Prof. Carlos Ruberto Fragoso Jr. Fenômenos e Transporte I 1. Funamentos e Cnemátca os Fluos 1.1 Defnções Escoamento é a eformação contínua e um fluo que sofre a ação e uma força tangencal, por menor que ela seja. Cnemátca os Fluos escreve o escoamento os fluos sem se preocupar com as forças que orgnam estes movmentos. A análse esta forças é exaa para a nâmca. Para sso, organza nformação sobre a posção, o eslocamento, o espaço percorro, a velocae, a rapez e a aceleração os corpos. Cnemátca (o grego: cnemátca = movmento). Tpos e Forças Esforços os fluos gravtaconal campo ou volumétrcas centrífugo normas (compressão) contato ou superfcas tangencas (csalhamento) Fluo em repouso atuam somente as forças e campo. Fluo em movmento atuam as forças e campo, normas e também forças e csalhamento. 1.2 Regmes e escoamento a) Escoamento lamnar: As camaas e fluo eslzam umas sobre as outras (lâmnas); não há mstura macroscópca e fluo. A velocae o escoamento em um etermnao ponto não vara com o tempo. Ocorre quano o fluo escoa em baxas velocaes em um tubo com âmetro pequeno. b) Escoamento turbulento: Aparecmento e turblhões no seo o fluo, provocano a mstura. A velocae num ponto oscla com o tempo ao reor e um valor méo.
1.3 Experênca e Reynols (1883) Por meo este expermento Reynols poe evencar a ferença qualtatva entre o escoamento lamnar e turbulento. O expermento conssta em ntrouzr um fo e líquo coloro no centro e um tubo através o qual o mesmo líquo, sem corante, escoava com uma velocae controlaa. A baxas velocaes e escoamento, o fo e líquo coloro permaneca reto e contínuo pelo comprmento o tubo e quano certa velocae crítca era atnga, a lnha colora era volentamente agtaa e sua contnuae estruía por curvas e vórtces, revelano assm fluxo turbulento. 1.4 Número e Reynols Quano a velocae e um fluo que escoa em um tubo excee certo valor crítco, o regme e escoamento passa e lamnar para turbulento, exceto em uma camaa extremamente fna junto à paree o tubo, chamaa camaa lmte, one o escoamento permanece lamnar. Além a camaa lmte, one o escoamento é turbulento, o movmento o fluo é altamente rregular, caracterzao por vórtces locas e um grane aumento na resstênca ao escoamento. O regme e escoamento, se lamnar ou turbulento, é etermnao pela segunte quantae amensonal, chamaa número e Reynols: ρud ud Forças Inercas Re = = = μ ν Forças Vs cos as (1) Verfca-se expermentalmente que o escoamento e um fluo em um tubo crcular é: Lamnar se Re < 2100. Turbulento se Re > 4000. Instável, muano e um regme para outro se 2100 < Re < 4000 (regão e transção). 1.5 Propreaes Intensvas e Extensvas Graneza ntensva é qualquer graneza assocaa a uma substânca que seja nepenente a sua massa. Poe-se ctar como graneza ntensva a velocae e a temperatura. Consequentemente graneza extensva é aquela que epene a massa a substânca (.e. o tamanho o sstema). Como exemplos ctam-se a massa e o volume a substânca. Toa a graneza extensva tem uma ntensva a ela assocaa, enomnaa graneza específca, que poe ser obta vno-se a graneza pela massa a substânca, como exemplfcao a segur para uma propreae N qualquer.
