Teoria de Resposta ao Item
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- Maria Vitória Santos Nunes
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1 Teoria de Resposta ao Item Caio L. N., IMECC/Unicamp
2 Aspectos Gerais Os itens de um teste podem medir mais de um tipo de conhecimento. Exemplo: itens de matemática que expõe uma situação problema: interpretação de textos e matemática. Estrutura semelhante à de um modelo de análise fatorial. SAEB.
3 Análise fatorial Modelo de resposta ao item: Y 1j = b 1 + a 11 θ j1 + a 12 θ jm a 1M θ jm + ξ 1j Y 2j = b 2 + a 21 θ j1 + a 22 θ jm a 2M θ jm + ξ 2j. =. Y Ij = b I + a I 1 θ j1 + a I 2 θ jm a IM θ jm + ξ Ij
4 Modelo multidimensional compensatório de 2 parâmetros : Seja Y ij a resposta do indivíduo j ao item i. Y ij (θ j, ζ i ) Bernoulli(p ij ), p ij = P(Y ij = 1 θ j, ζ i ) = e (a i θ j +d i ) θ j = (θ j1,..., θ jm ). θ jm : traço latente do indivíduo j relacionado à dimensão m. ζ i = (a i, d i ). a i = (a i1,..., a im ), vetor de parâmetros relacionados à discriminação do item i. d i : parâmetro relacionado à dificuldade do item i.
5 Modelo multidimensional compensatório de 2 parâmetros : Seja Y ij a resposta do indivíduo j ao item i. Y ij (θ j, ζ i ) Bernoulli(p ij ), p ij = P(Y ij = 1 θ j, ζ i ) = e (a i θ j +d i ) θ j = (θ j1,..., θ jm ). θ jm : traço latente do indivíduo j relacionado à dimensão m. ζ i = (a i, d i ). a i = (a i1,..., a im ), vetor de parâmetros relacionados à discriminação do item i. d i : parâmetro relacionado à dificuldade do item i.
6 Modelo multidimensional compensatório de 2 parâmetros : Seja Y ij a resposta do indivíduo j ao item i. Y ij (θ j, ζ i ) Bernoulli(p ij ), p ij = P(Y ij = 1 θ j, ζ i ) = e (a i θ j +d i ) θ j = (θ j1,..., θ jm ). θ jm : traço latente do indivíduo j relacionado à dimensão m. ζ i = (a i, d i ). a i = (a i1,..., a im ), vetor de parâmetros relacionados à discriminação do item i. d i : parâmetro relacionado à dificuldade do item i.
7 Modelo multidimensional compensatório de 2 parâmetros : Seja Y ij a resposta do indivíduo j ao item i. Y ij (θ j, ζ i ) Bernoulli(p ij ), p ij = P(Y ij = 1 θ j, ζ i ) = e (a i θ j +d i ) θ j = (θ j1,..., θ jm ). θ jm : traço latente do indivíduo j relacionado à dimensão m. ζ i = (a i, d i ). a i = (a i1,..., a im ), vetor de parâmetros relacionados à discriminação do item i. d i : parâmetro relacionado à dificuldade do item i.
8 Modelo multidimensional compensatório de 2 parâmetros : Seja Y ij a resposta do indivíduo j ao item i. Y ij (θ j, ζ i ) Bernoulli(p ij ), p ij = P(Y ij = 1 θ j, ζ i ) = e (a i θ j +d i ) θ j = (θ j1,..., θ jm ). θ jm : traço latente do indivíduo j relacionado à dimensão m. ζ i = (a i, d i ). a i = (a i1,..., a im ), vetor de parâmetros relacionados à discriminação do item i. d i : parâmetro relacionado à dificuldade do item i.
