Placas Circulares 5.1. Capítulo 5

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1 lacas culas 5. aítulo 5 lacas culas 5. Itoução O cálculo aalítco as lacas cculas é ossívl, o caso xst smta as coçõs cotoo as coçõs solctação m lação ao xo omal à sufíc méa assao lo cto a laca, xo smta. Nstas coçõs a tgação aalítca a quação qulíbo é smls sá objcto stuo st caítulo. No caso ão xst smta gométca /ou smta axal as coçõs cotoo /ou smta solctação a tgação aalítca a quação qulíbo as lacas cculas xa s ossívl tm co-s a métoos aoxmaos. É o caso, o xmlo, as lacas fuaas utlzaas os mutaos calo, as lacas aoaas um úmo scto otos ao logo a fota, lacas foçaas amtalmt, lacas sujtas a cagamtos ão smétcos, tc., como s sta a fgua 5.. aa o stuo as lacas cculas é covt utlza-s um sstma fêca m cooaas clícas, so a ogm as cooaas coct com o cto a laca ats a fomação. O sstma xos cooaos qu vamos cosa é tal qu

2 lacas culas 5. Fgua 5.: lacas vsas. a osção um oto a laca ccula fca tamt fo, como s sta a fgua 5., las cooaas sguts: z - stâca o oto ao lao méo - stâca o oto ao xo smta θ - âgulo fomao la cção fa lo oto cosot ao cto a laca com a ojcção o oto o lao méo uma cção vamt fa o lao méo. om obt-s as quaçõs lvats aa a aáls lacas cculas atavés uma muaça cooaas o sstma xos Ox, x, x aa o sstma xos Oθz as quaçõs obtas o aítulo, é o tato mas tssat uz-las ctamt o sstma xos Oθz. As comots ts o tso as tsõs m cooaas clícas, acoo com a fgua., são: σ, σθ, σz - tsõs omas; τ θ, τz, τzθ - tsõs tagcas No caso xst smta gométca, smta solctação smta as coçõs cotoo, algumas as comots o tso as tsõs fas são ulas. Nas scçõs laas z as tsõs tagcas τ θ τ θz são ulas la smta xstt as tsõs σ θ stão gualmt stbuías. Nas scçõs fomaas o sufícs

3 lacas culas 5. x z x x z θ θ x Fgua 5.: Sstma Exos ooaos. σ z τ z τ z τθz σ τ θ τ θ σ θ θ Fgua 5.: Tso as Tsõs m ooaas lícas. lícas cujo xo volução sja o xo as zz, as tsõs tagcas τ θ são ulas as tsõs tagcas τ z omas σ stão gualmt stbuías m toa a scção. Amto qu são válas as hótss Kchhoff aa lacas fas fas o caítulo ato a tsão omal σ z, aa lacas cculas sssua sufctmt qua, é szávl quao comaaa com os valos os outos lmtos o tso as tsõs, {σ σ τ }. Nstas coçõs o tso as tsõs toma a foma sgut: θ z

4 lacas culas 5. σ 0 τz 0 σθ 0 τz 0 0 As tsõs actuao um lmto volum v msão, θ z, stão staas a fgua 5.. Ato à smta xstt, as tsõs são ts o âgulo θ m aas a stâca ao cto a laca. As quaçõs qulíbo stablcm-s mas faclmt m tmos os sfoços utáos, θ T qu são sctvamt os momtos aal ccufcal o ua commto sfoço tasvso o ua commto, fgua 5.. Ests sfoços utáos fm-s a at as tsõs, o sgut moo: σ z z, σ z z T θ θ As msõs os sfoços utáos θ são as msõs um momto o ua commto, N.m/m as o sfoço cotat T são as msõs uma foça o ua commto, N/m. Nas xssõs 5. a tgação ocssa-s ao logo sssua a laca qu é sgaa o. τz z T σ τz σ θ θ θ θ T Fgua 5.: Tso as tsõs.

