Marcos Pimenta de Abreu

Transcrição

1 CORRELAÇÕES P - S EQUIVALETES ÀS CODIÇÕES DE COTORO DE MARK Macos Pta d Abu Datato d Modag Coutacoa Isttuto Potécco (IPRJ), Uvsdad do Estado do Ro d Jao (UERJ), Caxa Posta 978, ova Fbugo-RJ Bas RESUMO st tabaho, stabcos coaçõs vovdo aoxaçõs aa otos aguas aa fuxos aguas dfdos o cotoo d ua aca aa fta ufo obas da toa a d tasot d adação. Mostaos qu as coaçõs sutats são quvats às codçõs d cotoo d Mak gadas obas d tasot d adação a fouação d haôcos sfécos. Adcoat, ostaos qu as coaçõs obtdas ao ogo dst tabaho od s úts a soução d dfts casss d obas d tasot d adação ustaos co duas casss: obas vsos bdag d adação obas dtos d dtação da dstbução saca d otêca téca úcos d atos ucas. Kywods: adato tasot, dsct odats, shca haocs, Mak bouday codtos, dct ad vs obs. I. ITRODUÇÃO Fouaçõs d haôcos sfécos (P ) d odadas dsctas (S ) tê sdo gadas aa ua dscção aoxada do tasot d adação os hosdos [,]. A covêca do go dstas fouaçõs sd sscat a atva scdad d s obt souçõs aaítcas aa obas báscos otats d tasot d adação d s cojuga a étodos uécos d dsctzação da vaáv saca aa a soução uéca fct d obas d tasot d adação co ao coxdad oxdad aos d tss átco. Paa od a, a fouação S co quadatua agua d Gauss-Lgd od d aoxação da sção d choqu acoscóca d sahato tada a é quvat à fouação P - co codçõs d cotoo d Mak aa obas d tasot azutat sétcos dfdos gota aa coodadas Catsaas []. Rctt, Bacho Swt [3] dostaa ssa quvaêca aa ua gazação d quadatuas d Gauss-Lgd d codçõs d cotoo d Mak obas d tasfêca d cao o adação dfdos gota aa, coodadas Catsaas co ddêca azuta. st tabaho, fazos uso da quvaêca ctada o aágafo ato stabcos coaçõs t aoxaçõs aa otos aguas aoxaçõs aa fuxos aguas dfdos o cotoo d ua aca aa fta ufo. Mostaos qu ssas coaçõs são quvats às codçõs d cotoo d Mak gadas a fouação P d obas d tasot d adação azutat sétcos dfdos gota aa coodadas Catsaas. E sguda, ostaos qu as coaçõs obtdas ao ogo dst tabaho od oocoa squas uécos ss fcts aa a soução d casss d obas d tasot d adação. Iustaos co duas casss. a a, gaos coaçõs astadas st tabaho a soução fct d u oba vso tíco bdag d adação: as odads atas goétcas da bdag são cohcdas, a dstbução agua d adação é cohcda a fota da bdag co o o xto dta-s a tsdad d adação tda a fot. a sguda, gaos coaçõs astadas st tabaho aa a gõs ão-utcatvas obas d úcos d atos ucas d fssão. sts obas, dtas o fato d utcação d êutos do úco a dstbução saca d otêca téca o úco. Ua sos das sçõs subsqüts dst tabaho sgu. a Sção II, cosdaos u oba S dfdo ua aca aa fta ufo. E sguda, stabcos coaçõs t otos aguas fuxos aguas o cotoo da aca. Mostaos qu ssas coaçõs quva às codçõs d cotoo d Mak gadas a soução P do oba d tasot

