6. Lei de Gauss Φ E = EA (6.1) A partir das unidades SI de E ( N / C ) e A, temos que o fluxo eléctrico tem as unidades N m 2 / C.

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1 6. L d Gauss Tópcos do Capítulo 6.1. Fluxo léctco 6.. L d Gauss 6.3. Aplcaçõs da L d Gauss 6.4. Condutos m ulíbo lctostátco 6.1 Fluxo léctco Agoa u dscvmos o concto d lnhas do campo léctco ualtatvamnt, usamos um concto novo, o d fluxo léctco, paa lda com as lnhas do campo léctco d mana uanttatva. O fluxo léctco é uma gandza popoconal ao númo das lnhas do campo léctco u pntam alguma supfíc. (Podmos dfn somnt uma popoconaldad, pos é abtáo o númo d lnhas u scolhmos dsnha.) Consd pmamnt um campo léctco u sja unfom m módulo (magntud) dcção, como na Fgua 6.1. As lnhas do campo pntam uma supfíc ctangula plana d áa A, u é ppndcula ao campo. Lmb-s u o númo d lnhas po undad d áa é popoconal à ntnsdad do campo léctco. O númo d lnhas u pntam a supfíc da áa A é, potanto, popoconal ao poduto A. O poduto da magntud do campo léctco pla áa da supfíc A ppndcula ao campo é chamado d fluxo léctco : A (6.1) A pat das undads SI d ( N / C ) A, tmos u o fluxo léctco tm as undads N m / C. Fgua 6.1. Lnhas d campo paa um campo léctco unfom ntando num plano d áa A ppndcula ao campo. O fluxo léctco atavés dsta áa é gual a A. S a supfíc m ustão não fo ppndcula ao campo, o númo d lnhas atavés dssa supfíc tá d s mno do u aul dado pla uação 6.1. Isso pod s compnddo consdando-s a Fgua 6. ond a nomal à supfíc d áa A faz um ângulo θ m lação ao campo léctco unfom. Obsv u o númo d 100

2 lnhas u cuzam ssa áa é gual ao númo u cuza a áa pojctada A', u é ppndcula ao campo. Vmos a pat da Fgua 6. u as duas áas stão laconadas po A' A cos θ. Como o fluxo atavés da áa A é gual ao fluxo atavés da áa A', concluímos u o fluxo dsjado é A cos θ (6.) Fgua 6.. Lnhas d campo paa um campo léctco unfom numa áa A u faz um ângulo θ m lação ao campo. Como o númo d lnhas u atavssa a áa sombada A' é gual ao númo d lnhas u atavssa A, concluímos u o fluxo total atavés d A' é gual ao fluxo atavés d A é dado po A cosθ. A pat dss sultado, vmos u o fluxo atavés d uma supfíc d áa fxa tm o valo máxmo A uando a supfíc é ppndcula ao campo (ou sja, uando a nomal à supfíc é paalla ao campo, sto é, θ 0 ); o fluxo é zo uando a supfíc é paalla ao campo (uando a nomal à supfíc é ppndcula ao campo, sto é, θ 90 ). m stuaçõs mas gas, a ntnsdad a dcção do campo léctco podm vaa na supfíc m ustão. Potanto, a mnos u o campo sja unfom, nossa dfnção d fluxo dada pla uação 6. tm sgnfcado somnt sob um puno lmnto d áa. Consd uma supfíc gal dvdda m um gand númo d lmntos punos, cada um com áa A. A vaação no campo léctco sob o lmnto pod s dspzada s o lmnto fo puno o bastant. É convnnt dfn um vcto A cujo módulo psnta a áa do ésmo lmnto cuja dcção é dfnda como ppndcula à supfíc (Fgua 6.3). O fluxo léctco atavés dss lmnto puno é A cos θ A ond usamos a dfnção do poduto scala d dos vctos ( A B ABcosθ ). Somando as contbuçõs d todos os lmntos, obtmos o fluxo total atavés da supfíc. S fzmos a áa d cada lmnto apoxma-s d zo, ntão o númo d lmntos s apoxma do nfnto a soma é substtuída po uma ntgal. Consuntmnt, a dfnção gal do fluxo léctco é 101

