Pesqusa Operacoal a Socedade: Educação, Meo Ambete e Desevolvmeto a 5/09/06 Goâa, GO A PROGRAMAÇÃO LINEAR FUZZY EM PROBLEMAS DE MISTURA Adre Gadolpho Uversdade Católca de Petrópols alvesga@gbl.com.br Rcardo Taschet PUC-Ro rcardo@ele.puc-ro.br Marley Vellasco PUC-Ro marley@ele.puc-ro.br Nélo Pzzolato Puc-Ro dp@d.puc-ro.br RESUMO Este trabalho trata da utlzação de programação lear fuzzy em um problema de mstura de carvões para sderúrgcas a coque. A modelagem de problemas de mstura evolve cocetos vagos e mprecsos, os quas podem ser traduzdos em termos matemátcos através da teora de coutos fuzzy e de suas ramfcações. Neste tpo de problema os coefcetes dos termos da fução obetvo e das restrções de desgualdade são represetados por úmeros fuzzy. A utlzação dos cocetos de programação lear fuzzy permtem que o problema sea resolvdo por meo de métodos tradcoas de programação matemátca. O resultado obtdo mostra o potecal de utlzação desta metodologa em problemas de mstura. Palavras-chave: programação lear fuzzy, coutos fuzzy, modelo de msturas. ABSTRACT Ths wor deals wth the use of fuzzy lear programmg a coal bledg problem steel dustres. Modelg bledg problems volves vague ad mprecse cocepts, whch ca be traslated to mathematcal form through the cocepts of fuzzy sets. I ths sort of problem fuzzy umbers represet the coeffcets the cost fucto ad the equalty restrctos. Fuzzy lear programmg cocepts allow the problem to be solved through tradtoal mathematcal programmg methods. Results show the potetal of ths methodology for dealg wth bledg problems. Keywords: fuzzy lear programmg, fuzzy sets, bledg model. [ 886 ]
Pesqusa Operacoal a Socedade: Educação, Meo Ambete e Desevolvmeto a 5/09/06 Goâa, GO. Itrodução Muto á fo feto o desevolvmeto de metodologas para a resolução de problemas de programação lear fuzzy. Etretato, a grade parte dos trabalhos apresetados procurou obter uma solução trasformado o problema fuzzy em um problema crsp, o que é possível através de métodos de defuzzfcação. A partr deste modelo defuzzfcado, ode os coefcetes são determístcos, é obtda uma solução crsp utlzado-se métodos cohecdos de programação lear padrão, como o Método Smple (Datzg, 96). Porém, com esta solução é possível aalsar apeas algus aspectos das certezas e mprecsões cotdas o problema cal. Por este motvo, este tpo de solução ão reflete por completo o grau de certeza que o mudo real possu, ou sea, ao se obter uma solução úca para um problema ode algus ou todos os coefcetes possuem mprecsões, a pessoa resposável pela aálse dos resultados fca sem a opção de aalsar outros resultados possíves. Mas do que smplesmete dcar um resultado, buscou-se este presete trabalho quatfcá-lo através da costrução de uma fução de pertêca. Nesta lha pode ser ctado o artgo de Bucley de 995 (Bucley, 995), ode o autor apreseta uma forma de se ecotrar uma solução couta para problemas de programação lear fuzzy. Desta forma, apreseta-se um couto de soluções ode tato os valores das varáves quato o valor ótmo para a fução de custo, ou fução obetvo, possuam uma fução de pertêca assocada. Assm, será possível forecer um couto de possíves soluções factíves, que possam ateder a dferetes ceáros. Além de forecer ao tomador de decsões uma ferrameta de aálse mas poderosa, permtdo que seam aalsadas outras soluções possíves ates de se escolher uma solução em partcular. O