5 lacas culas Equação Equlíbo. lacas culas Submtas a Solctaçõs omas ao lao éo 5.. fção as fomaçõs A ogm o sstma xos cooaos é cosaa o cto a laca ats a fomação. Os otos gualmt stats o cto a laca sofm slocamtos guas so otato sufct stua o comotamto um oto a um stâca, vaávl t o, o cto a laca, so o ao a laca. sga-s o {u} o vcto slocamtos qu é costtuío o tês slocamtos, um slocamto aal u, um slocamto ccufcal u θ slocamto tasvsal ω, ou sja: {} u u u θ ω 5. la smta aal xstt o caso as lacas cculas a comot u θ o slocamto é ula otato só tm cosa-s os slocamtos aal u tasvsal ω, so otato o vcto {u} fo o: u u 5.5 ω {} Ato às hótss Kchhoff válas aa lacas fas os otos omas à sufíc méa ats a fomação macm omas ao folhto méo fomao aós a fomação, fgua 5.5. o slocamto aal u, sofo o um oto a uma stâca z o oto méo, é otato oocoal à stâca z, ou sja: u z tag φ 5.6

6 lacas culas 5.6 ω φ x z φ φ u Fgua 5.5: slocamto aal. Ato a qu os slocamto tasvsas, ω, amssívs são quos quao comaaos com a sssua,, a laca, é lgítmo afma qu: ω tag φ φ 5.7 Substtuío a xssão (5.7) m (5.6) o slocamto aal é fo o: u ω z 5.8 Not-s qu s o cosa a vaa total uma vz qu ω só. As xtsõs ε ε θ om f-s m tmos os slocamtos u u θ o sgut moo:

7 lacas culas 5.7 ε u u θ u ε θ 5.9 θ Ato a qu o slocamto u θ é ulo o slocamto u é fo la quação 5.8, as xssõs 5.9, tasfomam-s m: ω z ω ε z ε θ 5.0 O stao fomação um oto fca ftamt tmao s fo cohca a quação a fomaa ω ω (), a stâca o oto ao xo volução,, a stâca o oto à sufíc méa, z. 5.. laçõs t Tsõs fomaçõs As tsõs σ σ θ stão lacoaas com as xtsõs ε ε θ atavés a l Hook o sgut moo: σ E E ( ε ε ) σ ( ε ε ) θ θ θ 5. o E é móulo Youg o cofct osso Substtuo ε ε θ los sctvos valos m fução os slocamtos qu são fos las quaçõs 5.0, as quaçõs 5. tasfomam-s m: σ E ω z ω E ω ω σ θ z 5.

8 lacas culas 5.8 As tsõs vaam lamt ao logo o xo os zz, so ulas o lao méo atgo o valo absoluto máxmo as sufícs fos suos qu cosom a z ± /. Ato às ls quvalêcas Estátca, 5. à l Hook 5., om lacoas os sfoços utáos θ com o slocamto tasvsal ω, o sgut moo: E ω ω / / z z E ω ω / z z / θ 5. ou sja: θ ω ω 5. ω ω E o é usualmt sgao o óulo gz à flxão lacas ( ) como já fo fo atomt. O momto aal o ua commto,, actua ao logo as scçõs cócas a laca fomaa o momto ccufcal o ua commto, θ actua ao logo scçõs amtas a laca. Ests sfoços utáos ocom aa uma stâca ao cto a laca. As quaçõs (5.) aa os sfoços utáos ão têm m cota o fto foças cot ssão latal, so otato aoxmaas a maoa os casos xactas o caso atcula a sufíc flcta s sféca. O o touzo ão é sgfcatvo aa o caso lacas fas submtas a cagas ão coctaas.

9 lacas culas Equação Equlíbo os-s um lmto ftsmal volum msõs θ, z como s sta a fgua 5.7, os sfoços utáos qu vm cosa-s st lmto volum são a scção clíca ao, T a scção clíca ao são / T T /. Nas scçõs laas qu cotêm o cto a laca são omas ao lao méo, os sfoços actuats são θ. As quaçõs qulíbo a sm cosaas são: - Equlíbo momtos o lao z; - Equlíbo foças sguo o xo os zz. θ θ/ θ θ ( ) θ θ/ θ θ T T ( ) θ T θ Fgua 5.7: Esfoços Utáos um Elmto Iftsmal. Os momtos sultats o lao z são: - θ - momto sultat o sfoço utáo ( ) θ -momto sultat o sfoço utáo