3 lm A A 0 supfíc. da (6.3) sta uação é uma ntgal d supfíc, u tm d s calculada sob a supfíc m ustão. m gal, o valo do fluxo dpnd do padão do campo do tpo d supfíc. Fgua 6.3. Um puno lmnto da supfíc d áa A. O campo léctco faz um ângulo θ com a nomal à supfíc (a dcção d A ) o fluxo atavés do lmnto é gual a A cos θ. Nomalmnt stamos ntssados m calcula o fluxo léctco atavés d uma supfíc fchada. Uma supfíc fchada é dfnda como aul u dvd compltamnt o spaço m uma gão ntna m uma gão xtna, d modo u o movmnto não possa oco d uma gão paa a outa sm nta na supfíc. A supfíc d uma sfa é um xmplo d uma supfíc fchada, nuanto um copo é uma supfíc abta. Consd a supfíc fchada na Fgua 6.4. Obsv u os vctos A apontam m dcçõs dfnts paa os váos lmntos da supfíc. m cada ponto, sss vctos são ppndculas à supfíc, po convnção, smp apontam paa foa da gão ntna. No lmnto otulado d 1, é paa foa θ < 90 ; potanto, o fluxo A atavés dss lmnto é postvo. Paa o lmnto, as lnhas do campo são tangnts à supfíc (ppndcula ao vcto A ); assm, θ 90, o fluxo é zo. Paa lmntos tas como 3, ond as lnhas do campo stão ntcptando a supfíc d foa paa dnto, 180 > θ > 90 o fluxo é ngatvo pou cos θ é ngatvo. O fluxo sultant atavés da supfíc é popoconal ao númo sultant d lnhas u ntam na supfíc, ond o númo sultant sgnfca o númo u sa do volum nglobado pla supfíc mnos o númo u nta no volum. S mas lnhas stvm sando da supfíc do u ntando, o fluxo sultant é postvo. S mas lnhas stvm ntando do u sando da supfíc, o fluxo sultant é ngatvo. Usando o símbolo paa psnta uma ntgal sob uma supfíc fchada, podmos scv o fluxo sultant atavés d uma supfíc fchada como. da da (6.4) ond n psnta a componnt do campo léctco nomal à supfíc. n 10

4 Fgua 6.4. Uma supfíc fchada num campo léctco. Po convnção, os vctos d áa A são nomas à supfíc apontam paa foa. O fluxo atavés d um lmnto d áa pod s postvo (lmnto 1), zo (lmnto ) ou ngatvo (lmnto 3). 6.. L d Gauss Nsta scção dscvmos uma lação gal nt o fluxo léctco sultant atavés d uma supfíc fchada a caga no nto da supfíc. sta lação, conhcda como l d Gauss, é d mpotânca fundamntal no studo dos campos lctostátcos. Pmo vamos consda uma caga pontual postva stuada no cnto d uma supfíc sféca d ao, como na Fgua 6.5. As lnhas do campo adam paa foa, potanto, são ppndculas (ou nomas) à supfíc m cada ponto. Isto é, m cada ponto sob a supfíc, é paallo ao vcto A u psnta o lmnto local d áa A. Consuntmnt, m todos os pontos sob a supfíc A A A a pat da uação 6.4 obtmos u o fluxo sultant atavés da supfíc é pos é constant sob a supfíc. n n da da da A 103

5 Fgua 6.5. Uma supfíc sféca gaussana d ao ccundando uma caga pontual. Quando a caga stá no cnto da sfa, o campo léctco é nomal à supfíc tm magntud constant m ualu luga da supfíc. Sabmos u a magntud do campo léctco m toda pat na supfíc da sfa é k. Além dsso, paa uma supfíc sféca, A 4π (a áa da supfíc d uma sfa). Logo, o fluxo sultant atavés da supfíc é A k ( 4π ) 4πk Rcodando u k 1 4πε 0, podmos scv o fluxo na foma (6.5) ε 0 ss sultado, u é ndpndnt d, dz u o fluxo sultant atavés d uma supfíc sféca é popoconal à caga no nto da supfíc. sta é uma psntação matmátca do fato d u (1) O fluxo sultant é popoconal ao númo d lnhas do campo () O númo d lnhas do campo é popoconal à caga no nto da supfíc (3) Toda lnha do campo a pat da caga tm d atavssa a supfíc. O fato d u o fluxo sultant é ndpndnt do ao é uma consuênca da dpndênca do nvso do uadado da dstânca, paa o campo léctco. Isto é, vaa como 1 /, mas a áa da sfa vaa como. O fto combnado dssas duas vaaçõs poduz um fluxo u é ndpndnt d. Consd agoa dvsas supfícs fchadas u nvolvm uma caga como na Fgua 6.6. A supfíc S 1 é sféca, nuanto as supfícs S S 3 não são sfécas. O fluxo u atavssa a supfíc S 1 tm magntud. Como dscutmos na scção pcdnt, o fluxo é popoconal ao númo d lnhas d campo léctco u atavssam ssa supfíc. A constução na Fgua 6.6 mosta u o númo d lnhas do campo léctco atavés da supfíc sféca S 1 é gual ao númo d lnhas do campo léctco atavés das supfícs não sfécas S S 3. Potanto, é azoávl conclu u o fluxo sultant atavés d ualu supfíc fchada é ndpndnt da ε 0 104