7. Vibrações Cristalinas

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1 7 Vibaçõ Citalia 7 - Falha do odlo d Ío Etático No último capítlo, vimo q a idia d tta citalia como m cojto d ío ocpado poiçõ gla tática o paço (modlo d ío tático foi capaz d xplica diva obvaçõ xpimtai, dd a difação d oda po citai até a popidad diâmica d léto o mmo No tato, há mita ota obvaçõ xpimtai q o modlo d ío tático ão pod xplica Et la: - O calo pcífico do mtai a baixa tmpata, como vimo atiomt, tm ma dpdêcia caactítica c AT T O tmo lia m T é dvido ao léto liv, poém o tmo cúbico aida ão foi jtificado Paa matiai iolat, o calo pcífico a baixa tmpata é da foma c A xp( E T T, od pimio tmo, dvido ao g léto, é batat dift do cao do mtálico, ma a dpdêcia cúbica também tá pt Cocli- potato q ta dpdêcia dv ta aociada a algma ota foma d xcitação témica, ão ltôica - Ao m aqcido, o matiai xpadm (xpaão témica vtalmt fdm Et fômo obviamt ão podm xplicado plo modlo d ío tático - Etdamo o capítlo atio o modlo d codtividad témica d d q pha o léto liv como tapotado da gia témica Eta poição tm fdamto xpimtal, já q vifica q o mtai codzm calo d maia mito mai ficit q o iolat No tato, apa d almt mo q a do mtai, a codtividad témica do iolat ão é la, dvdo potato hav m oto mcaimo d tapot d gia além do ltôico Eta lita podia td mito mai, iclido fômo como o palhamto ilático d lz d êto po citai, o fômo da pcodtividad, a popagação do om m citai, tc a já tá clao q dvmo i além do modlo d ío tático, o q famo t Capítlo A foma dt tmo jtifica poi m m iolat o léto pciam xcitado tmicamt com gia acima da gia do gap (E g paa cotibím paa o calo pcífico Vja o Capítlo do Ahcoft 5

2 7 - Apoximação Hamôica Iiciamo oo tdo da vibaçõ citalia po ma apoximação impl, ma q xplica ma om vaidad d fômo aociado a vibaçõ, a apoximação hamôica Spoha m cital cotdo N átomo com codiçõ d cotoo piódica Et N átomo tão ditibído po N cl célla itáia há p átomo a ba, d modo q N pncl igamo cada célla itáia po m vto da Rd d avai R cada vto da ba po τ Aim, m oo cital xitm N cl vto R p vto τ Tai vto ão fixo (idpdt do tmpo dcvm a gomtia d qilíbio do cital tático Paa dcvmo a diâmica dt N átomo, pciamo dtmia a poiçõ d cada m dl como fção do tmpo, o ja, ( A gia potcial R, t U do cital é ma fção do cojto do N vto poição, q dotamo po Sdo aim, é ma fção d N vaiávi, já q cada m do vto tm coodada catiaa Aim: U U Qado o átomo tão m a poiçõ d qilíbio, o ja, R R, R, tm valo míimo U, o ja, U U Spoha agoa q cada átomo ofa m pqo dlocamto a pati do qilíbio, d modo q R, (7, U R, R, R, (7 O dlocamto é pqo o ficit paa q átomo ão pca a "idtidad", o ja, cada átomo pmac mai póximo d a pópia poição d qilíbio oigial do q d qalq ota Aim, tamo coidado potato pqa vibaçõ m too da poiçõ d qilíbio, ão dlocamto abitaiamt gad Eta itação tá iltada a Fig 7 R+τ Figa 7 - O cíclo baco ptam a poiçõ d qilíbio R + τ o cíclo pto ão a poiçõ atômica itatâa Imo po cohcida a gia potcial, m tamo m coidaçõ ob como la é calclada Na vdad, t pod m poblma bm complicado comptacioalmt 6

3 7 Vamo agoa calcla a gia potcial t cao At, vamo implifica po m momto a otação, dfiido, como vto d N coodada: N N N ; ; Nta otação, a Eqação (7 toa- implmt Rpa aida q o ídic μ, q vai d a N, v paa diga imltaamt o vto da célla itáia R (q vai d a N cl, o vto d ba τ (q vai d a p a coodada catiaa q vamo idica po α (α = x, y, z S o dlocamto é pqo, podmo tiliza a xpaão d Taylo m N coodada: ( ( ( ( ( U U U U U O pimio tmo da xpaão é a gia d qilíbio, ( U U O gdo tmo é ( N N U U U, o ja, o gdo tmo é lo pla pópia dfiição d qilíbio, q é a cofigação a qal a divada pimia alam O tcio tmo á U U U N N N N N N,, ( (7 (74 (75 (76

