Equação de Schrödinger e Suas Aplicações

Transcrição

1 quação Scög Suas Apcaçõs Aé Lus Bof Batsta Sva sttuto Físca São aos Uvsa São Pauo São aos 3

2 toução 96 o físco austíaco w Scög pubcou quato tabaos os Aas Psqu Lpg os quas vovu a sua faosa Mcâca Quâtca Ouatóa cujo sutao pcpa é a quação paa as óbtas stacoáas os étos atôcos a guat faosa quação Scög: [ ] V [] ação ao tabao Bo o tabao Scög fo b as copto. Ua v qu pvê tabé o sgut: As autofuçõs são cospots a caa autovao. Pvê o cácuo a pobaba u tao stao. Pvê o cácuo a pobaba tasção u stao paa outo. acua os otos aguas obtas. A quação Scög aa as é qu ua quação fca sgua oa qua poos apca paa u ssta coo o átoo H cacuaos os sus ívs gas cospots. Hstocat fo o po ssta qu Scög tatou o os autovaos ga são os sos qu pvstos po Bo.

3 3 ostução a quação Scög Pat tos qu sov u poba os copos. Nst caso poos u o ssta os copos a u ssta u copo cosao a assa ua o ssta: [] st é o to qu é touo a quação Scög poos aqu-o atavés o cácuo o cto assa paa acaos o cto assa tos qu fa a sgut guaa s vaaos ogo tos o cto assa. osao >> [3] [] Substtuo [.] [3] obtos ; [.] [5] oo o póto o éto stão tasacoao gao co vocas pópas. Poos obt a pssão a ga cétca tota o ssta a voca agua. v v K [6] v ω ω v ω ω K [7] ω K

4 o Substtuo [5] [8] [8] [9] [] K ω [] No átoo H o úco é assvo o éto t assa ua aa pa q. [] ta aa qu ga too o úco stacoáo. éto Fgua : ptação o átoo ogêo O potca tação couobao o éto-póto é ao pa ação V / Z. [] O - caga o éto Z caga o úco paa o H Z A q. Scog pt o tpo paa st ssta é a sgut ação cofo ostao abao:

5 5 t V t t t [3] ou ua otação as copacta: o s cosaos o opao apacao [] Ass a q. Scog po s scta ass: t V [5] uja soução é aa: -t/ t [6] O ψ é a fução oa pt o tpo aa pa soução a q. Scog pt o tpo a sgu: V [7] ou V [8] Paa sovos a quação aca é o scv-a cooaas sfécas usa o étoo spaação vaávs

6 6 éto Póto φ Fgua : ptação a tação couôbaa t o póto o éto apcao as otaçõs cooaas sfécas paa sov a quação Scög. D acoo co a Fgua é o ao vto posção o éto [9] é o aguo poa o qua csc a pat o o paa o pao accos [] φ é o âguo auta o qua csc paa. actg [] o tos cosφ φ cos o apacao cooaas sfécas é ao ass: [] A quação Scog cooaas sfécas fca ass após apcaos o opao apacao sféco: q. [8]

7 7 φ φ V [3 ] Nota potat: Poos scv a fução oa φ oo u pouto tês fuçõs 3 ta qu φ φ. A pa pêca aa afastato o éto. A sgua pêca osta a posção poa o éto 3. A outa fução a posção auta o éto a sua tajtóa Poos aa sta ptação poqu á u capo foça cta a quação. Apcao agoa a spaação vaávs. A quação [3] po s scta vja otação a vaa o qu va pat costat fca foa a vaa V V [] Substtuo o potca V - vo po a quação [3] fca: [5] costat

8 8 [6] Mutpcao po toos os bos fca Ou soao os tos passao ao sguo bo Not : o ao to a quação p só o ao squo a pêca é. oo tos ua guaa a costat spaação - v s a sa paa abas as quaçõs. costat [7]

9 9 ou cujas asλ ± ogo a soução é ± N [8] qu é a soução patcua o úo quâtco agétco. é a fução oa átoo H qu coté toa a pêca fução o Potca. O vaa a π. Noaao a fução π - N * N ou ogo a fução va coo π a N é úca N [π ] π - π N π [9] [3] π π cos π π vja qu satsfa s ± ± ± 3... to úo quâtco agétco sco a soução λ ovto go éto to oáo. Ass tos até o oto π [3]

10 Toao a quação [7] 5.5 Dvo po fca [3] Spaao os tos a a fução fca [33] sa costat spaação é a a a guaa vo [3] [35] Ou [36] Dv a [35] 5.9 po auao fca

11 ou [37] sta é a quação aa cujas souçõs são as fuçõs Lagu. Aptaos a soução qu é: Soução patcua: 3/ ξ ξ ξ L a [38] So [ ] / 3!!!!.!] [! p p p p p p L ξ ξ o a ξ S a a / 3 / Vja qu s tos os o Nota q a a a a a a a / 3 / / 3 / 3 A outa quação:

12 As souçõs sta quação são as fuçõs assocaas Lg. Os aôcos sfécos são souçõs as quaçõs fcas:. ptaas po Y! π! / P o o P P ξ! ξ cos P ξ cos [ ξ ] ξ A soução ga paa o átoo Hogêo é : Y -/t Qu po s scta ass: a 3 / ξ ξ L! ξ [ ]! / p. p p! p [! ] ξ / t. Y p! p! o ξ a 3... úo quâtco pcpa 3... úo quâtco oto agua úo quâtco agétco

13 3 3 Núos Quâtcos aa cojuto f ua fução oa qu é u stao tôco o átoo. 3 5 caaa caaa caaa caaa caaa o As fuçõs oa caa caaa são caaas obtas. a paa caa vao á - vao 3 f o stao ga b paa caa vao á vao. -< < c paa caa vao á autofuçõs. po s 3 á 9 autofuçõs

14 -<< -<< ocuo quao sovos a quação Scög paa o átoo ogêo obtos as gas paa os ívs gétcos os obtas atôcos. Tos tão u agaa ívs gétcos o to o átoo.. os qu u átoo s costtu u ssta gétco quatao. Fo o Aas 8 qu Scög stuou o fto Sta atavés sua Mcâca Quâtca Ouatóa.

