GRITO Matemática Semietensivo V. ercícios 0) Logo, = 0 + 0 + 0 = 70 Observe a figura: 9 6 0 X 0 gora considerando os dois relógios: 0) O relógio é uma circunferência, o ponteiro dos minutos leva ora para percorrer os 60 o e o ponteiro das oras leva oras para fazer o mesmo. Ponteiro de oras: cada ora, o ponteiro avança para a próima marcação de ora. Se á marcações dessas no relógio, o percurso angular do ponteiro das oras de uma para outra é de (60/) o = 0 o. ntão, a cada ora o ponteiro das oras anda 0 o, mas como ora = 60 minutos, esse ponteiro anda 0 o em 60 minutos, ou seja, 0, o por minuto. Ponteiro dos minutos: sse ponteiro sempre fica eatamente no lugar da marcação dos minutos. Há 60 marcações dessas no relógio. ntão, cada uma corresponde a / = 6. Logo, às oras e 0 minutos, o ponteiro grande está na marcação do número, que corresponde a 0 minutos, e o ponteiro pequeno está entre o e o. omo este último se desloca 0, o /minuto (0 minutos depois de estar no ), ele se encontra a 0 depois do (0 0, o = 0 o ). gora é só pensar no ângulo interno entre os dois e fazer a conversão para radianos. Temos: 80 π rad. 0 rad. 0π π = = rad. 80 9 onsiderando o relógio da esquerda: Ponteiro pequeno: 60 min 0 0 min = 0 0) 60 min 0 min 0 = 0 minutos 0 0 0 = 70 0 0 70 0 Observe que utilizamos o ponteiro pequeno para calcular o deslocamento do ponteiro grande. + 0 min. min. min. 9 Às min, com certeza o ponteiro dos minutos está sobre o 9, mas o ponteiro das oras está um pouco mais perto do que do. O ponteiro das oras percorre a cada ora 0, como ora = 60 min, ele percorre em minuto 0,, ou seja, em minutos ele encontra-se a, após o. omo partindo do e indo até o 9 o ângulo formado é de 0 ( 0 ), temos que o menor ângulo formado pelos ponteiros do relógio é: 0, = 7, 6 Matemática
GRITO 0) omo a figura representa um cubo, suas faces são quadrados, cujas diagonais são todas iguais. Unindo-se as diagonais, F e F, formamos um triângulo equilátero, conforme figura abaio, cujos ângulos internos são de. F G 08) Temos que: + = 00 = 00 = 0 e β + = 80 β = 80 = 0 r 80 0) t H 09) s Temos que: + 80 = 80 = 00 Obs: = ângulo. + 8 r r s + 0 s 06) r //s + 0 = + 8 = 8 = 0 r 68 0 s Temos que: + 68 + 0 = 80 = 80 08 = 7 0) 0 Temos que: + = 0 6 = 0 = 0 e + = 80. (0 ) + = 80 00 + = 80 = 80 F 0 07) t 7 0 β 80 00 r s 7 8 7 Temos que: + 7 + 7 = 80 + = 80 = 8 Matemática
GRITO ) z z 6 omo β = = β. Logo: + β + 0 = 80 + β = 0 + β = 0 Porém, + β + = 80, logo 0 + = 80 = 0 Portanto = 0, pois X = (O.P.V) ) 6 Logo: + + = 80 = 80 7 + z + = 80 80 7 + z + = 80 z = e e 80 0 80 0 80 0 80 0 ) z + 6 + = 80 + 6 + = 80 0 = 80 = 8 O inverso de é. Logo a parte correspondente é k. O inverso de é. Logo a parte correspondente é k. O inverso de é. Logo a parte correspondente é k. Portanto a constante de proporcionalidade é: 80 80 K = + + = 0 = 8 Logo: k. 8 = 6 k. 8 = k. 8 = 90 ) 0 omo = =. β ) Logo: 80 0 + 80 0 + = 80 8 + 60 = 80 60 80 = 8 = 80 8 = 0 Si = 80(n ) 0 + 0 + 0 + 0 + 00 + 0 + = 80(7 ) 780 + = 900 = 900 780 = 0 6) i = Si n = 80( n ) n Logo: 60 = 80( n ) n 60n = 80n 60 60 = 80n 60n 60 = 0n n = 60 0 Portanto: = nn ( ) 8 8 7) n = 8 lados ( ) =. 8 = diagonais i = 80( n ) 80( ) 80. = = = 08 n Logo: + = 08 + 08 = 6, pois =. Matemática