9 a1 = 0, 5; a2 = 1 ; d = 2 a1 = 0, 5; a2 = 1 ; d = -2 a1 = 1; a2 = 1,5 ; d = 2 a1 = 1; a2 = 1,5 ; d = -2
10 Existe uma inclinação associada á cada dimensão do traço latente. Resumir toda informação em único parâmetro. Dificuldade multidimensional:dificm i = M m=1 a2 im M Discriminação multidimensional (DISCM i ) = m=1 a2 i. d i
11 Parâmetro de dificuldade Suposições: Probabilidade de resposta correta aumenta monotonicamente com o aumento de pelo menos um dos traços letentes. Um item está localizado (posicionado) em un único ponto do espaço multidimensional (dificuldade no caso unidimensional). Utiliza-se o ponto que em que o item possui maior poder de discriminação (maior informação sobre os indivídiuos). Interpretação: De uma forma geral, semelhante ao caso unidimensional Item a i1 a i2 d i DIFICM i 1 1,69 0,21 0,58-0,34 2 1,30 0,14-0,41 0,31 3 0,10 1,85 1,50-0,81
12 Parâmetro de dificuldade Suposições: Probabilidade de resposta correta aumenta monotonicamente com o aumento de pelo menos um dos traços letentes. Um item está localizado (posicionado) em un único ponto do espaço multidimensional (dificuldade no caso unidimensional). Utiliza-se o ponto que em que o item possui maior poder de discriminação (maior informação sobre os indivídiuos). Interpretação: De uma forma geral, semelhante ao caso unidimensional Item a i1 a i2 d i DIFICM i 1 1,69 0,21 0,58-0,34 2 1,30 0,14-0,41 0,31 3 0,10 1,85 1,50-0,81
13 Parâmetro de dificuldade Suposições: Probabilidade de resposta correta aumenta monotonicamente com o aumento de pelo menos um dos traços letentes. Um item está localizado (posicionado) em un único ponto do espaço multidimensional (dificuldade no caso unidimensional). Utiliza-se o ponto que em que o item possui maior poder de discriminação (maior informação sobre os indivídiuos). Interpretação: De uma forma geral, semelhante ao caso unidimensional Item a i1 a i2 d i DIFICM i 1 1,69 0,21 0,58-0,34 2 1,30 0,14-0,41 0,31 3 0,10 1,85 1,50-0,81
14 Parâmetro de dificuldade Suposições: Probabilidade de resposta correta aumenta monotonicamente com o aumento de pelo menos um dos traços letentes. Um item está localizado (posicionado) em un único ponto do espaço multidimensional (dificuldade no caso unidimensional). Utiliza-se o ponto que em que o item possui maior poder de discriminação (maior informação sobre os indivídiuos). Interpretação: De uma forma geral, semelhante ao caso unidimensional Item a i1 a i2 d i DIFICM i 1 1,69 0,21 0,58-0,34 2 1,30 0,14-0,41 0,31 3 0,10 1,85 1,50-0,81
15 Parâmetro de discriminação Suposições: Está relacionada com a inclinação da superfície de resposta ao item. Importante se estabelecer uma direção para a qual se pretende medir a discriminação. É estabelecida a partir do ponto onde a inclinação na direção indicada pelo DIFICM. No exemplo a seguir o item 2 discrimina melhor indivíduos que diferem na segunda dimensão enquanto que o item discrimina melhor indivíduos que diferem na primeira dimensão.
16 Parâmetro de discriminação Suposições: Está relacionada com a inclinação da superfície de resposta ao item. Importante se estabelecer uma direção para a qual se pretende medir a discriminação. É estabelecida a partir do ponto onde a inclinação na direção indicada pelo DIFICM. No exemplo a seguir o item 2 discrimina melhor indivíduos que diferem na segunda dimensão enquanto que o item discrimina melhor indivíduos que diferem na primeira dimensão.
17 Parâmetro de discriminação Suposições: Está relacionada com a inclinação da superfície de resposta ao item. Importante se estabelecer uma direção para a qual se pretende medir a discriminação. É estabelecida a partir do ponto onde a inclinação na direção indicada pelo DIFICM. No exemplo a seguir o item 2 discrimina melhor indivíduos que diferem na segunda dimensão enquanto que o item discrimina melhor indivíduos que diferem na primeira dimensão.
18 Parâmetro de discriminação Suposições: Está relacionada com a inclinação da superfície de resposta ao item. Importante se estabelecer uma direção para a qual se pretende medir a discriminação. É estabelecida a partir do ponto onde a inclinação na direção indicada pelo DIFICM. No exemplo a seguir o item 2 discrimina melhor indivíduos que diferem na segunda dimensão enquanto que o item discrimina melhor indivíduos que diferem na primeira dimensão.
