ESCOAMENTOS EM REGIME PERMANENTE

Transcrição

1 ESOAMENTOS EM EGIME EMANENTE eime emaete: são escoametos qe ão aesetam aiação com o temo t Escoametos i-dimesioais: só aesetam m comoete de elocidade qe só aia em ma dieção Escoametos simles hidodiamicamete deseolidos: ão aesetam aiação a dieção icial do escoameto Escoametos eteos: elícla de filme com esessa costate Escoameto ao edo de esfea com baia otação

2 Eemlo: ESOAMENTO DE OUETTE: Escoameto lamia hidodiâmicamete deseolido ete das lacas aalelas e ifiita U Hióteses: otiidade: V t w 5 cte h a cte V. Flido Newtoiao. oiedades costates cte, cte 3. eime emaete t. -D laa b >> h 5. >> h esc. deseolido 6. Escoameto icliado de com a hoiotal, aidade etical 7. costate 8. lamia odição de cotoo: ah ; V i

3 V Dt V D Q. M. - dieção Q.M.. Naie-Stoes:, w Dt D w w eo w eo Q. M. - dieção cos cos Dt D cotiidade eo cotiidade eo cos f f loo etão 3

4 Q. M. - dieção si t w si Note qe a aceleação é la, loo eiste m eqilíbio de foças, a tesão cisalhate a aede se eqiliba com a foça de essão e aitacioal Note aoa qe só deede de e qe só ode deede de, etão aa qe a ialdade ateio seja edadeia, é ecessáio, qe as das acelas seja iais a ma costate, loo K si si o ois

5 odemos aoa itea a eqação acima e detemia o efil de elocidade ete as das lacas K odições de cotoo: a; U UK a a -a ; K a - a a U a a K K K As costate e odem se facilmete detemiadas III a U Κ a U Κ I - II a U a U Sbstitido as costates e a eessão aa a elocidade, detemiamos os efil de elocidade ete as lacas. eamado, temos 5

6 ohecido o efil de elocidade, odemos aalia a aão, assim como a tesão cisalhate Vaão: Q m AT d AT A T Q a a b d Q 3 a Κ U a b ; a Κ m U 3 ; A T a b O efil de tesão cisalhate ode se facilmete obtido, já qe d d Κ U a ode Κ se Vamos aoa aalisa casos aticlaes do caso acima: 6

7 7 aso : ; U ; Κ º. eemlo: obs: a U h U a a U ; a U ma ma ; a m 3 a a K K a b ab A D D d f m t h m h ; a U a a K a U K U a aso :, U, Κ a 96 e f

8 8 aso 3: ; U ; < Κ a U a a Κ ; a U Κ ma ode d d U

9 U U U K em a Ka se K etão a a a aso : ; U ; Κ > ; < U < a U aso 5: ; U ; U Κ a U Neste caso, a tesão a aede ifeio é la 9

10 aso 6: ; U ; U Κ > a U O flido óimo a aede seio dieita escoa aa a dieita e óimo a aede ifeio escoa aa a esqeda. U A tesão aa aede ifeio é eatia, s a < a

11 osideado aoa, temos aso 7: ; U ; Κ se < < se < seα ode se ositio U α U < 9 ο se seα aso 8: ; U ; Κ se > < se > seα U < 9 ο ode se eo, K > >7 ο U

12 Eemlo: Detemie o efil de elocidade aa ma elícla de áa escoado ao loo de ma aede icliada, com esessa costate. Qal a aão aa obte filme com esessa h? Deseado as etbações a etada e saída. Hióteses:. flido Newtoiao, oiedades costates cte, cte: di V. aa ade:, w 3. eime emaete: t. Esessa hcte: 5. amia 6. essão ifome ial a essão atmosféica: Já imos qe com as hióteses acima V i Eq. de qat. de moimeto a dieção D cos K K Dt eo eo eo eo codição de cotoo: h ; HO a HO -K h

13 codição de cotoo:, 3 h h K K h h h K h K h h K h h h bd Q 3 3 h b Q cos h aão

14 ESOAMENTO DE DOIS FUIDOS IMISÍVEIS ENTE DUAS AAS ANAS Escoameto lamia hidodiâmicamete deseolido Hióteses: I b II b otiidade: V t w 5 V cte cte. Flido Newtoiao. oiedades costates cte, cte 3. eime emaete t. -D laa w >> hb 5. >> hb esc. deseolido 6. Escoameto icliado de com a hoiotal, aidade etical 7. costate 8. lamia odição de cotoo: b; I -b; II V V I II I i II i

15 aa ambos os flidos: Q. M. - dieção t w Iteado aa cada fase o o ois 5 I I I I I I d d II II II II II II d d