GRITO 8) 08 ) 90 90 90 90 90 90 90 9) ois quadrados e três triângulos 90 90 90 8. 90 = 70 ) 7 7  + + = 08 08 0) ) Sn = 80(n ) Logo: Sn = 80(n ) Sn = 80(n ) 900 = 80(n ) 900 80 = n n = 0, + n =, lados Logo o polígono deve ter lados Sn = 80( ) Sn = 80() Sn = 980. Portanto, se Sn = 980 e Sn = 900, o ângulo remanescente é 980 900 = 80..0 + 8(n ) = 80(n ) 60 + 8n 6 = 80n 60 60 6 + 60 = 80n 8n n = 6 n = 6 = 7 i = Si n = 80( n ) n i = 80 ( ) 0 = = 08 +.(7) = 80 = 80 = 6 ) ) Idem  = 80 = 6 δ ε b a c e d γ 80 e 80 d β Matemática
GRITO 6) a + b + c + d + e = 80( ) a + b + c + d + e = 0 80 e + 80 d + β = 80, logo, usando raciocínio equivalente, temos que: e + d = β + 80 e + a = γ + 80 a + b = δ+ 80 b + c = ε + 80 c + d = + 80 a + b + c + d + e = + β + γ + δ + ε + 900 (a + b + c + d + e) = + β + γ + δ + ε + 900. (0) = + β + γ + δ + ε + 900 080 900 = + β + γ + δ + ε + β + γ + δ + ε = 80 i = 80( n ) n i = 80 ( 9 ) 9 i = 0 7) 9 = 00 0 0 0 0 +. (0) = 80 = 80 80 = 00 Portanto a soma dos ângulos é 9. 00 = 900. (a, b, c) P. n() = a S = 80(a ) r = n() = b S = 80(b ) n() = c S = 80(c ) 80(a ) + 80(b ) + 80(c ) = 0 80(a + b + c ) = 0 a + b + c 6 = 0 / 80/ a + b + c = 8 + 6 a + b + c = omo: b = a + r b = a c = b + r c = b c = a c = a Substituindo: a + a + a = a = 0 a = 0 (0, 8, 6) 0. orreta. = nn ( ) 0 =. 7 = diagonais 0. Incorreta. = 6. = 9 0. orreta. Sn = 80(6 ) = 70 80( 0 ) 08. orreta. Âi = = 8. 8 = 0 Logo e = 80 = 6 () 6. orreta. i = 80 ( 8 ) 80. 6 70 = = = 8 8 8) a r = r = a Sn = 80(6 ) r = a a 6 = a + r a 6 = a +. a a 6 = a + a a 6 = a ( a+ a6) 6/ = 80(6 ) / (a + a 6 ) = 80. a + a 6 = 0 a + a = 0 8a = 70 a = 90 r = 90. r = Logo (90, 0,, 6, 8, 0 ) 9) 0 (a, b, c) P. P.. b a = c b b = a + c a + b + c = b + b = b = b = 8 Logo: (, 8, ) lados 8 lados lados e 80(a ) = 60 a = 60 / 80/ a = 9 + a = 0. Incorreta. i = 80 ( ) = 08 e = 80 08 e = 7 Matemática
GRITO 0. orreta. i = 80 ( 8 ) = 90. 6 = e = 80 8 e = (V) 0. Incorreta. = nn ( ) ( ). 8 = = = diagonais. 08. orreta. 80( ) 80. 9 6. Incorreta. i = = = 7,7 0) n = S n = 00, onde é o ângulo n. 80(n ) = 00 n = 00 + 80 n = 00 + + 80 n = 00 + 6 + = + 80 n = lados ) 99 0 00 80, 80 60 00 60 6 Logo: = 6 ) = nn ( ) 0 = nn ( ) 0 = n n n n 0 = 0 n' = 8 lados octógono n" = (não serve) ) = nn ( ) K. n = nn ( ) Kn = n n n n kn = 0 n(n K) = 0 n = 0 ou n k = 0 n = K + ) = nn ( ) = n(n ) F + 0 = ( n+ ) ( n+ ) + 80 = (n + )(n + ) n(n ) + 80 = (n + )(n + ) n n + 80 = n + 7n + 0 n 7n = 0 80 0n = 70 n = 7 Heptágono 6) soma de dois lados consecutivos é igual à soma dos ângulos opostos, também consecutivos. 0 + = + = 8 0 = 8 + = 0 + = = 0 Menor camino entre e Z. z Logo: P = 0 + + + + 0 + 8 = 99 7) ) n = 8 lados = nn ( ) = 88 ( ) =. = 0 + 0 + 0 +6 6 Matemática
GRITO ( + 0) + + + 6 = 80 +0 + + + 6 = 80 + 0+ + + = 9 = 60 7 = 88 9 = 60 Logo, + + + 0 = 80 + +. + 0 = 80 + + + 0 = 80 = 80 66 = 8) 70 0 Logo no Δ + + = 80 = 80 60 = 0 6 9) + = () + = = tg =. tg = = = Matemática 7
