normais de tensões nas direções x, y, z τxy, τ yz, τxz Componentes cisalhantes de tensão E Módulo de elasticidade longitudinal

15 ν fc Coeficiente e Poisson Resistência à compressão do material ft c φ Resistência à tração do material Coesão do material Ângulo de atrito interno do material σ1, σ2, σ3 Tensões principais I1 Primeiro invariante do tensor das tensões J2 Segundo invariante do tensor desviador θ Ângulo de similaridade ou invariante cilíndrico σ oct Tensão normal octaédrica ξ ρ Módulo do vetor hidrostático Módulo do vetor desviador τ oct E 0 R E inst Tensão tangencial octaédrica Módulo de elasticidade inicial Redutor do módulo de elasticidade Módulo de elasticidade instantâneo Π P U Ω f e d Energia potencial total Energia de deformação elástica Energia potencial das forças externas Vetor de forças nodais equivalentes do elemento Vetor das componentes de deslocamento nodais μ0 Energia de deformação específica Ve Volume do elemento φ E L Matriz das funções de forma do elemento Matriz dos coeficientes elásticos Operadores de derivação

16 u J ~ Vetor dos deslocamentos do elemento finito Matriz Jacobiana de transformação de coordenadas ks V p S p C p ξ, η, ζ x,y,z a,b,c Matriz de rigidez secante do elemento Vetor de forças volumétricas Vetor de forças superficiais Vetor de forças concentradas no elemento Coordenadas adimensionais ou normalizadas Coordenadas cartesianas do sistema local Dimensões do elemento finito SUMÁRIO CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO Definição do problema Objetivos Apresentação da estrutura da dissertação CAPÍTULO 2 - MODELOS FÍSICOS NÃO-LINEARES Comportamento não-linear do concreto Critério de ruptura de Mohr-Coulomb Módulo de elasticidade instantâneo dos materiais Módulo de elasticidade instantâneo do bloco... 39

17 Módulo de elasticidade instantâneo da argamassa CAPÍTULO 3 - ELEMENTO FINITO VOLUMÉTRICO LINEAR Funções de forma Matriz de rigidez CAPÍTULO 4 - ELEMENTO FINITO VOLUMÉTRICO PARABÓLICO Funções de forma Matriz de rigidez CAPÍTULO 5 - ANÁLISE NUMÉRICA E ASPECTOS COMPUTACIONAIS Validação da matriz de rigidez Exemplo Viga com oito elementos W6 e força axial Viga com oito elementos W6 e força perpendicular ao eixo Viga com elementos W6 e força perpendicular ao eixo Exemplo Viga com oito elementos W15 e força axial Viga com oito elementos W15 e força perpendicular ao eixo Viga com 16 elementos W15 e força perpendicular ao eixo Análise de prismas de alvenaria Discretização do prisma Modelo discretizado com elemento W Modelo discretizado com elemento W

18 5.3 - Fluxograma Geral de Cálculo CAPÍTULO 6 - ANÁLISE COMPARATIVA Prisma vazio assentado com argamassa A Análise comparativa utilizando o elemento W Análise comparativa utilizando o elemento W Análise comparativa utilizando os elemento W6 e W Prisma vazio assentado com argamassa A Análise comparativa utilizando o elemento W Análise comparativa utilizando o elemento W Análise comparativa utilizando os elemento W6 e W CAPÍTULO 7 - CONSIDERAÇÕES FINAIS Discussão dos resultados Conclusão Proposta para desenvolvimento futuro REFERÊNCIAS ANEXO I ANEXO II

19 19 CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO A alvenaria convencional consiste em blocos ou tijolos unidos entre si por juntas de argamassa e tem papel apenas de vedação. No caso da alvenaria estrutural, além do papel de vedação, ela também desempenha função estrutural. As construções de alvenaria estrutural, desde o começo das civilizações, vêm sendo utilizadas com base na experiência adquirida ao longo do tempo, através de tentativas e erros (CAMACHO, 1995 apud ANDOLFATO, 2002, p.1). Conforme Logullo (2006, p.17 citado por ALBERTINI 2009, p.17), impulsionada pelos baixos custos e pelo déficit habitacional nacional, a alvenaria estrutural apresenta grande potencial de crescimento por propiciar maior racionalidade na execução da obra, redução de consumo e do desperdício dos materiais, aumentando a eficiência da mão-de-obra, além de apresentar nítidas vantagens quanto à diminuição de espessuras de revestimento a ser utilizado. Para um melhor aproveitamento do potencial resistente do sistema estrutural, é ideal aperfeiçoar o desempenho de todos os elementos que o compõem, tais como: bloco, argamassa, graute e armadura. Para tal é necessário um conhecimento das características dos materiais, assim como os fenômenos físicos e mecânicos que ocorrem na alvenaria em regime de serviço. De acordo com a Associação Brasileira de Normas Técnicas - ABNT (1989, p. 14) através da NBR 10837, as tensões admissíveis da alvenaria devem ser baseadas na resistência dos prismas, na idade de 28 dias, ou na idade em que a estrutura estiver submetida ao carregamento total.