10 lacas culas θ θ - momto sultat os momtos θ T θ - momto sultat as foças vas ao sfoço cotat T T. Tθ ( ) θ A quação qulíbo momtos é: ( ) T 0 θ θ θ θ θ 5.5 a qual szao os ftésmos om suo à ma s tasfoma m: θ T Ato às quaçõs (5.), qu lacoam os sfoços com os slocamtos tasvsas ω, a quação qulíbo momtos (5.6), o scv-s o sgut moo: ω T 5.7 aa a tmação o sfoço tasvso, T, é cssáo cosa o qulíbo foças sguo o xo os zz. As foças xstts sguo o xo os zz são: - () θ - sultat a foça xto stbuo o ua sufíc. - T θ sultat o sfoço utáo T. T sultat os sfoços utáos quação qulíbo foças sguo o xo os z z é: - T ( ) θ T T a scção. A T T ( ) θ T θ ( ) θ 0 5.8

11 lacas culas 5. szao os ftésmos om suo à ma a quação qulíbo foças scv-s o sgut moo: ( T) ( ) 5.9 A tgação a quação (5.7) ão ofc fculas s qu cohçamos o sfoço tasvso T m fução o ao. A obtção T faz-s o tgação a quação qulíbo foças (5.9). O valo T m fução o ao a caga xto va a fução () cosaa. As quaçõs qulíbo foam obtas cosao o qulíbo foças o sstma xos Oθz mas oam t so obtas cosao as quaçõs qulíbo o sstma xos Oxyz cosao a muaça cooaas Oxyz m Oθz. 5. lacas Submtas a uma aga Ufommt stbuía O sfoço tasvso T como s sta a fgua 5.8, tma-s o tgação a quação (5.9), ato a qu () é costat gual à tsa a caga ufommt stbuía qu o cto a laca o sfoço tasvso é ulo, ou o qulíbo cto foças o to a scção clíca ao, sto é: T ou sja T 5.0 substtuo st valo T a quação (.7) obtém-s: ω 5. o tgação sta quação obtém-s as quaçõs sguts: ω 6 5.

12 lacas culas 5. ω 6 T T b) a) Fgua 5.8: lacas submtas a uma caga ufommt stbuía. As costats tgação, são calculaas a at as coçõs cotoo as coçõs o cto a laca qu são cohcas o coçõs fota. 5.. laca Ecastaa o Boo Exto Nst caso as coçõs fota são: ω / 0 aa 0 é ω / 0 aa é ω 0 o é o ao o cotoo xto a laca. Substtuo as coçõs (5.) as quaçõs (5.), obtém-s:

13 lacas culas o solução as quaçõs atos, obtém-s as sguts costats: 0, To m cota os valos as costats, (5.5), a quação a sufíc flcta, (5.), tasfoma-s m: 6 6 ω ou sja ( ) ω O slocamto tasvsal máxmo oco o cto a laca é: ω max A clação é: ω 6 ( ) 5.8 As cuvatuas cas a sufíc flcta, são: χ ω / ( )/6 ; ω ( )/6 χ θ 5.9 Os momto flctos θ obtém-s a at as xssõs (5.) (5.9), são: [ ( ) ( ) ]/ 6 [ ( ) ( ) ]/ 6 θ 5.0

14 lacas culas 5. Os momtos o cto a laca são: ( ) ( ) ( ) / 6 c 0 θ 0 5. Os momtos o castamto são: ( ) / 8 ( ) / 8 θ 5. O momto máxmo é o momto aal o castamto (5.), ao qual coso a tsão máxma: σ ± 5. σ, σ θ σ c () 8 σ c 0 σ θ σ σ - σ θ Fgua 5.9: fomaa tsõs aa uma laca Ecastaa os Extmos. O sal a cosa a xssão (5.) a fac m qu tmos tma a tsão, o xmlo, a fac fo, sta m tacção ou comssão. Assm s a caga alcaa tv o sto cosot ao sto ostvo o xo os zz, acoo com a fgua 5.8, a fac suo stá m comssão lo qu o sal a usa a xssão (5.) é o sal (-) a fac fo stá m tacção o sal a usa é o sal ().