fato de ser obtdo de forma teratva, resolvedo-se um úmero de vezes algus modelos, tora mas smples, e de fácl aplcação, a metodologa aqu proposta. O trabalho é estruturado de forma a se revsar os cocetos à medda que as aplcações lustradas os ecesstam. Na seção é apresetada formalmete a metodologa para resolver problemas de programação lear fuzzy. Na seção descreve-se o modelo de msturas em programação lear, sua estrutura básca e as smplfcações fetas para torar o seu uso mas prátco Na seção é desevolvda uma aplcação para as msturas de carvões em termos de programação lear fuzzy e ressaltados os tratametos às restrções e à fução obetvo. Na aplcação, seção 5, são usados dados reas das qualdades fudametas dos carvões, acrescdos de faas de varações arbtradas. Por últmo, a seção 6, são apresetadas as coclusões do trabalho.. Modelo de Programação Matemátca Fuzzy O problema de programação lear, ode se cosdera que todos os coefcetes são determístcos, é, a realdade, apeas uma smplfcação de um problema real. Os dados utlzados para se resolver esse problema são estmados e, em geral, serão determados o futuro. Portato, os valores de cada um dos coefcetes do modelo apresetam, a verdade, uma mprecsão. Apesar do modelo determístco represetar de forma aproprada um modelo de programação lear, aprmorametos são ecessáros para refletr as certezas eretes ao problema. Desta forma, buscou-se adequar o modelo cosderado que os coefcetes das restrções e da fução obetvo são, a realdade, certos. A programação matemátca fuzzy, em partcular a programação lear fuzzy, é uma ferrameta que permte a clusão de cocetos vagos e mprecsos o modelo do problema. Assm, este passa a ser descrto em termos de um modelo de programação lear fuzzy, possbltado a corporação de certezas cotdas os coefcetes ao modelo tradcoal crsp, podedo, desta forma, torar-se um sstema de apoo a decsão em egocações de carvões. [ 887 ]
Pesqusa Operacoal a Socedade: Educação, Meo Ambete e Desevolvmeto a 5/09/06 Goâa, GO.- Metodologa A metodologa aqu proposta aplca-se a problemas de programação lear ode os coefcetes da fução custo, e das restrções, lado esquerdo e dreto, são certos e modelados como úmeros fuzzy. Devdo às certezas, estem dversas combações possíves de resultados para a solução do problema. Desta forma, com a teção de ecotrar uma faa de valores ode se ecotram os resultados factíves para o problema de programação lear fuzzy, busca-se, calmete, ecotrar a regão de vabldade, para em seguda tratar da fução custo..- Regão de Vabldade Mutos problemas de programação lear utlzados a tomada de decsões podem ser formulados da segute forma (Eel, 00): Mmze f (, Κ, ) sueto a g (, Κ, ) b () para =, Κ, m ode: a fução custo ( f ), e as restrções ( g, para f (, Κ, ) = c = = =, Κ, m ) cluem coefcetes fuzzy. g (, Κ, ) b para =, Κ, m a b para =, Κ, m a, para =, Κ,, são úmeros fuzzy com μ a ( a ) pertêca assocada. b, para =, Κ, m, são úmeros fuzzy com μ b ( b ) pertêca assocada. para =, Κ,, sua fução de para =, Κ, m, sua fução de Uma das dúvdas que surgem ao se cosderar este tpo de modelo matemátco, cohecdo como modelo de programação lear fuzzy, é como determar a sua melhor solução. Por ser um problema ode os coefcetes possuem certezas, dcar uma solução úca pode ão represetar de forma adequada todas as combações possíves. Desta forma, é mportate que se determe uma regão ode é possível ecotrar as soluções possíves para (). A partr da determação da regão de vabldade do problema defdo em (), será possível se determar uma faa de valores ótmos da fução obetvo. Deste modo, para se tratar a regão de factbldade, será cosderado o couto de restrções do problema (). Assm, cosdere-se uma das restrções do problema (): = () a b [ 888 ]