4 Em otação maticial, t tmo cv, od Φ é ma matiz (N N 4 : U U N U U N N N (77 A matiz Φ é cohcida como matiz d cotat d foça (CF 5, po aalogia com o ocilado hamôico impl, m ma dimão, od a divada gda da gia potcial é a cotat d foça o cotat d mola No oo cao tidimioal, é como cada pa d átomo diçõ tiv ligado po ma mola d cotat U, como ilta a Fig 7 Obviamt, pa- q Φ dcaia com a ditâcia t o átomo (qato maio a ditâcia, mo a magitd da itação Lmb-, mai ma vz, q o ídic μ ν idicam cojto combiado d poiçõ diçõ catiaa: ( R,, ( R,, Aim, até a odm a xpaão d Taylo, a gia potcial am a foma compacta lgat: U U (78 Eta é a apoximação hamôica A cotat d foça Φ pod xpa d ma ota maia, também batat ititiva, pla azão t a compot da foça xcida ob m átomo qado m oto átomo of m dlocamto ifiitimal m ma dada dição A foça o átomo, xpa a oa otação dfiida acima, ão também compot d m vto d N coodada, F F (79 F, F F N od cada compot F é dada po F U Em otação maticial 6 : F U (7 4 No podto maticial Φ, o vto dlocamto do lado diito é m vto cola (N o vto do lado diito é tapoto (N, d modo q o ltado da opação Φ é m cala 5 O matiz d divada gda, o aida matiz Hiaa 6 Tt mota o ltado da gda igaldad Paa io, o fato q a matiz Φ é imética, o ja, Φ = Φ, q motamo a gi 8

5 A cotat d foça Φ é, potato, F F A Eqaçõ (7 (7 mai ma vz têm ma aalogia claa com o ocilado hamôico impl (F = - x ai ma vz, a Fig 7 pod ada paa itpta t ltado: alizamo m dlocamto ifiitimal δ ν m m cto átomo-dição ν mdimo a vaiação a foça δf μ caada po dlocamto m oto átomodição μ A azão t da qatidad é o lmto Φ da CF Uamo ta dfiição como m método pático paa o cálclo da CF o xmplo q vião a gi (7 δf Φ δ Figa 7 Itptação fíica da cotat d foça Φ Not q o ídic fm ão apa a átomo do cital, ma também a diçõ d dlocamto atômico A matiz d cotat d foça dmpha m papl fdamtal a toia d vibaçõ citalia É potato itat aalia m dtalh algma d a popidad Eta popidad coitm m imtia: ( Φ é ma matiz imética, o ja, Ito dco do fato d q a odm da divada ão impota: U U (7 Not q, pla dfiição (7, ito implica q a foça tida plo átomo-dição qado aliza m dlocamto ifiitimal do átomo-dição, é a mma foça tida átomo-dição qado aliza m dlocamto ifiitimal o átomodição ( A oma do lmto d ma liha (o cola d Φ é igal a zo Ito pod dmotado da git maia Façamo m dlocamto d idêtico paa todo o átomo diçõ A foça ltat dv la, poi a poição lativa do átomo ão alto Aim, tmo 9

6 d F d d, (75a como qíamo dmota Et ltado pod vito também como ma coqüêcia da a Li d Nwto: vamo po q o átomo-dição é dlocado m po ma ditâcia d O vto foça ltat á: d F F d F (75b Como ão xitm foça xta, a foça tida plo átomo-dição dv cacla xatamt a oma da foça tida plo dmai átomo: F, o q implica m, o ja a oma do lmto da pimia cola é zo O mmo agmto pod ado paa qalq ma da cola 7 - odo Nomai Agoa abmo, m picípio, calcla a foça atat ob o ío qado l fazm dlocamto, atavé da Eq (7 Podmo tão dcv a diâmica do mmo Vamo toa à oa otação oigial, a qal cvmo o vto dlocamto como: t ( t xˆ ( t yˆ ( t zˆ, R, ( R,, x R,, y R,, z (76 o ja, ao ivé d m vto d N coodada, tmo ovamt m vto d coodada paa cada m do N ío da d itodzimo xplicitamt a dpdêcia tmpoal A qação d movimto paa a compot α (x, y o z da poição do átomo localizado m R + τ é R,, R,, FR,, R, R R,, R,, (77 Not q é a maa do átomo da ba τ Fazmo agoa o git aatz paa o vto dlocamto:

7 i R( t R, ( t ε ( ˆ (78 Tata- implmt d ma xpaão d Foi paa o vto dlocamto Cada m do tmo da xpaão d Foi (78 copod a ma olção od todo o ío aociado à mma poição d ba τ vibam a mma dição, dada plo vto d polaização ˆ ( Ío ditat m do oto po m vto R vibam com ma ε ir difça d fato d fa A mlhaça da Eq (77 com a do ocilado hamôico impl g q a dpdêcia tmpoal d cada m do tmo ja i t ocilatóia, da foma camo potato a olçõ com vto d oda fqêcia ( bm dfiido, copoddo a cada m do tmo da xpaão (78 Eta olçõ ão cohcida como modo omai 7 : q ( t i R( t ε ( ˆ (79 Agoa, itodzimo ovamt a idéia d codiçõ d cotoo piódica, q vimo a toia do gá d léto liv (vja a Sção 5 Naqla ocaião, a codiçõ foam impota ob a fçõ d oda ltôica Agoa, fazmo o mmo com o dlocamto:, R R N a,, i i (7 od a i ão o vto pimitivo da d N i é o úmo d célla itáia do cital a dição copodt maia idêtica ao q foi fito a Sção 5 (vja a Eq (58, chgamo à xpão paa o vto pmitido: b b b, N N N (7 od b i ão o vto pimitivo da d cípoca i ão itio Et ão xatamt o mmo ' pmitido paa o tado ltôico, tão também tito à a Z Noo objtivo agoa é cota a fqêcia do modo omai o vto d polaização Sbtitido a xpão (79 a qação d movimto (77, obtmo: ir, (, R R ( R,, ir (7 7 Solçõ mai gai podm mp cita como ma combiação lia d modo omai

8 , (, R RR R, R i ( (7 Agoa, d maia mlhat ao q fizmo a Eq (7 paa o ídic galizado ( R,,, vamo dfii ovo ídic galizado i (, j (, E ovo ídic combiam a coodada catiaa o átomo da ba m m úico ídic Aim, i j pcom valo d até m (m tê dimõ, é clao ta foma, a Eq (7 implifica: irr i j R, R i ( j ( (7a j R i j Em otação maticial, ta qação cv ˆ( ε ( εˆ(, (74 od ( ij i j R Ri, Rj i( RR (75 ão o lmto da matiz diâmica ( 8 S atovalo ão a fqêcia do modo omai ao qadado atovto ão o vto d polaização A obtção dta qatidad é fita potato atavé da diagoalização da matiz diâmica Tata- d ma matiz (pp, ao cotáio da matiz d cotat d foça q tm dimõ (NN O o d codiçõ d cotoo piódica, a coqt fomlação do poblma o paço cípoco, mai ma vz dz oo tabalho coidavlmt 9 Vamo xploa a potcialidad do fomalimo dvolvido até agoa atavé d alg xmplo (A Cital idimioal com ba mooatômica Et é o cao mai impl poívl Spoha m cital mooatômico idimioal d paâmto d d a od cada ío itag d foma hamôica (cotat d mola igal a apa com pimio viziho Eta itação tá iltada a Fig 74 8 Not q ( ão dpd d R, já q, dvido à imtia d talação, o lmto da matiz d cotat d foça dpdm apa da poição lativa t o átomo 9 Ao ivé d diagoaliza ma matiz (NN, pciamo apa diagoaliza ma matix (pp paa cada m do N cl ' a a Z

9 Vamo calcla a matiz d cotat d foça Em dimão, a matiz tá NN lmto: F U, o ja, como já vimo, paa m dlocamto ifiitimal o átomo, o lmto d matiz á igal à azão t a foça F o átomo ltat dt dlocamto o pópio dlocamto, com ial gativo Como tá iltado a Fig 75, podmo calcla facilmt a foça ltat pla Li d Hoo, o ltado obtido é qalq oto,,, F A matiz Φ tm potato a foma Figa 74 Cital idimioal d paâmto d d a com codiçõ d cotoo piódica itação hamôica t o viziho N a (76 ( Figa 75 Um dlocamto ifiitimal o átomo podz foça apa o viziho mai póximo l mmo (78