19 Parâmetro de discriminação a1 = 1,9; a2 = 0,7 ; d = 0 a1 = 0,4; a2 = 1,2 ; d = 2
20 É suficiente restringir os traços latentes? Exemplo θ j N M (0, I). Modelo de análise fatorial ortogonal. Os parâmetros a i podem permutar de sinal com os traços latentes, sem mudar a distribuição dos traços latentes (acima). Processo de estimação se encarrega dessa restrição? Em princípio, sim. Tópico em aberto.
21 É suficiente restringir os traços latentes? Exemplo θ j N M (0, I). Modelo de análise fatorial ortogonal. Os parâmetros a i podem permutar de sinal com os traços latentes, sem mudar a distribuição dos traços latentes (acima). Processo de estimação se encarrega dessa restrição? Em princípio, sim. Tópico em aberto.
22 É suficiente restringir os traços latentes? Exemplo θ j N M (0, I). Modelo de análise fatorial ortogonal. Os parâmetros a i podem permutar de sinal com os traços latentes, sem mudar a distribuição dos traços latentes (acima). Processo de estimação se encarrega dessa restrição? Em princípio, sim. Tópico em aberto.
23 É suficiente restringir os traços latentes? Exemplo θ j N M (0, I). Modelo de análise fatorial ortogonal. Os parâmetros a i podem permutar de sinal com os traços latentes, sem mudar a distribuição dos traços latentes (acima). Processo de estimação se encarrega dessa restrição? Em princípio, sim. Tópico em aberto.
24 É suficiente restringir os traços latentes? Exemplo θ j N M (0, I). Modelo de análise fatorial ortogonal. Os parâmetros a i podem permutar de sinal com os traços latentes, sem mudar a distribuição dos traços latentes (acima). Processo de estimação se encarrega dessa restrição? Em princípio, sim. Tópico em aberto.
25 Estimação Se um conjunto de parâmetros é conhecido. Máxima verossimilhança. Métodos bayesianos. Todos os parâmetros desconhecidos. Máxima verossimilhança marginal. Integrais multidimensionais (M): quadratura adaptativa. Passom M: (M+1) equações para serem resolvidas.
26 Estimação Se um conjunto de parâmetros é conhecido. Máxima verossimilhança. Métodos bayesianos. Todos os parâmetros desconhecidos. Máxima verossimilhança marginal. Integrais multidimensionais (M): quadratura adaptativa. Passom M: (M+1) equações para serem resolvidas.
27 Estimação Se um conjunto de parâmetros é conhecido. Máxima verossimilhança. Métodos bayesianos. Todos os parâmetros desconhecidos. Máxima verossimilhança marginal. Integrais multidimensionais (M): quadratura adaptativa. Passom M: (M+1) equações para serem resolvidas.
28 Estimação Se um conjunto de parâmetros é conhecido. Máxima verossimilhança. Métodos bayesianos. Todos os parâmetros desconhecidos. Máxima verossimilhança marginal. Integrais multidimensionais (M): quadratura adaptativa. Passom M: (M+1) equações para serem resolvidas.
29 Estimação Se um conjunto de parâmetros é conhecido. Máxima verossimilhança. Métodos bayesianos. Todos os parâmetros desconhecidos. Máxima verossimilhança marginal. Integrais multidimensionais (M): quadratura adaptativa. Passom M: (M+1) equações para serem resolvidas.
30 Estimação Se um conjunto de parâmetros é conhecido. Máxima verossimilhança. Métodos bayesianos. Todos os parâmetros desconhecidos. Máxima verossimilhança marginal. Integrais multidimensionais (M): quadratura adaptativa. Passom M: (M+1) equações para serem resolvidas.
31 Estimação Se um conjunto de parâmetros é conhecido. Máxima verossimilhança. Métodos bayesianos. Todos os parâmetros desconhecidos. Máxima verossimilhança marginal. Integrais multidimensionais (M): quadratura adaptativa. Passom M: (M+1) equações para serem resolvidas.