20 20 No entanto cabe ao engenheiro desenvolver novas tecnologias para representar os fenômenos físicos através da modelagem numérica, recorrendo às informações da natureza, quando necessário, para resolver as abstrações matemáticas e compreender o comportamento de um sistema através da modelagem física. Segundo Faglioni (2006, p.13 citado por ALBERTINI 2009, p.18), a análise estrutural estática tem como objetivo determinar a intensidade e a forma de distribuição dos esforços em um determinado sistema estrutural, quando esse é submetido a um carregamento qualquer, sem que o mesmo varie ao longo do tempo. Assim, o campo de tensões calculado deve apresentar um equilíbrio entre as forças internas e externas, bem como deslocamentos contínuos. Para cada tipo de comportamento estrutural, que é objeto de estudo, cabe um tipo de análise que pode ser linear ou nãolinear. No caso de análise do comportamento linear da estrutura, deve-se considerar a manutenção das propriedades do material (linearidade física), assim como a manutenção das características geométricas iniciais (linearidade geométrica); entretanto para uma análise não-linear, considera-se mudança das propriedades físicas (não-linearidade física), da geometria inicial (não-linearidade geométrica) ou ainda a alteração da geometria e das propriedades físicas (dupla nãolinearidade). Nos sistemas estruturais admitidos como contínuos, a grande dificuldade para a análise estrutural pelos modelos analíticos clássicos, que apresentam respostas exatas e possibilitam o conhecimento dos deslocamentos, deformações e tensões em qualquer ponto do continuo, está em encontrar solução nas equações diferenciais parciais que governam esses

21 21 sistemas, de forma que sejam satisfeitas as condições de contorno. Além de que, nos sistemas contínuos, o número de graus de liberdade é infinito, em decorrência da continuidade, o que dificulta esse tipo de análise para resolução do problema. Devido a essas dificuldades, surgiram os métodos numéricos, após o advento dos computadores, que foram capazes de transformar o sistema estrutural contínuo, com infinitos graus de liberdade, em um sistema estrutural discreto, com um número finito de graus de liberdade. Com relação aos métodos, pode-se citar o Método dos Elementos Finitos (MEF), Método das Diferenças Finitas e o Método dos Elementos de Contorno, entre outros. O Método dos Elementos Finitos foi idealizado com os trabalhos de Argyris e Kelsey (1954, apud RODRIGUES 1997, P.1) e de Turner et al (1956, apud RODRIGUES 1997, P.1). Com isso, os pesquisadores passaram a ter uma ferramenta poderosa que permite a modelagem numérica dos fenômenos envolvidos na análise estrutural. O MEF baseia-se na discretização do sistema estrutural, onde seus componentes são divididos em pequenas regiões, chamadas elementos finitos. Quando aplicado a problemas de análise estrutural, o conceito básico do MEF é tal que o sistema estrutural contínuo pode ser modelado numericamente pela sua subdivisão em pequenas regiões (os elementos finitos), que conectados entre si através de nós formam o conjunto estrutural discreto. Para problemas estáticos, a discretização utilizando-se o MEF resulta num sistema de equações algébricas que são facilmente resolvidas, aplicando-se técnicas computacionais adequadas. De posse do sistema de equações citado, é possível

22 22 resolver o problema estrutural desejado, uma vez que, para tais sistemas, é fácil a imposição das condições de contorno da estrutura. Por ser um método de discretização, a solução obtida é aproximada e para se obter uma resposta satisfatória, usualmente, deve-se escolher o tipo adequado de elemento finito, assim como a quantidade e a disposição geométrica do mesmo Definição do problema O presente trabalho está inserido na linha de pesquisa sobre análise numérica e experimental do comportamento nãolinear da alvenaria estrutural, vinculada ao Núcleo de Ensino e Pesquisa da Alvenaria Estrutural - NEPAE, que teve início com o trabalho de Silva Junior (2007). Nesse primeiro trabalho, o autor realizou uma análise numérica do comportamento não-linear de prismas de alvenaria estrutural submetidos a ações verticais utilizando o elemento finito prismático regular linear, discretizando blocos e argamassas (Figura 1.1) com elementos finitos de geometria cúbica com oito nós situados nos vértices, apresentando uma variação linear de deslocamentos ao longo de seus lados. Figura 1.1 Discretização do prisma para o elemento prismático regular de 8 nós Fonte: Silva Junior (2007, p. 40)

23 23 Posteriormente Albertini (2009) realizou uma análise do comportamento experimental e numérico de prismas de alvenaria estrutural utilizando o elemento finito prismático regular parabólico, discretizando blocos e argamassas com mesma geometria apresentado por Silva Junior (2007), porém com uma melhor discretização (Figura 1.2) e com um elemento finito de vinte nós, com três nós situados em cada borda, sendo a variação de deslocamento parabólica ao longo dos lados do elemento. Figura 1.2 Discretização do prisma com o elemento prismático regular de 20 nós Fonte: Albertini (2009, p.129) Na continuidade da linha de pesquisa, o presente trabalho procurou solucionar o problema de discretização da geometria do bloco de concreto utilizado na análise numérica, em função do septo do bloco apresentar seções triangulares, conforme Figura 1.3.