η= N m ou propreae extensva propreae ntensva = (2) m A próxma tabela exemplfca algumas granezas extensvas usuas em fenômenos e transporte e corresponentes ntensvas. Tabela 1.0 Exemplos e granezas extensvas e corresponentes granezas ntensvas. Extensvas Intensvas Massa m 1 Quantae e movmento um Velocae u Volume V Volume específco v Energa E Energa específca e Energa nterna U Energa nterna específca u Energa cnétca ½ m u 2 Energa cnétca específca ½ u 2 Energa potencal mgz Energa potencal específca gz 1.6 Sstema É uma quantae e matéra e massa e entae fxa, que escolhemos como objeto e estuo. Esta quantae e matéra está conta por uma frontera através a qual não há fluxo e massa. Apenas energa (calor e trabalho) flu através a frontera. Exemplo: Sstema 1.7 Volume e Controle É uma etermnaa regão elmtaa por uma frontera one uma etermnaa quantae e matéra é observaa. A frontera esta regão poe ser atravessaa por massa, calor, trabalho ou outras formas e energa. Estua-se a varação a massa e a energa a substânca ao atravessar esta regão. Exemplo: Volume e Controle
1.8 Regme permanente (estaconáro) e transente No escoamento permanente, as propreaes e característcas o fluxo são nepenentes o tempo. Isto sgnfca que não exstem muanças nas propreaes este fluxo em um etermnao ponto com o ecorrer o tempo, mas poe ter muanças espacas (e um ponto com relação ao outro). 1.9 Descrção Lagrangeana (sstema) e Eulerana (volume e controle) Estes os tpos e escrção permtem analsar problemas em mecânca os fluos e uas formas ferentes: 1) Descrção Lagrangeana (sstema) consste em entfcar certas partículas o fluo e a partr aí observar varações e propreaes tas como temperatura; velocae; pressão; etc. ao longo o tempo, ou seja, necessta-se conhecer as propreaes as partículas à mea que estas se eslocam no espaço com o passar o tempo. Isto fculta conseravelmente o estuo o escoamento. A outra forma, a Eulerana, apresenta vantagens por oferecer maor smplcae com precsão satsfatóra. (No métoo e Lagrange a mea eve acompanhar o escoamento ex. balão e sonagem atmosférca). 2) A escrção Eulerana (volume e controle) é a mas apropraa para se estuar as propreaes o fluo em escoamento. Este métoo consste em fxar-se o tempo e observar as propreaes o fluo em város pontos pré-estabelecos poeno-se assm obter uma vsão o comportamento o escoamento naquele nstante. Repetno-se este procemento para alguns nstantes ferentes poe-se ter um entenmento o comportamento o escoamento ao longo o tempo. (No métoo e Euler, escolhe-se um volume e controle, que é fxo no espaço, o qual é atravessao pelo escoamento. Neste métoo, o equaconamento é aplcao nas entraas e nas saías). 2. Balanços Globas e Dferencas Para se estuar um escoamento eve-se entfcar algumas nformações relatvas ao processo e funamentar a técnca a ser utlzaa para a sua análse. As aboragens e análse são baseaas na escrção lagrangeana (ferencal) e eulerana (global), assm: Balanços Globas: o volume e controle elmta uma caxa preta; as equações e balanço são aplcaas através a envoltóra o volume e controle; o volume e controle poe nclur parees sólas, e não fornece nformações sobre o comportamento ponto a ponto o sstema, apenas valores globas (ou seja, entraas e saías).
Balanços Dferencas: o elemento e volume é nfntesmal; está entro a caxa preta; permte ao observaor observar varações as granezas no nteror o volume e controle; o balanço é aplcao geralmente sobre uma únca fase, e o balanço é ntegrao até os lmtes a fase com o auxílo e conções e contorno para encontrar a solução partcular o problema. 