Pesqusa Operacoal a Socedade: Educação, Meo Ambete e Desevolvmeto a 5/09/06 Goâa, GO Se as codções de covedade dos coefcetes fuzzy a e b, para =, Κ,, para =, Κ, m, são satsfetas, ou sea, dado que os coefcetes são coveos, é possível cosderar a segute possbldade de ordeameto (Dubos & Prade, 980): Sea α = couto de íves, ode =, Κ, K, α Κ α Κ m m supμ ( ), μ ( ), { a a b } 0 () b Assm, a restrção () pode ser modfcada, sedo etão represetada pelo segute sstema determístco, ode os coefcetes são crsp: = () S a a S a b, para =, Κ, K ode: a S, para =, Κ, K, são os coutos de ível α, a a b S para =, Κ, K, são os coutos de ível α. para =, Κ,, Por eemplo, o couto (Eel, 999): S, para =, Κ, K, do ível α, do couto b é defdo como a b Fgura Couto S, do ível α, do couto b a b Cosderado estes íves α, para forma: ode: a a a a [ ] [ ] a, a b, b = (5) a a [ a a ] =, Κ, K, é possível reescrever a equação () da segute, para =, Κ, e para =, Κ, m, são os potos etremos (lmte feror e lmte superor) do corte α feto o úmero fuzzy a, para =, Κ, e =, Κ, K ; a a b b, são os potos etremos (lmte feror e lmte superor) do corte α feto o úmero fuzzy b, para =, Κ, K ; [ ] [ 889 ]
Pesqusa Operacoal a Socedade: Educação, Meo Ambete e Desevolvmeto a 5/09/06 Goâa, GO Portato, o couto de equações descrto em (5) pode ser reescrto da segute forma: = (6) = a a a a b b a a, para =, Κ, K, para =, Κ, K (7) Este é um sstema de equações com uma dmesão maor do que a do problema orgal. Depos de se determar a regão de vabldade para cada corte do problema fuzzy, deve-se tratar da epressão da fução obetvo quado os coefcetes do vetor de custo são fuzzy..- Fução Obetvo: Na seção ateror, a regão de factbldade, defda pelas restrções, fo tratada do poto de vsta de coutos fuzzy. Assm, fo possível detfcar a regão ode está o valor ótmo para o problema fuzzy, cosderado cada corte os coefcetes da fução obetvo (coefcetes tecológcos) e as costates do lado dreto. Aalsar-se-á agora o comportameto da fução obetvo quado seus coefcetes são úmeros fuzzy. Desta forma, será possível determar quas os lmtes para o valor ótmo da fução obetvo. Ates de se fazer o tratameto formal da fução obetvo, serão apresetados algus cocetos que serão útes esta abordagem. Os cocetos aqu descrtos são baseados em Bazaraa (990). Couto Coveo Um couto X o espaço E m é chamado de Couto Coveo se, dado dos potos quasquer e em X, etão ( λ X λ 0,. λ para cada [ ] + ) Dreções Etremas de um Couto Coveo Uma dreção etrema de um couto coveo é uma dreção do couto que ão pode ser represetada como uma combação postva de duas dreções dsttas do couto. Dos vetores, d e d são dtos serem dsttos (ão equvaletes) se d ão pode ser represetado como múltplo de d. Qualquer outra dreção do couto que ão é um múltplo ou sub-múltplo de d ou d pode ser represetada como λ d + λ d ode λ, λ 0. Coe Coveo Os coes coveos represetam uma classe mportate de coutos coveos. Sea C um coe coveo; ele é dto ser um couto coveo com a propredade adcoal λ C se o rao {λ: λ 