Departamento de Engenharia Química e de Petróleo UFF Disciplina: TEQ- CONTROLE DE PROCESSOS custo Diagrama Outros Processos de Bode: Traçado Separação por assíntotas Prof a Ninoska Bojorge Papel Bode
Papel Bode 3 Papel Bode 3 4
5 Resposta de Frequência Lembrando!! X(s) s) Y(s) Se x(t) Asen ωt então y(t) A sen (ω t + ϕ) A função de transferência senoidal jω) é uma função complexa e pode ser representada pela magnitude e ângulo de fase com a frequência como parâmetro.
Lembrando!! Função detransferência: Polos e Zeros e Função detransferência Uma função de transferência é definida como a razão entre a transformada de Laplace da saída para a entrada com todas as condições iniciais iguais a zero. Funções de transferência são definidos apenas para sistemas lineares invariantes no tempo Considerações: Fatoração: A Função de transferência pode geralmente ser expressa como a razão de dois polinómios na variável complexa, s. A função de transferência pode ser fatorada na seguinte forma: K( s + z )( s + z )...( s + z s) ( s + p )( s + p )... ( s + p m n ) ) As raízes do polinômio no numerador são chamados zeros. As raízes do polinômio do denominador são chamados pólos. Lembrando!! por Exemplo: Polos e Zeros e Função detransferência Dada a seguinte função de transferência. Mostrar o pólos e zeros no plano s. s) ( s + 8)( s + 4) s( s + 4)( s + ) eixo jω Plano S o -4 x - o -8 x -4 x origem eixo σ
Lembrando!! Polos e Zeros e Função de Transferência Caracterização: Considerando-se a função de transferência do slide anterior. Note que temos 4 diferentes tipos de termos na forma anterior geral da função de transformada fatorada: Estes são: K B,,, ( s / z + ) s ( s / p + ) Expressando em db: Dada a função de transferência: K ( jw/ z + ) B jw) ( jw)( jw/ p + ) log jw log K + log ( jw/ z + ) log jw log jw/ p + B wlg Polos e Zeros e Função de Transferência Ou seja: Temos que considerar 4 termos distintos: logk B log (jw/z +) -log jw -log (jw/p + ) wlg
Esta é uma folha de papel semi-log de 5 ciclos. Este é o tipo de papel geralmente utilizado para a preparação de Diagramas de Bode. Magn db Fase (graus) wlg ω (rad/seg) db O ganho em db vem dado por log jw) década Baixar/subir db equivale a dividir/multiplicar por - Eixo logarítmico de frequências A escala da frequências podem vir em Hz ou em rads/seg (pulsação). Como trabalhamos com w empregaremos rads/s
Preparação do Diagrama de Bode Diagrama de Bode usa a função de transferência em malha aberta, G OL O diagrama é um par de graficos correspondentes a magnitude e a fase. A representação da magnitude logarítmica é.log jω) em db. Utilizando: log ab cd logab logcd loga + logb logc logd A principal vantagem: multiplicação é convertida em adição Fatores básicos de jw) Observação: Caso o termo geral pertença ao denominador, sua contribuição para a magnitude da resposta será negativa Fatores das funções de transferência: Ganho constante Pólos e zeros reais que ocorrem na origem Pólos e zeros reais que não ocorrem na origem Pólos e zeros complexos Deve-se prestar atenção para a frequência de corte e da forma da equação deve ser montada