2 dfdo a aca. a Sção III, ustaos a utdad das coaçõs obtdas ao ogo dst tabaho a soução d obas d tasot a fouação P a Sção IV, cocuíos co ua dscussão co u cahato d tabahos futuos. II. CORRELAÇÕES P - S Icaos sta sção co a fouação S d u oba stacoáo d tasot d adação dfdo ua aca aa fta ufo co sssua sahato sotóco d (z) + σ t dz z [0,]; = :, (z) = co as codçõs d cotoo σ s = ω (z), (a) 0) = f, > 0; () = f, 0. (b) (,,d < A otação gada a fouação () é usua ubcaçõs scazadas [,]. O to a dota a od da quadatua agua d Gauss-Lgd qu aoxa o oto agua d od zo a fouação S (); (z) é o fuxo agua d êutos qu s dsoca as dçõs aguas dfdas o o oto z tct ao doío [0,] ω é o so agua assocado à dção. Os aâtos atas da aca são costats, od σ t dota a sção d choqu acoscóca tota σ s dota a sção d choqu acoscóca d sahato. As fuçõs as dsctas f, f,d scv fuxos aguas cdts os otos do cotoo squdo (z=0) dto (z=) da aca, sctvat. os aos 90, étodos scto-odas [4,5] foa dsvovdos aa a soução uéca d obas d vao d cotoo do to xsso a fouação (). Escfcat, o étodo SGF, cf. scta G s fucto, foc vaos aa o fuxo agua édo a aca aa o fuxo agua os otos do cotoo da aca qu cocd co os cosodts vaos obtdos da soução aaítca do oba () (z) = = α a ( ν ) x( σ z / ν t = :, z [0,]. () Maos dtahs od s cotados as Rfs. [4,5]. Os vaos focdos o étodo SGF advê da soução do ssta d quaçõs as agébcas [4] ( () (0) ) +σt = σsω, ), = (3) =, > 0 (0) +, < 0 (), = :, cojutat às codçõs d cotoo (b). A quatdad (z) dz, = :, (5) 0 é a éda saca a aca do fuxo agua d êutos qu s dsoca as dçõs aguas dfdas o. Os aâtos, ; co vaado d a, são cofcts dtados d foa ta qu as quaçõs auxas (4) sva codcoat a soução aaítca () [4,5]. As quaçõs SGF (3-4) od s covtt fouadas, d odo a foc coaçõs t fuxos aguas gts da cdts a aca. Paa cada dção, substtuíos a quação auxa (4) a cosodt quação (3) obtos as quaçõs as agébcas ( ) () (0) + σt + =, (0), () > 0 < 0 σ s ω, (0), (), + = > 0 < 0 = :. (6) Obsvaos qu as quaçõs (6) coõ u ssta d quaçõs as agébcas vovdo fuxos aguas xcusvat os otos do cotoo squdo (z=0) dto (z=) da aca qu as quatdads stats são cohcdas. Ua vz qu os fuxos aguas cdts a aca são sctos as codçõs d cotoo (b), as quaçõs (6) cosod a u ssta d quaçõs as agébcas as cógtas (0), < 0, (), > 0. Ua fouação adcoa do ssta d quaçõs as agébcas (6) foc as souçõs ( ) = (0) + (S F ), > 0 (7) ( 0) = () + (S F ), < 0, (8) od S σ ω + s, (0), () (9) = > 0 < 0 (4)

3 F σ t, > 0 (0) +, < 0 (), = :. (0) Os sutados (7-0) od s fouados xssos as foas atcas out out + ( ) = G (0) + G () + ( 0) = G (0) + G () (), () od G + G são atzs as quadadas d od / as quatdads stats são vtos-coua d od /. A at dos sutados (7-), odos stabc coaçõs vovdo os otos aguas os fuxos aguas cdts os otos do cotoo squdo (z=0) dto (z=) da aca. A aoxação S aa os otos aguas do fuxo agua od s xssa a foa [,] φ (z) = = ω P ( ) (z), z [0, ], (3) od P () dota o oôo d Lgd d gau. a aoxação S co quadatua agua d Gauss- Lgd, a xasão da sção d choqu acoscóca d sahato é tada a as dçõs aguas são as aízs do oôo d Lgd P (). Potato, φ (z) é gua a zo aa todo z vaa d 0 a - a xssão (3). Atatva covtt, odos xssa os otos aguas (3) coo o oduto scaa T φ (z) = W (z), = 0 :, z [0, ], (4) od W T [ ω P ( ), ω P ( (z) [ (z), (z), K, ), K, ω (z)] T. P ( )] (5) (6) E sguda, fazos uso dos sutados (-6) aa stabcos coaçõs vovdo φ (0) φ (), aa vaado d 0 a -, os fuxos aguas cdts a aca. Icaos co o cotoo dto z = da aca. Mutcaos a quação atca () à squda o vto-ha [ω P ( ),, ω / P ( / )], adcoaos aos dos ados da quação sutat o oduto scaa [ ω / + P ( / + ), K, ω P ( )] () + φ ( ) = K (0) + K (), = 0:. (7) Aaogat, utcaos a quação atca () à squda o vto-ha [ω /+ P ( /+ ),, ω P ( )], adcoaos aos dos ados da quação sutat o oduto scaa [ ω P ( ), K, ω / P ( / )] (0), fazdo uso dos sutados (4-6) aa z = 0, obtos + φ ( 0) = K (0) + K (), = 0:. (8) As quatdads K + K são vtos-ha d od /. Podos aaja atcat os sutados (7) (8) obt, sctvat, + φ( ) = K (0) + K () (9) + φ( 0) = K (0) + K (), (0) od T φ(u) [ φ0 (u), φ(u), K, φ (u)],u = 0 ou, () K + K são atzs as d od x / sutats d ua dsosção has dos vtos K K, sctvat. Os sutados (7-8) ou (9-0) stabc codçõs aa os otos aguas z=0 z= fução ) d quatdads (K + K ) ddts xcusvat das odads atas sssua da aca, sos dçõs do cojuto d quadatua agua S ) dos fuxos aguas cdts a aca. Potato, ssas codçõs são cohcdas foc dsttat codçõs d cotoo a obas d tasot d adação a fouação P - [,]. Ua vz qu as fouaçõs S P - são quvats sob as stçõs dsctas o o aágafo da Sção I qu hua aoxação fo toduzda a fouação S ao ogo da obtção dos sutados (7-8) ou (9-0), a soução P - do oba d tasot d adação dfdo a aca od s obtda co as codçõs d cotoo (7) ou (8) substtução a / codçõs d Mak z=0 / codçõs d Mak z=. +, fazdo uso dos sutados (4-6) aa z =, obtos