24 24 Figura Geometria do bloco de concreto. Fonte: Pedreiro (2011) Na escolha dos elementos finitos volumétricos a serem desenvolvidos optou-se por elementos que apresentem geometria triangular nas superfícies paralelas, conforme apresentado na Figura 1.4, contendo seis e quinze nós, permitindo o acoplamento entre os elementos utilizados por Silva Junior (2007) e Albertini (2009), respectivamente. Figura Geometria do elemento finito (Wedge). Fonte: Pedreiro (2011) Sendo assim, é possível discretizar a seção do chanfro na região do septo do bloco, conforme apresentada na Figura 1.5, tendo em vista que nesse ponto ocorre concentração de tensões.

25 25 Figura Discretização do chanfro com elemento finito prismático triangular. Fonte: Pedreiro (2011) Objetivos Este trabalho tem como objetivos: Apresentar o desenvolvimento explícito das matrizes de rigidez do elemento finito prismático linear com seis nós e do elemento finito prismático parabólico com quinze nós; discretizar prismas de alvenaria estrutural compostos por blocos de concreto, utilizando-se os elementos finitos já mencionados, e fazer análise numérica com cada um separadamente; aplicar modelos físicos não-lineares para o concreto, visando a análise para carregamentos estáticos; elaborar sub-rotinas computacionais em linguagem VBASIC de modo a simular o comportamento não-linear da alvenaria estrutural; validar o modelo discreto por meio de análise comparativa com resultados obtidos por ensaios realizados em laboratório.

26 Apresentação da estrutura da dissertação Neste primeiro capítulo procurou-se mostrar uma visão geral do trabalho desenvolvido, descrevendo-se, para tanto, tema e motivação, definição do problema, objetivos do trabalho, e finalizando, uma apresentação sucinta dos capítulos subseqüentes. No segundo capítulo será exposto de forma sucinta o critério de ruptura de Mohr-Coulomb, que será implantado no código computacional, e o equacionamento necessário para consideração do módulo de elasticidade instantâneo dos materiais. No terceiro capítulo será apresentada a dedução da matriz de rigidez do elemento finito prismático linear com seis nós de vértice e três graus de liberdade por nó, utilizado na discretização do prisma. No quarto capítulo apresenta a dedução da matriz de rigidez do elemento finito prismático linear com quinze nós e três graus de liberdade por nó, utilizado na discretização do prisma. No quinto capítulo são apresentados todos os elementos da análise numérica, sendo descritos aspectos referentes à discretização do prisma e fluxograma geral de cálculo do código computacional que realiza a análise não-linear por meio do MEF, utilizando-se um processo incremental de carregamento. No sexto capítulo será validado o modelo numérico proposto através de vários exemplos. Para isso, serão confrontados seus resultados com os resultados obtidos em ensaios laboratoriais, sobrepondo-se as curvas que relacionam a força aplicada com os

27 27 deslocamentos de um ponto específico e comum às duas análises. No sétimo capítulo será realizada a discussão dos resultados obtidos, seguido da conclusão e de uma proposta para desenvolvimento futuro nessa mesma linha de pesquisa. Por fim, as referências bibliográficas serão listadas.

28 28 CAPÍTULO 2 - MODELOS FÍSICOS NÃO-LINEARES Considerando-se o material estrutural como tendo comportamento elástico-linear, as relações constitutivas apresentadas pela Mecânica dos Sólidos são dadas pelas equações (2.1) a (2.6), conforme apresentado em Faglione (2006, p.45 e p.46) 1 εx = σ x ν σ y + σz E ( ) 1 εy = σ y ν σx + σ z E ( ) 1 εz = σz ν σx + σ y E ( ) (2.1) (2.2) (2.3) γ γ γ xy xz yz ( + ν ) 21 = (2.4) E ( + ν ) 21 E τ τ xy = (2.5) ( + ν ) 21 E τ xz = (2.6) yz No entanto o concreto e a argamassa apresentam um comportamento não-linear para determinados níveis de solicitação. Este comportamento é caracterizado pela relação não-linear entre tensão e deformação, que se manifesta pela capacidade de acomodar grandes deformações em relação ao