2.1 Equações báscas na forma ntegral para um volume e controle (Balanço Global) Começaremos nosso estuo e fluos em movmento esenvolveno as equações báscas na forma ntegral para aplcação em volume e controle. Por que a formulação em volume e controle (.e. regão fxa) em vez e sstema (.e. massa fxa)? Há os motvos báscos. Prmero, é extremamente fícl entfcar e segur a mesma massa e fluo em toos os nstantes, como eve ser feto para aplcar a formulação o sstema. Seguno, o que nos nteressa, geralmente, não é o movmento e uma aa massa e fluo, mas sm o efeto o movmento global e fluo sobre algum spostvo ou estrutura (tal como uma seção a asa ou uma curva e uma tubulação). Deste moo, é mas convenente aplcar as les báscas a um volume efno no espaço, usano uma análse e volume e controle (sstema eulerano). Como já estamos famlarzaos com as les báscas para um sstema, pos elas fazem parte e estuos anterores e físca, mecânca e termonâmca. Nosso objetvo agora é obter expressões matemátcas para estas les que sejam válas para um volume e controle, mesmo sabeno que as les báscas se aplcam realmente a uma massa (.e. um sstema). Isto envolverá euções matemátcas que convertem uma expressão e sstema para uma expressão equvalente e volume e controle. Ao nvés e euzr esta conversão para caa uma as les, remos euz-la e uma forma genérca, e em segua, aplcá-las a caa le. - Les báscas para um sstema (sem entraa ou saía e massa) - Conservação e massa Como um sstema é, por efnção, uma porção arbtrára e matéra e entae fxa, ele é consttuío a mesma quantae e matéra em toos os nstantes. A conservação e massa exge que a massa M, o sstema seja constante. Numa base e taxa (.e. por unae e tempo), temos: D ρ V = 0 (a efnção e sstema, as fronteras não permtem entraa/saía e massa) (3) Sstema
- A prmera le a termonâmca (conservação a energa) A equação a prmera le poe ser escrta na forma e taxa como seno: D Q W = e V ρ (4) Sstema 2 u e= u+ + gz (5) 2 - Seguna Le e Newton (quantae e movmento) Para um sstema moveno-se em relação a um referencal fxo, a seguna le e Newton ( F = ma ) estabelece que a soma e toas as forças externas agno sobre o sstema é gual à taxa e varação e quantae e movmento lnear o sstema. D F = u V ρ (6) Sstema De forma genérca poemos observar que para caa le básca estas apresentaas a quantae ntegral é uma propreae extensva o sstema (N ss ). N ss poe ser massa, quantae e movmento ou energa o sstema. É útl ntrouzr a varável η para a propreae ntensva. Assm, poemos tornar as relações para um sstema e uma forma genérca por: N sstema = ηρ V (7) Sstema - Teorema o transporte e Reynols (converte e sstema para volume e controle) Este teorema tem como premssa transformar as equações válas para um sstema em equações válas para um volume e controle. (.e. converte o sstema Lagrangeano para o Eulerano). As equações obtas na seção anteror para a massa, energa e quantae e movmento são para um sstema, e esejamos agora converter para equações equvalentes para volume e controle. Para sso, usaremos o símbolo N para representar qualquer uma as propreaes extensvas o sstema. Poemos magnar N como seno uma quantae e cosa (massa, movmento lnear, movmento angular ou energa) o sstema. A propreae ntensva corresponente (N/m) será esgnaa por η. Assm, N sstema = ηρ V (8) Sstema
Com base nas equações e sstemas e por meo e uma comparação entre sstema e volume e controle, obtemos uma relação funamental entre a taxa e varação e qualquer propreae extensva arbtrára, N, e um sstema e a varação estas propreaes assocaas com um volume e controle. Alguns autores referem-se a esta equação scrmnaa a segur, como o Teorema e Transporte e Reynols (TTR). DN sstema = ( ηρ ) V + ( ηρnu ˆ ) A ou (9) A DN sstema = ( ηρ ) V + ( ηρnu ˆ ) A (10) Avalação o prouto vetoral ˆnuA nua ˆ = u(cos α ) A ˆnuA = + ua ˆnuA = ua Interpretação físca e caa termo o TTR DN sstema ( ηρ) V ( ηρnu ˆ ) A - é a taxa e varação e qualquer propreae extensva (a quantae e qualquer cosa, por exemplo, massa e energa) arbtrára o sstema. - é a taxa e varação com o tempo a propreae extensva arbtrára N entro o volume e controle. : η é a propreae ntensva corresponente a N; η = N/m. : ρv é um elemento e massa conto no volume e controle. : ( ηρ) V é a quantae total a propreae extensva N conta entro o volume e controle - é a taxa líqua e fluxo a propreae extensva N através a superfíce e controle. : ( ρ nu ˆ ) A é a taxa e fluxo e massa através o elemento e área A por unae e tempo. : ( ηρ nu ˆ ) A é a taxa e fluxo a propreae extensva N através a área A.