15 lacas culas 5.5 A foma aoxmaa a fomaa a vaação as tsõs τ τ θ a cção aal stão staas a fgua laca Smlsmt Aoaa o Boo Exto As costats, a quação (5.) tmam-s ato às coçõs cotoo qu são: aa 0 ω / 0 aa 0 5. ω 0 Fgua 5.0: laca smlsmt aoaa. o: ω 0 ( /6 / / ) 0 ou 0 0 ( ) /6 / ( /6 / ) 0 ou sja: 8 ( ) ( )

16 lacas culas 5.6 ( ω ) / 6 ( ) / ( ) 0 ou sja: Substtuo as costats, acabaas tma, (5.5), a quação (5.) obtém-s a quação a sufíc flcta qu é: ( ) ( 5 ) ( ) ω A clação um oto qualqu é: ( ( ) / ( ) ) /6 ω / 5.7 O slocamto tasvsal máxmo oco o cto a laca é: max ( 5 ) / ( ) 6 ω 5.9 omaao st valo aa o slocamto máxmo a laca smlsmt aoaa com o slocamto máxmo aa a laca castaa vfcamos qu st valo é sgfcatvamt mao aa as msmas coçõs gométcas cagamto. aa valos t st slocamto (5.9), é 5 a,5 vzs mao qu o slocamto máxmo (5.7) cosot à laca castaa ao logo o cotoo xto. Os momtos flctos θ são: ( ) ( )/ 6 [( ) ( ) ]/ θ

17 lacas culas 5.7 O momto máxmo oco o cto a laca é ao o: c ( ) ( ) / 6 5. θ 0 A tsão máxma oco o cto a laca é: ( σ ) / ( ) / 8 max 6 c 5. σ, σ θ σ c () 8 σ c σ θ () σ () 8 ( - ) Fgua 5.: fomaa Tsõs. Os momtos o cotoo são: ( ) / 8 ou ( σ ) ( ) / 0 5. θ θ O aamto a fomaa cojutamt com a vaação tsõs a cção aal stá stao a fgua 5..

18 lacas culas lacas culas Submtas a uma caga otual o to a laca As hótss Kchhoff fas o aágafo. são válas st caso, oém óxmo o oto alcação a caga ão omos z qu τ xz 0 stas hótss só são válas aa otos afastaos o cto a laca. A uma stâca,, o cto a laca o sfoço tasvso total é o T v qulba a caga alcaa, lo qu o sfoço utáo T é: Fgua 5.: laca Ecastaa Sujta a uma Solctação otual T / 5. A quação fcal qulíbo é: ω 5.5 tgao 5.5 obtém-s:

19 lacas culas 5.9 ( ) / 8 / / ω / ( ) / 8 / ω 5.6 As costats, tmam-s ato às coçõs o cotoo o cto a laca. 5.. laca Ecastaa As coçõs cotoo uma laca castaa ao logo o cotoo xto são: aa 0 ω / 0 aa ω / ω o s obtém: 0 ( ) / 5.8 /6 A quação a sufíc flcta é: ω a clação é: ω 5.50

20 lacas culas 5.0 os momtos flctos cosots são: ( ) θ ( ) υ 5.5 No castamto os momtos são: θ 5.5 O slocamto tasvsal máxmo oco o cto é: ω máx As xssõs (5.5) aa os momtos flctos são válas aa otos a laca ão muto óxmos o oto alcação a caga. aa otos muto óxmos o oto alcação a caga as tsõs τ xz já ão om sza - s quao comaaas coma as tsõs flxão st caso tmos cosa a laca como um sólo tmsoal to o oto alcação a caga, com um xo smta. O stao tsão óxmo o oto alcação a caga fo tmao o Naa o Woowsk-Kg. O valo a tsão o cto a laca, obto o Woowsk-Kg, vo à flxão é aoxmaamt: máx 5 ( ) 0,85 0, σ 5.5 Woowsky-Kg, Ig.-Ach.,Vol, ag. 05 Náa, Elastsch latt, ag. 08

21 lacas culas 5. As xssõs obtas aa o slocamto tasvsal, (5.9) (5.5), coo à toa lmta as lacas cculas om s cosaas msmo aa otos óxmos o oto alcação a caga, mboa o o comto sja lvao. aa a tmação as msõs uma laca ccula cagaa o uma caga otual o cto a laca o-s utlza a xssão (5.5), mboa aa as sssuas latvamt lvaas a tsão σ z ossa toa-s omat ss caso a tsão máxma ão é flxão. 5.. laca Smlsmt Aoaa As coçõs fota o caso a laca sta smlsmt aoaa ao logo o cotoo xto, fgua 5., são: Fgua 5.: laca Smlsmt Aoaa. aa 0 ω/ 0 aa 0 ω otato: 0 [( )( ) ( ) ]/ 8 ( ) 5.56 ( ) /6 ( ) osqutmt a clação a fomaa são sctvamt:

22 lacas culas 5. ω / / 5.57 ( ) ( ) ( ) ( ) ω / O slocamto tasvsal máxmo, a flcha o cto a laca, é: ( ) ( ) ωmax a clação o cotoo é: ω / 5.60 ( ) Os momtos flctos são: ( ) θ ( ) ( ) 5.6 No cto a laca é θ otato as xssõs (.60), xam s válas o cto a laca. A tsão máxma oco o cto a laca acoo com Woowsk-Kg é aa o: Woowsk-Kg, Ig.-Ach.,Vol, ag. 05

23 lacas culas 5. ( ) τ max Esta tsão f-s à fac fo a laca qu s cota à tacção é uma tsão va à flxão a laca. No caso s tata lacas sssas a tsão τ xz o t um valo suo às tsõs σ..5 lacas Foma Aula Smlsmt Aoaas o otoo Exto.5. laca Submta a omtos Flctos os Boos Ito Exto aa a laca foma aula stao a fgua 5., aos to xto, submta a momtos flctos os boos to xto sctvamt, o sfoço cotat T é ulo, m qualqu oto a laca a quação qulíbo é: ω Fgua 5.: laca Submta a omtos Flctos os Boos Ito Exto. Itgao a quação qulíbo 5.6 obtém-s aa a clação: ω / / / 5.6

24 lacas culas 5. aa a fomaa: / / ω 5.65 As costats tgação tmam-s a at as coçõs fota qu são as sguts: aa aa aa ω o caso a laca smlsmt aoaa ao logo o cotoo xto. O sstma quaçõs obto o mosção stas coçõs fota é: ( ) ( ) ( ) ( ) o s obtém as costats tgação sguts: ( ) ( )( ) / ( ) ( )( ) / 5.68 ( ) ( ) ( ) / A fomaa a clação, são sctvamt ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ω

25 lacas culas 5.5 ( )( ) ( ) ( )( ) ω 5.69 As claçõs os cotoos xto to são sctvamt: ( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) / ω 5.70 ( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) / ω 5.7 No caso atcula s 0, a clação a fomaa são: ( )( ). / ω a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ω No caso o aoo smls xst o boo to ão o boo xto, as costats tgação, tam s tmaas, ato a qu aa sa ω laca Submta a Uma aga Ufommt stbuía o Boo Ito A laca staa a fgua 5.5 stá submta a uma caga ufommt ata sguo o cotoo to tsa To. Os aos to xto são sctvamt. O sfoço cotat T uma scção clíca ao, é: T To / 5.7

26 lacas culas 5.6 T o To Fgua 5.5: laca com ofíco. sgao o a sultat a caga stbuía ao logo o cotoo to, To, o sfoço cotat T é: T / 5.7 A quação o qulíbo toma a foma sgut: ω / 5.7 Itgao obtém-s: ω / 8 w As coçõs fota são: aa 0 aa

27 lacas culas 5.7 aa ω 0 Estas coçõs ão ogm ao sstma quaçõs: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 / / / / ( ) ( ) ( ) 8 / / 0 / / As costats,, obtas, o solução o sstma quaçõs ato, são: / ( ) ( ) As quaçõs a fomaa ω o momto flcto são sctvamt: 6 8 ω ( ) ( ).. ( ) ( )

28 lacas culas 5.8 ( ) ( ) O slocamto tasvsal ω o cotoo to é ao o: ( ) / 8 ω 5.80 a clação o cotoo to é: ω A clação aa tma-s a at a quação a fomaa 5.79 vao m om a fazo..5. laca Aula Ufommt agaa A laca aula staa a fgua.6 stá submta a uma caga ufommt stbuía stá smlsmt aoaa ao logo o cotoo xto, as coçõs fota são: aa ω 0 aa 0 aa 0 O sfoço tasvso T é: T / / 5.8