4 III. APLICAÇÕES A PROBLEMAS P - sta sção, ustaos a utdad das coaçõs stabcdas ao ogo da sção ato aa a soução fct d obas tícos d tasot d adação a fouação P -. Iustaos co duas casss d obas: Pobas Ivsos Bdag d Radação. st oba tíco, cosdaos o ssta fot-bdag squatzado a Fg.. Fgua. Ssta Fot-Bdag. As odads atas sssua da bdag d adação são cohcdas, a dstbução agua d adação é cohcda a fota da bdag co o o xto busca-s dta a tsdad d adação tda a fot. Paa a soução dst oba d tasot d adação, fazos ua dcoosção do doío do ssta fot-bdag dfos u oba oca o subdoío assocado à bdag. st oba oca, a dstbução agua d adação o cotoo squdo (z=0), as odads atas a sssua são cohcdas busca-s dta a dstbução agua d adação cdt o cotoo dto (z=), vja a Fg.. φ (z) = = α g ( ν ) x( σ t z / ν ), = 0 :, z [0, ], () od g (ν) dota o oôo d Chadaskha d gau [6] os cofcts α, = :, são dtados atavés das codçõs d cotoo do oba P -. a Sção II, ostaos qu codçõs do to (7) ou (8) substtu / codçõs d Mak o cotoo squdo as / codçõs d Mak o cotoo dto. Ua vz qu a dstbução agua d adação cdt z=0 é ua qu odos faz uso da dstbução agua cohcda (0,), < 0, aa staos os otos aguas φ (0), = 0 : -, atavés da aoxação S φ (0) ω P ( ) (0), (3) < 0 odos usa as codçõs d cotoo aa otos aguas z=0 aa obtos a soução P - assocada a codçõs d Mak os cotoos squdo dto. Sdo ass, os cofcts α, = :, são o cojuto-soução do ssta d quaçõs as agébcas φ (0) = α +α 0 φ (0) = α g ( ν ) +α g ( ν M φ (0) = α g + K+α ( ν ) +α g ) + K+α ( ν g ( ν ) + K+α ) g ( ν ). (4) Ua vz dtados os cofcts α, = :, fazos uso da soução P - () aa z = staos a dstbução agua d adação gt da fot (cdt o cotoo dto z = ) atavés da aoxação P - [,] (, ) = 0 ( + ) P ( ) φ (), < 0. (5) ( 0, ), < 0 cohcdo 0 σ t, σ s (, ) =? < 0 Fgua. Iustação aa o Poba Loca. A soução P - dst oba d tasot od s xssa a foa [,] Pobas Dtos d úcos d Ratos ucas. Cosdaos o oba da dtação da dstbução saca d otêca téca do fato d utcação d êutos úcos d atos ucas co ua ou as gõs fécas ão-utcatvas,.g. ftos d êutos úcos d atos a água ssuzada (PWR) [7]. Ua stação axa d u úco d PWR é squatzada hozotat a Fg. 3. sta fgua, staos T gõs utcatvas (RM) fts à zoa atva do úco do ato duas gõs ãoutcatvas ftoas d êutos: ua fo ua suo.