32 Estimação a1 = -1,9; a2 = 0,7 ; d = 0 a1 = 0,4; a2 = -1,2 ; d = 0
33 Recursos computacionais Programa Testfact. Modelos compensatórios (parâmetro c deve ser estimado antecipadamente). MVM, MMAP, EAP e MAP implementados. Teste para a escolha do número de dimensões do modelo. Pacto MCMCpack (R). Modelos compensatórios (não permite o ajuste do modelo de 3 parâmetros). Baseado em métodos de MCMC. Contorna problemas com relação ao número de dimensões do modelo.
34 Recursos computacionais Programa Testfact. Modelos compensatórios (parâmetro c deve ser estimado antecipadamente). MVM, MMAP, EAP e MAP implementados. Teste para a escolha do número de dimensões do modelo. Pacto MCMCpack (R). Modelos compensatórios (não permite o ajuste do modelo de 3 parâmetros). Baseado em métodos de MCMC. Contorna problemas com relação ao número de dimensões do modelo.
35 Recursos computacionais Programa Testfact. Modelos compensatórios (parâmetro c deve ser estimado antecipadamente). MVM, MMAP, EAP e MAP implementados. Teste para a escolha do número de dimensões do modelo. Pacto MCMCpack (R). Modelos compensatórios (não permite o ajuste do modelo de 3 parâmetros). Baseado em métodos de MCMC. Contorna problemas com relação ao número de dimensões do modelo.
36 Recursos computacionais Programa Testfact. Modelos compensatórios (parâmetro c deve ser estimado antecipadamente). MVM, MMAP, EAP e MAP implementados. Teste para a escolha do número de dimensões do modelo. Pacto MCMCpack (R). Modelos compensatórios (não permite o ajuste do modelo de 3 parâmetros). Baseado em métodos de MCMC. Contorna problemas com relação ao número de dimensões do modelo.
37 Recursos computacionais Programa Testfact. Modelos compensatórios (parâmetro c deve ser estimado antecipadamente). MVM, MMAP, EAP e MAP implementados. Teste para a escolha do número de dimensões do modelo. Pacto MCMCpack (R). Modelos compensatórios (não permite o ajuste do modelo de 3 parâmetros). Baseado em métodos de MCMC. Contorna problemas com relação ao número de dimensões do modelo.
38 Recursos computacionais Programa Testfact. Modelos compensatórios (parâmetro c deve ser estimado antecipadamente). MVM, MMAP, EAP e MAP implementados. Teste para a escolha do número de dimensões do modelo. Pacto MCMCpack (R). Modelos compensatórios (não permite o ajuste do modelo de 3 parâmetros). Baseado em métodos de MCMC. Contorna problemas com relação ao número de dimensões do modelo.
39 Recursos computacionais Programa Testfact. Modelos compensatórios (parâmetro c deve ser estimado antecipadamente). MVM, MMAP, EAP e MAP implementados. Teste para a escolha do número de dimensões do modelo. Pacto MCMCpack (R). Modelos compensatórios (não permite o ajuste do modelo de 3 parâmetros). Baseado em métodos de MCMC. Contorna problemas com relação ao número de dimensões do modelo.
40 Recursos computacionais Programa Testfact. Modelos compensatórios (parâmetro c deve ser estimado antecipadamente). MVM, MMAP, EAP e MAP implementados. Teste para a escolha do número de dimensões do modelo. Pacto MCMCpack (R). Modelos compensatórios (não permite o ajuste do modelo de 3 parâmetros). Baseado em métodos de MCMC. Contorna problemas com relação ao número de dimensões do modelo.
41 Recursos computacionais Modelo multidimensional compensatório de 3 parâmetros : Seja Y ij a resposta do indivíduo j ao item i. Y ij (θ j, ζ i ) Bernoulli(p ij ), 1 p ij = P(Y ij = 1 θ j, ζ i ) = c i + (1 c i ) 1 + e (a i θ j +d i ) θ j = (θ j1,..., θ jm ). θ jm : traço latente do indivíduo j relacionado à dimensão m. ζ i = (a i, d i, c i ). a i = (a i1,..., a im ), vetor de parâmetros relacionados à discriminação do item i. d i : parâmetro relacionado à dificuldade do item i. c i : probabildiade aproximada de resposta correta ao item i de indivíduos com níveis baixos de traços latentes.