29 29 acréscimo de uma pequena parcela de carregamento, surgindo inclusive deformações irreversíveis ou plásticas. Deste modo para considerar a diminuição da rigidez e as deformações irreversíveis, se faz conveniente a utilização de modelos que permitam analisar a deformação e ruptura dos prismas de alvenaria estrutural. Muitos modelos ou critérios de ruptura podem ser encontrados na literatura, onde comumente os mesmos são definidos no espaço das tensões pelo número de constantes mecânicas do material. O comportamento do concreto pode ser modelado por meio da simulação matemática das relações entre tensão e deformação a partir de uma série de experimentos simples, em que se procura definir a forma da superfície de ruptura do concreto, desconsiderando-se os mecanismos microscópicos intrínsecos do material. Neste trabalho, será adotado o critério de Mohr-Coulomb, sendo esse um dos critérios mais indicados para análise do comportamento do concreto submetido a um estado qualquer de tensões Comportamento não-linear do concreto As deformações irreversíveis causadas no concreto surgem principalmente pelo processo da microfissuração ocorrida internamente ao material. A ocorrência desse processo se dá principalmente na zona de transição que é a região definida entre a pasta de cimento e o agregado graúdo, e é responsável pela diminuição da rigidez estrutural, conforme ilustrado na Figura 2.1. Segundo MacGregor (1997 apud BUCHAIM 2001, p.12) as

30 30 microfissuras têm abertura inferior a 10µm e comprimento entre 3 e 13 mm, antes mesmo da aplicação do carregamento. Após a aplicação do carregamento, a microfissuração acontece gradativamente no interior do concreto como resultado da alteração da distribuição de tensões entre a pasta de cimento e o agregado graúdo, e se dá pela ausência ou perda progressiva da aderência na zona de transição. Figura Comportamento tensão x deformação típico do concreto. Fonte: Rodrigues (2002, p.177) Conforme Albertini (2009, p.24) na compressão uniaxial do concreto até a ruptura, a microfissuração transforma-se em macrofissuração (fissuras visíveis). Nesse processo distinguem-se quatro fases, que estão representadas na Figura 2.1, mostrando a diminuição de rigidez de cada etapa (redução do módulo de elasticidade) e o aparecimento de deformações irreversíveis. A Figura 2.2 ilustra quais são as faixas de valores de tensão correspondentes a cada etapa, em função da resistência a compressão do concreto.

31 31 Figura Curva típica tensão x deformação axial e tensão x deformação volumétrica do concreto para ensaio de compressão uniaxial. Fonte: Rodrigues (2002, p.201) A primeira fase corresponde a tensões até cerca de 30% da sua resistência à compressão, em que o concreto apresenta comportamento elástico sem apresentar deformações permanentes, conforme mostrado na Figura 2.2, e linear, sendo que as fissuras instaladas no elemento antes do carregamento mantêmse praticamente inalteradas após o início do mesmo. (BUCHAIM, 2001 apud ALBERTINI, 2009, p.25) Na segunda fase, para tensões aplicadas maiores que 0,3.fc, o concreto começa a apresentar comportamento nãolinear, já apresentando deformações permanentes. Nessa fase, devido à concentração de tensão nas fissuras já existentes ocorre o aparecimento de fissuras na interface agregado-pasta de cimento, chamadas fissuras de aderência. Essas fissuras são estáveis e só se propagam se houver aumento de força. (BUCHAIM, 2001 apud ALBERTINI, 2009, p.25)

32 32 Na terceira fase, para tensões aplicadas acima de 0,5.fc, ocorre o início da fissuração na pasta de cimento, com união das fissuras na zona de transição (fissuras de aderência). A propagação das fissuras ainda é estável, não aumentando para valores de força constantes. A fissuração dá-se paralelamente à carga, e este estágio é chamado limite de descontinuidade. (BUCHAIM, 2001 apud ALBERTINI, 2009, p.26) Na quarta fase, para tensões aplicadas na faixa de (0,75 a 0,80).f c, as fissuras aumentam até o limite crítico, podendo-se conduzir o elemento até a ruptura. Nesta fase, o concreto apresenta fraturas dependentes do tempo, dando início ao processo reverso da deformação volumétrica, que passa da contração a expansão. (BUCHAIM, 2001 apud ALBERTINI, 2009, p.26) Critério de ruptura de Mohr-Coulomb Para simular o comportamento do concreto submetido a um estado de tensão qualquer, o critério de Mohr-Coulomb tem sido muito utilizado, sendo este uma generalização da equação de ruptura de Coulomb definida por: τ = c σ tanφ (2.7) onde, tem-se: τ é a tensão de cisalhamento; σ é a tensão normal; c é a coesão; φ ângulo de atrito interno do material. A equação (2.7) indica que há ruptura do material, quando a tensão de cisalhamento num determinado plano supera a resistência a deslizamento originada de duas parcelas: uma