10 Vamo agoa calcla a matiz diâmica Nt xmplo idimioal com apa átomo a ba, a matiz diâmica tm dimõ (, o ja, é apa m úmo Sdo aim, podmo igoa o ídic i j da xpão (75, podo q todo o átomo têm a mma maa, obtmo: ( ( ( coa i( X X ia ia (79 Nt cao, a matiz diâmica é igal ao pópio atovalo Podmo tão facilmt cota a fqêcia do modo omai: ( coa (7 Et ltado tá motado o gáfico da Fig 76 ( 4 -/a Figa 76 Fqêcia do modo omai d m cital mooatômico idimioal paa a a Zoa d illoi Em dimão, o vto d polaização (atovto da matiz diâmica é implmt a dição x O dlocamto do modo omai ão, potato, /a q ( t i( X t, (7 od X a ão a poiçõ atômica Vamo aalia alg dt dlocamto (m t = Paa =, o dlocamto d todo o átomo ão idêtico, como mota a Fig 77(a O ja, t modo omal copod a ma talação do cital como m todo, ão ptado potato m movimto d vibação Aim pod- td poq a fqêcia dt modo é la, (=: como ão há dlocamto lativo t o átomo, o modo d talação tm gia potcial la 4

11 (a = (b = /a (c qalq Paa a, ma aáli da Eqação (7 vla q dlocamto m átomo viziho ão opoto, como mota a Fig 77(b, o ja, ( a, t (( a, t, qalq q ja t Et padão d dlocamto a a = / Figa 77 Alg modo omai (a Paa =, modo d talação (b Paa = /a, oda tacioáia com átomo movdo m opoição d fa com viziho (c odo com vto d oda qalq pta ma oda tacioáia, o ja, ão tapota gia Paa m qalq, o padão d dlocamto é como o motado a Fig 77(c pta ma oda lática popagat A vlocidad d gpo da oda popagat é: v g d a d co a (7 tá motada a Fig 78 Not q v g vai a zo paa = /a, como pa d ma oda tacioáia Not também q v g apoxima d ma cotat o limit, idicado q a lação d dipão é apoximadamt lia a oigm, o ja, c, com c a A cotat c é a vlocidad da oda lática o limit Ito ada mai é do q a vlocidad do om o cital, já q oda ooa ão oda lática logitdiai com compimto d oda mito gad compaado com a ditâcia itatômica A toia d vibaçõ hamôica é potato capaz d pv, a pati d qatidad micocópica como a maa, cotat d mola paâmto d d, ma gadza macocópica mávl como a vlocidad do om 5

12 v g c /a Figa 78 Vlocidad d gpo m fção do vto d oda ( Cital idimioal com ba diatômica Vamo po agoa m cital idimioal com doi átomo a ba, m com maa oto com maa, como mota a Fig 79 Vamo colh a oigm da célla itáia localizada a poição do átomo Figa 79 Cital com doi átomo d maa dift po célla itáia Nt cao, paa dtmia a CF, á mai covit a a otação mo cocia m q dixamo xplícito q o ídic da CF idicam a poição da célla itáia do átomo da ba: R,, Epcificamt, paa t itma idimioal, podmo igoa o ídic α q idica a coodada catiaa ta foma, o lmto da CF ão: a X, X U X X, (7 ai ma vz coidamo itaçõ hamôica t o viziho com ma cotat d mola ta foma, o úico lmto ão-lo da matiz d cotat d foça ão, v,,,,( (, (74 (75 od o ídic idica a célla itáia X o gdo ídic ( o idica o átomo da ba τ Nt cao, a matix diâmica á τ, τ ( τ, τ i( X X (76 Eta matiz diâmica tá ( dimõ tá o git lmto: 6

13 ( ( ( (,,,, i( X X i( X X i( X X i( X X ia ia (77 Impodo a codição dt( ( I, chga- à git qação d atovalo paa (vifiq!: 4 ( ( coa, (78 cja olçõ ão ( ( coa ( (79 Vmo potato q, paa cada, há da olçõ (, dhada a Fig 7 A dift olçõ ão cohcida como amo (aalógo à bada ltôica ( amo ótico amo acútico gap = c -/a /a Figa 7 Ramo d fôo paa m cital idimioal com doi átomo ditito po célla itáia 7