16 odições de cotoo: 3 I II ; I II ; 3 b ; I b b I I b ; II b 3 b II II b b II II Sbtaido as eqações: 3 - b I II I II b I I II II Somado as eqações I 3 II b I II 6

17 Os efis de tesão e elocidade de cada fase são 7 II I II I I b b II I I II I II I I I b b b II I II II I II I II II b b b

18 ESOAMENTO DE HAGEN-OUSSEUIE: Escoameto lamia hidodiâmicamete deseolido em m dto cicla V e se ; cos otiidade: V t V cte Etão costate. odição de cotoo: ; D e e Hióteses:. Flido Newtoiao. oiedades costates cte, cte 3. eime emaete t. -D simetia ala 5. >> D esc. deseolido 6. Escoameto hoiotal, aidade etical 7. costate 8. lamia eo V eo 5 i 8

19 V Dt V D Q. M. - dieção Q.M.. Naie-Stoes: se t A aceleação e o temo iscoso são los ois e, etão a eqação acima se ed aa, f se se cos f loo * 9

20 Q. M. - dieção Noamete a aceleação e o temo iscoso são los ois e, etão a eqação acima se ed aa comaado esta eqação com a eqação * t cos cos coclímos qe f f f f se cos f

21 Q. M. - dieção Noamete, eificamos qe a aceleação é la, e otato eiste m eqilíbio de foças, a tesão cisalhate a aede se eqiliba com a foça de essão costate elembado qe a tesão cisalhate é eo eo eo eo eo eo t Κ ' f Κ se ef A aiaçao da essão é só hidostática

22 Iteado esta eqação, odemos detemia o camo de elocidade e tesão cisalhate elembado qe a tesão cisalhate é Κ Κ Κ Κ l Κ ; K -K odições de cotoo: ; e fiitos simetia; K

23 3 O efil de elocidade é Κ o ote qe como o efil é simético, a elocidade máima ocoe a liha de ceto ma ma ma

24 Vaão: A T T T m A d A Q d Q π ma ma Q π π A T π ma m 3 8 D m O efil de tesão cisalhate é : Se < etão <

25 5 Na aede tesão a aede D s O fato de atito ode aoa se obtido D D D D f m m m m 6 3 ode samos qe o diâmeto hidálico aa m tbo cicla é D A D m T h e 6 f ; D m e Note qe como D s o fato de atito também ode se escito como m s m D f

26 O elação D s também odeia te sido obtida ataés de m balaço de foças o seite olme de cotole s d d F A T d A d T s m s A T m D h Esta elação ideede do eime de escoameto, isto é, é alida aa eime lamia e tbleto 6

27 Eemlo : Escoameto aa cima em m dto ala etical aio eteo:, aio iteo; omimeto: Hióteses:. Flido Newtoiao. oiedades costates cte, cte 3. eime emaete t. -D simetia ala 5. >> D esc. deseolido 6. Escoameto etical aa cima, aidade etical 7. costate. Escoameto aa cima, deido a m difeecial de essão imosto o - 8. lamia Já imos qe com as hióteses acima Eq. de qat. de moimeto a dieção V e [ ] [ ] t eo 3 eo eo eo 5 eo eo 5 7

28 8 8 K A eqação ode se escita como ode odemos defii ma essão modificada qe icooa a essão hidostática K A tesão e a elocidade odem se obtidos iteado como o eemlo ateio K K l ; odições de cotoo: ; K l -K - l K l K o o ; -K [- ] l K [- ] l o l l

29 9 9 A elocidade máima ocoe ode A aão olmética Q e elocidade média são l * l * K ode K K l l l ma o l d d d A Q o t m 8 π π π l d d A o m t 8 π π A elocidade máima é deslocada aa a aede itea, ois como a áea itea é meo a deiada é maio A foça do flido as sefícies t o t o A A F ] [ π π A foça de essão é cotabalaceada ela foça iscosa e aitacioal

30 3 Eemlo: Deseja-se bombea liceia a [ Km 3,, Kms] em m tbo ala hoiotal. O diâmeto iteo é i e o eteo de i. A tbo ossi m de comimeto. Deseja-se ma aão de,5 m 3 s. Qal a otêcia de bombeameto ecessáia? l Q o 8 π Q A F ot m t m 8 l Q o π W Q ot l,,,,, l π π i e,5 h D m e s m Q A Q t m, 7 96 π A D m t h π π 79 lamia h D m e

31 Eemlo : Viscosímeto de oette - Escoameto lamia emaete ete dois cilidos Hióteses:. Flido Newtoiao. oiedades costates cte, cte 3. eime emaete t aio eteo:, aio iteo; omimeto: Toqe medido: T 5. Gaidade a etical: - e 6. Não há aiações a dieção ala:,. Escoameto amete taecial e 3