33 33 proveniente da referida coesão do material, outra vinda de uma fração da tensão normal atuante nesse mesmo plano. (ALBERTINI, 2009, p.26) Graficamente, a equação (2.7) representa uma reta tangente ao maior círculo de tensões principais, como mostrado na Figura 2.3. Quando o par de tensões (-σ, τ ) atuantes em um ponto qualquer do material situarem-se sobre tal reta ocorrerá à ruptura do material. (ALBERTINI, 2009, p.26) Figura Critério de Mohr-Coulomb. Fonte: Albertini (2009) Por meio da Figura 2.3 e para σ 1 σ 2 σ 3, a equação (2.7) pode ser reescrita em função das tensões principais. Sendo a distância entre os pontos O e B dados por: σ + σ σ σ = = φ (2.8) OB OE EB sen substituindo-se na equação (2.7) resulta: σ1 σ3 σ1+ σ3 σ1 σ3 cosφ = c + senφ tanφ (2.9) realizando-se algumas simplificações obtém-se a equação (2.10):

34 34 ( 1+ sen ) ( 1 sen ) σ1 φ σ3 φ = 1 2c cosφ 2c cosφ (2.10) O critério ainda pode ser definido em função dos invariantes (I 1, J 2, ), onde o primeiro invariante do tensor das tensões é representado por I 1 e é definido pela equação (2.11), o segundo invariante do tensor desviador pode ser representado por J 2 dado pela equação (2.12) e o terceiro invariante é pode ser obtido pela equação (2.13). I1 = σ1+ σ2 + σ3 (2.11) 1 J2 = = σ1 σ2 + σ2 σ3 + σ3 σ1 6 ( ) ( ) ( ) (2.12) cos 3 = J J 2 3 θ ( 3 ) (2.13) 2 Utilizando-se as relações de 1 e 3 apresentadas na equação (2.14) onde as tensões principais ficam definidas em função apenas dos invariantes (I 1,J 2,) e substituindo-se na equação ((2.10) obtém-se o critério em função de (I 1, J 2, ), como mostra a equação (2.15). σ1 1 cosθ I1 2 3 σ2= 1+ J2 cos 120º 3 3 σ 1 cos 120º ( θ ) ( θ + ) 3 (2.14) I1 3 sen J 2 sen ( ) J 2 sen ( ) c φ+ θ + 60º + φ.cos θ + 60º cosφ = f I, J, = 0 ( θ ) 1 2 (2.15)

35 35 ou, com auxílio das equações (2.16), (2.17), (2.18) e (2.19): 1 3 σ = (2.16) oct 1 I ξ = σ oct 3 (2.17) ρ = 2J 2 = τ oct 3 (2.18) 2 3 τ = oct J (2.19) 2 a equação (2.15) pode ser reescrita em função de (ξ,ρ,θ), conforme a equação (2.20). 2ξ senφ + 3ρ sen 0 0 ( θ + 60 ) + ρ senφ cos( θ + 60 ) f ( ξ, ρ, θ ) = 0 6c cosφ = 0 (2.20) Segundo Faglione (2006, p.86) no espaço das tensões principais, o critério de Mohr-Coulomb é representado por uma pirâmide hexagonal irregular, conforme ilustra a Figura 2.4, cujo contorno define a superfície de ruptura do material. Figura 2.4 Definição da superfície de ruptura. Fonte: Faglione (2011)

36 36 Já os comprimentos característicos da superfície de ruptura, relativos aos meridianos de tração e de compressão, podem ser obtidos através da equação (2.20), atribuindo-se os valores (θ=0 0, ξ=0, ρ=ρ T0 ) e (θ=60 0, ξ=0, ρ=ρ C0 ) respectivamente, conforme equações (2.21) e (2.22): ρ 2 6c cosφ = 3 senφ T 0 + (2.21) ρ 2 6c cosφ = 3 senφ C 0 (2.22) e o módulo do vetor hidrostático ξ também pode ser obtido através da equação (2.20), considerando-se nulo o módulo do vetor desviador (ρ = 0), que resulta a equação (2.23). ξ = 3c cotφ (2.23) Dessa forma, em relação ao plano desviador, a superfície de ruptura fica definida por um hexágono irregular, conforme ilustrado pela Figura 2.5. Figura 2.5 Definição da superfície de ruptura no plano desviador. Fonte: Rodrigues (2002, p.212)

37 37 Finalizando-se, os parâmetros c e φ podem ser definidos em função da resistência à tração f t e da resistência à compressão f c do concreto, obtidas através de um ensaio de tração simples e de compressão simples, respectivamente. Assim, para ensaio de compressão simples os valores das tensões principais são dados por σ 1 = σ 2 = 0 e σ 3 = f c e ensaio de tração simples por σ 2 = σ 3 = 0 e σ 1 = f c. Substituindo-se tais valores na equação (2.10), obtêm-se as equações (2.24) e (2.25) 2c cosφ = 1 senφ f c (2.24) 2c cosφ = + 1+ senφ f t (2.25) Resolvendo-se tal sistema de equações encontram-se as relações procuradas, conforme equações (2.26) e (2.27), que definem, respectivamente, o ângulo de atrito interno e a coesão em função as resistências f t e f c. = sen f f + f f 1 c t φ (2.26) c t c = f c ( 1 senφ) f ( 1+ senφ) 2cosφ = + t 2cosφ (2.27) Módulo de elasticidade instantâneo dos materiais Em função de o concreto e a argamassa, mesmo sendo considerados como materiais isotrópicos apresentarem