Ganho K i) Ganho constante, G (s) K: db log K logk -logk As curvas da magnitude são constantes a fase é sempre º (ou -8º si a cte é negativa) O log da magnitude do ganho é uma linha reta em log (K) se K >, então a magnitude é positiva se K <, então a magnitude é negativa O ângulo de fase continua sendo o mesmo. Inclinação é na frequência de interrupção (ou de canto) S n Fatores s n tem um diagrama de amplitude que consiste numa linha reta cuja inclinação é igual a n[db/década] e fase constante e igual a n π/. Esta linha cruza o eixo horizontal ([db]) com ω. db + db Polo na origem.. ω.. ω - Zero na origem - - Ângulo de fase 9º (constante) G tan - ( /) tan - ( ) 9º
Polos e Zeros e Função de Transferência Método: O termo do ganho, logk B, é apenas tantos db e esta é uma linha reta no papel de Bode, independente do ω (frequência, rad). O termo - log jw - logw, quando plotada em papel semi-log é uma linha reta inclinada em - db/década. Ela tem uma magnitude de em ω. -db/dec - ω w Polos e Zeros e Função de Transferência Método: jw - log é traçado seguindo a aproximação: p + Se ω < p log (jw/p + ) db, uma linha reta no Bode. Se ω > p log(w/p), que se inclina com -db/dec iniciando em ω p, como ilustrado abaixo. - -db/dec -4 ω p wlg
Polos e Zeros e Função de Transferência Método: Quando temos um termo de log (jw/z + ) nós aprox. a ser uma linha reta de pendente db/dec quando w < z. Aproximamos como log(w/z) quando w > z, a que é uma linha reta no Diag. Bode com uma inclinação de +db/dec. Ilustrada abaixo: +db/dec - -4 ω z Primeira Ordem Bode Diagram Magnitude (db) -5 - -5 - -5-3 45 o Inclinação: - db/dec Phase (deg) -45-9 - - ωb Frequency (rad/sec) frequência de interrupção ou frequência de corte, frequência de canto
Segunda Ordem Os diagramas de Bode de amplitude e fase com polos complexos conjugados são bastante mais complicados que os de um polo simples. Assim considere a função de transferência: ( ) ωn G s, < < s + ξω + ω ξ ns n Que pode expressa como: s) s ωn ξs + + ωn Diagrama de amplitude: s jω jω) ( jω) ωn ξjω + + ωn jω) ( jω) ωn ξjω + ωn log ( jω) ωn ξjω + ωn db Segunda Ordem. para ω << ω n, resulta log() [db], isto é, para baixas frequências o diagrama de módulo é uma linha reta horizontal (assíntota de baixa frequência).. para ω >> ω n, resulta a assíntota de alta frequência dada por w jw) log w n db 4log w w n db reta que decai a -4 db década 3. para ω ω n. Pode-se mostrar que o pico no módulo ocorre perto da frequência ω n. O peso exato bem como a localização podem ser determinados diferenciando a expressão do módulo da função de transferência em relação à frequência e igualando a zero. O pico ocorre à frequência de ressonância w r w n ξ e com amplitude dada por jwr ) log(ξ ξ ) db
Segunda Ordem Desenho de diagramas de Bode assintóticos Em geral é suficiente representar o pico à frequência ω n. Recomendação: Desenha-se primeiro a assíntota de baixa frequência até à frequência ω n e a assíntota de alta frequência a partir dai. Em seguida desenha-se uma curva suave entre as assíntotas de baixa e alta frequência e que passa pelo valor do pico próximo da frequência ω n. 3 Termo quadrático Integral: Frequência de quebra ω ω n Inclinação: 4 db/década Ângulo de fase é -9 o na frequência de quebra Derivativo: Frequência de quebra ω ω n Inclinação: 4 db/década Ângulo de fase é -9 o na frequência de quebra Frequência Ressonante: ω r ω n ζ