0} pertece a C. Portato, um coe é um couto coveo que cosste totalmete de raos emaado da orgem. Como um coe coveo é formado pelos seus raos, etão ele pode ser totalmete caracterzado por suas dreções. De fato, em todas as dreções são ecessáras, desde que uma dreção ão etrema pode ser represetada como uma combação postva de dreções etremas. Portato, um coe coveo é caracterzado por suas dreções etremas. Dado um couto de vetores a, a,..., a, é possível formar um coe coveo C com estes vetores. Este coe cosste de todas as combações de a, a,..., a, sto é: [ 890 ]
Pesqusa Operacoal a Socedade: Educação, Meo Ambete e Desevolvmeto a 5/09/06 Goâa, GO C = λ a = (8) : λ 0, para =,, Κ, Note que a fução obetvo apresetada em (.), cosdera que seus coefcetes são certos e, portato, são modelados como úmeros fuzzy. Desta forma, é possível defr um coe coveo, que é formado por suas dreções etremas e por demas dreções, que podem ser descrtas como combações das dreções etremas. Assm, cosderado que cada um dos coefcetes vara detro de uma determada faa, temse que a fução obetvo de () pode ser descrta por: z = a a [ ] c c =,, que é um úmero tervalar [ z, z ] = z Como, por hpótese, as varáves 0, z a = = c e z a = = para =, Κ,, tem-se que: c represetam os valores mímo e mámo que a fução obetvo pode alcaçar quado se cosdera a regão determada em (.). Desta forma, para cada corte α feto as fuções de pertêca, é possível se calcular o maor e meor valor da fução obetvo, cosderado a regão factível determada em (.). Este processo pode ser repetdo sucessvamete, de forma a se obter uma faa de valores possíves para a fução obetvo.. Problema de Msturas A modelagem do problema de msturas fo uma das prmeras aplcações da programação lear (Datzg, 96). No problema de msturas estem dos ou mas compoetes, que podem ser um couto de matéras-prmas, uma ou mas qualdades de cada um destes compoetes e um ou mas produtos, de tal forma que certas ecessdades seam satsfetas. Em geral, pode-se dzer que a qualdade do produto fal é uma méda poderada das qualdades dos produtos usados a mstura. Na Tabela estão lstados algus tpos de produtos advdos de msturas de compoetes e as qualdades ormalmete egdas. Tabela Eemplos de produtos proveetes de msturas Produto Fal Qualdades Matéras-prmas Almeto Metas Coque Quatdade de proteía, carbodrato, gordura, fbras, etc. Coteúdo de carboo, magaês e cromo Teor de cza, eofre, umdade, matéra volátl, etc..- Estrutura Geral do Problema de Msturas mlho, soa, avea, trgo, farelos, farhas, etc. méro de ferro (ou metas), refugo de metas e metas usados carvões vdos de dferetes mas espalhadas pelo mudo Cosdera-se que se desea msturar compoetes, as matéras-prmas, cada qual com suas característcas determadas por teores, os quas têm seus custos determados pelo mercado. O produto fal deve estar etre íves acetáves de cada uma das m qualdades egdas, apresetar [ 89 ]