2.1.1 CONSERVAÇÃO DE MASSA O prmero prncípo físco ao qual aplcamos a relação entre as formulações e sstema e volume e controle é o prncípo a conservação e massa. A massa e um sstema permanece constante. As formulações e sstema e e volume e controle (genérca) são relaconaas pela equação DN sstema = ( ηρ ) V + ( ηρnu ˆ ) A (30) Para euzr a formulação para volume e controle a conservação e massa, fazemos: N = M e η = 1 Que substtuíos na equação genérca o TTR fornece: DM sstema = ( ρ ) V + ( ρnu ˆ ) A (31) DM sstema Da conservação e massa para sstema = 0, resulta em: ( ρ ) V + ( ρ nu ˆ ) A = 0 (Balanço Geral para Conservação e Massa) (32) ( ρ ) V = Taxa e aumento e massa no ( ρ nu ˆ ) A = Taxa líqua e massa através a Para um volume e controle fxo (não eformável), unmensonal (propreaes o escoamento são pratcamente unformes) representao pela fgura abaxo: (Taxa e massa acumulaa) + (Taxa e massa que sa) (Taxa e massa que entra) = 0 ρ V + ( ρ Au ) ( Au ) sa sa entra ρ = 0 entra ρ V + ( ρ Au ) ( ρ Au ) = 0 (BGM não eformável). (33)
- Casos Especas Em alguns casos é possível smplfcar a equação anteror (Equação 33), como no caso e um escoamento ncompressível (massa específca ρ = constante, geralmente vála para líquos). Quano ρ não epene nem o espaço nem o tempo, a equação poe ser escrta como: ρ V + ( Au ) ( Au ) = 0 ρ ρ (34) sa entra A ntegral e V sobre too o volume e controle é o própro volume total o sstema. Assm, vno a equação anteror por ρ, escrevemos: V + = ( Au ) ( Au ) 0 sa (35) entra Para um volume e controle não eformável, e forma e tamanhos fxos, V = constante. A conservação a massa para escoamento ncompressível, através e um volume e controle fxo e para regme permanente ou não, torna-se: ( Au ) = ( Au ) sa entra (36) A solução esta somatóra (ntegral) sobre a seção e uma superfíce e controle é comumente chamaa e taxa e fluxo e volume ou vazão volumétrca (no SI em m 3 /s). Assm, a vazão volumétrca nestas conções através a seção a superfíce e controle e área A, é aa por: Q= nua ˆ ou Q= A u (vazão volumétrca no SI [m 3 /s]) (37) m = ρ* Q (vazão mássca no SI [kg/s]) (38) Consere agora o caso geral e escoamento permanente, compressível (para gases), através e um volume e controle fxo. Por efnção, nenhuma propreae o fluo vara com o tempo num escoamento permanente, reuzno a equação 33, para: ( Au ) ( Au ) = 0 ρ ρ (39) sa entra
Exemplos Exemplo 14: Consere o escoamento permanente e água em uma junção e tubos conforme mostrao no agrama. As áreas as seções são: A 1 = 0,2 m 2 ; A 2 = 0,2 m 2 ; A 3 = 0,15 m 2. O fluo também vaza para fora o tubo através e um orfíco no ponto 4, com uma vazão volumétrca estmaa em 0,1 m/s. As velocaes méas nas seções 1 e 3 são u 1 = 5 m/s e u 3 = 12 m/s. Determne a velocae o escoamento na seção 2. Exemplo 15: Um reservatóro se enche e água por meo e uas entraas unmensonas. Ar é aprsonao no topo o reservatóro. A altura a água é h. (a) Encontre uma expressão para a varação a altura a água, h/. (b) Calcule h/ para D 1 = 25 mm, D 2 = 75 mm, u 1 = 0,9 m/s, u 2 = 0,6 m/s e A res = 0,18 m 2, conserano a água a 20 ºC. Exemplo 16: Um tanque e volume V = 0,05 m 3 conteno ar a p = 800 kpa (absoluta) e T = 15ºC. Em t = 0, o ar começa a escapar por uma válvula. O ar sa como uma velocae u = 300 m/s e massa específca ρ = 6 kg/m 3 através e uma área A = 65 mm 2. Determne a taxa e varação a massa específca o ar no tanque em t = 0.