32 3 3 Eqação de cotiidade t om as hióteses aesetadas, todos os temos são los e a eqação de cotiidade é ideticamete satisfeita Eqação de qatidade de moimeto liea Dieção adial μ t Dieção aial t μ

33 33 Eqação de qatidade de moimeto liea Dieção ala μ t o t 3 A tesão em coodeadas cilidicas

34 3 o Ω O toqe T é F T π π π π Note qe o toqe em qalqe osição ideedete do aio odição de cotoo:,, Ω o o Ω ] [ O toqe T aa ia o cilido eteo é T o Ω π

35 aa o caso de cilido eteo estacioáio, eqato o cilido iteo ia com elocidade ala Ω i, a distibição de elocidade é Ωi As solções aesetadas são álidas somete aa eqeas elocidades alaes. aa ades elocidades, as foças ieciais se toam imotates e o escoameto deia de se amete taecial, e ótices tooidais aaecem filme Vótices de Talo ihas de coete: hélices b amete eiódico eiódico taecial simles dlo Vótices de Talo 35

36 O diaama abaio ilsta eiões coesodetes a difeetes eimes de escoameto. A alidade das hióteses iiciais deem se seme eificadas, feqüetemete eeimetalmete. 36

37 Eemlo : Fomato da sefície do líqido em otação Hióteses:. Flido Newtoiao. oiedades costates cte, cte 3. eime emaete t. Escoameto amete taecial e 5. Gaidade a etical: - e 6. Não há aiações a dieção ala:, om essas hióteses, imos qe odição de cotoo:, e fiito, Ω Ω Ω A úica solção ossíel de eime emaete é o moimeto de coo íido. Note qe ideedete se o flido é Newtoiao o ão. 37

38 38 Sobe a sefície, a essão é ial a essão atmosféica, o qe emite detemia s, i.e. foma da sefície, odição de cotoo: o, atm Iteado odemos obte a distibição de essão Ω o atm Ω o s Ω Ω

39 39 om essas hióteses, as eqações de qatidade de moimeto a dieção adial e aial e ala ão se modificam aa m flido ão ewtoiao e como imos são Eemlo : Viscosímeto de oette com flido ei de otêcia Hióteses:. Flido ei de otêcia:. oiedades costates cte 3. eime emaete t. Escoameto amete taecial e 5. Gaidade a etical: - e 6. Não há aiações a dieção ala:, m η A tesão de m flido owe-law em coodeadas cilidicas é m γ η m

40 A eqação de qatiddade de moimeto a dieção ala ode se escita como m d d te m iteado o Ω odição de cotoo:, o Ω Toqe aa mate cilido eteo iado odição de cotoo, Ω o m T π π o m T Ω π

41 Eemlo : Escoameto ao edo de ma esfea com baia otação Hióteses:. Flido Newtoiao:. oiedades costates cte, cte 3. eime emaete t. Escoameto amete aimtal, e 5. Gaidade a etical: - e 6. Não há aiações a dieção aimtal:, Eqação de cotiidade em coodeadas esféicas é satisfeita com as hióteses listadas: Veto aceleação da aidade: t si si e e e cos e si e essão modificada: cos si

42 Eqação de qatidade de moimeto liea Dieção adial si si si si si si si t μ Dieção t μ si cot si cot si si si si cot

43 3 3 Eqação de qatidade de moimeto liea Dieção t μ cot si si cot si si si si si si Distibição de essão: cte. odição de cotoo: o etão o o cos Distibição hidostática de essão

44 odição de cotoo:, Ω si si si Hiótese: f aa satisfae a codição de cotoo: f si etão d d d d f d f d d d si si si o f d f d d d Esta é ma eqação eqidimesioal, cja solção é do tio d d d f d f ; ; Distibição de elocidade:

45 5 5 etão Ω si si f odição de cotoo:, Ω si Ω 3 Toqe aa mate a esfea iado: Foça ifiiesimal a sefície da esfea: F e T d da da d I e σ e F Os comoetes ão los de : si si μ μ e e e e e e e e Ω e si e e e 3 μ

46 etão d T e e e e da 3 Ω si da e eo e omoete aial do toqe: T d T e ; e e cos e si d T 3 Ω si da 3 Ω si si d d π π T 3 Ω 3 dt 3 si d d T 3 8 π Ω 3 π Este é o toqe qe o flido eece sobe a sefície da esfea. aa mate a esfea iado com elocidade ala Ω, é ecessáio foece ao eio, m toqe de ial alo da dieção oosta. Validade das hióteses iiciais: A medida qe Ω cesce, aaece m escoameto secdáio, ois a foça de iécia deia de se deseíel. O líqido é ado em dieção aos ólos da esfea e emado aa foa o eqado. 6