14 Vamo aalia alg cao limit Paa valo d pqo ( a, obtmo o git olçõ a ( ( (amo c ótico (amo acútico (74 Vmo ovamt a pça d ma olção com lação d dipão lia ( c a vizihaça d =, aociada à popagação d oda ooa potato domiada amo acútico Além dta, há olçõ cja fqêcia ão vai a zo a oigm im a ma cotat Eta olçõ fazm pat do amo ótico Eta domiação pod mlho tdida aaliamo o vto d polaização O amo acútico copod a atovalo tai q m = (vifiq!, o ja, paa pqo compimto d oda (a vizihaça da oigm o dlocamto d átomo ptct à mma célla itáia tão o mmo tido, como mota a Fig 7(a Já o amo ótico copod a atovalo m =, o ja, dlocamto cotáio d átomo a mma célla, como motam a Fig 7(b Na boda da Zoa d illoi ( = /a, m do átomo viba, qato o oto pmac paado, como motamo a lita d xcício, d modo q a fqüêcia ão / (átomo vibado o / (átomo vibado como motam a Fig 7(c 7(d Em citai iôico, od além d tm maa ditita o átomo (ío têm caga opota, t dlocamto m tido cotáio podm xcitado po m campo lético da lz, po xmplo Po io a domiação amo ótico A fqêcia d vibação típica tão a faixa do ifa-vmlho Ito faz com q a pctocopia d aboção o ifa-vmlho ja ma da técica mai podoa paa o tdo da vibaçõ citalia m ólido (a Acútico, = (b Ótico, = (c Ótico, = /a (d Figa 7 Alg modo omai d m cital idimioal diatômico Acútico, = /a 8

15 (C Citai tidimioai Vamo agoa galiza d foma qalitativa o ltado atio paa o cao mai lvat ob o poto d vita xpimtal: m cital tidimioal Vamo po iicialmt m cital com m ba d átomo Nt cao, tmo amo acútico, como mota a Fig 7 t tê amo, m dl é domiado logitdial acotical (LA, poi o vto d polaização é paallo ao vto d oda, o ja, pta ma oda lática logitdial O oto doi amo ão domiado tav acotic (TA aptam o vto d polaização ppdicla ao vto d oda Et modo omai tão ptado qmaticamt a Fig 7 LA TA TA Figa 7 O amo acútico d m cital tidimioal com átomo po célla itáia LA: // TA: TA: Figa 7 locamto aociado ao modo LA TA Galizado agoa paa m cital com ma ba d p átomo, tmo p amo, do qai ão amo acútico (p - ão ótico O amo ótico também podm claificado como LO (logitdial optical o TO (taval optical, dpddo o vto d polaização é paallo o ppdicla ao vto d oda A Fig 74 abaixo mota o cao paticla d m cital tidimioal com átomo a ba, od há potato amo acútico amo ótico 9

16 Ramo ótico Ramo acútico Figa 74 Ramo d fôo paa m cital m com átomo a ba 74 A Li d log Ptit Como mcioamo atiomt, a vibaçõ citalia cotibm d foma igificativa paa o calo pcífico do ólido Utilizamo a apoximação hamôica, dvolvida a última Sção, paa calcla ta cotibição Iiciamo t tdo dcvdo a toia cláica do calo pcífico dvido a vibaçõ citalia: a Li d log Ptit Vmo q ta li falha d foma gitat a dcição do ltado xpimtai, ito o viá como motivação paa dvolv a toia qâtica da vibaçõ, o q famo a pati da póxima Sção Coid m cital com N cl célla itáia p átomo a ba, cotdo potato m total d N Ncl p átomo Po implicidad, coidmo todo o átomo com a mma maa Rtoado à otação dvolvida o iício da Sção 7 (vja a Eq (7, o vto dlocamto tm N coodada, a CF tm dimõ (N N Podmo cv, dto da apoximação hamôica, a gia total (ciética + potcial dt itma como: E T U U (74 Eta é a gia d m itma d N ocilado hamôico acoplado Paa olvmo o poblma, pciamo dacopla ta xpão Ito é fito atavé d ma mdaça d coodada paa a coodada do modo omai, q ão xatamt aqla q obtivmo a Sção atio! Paa iltamo o poblma, vamo toma o xmplo (coidavlmt mai impl do ocilado hamôico dplo, motado a Fig 75 Figa 75 Ocilado hamôico dplo