38 38 comportamento não-linear para determinados níveis de tensão, deve ser avaliada a alteração do módulo de elasticidade do concreto em função da variação das tensões. Como na formulação do Método dos Elementos Finitos a equação básica de equilíbrio estático tem por princípio o sistema ser considerado como linear, para contornar essa situação, na simulação numérica foi utilizado o processo incremental de forças. (ALTRAN, 2010, p.62) A Figura 2.6 apresenta uma curva genérica de relação tensão-deformação, ilustrando o módulo de elasticidade inicial e os respectivos módulos de elasticidade instantâneos em função de f c e de. (ALBERTINI, 2009, p.124) Figura 2.6 Relação Tensão x Deformação Genérica. Fonte: Albertini (2009, p.124) Conforme demonstrado por Albertini (2009, p.124 a 125), tem-se que o módulo de elasticidade inicial (E 0 ) é definido por: E 0 tan ( α ) = (2.28) e, para outro ponto qualquer da curva, tem-se:

39 39 EINST tan ( β ) = (2.29) Desse modo: β = α R (2.30) onde R é um redutor a ser determinado em função da deformação sofrida pelo elemento e da resistência do material. Conhecendo-se da trigonometria que: tan ( β ) y = (2.31) x para a situação analisada, pode-se dizer, então que: E INST σ = (2.32) ε Dessa forma, a partir da equação (2.32), os módulos de elasticidade do bloco e da argamassa foram definidos por Albertini (2009, p. 125 a 127), conforme segue Módulo de elasticidade instantâneo do bloco A partir de resultados obtidos experimentalmente por Albertini (2009, p.125), o módulo de elasticidade instantâneo do bloco de concreto é definido por: 5 E = 473,6. fc 3, fcε. (2.33) INST sendo o módulo de elasticidade inicial dado por: E0 = 473,6. fc (2.34)

40 40 e o redutor R, que reduzirá o módulo de elasticidade do bloco com o aumento das deformações, é dado por: 5 R= 3, fcε. (2.35) Módulo de elasticidade instantâneo da argamassa Baseado em resultados experimentais obtidos por Albertini (2009, p.126) módulo de elasticidade instantâneo da argamassa é definido por: 5 E = 510,6. fc 1, fcε. (2.36) INST sendo o módulo de elasticidade inicial dado por: E0 = 510,6. fc (2.37) e o redutor R, que reduzirá o módulo de elasticidade do bloco com o aumento das deformações, é dado por: 5 R = 1, fcε. (2.38)

41 41 CAPÍTULO 3 - ELEMENTO FINITO VOLUMÉTRICO LINEAR Para os elementos da alvenaria estrutural (concreto e argamassa) considerou-se, em uma primeira análise, um prisma com uma série de elementos sólidos, e para tal foi adotado como elemento finito prismático o pentaedro triangular reto de seis nós, que apresenta variação linear ao longo de seus lados, denominado W6 (Wedge 6). Considerando-se o elemento apresentado na Figura 3.1 composto de seis nós de vértice, têm-se como graus de liberdade três translações por nó. Figura 3.1 Elemento finito prismático linear com seis nós. Fonte: Pedreiro (2011) A formulação do elemento será feita utilizando-se coordenadas homogêneas, o que torna a solução do problema mais simples, uma vez que os polinômios aproximadores ficam em função de coordenadas adimensionais. Para definir a geometria da face triangular do elemento considera-se o elemento da Figura 3.2.

42 42 Figura 3.2 Sistema de coordenadas. Fonte: Pedreiro (2011) Sendo esse triângulo referido ao sistema cartesiano x e y, adota-se um sistema de coordenadas oblíquas ( ξ 2, ξ 3 ) que contenha dois lados do elemento, com origem no nó 1 e um eixo auxiliar x também com origem no nó 1 e paralelo a x. Considerando-se um ponto P qualquer, a posição deste em relação ao nó 1 será dado por ξ, 3P. A soma das projeções 2P ξ dessas coordenadas sobre x resultará: x = ξ cosθ + ξ cosθ (3.1) p 2P 2 3P 3 Definindo-se as seguintes coordenadas adimensionais: ξ 2 ξ = 2 l 12 ξ 3 ξ 3 = (3.2) l 13 com l 12 e l 13 iguais aos comprimentos dos lados 1-2 e 1-3 respectivamente.