42 Recursos computacionais Modelo multidimensional compensatório de 3 parâmetros : Seja Y ij a resposta do indivíduo j ao item i. Y ij (θ j, ζ i ) Bernoulli(p ij ), 1 p ij = P(Y ij = 1 θ j, ζ i ) = c i + (1 c i ) 1 + e (a i θ j +d i ) θ j = (θ j1,..., θ jm ). θ jm : traço latente do indivíduo j relacionado à dimensão m. ζ i = (a i, d i, c i ). a i = (a i1,..., a im ), vetor de parâmetros relacionados à discriminação do item i. d i : parâmetro relacionado à dificuldade do item i. c i : probabildiade aproximada de resposta correta ao item i de indivíduos com níveis baixos de traços latentes.
43 Recursos computacionais Modelo multidimensional compensatório de 3 parâmetros : Seja Y ij a resposta do indivíduo j ao item i. Y ij (θ j, ζ i ) Bernoulli(p ij ), 1 p ij = P(Y ij = 1 θ j, ζ i ) = c i + (1 c i ) 1 + e (a i θ j +d i ) θ j = (θ j1,..., θ jm ). θ jm : traço latente do indivíduo j relacionado à dimensão m. ζ i = (a i, d i, c i ). a i = (a i1,..., a im ), vetor de parâmetros relacionados à discriminação do item i. d i : parâmetro relacionado à dificuldade do item i. c i : probabildiade aproximada de resposta correta ao item i de indivíduos com níveis baixos de traços latentes.
44 Recursos computacionais Modelo multidimensional compensatório de 3 parâmetros : Seja Y ij a resposta do indivíduo j ao item i. Y ij (θ j, ζ i ) Bernoulli(p ij ), 1 p ij = P(Y ij = 1 θ j, ζ i ) = c i + (1 c i ) 1 + e (a i θ j +d i ) θ j = (θ j1,..., θ jm ). θ jm : traço latente do indivíduo j relacionado à dimensão m. ζ i = (a i, d i, c i ). a i = (a i1,..., a im ), vetor de parâmetros relacionados à discriminação do item i. d i : parâmetro relacionado à dificuldade do item i. c i : probabildiade aproximada de resposta correta ao item i de indivíduos com níveis baixos de traços latentes.
45 Recursos computacionais Modelo multidimensional compensatório de 3 parâmetros : Seja Y ij a resposta do indivíduo j ao item i. Y ij (θ j, ζ i ) Bernoulli(p ij ), 1 p ij = P(Y ij = 1 θ j, ζ i ) = c i + (1 c i ) 1 + e (a i θ j +d i ) θ j = (θ j1,..., θ jm ). θ jm : traço latente do indivíduo j relacionado à dimensão m. ζ i = (a i, d i, c i ). a i = (a i1,..., a im ), vetor de parâmetros relacionados à discriminação do item i. d i : parâmetro relacionado à dificuldade do item i. c i : probabildiade aproximada de resposta correta ao item i de indivíduos com níveis baixos de traços latentes.
46 Recursos computacionais Modelo multidimensional compensatório de 3 parâmetros : Seja Y ij a resposta do indivíduo j ao item i. Y ij (θ j, ζ i ) Bernoulli(p ij ), 1 p ij = P(Y ij = 1 θ j, ζ i ) = c i + (1 c i ) 1 + e (a i θ j +d i ) θ j = (θ j1,..., θ jm ). θ jm : traço latente do indivíduo j relacionado à dimensão m. ζ i = (a i, d i, c i ). a i = (a i1,..., a im ), vetor de parâmetros relacionados à discriminação do item i. d i : parâmetro relacionado à dificuldade do item i. c i : probabildiade aproximada de resposta correta ao item i de indivíduos com níveis baixos de traços latentes.
47 Nojosa, R. T. (2001). para a teoria da resposta ao item. Dissertação de Mestrado. DE, UFPE. Reckase, M. D. (1997). A linear logistic multidimensional model for dichotomous item response data. In W. J. van der Linden and R. K. Hambleton eds. Handbook of modern item response theory. New York-Springer - Verlarg.
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