Pesqusa Operacoal a Socedade: Educação, Meo Ambete e Desevolvmeto a 5/09/06 Goâa, GO meor custo fal e ser produzdo em quatdade X. Assm, o problema pode ser equacoado da segute forma: cada compoete de etrada ( =,,..., ) é usado a quatdade e tem custo utáro c cada compoete tem um couto de qualdades M, M = {,,...,m}, as proporções a ( e M). obetvo do problema é obter um produto em quatdade X, resultado de uma mstura de custo mímo atededo às restrções de qualdade. processo produtvo é de mstura sem perdas de quatdade de tal modo que: X as dversas qualdades são poderadamete adtvas. Portato, o modelo cosste em: = Mmzar sueto a LI c a = X 0, =,..., LS, para =,,..., m ode: LI = lmte feror da qualdade ; LS = lmte superor da qualdade ; Essa formulação costtu uma estrutura típca de um modelo de msturas em programação lear. Embora estam outras vertetes, clusve certos modelos ão leares, esse é o que mas se adapta à realdade das sderúrgcas. Na próma seção é apresetado o modelo do carvão, utlzado ao logo deste trabalho.. Estudo de Casos Coforme descrto em Gadolpho (996), cosderam-se varáves ( =,..., ) os carvões, que devem ser comprados em quatdades ão egatvas (q 0) e m restrções de qualdade (respodedo pelo ídce ). Cada carvão utlzado possu um custo estmado (c ) e um teor, ou proporção, de cada qualdade (a ). Como o produto fal desta mstura deve estar etre valores acetáves para cada qualdade, são ecessáras restrções de qualdade. Estas restrções são lmtadas superormete por LS e ferormete por LI tervalos de valores para os quas são deseadas as dversas qualdades da mstura fal. Para evtar que o modelo escolha como solução mas ecoômca quatdades ulas, coloca-se uma seguda restrção, deomada restrção de balaço. Como os coefcetes utlzados para os teores são dados em termos percetuas, trabalha-se em uma escala em que as quatdades mímas são t. ou 00t., de modo a se obter resultados mas faclmete terpretáves. Note-se que sem estas duas últmas restrções (restrções de qualdade e de balaço) o modelo certamete escolhera como resultado mas ecoômco quatdades ulas para cada carvão. A partr do eposto acma pode-se motar o segute modelo de programação lear: [ 89 ]
Pesqusa Operacoal a Socedade: Educação, Meo Ambete e Desevolvmeto a 5/09/06 Goâa, GO Mmzar sueto a LI = q CUSTO TOTAL (9) = = c q a q LS, =,, Κ, m Restrções de qualdade = q D (0) Restrção de Balaço () 0, =,, Κ, Quatdades ão egatvas () A lha (9) apreseta o custo total a ser mmzado a soma poderada dos custos utáros de cada carvão que compõe a mstura. Em (0) tem-se um somatóro das qualdades de cada carvão multplcadas pela sua quatdade; este caso desmembra-se a equação em duas, sedo uma parte referete ao atedmeto do lmte superor e outra ao atedmeto do lmte feror de cada qualdade requerda para a mstura. Desta forma, tem-se um total de m equações. A restrção de balaço () fa a quatdade míma a ser produzda desta mstura. Por fm, as equações represetadas em () correspodem à ão egatvdade das quatdades de cada carvão. Para lustrar o modelo do carvão em uma prmera etapa determístca, dada por valores médos, sem as certezas típcas do carvão foram observadas quatro propredades dos carvões para se fazer à mstura do coque: os teores de eofre, de matéra volátl, de reflectâca e de cza. Com sso, o sstema apreseta as segutes matrzes. Matrz dos custos: c = [ 6,5 6,05 60,00 55,] Matrz tecológca: 0,5, A =, 0,88 0,76,0, 5,5 0,87,77 0,9 7,98, 8,6 0,7 8, Lmtes: 0,0 5,0 LI =, 8,5 LS = 0,85 0,8, 6,5 Quatdade total a ser produzda: D = Este problema, resolvdo com o software LINDO (Schrage, 996), apresetou os resultados mostrados a Tabela. [ 89 ]