43 43 Para o ponto P tem-se: ξ = ξ l ξ ξ l 2P 2P 12 3P 3P 13 = (3.3) introduzindo-se na expressão de x p : x = ξ l cosθ + ξ l cosθ (3.4) p 2P P 13 3 ( ) ξ ( ) x = ξ x x + x x (3.5) p 2P 2 1 3P 3 1 uma vez que P é um ponto genérico, pode-se dizer que para qualquer ponto: ( ) ξ ( ) x= x + ξ x x + x x (3.6) Além do sistema oblíquo já usado, com origem no nó 1, poderia ser usado um outro sistema alternativo com origem no nó 2, como mostra a Figura 3.3. Figura Sistema de coordenadas obliquas. Fonte: Pedreiro (2011)

44 44 Definindo-se as coordenadas adimensionais: ξ 3 1 ξ 3 = 1 l 23 l 12 ξ ξ = (3.7) pode-se escrever com base na geometria, segundo a Figura 3.3: l = ξ + ξ + ξ cos β + ξ cos β (3.8) ξ + ξ + ξ cos β + ξ cos β l = (3.9) 12 l l 1= ξ + ξ + ξ cos β + ξ cos β (3.10) l12 l12 ξ 1= ξ + ξ + cosβ + cosβ (3.11) ( l l ) l12 1 = ξ1+ ξ2 + ξ3 (3.12) substituindo-se (3.12) na expressão de x : ( ξ ξ ξ ) ξ ( ) ξ ( ) x= x x x + x x (3.13) x= xξ + x ξ + xξ (3.14) De modo análogo pode-se mostrar que: y = yξ + y ξ + yξ (3.15)

45 45 Agrupando-se os resultados obtidos na forma matricial temse: ξ1 x x1 x2 x = 3ξ 2 y y y y ξ (3.16) ou 1 ξ1 x= T ξ 2 ~ y ξ 3 (3.17) cuja inversa é dada por: ξ ξ 2 = T x ~ ξ 3 y (3.18) Assim, tem-se: ξ1 xy 2 3 xy 3 2 y2 y3 x3 x21 1 ξ 2 xy 3 1 xy 1 3 y3 y1 x1 x = 3 x 2A ξ xy xy y y x x y (3.19) onde A é a área do triangulo que pode ser calculado por: ~ ( ) DetT= xy + xy+ xy xy xy xy = 2A (3.20) Chamando-se,

46 46 a = x y x y mi = yj yk xi = xk xj i j k k j (3.21) com índices variando ciclicamente, ou seja: P/ i = 1 j = 2, k = 3 P/ i = 2 j = 3, k = 1 P/ i = 3 j = 1, k = 2 (3.22) chega-se a relação geral: 1 ξ = ( a + mx+ n y) (3.23) i 2A i i i Funções de forma As funções aproximadoras desse elemento contêm seis monômios extraídos do polinômio algébrico cúbico completo em x, y e z. Nesse caso, para garantir a continuidade com os deslocamentos dos elementos adjacentes, a função deslocamento deve variar linearmente ao longo dos lados. Sendo assim, para um sistema de coordenadas adimensionais, com origem no centro do lado 1-4 do pentaedro, e usando-se a relação encontrada na equação (3.23), pode-se escrever com base na Figura 3.1, que: = e = 3 (3.24) ξ ξ 2 η ξ portanto, pode-se escrever: 1 2A ξ = ( a + m x+ n y) ; ( a m x n y) η = e 2A z ζ = (3.25) c

47 47 As funções interpoladoras para os deslocamentos u, v e w, são dadas pelas equações (3.26), (3.27) e (3.28), respectivamente, todos extraídos da pirâmide de Pascal, mostrada na Figura 3.4. u( ξ, η, ζ ) = α + αξ + αη+ αζ + α ξζ + αηζ (3.26) v( ξ, η, ζ) = β + βξ + β η + βζ+ βξζ+ βηζ (3.27) w( ξ, η, ζ) = γ + γ ξ + γ η + γζ+ γξζ+ γηζ (3.28) Figura Pirâmide de Pascal. Fonte: Zienkiewicz(2000, p.187)

48 48 Na forma matricial, essas equações são dadas por: u = ϕ. α (3.29) ~ ~ ~ em que: ~ { } u = u v w 1 ξ η ζ ξζ ηζ ϕ = ξ η ζ ξζ ηζ ξ η ζ ξζ ηζ (3.30) { } T α = α0 α1 α2 α3 α4 α5 β0 β1 β2 β3 β4 β5 γ0 γ1 γ2 γ3 γ4 γ5 (3.31) Particularizando-se para cada nó de acordo com a Figura 3.5 na matriz ϕ, tem-se: Figura Valores para as coordenadas nodais W6. Fonte: Pedreiro (2011)

49 49 - No 1 ( ξ = 0; η = 0; ζ = 1): ϕ1 = Nó 2 ( ξ = 1; η = 0; ζ = 1 ): ϕ2 = Nó 3 ( ξ = 0; η = 1; ζ = 1): ϕ3 = Nó 4 ( ξ = 0; η = 0; ζ = 1): ϕ4 = Nó 5 ( ξ = 1; η = 0; ζ = 1 ): ϕ5 =