29 lacas culas 5.9 Fgua 5.6: laca Aula Ufommt agaa. o - A quação qulíbo toma otato a foma sgut: ω 5.8 Itgao obtêm-s: ω ω 6 8 l l O momto flcto é: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) As costats,, tmam-s a at o sstma quaçõs sgut:

30 lacas culas 5.0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 6 ( ) As costats, são: ( ) 8 υ υ υ υ / 6 υ υ υ υ 5.87 a costat, é: ( ) Substtuo as costats, as xssõs , obtém-s as quaçõs a fomaa, clação momto flcto laca Ecastaa o Boo Ito A laca staa a fgua 5.7 stá submta a uma caga sob a acção a qual s gam os momtos acção ao logo o cotoo to a laca. O oblma uz-s à cosação uma laca aula smlsmt aoaa ao logo o cotoo xto submta a uma stbução o momto ao logo o cotoo to, caso 5.5. com 0, a uma caga ufommt stbuía ao logo o cotoo to sultat. Os momtos acção qu são

31 lacas culas 5. scohcas, tmam-s to m cota qu a scção castamto a clação ω/ é ula. Fgua 5.7: laca Ecastaa o Boo Ito. A clação va à xstêca a caga ufommt stbuía ao logo o cotoo to é: ω a clação ouza lo momto é: ( )( ) / ω 5.90 Somao as uas claçõs gualao a zo, obtém-s: ( ) ( ) ( ). 5.9

32 lacas culas 5. ohco o momto acção, a fomaa obtém-s o alcação o cío a Sobosção ftos, soboo os ftos o caso.5. (caga ) o caso (caga ). 5.6 laca agaa ao Logo uma cufêca ocêtca om a laca 5.6. laca Smlsmt Aoaa A laca staa a fgua 5.8 stá submta a uma caga ufommt ata, ao logo a scção clíca o ao, T o. A laca m qustão o s stuaa o sobosção ftos, cosao os os casos sguts: - laca ccula ao submta a uma stbução ufom momto, caso 5.5. com 0. - laca aula ao xto to submta a uma caga ufommt stbuía, T o ao logo o cotoo to a uma stbução ufom momto, sobosção os casos O sfoço cotat uma scção clíca tal qu > é: T / o T o. Numa scção tal qu < é: T 0 O momto, tma-s ato a qu a laca é cotíua, otato a clação va à xstêca os momtos o caso, aa v s gual à clação va a T o, o caso, aa. A clação o caso ) é aa la xssão.68 so 0,, 0, ou sja:

33 lacas culas 5. T 0 T 0 Fgua 5.8: laca Smlsmt Aoaa. ( ) () ( ) ω / / 5.9 A clação o caso ) é aa la xssão ( ) ( ) ( )( ) / ω Igualao as claçõs solvo m om a : ( )( ) ( ) ( ) / O slocamto tasvsal m scçõs cujo ao sja >, é: ( ) ( ) 8 ω 5.97

34 lacas culas 5. O slocamto tasvsal m scçõs cujo ao sja <, é: ( ) ( ) ( ) ( ) ω ( ) Os momtos são agoa faclmt tmaos coo às xssõs 5.97, 5.6. laca Ecastaa A laca staa a fgua 5.9 a) stá submta a uma caga ufommt stbuía ao logo uma scção clíca ao, a quação a fomaa o obt-s o sobosção ftos cosao os os casos sguts: - laca smlsmt aoaa ao logo o cotoo xto submta a uma caga ufommt stbuía T 0 ao logo a scção. aso 5.6 qu coso à fgua 5. b). - laca smlsmt aoaa submta a uma stbução ufom momtos, como s sta a fgua 5. c), ao logo o cotoo xto, caso 5.5. com o momto 0 com o ao to 0. A stbução ufom momtos,, ao logo o cotoo xto tmas ato a qu a clação o boo xto v s ula lo facto a laca s castaa. A clação o caso ) é: ω () 5.99

35 lacas culas 5.5 T 0 T 0 T 0 T 0 Fgua 5.9: laca Ecastaa. A clação o caso ) é: ω ( ) ( ) 5.00 somao gualao a zo, obtém-s: 5.0 o T 0 O slocamto tasvsal aa <, é: ( ) ( )( ) ω 5.0 8