Pesqusa Operacoal a Socedade: Educação, Meo Ambete e Desevolvmeto a 5/09/06 Goâa, GO Tabela Resultados da otmzação Varável Valor Custo Reduzdo X 0,75858 0,000000 X 0,000000,00890 X 0,07699 0,000000 X 0,7 0,000000 Custo Ótmo ( a. teração): 60,878 5. Modelo de Msturas com Icerteza Modelo Fuzzy No segute eemplo é cosderado um problema de programação lear com a estrutura de um modelo de mstura, coforme apresetado o tem ateror. Neste caso, o problema a ser cosderado é o mesmo, o que muda é a forma de se resolver, ou sea, a metodologa de resolução do problema. No caso deste eemplo cosdera-se que os coefcetes da matrz tecológca, a, que represetam os teores de cada carvão, e do vetor de custos, c, que correspodem aos custos de cada um dos carvões, possuem certezas e, por este motvo, são modelados como úmeros fuzzy tragulares smétrcos, coforme descrto a segur. 5.- Regão de Vabldade Cosdere-se o problema eemplo está descrto a segur: m c + c + c + c sueto a ã + ã + ã + ã b ã + ã + ã + ã b ã + ã + ã + ã b ã + ã + ã + ã b + + +,0 Ode os coefcetes são úmeros fuzzy tragulares smétrcos, ode o prmero valor represeta o úmero cetral e o segudo a faa de varação. Custos: c c c c < 6,5;, 0 > < 6,05;, 0 > < 60,0;, 0 > < 55,;, 0 > Qualdades:. Eofre:. Volatldade:. Reflectâca: < 0,5; 0, > < 0,76; 0, > < 0,87; 0, > <,; 0, > <,; > <,; > <,77; > < 8,6; > [ 89 ]
Pesqusa Operacoal a Socedade: Educação, Meo Ambete e Desevolvmeto a 5/09/06 Goâa, GO. Cza: <,; 0, > <,; 0, > < 0,9; 0, > < 0,7; 0, > < 0,88; > < 5,5; > < 7,98; > < 8,; > Costates do Lado Dreto Lmtes acetáves de cada qualdade. Lmte de Eofre: b =< 0,5;0, 5 >. Lmte de Matéra Volátl: b =< 7,9;, 9 >. Lmte de Reflectâca: b =<,5;0, 05 >. Lmte de Cza: b =<,5;, 0 > Levado-se em cota que cada um dos coefcetes das restrções de qualdades são úmeros fuzzy tragulares, como descrto aterormete, pode-se escrever o segute couto de equações. 0,55 0,5 + 0,86 + 0,66 + 0,97 + 0,77 +, +, 0,85 0,0,, +,0 +,0 +,77 +,77 + 9,6 + 7,6 0,8 5,0,0 +,0,0 +,0 +,0 + 0,8 + 0,8 + 0,6,0,0,88 + 6,5 + 8,98 + 9, 6,5 09,88 +,5 + 6,98 + 7, 8,5 + + +,0 7.- Fução Obetvo Na obteção da fução obetvo, cosderado que os seus coefcetes (custo) varam detro de uma faa, sedo etão modelados como úmeros fuzzy tragulares, foram utlzados os etremos de cada tervalo. Assm, cosderado que cada um dos coefcetes vara detro de uma determada faa, temse que a fução obetvo de pode ser descrta por: Z f = 60,5 + 6,05 + 59,0 + 5, Z sup = 6,5 + 6,05 + 6,0 + 56, [ 895 ]
Pesqusa Operacoal a Socedade: Educação, Meo Ambete e Desevolvmeto a 5/09/06 Goâa, GO 7.- Modelo Geral Após smplfcações, e colocado a fução obetvo uto com as restrções, tem-se o segute modelo de programação lear crsp. M {6,5 + 6,05 + 6,0 + 56,, 60,5 + 6,05 + 59,0 + 5, } Sueto a 0,55 + 0,86 + 0,97 +, 0,85, +, +,77 + 9,6 0,8,0 +,0 +,0 + 0,8,,88 + 6,5 + 8,98 + 9, 6,5 0,5 + 0,66 + 0,77 +, 0,0, +, +,77 + 7,6 5,0 +,0 + 0,8 + 0,6, 9,88 +,5 + 6,98 + 7, 8,5 + + + 7.- Resultados De acordo com a seção., o modelo apresetado é composto de duas fuções obetvos, que utlzadas para a determação da faa de valores possíves para os valores das varáves e do valor da fução obetvo. Os dos modelos foram descrtos o software LINDO, sedo obtdos os resultados dspostos a Tabela. Tabela Resultados da Otmzação Varável Meor Valor Maor Valor FO 58, 6,975 0,69865 0,706 0,00 0,6 0,985 0,665 0,009 0,065 Aalsado a Tabela é possível fazer as segutes observações: é mportate saletar que os valores apresetados as coluas Meor Valor e Maor Valor correspodem ao meor e maor valor para o valor da fução obetvo. Os valores para cada