GRITO 0) 0 0. Verdadeiro. Qualquer mediana divide um triângulo em dois outros com as medidas iguais de base e altura. 0. Verdadeiro. Qualquer triângulo retângulo tem a ipotenusa com diâmetro do círculo circunscrito. ntão o ponto médio da ipotenusa é o centro do círculo e equidista dos três vértices do triângulo. ssim, a medida relativa à ipotenusa mede a metade dessa ipotenusa, dividindo o triângulo retângulo em dois triângulos isósceles, sendo um acutângulo e outro obtusângulo. 0. Falso. s duas partes são triângulos semelantes mas não são congruentes. 08. Falso. bissetriz do ângulo reto não divide a ipotenusa em partes iguais, pois essa bissetriz só se confunde com a mediana se o triângulo retângulo for isosceles. 6. Falso. Sendo escaleno, o triângulo retângulo não tem a mediatriz da ipotenusa como ceviana. Tal mediatriz cortará o triângulo em uma parte triangular e outra quadrangular. Suas àreas são visivelmente diferentes. ) = +... cos 0 0 G 0 N M 0 = +.( ) = + + = Logo N = Portanto N = N = + = + 7 N = = 7 omo G é o baricentro, então: GN = N GN =. 7 = 7 6 ) 0 Logo = = omo N é o baricentro do Δ, então: N =. N N =. = 0 0 ) + = ( ) + =. = = 9 = cm 8 Matemática
GRITO ) sen = = = /.. = km / 0 0 0 7) l O = ( ) O =. () = 0 = π rad. omo // OX, temos O = O X = 0 = π 6 rad. l l l Logo = π π π 6 = π π π 7 = 6 6 π l ) + = 80 = = 90 6) tg = = = 8 β = 8 = = = 0. = + = = 6 = = 8) + + + 7 = 80 = 80 90 = 90 = 0 9) No Δ H. 0 = 90 0 + = 7 0 = 0 0 + + = 90 + = 90 Matemática 9
GRITO No Δ H ) + + = 90 + = 90 0) + = 90 + = 90 = 90 = 90 = 90 + 90 = 80 = 80 90 = 90 = 0 0 L H L cos = 0 L = 0 L L = 0 sen = H L sen 0 = H L 8 6 = H 0 H = 0 H = 0 = 0 L L = 0 = 0.,7 L =,6 = (8 ) + 6 Logo, L + L =,6 + 0 =,6 m ) = 6 6 + + 6 6 = 00 = 00 6 = ),0 m, m F Q G Logo, =,6 m Lei dos cossenos, = +... cos Q QG Trapézio F Trapézio F + + = = = oncluímos portanto, que a altura do PQ é: + = + 6 = 9 P,96 = + /... /,96 = + 0,96 = 0 ±. 096, =. = ± + 8, = ±, 8 0 Matemática
GRITO ) = ±, ' = +, =,6 " =, = 0,6 (não serve) 6) β jogador m L 0 bola jogador m canto da quadra sen = / = / = sen 0 = L = L L = m omo //, então e β são alternos internos, portanto = β e tg = tg β = = Logo, tg = 7),9m ) 0 Z =6 m 0 m H + = ( ) H + = 6. H = H = 8 = 7 H sen = = =. = Logo, H = 7 = ( 7 ) m = cos = 8 = 8 = m z + 8 = 0 z = 00 6 z = 6 z = 6 m 8 8 m = sen = 8 = 8 = Logo, H = (6 + ) H = 6 + 6,9 H =,9 m Matemática
GRITO 8) 8 H ' G 6 6 6 F z Portanto, z + = + 6 = 8 Logo, = 8 = 9 = l = 9 = 8 + = (6 ) = 6. = 6 = 6 z = (6 ) + (6 ) z = 6. + 6. z = 7 + 7 z = z = 9) J K 0 G d H L F 6 I I + = 6 I = 6 9 I = Logo, FJ = Portanto, = + 6 = 6 6 tg 0 = KG = KG KG = Logo, HL = Portanto, d = 6 d = 6 ntão: =. d ( 6 6).( 6 ) = 6. 6 + 8 7 = 6 = ( ) Matemática
GRITO 60) 6) M β F β N 0 sen = sen =. = 0 R ( ) sen = = 0 se = 0 β = γ = 0 Logo, tg γ = F tg 0 = F = F F = Logo, F = F F = F = Portanto cos = N F cos 0 = N F = N N =. R tg 0 = = = =. = 9 tg 0 = R = = L = + R + = L = + ( ) + L = + + L = 6) Portanto, perímetro P =. = u.c. 0 a = N = ( ) 0 β =7 F Matemática
GRITO O quadrilátero F é um paralelogramo. Logo, ângulos consecutivos são suplementares; portanto = 0 e consequentemente Ê =. Sendo Si = 80( ) = 80. = 0, 6),76 cm 6) logo + 7 + 0 + + a = 0 a = ntão sen = = = 6 6 Os triângulos e são semelantes, pois têm o ângulo em comum e ambos tem um ângulo reto. omo + = 6 = 0 Portanto = 0 = = F,8 O ângulo ~ F e ~ e consequentemente  ~ Ê. 6 = + 8, + 0 = 8,8 = 8,8 = 88, =,76 cm 6) d' a d b d = d' b a = d c bc = ad bc = a. d' b a = d c Matemática