36 lacas culas 5.6 aa > é: ( ) ( ) 8 ω 5.0 A clação o momto-flcto são faclmt obtos a at as xssõs lacas submtas a uma caga ufommt stbuía um cculo cocêtco com o cotoo xto a laca 5.7. laca smlsmt aoaa A laca staa a fgua 5.0 stá submta a uma caga ufommt stbuía um cículo ao. Esta solctação o cosa-s como uma fa cagas stbuías ao logo scçõs clícas ao x, vaávl t 0, scçõs ssas cocêtcas com o cotoo xto a laca. O slocamto tasvsal ω (), o to uma scção clíca ao x, ovocao o uma caga ufommt stbuía ao logo uma scção clíca ao x, é: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x 8 ω 5.0 No caso s as sultat as cagas stbuías ao logo um lmto ftsmal x a xssão ato tasfoma-s m: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x 8 x x υ υ υ ω 5.05

37 lacas culas 5.7 x x Fgua 5.0: laca com caga cocêtca smlsmt aoaa. O slocamto tasvsal total obtém-s o tgação o slocamto tasvsal aa a laca sujta a uma caga a scção clíca ao x, sto é, aa ω fo la xssão 5.05, cosao x a vaa t 0 amto qu é costat, ou sja: () ( ) ( ) ( ) x ( x x x ) υ υ ω x ( υ) tgao obtém-s: ( ) ω () ( ) ( ) ( ) ( ) aa 0, obtém-s o slocamto tasvsal máxmo qu é:

38 lacas culas 5.8 ( ) máx 7 6 ω 5.08 A fomaa aa otos xtos à scção clíca ao, sto é, aa >, obtém-s moo aálogo coo à xssão 5.97, substtuo, o x la sultat as cagas actuao um lmto ftsmal x tgao, cosao x a vaa t 0 so costat. Est slocamto tasvsal é: ( ) ( ) 6 ω 5.09 O slocamto máxmo oco o cto a laca é: ( ) ( ) máx υ υ ω 5.0 Os momtos, aa > são: ( ) ( ) 6 5. As xssõs acabaas obt são válas aa valos suos a vzs a sssua a laca. Um valo actávl aa é o valo 5. No caso < a caga v cosa-s como so uma caga coctaa laca Ecastaa A tmação a fomaa o s fta o msmo moo qu o caso ato coo às xssõs fas m 5.6., to m cota as otaçõs a fgua 5...

39 lacas culas 5.9 Fgua 5.: laca Ecastaa. O slocamto tasvsal aa otos o to a scção clíca ao, é: ( ) ( ) ( ) x x x x x 0 ω 5. ou sja: ( ) ( ) ( ) 6 ω 5. O slocamto tasvsal máxmo oco aa 0 vm ao o: máx 6 ω 5. aa otos a laca xtos à scção clíca ao, a fomaa obtéms o sgut moo: ( ) ( ) x x x x 0 ω 5.5

40 lacas culas 5.0 ou sja: ( )( ) ( ) 6 ω 5.6 A tmação os momtos flctos θ faz-s coo às xssõs aa otos o to a scção clíca às xssõs aa otos xtos a ssa scção. aa otos xtos à scção clíca ao, os momtos flctos θ são: ( ) ( ) ( ) υ 6 6 ( ) ( ) ( ) 6 6 θ As xssõs acabaas obt só são válas o caso o ao s sufctmt lvao aa ão s o cosa a caga como coctaa.

41 lacas culas 5. oblmas - os a laca staa a fgua sgut tm uma xssão aa o momto-flcto, o oto A a laca ccula. A b a - os a laca ccula staa a fgua ao xto b smlsmt aoaa ao logo a scção ao a. tm: a) A xssão ou xssõs a fomaa. b) O momto aal o cto a laca. a b. os a laca smlsmt aoaa ao logo o cotoo xto sujta a uma stbução caga, como s sta a fgua, tm: 0 a a)a xssão a fomaa b)os momtos flctos θ.

42 lacas culas 5.. os a laca castaa ao logo o cotoo xto sujta a uma stbução caga 0, como s sta a fgua, tm: a a)a xssão a fomaa b)os momtos flctos θ. 5. os a laca ccula aula smlsmt aoaa ao logo o cotoo xto sujta a uma stbução caga 0 0, como s sta a fgua, tm: a)a xssão a fomaa

43 lacas culas 5. b)os momtos flctos θ.