Físic III - 4320301 Escol Politécnic - 2014 GABARITO DA P2 14 de mio de 2014 Questão 1 A região entre dus cscs esférics condutors concêntrics de rios e b com b > é preenchid com um mteril de resistividde elétric ρ(r) = Cr 2, onde r é distânci té o centro O ds cscs esférics e C é um constnte. Ligndo-se um bteri às cscs esférics como n figur observ-se um corrente I no sentido indicdo. b I O ρ(r) () (1,0 ponto) Clcule o vetor densidde de corrente J n região entre s cscs < r < b. (b) (0,5 ponto) Usndo lei de Ohm, determine o vetor cmpo elétrico entre s cscs esférics. (c) (1,0 ponto) Clcule resistênci desse sistem em função de C, e b. 1
Solução d questão 1 () A corrente flui rdilmente, logo J = J(r)ê r. A corrente que pss por um r S superfície esféric S de rio r concêntric com s dus esfers é I (conservção d crg). Assim, I = S J da = S J(r)dA = J(r) = J(r)r 2 = J(r) = I r 2 êr. S da (b) Pel lei de Ohm, J = σ E = E/ρ. Logo, E = ρ(r) J(r) = CI êr. (c) Podemos clculr R trvés d expressão V = RI, onde V = E d l = b CI dr = CI(b ) = R = V I = C(b ) A mesm solução pode ser obtid diretmente trvés de R = b ρ(r) b A(r) dr = C C(b ) dr =.. 2
Questão 2 A espir d figur, formd por dois rcos circulres de rio e dois ldos retilíneos de comprimento b, é percorrid por um corrente i. Um fio retilíneo muito longo trnsportndoumcorrentei psspelocentrodecurvturdosrcoscirculres(ofionãoestá em contto com espir). O módulo do cmpo mgnético produzido pelo fio é B = µ 0I 2πr, onde r é distânci o fio. z b I 4 1 O 3 x 2 i y () (1,5 pontos) Clcule o vetor forç resultnte exercid sobre cd um dos ldos d espir pelo fio. (b) (1,0 ponto) Clcule o vetor torque resultnte em relção à origem O exercido sobre espir pelo fio. 3
Solução d questão 2 () Forç sobre ldo 1 Forç sobre ldo 3 F 1 = i( b k) F 3 = i(b k) ( ) µ0 I = µ 0iIb 2πĵ 2π î. ( µ ) 0I = µ 0iIb 2πî 2π ĵ. Forç sobre ldos 2 e 4 d F 2 = d F 4 = 0 pois d l B. Logo, F2 = F 4 = 0. (b) Torque sobre cd ldo em relção à origem O ( τ 1 = î+ 2 k b ) F 1 = µ 0iIb 2 ĵ, ( τ 3 = ĵ+ 2 k b ) F 3 = µ 0iIb 2 î, τ 2 = τ 4 = 0 pois d F 2 = d F 4 = 0. Torque resultnte sobre espir em relção à origem O τ = 4 i=1 τ i = µ 0iIb 2 (î+ĵ). 4
Questão 3 Um circuito no plno xy formdo por um semicircunferênci de rio com centro de curvtur n origem e um trecho reto o longo do eixo x é percorrido por um corrente I no sentido indicdo n figur. z P I x I y () (1,5 ponto) Clcule o vetor cmpo mgnético produzido pelo trecho reto no ponto P = (0,0,z). (b) (1,0 ponto) Clcule o vetor cmpo mgnético produzido pelo trecho de semicircunferênci no ponto P = (0,0,z). Ddo: O elemento de linh infinitesiml n semicircunferênci é d l = senθdθî+cosθdθĵ, onde o ângulo θ é medido prtir do eixo x. 5
Solução d questão 3 Lei de Biot-Svrt B = µ 0I d l r r 3. () Trecho reto Portnto B = µ 0I d l = dxî, r = xî+z k. zdxĵ (x 2 +z 2 ) = µ 0I 3/2 2π z 2 +z 2ĵ. (b) Os pontos sobre o rco são ddos por x = cosθ e y = sinθ, onde θ é o ângulo medido prtir do eixo x. Logo, d l = dxî+dyĵ = ( sinθî+cosθĵ)dθ, r = xî yĵ+z k = cosθî sinθĵ+z k. Portnto, B = µ 0I π θ=0 zcosθî+zsinθĵ+ 2 k dθ = µ 0I 2zĵ+π 2 k ( 2 +z 2 ) 3/2 ( 2 +z 2 ). 3/2 6
Questão 4 Um tubo de cobre muito longo de rio interno 2 e rio externo 4 é percorrido por um corrente I uniformemente distribuíd sindo d págin (sentido positivo do eixo z). 6 y P C 4 2 A O B 6 D x () (1,5 pontos) Determine o vetor cmpo mgnético em coordends crtesins (isto é, n form B = B x î+b y ĵ+b z k) nos pontos A = (0,), B = (3,0) e C = (6,6). (b) (0,5 ponto) Determine integrl de linh do cmpo mgnético o longo do cminho fechdo ODCPO, onde D = (6,0) e P = (0,6), no sentido indicdo. (c) (0,5 ponto) Determine integrl de linh do cmpo mgnético o longo do trecho DCP, no sentido indicdo. 7
Solução d questão 4 () Aplicndo lei de Ampère obtemos B = µ 0 I int φ/2πr. No ponto A I int = 0. Logo, B = 0. No ponto B I int = π[(3)2 (2) 2 ] π[(4) 2 (2) 2 ] I = 5I 12. Logo, B µ 0 (5I/12) = (ĵ) = 5µ 0I 2π(3) 72πĵ. No ponto C I int = I. Logo, B = µ 0 I 2π(6 2) ( ) î+ĵ = µ 0I 2 2 ( î+ĵ). (b) Pel lei de Ampère circulção o longo de ODCPO é ODCPO B d l = µ 0 I int = µ 0I 4. (c) Como d l B nos trechos OD e PO o resultdo é igul o do item (b). DCP B d l = ODCPO B d l = µ 0I 4. 8
d B = µ 0I Formulário I = dq dt = nqv da, J = nq vd, J = I/A, J = σ E, σ = 1/ρ, d l r r 2 dr = ρ dl A, V = RI, d F = Id l B, τ = r F, = µ 0I d l r, B d r l = µ 3 0 I int, dx (x 2 + 2 ) 3/2 = x 2 x 2 + 2. 9