17 Nt cao, a gia (hamiltoiaa do itma cv como: E (, (74 od ão o dlocamto da maa com lação à a poiçõ d qilíbio Not q o tmo ( dá oigm ao tmo czado q acoplam o doi ocilado toam difícil a olção do poblma Ua- tão a tafomação paa coodada omai: q ; q, (74 q faz com q a hamiltoiaa poa cita como: E q q q q, (744 q é a hamiltoiaa d doi ocilado hamôico dacoplado com fqüêcia (fqüêcia do modo omai O mmo pocdimto fcioa paa o itma d N ocilado q pciamo olv Nt cao, m modo omal é caactizado po ma coodada q, idxado po m vto d oda a a Zoa d illoi m amo d fôo, tdo ma fqüêcia ( Tmo tão N cl p modo omai, copoddo ao N cl pmitido da a Zoa d illoi ao p amo ta foma, a gia do itma cv a foma: E U Ncl p q q ( (745 Eta é a xpão paa a gia d N ocilado hamôico dacoplado, como qíamo Vamo agoa ivtiga a popidad témica dt cital cláico O Toma da Eqipatição o pmit calcla a gia ita E o qilíbio témico à tmpata T Sgdo t toma, cada ga d libdad qadático a xpão da gia cotibi com T paa a gia ita No oo cao pcífico, tmo 6N ga d libdad qadático, d modo q a gia ita é dada po E N T (746 O calo pcífico é, potato,

18 E c, V T (747 od é a didad O calo pcífico é ma cotat idpdt da tmpata Eta é a Li d log Ptit No tato, ao m fita mdiçõ do calo pcífico d iolat, otam- dicpâcia macat com lação a t ltado Eta dicpâcia tão motada qmaticamt a Fig 76 O calo pcífico pac td paa m valo cotat apa a tmpata mito alta Aida aim, t valo é m poco dift do ltado d log Ptit (liha tacjada Eta dicpâcia pod aida xplicada dto do cotxto d ma toia cláica: tata- d ma limitação da apoximação hamôica Eta apoximação, q tmo ado amplamt, pat do ppoto d q o dlocamto com lação ao qilíbio ão pqo, o q dixa d vdad a tmpata mito alta A ota dicpâcia com lação à pvião cláica é a dpdêcia fot com a tmpata do calo pcífico, do popocioal a T a tmpata baixa, como já dimo Eta dicpâcia ó á xplicada ao coidamo fito qâtico, o q famo a póxima Sção c dicpâcia cláica dicpâcia qâtica c ~ T T Figa 76 Calo pcífico m fção da tmpata paa m ólido iolat 75 Fôo Iiciamo agoa a dcição qâtica da vibaçõ citalia No co báico d câica Qâtica, apdmo a olv o ocilado hamôico impl cotamo atovalo atotado da gia Em paticla, vimo q m ocilado hamôico d fqêcia tm tado qatizado com paçamto cotat m gia: como tá qmatizado a Fig 77 E, (748

19 E = = = x Figa 77 Nívi qâtico do ocilado hamôico impl Como foi vito a última Sção, oo cital pod coidado, dto da apoximação hamôica, como m itma d N ocilado hamôico dacoplado, com fqüêcia ( Aim, paa cada modo omal (,, a gia pmitida ão: E ( (749 ta foma, podmo facilmt qatiza a hamiltoiaa (745, obtmo a gia total do itma: E U E U (, O úmo qâtico idica m q tado xcitado tá o modo omal com vto d oda do amo A gia d cada modo omal ão qatizada, o ja, paa- d m ívl paa oto apa atavé da aboção o mião d ma xcitação lmta d vto d oda gia (, gido potato ma atza copcla Um fôo é tão m qatm d gia lática, da mma foma q m fóto é m qatm d gia ltomagética ta foma, m vz d diz o modo omal do amo com vto d oda tá o tado xcitado, diz- q há fôo do amo com vto d oda o cital modo idêtico ao ocilado hamôico impl, o úmo d fôo tá lacioado à amplitd d vibação do modo omal Paa ivtigamo agoa a popidad témica do cital qâtico, tmo q o úmo médio d fôo m m cto modo omal, < >, m fção da tmpata Po m momto, vamo implifica oa otação abolido o ídic q idicam o modo omai Aim, chamamo implmt d ω a gadza ω ( A pobabilidad d q m dado modo tja o tado é dada plo fato d oltzma:, (75 E p(, E (75 od T ta foma, o úmo médio d fôo é

20 xp E xp E (75 q pod cito como od l Uado o ltado da oma d ma pogão gomética: x, obtmo fialmt ( toado com o ídic : x x (75 x<, ( (754 Eta é a famoa ditibição d Plac, a mma q g a dicão da adiação d copo go, a aalogia t fóto fôo apac aqi mai ma vz Voltado à xpão (75, podmo agoa cv a didad d gia E V m qilíbio tmodiâmico a tmpata T como V ( ( ( V (755 O tmo é a didad d gia potcial a itação d qilíbio, do potato cotat ão tdo lvâcia paa o calo pcífico O gdo tmo é também cotat (idpdt da tmpata, ma tm m igificado mai itat Not q é m tmo q g apa qado itodzimo a dcição qâtica da vibaçõ tá pt mmo à tmpata zo, o ja, qado claicamt ão paia q hov vibaçõ É potato cohcido como gia d poto zo fiicamt tá aociado à impoibilidad, a pati do Picípio d Ictza, d dfii pfitamt a poição do ío Há mp ma ictza a poição, q tá aociada à m movimto vibatóio ão-témico, o ja, pt mmo a T = O ja, mmo o zo abolto o ío vibam O tcio tmo é o úico lvat paa o calo pcífico, q podmo cv tão como: c V T ( ( (756 Paa o q já viam t tópico m Fíica Etatítica, ambo ão bóo com potcial qímico lo, o ja, m tição o úmo d patícla 4

21 Como ota, m cálclo xato do calo pcífico ão é ada impl, poi volv m omatóio (q vtalmt tafomamo m ma itgal ob todo o pmitido a a Zoa d illoi d ma fção complicada Not q ma xpão aalítica paa ( ó xit m itaçõ xtmamt idalizada, como a q vimo a Sção 7 Aida aim, tilizado agmto gai algma apoximaçõ, podmo xtai mito ltado fíico da xpão (756, como vmo a gi (A Limit d tmpata alta otamo a gi q o ltado cláico d log Ptit é obtido o limit d alta tmpata, qalq q ja a foma d ( Paa tmpata alta tmo, d modo q podmo a lim x x x (757 o calo pcífico toa- c V T ( ( V T N V, (758 q é o ltado d log Ptit O limit cláico é tão cpado cofom pávamo ( odlo d Eiti Vamo agoa obt xpõ apoximada paa o calo pcífico m fção da tmpata Paa tato, pciamo tiliza xpõ apoximada paa ( q o pmitam fta o omatóio da Eq (756 A apoximação mai impl poívl é o chamado modlo d Eiti Eiti foi o pimio a aplica a mcâica qâtica ao poblma do calo pcífico d ólido Sa poição foi q todo o modo omai tiam a mma fqüêcia, ( E (fqêcia d Eiti, ma apoximação q pod coidada m poco dática, como mota a Fig 78 ( E -/a Figa 78 odlo d Eiti paa m cital idimioal diatômico A lação d dipão ( é btitída po ma fqêcia média E 5 /a

22 Ao btitimo t ltado a xpão paa o calo pcífico, obtmo c V T T E E E E T E T T E E E T Aaliado o limit d baixa tmpata, vmo q T E E T T c E (baixa tmpata, (758 o ja, o calo pcífico vai almt a zo a baixa tmpata, ma ão com foma ~ T q é mdida xpimtalmt Eta dicpâcia é coqêcia da apoximação (, como vmo a gi E (C odlo d by A apoximação ( E é até azoávl paa fôo ótico, poi t têm amo qa m dipão O modlo d Eiti é aida ado hoj m dia t cotxto No tato, paa dcv a popidad témica (dvido à vibaçõ citalia d m cital a baixa tmpata, o fôo acútico ão mito mai impotat, como mota a Fig 79 ( E T (759 -/a /a T / ħ Figa 79 O modo omai igificativamt poplado com fôo ão apa aql com gia mo o da odm d T Paa baixa tmpata, t ão o modo acútico Paa fôo acútico, ma apoximação mai covit ia tiliza ma lação d dipão lia, o ja, ( c Imo po, po implicidad, q a 6

23 vlocidad do om c é a mma paa o tê amo acútico ta foma, a xpão (756 paa o calo pcífico toa- c V T c c V T V ( 4 c d, c (759 od ftamo a oma apa ob o amo acútico (dixamo d lado o modo ótico fiimo o limit pio da itgal como m cto vto d oda Como obtê-lo? Idalmt, tíamo q fta a itgal dto da a Zoa d illoi, q pod t ma foma gomética complicada Po implicidad, apovitado a imtia féica do itgado, famo a itgal m ma fa d aio Como vmo a gi, o fomato xato do volm d itgação ão iá impota mito paa a popidad a baixa tmpata, paa a qai apa o modo m too d = ião cotibi a dvmo gaati q a fa d itgação cotha o mmo úmo d poto pmitido dto da a Zoa d illoi, o ja, N Ito dfi o valo d, q é cohcido como vto d oda d by: / 4 ( 6N cl N cl V V (76 ta foma, o calo pcífico toa- c V c T V ( ( c 4 c c d c c T d c T c d (76 fiido c x T, fazdo a btitição d vaiávi, tmo c c / T c T c 4 x x x ( dx, (76 c od é a tmpata d by Podmo cv a xpão (76 d modo q a tmpata d by apaça mai xplicitamt: / T 4 x T x c 9 dx x ( (76 7