15 5 Fução Oa a ocpção Ma Bo Bo 98 u u passo a sta fcua popoo ua tptação statístca as fuçõs oas o éto à qua vo às úas vatags aptaas t so apat acta. Bo supôs qu as oas ão tê stêca a ass as f coo oas pobaba. O pouto * ou u poto pta a sa pobaba cota o éto ou u outo copúscuo quaqu u poto u ao stat t guaa v ptao a sa pobaba cota o so éto u to vou v tabé o úo étos to o so vou. sta tptação tv u po acoo co as coçõs Scög 5. pocssos vbatóos o cocto a aptu é potat coo o cocto a fqüêca pópa; aaogat é s spa qu câca ouatóa stja gao u potat sgfcao físco à fução oa ou ats ao quaao o su óuo vsto s vt qu o vao statâo a pópa fução oscatóa ão po spa quaqu pap vtu a sua ata fqüêca. O otvo po qu s toa o quaao o óuo é qu a pópa fução oa vo ao cofct agáo a vaa o ao tpo a quação fca é ua quata copa quato as gaas susctívs tptação físca v vtt s as 6. Supoaos qu o stao caactao pa fução oa s ftua ua ção qu cou co cta a u tao sutao qu o so fao o stao o stao cou ao sutao. At-s tão a cobação a o qu sgfca qu toa fução foa costats pta u stao qu a sa ção po a u sutao ou o sutao. Poo afa qu s cocos a pêca os staos co spto ao tpo pêca a qua é aa pa fução t outo po t po-s ota qu quaqu cobação a stas á tabé a possív pêca u stao o tpo. stas afaçõs costtu o cotúo o pcípo supposção os staos u pcípo postvo fuata câca quâtca 7.

16 6 5 Vao spao a Fução Oa osaos ua patícua oa assocaa a fução t s ssa fução ão s aua u tvao t a a sua posção á ua pobaba fta ssa patícua s cotaa. Não poos atbu a cooaa u vao b fo o tato é possív spcfcaos ua posção éa a patícua. agos a a a posção a patícua o stat t a pobaba cotáa t é aa pa quação. P t ψ t ψ t 6 o P t é a pobaba cotaos a patícua. pto ssa pêca a ua cta fqüêca o so stat gstao os vaos P t poos usa a éa os vaos obsvaos paa caacta a posção a patícua o stat t. st vao é ptao po <> vao spao a cooaa. Vja abao coo poos osta atatcat st cácuo. coo: P t ψ t ψ t < > P 7 t substtuíos 6 7 tos qu: t ψ t < > ψ 8

17 7 6 Apcação a quação Scög Taba : pos o opao Hatoao paa o ovto ua patícua assa fts capos foça fos pa fução opao potca V. Opao a Patícua v V ˆ H b baa potca VV a ˆ H <; > ˆ H V <<a c Oscao aôco K V/K ˆ H K Taba 3: pos o opao paa átoos oécuas.[.a] Opao H a Átoos u éto b Átoos utos étos c oécuas Hˆ Hˆ Hˆ Z α j α Z j j > Zα β α j j > j α β > α Z α Zα αβ

18 8 6. Poço Potca ão atvístco osao u potca gau usoa fo po V V < V > Ι V ΙΙ Supo qu ua ga ct a squa paa a ta t ga V. Nst po poos cacua a pobaba qu a oa sá fta cofct fão. Aasao o cotoo o poba paa V quao < o potca a gão é uo cosaos a patícua v. A quação Scög s u à. o As aís a quação:

19 9 λ λ λ ± A B o A B oa oa ct fta Soução ga t / / t A B t / t / A B Na gão á u potca V o ass a patícua sof ua ação o potca. V osao [ V ] [ V ] [ V ] Acao as aís a quação λ λ λ ± A soução actáv é D

20 Soução ga t / t / t / ogo tos as uas fuçõs paa as uas gõs A B paa paa Aasao as coçõs cotoo a AB v s cotíua o poto B A b A sua vaa tabé A B A B A B Motao o ssta

21 Acao B Acao B A B A A A B A B A B B B B B Substtuo os vaos A B / / t t < / / t t < / t B Obco ao pcípo a coptaa tos a cobação a o os staos a fução oa Tota / / / t t t Tota B

22 BBLOGAFA: Bassao J. M. F. Nasctos a Físca 9-95 Bé: DUFPA. 53 p Poto.M.A. Quíca Nova sbg. sc. Físca Quâtca. apus o Jao ª ção. Batsta A.L.B.S. Nogua J. S. Ua Bv Dscussão a Mcâca Quâtca X coto cação tífca uabá UFMT.. 5 A.B. Mcâca Quâtca Ouatóa : Fsca/Quíca Moas. V. 3 SP. Fotaa Bo M. Físca Atôca 96 ª ção. : Fuação aoust Guba Lsboa. 7 Laau L. Lfst. Mcâca Quâtca Toa ão atvsta 985. M Moscou. Vo..