Termo quadrático Magnitude (db) - -4-6 -8 Bode Diagram + jω ( jω) + ω n Inclinação 4dB/dec Phase (deg) -45-9 -35 Freq corte em 9 o ω n -8 - Frequency (rad/sec) Exemplo Plotar Diagrama de Bode, por assintotas para a seguinte FT: G ( jw) jw + 5 G jw. G + 5 ( ) G s s + 5 G G.log 6, G jw + 5 G -tan - ( ) º G -tan - ( w/5) -tan - ( ) -9º, 6
Exemplo Plotar Diagrama de Bode, por assintotas para a seguinte FT: G G ( jw) G jw + 5 G.log 6, G -tan - ( /) -tan - ( ) -9º jw + 5 G -tan - ( ) º G -tan - ( 5w) -tan - ( ) -9º G jw. G + 5 Magnitude (db) Phase (deg) - - -45 bode(,[,5,]) Bode Diagram -9 - Frequency (rad/s) 7 ( ) G s s + 5 Primeira Ordem: Diagrama de magnitude Exemplo : s) ( + ) s s + s + s + s jw db numerador - denominador. ω, rad/min
Exemplo : Gs ( ) Primeira Ordem: Diagrama de fase s + s + 9º zero 45º fase total -45º -9º polo. ω, rad/min Exemplo : Gs ( ) s + s + >> num [ ]; den [. ]; sys tf(num,den); bode(sys) G ( jw) jw) jw + jw + w + w + 9w tan + w w Módulo (db) Fase (rad) Fase (º),,4,9 5,4,,7,8,6,5,96,4 3,7,9,54,64 36,84,97,69 39,9 6,8,9 5, 3 9,63,96 54,87 7 5,6,8 46,88 8 5,98,77 44, 9 6,56,73 4,67 7,3,69 39,9 7,4,65 37,8 7,74,6 35,4 9,4,4 3,7 5 9,83,8,6 9,96,9 5,4 log w + w + 9w tan + w
Exemplo 3: Determinar a função de transferência, s) a partir da resposta de frequência da malha aberta de um sistema indicado pelo modulo representado no seguinte desenho: O valor correspondente da frequência de corte anterior: 4 db Log (4+.94)dB Log 5 - logω (4+.94)log4(log5 - logω ) 4+.944(log5/ω ) ω rad/s Exemplo 3: Determinar a função de transferência, s) a partir da resposta de frequência da malha aberta de um sistema indicado pelo modulo representado no seguinte desenho: Obs: no diagrama de Bode observasse que o sistema inicia para baixas frequências com uma inclinação de -DB/dec, o que corresponde com um polo na origem da F.T. (ou seja /wj)
Exemplo 3: Determinar a função de transferência, s) a partir da resposta de frequência da malha aberta de um sistema indicado pelo modulo representado no seguinte desenho: Na frequência ω rad/s. a inclinação sofre uma variação de - db/dec, então: P w,5 Logo o fator é ( +,5jw) Exemplo 3: Determinar a função de transferência, s) a partir da resposta de frequência da malha aberta de um sistema indicado pelo modulo representado no seguinte desenho: Na frequência ω 5 rad/s. a linha da inclinação sofre uma variação de - db/dec, então: P w 5, Logo o fator é ( +,jw)
Exemplo 3: Determinar a função de transferência, s) a partir da resposta de frequência da malha aberta de um sistema indicado pelo modulo representado no seguinte desenho: Agora alta ajustar o ganho da função de transferência. A contribuição do polo na origem para a w rad/s é de db (mais exato, log () ) logo o modulo em dita frequência corresponde com a contribuição do ganho: a razão de amplitude desde na frequência w rad/s até a frequência w rad/s é: G log / 6, db assim o modulo para w rad/s será :,94 +6. 7,96dB 7,96dB logk K,5 Exemplo 3: Determinar a função de transferência, s) a partir da resposta de frequência da malha aberta de um sistema indicado pelo modulo representado no seguinte desenho: Por tanto, jw): jw),5 jw( +, jw)( +,5 jw) Em termo da transformada de Laplace, s): s),5 s( +,s)( +,5s) ou 5 s) s( + s)( + 5s)
jw),5 jw( +, jw)( +,5 jw) Bode Diagram Magnitude (db) 5-5 - -9 Phase (deg) -35-8 -5-7 - - Frequency (rad/s)