24 Not q a dpdêcia do calo pcífico com a tmpata mp apac a foma T /, d modo q a tmpata d by dfi a cala d tmpata lvat ao poblma Aim, o limit d tmpata baixa, o ja, T, podmo td o limit d itgação até : c 9 4 x T x dx x ( (764 A itgal dfiida pod olvida, valo é ta foma, obtmo fialmt a xpão do calo pcífico paa baixa tmpata: 4 c 5 T (765 Not q a dpdêcia com o cbo da tmpata, vificada xpimtalmt, é fialmt obtida Paa alta tmpata ( T, o calo pcífico dv apoxima- do ltado cláico, como motamo m (758 Aim, a tmpata d by paa o limit cláico qâtico Vja a Tabla 7 a tmpata d by paa alg matiai Not q, qato mai ígido o matial, maio é a tmpata d by atial ( Li 4 Na 5 C 86 A 85 N 6 É poívl obt d foma mai impl, apa com agmto qalitativo, a dpdêcia T o calo pcífico dvido a fôo Coidmo a lação d dipão = c A ma tmpata T, a gia témica dipoívl é T Eta gia á ficit paa xcita fôo dto d ma fa d aio max o paço cípoco tal q c T, d modo q T / c O úmo d modo N m dto max max dta fa d aio max é popocioal ao volm dta fa, o ja N m max T Como cada modo tm ma gia d xcitação típica da odm d T, a gia vibacioal do itma á E ~ N m T ~T 4 Aim, o calo pcífico c E T T 8

25 76 omto d m fôo Qal a itptação fíica da qatidad paa m fôo? Paa ttamo td ta qtão, vamo po m cital od foi xcitado m úico fôo m m modo omal com vto d oda O dlocamto do átomo dt cital podm xpo po (79: i( Rt q ( R, t εˆ( (766 Qal o momto lia total dt cital? ata oma o momto lia d todo o átomo (podo todo d mma maa : P tot d dt R it ir, ( R, t i εˆ R N, (767 O ja, m fôo com ão caga momto fíico Ito jtifica, poi o dlocamto ão dlocamto lativo Apa o modo d talação (=, q ptam talaçõ do cital como m todo, cagam momto fíico Apa dio, pod- mota q a qatidad ata como momto do fôo o poco d itação dt com fóto o êto, po io tm lvâcia cb a domiação momto citalio do fôo (d foma batat aáloga ao momto citalio do léto, q vimo o Capítlo 5 Et mcaimo ão xtmamt impotat poq popiciam ifomação xpimtal dita ob o pcto d fôo Nt poco, a covaçõ do momto da gia cvm da git foma: p p ( G (768, E E ( od p E ão o momto a gia do fóto o êto icidt, p E ão o momto a gia do fóto o êto palhado, ( ão o momto citalio a gia do fôo ciado (- o dtído (+ O tmo G g poq o vto d oda do fôo é dfiido dto da a Zoa d illoi O poco d ciação dtição d fôo tão iltado a Fig 7 p ( G p ( G p p ciação dtição Figa 7 Poco d palhamto d fóto o êto volvdo a aboção (dtição o mião (ciação d fôo Apêdic do Ahcoft-mim 9

26 Podmo coida m cao paticla d palhamto: o palhamto lático Ito oco hm fôo fo ciado o dtído A gia da patícla icidt iá cova mo aim, há altação do momto pla pça do tmo G Sjam p q p q A covação d momto o dá: ( qq G q G (769 Eta é pciamt a codição d vo La, q tdamo o Capítlo 4 o cotxto da difação d aio-x Vmo agoa q ão apa o fóto, ma também o êto podm difatado foc ifomaçõ ob a tta citalia No cao mai gal, od há aboção o mião d fôo, tmo o palhamto ilático Nt cao, o poco d palhamto focá ifomação ob o vto d oda a gia do fôo, o ja, pmitiá a dtmiação xpimtal da lação d dipão ( Paa fóto, o palhamto ilático lva o om d palhamto Rama Rfêcia: - Ahcoft mim, Capítlo a 4 - ittl, Capítlo Ibach Lüth, Capítlo 4 5 4