5 s S = σ ω, (0) (30) s = > 0 Fgua 3. Rstação Axa d u úco d PWR. As odads atas cotos das gõs são cohcdos codçõs d cotoo d vácuo s aca os otos fo ( ) suo ( s ),.., ) = (, ) = 0, 0. (6) ( s > O oba P - tadcoat fouado s assoca à osção d / codçõs d cotoo d Mak aa aoxação da codção d vácuo s,.. = 0 = 0 ( + ) P ( ) φ ( ) = 0, > 0, ( + ) P ( ) φ ( s ) = 0, < 0. (7) (8) Ettato, odos ga coaçõs stabcdas ao ogo da Sção II aa substtu as codçõs (7) (8) o codçõs quvats dfdas a tfac úco atvo fto. Dscvos a substtução da codção (8) o ua codção quvat dfda a tfac RMT fto suo. A substtução da codção (7) sgu aaogat. Icaos a substtução da codção (8) co ua dcoosção do doío stado a Fg. 3 dfos u oba oca o subdoío assocado ao fto suo. st oba oca, as odads atas o coto do fto são cohcdos, codçõs d cotoo d vácuo s aca o cotoo dto (oto s ) busca-s dta codçõs quvats dfdas a tfac RMT fto suo. Paa tato, fazos uso do sutado (8) da Sção II co z=0 cosoddo à tfac RMT fto co z= cosoddo ao oto s, obsvaos qu () = 0, < 0, scvos ( 0) = (S F ), < 0, (9) od Rfto fo... RM RM RMT Rfto suo F = σ t, > 0 (0), < 0. (3) Substtuíos as xssõs (30) (3) a ação (9), aajaos obtos od γ, ( 0) = γ, (0), > 0 σs = ω, < 0, σ t,. (3) (33) Substtuíos a aoxação P - (5) os dos ados da xssão (3), aajaos obtos ( + ) γ, = 0 > 0 P ( ) P ( ) φ (0) = 0, < 0. (34) Rbaos qu z=0 o oba oca cosod à tfac RMT fto suo. Potato, a codção (34) quva à codção d cotoo d Mak (8) a o fto suo do cácuo P - da dstbução axa d otêca téca do fato d utcação ftvo. Cosdaos qu ssa ação cotbu aa ua dução dos sfoços agébco coutacoa o cácuo P -. a óxa sção, cocuíos st tabaho co ua dscussão co dsvovtos futuos. IV. DISCUSSÃO Estabcos st tabaho coaçõs vsado à soução csa fct d obas d tasot d adação a fouação d haôcos sfécos. Essas coaçõs s aca a obas vsos dtos d tasot d adação azutat sétcos dfdos gota aa coodadas Catsaas. E ua a taa, stgos osso tabaho à aoxação sotóca aa a sção d choqu d sahato a obas d tasot d adação s ddêca gétca. A at d coaçõs obtdas o âbto da fouação d odadas dsctas da quvaêca t as fouaçõs sttas d haôcos sfécos (P - ) d odadas dsctas (S ), dvaos coaçõs t otos aguas fuxos aguas dfdos o cotoo d ua aca aa fta ufo. Essas coaçõs são quvats às codçõs d cotoo d Mak gadas a fouação P -. Atavés d

6 acaçõs a dfts casss d obas d tasot d adação, ostaos qu as coaçõs obtdas ao ogo dst tabaho od oocoa squas fcts aa a obtção d souçõs P - aa sss obas. Coo tabaho futuo, tdos std as coaçõs obtdas st tabaho a obas d tasot d adação co sahato asotóco. E taa osto, tdos cooa a ddêca gétca atavés do foaso utguo. REFERÊCIAS [] Lws, E.E. ad M J., W.F., Coutatoa Mthods of uto Tasot, Joh Wy & Sos, Y, 984. [] Davso, B., uto Tasot Thoy, Oxfod Uvsty Pss, Lodo, 957. [3] Bacho, L.B. ad Swt, C.E., O th Equvac Btw th Dsct Odats ad th Shca aocs Mthods Radatv Tasf, uca Scc ad Egg, vo. 30, , 998. [4] Baos, R.C. ad Las, E.W., A uca Mthod fo O-Gou Sab-Goty Dsct Odats Pobs wth o Sata Tucato Eo, uca Scc ad Egg, vo. 04, , 990. [5] d Abu, M.P., Avs Fho,. ad Baos, R.C., A Accatd uca Mthod fo O-Sd O- Dsoa Egvau Pobs uto Tasot Thoy wth o Sata Tucato Eo, Bot da Socdad Basa d Matátca Acada Coutacoa, vo. 4, o. 4,. -, 993. [6] Chadaskha, S., Radatv Tasf, Oxfod Uvsty Pss, Lodo, 950. [7] Dudstadt, J.J. ad ato, L.J., uca Racto Aayss, Joh Wy & Sos, Y, 976. ABSTRACT W tak advatag of th quvac btw dsct odats ad shca haocs thods ad w dv athatca codtos vovg agua ots ad fuxs that a quvat to Mak bouday codtos. W th ustat th attactvss of ths w P codtos wth acatos to dfft casss of adato tasot obs vs obs adato shdg ad dct obs uca acto thoy.