Sumáio Objctivos Sumáio: Placas Ciculas Objctivos a Aula: Apnsão os Métoos Solução a Equação Lagang paa Placas Ciculas cagaas apoiaas simticamnt. Abil
Abil
Placas Ciculas O Sistma Eixos é um sistma coonaas cilínicas qu tm a oigm sob o plano méio é tal qu as coonaas um ponto são as sguints: z - istância o ponto P ao plano méio - istância o ponto P ao ixo simtia θ - ângulo fomao pla icção finia plo ponto cosponnt ao cnto a placa com a pojcção o ponto P no plano méio uma icção pviamnt finia no plano méio. Abil 3
Placas Ciculas P x 3 z x σ z x 3 z τ z τ z τθz P θ θ x σ τ θ τ θ σ θ θ Coonaas o Ponto P Tnso as Tnsõs Abil 4
Placas Ciculas No caso s consia simtia a solicitação apoio, o tnso as tnsõs toma a foma sguint: σ 0 τz T 0 τ z σ 0 θ 0 0 σ τ z σ θ θ M M θ θ T Abil 5
Placas Ciculas Os Esfoços Unitáios, momnto flcto, momnto cicunfncial sfoço Tansvso, são: M σ z z, M σ z z T θ θ τ z z Consiam-s Válias, paa as placas ciculas a consia, as Hipótss Kichhoff consiaas paa as placas ctangulas. Abil 6
Placas Ciculas Vcto Dslocamntos, caso gal: {} u u Vcto Dslocamntos no caso hav simtia solicitação apoio: u { u} ω u θ ω Abil 7
Placas Ciculas ω ω() ω u z tangφ φ Pqunos Dslocamntos x 3 z P φ tang φ φ ω P φ u z ω u Abil 8
Placas Ciculas As xtnsõs pom fini-s m tmos os slocamntos o sguint moo: u u θ ε ε θ θ u Ou sja tno m conta o campo slocamntos u z ω ω ω() ω ε z ε θ z ω Abil 9
Placas Ciculas laçõs Tnsõs - Dfomaçõs σ E ν ( ε ν ε ) σ ( ε ν ε ) θ θ θ on E é móulo Young ν o coficint Poisson E ω ν ω σ z ν E ω ω σ θ z ν E ν Abil 0
Abil Placas Ciculas Os sfoços unitáios são z z E M / / ω ν ω ν z z E M / / ω ν ω ν θ D M D M ω ν ω ω ν ω θ ( ) 3 E D ν igiz à Flxão
Placas Ciculas M θ θ M θ M θ θ/ p θ θ/ As quaçõs quilíbio a sm consiaas são: - Equilíbio momntos no plano z; - Equilíbio foças sguno o ixo os zz. T θ Abil
Placas Ciculas A quação quilíbio momntos na icção aial é: M M θ θ ( ) θ M θ M θ T 0 a qual spzano os infinitésimos om supio à pimia s tansfoma m: M M Mθ T 0 Abil 3
Placas Ciculas A quação quilíbio foças sguno o ixo os z z é: T T θ Dspzano os infinitésimos om supio à pimia a quação quilíbio foças scv-s o sguint moo: ( ) θ T θ p ( ) 0 ( T) p ( ) Abil 4
Placas Ciculas Atnno às quaçõs qu lacionam os sfoços com os slocamntos tansvsais w, a quação quilíbio momntos po scv-s o sguint moo: ω T D Abil 5
Placas Ciculas Placas Submtias a uma Caga Unifommnt Distibuía O sfoço tansvso T tmina-s po intgação a quação sguint atnno a qu p() é constant igual à intnsia a caga unifommnt istibuía p qu no cnto a placa o sfoço tansvso é nulo, ( T) p ( ) ou po quilíbio icto foças no intio a scção cilínica aio, isto é: p T π T π p Abil 6
Placas Ciculas Sujitas a uma Caga Unifommnt Distibuía Paa placas sujitas a cagas unifommnt Distibuías a quação quilíbio momntos toma a foma ω Po intgação sta quação obtém-s as quaçõs sguints: 3 ω p C C 6 D As Constants Intgação são Calculaas a pati as Coniçõs Fontia p 4 ω C 64D C 4 n p D C 3 Abil 7
Placas Ciculas Sujitas a uma Caga unifommnt istibuía Placa Encastaa p p Coniçõs T Fontia: paa 0 é ω / 0 paa é ω / 0 ω 0 a) T 3 p 6D C b) 0 3 p 6D C C 0 0 4 p 64D 4 p 3D C 3 0 Abil 8
Placas Ciculas Sujitas a uma Caga unifommnt istibuía Po solução as quaçõs antios, obtém-s as sguints constants 4 p p C 0, C C3 8D 64D Equação a Supfíci Flctia ω 4 p 64 D p 3 D 4 p 64 D O Dslocamnto Tansvsal Máximo ω max p 4 64 D Abil 9
Placas Ciculas Sujitas a uma Caga Unifommnt Distibuía ω p 6 D A inclinação é: ( ) As cuvatuas pincipais a supfíci flctia χ ω / p ( 3 )/6 D χ θ ω p ( )/6 D Os Momntos M p ( ν ) ( 3 ν) [ ]/ 6 [ ( ν) ( 3 ν) ]/ 6 M θ p Abil 0
Placas Ciculas Sujitas a uma Caga Unifommnt Distibuía p σ, σ θ σ c 3(ν)p 8 σ c 0 σ θ σ σ - 3 4 p σ θ 3 4 ν p Abil
Placas Ciculas Sujitas a uma Caga Unifommnt Distibuía Placa Simplsmnt Apoiaa no Boo Extio p Coniçõs Contono Paa 0 ω / 0 paa M 0 ω 0 Abil
Placas Ciculas Submtia a Momntos Flctos nos Boos Intio Extio Placas Foma Anula Simplsmnt Apoiaas no Contono Extio M M i M i M ω 0 i ω/ C / C / ω C / 4 C n / C3 Abil 3
Abil 4 Placas Ciculas Submtia a Momntos Flctos nos Boos Intio Extio Coniçõs Fontia ( ) ( ) i i M C C D ν ν ( ) ( ) M C C D ν ν 0 C 4 C 3 ( ) ( ) ( ) i i i D / M M C ν ( ) ( ) ( ) i i i D / M M C ν ( ) ( ) ( ) i i i 3 D / M M C ν paa i M M i paa M M paa ω 0
Placas Ciculas Submtias a Uma Caga Unifommnt Distibuía no Boo Intio Placas Foma Anula Simplsmnt Apoiaas no Contono Extio T π i To / π T P / π T o i T o Equação o Equilíbio ω P/πD Abil 5
Placas Anulas Unifommnt Cagaas p Esfoço Tansvso i T p/ P/π Ppπi Equação Equilíbio ω p P D π Abil 6
Placas Anulas Encastaas no Boo Intio i P M i O poblma uz-s à consiação uma placa anula simplsmnt apoiaa ao longo o contono xtio submtia a uma istibuição o momnto Mi ao longo o contono intio, com M 0, a uma caga unifommnt istibuía ao longo o contono intio sultant P. Os momntos acção Mi qu são sconhcias, tminam-s tno m conta qu na scção ncastamnto a inclinação ω/ é nula no contono intio. Abil 7