varável de decsão represetam apeas o valor o poto ótmo; a certeza torou o carvão mas atraete, ou sea, mas utlzado; o valor da fução obetvo ecotrados a Tabela ecotram-se coeretes com os descrtos a Tabela, sedo que estes últmos apresetam uma faa abragete, ressaltado a capacdade da metodologa em determar uma regão de factbldade quado são tratadas as certezas; Além da questão das certezas mecoadas acma, uma smples comparação etre os resultados obtdos com o modelo determístco e aqueles obtdos com a corporação de ambgudades ão tem maor sgfcado em termos de vatages de um procedmeto sobre o outro, pos parte-se de premssas dsttas. No etato, com base as Tabelas e, é possível efetuar algumas observações relevates: [ 896 ]
Pesqusa Operacoal a Socedade: Educação, Meo Ambete e Desevolvmeto a 5/09/06 Goâa, GO a certeza torou o carvão meos utlzado, sedo substtuído pelos carvões e ; a trodução de certezas provocou um acréscmo o valor fal da fução obetvo, pos o carvão mas barato,, fo substtuídos por dos carvões mas caros, e ; os resultados apresetados epressam a reação do modelo à trodução de certezas, tato em termos de uma pora o valor da fução obetvo como o aumeto o úmero de terações ecessáras para se obter uma solução factível. 6. Coclusões A aplcação do ferrametal dervado dos cocetos de coutos fuzzy e de grau de pertêca para a modelagem de formações mprecsas permte a resolução de problemas que ormalmete ão podem ser tratados pela programação matemátca tradcoal. Neste trabalho fo desevolvda uma metodologa para a resolução de problemas de programação lear fuzzy. O método procura ecotrar uma faa de valores possíves para a solução ótma. Para sso, é determada a regão factível e, em seguda, calculados a faa de valores ótmos. Para demostrar o uso desta metodologa fo feta a aplcação dreta da programação lear fuzzy a um problema de mstura de carvões para obteção do coque para sderúrgcas. Esse problema fo calmete tratado o âmbto da programação lear tradcoal; em seguda fo resolvdo o âmbto da programação lear fuzzy, que permte levar em cota mprecsões os coefcetes. Dferetemete do smples uso de tervalos para represetar as faas de varação dos coefcetes, a teora dos coutos fuzzy dspoblza uma forma de quatfcar a possbldade de cada valor estar detro de seu tervalo de varação. A utlzação do modelo fuzzy e do coceto de factbldade permte troduzr uma maor flebldade a casos reas, abragedo tato o problema determístco como problemas com dferetes graus de certeza quato aos coefcetes das varáves. Embora o estudo de caso apresetado teha se baseado um eemplo de pequeo porte, a metodologa fuzzy pode ser utlzada em termos prátcos, ão sedo grade o esforço computacoal adcoal. Referêcas Bblográfcas () Bazaraa, M. S., J. J. Jarvs, et al. (990). Lear Programmg ad Networ Flows. USA, Joh Wley & Sos, INC. () Bucley, J. J. (995). Jot Soluto to Fuzzy Programmg Problems. Fuzzy Sets ad Systems. 7: 5-0. () Datzg, George B. (96). Lear Programmg ad Etesos. Prceto Uversty Press, New Jersey. () Dubos, D. & Prade, H. (980). Fuzzy Sets ad Systems: Theory ad Applcatos. Academc Press, New Yor. (5) Eel, P.Y..(999). Approach to Decso Mag Fuzzy Evromet. Computers ad Mathematcs Applcatos. 7: 59-7. (6) Eel, P.Y..(00). Methods of Decso Mag Fuzzy Evromet ad Ther Applcatos. Nolear Aalyss. 7: 979-990. [ 897 ]
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