50 50 - Nó 6 ( ξ = 0; η = 1; ζ = 1): ϕ6 = Considerando-se conjuntamente os seis nós do elemento temse: d = A α (3.32) onde d é apresentada por: [ ] T d = u1 v1 w1 u2 v2 w2 u3 v3 w3 u4 v4 w4 u5 v5 w5 u6 v6 w6 (3.33) sendo A : A = ~ (3.34) Da equação (3.32) obtém-se a matriz α, em função da

51 51 matriz dos deslocamentos d, como mostra a equação (3.35): α 1 = A d (3.35) Generalizando-se os deslocamentos em função das coordenadas da estrutura, os deslocamentos u do elemento finito podem ser expressos em função dos deslocamentos nodais d, por meio da utilização de funções de forma apropriadas, conforme relação definida pela equação (3.36). u = φ d (3.36) Substituindo-se a equação (3.35) na (3.29) e comparando-se com a equação (3.36) obtém-se que a matriz das funções de forma φ, para o elemento finito prismático pentaédrico linear com seis nós, que é dada pela equação (3.37). φ = ϕ A 1 (3.37) Explicitamente, a matriz φ é dada pela equação que segue: φ N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N 0 0 N = 0 N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0 N4 0 0 N5 0 0 N N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0 N4 0 0 N5 0 0 N 6 (3.38) Com Ni sendo apresentados em um sistema de coordenadas naturais dado pelas equações de (3.39) a (3.44). ( )( ) N1 = 1 ξ η 1 ζ (3.39) 2 1 ( ) N = ξ ζ (3.40)

52 ( ) N = η ζ (3.41) ( )( ) N4 = 1 ξ η 1+ ζ (3.42) 5 1 ( ) N = ξ + ζ (3.43) 6 1 ( ) N = η + ζ (3.44) Matriz de rigidez A matriz de rigidez de um elemento finito qualquer pode ser deduzida por meio da equação (3.45). T ( ) ks ~ = B EB dv ~ ~ ~ e V (3.45) e onde tem-se: 1 υ υ υ ( 1 2 E υ) E = 2 ( 1+ υ)( 1 2υ) ( 1 2υ ) ( 1 2υ ) (3.46) Como a dedução do elemento é feita com a utilização de coordenadas naturais, é necessário mudar o domínio e os limites de integração. Isso é feito através da matriz

53 53 Jacobiana J de transformação de coordenadas, que relaciona um ~ elemento infinitesimal do domínio real a um elemento infinitesimal no domínio de coordenadas naturais. A matriz dada pela equação (3.47) é chamada de matriz Jacobiana e seu determinante é chamado de Jacobiano. J ~ x x x ξ η ζ y y y = ξ η ζ z z z ξ η ζ (3.47) Com o mapeamento isoparamétrico, pode-se escrever a matriz Jacobiana na forma: e e e N e N e N e x x x ξ η ζ e e e N e N e N e J = y y y ~ ξ η ζ e e e N e N e N e z z z ξ η ζ (3.48) que também pode ser escrita na forma: J ~ T N1 N6 ξ ξ x y z N1 N6 =. η η x6 y6 z 6 N1 N 6 ζ ζ (3.49) Assim a integral para obtenção da matriz de rigidez do elemento apresentado para o domínio de coordenadas naturais

54 54 fica definida por: 1 1 η 1 k (,, T s = f x y z) dv = B EB det( J) dξdηdζ V ~ ~ ~ ~ (3.50) tem-se que: B= L. φ ~ ~ ~ (3.51) onde φ é a matriz explicitada em (3.38) e L é a matriz de ~ operadores de derivação, dada pela equação (3.52). 0 0 x 0 0 y 0 0 z L = ~ 0 y x 0 z x 0 z y (3.52) fazendo-se as substituições em (3.51), resulta em:

55 55 N1 N2 N x x x N1 N2 N y y y N1 N2 N z z z B = ~ N 1 N1 N2 N2 N6 N y x y x y y N1 N1 N2 N2 N6 N z x z x y y N1 N1 N2 N2 N6 N z y z y y y (3.53) Como as funções de forma do elemento dadas em termos das coordenadas ξ, η e ζ, o problema na montagem da matriz B é que ~ esta contém derivadas das funções de forma com os respectivos x, y e z. Para obter as derivadas com relação à x, y e z na linhagem da matriz, a regra da cadeia da diferenciação parcial deve ser utilizada: Ni Ni x Ni y Ni z = + + ξ x ξ y ξ z ξ Ni Ni x Ni y Ni z = + + η x η y η z η (3.54) Ni Ni x Ni y Ni z = + + ζ x ζ y ζ z ζ que pode ser expresso na forma matricial por: